A ．9
B ．8
C ．7
D ．6 2-4. 2log (1)1n S n +=+，求n a
2-5.
122111
25222
n n a a a n +++=+，求n a 2-6.21=a ，若n n a n S 2
=，求n a
2-7.S n ＝13
(a n －1)(n ∈N *
)．
(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求a n 的通项公式及S 10.
2-8.1,)1(2≥-+=n a S n
n n ，n a 求
2-9.数列{}n a 满足1115
4,3
n n n a S S a ++=+=，求n a 2-10△. 113
1,1(*)2
n n a S S n N +==
+∈ ①求数列{}n a 的通项公式； ②设1n a ??
?
???
的前n 项和为n T ，求满足3n n T S >的n 值
3-1. 在数列{a n }中，
a 1＝1，当n ∈N *时，a n ＋1－a n ＝n ，则a 100的值为( )
A ．5050
B ．5051
C ．4950
D ．4951 3-2.a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2n －1，n ∈N *
，则a n ＝______
3-3.a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝____ 3-4.11211n n a a n a +=++=，，n a =
3-5.11100
1,,n n a a a n a +=-==则 ________
3-6.11a =，n
n a a n n ++=
--111(2)n ≥，n a =
3-7. 2
321n a a a a n = ，则=+53a a
3-8. 112313n
n n a a a +=+?+=，，n a 求
3-9. 121,3,
a a ==+++-=-21
12n n n n
a a a a ，求n a
3-10.)(0)1()2(,211++∈=+-+=N n a n a n a n n ， 求{}n a 的通项公式.
3-11．
*
12211,4,43().n n n a a a a a n N ++===-∈
（1）求34,a a 的值；
（2）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （3）求数列}{n a 的通项公式；
3-12．12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数）， 且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．
3-13. 121,2,a a ==)3)((3
2
211≥--=----n a a a a n n n n ， 求数列{}n a 的通项公式.
4-1． 12-=n n a S ， 21=b ，n n n b a b +=+1，
求n a ，n
b
4-2．2(2)1n n S n a =+-． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设1324
2
11
1
n n n T a a a a a a +=
+++
???，求n T ．
4-3.已知11,a =142n n S a +=+
（1）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（2）求数列{}n a 的通项公式。
编者：杜林生老师133******** 广东普宁流沙
■小男孩拿着一张假钱走进了玩具店，准备买一架玩具飞机。 服务员阿姨说：小朋友，你的钱不是真的。 小男孩反问道：阿姨，难道你的飞机是真的？
①公式法②-=-1n n n a S S ③累加累乘法参考答案 例1-1解：{}2
n n
a 是以112122a ==为首项，以23
为公差的等差数列，∴3
1(1)
22n n a n =+-， ∴{}n a 的通项公式为31()222
n
n a n =-。
例1-2解：设数列{}n a 公差为)0(>d d
∵931,,a a a 成等比数列，∴912
3a a a =，
即)8()2(1121
d a a d a +=+d a d 12=?
∵0≠d ， ∴d a =1……①
∵2
55a S = ∴211)4(2
455d a d a +=??+…②
由①②得：531=a ，53
=d
∴n n a n 5
353)1(53=?-+=
例2-1解：当1=n 时，411312211=-?+?==S a ，
当2≥n
时，
[
]
1
)1(3)1(2)132(2
2
1--+---+=-=-n n n n S S a n n n 14+=n .
而1=n 时，15114a ≠=+?，
?
?
?≥+==∴)2(14)
1(4n n n a n . 例2-2解：当1=n 时，31211=+==S a ， 当2≥n 时，
1112)12()12(---=+-+=-=n n n n n n S S a .
而1=n 时，11
112a ≠=-，???≥==∴-)
2(2)1(31n n a n n .
例2-3解法1：（全部转化为n S ）
∵当2n ≥时，1n n n a S S -=-，12(2)n n n a S n ≥－＝＋
∴122n n
n S S --= ∴1
1122
n n n n S S ---=(2)n ≥ ① 设2
n
n n S b =，∴①式为：11n n b b --=(2)n ≥
当2n =时，11113
222S a b ==
= ∴{}n b 是首项13
2
b =，公差1d =的等差数列。
∴1(1)n b b n d =+-31
122n n =+-=+
∴1
(21)2n n S n -=+
∴当2n ≥时，1n n n a S S -=-2(23)2n n -=+
∴23(1)(23)2
(2)
n
n n a n n -=?
=?+≥? ∴1(21)2n n
S n -=+
例2-3解法2：（全部转化为n a ） ∵12(2)n n n
S a n -≥－＝① 112n n n S a ++-＝②
②－①得：1n n S S -－＝11(2)n n a ++-－(2)(2)n n a n -≥
即：+122(2)n
n n a a n -≥+＝
∴
11122
n n
n n a a +--=(2)n ≥ ③ 设1
2n
n
n a b -=
，∴③式为：11n n
b b +-=(2)n ≥
当2n =时，212
13222a a b =
== ∴{}n b 是首项13
2
b =，公差1d =的等差数列。
∴1(1)n b b n d =+-31
122n n =+-=+
∴1
(21)2n n S n -=+
∴当2n ≥时，1n n n a S S -=-2(23)2n n -=+
∴23(1)(23)2
(2)
n
n n a n n -=?
=?+≥?
∴1
(21)2n n S n -=+
例3-1解：121-=--n a a n n
11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=----- 135)52()32()12(++++-+-+-= n n n 22
)112(n n n =+-=
例3-2解：
11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----
14322112222----=++++++=n n n n .
例3-3解： 1
1
1)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n
)
()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a )
111()4131()3121()211(n
n --+??????+-+-+-=∴n a a n 1
11-=-
211=a ，n
n a n 1231121-=-+=∴
例3-4.解：
1
34
2312-??????????n n a a a a a a a a n
n 1
433221-?
?????????=n a a n 11=? 又321
=
a ，n
a n 32
=∴
例3-5解： 11=a ，n n a n S ?=2，
∴当2≥n 时，121)1(--?-=n n a n S
1
1
)1(11221+-=?--=-=---n n a a a n a n S S a n n n n n n n ∴1
1
22332211a a a
a a a a a a a a a n n n n n n n ??????=
----- .)
1(21314213211+=????--?-?+-=n n n n n n n n
1-1. 11212n
n a n +=++
1-2. 解：{}n a 是以21为首项2
1
为公差的等差数列，
故
=+?=?1111(-1)222n n 2n n a =a n
。 1-3解：a n +2=－a n -1=a n -4,∴a n =a n -6,∴a 20＝a 2=5 1-4解：a 1=0，a 2=－3, a 3
=3, a 4
=0?a
20
＝a 2，20a =3-
1-5解：数列}1{+n
a 是首项为2，公比为2的等比数列．
∴1221-?=+n n a ∴12-=n n a
1-6.a n ＝n 2
1-7.n
a n 2= 1-8. 12-=n n
a
1-9解：当1=n
时，1231111-=?+==a a S a ，
当2≥n 时，)23()23(11+-+=-=--n n n n n a a S S a .
∴2
3
3211=?
=--n n n n a a a a ∴{}n a 是以23
为公比的等比数列，其首项为11-=a ，
∴.)2
3
(11-?-=n n a
1-10.解：（1）∵80)263(3803234++=+=a a a
230278078722711+=+++=a a
∴365230271=+a ，得51=a
（2） 51=a ， 238312=+=a a ，9526323=+=a a
若数列}3
{n n t
a +为等差数列， 则27
392312t a t a t a ++
+=+?， 化简得：29545138964312-=--=--=a a a t ，
则21-=t 经检验，21
-=t 时，}3{n
n t a +为等差数列， 故2
1-=t
（3）由（2）可知，存在常数2
1
-=t ，
使}3{
n
n t a +为等差数列，且公差13
912=+-+=t
a t a d ，又2331=+t a ，则)1(233-+=+n t a n n 2
1
+=n ，
即2
1
3)21(+?+=n n n a
2-1解：B 由S n ＝4n 2
＋1得a n ＝??
?
5 (n ＝1)8n －4 (n ≥2)
2-2解：B ∵S 4＝S 3＋a 4，∴a 1(34
－1)2＝a 1(33
－1)
2
＋54，
即a 1(34－33
)2
＝54.解得a 1＝2.
2-3解：Ba n ＝2n －10，∴有5<2k －10<8知k ＝8， 2-4：答：{
3,1
2,2
n n n a n ==
≥
2-5答：{
114,1
2,2n n
n a n +==
≥
2-6答：4
(1)
n a n n =+
2-7解： (1)由a 1＝S 1＝13(a 1－1)得a 1＝－1
2.
又a 1＋a 2＝S 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.同理a 3＝－1
8
(2)n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－1
3
(a n －1－1)，
得a
n a n －1＝－12
. ∴数列{a n }是首项为－12，公比为－1
2
的等比数列．
即a n ＝(－12)n ∴S 10＝a 1(1－q 10
)1－q ＝341
1024
.
2-8解：由1121111
=?-==a a S a
当2≥n 时，有
,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -?+-=-=--
1122(1),n n n a a --∴=+?- ,)1(22221----?+=n n n a a ……
.2212-=a a
11221
122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+?-+?-+
+?-
经验证11=a 也满足上式，
∴])1(2[3
2
12---+=n n n
a 2-9答：{
14,1
34,2
n n n a n -==?≥
2-10. ①解法1：由13
12
n n S S +=
+得： 当2n ≥时13
12
n n S S -=
+ ∴113()2n n n n S S S S +--=- 即13
2
n n a a += ∴
13
2
n n a a +=（4分） 又11a =，得2112312S a a a =+=+ ∴23
2
a =
∴
213
2
a a =（6分） ∴数列{}n a 是首项为1，公比为3
2
的等比数列
∴1
3()2
n n a -=（7分）
解法2：由1312n n S S +=+得13
2(2)2
n n S S ++=+（3分）
即
123
22
n n S S ++=+ ∴数列{2}n S +是首项为123S +=,公比为3
2
的等比数列
∴1323()2n n S -+=? 即1
33()22
n n S -=?-（5分）
当2n ≥时，
∴1n n n a S S -=-＝12333()2[3()2]22n n --?--?-＝1
3()2
n -（6分）
显然当1n =时上式也成立 ∴1
3()2n n a -=（7分）
（2）∵数列{}n a 是首项为1，公比为3
2
的等比数列，
∴数列1{}n a 是首项为1，公比为2
3
的等比数列（8分）
∴21()233[1()]2313
n
n n
T -=
=--（9分） 又∵3
2()22n n
S =?- ∴不等式3n n T S >，
即239[1()]2()232n n
->?-（10分）
令2()3n m =并整理得2
91120m m -+<，
解得2
19m <<（11分）
即22()193n <<，将1,2,3n =代入都符合，又42162()3819
=< 且函数
2
()3
x y =在R 上为减函数，
故当4n ≥时都有22
()39
n <（13分）
∴满足不等式3n n T S >的n 值为：1，2，3（14分）
3-1解 a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1
＝99＋98＋…＋2＋1＋1＝4951.故选D . 3-2解：∵a n ＋1－a n ＝2n －1，
∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，… a n －a n －1＝2n －3(n ≥2)． ∴a n －a 1＝1＋3＋…＋2n －3.
∴a n ＝20＋(2n －2)(n －1)2
＝n 2
－2n ＋21.
当n ＝1时a 1＝20＝12
－2×1＋21，
∴a n ＝n 2
－2n ＋21.
3-3解：∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1
∴a n ＝a n －1＋(n －1)＋1， a n －1＝a n －2＋(n －2)＋1，
a n －2＝a n －3＋(n －3)＋1，…，a 3＝a 2＋2＋1， a 2＝a 1＋1＋1，a 1＝2＝1＋1将以上各式相加得： a n ＝[(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋n ＋1
＝(n －1)[(n －1)＋1]2
＋n ＋1
＝(n －1)n 2＋n ＋1＝n (n ＋1)2＋1
3-4解：由1
21n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1
n n n n n a a a a a a a a a a n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++ 2[(1)(2)21](1)1n n n =-+-+
+++-+ 2(1)2
(1)1(1)(1)12
n n
n n n n -=+-+=-++= 3-5. 4951 3-6. n a
1。
3-7：a 3＋a 5＝32
22＋52
42＝61
16
3-8解：由1
231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+
11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3
2(3333)(1)3
3(13)2(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-3-9解：∵+++-=-21
12n n n n
a a a a ，212=-a a
∴
{}1n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列
∴12n n n a a +-=
∴112n n n a a ---=，……，212=-a a ∴21n n a =-
3-10解：由0
)1()2(1=+-++n n a n a n
得，2
1
1++=+n n a a n n 1
1
22332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ??????=-----
1
4
232431211+=
????--?-?+=n n n n n n n . 3-11．（1）解：3214324313,4346a a a a a a =-==-= （2）证明
2143,n n n a a a ++=-2113()n n n n a a a a +++∴-=-
又121,4a a ==，21
13n n n n
a a a a +++-∴
=-， 则}{1n n a a -+是以213a a -=为首项，3为公比的等比数列
（3）由（2）13n n n
a a +-=，则2n ≥时，113--=-n n n a a
112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---
13332
1
++++=-- n n 2
1
33131-=--=n n
又11=a 适合上式，故+
∈?N n ，2
13-=n n a
3-12解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，
∵1a ，2a ，3a 成等比数列， ∴2
(2)
2(23)c c +=+，解得0c =或2c =．
当0c =时，123a a a ==，不符合题意，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于
21a a c -=，322a a c -=，………… 1(1)n n a a n c --=-，
∴1(1)
[12(1)]2
n n n a a n c c --=+++-=
． 又12a =，2c =，
故22(1)2(23)n
a n n n n n =+-=-+=，，． 当1n =时，上式也成立
∴2
2(1
2)n a n n n =-+=，， 3-13解： {}n n a a -+1是以1为首项，公比为2
3-的等比数列，
∴11)3
2(-+-=-n n n a a
∴11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----
1
1)32
()32()32()32(232++-+-++-+-=-- n n 1)3
2
(5358---=n ．
4-1．解：由12111
-==a S a ，得11=a ；
当2≥n 时，1--=n n n S S a 122--=n n a a ，
12-=n n a a ，则21
=-n n a a
故{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，则12-=n n a
由n n n a b b +=+1
，得112-+==-n n n n a b b
112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=∴---
1222121222211
3
2
+=+--=++++=----n n n n
∵21=b 适合上式，故12
1
+=-n n b 4-2解：（Ⅰ） 在2S n ＝（n ＋2）a n －1中，令n ＝1，
求得a 1＝1．∵ 2S n ＝（n ＋2）a n －1， ∴ 2S n －1＝（n ＋1）a n －1－1．
当n ≥2时，两式相减得：2（S n －S n －1） ＝（n ＋2）a n －（n ＋1）a n －1，
即 2 a n ＝（n ＋2）a n －（n ＋1）a n －1，整理得，11
n n a n a n
-+=
． ∴ 11
2231211a a a
a a a a a a a a a n n n n n n n
??????=
----
＝1233411????-?+= n n n n ＝
12
n + 当n ＝1时， n a ＝112+，满足上式，∴ n a ＝1
2
n +.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知n a ＝12
n +，则2
1n n a a +?＝
4(1)(3)n n ++
＝2（
11n +－13
n +）． ∴ 13242
111
n n n T a a a a a a +=+++???
＝2[（12－14）＋（13－15）＋（14－1
6
）＋……
＋（1n －12n +）＋（11n +－13
n +）]
＝2（12＋13－12n +－13n +）．
4-3.解：（I ）由11,a =及142n n S a +=+，有
12142,
a a a +=+21121325,23a a
b a a =+=∴=-=
由1
42n n S a +=+，．．．①
则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．②
②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-
又
12n n n b a a +=-，1
2n n b b -∴=
{}n b ∴是首项1
3b =，公比为２的等比数列．
（II ）由（I ）可得11232n n
n n b a a -+=-=?，
113
224
n n n n a a ++∴
-= 数列{
}2n n
a 是首项为12，公差为
34的等比数列．
1331(1)22444
n n
a n n =+-=-，2
(31)2n n a n -=-?
