第36招 归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法

【知识要点】

一、数列的通项公式

如果数列{}n a 的第n 项n a 和项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即()n a f n =.不是每一个数列都有通项公式.不是每一个数列只有一个通项公式. 二、数列的通项的常见求法：通项五法

1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据n a 与项数n 的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明.

2、公式法：若在已知数列中存在：)0(,)(1

1≠==-++q q a a d a a n

n n n 或

常数的关系，可采用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在：)()(n f S a f S n n n ==或的关系，

可以利用项和公式11(1)

(2)n n

n S n a S S n -=?=?-≥?，求数列的通项.

3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在：1()(2)n n a a f n n --=≥的关系，可用“累加法”求通项.

4、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：

1

()(2)n

n a g n n a -=≥的关系，可用“累乘法”求通项. 5、构造法：(见下一讲) 【方法讲评】

方法一 归纳法

使用情景 已知数列的首项和递推公式 解题步骤

观察、归纳、猜想、证明.

【例1】在数列{n a }中，16a =，且1

11n n n a a n n

---=++*(,2)n N n ∈≥， （1）求234,,a a a 的值；

（2）猜测数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.

【点评】（1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明.（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明，二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法.

【反馈检测1】在单调递增数列{}n a 中，11a =，22a =，且21221,,n n n a a a -+成等差数列，22122

,,n n n a a a ++成等比数列，1,2,3,

n =．

（1）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式（将n a 用n 表示）；

（3）设数列1{}n a 的前n 项和为n S ，证明：42

n n S n <+，n *∈N ．

方法二

公式法

使用情景

已知数列是等差数列或等比数列或已知)(

)(n f S a f S n n n ==或.

解题步骤

已知数列是等差数列或等比数列，先求出等差（比）数列的基本量1,()a d q ，再代入

等差（比）数列的通项公式；已知)()(n f S a f S n n n ==或的关系，可以利用项和公式

11(1)(2)n n

n S n a S S n -=?=?-≥?，求数列的通项. 学科*网

【例2】已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足21=a ，对一切*∈N n 都有2

32

1++=+n S S n n 成立，设n a b n n +=．

（1）求2a ；（2）求证：数列{}n b 是等比数列； （3）求使

81

40

11121>+???++n b b b 成立的最小正整数n 的值．

【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项. 【反馈检测2】已知等比数列{n a }中，164a =,公比1q ≠,234,,a a a 又分别是某等差数列的第7项，第

3项，第1项.

(1)求n a ；(2)设2log n n b a =,求数列{||}n b 的前n 项和n T .

【例3】数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，12n n a S += ( n ∈N *

),求{n a }的通项公式.

【点评】（1）已知)()(n f S a f S n n n ==或，一般利用和差法.如果已知1()n n S f a +=1()n f a -或也可 以采用和差法.（2）利用此法求数列的通项时，一定要注意检验1n =是否满足，能并则并，不并则分.

【例4】已知函数x x x f 63)(2

+-= ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，点(,)n n S （n N *∈）在曲线)

(x f y =上.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若1)21

(-=n n b ，6

n

n n b a c ?=

，且n T 是数列}{n c 的前n 项和. 试问n T 是否存在最大值？若存在，请求出n T 的最大值；若不存在，请说明理由.

【解析】（Ⅰ）因为点(,)n n S 在曲线)(x f y =上，又x x x f 63)(2

+-=，所以n n S n 632

+-=.

当1n =时，311==S a .

当1n >时，22

1(36)[3(1)6(1)]96n n n a S S n n n n n -=-=-+---+-=-

所以n a n 69-=.

（Ⅱ）因为1

11

(96)()1112(),(32)()2662

n n n n n n n n b c a b n ---====- ①所以 231111

(1)()(3)()(32)(),2222n n T n =+-+-++- ②

234111111

()(1)()(3)()(32)(),22222

n n T n +=+-++-++- ③ ②－③得 132)21

)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T

112)21)(23(211]

)21(1[)21()2(21+-----=-+=n n n .

整理得1)2

1

)(12(-+=n n n T ， ④

方法一 利用差值比较法

由④式得1)2

1)(32(11-+=++n n n T ，所以

111111(23)()(2

1)()[(23)()(21)]()

2222

3111[(21)]()()().

2222

n

n n n n n n

T T n n n n n n n ++-=+-+=+-+=+-+=-

因为1≥n ，所以

02

1

<-n . 又0)2

1(>n ，所以01<-+n n T T 所以n n T T <+1，

所以 >>>>>>+1321n n T T T T T . 所以T n 存在最大值11.2

T =

方法三 利用放缩法

由①式得0)2

1)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++n n n n n c ，又因为n T 是数列}{n c 的前n 项和， 所以n n n n T c T T <+<++11. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T 所以n T 存在最大值2

11=

T . 【反馈检测3】已知数列{n a }的前n 项和1412

2333

n n n S a +=-?+(1,2,3,4n =???)，求{n a }的通项公式.

方法三

累加法

使用情景

在已知数列中相邻两项存在：1()

(2)n n a a f n n --=≥的关系

解题步骤

先给递推式1()

(2)n n a a f n n --=≥中的n 从2开始赋值，一直到n ，一共得到1n -个

式子，再把这1n -个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项.

【例4】已知数列{}n a ，{}n b ，11=a ，112--+=n n n a a ，1

11

+-+=n n n n a a a b ，n S 为数列{}n b 的前n 项和，n

T 为数列{}n S 的前n 项和.

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）求证：3

12->n T n . 【解析】（1）法一：112--+=n n n a a 112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=∴--- ，

122

121122

2

2

1

-=--=++++=--n n

n n

【点评】（1）本题11n n a a n --=-，符合累加法的使用情景1()(2)n n a a f n n --=≥，所以用累加法求数列的通项.（2）使用累加法时，注意等式的个数，是1n -个，不是n 个.

【反馈检测4

】已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式.

方法四 累乘法

使用情景

若在已知数列中相邻两项存在：

1

()(2)n

n a g n n a -=≥的关系. 解题步骤

先给递推式

1

()(2)n

n a g n n a -=≥中的n 从2开始赋值，一直到n ，一共得到1n -个式子，再把这1n -个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通项.

【例5】已知数列{}n a 满足n n n a a n a a 求,1

,311+==

+

【点评】（1）由已知得

,1

1+=+n n a a n n 符合累乘法求数列通项的情景，所以使用累乘法求该数列的通项.（2）使用累乘法求数列的通项时，只要写出1n -个等式就可以了，不必写n 个等式.

【反馈检测5】 已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式.

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第36讲：数列通项的求法一（归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法）参考答案

【反馈检测1答案】

3

3

a=，

5

6

a=，

4

9

2

a=，

6

8

a=.

①当1

=

n时，

2111

1

a a

?-

==，

2

21

2

2

2

a

?

==，猜想成立；

②假设(1,*)

n k k k N

=≥∈时，猜想成立，即

21

(1)

2

k

k k

a

-

+

=,

2

2

(1)

2

k

k

a

+

=，那么

[]

2

2(1)121221

(1)(1)1

(1)(1)

22

222

k k k k

k k

k k k

a a a a

+-+-

+++

++

==-=?-=,

[]

[]

2

2

22

21

2(1)222

2

(1)(2)

(1)1

(2)

2

22

(1)

2

k

k k

k

k k

k

a k

a a

a k

+

++

++

++

+

=====

+

∴1

+

=k

n时，猜想也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的*

n N

∈，猜想成立．

∴当n为奇数时，

8

)3

)(1

(

2

1

2

1

2

1

+

+

=

?

?

?

?

?

+

+

+

=

n

n

n

n

a

n

；

当n为偶数时，

8

)2

(

2

1

22

2

+

=

?

?

?

?

?

+

=

n

n

a

n

．

即数列}

{

n

a的通项公式为

?

?

?

??

?

?

+

+

+

=

为偶数

为奇数

n

n

n

n

n

a

n

,

8

)2

(

,

8

)3

)(

1

(

2

．

（方法2）由（2）得???

?

??

?

+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)2(8

,)3)(1(812

． 以下用数学归纳法证明2

4+

S n ，*n N ∈． ①当1=n 时，2

114341111+?=<==

a S ； 当2=n 时，2

22

422321111212+?=<=+=+=

a a S ．∴2,1=n 时，不等式成立． ②假设)2(≥=k k n 时，不等式成立，即2

4+

S k ， 那么，当k 为奇数时，

2

1

1)3(8

241+++<

+

=++k k k a S S k k k 2

2)3)(2(83)1(431)3(2243)1(4++-++=??

????++-++++++=

k k k k k k k k k k k 2)1()

1(4+++

)

4)(2(8

2411

1+

+++<

+

=++k k k k a S S k k k )4)(3)(2(83)1(431)4)(2(2243)1(4+++-++=??

????++-+++++++=

k k k k k k k k k k k k k

2

)1()

1(4+++<

k k ．∴1+=k n 时，不等式也成立．

综上所述：42

n n

S n <

+ 【反馈检测2答案】（1）1164()2n n a -=?；(2) n T =??

???

>+--≤-).

7(212)6)(7(),7(2)13(n n n n n n .

【反馈检测3答案】42n n

n a =-

【反馈检测4答案】3 1.n

n a n =+-学科*网

【反馈检测4详细解析】由1231n n n a a +=+?+得1231n

n n a a +-=?+则

11232211

()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+1221(231)(231)(231)(231)3n n --=?++?++

+?++?++12212(3333)(1)3n n n --=++

+++-+

13(13)2(1)313

n n --=+-+-3313n n =-+-+31n n =+- 所以3 1.n n a n =+-

【反馈检测5答案】(1)1

2

32

5

!.n n n n a n --=???

【反馈检测5详细解析】因为112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则

1

2(1)5n n n

a n a +=+， 故1

32

112

21

n n n n n a a a a a a a a a a ---=

???

?? 1221[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]3

n n n n --=-+-+??+?+??1(1)(2)21

2[(1)32]53n n n n n --+-+

++=-?

????

(1)1

2

32

5!n n n n --=???

所以数列{}n a 的通项公式为(1)1

2

32

5

!.n n n n a n --=???

高中数学常见题型解法第36招 归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法

【知识要点】 一、数列的通项公式 如果数列{}n a 的第n 项n a 和项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即()n a f n =.不是每一个数列都有通项公式.不是每一个数列只有一个通项公式. 二、数列的通项的常见求法：通项五法 1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据n a 与项数n 的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明. 2、公式法：若在已知数列中存在：)0(,)(1 1≠==-++q q a a d a a n n n n 或 常数的关系，可采用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在：)()(n f S a f S n n n ==或的关系， 可以利用项和公式11(1) (2)n n n S n a S S n -=?=?-≥?，求数列的通项. 3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在：1()(2)n n a a f n n --=≥的关系，可用“累加法”求通项. 4、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在： 1 ()(2)n n a g n n a -=≥的关系，可用“累乘法”求通项. 5、构造法：(见下一讲) 【方法讲评】 方法一 归纳法 使用情景 已知数列的首项和递推公式 解题步骤 观察、归纳、猜想、证明. 【例1】在数列{n a }中，16a =，且1 11n n n a a n n ---=++*(,2)n N n ∈≥， （1）求234,,a a a 的值； （2）猜测数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.

【点评】（1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明.（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明，二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法. 【反馈检测1】在单调递增数列{}n a 中，11a =，22a =，且21221,,n n n a a a -+成等差数列，22122 ,,n n n a a a ++成等比数列，1,2,3,n =L ． （1）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式（将n a 用n 表示）； （3）设数列1{}n a 的前n 项和为n S ，证明：42 n n S n <+，n *∈N ． 方法二 公式法

第36招归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第36讲： 数列通项的求注一(归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法) 【知识要点】 一、数列的通项公式 如果数列〈an ?的第n 项a n 和项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列 的通项公式.即a . = f (n).不是每一个数列都有通项公式 .不是每一个数列只有一个通项公式 二、数列的通项的常见求法：通项五法 1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据 的通项公式，最后再证明. 2、公式法：若在已知数列中存在： a n 1 -a n = d(常数)或a n 1二q,(q = 0)的关系，可采用求等差数列、 a n 等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在： S n 二f (a n )或S n 二f(n)的关系, $ (n =1) 可以利用项和公式 a= ，求数列的通项. n IS n —S n 』(n >2) 3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在： a n - a n 』二f (n) (n _ 2)的关系，可用“累加法”求通项 5、构造法：(见下一讲) * 【例 1】在数列｛a n ｝中，ai =6，且 a n - a n4 心5 1 (n ，N , n - 2)， n (1)求 a 2 ,a 3, a 4的值; (2)猜测数列｛ a n ｝的通项公式，并用数学归纳法证明 【解析】 ⑴ ^-12^=20^ = 30 a n 与项数n 的关系，猜想数列 4 、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在: a n =g( n)( n 一2)的关系, 可用“累乘法”求通项 a n J

方法 累加法与累乘法

方法1：累加法与累乘法 A组 1.☆[累加法] 设数列{a n}中，a?＝2，a n+1＝a n＋n＋2，则通项a n＝． 2.◇设数列{a n}中，a?＝3，a n＝a n-1＋2n，则通项a n＝． 3.◇(2010辽宁卷T16) 已知数列{a n}满足a?＝33，a n+1－a n＝2n，则a n n的最小值为． 4.◇(2011四川卷T8) 数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n＝a n+1－a n (n∈N*)．若b?＝－2，b10＝12，则 a8＝．

5. ◇(2015江苏卷T11)[累加法＆裂项相消法] 设数列{a n }满足a ?＝1，且a n +1－a n ＝n ＋1 (n ∈N *)，则数列{1 a n } 前10项的和为 ． 6. ◇数列{a n }满足a ?＝1，且对任意的m , n ∈N *，都有a m +n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1 a ?＋1 a ?＋1 a ?＋…＋1 a 2012＝ ． 7. ◇已知数列{a n }中，a ?＝p ，a ?＝q ，且a n +2－2a n +1＋a n ＝d ，求数列{a n }的通项公式． 8. ☆[累乘法] 已知数列{a n }中，a ?＝2，满足a n +1＝n ＋2 n a n ，求数列{a n }的通项公式．

9.◇已知数列{a n}中，a?＝5，满足a n＝(1＋1 n)a n-1，求数列{a n}的通项公式． 10.◇已知数列{a n}中，a?＝1 3 ，满足a n+1＝(1 3 ＋2 3n)a n，求数列{a n}的通项公式． 11.◇在数列{a n}与{b n}中，a?＝1，b?＝4，数列{a n}的前n项和S n满足nS n+1－(n＋3)S n＝0，2a n+1为b n与b n+1的 等比中项，n∈N*． ⑴求a?, b?的值； ⑵求数列{a n}与{b n}的通项公式．

数列之累加法与累乘法老师专用

n a ． 2 n (n ＋3) 经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a n ＝ (n ≥2) ． 2 ＝ 2 ＝ 2 n 2＋3n －4 n 2＋3n n (n ＋3) ∴ a n ＝a ?＋ ， n 2＋3n －4 2 ×(n －1)＝ 2 (n ＋1)＋ 3 ＝ 解析：由已知得 a n +1－a n ＝n ＋2，于是有 a n －a ? ＝(a n －a n -1)＋(a n -1－a n -2)＋(a n -2－a n -3)＋……＋(a ? －a ?) n n n ∴ a n ＝a ?＋(n ＋2)(n －1)＝3＋(n ＋2)(n －1)＝n 2＋n ＋1 (n ≥2)． 经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a ＝n 2＋n ＋1． ×(n －1)＝(n ＋2)(n －1)． 2 2n ＋4 ＝ 解析：由已知得 a n －a n -1＝2n ，于是有 a n －a ? ＝(a n －a n -1)＋(a n -1－a n -2)＋(a n -2－a n -3)＋……＋(a ? －a ?) n n n 数列之累加法与累乘法 老师专用 1. ☆[累加法] 设数列{a n }中，a ?＝2，a n +1＝a n ＋n ＋2，则通项 a n ＝ ． 2. ◇设数列{a n }中，a ?＝3，a n ＝a n -1＋2n ，则通项 a n ＝ ． 3. ◇(2010 辽宁卷T16) 已知数列{a n }满足 a ?＝33，a n +1－a n ＝2n ，则a n 的最小值为 ． 4. ◇(2011 四川卷T8) 数列{a n }的首项为 3，{b n }为等差数列且 b n ＝a n +1－a n (n ∈N *)．若 b ?＝－2，b 10＝12，则a 8＝ ． 5. ◇(2015 江苏卷T11)[累加法＆裂项相消法] 设数列{a n }满足 a ?＝1，且 a n +1－a n ＝n ＋1 (n ∈N *)，则数列{ 1 } n 为 2 ． n 21 所以a n 的最小21 53 5 33 n ＝ 6 ＋ ＝ 2 ＜ ， 当 n ＝6 时，a 53 4 33 n ＝ 5 ＋ ＝ ； 5 和 6．*/ 当 n ＝5 时，a x ≥2 33，当且仅当 x ＝ 33时取得最小值．最接近 33的两个整数是 x ＋ /*若 x ＞0，x ∈R ，由基本不等式可得 33 ＋n －1， n n 33 ∴ a n ＝a ?＋n (n －1)＝33＋n (n －1)，则 a n 解析：a ?－a ?＝2，a ?－a ?＝4，a 4－a ?＝6，…，a n －a n -1＝2(n －1)， 以上各式左右两边分别相加，得 a n －a ?＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n (n － 1)， b 10－b ? 解析：设{b n }的公差为 d ，则 d ＝ 10－3 ＝2，∴ bn ＝b ?＋(n －3)d ＝2(n －4)，即 a n +1－a n ＝2(n －4)． 则 a ?－a ?＝－6，a ?－a ?＝－4，a 4－a ?＝－2，…，a n －a n -1＝2(n － 5)， 累加得到 a n －a ?＝(－6)＋(－4)＋(－2)＋…＋2(n －5)＝(n － 8)(n －1)， 故 a n ＝3＋(n －8)(n －1)，a 8＝3．

数列通项公式 累乘和累加法 学案

名校学案，高二数学,必修五，数列，拔高训练,优质学案,专题汇编（附详解） 1 专题：求数列的通项公式——累加法和累乘法 学习目标 1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法：累加法和累乘法； 2. 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法； 3. 感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点，体会数学累加思想和累乘思想。 ________________________________________________________________________________ 自学探究：回顾等差、等比数列的通项公式推导过程，完成下列任务。 例：已知数},{n a 其中,, 111n a a a n n +==+ ① 求它的通项n a 。 变题1：把①式改为;11+=+n n a a 变题2：把①式改为;21 n n n a a +=+ 小结1：通过求解上述几个题，你得到什么结论？ 变题3：把①式改为;11n n a n n a += + 变题4：把①式改为;21 n n a a =+ 小结2：通过求解上述2个题，你得到什么结论？ 挑战高考题： 1.(2015.浙江.17）已知数列{}n a 满足n n n a a a 2,211==+，)*∈N n （。 （1）求n a 2.（2008.江西.5）在数列{}n a 中，)11ln(,211n a a a n n ++==+，则=n a （ ）. A.n ln 2+ B.n ln 1-n 2）（+ C.n n ln 2+ D.n n ln 1++ 你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题？ 通过本节课的学习你收获了什么？

谈谈累加法和累乘法的另一种形式

谈谈累加法和累乘法的另一种形式 课本上推导等差数列的通项公式和等比数列的通项公式分别用了累加法和累乘法，在各类考试中也经常出现使用累加和累乘的方法来求通项公式的问题，它们的重要性毋庸置疑．笔者在此给出累加法和累乘法的另一种形式，它使用起来更加简洁明了． 递推关系1()n n a a f n +-=可用累加法求其通项公式： 1 1 1 111 1 ()()n n n k k k k a a a a f k a --+=== -+=+∑∑，2n ≥， 若()(1)()f n g n g n =+-，则1()n n a a f n +-=可以写成1(1)()n n a a g n g n +-=+-，即 1(1)()n n a g n a g n +-+=-，这说明()n a g n -为常数，即1()(1)n a g n a g -=-，由此可求 得2n ≥时的n a ； 递推关系 1 ()n n a f n a +=可用累乘法来求其通项公式： 1 1 1 1111 ()n n n n k k n a a a a f n a --+====∏∏，2n ≥， 若(1)()()g n f n g n += ，则1()n n a f n a +=可以写成1(1) () n n a g n a g n ++=，即 1(1)()n n a a g n g n +=+，这说明 ()n a g n 为常数，即1()(1) n a a g n g =，由此可求得2n ≥时的n a ． 例1：等差数列1n n a a d +-=，将d 改写(1)n d nd +-，则由上可知1n a nd a d -=-，故 2n ≥时1(1)n a a n d =+-，经检验1a 符合上式，故1(1)n a a n d =+-． 例2：等比数列1 n n a q a +=，将q 改写为1n n q q +，则由上可知1n n a a q q =，故2n ≥时11n n a a q -=，经检验1a 符合上式，故11n n a a q -=． 例3：数列{}n a 满足 11 n n a n a n ++= 且11a =，则n a =_____________. 解： 1111n n n n a a a n a n n n +++=?=+，所以111n a a n ==，所以2n ≥时n a n =，经检验1a 符合上 式，故n a n =．

累加法与累乘法

求数列通项公式之累加法 （1）累加法：如果递推公式形式为：()1n n a a f n +-=或)(1n f a a n n +=+，则可利用累加法求通项公式 注意：①等号右边为关于n 的表达式，且能够进行求和 ②1,n n a a +的系数相同，且为作差的形式 ③、具体操作流程之一：若1()n n a a f n +-=， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1：数列{}n a 满足：11a =，且121n n n a a +-=+，求n a 解：121n n n a a +-=+ 累加可得：()2 112221n n a a n --=++ ++- 【关键提示】：是否能利用累加法，首先要看能否将数列的递推公式整理成 ) (1n f a a n n =-+或 例2：已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解： 【变式训练】： 变式1、已知数列{}n a 的首项为1，且n a a n n 21+=+写出数列{}n a 的通项公式. 变式2、在数列{}n a 中，01=a 且 121-+=+n a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。 变式3、已知数列{}n a 满足1=a 变式4、在数列{}n a 中，1=a 变式5、已知数列{}n a 满足1321+?+=+n n n a a ，31=a ，求数列{}n a 的通项公式。

累 乘 法 1、数列}{n a 中，12a =, 1(1)n n na n a +=+ , 求}{n a 通项公式 解：因为1(1)n n na n a +=+ 所以n n a a n n 1 1+= + 则11 -= -n n a a n n (1) . （2） . . . . 1212= a a (n-1) 将上式中的（1）*（2）*………*（n-1）化简得 , 1 n a a n =（n 》2） 所以 n a n 2= （n 》2） 当n=1时满足上式，所以n a n 2= 总结：满足 n 1a a n 与+的比值为常数或者变量的时候都可以采用累乘法 变式1：数列}{n a 中，12a =,32=a ，n n a n na )1(1-=+ , 求}{n a 通项公式 解： 变式2：数列}{n a 中，12a =, n n a n na )2(1+=+ , 求}{n a 通项公式 解： 变式3：已知数列{}n a 中，3 1 1=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。

数列之累加法与累乘法老师专用

n ． 2 n (n ＋ 经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a ＝ (n ≥2)2 ＝ 2 ＝ 2 n 2＋3n －4 n 2＋3n n (n ＋∴ a ＝a ?＋ ， n 2＋3n －4 2 ×(n －1)2 (n ＋1)＋＝ 解析：由已知得 a －a ＝n ＋2，于是有 a －a ? ＝(a －a )＋(a －a )＋(a －a )＋……＋(a ?－a ?) ∴ a ＝a ?＋(n ＋2)(n －1)＝3＋(n ＋2)(n －1)＝n 2＋n ＋1 (n ≥2)． ×(n －1)＝(n ＋2)(n － 2 2n ＋4 ＝ 解析：由已知得 a －a ＝2n ，于是有 a －a ? ＝(a －a )＋(a －a )＋(a －a )＋……＋(a ?－a ?) 数列之累加法与累乘法 老师专用 1. ☆[累加法] 设数列{a }中，a ?＝2，a ＝a ＋n ＋2，则通项 a ＝ ． 2. ◇设数列{a }中，a ?＝3，a ＝a ＋2n ，则通项 a ＝ ． 3. ◇(2010 辽宁卷T16) 已知数列{a }满足 a ?＝33，a －a ＝2n ，则a 的最小值为 ． 4. ◇(2011 四川卷T8) 数列{a }的首项为 3，{b }为等差数列且 b ＝a －a (n ∈N *)．若 b ?＝－2，b ＝12，则a ＝ ． 为 n 21 所以a 的最小值 21 53 5 33 n ＝ 6 ＋ ＝ 2 ＜ 当 n ＝6 时，a 53 4 33 n ＝ 5 ＋ ＝ 5 和 6．*/ 当 n ＝5 时，a x ≥2 33，当且仅当 x ＝ 33时取得最小值．最接近 33的两个整数是 x /*若 x ＞0，x ∈R ，由基本不等式可得 33 ＋n －1， n n 33 ∴ a ＝a ?＋n (n －1)＝33＋n (n －1)，则 a ＝ 解析：a ?－a ?＝2，a ?－a ?＝4，a －a ?＝6，…，a －a ＝2(n －1)， 以上各式左右两边分别相加，得 a －a ?＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n (n －

2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第36讲数列通项的求法一(归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法

第36讲 数列通项的求法一（归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法） 【知识要点】 一、数列的通项公式 如果数列{}n a 的第n 项n a 和项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即()n a f n =.不是每一个数列都有通项公式.不是每一个数列只有一个通项公式. 二、数列的通项的常见求法：通项五法 1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据n a 与项数n 的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明. 2、公式法：若在已知数列中存在：)0(,)(1 1≠==-++q q a a d a a n n n n 或 常数的关系，可采用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在：)()(n f S a f S n n n ==或的关系，可以利用项和公式11(1) (2) n n n S n a S S n -=?=? -≥?，求数列的通项. 3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在：1()(2)n n a a f n n --=≥的关系，可用“累加法”求通项. 4、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在： 1 ()(2)n n a g n n a -=≥的关系，可用“累乘法”求通项. 5、构造法：(见下一讲) 【方法讲评】 【例1】在数列{n a }中，16a =，且1 11n n n a a n n ---=++*(,2)n N n ∈≥， （1）求234,,a a a 的值； （2）猜测数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.

【点评】（1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明.（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明，二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法. 【反馈检测1】在单调递增数列{}n a 中，11a =，22a =，且21221,,n n n a a a -+成等差数列，22122 ,,n n n a a a ++成等比数列，1,2,3,n =L ． （1）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式（将n a 用n 表示）； （3）设数列1{}n a 的前n 项和为n S ，证明：42 n n S n <+，n *∈N ．

高三总复习---数列求通项方法总结已知Sn求an累加法累乘法题型分类整理总结

已知求，这种方法很好辨认，一般式子里都有或、等，题型一般有以下两种：①式子中只含和有关的函数式；②式子中出了含有和有关的函数式以外，还有其他诸如、、、等等。对于第一种题型，在求出后，一般还需对是否相等进行验证；而第二种题型一般则需令取1去求。 1、已知数列满足,则=（ ） 2、已知数列的前项和满足：，且，那么（ ） 3、数列的前项和，则＝（ ） 4、若等比数列的前项之和为，则等于（ ） A ．3 B ．1 C ．0 D ． 5、设等差数列的前项和公式是，求它的前3项，并求它的通项公式。 6、数列的前项和记为， （1）求的通项公式； （2）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求。 7、已知求，（1），求；（2），求。 8、设数列的每一项都不为零，，已知，求通项公式。 9、设数列的前项和为，且对任意正整数，。 （1）求数列的通项公式 （2）设数列的前项和为 10、已知为数列的前项和，点在直线上． （1）若数列成等比，求常数的值； （2）求数列的通项公式； 11、已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。 （1）求数列的通项公式； （2）设，当为何值时，数列的前项和最大？ 12、已知数列的前项和为，。 （1）证明数列为等比数列，并求出通项公式； n S n a n S 1-n S 1+n S n S n n S n n a 1-n a 1-n S 1+n S n a 11S a 与n 1a {}n a n n a S 4 11+=n a {}n a n n S m n m n S S S +=+11=a =10a {}n a n 2 3n S n n -＝n a {}n a 3n n S a =+a 1-{}n a n 253n S n n =+{}n a n ()11,1,211n n n S a a S n +==+≥{}n a {}n b n n T 315T =112233,,a b a b a b +++n T n S n a 422++=n n S n n a 132 +-=n n S n n a {}n a n n a a a a S ++++= 3212)1(4+=n n a S n a {}n a n n S n 4096n n a S +={}n a 2{log }n a n n T n S {}n a n ()n n S a ,n x y 32-={}c a n +c {}n a {}n a n n S 0>λ11n n a a S S λ=+n {}n a 100,01=>λa n 1lg n a ?????? n {}n a n 23,2 n S a =1232n n S S +=+{}n a

高三总复习数列求通项方法总结已知Sn求an累加法累乘法题型分类总结

已知n S 求n a ，这种方法很好辨认，一般式子里都有n S 或1-n S 、1+n S 等，题型一般有以下两种：①式子中只含n S 和有关n 的函数式；②式子中出了含有n S 和有关n 的函数式以外，还有其他诸如n a 、1-n a 、1-n S 、1+n S 等等。对于第一种题型，在求出n a 后，一般还需对11S a 与是否相等进行验证；而第二种题型一般则需令n 取1去求1a 。 1、已知数列{}n a 满足n n a S 4 11+=,则n a =（ ） 2、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：m n m n S S S +=+，且11=a ，那么=10a （ ） 3、数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝（ ） 4、若等比数列{}n a 的前项之和为3n n S a =+，则a 等于（ ） A ．3 B ．1 C ．0 D ．1- 5、设等差数列{}n a 的前n 项和公式是2 53n S n n =+，求它的前3项，并求它的通项公 式。 6、数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥， （1）求{}n a 的通项公式； （2）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T 。 7、已知n S 求n a ，（1）422++=n n S n ，求n a ；（2）132+-=n n S n ，求n a 。 8、设数列{}n a 的每一项都不为零，n n a a a a S ++++=Λ321，已知2)1(4+=n n a S ，求通

数列之累加法与累乘法老师专用

n ． 2 n (n ＋ 经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a ＝ (n ≥2) 2 ＝ 2 ＝ 2 n 2＋3n －4 n 2＋3n n (n ＋∴ a ＝a ?， n 2＋3n －4 2 ×(n －1)2 (n ＋1)＋＝ 解析：由已知得 a －a ＝n ＋2，于是有 a －a ? ＝(a －a )＋(a －a )＋(a －a )＋……＋(a ?－a ?) ∴ a ＝a ?＋(n ＋2)(n －1)＝3＋(n ＋2)(n －1)＝n 2＋n ＋1 (n ≥2)． ×(n －1)＝(n ＋2)(n － 2 2n ＋4 ＝ 解析：由已知得 a －a ＝2n ，于是有 a －a ? ＝(a －a )＋(a －a )＋(a －a )＋……＋(a ?－a ?) 数列之累加法与累乘法 老师专用 1. ☆[累加法] 设数列{a }中，a ?＝2，a ＝a ＋n ＋2，则通项 a ＝ ． 2. ◇设数列{a }中，a ?＝3，a ＝a ＋2n ，则通项 a ＝ ． 3. ◇(2010 辽宁卷T16) 已知数列{a }满足 a ?＝33，a －a ＝2n ，则a 的最小值为 ． 4. ◇(2011 四川卷T8) 数列{a }的首项为 3，{b }为等差数列且 b ＝a －a (n ∈N *)．若 b ?＝－2，b ＝12，则a ＝ ． 为 n 21 所以a 的最小值 21 53 5 33 n ＝ 6 ＋ ＝ 2 ＜ 当 n ＝6 时，a 53 4 33 n ＝ 5 ＋ ＝ 5 和 6．*/ 当 n ＝5 时，a x ≥2 33，当且仅当 x ＝ 33时取得最小值．最接近 33的两个整数是 x /*若 x ＞0，x ∈R ，由基本不等式可得 33 ＋n －1， n n 33 ∴ a ＝a ?＋n (n －1)＝33＋n (n －1)，则 a 解析：a ?－a ?＝2，a ?－a ?＝4，a －a ?＝6，…，a －a ＝2(n －1)， 以上各式左右两边分别相加，得 a －a ?＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n (n －