专题1函数导数与不等式
专题1 函数、导数与不等式
二、高考回放
【2007年第20题（理科），13分】 已知定义在正实数集上的函数2
1()22
f x x ax =
+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：)0()()(>≥x x g x f ．
本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力． 解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．
()2f x x a '=+∵，2
3()a g x x
'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=． 即2
20002
00123ln 232x ax a x b a x a x ?+=+????+=??
，，由200
32a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有2222215
23ln 3ln 22b a a a a a a a =
+-=-． 令22
5()3ln (0)2
h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是
当(13ln )0t t ->，即13
0t e <<时，()0h t '>；
当(13ln )0t t -<，即13
t e >时，()0h t '<．
故()h t 在1
3
0e ?? ???，为增函数，在13e ??+ ???
，∞为减函数，
于是()h t 在(0)+，∞的最大值为12
333
2
h e e ??= ???．
（Ⅱ）设2
21()()()23ln (0)2
F x f x g x x ax a x b x =-=
+-->， 则()F x '23()(3)
2(0)a x a x a x a x x x
-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数， 于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=．
故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．
【2008年第20题（理科），12分】
水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为
?????≤<+--≤<+-+-=121050)413)(10(410050)4014()(412
t t t t e t t t V t ，
， （Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以1i t i -<<表示第1月份（1,2,,12i =L ）,
同一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取 2.7e =计算）.
本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题的能力。
解：（Ⅰ）①当010t <≤时，1
2
4
()(1440)5050x V t t t e
=-+-+<，化简得214400t t -+>,
解得4t <，或10t >，又010t <≤，故04t <<.
②当1012t <≤时，()4(10)(341)5050V t t t =--+<，化简得(10)(341)0t t --<,
解得41
103
t <<
，又1012t <≤,故1012t <≤. 综合得04t <<,或1012t <≤；
故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知：()V t 的最大值只能在（4，10）内达到.
由1
1'
24
4
131()(4)(2)(8),424
t t V t c t t c t t =-++=-+-
令'
()0V t =，解得8t =(2t =-舍去).
当t 变化时，'
()V t 与()V t 的变化情况如下表：
由上表，()V t 在t ＝8时取得最大值(8)850108.32V e =+=(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米
【2009年第21题（理科），14分】
在R 上定义运算()()1:43
p q p c q b bc ??=-
--+（b 、c 为实常数）
。记c x x f 2)(2
1-=，b x x f 2)(22-=，R x ∈.令)()()(21x f x f x f ?=.
()I 如果函数)(x f 在1=x 处有极值4
3
-,试确定b 、c 的值；
()II 求曲线)(x f y =上斜率为c 的切线与该曲线的公共点；
()III 记()()()|11g x f x x '=
-≤≤的最大值为M .若M k ≥对任意的b 、c 恒成立，试示k 的最大
值。
本题主要考查函数、函数的导数、极值、切线和不等式等基本知识，考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想.
解：12121(1)()()()(())(())43
f x f x f x f x c f x b bc =⊕=---+Q
322
21
3
'(1)0
11'()2,413(1)3:1,1,'()(1)01,2
x bx cx bc
f b b f x x bx c c c f b c f x x b c =-+++=?==-???∴=-++????
=-==-????
==-=--≤∴=-=由或经检验时无极值, 2232
(2)'()2,2,021)0(0,),(0,),(3,4)13f x x bx c x bx c c x x b x bc y cx bc y cx bc bc b bc y x bx cx bc =-++∴-++=∴===?=+=+????=-+++??
Q 或若切点切线方程为由公共点为
3
3333332342)2(2,
3)3
44
(3)(2),,
334443(2,3),(,)
13330,(0,0)
0,,(0,)(3,4)
4(2,3)3x b b b bc y b bc c x b y cx bc b y cx bc b b b bc b b y x bx cx bc
b b b
c b bc b b bc =?+-+=-=++?
=++???+-??=-+++??
∴=≠+若切点切线方程为即由公共点为时切线与曲线公共点只有一个时切线与曲线公共点有两个分别为和或34
(,)
3
b b -和 （3）∵
c b b x x f x g ++--='=2
2)()()(
当1||>b 时，)(x f y '=对称轴位于区间[]11，-之外 ∴)(x f y '=在[]11，
-端点处取得最值， ∴{})1()1(m ax -=g g M ， ∴
4
4)21()21(2121)1()1(2>=+---++-≥+--+++-=-+≥b c b c b c b c b g g M
∴2>M
当1||≤b 时，)(x f y '=对称轴位于区间[]11，-内， ∴{})()1()1(m ax b g g g M ，，-=
2
22)(2)21()21(||22121)(2)1()1(42
2
2≥+=+-+--+++-≥+++--+++-=+-+≥b c b c b c b c b c b c b b g g g M
∴21≥
M 综上，21≥M ，故M k ≥对任意的b 、c 恒成立，k 的最大值为2
1
.
【2010年第21题（理科），14分】 已知函数()(0)b
f x ax c a x
=+
+>的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-． （Ⅰ）用a 表示出b ，c ；
（Ⅱ）若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）证明：1111ln(1)(1)232(1)
n
n n n n ++++>++
≥+L . 本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证
的能力和分类讨论的思想.
解：（Ⅰ）2
()b
f x a x '=-
，则(1)1f a b '=-=， 点(1,(1))f 在直线1y x =-上，则(1)0f =，那么0a b c ++=， 所以1b a =-，12c a =-．
（Ⅱ）记1
()()ln 12ln a g x f x x ax a x x
-=-=++--，
则22
11[(1)](1)
()a ax a x g x a x x x ----'=--=． ①当12a ≥时，
11a
a
-≤，那么1x ≥时()0g x '≥， 那么()g x 在1x ≥时为增函数，则min ()(1)0g x g ==， 那么()0g x ≥恒成立，则()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立．
②当102a <<时，
11a
a ->， 那么1a x a ->时()0g x '>，11a
x a
-<<时()0g x '<，
知此时min 11()()24ln
a a
g x g a a a --==--， 由题意应有124ln 0a
a a ---≥． 以下证明124ln 0a a a ---≥在1
02
a <<时无解， 记1()24ln a
a a a
?-=--，11()4()41(1)a a a a a a a ?-''=--
=---， 因为102a <<，则1
(1)4
a a -<，则()0a ?'>，
则()a ?在102a <<时为增函数，那么1
()()02a ??<=，
说明总有124ln 0a a a ---<，即124ln a
a a
--<，
那么不等式124ln
0a a a ---≥在1
02
a <<时无解． 由①②的讨论知()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，a 的取值范围是1
2
a ≥． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当12a =
时，112ln a ax a x x
-++-≥在[1,)+∞上成立， 则1ln 22x x x -≥在[1,)+∞上成立，因为1
1x x +>，
则1
11
ln
122x x x x x x
++->+，则2111ln(1)ln 2(1)2(1)x x x x x x x x ++-<=-++， 分别取1,2,3,,x n =L ，则11ln 2ln1122-<-?，111
ln 3ln 22223
-<-??，
111
ln 4ln 33234
-<-??，…，111ln(1)ln 2(1)n n n n n +-<-?+，
以上n 个式子相加，
则111111111
ln(1)1[(1)()()]2322231n n n n +<++++-?-+-++-+L L ，
则11111
ln(1)1(1)2321
n n n +<++++-?-+L ，
所以1111ln(1)(1)232(1)
n
n n n n +
+++>++≥+L ． 【2011年第21题（理科），14分】
（Ⅰ）已知函数()1f x Inx x =-+，(0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设,k k a b (1,2k =…，)n 均为正数，证明：
（1）若1122a b a b ++…n n a b ≤12b b ++…n b ，则12
121n k k k n a a a ≤L ；
（2）若12b b ++…n b =1，则
1n
≤121222
2
12.n k k k n n b b b b b b ≤+++L L 本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想.
解：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞，令1
'()10, 1.f x x x
=
-==解得 当01,'()0,()x f x f x <<>时在（0，1）内是增函数； 当1x >时，'()0,()(1,)f x f x <+∞在内是减函数； 故函数()1f x x =在处取得最大值(1)0.f = （II ）（1）由（I ）知，当(0,)x ∈+∞时， 有()(1)0,ln 1.f x f x x ≤=≤-即 ,0k k a b >Q ，从而有ln 1k k a a ≤-， 得ln (1,2,,)k k k k k b a a b b k n ≤-=L ， 求和得1
1
1
1
ln .n
n
n
k k
k k k k k k a
a b b ===≤-∑∑∑
21
1
1
,ln 0,n
n
n
k k k k
k
k k k a b b a
===≤∴≤∑∑∑Q
即1212ln()0,n k k k n a a a ≤L 12
12 1.n k k k n a a a ∴≤L
（2）①先证12121
.n k
k k n b b b n
≥L 令1
(1,2,,),k k
a k n n
b =
=L 则111
1
1,n
n
n
k k k k k k a b b n ======∑∑∑于是
由（1）得1212111()()()1n k k k n nb nb nb ≤L ，即1212121,n
n
k k k k k k n
n n b b b +++≤=L L 12121.n k k k
n b b b n ∴≥L
②再证12222
1212.n k k k n n b b b b b b ≤+++L L
记21
,(1,2,,)n
k
k k k b S b a k n S
==
=
=∑L 令， 则2
1111
11n
n n
k k k k k k a b b b S ======∑∑∑，
于是由（1）得1212()()() 1.n k k k
n b b b S S S ≤L
即1212
12,n n k k k k k k n b b b S
S +++≤=L L 12222
1212.n k
k
k
n n b b b b b b ∴≤+++L L
综合①②，（2）得证。
【2012年第22题（理科）,14分】 （I ）已知函数)0()1()(>-+-=x r x rx x f r
，其中r 为有理数，且10< （II ）试用（I ）的结果证明如下命题： 设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数，若b 1+b 2=1，则a 1b1a 2b2≤a 1b 1+a 2b 2； （III ）请将（II ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当α为正有理数时，有求导公式1 )(-='αα αx x . 【2013 年第22题（理科），14分】 设n 是正整数，r 为正有理数. （I ）求函数)1(1)1() 1()(1 ->-+-+=+x x r x x f r 的最小值. （II ）证明：1 )1(1)1(1111+-+<<+--++++r n n n r n n r r r r r . （III ）设R x ∈，记[]x 为不小于x 的最小整数，例如[]22=，[]4=π，123-=?? ? ???-. 令3 3 3 3 125838281++++= ΛS ，求[]S 的值.（参考数据：7.344803 4≈，5.350813 4 ≈， 3.6181243 4 ≈，7.6311263 4≈） 证明：（I ）()()()()()()111111r r f x r x r r x ??'=++-+=++-?? ()f x ∴在()1,0-上单减，在()0,+∞上单增。 min ()(0)0f x f ∴== （II ）由（I ）知：当1x >-时，() ()1 111r x r x ++>++ 所证不等式即为：()()()() 11111111r r r r r r n r n n n r n n ++++?-+<-? ?++<+?? 若2n ≥，则()() ()()1 1 111111r r r r n r n n n r n n ++?? -+<-?--<-- ??? 1111r r n n ?? ?-<- ?-?? …………① 111r r n n ?? ->-+ ??? Q ，1r r n n ->- - 11111r r r n n n ?? ∴->->- ?-?? ，故①式成立。 若1n =，()() 1 1 11r r r n r n n ++-+<-显然成立。 ()() ()1 1111111r r r r n r n n n r n n ++?? ++<+?++<++ ??? 1111r r n n ?? ?+<+ ?+?? …………② 111r r n n ?? +>+ ???Q ，1r r n n > + 11111r r r n n n ?? ∴+>+>+ ?+?? ，故②式成立。 综上可得原不等式成立。 （III ）由（II ）可知：当* k N ∈时，()()4144433333331144k k k k k ????--<<+-???????? ()444125433338133 112580210.22544k S k k =????∴>--=-≈ ???????∑ ()444125433 338133112681210.944k S k k =????<+-=-≈ ??????? ∑ 211S ∴=???? 三、专案突破（小四号字） （一）知识网络（五号字） （二）核心知识 1. 函数的基本性质 （1） 求函数定义域常见的类型： ①分式的分母不为零； ②偶次根式的被开方数为非负数； ③对数的真数大于零； ④指数、对数函数的底数大于零且不等于1； ⑤零的零次幂没有意义； ⑥三角函数中，正切函数x y tan =中Z k k x R x ∈+≠∈，且2 π π. （2） 求函数值域（最值）的一般方法： 利用基本初等函数求值域； ①配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； ②基本不等式法（尤其注意形如)0(>+ =k x k x y 型函数） ； ③函数的单调性； ④观察法（分式分解）； ⑤判别式法（分式函数）； ⑥换元法（无理函数）； ⑦导数法（高次函数）；反函数法； ⑧数形结合法； ⑨利用函数的有界性. （3） 求函数解析式的一般方法： ①待定系数法； ②换元法（或配凑法）； ③构造二元一次方程组； ④利用函数性质（如奇偶性、单调性、对称性等）等. （4） 研究函数的单调性常用定义法、导数法、图像法以及复合函数增减性法，大题中证明或讨论 函数单调性只能用定义法和导数法. （5） 函数的奇偶性常用结论： ①定义域关于原点对称； ②奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立； ③奇函数在对称区间上的增减一致，偶函数在对称区间上的增减性相反； ④若奇函数()f x 的定义域为D ，且D ∈0，则(0)0f =； ⑤一个函数既是奇函数又是偶函数，则0)(=x f ，反之不一定成立. （6） 函数的周期性 对于函数()f x ，若存在非零常数T ，使得对任意的自变量x 都有： （1）)()(x f T x f =+成立，则()f x 的周期为T ； （2）若)()(x f T x f -=+成立，则()f x 的周期为2T ； （3）若)0() ()(≠=+K x f K T x f 成立，则()f x 的周期为2T. 2.函数的图像 （1）函数图像的对称性 ①如果函数D x x f ∈，)(，满足D x ∈?，恒有)2()(x a f x f -=，那么()f x 的图像关于直线a x =对称； ②如果函数D x x f ∈，)(，满足D x ∈?，恒有)()(x a f x a f -=+，那么()f x 的图像关于 直线a x =对称； ③如果函数D x x f ∈，)(，满足D x ∈?，恒有)()(x b f x a f -=+，那么()f x 的图像关于直线2 b a x += 对称； ④如果函数D x x f ∈，)(，满足D x ∈?，恒有)()(x b f x a f --=+，那么()f x 的图像关 于点?? ? ??+02，b a 对称。 （2）函数对称性与周期性的关系 ①如果函数()f x 在定义域内有两条对称轴)(b a b x a x <==，， 则函数()f x 为周期函数，且周期为)(2a b -（不一定是最小正周期）； ②如果函数()f x 在定义域内有两个对称中心)()0,(),0,(b a b B a A <， 则函数()f x 为周期函数，且周期为)(2a b -（不一定是最小正周期）； ③如果函数()f x 在定义域内有一条对称轴a x =和一个对称中心)() 0,(b a b B ≠，则函数 ()f x 为周期函数，且周期为||4a b -（不一定是最小正周期）. （3）函数图象的变换常有：平移变换、对称变换、伸缩变换、翻折变换（特别是)(x f 和)(x f 的图像）. 3.函数与方程 主要研究二分法、零点个数以及零点所在范围等问题. 4.函数方程思想（恒成立问题及存在性问题） 函数方程思想即函数与方程之间的转化思想，即将函数问题转化为方程的观点来解决，或者将方程问题转化为函数的思想来解决.常见以下三种类型： （1）若)(x f a >（或)(x f a ≥）恒成立，则max )(x f a >（或max )(x f a ≥）（如果函数没有最大值，其值域是（m ，n ）则n a ≥）. 若)(x f a <（或)(x f a ≤）恒成立，则min )(x f a <（或min )(x f a ≤）（如果函数没有最小值，其值域是（m ，n ）则m a ≤）. （2）设函数)(x f 的定义域为D ，若D x ∈?1，使)(x f a >（或)(x f a ≥）成立，则 min )(x f a >（或min )(x f a ≥）（如果函数没有最小值，其值域是（m ，n ）则m a >）. 若D x ∈?1，使)(x f a <（或)(x f a ≤）成立，则max )(x f a <（或max )(x f a ≤）（如果函数没有最大值，其值域是（m ，n ）则n a <）. （3）若方程)(x f a =有解，则a 的取值范围为函数)(x f 的值域. 变式结论： （1）若对D x x ∈?21，，a x f x f ≤-)()(21成立，则min max )()(x f x f a -≥. （2）若2211D x D x ∈?∈?，，使得)()(21x g x f =)(x f ?在1D 上的值域A 与函数)(x g 在 2D 上的值域B 的交集不是空集，即φ≠B A I . （3）若2211D x D x ∈?∈?，，使得)()(21x g x f =)(x f ?在1D 上的值域A 是函数)(x g 在 2D 上的值域B 的子集，即B A ?. （4）若)(x f ，)(x g 是闭区间D 上的连续函数，则对D x x ∈?21，，使得 min max 21)()()()(x g x f x g x f ≤?≤. （5）若2211D x D x ∈?∈?，，使得)()(21x g x f ≥min min )()(x g x f ≥?. 5.导数的应用 主要是以下四个方面的应用： （1） 利用导数求曲线的切线方程； （2） 利用导数研究函数的单调性及单调区间； （3） 利用导数求函数的极值和最值； （4） 利用导数求参数取值范围； （5） 利用导数证明不等式. 6.压轴题中不等式的常用证明方法 （1）利用第一或第二问的结论证明不等式； （2）构造函数利用导数证明不等式； （3）放缩法证明不等式； （4）数学归纳法证明不等式； （5）利用积分的几何意义证明不等式. 7.高考命题的主要形式 （1）函数、方程与不等式的知识网络交汇命题； （2）函数与导数的知识网络交汇命题； （3）函数、导数和不等式的知识网络交汇命题. 四、经典例题（小四号字） 热点一 ：函数的概念与性质 【例题1】已知函数)(12)(2 为实常数a a x ax x f -+-=. （1） 若1=a ，作函数)(x f 的图象； （2） 设)(x f 在区间[]21， 上的最小值为)(a g ，求)(a g 的表达式； （3） 设x x f x h ) ()(= ，若函数)(x h 在区间[]21， 上是增函数，求实数a 的取值范围. 解：（1）1=a 时，1)(2 +-=x x x f ，其图像如图所示（略） （2）[]21 ，∈x 时，12)(2 -+-=a x ax x f 当时0 <= a x ，)(x f 在区间[]21， 上单调递减， ∴36)2()(-==a f a g 当时0=a ，1)(--=x x f ，)(x f 在区间[]21， 上单调递减， ∴3)2()(-==f a g 当时0>a ，对称轴021 >=a x ， 若a 212≤，即410≤ 若2211<≤a ，即2141≤ 若121 1>a 时，23)1()(-==a f a g 综上所述，?? ? ? ? ? ??? >-≤<--≤-=21,232141,141241,36)(a a a a a a a a g （3）[]21，∈x 时，x a ax x x f x h 1 21)()(-+ -== 21 2)(x a a x h --=' 由题意，0122 ≥+-a ax 在区间[]21， 上恒成立， 令12)(2 +-=a ax x F 当时0 1 <≤-a 即可， 当时0=a ，1)(=x F 满足题意，
- 导数中不等式相关的几个问题
- [数学]专题一-函数、导数与不等式PPT课件
- 专题1：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数(文)
- 函数导数与不等式专题(可编辑修改word版)
- 2021年高考数学复习《导数---泰勒不等式专题》
- [数学]专题一 函数、导数与不等式
- 专题：函数与导数不等式
- 导数在不等式中的应用专题
- 专题07 用好导数,“三招”破解不等式恒成立问题(第一篇)-2020年高考数学压轴题命题区间探究与突破(解析
- 导数与不等式专题一
- 函数导数与不等式专题
- 导数---泰勒不等式专题
- 专题函数导数与不等式
- 2020高考数学专题突破练2利用导数研究不等式与方程的根文含解析
- 2021届高考数学【新课改版】二轮专题六函数与导数导数与不等式PPT全文课件
- 解答题专题复习 导数与不等式
- 不等式与导数高考专题
- 专题09导数与不等式的解题技巧
- 【高考数学】专题09+导数与不等式的解题技巧(教师版)
- 2016届高三专题复习专题一函数与导数不等式