复变函数论习题集
第一章 复习题
1、 设32z i =--，则arg z =_________________. A) 2ar 3ctg
B) 3ar 2ctg C) 2ar 3ctg π- D) 2
ar 3
ctg π+ 2、设cos cos z i θ=+,则z =____________.
A)1 B) cos θ C)
D) θ
3、设12,w z z w z z =?=+,则1arg w _________ ()2arg Re 0w z ≠ A) = B) ≤ C) < D) ≥
4、设(),,0,1,2,3,4i k k
z re w k θ===则arg k
w
=____________.
A)
B)
25
k θ
π+ C)
25
k θπ
+ D)
22,0,15
k n n θπ
π++=±
5. 若12z iz =,则1oz 与2oz 的关系是__________ A)同向 B)反向 C)垂直 D)以上都不对
6.复平面上三点: 1
34,0,
34i i
+-+,则__________
A)三点共圆 B)三点共线
C)三点是直角?顶点 D)三点是正?顶点 7.简单曲线(即约当曲线)是__________曲线.
A)连续 B)光滑 C)无重点的连续 D)无重点光滑 8.设函数w z =,其定义域E 为1z <,则值域M 为____________. A) 1w < B) [)0,1 C) ()1,1- D) {}
|01,0x yi x y +≤<= 9.函数1
w z
=
将Z 平面上直线1x =变成W 平面上_________ A ）直线 B ）圆 C ）双曲线 D ）抛物线 10. 4
(1)i +=___________
A ）2
B ）2-
C ）4
D ）4-
11.区域12z <<的边界是1z =，2z =，它们的正方向_____________ A ）1z =，2z =都是“逆时针” B ）1z =“顺时针”， 2z =“逆时针” C ）1z =，2z =都是“顺时针” D ）1z =“逆时针”， 2z =“顺时针” 12.极限0
lim ()z z f z →与z 趋于0z 的方式__________________
A ）无关
B ）有关
C ）不一定有关
D ）与方向有关
13.函数238
()8
z f z z +=+的不连续点集为____________
A ）{2,1--±
B ）{}2-
C ）{}2,1±
D ）{2,1-±
14. 5
3
(cos sin )(cos3sin 3)i i e i ?
θθθθ-=+，则?=_________________
A ）2θ
B ）4θ-
C ）4θ
D ）14θ-
15.扩充复平面上，无穷远点∞的ε-邻域是指含于条件_________的点集 A ）z ε< B ）z ε> C ）1
z ε
< D ）1
z ε
>
二、多项选择题：
1.若12z iz =，则12oz z 是______________
A ）锐角
B ）钝角
C ）直角
D ）等腰
E ）正
2.表示实轴的方程是_____________（其中t 是实参数）
A ）Re 0z =
B ）Im 0z =
C ）1
1
z t i -=- D ）
1
2
z t -= E ）3z t = 3.函数2
w z =将Z 平面的曲线_____________变成W 平面上的直线(,)z x iy w u iv =+=+
A ）3z = B) 224x y += C ）22
4x y -=
D ）4xy =
E ）22
9y x -= 4.函数1
()1f z z
=
-在单位圆1z <内______________ A ）连续 B ）不连续 C ）一致连续 D ）非一致连续 E ）解析
5.对无穷远点∞，规定________________无意义
A ）运算∞+∞
B ）运算∞-∞
C ）∞的实部
D ）∞的虚部
E ）∞的幅角 三、填充题：
1.复数z x iy =+，当0,0x y <≥时，其幅角的主值arg z =___________________________
2.
复
数
i z r e θ
=
的n
将方根
k k w ==____________________________________________
3.具备下列性质的非空点集D
称为区域：（1）
__________________________________________
__________（2）_________________________________________________________________ 4.设D 为复平面上的区域，若_____________________________________________________, 则称D 为单连通区域.
5.设E 为一复数集,若_______________________________________________则称在E 上确定了一个单值函数()w f z =.
6.在关系式0
0lim ()()z z f z f z →=中,如果__________________________________就称()f z 在点
0z 为广义连续的.
7.
设12z z i =
=,指数形式:12z z =______________________________________
8. Z 平面上的圆周一般方程可以写成： 其中： 9．考虑点集E 若 ，则称0z 为点集E 的聚点。
10．任一简单闭曲线C 将E 平面唯一地分成C 、()I C 、及()E C 三个点集，它们具有性质：
（1） （2） （3） （4） 四、计算题：
1．解方程：44
0z a += ()0a >
2．将复数：1cos sin i ??-+ （0?π<≤）化为指数形式
3．求函数1
w z =将Z 平面上曲线11z -=变成W 平面上的曲线 4．求复数()111z
w z z
+=≠-的实部，虚部，模.
5．求cos4θ及sin 4θ 用cos4θ与sin 4θ表示的式子
五、证明题 综合题： 1． 设1z =，试证：
1az b b z a
-
-
+=+
2．
设(1n
n n x iy +=-（n
x ，n
y 为实数，n 为正整数）试证：
1114n n n n n x y x y ----=3． 试证：以123,,z z z 为顶点的三角行和以123,,w w w 为顶点的三角形同向相似的充要条件
为：
11223
31101
z w z w z w = 4． 试证：四相异点1234,,,z z z z 共圆周或共直线的充要条件是：
34
141232
:
z z z z z z z z ----为实数 5． 函数()1
1f z z
=
-在单位圆1z <内是否连续？是否一致连续？证明之。 6． 证明：Z 平面上的圆周可以写成：0Az z z z C ββ-
-
-
+++=其中A ，C 为实数，0A ≠且
2
AC β>
第二章 复习题
一、单项选择题：
1．函数()w f z =在点0z 则称()f z 在点0z 解析。 A ）连续 B ）可导 C ）可微 D ）某一邻域内可微 2．函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在点(,)x y 的C R -条件指：
A ）
,u v u v x y y x ????=-=-???? B ）
,u v u v
x y y x ????=-=???? C ）
,v u v u x y y x ????=-=???? D ）,v u v u
x y y x
????==-????
3．函数3
w z =把Z 平面上单位圆在第二象限弧段变成W 平面上单位圆的 象限弧段. A ）第一、二、三 B ）第二、三、四 C ）第三、四、一 D ）第四、一、二 4．函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内有定义，则（1）(,)u x y ，(,)v x y 在区域D 满足C R -条件.（2）,,,x y x y u u v v 在D 连续，是()f z 在区域D 可微的 条件 A ）必要非充分 B ）充分非必要 C ）充分必要 D ）以上都不对 5．指数函数z
e ω=的基本周期为
A ）2π
B ）2i π
C ）i π
D ）π
6．设12,22
i
z i z ==
+，则1ln z 2z （ln z 表示主值） A ）〈 B 〉= C ） 〉 D ）无法比较大小
7．cos(2i A ）≤1 B ）=2 C ）〈2 D 〉2 8．设z x iy =+，则2
z e =
A ）2
z
e
B ）22
x y e
- C ）22
x y e
- D 22
x y e
-
9．2
()f z x iy =-,直线1
:2
L x =-
，则()f z 在 A ）Z 平面上解析 B ）L 上可微 C ）L 上可析 D ）Z 平面上可微 10．以0，1，∞为支点的函数有
A B C D
11．设()f z =
0C 为单位圆，则0arg ()C f z ?=
A ）π
B ）2π
C ）
43π D ）23
π 12．函数z
w e =把Z 平面上实轴变换成W 平面上 A ）负实轴 B ）正实轴 C ）实轴 D ）单位圆 13．一般幂函数i
w z =是 函数
A ）单值
B ）有限的多值
C ）无限多值
D ）以上都不对
14．若()(),,,u x y v x y 在点(),x y 满足C R -条件.则()f z u iv =+在点(),x y A ）可微 B ）不可微 C ）不一定可微 D ）解析 15．复数i
z i =，其幅角主值arg z = A ）2
π
-
B ）
2
π
C ）π
D ）0 二、多项选择题：
1． 函数()f z z -
=在Z 平面上处处 A ）不连续 B ）连续 C ）不可微 D ）可微 E ）解析 2． 函数()()(),,f z u x y iv x y =+在点z 可微，则()f z '= A ）
u v
i x x
??+?? B ）u u i x y ??-?? C ）u v i x y ??+?? D ）v v i y x ??+?? E ）v u i y y ??-??
3． 在Z 平面上任何一点不解析的函数有 A ）2
()f z z
= B ）()Re f z z = C ）22
()f z xy ix y =+
D ）2
2
x iy + E ）3
3
23x iy + 4． 方程ln 2
i
z π=
的解为
A ）z i =-
B ）z i =
C ）2
i z e
π-
=
D ）2i
z e π= E ）z e π
=
5． 复数3i
z i =的幅角Argz 可以是 A ）0 B ）2
π
C ）2π-
D ）2π
E ）2π-
二、填空题：
1若()f z 在点0z 则称0z 为()f z 的奇点。 2．函数()()(),,f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是：（1）
（2） 3．对任意复数z ，若z w
z e e +=，则必有w =
4．根式函数w =
=
5具有这种性质的点：使当 则称此点为多值函数的支点。
6．根式函数w =
只以 及 为支点，以 为支割线，
且在 能分出n 个单值解析分支. 7．()34Ln i --= 8．对一般幂函数a
w z =，
（1）当 a z 是z 的单值函数
（2）当 a z 取 个不同的值 （3）当 a z 是无限多值的
9．函数())w f z
z =，其中12m z z z 互不相同，且12m a a a N +++=
（1）当且仅当 时，k z 是()f z 的支点 （2）当且仅当 时，∞是()f z 的支点
10．由已给单值解析分支的初值1()f z ，计算终值2()f z ，即2()f z = 其中
arg ()c f z ?为
四、计算题： 1．()()()cos sin cos sin x
x f z e
x y y y ie y y x y =-++是否在Z 平面上解析？
如果是，求其导函数。
2．设z x iy =+，试求1Re z e ??
???
3．试求函数()cos 1i -之值
4．试证：在将Z 平面适当割开后，函数()f z =求出在点2z =取负值的那个分支在z i =的值 5． 方程：12tgz i =+
五、证明题 综合题：
1． 如果()f z 在区域D 内解析，试求()if z 在区域D 内也解析
2． 若函数()f z 与()f z 在区域D 内都解析，试证：()f z 在区域D 内必为常数
3． 设()21z
f z z =-，试证：()()Re 0f z z f z ??'>????
()1z <
4． 设()()(),,f z u r iv r θθ=+，i z re θ
=，若(),u r θ，(),v r θ在点(),r θ是可微的，且
满足极坐标的C R -条件：
()11,0u v v u r r r r r θθ
????==>????，则()f z 在点z 可微且()r u v f z i z r r ????
'=+ ?????
5． 设()
333322,0(),00x y i x y z f z x y
z ?-++≠?=?+=?
?
试证：()f z 在原点满足C R -条件，但却不可微 6． 试证：
()f z =
0Re 1≤≤的Z 平面上能分出两个单值解析分支，
并求出割线0Re 1≤≤上岸取正值的那一支在1z =-的值
第三章 复习题
一、单项选择题：
1．如果曲线C 为 则
27C dz
i z π=-?
A ）1z =
B ）2z =
C ）3z =
D ）4z =
2．函数()f z 沿曲线C 有界是()f z 沿曲线C 可积的 条件 A ）充分 B ）必要 C ）充要 D ）以上都不对 3．函数()f z 沿曲线C 连续，则()C
f z dz =?
A ）()C
f z dz ±
? B ）()C
f z dz ? C ）(),C
f z ds ds ?
为弧微分 D ）以上都不对
4．函数()f z 沿曲线C 连续是()f z 沿曲线C 可积的 条件 A ）充分 B ）必要 C ）充要 D ）以上都不是 5．对下列的定义的表达式正确的论断是
A ） 若()()f z g z ≠，则()()C
C
f z dz
g z dz ≠??
B ） 若12c c ≠，则()()12
C C f z dz f z dz ≠??
C ）
()()C C
f z dz f z dz -
=-?
?
D ）C 为围线，则
()0C
f z dz =?
6．设单位圆:1,()C z f z == ，则
()0C
f z dz ≠?
A ）1cos z
B ）256z e z z ++
C ）2
cos z z D ）141
z -
7．设C 为上半单位圆，则
C
z dz =?
（C 为正方向）
A ）0
B ）i π
C ）2-
D ）2i
8．设区域D 的边界是围线C ，()f z 在D 内解析，在D D C =+上连续，
()00,5
z D f z π
∈=
，则
()
C
f d z ???=-?
A ）5
π
B ）225i π
C ）225π
D ）110i
9．设:2C z =，则()
2221
1C
z z dz z -+=-? A ）3 B ）6i π C ）0 D ）4i π
10．设1:12
C z +=，则2sin
41C z
dz z π
=-?
A
i B
）i - C
i D ）2i π 11．若方程()0f z z -=有实根1，且()f z 是有界整函数，则(1)f i += A ）1 B ）2 C ）1i + D ）2i +
12．设函数()f z u iv =+在区域D 内解析，则在区域D 内 A ）u 必为v 的共轭调和函数 B ）u 与v 互为共轭调和函数 C ）v 必为u 的共轭调和函数 D ）A 、B 、C 皆不对
13．如果u 、v 是区域D 内任意的两个调和函数，则函数()f z u iv =+在D 内 A ）解析 B ）不解析 C ）不一定解析 D ）以上皆不对
14．在下列个式中可作为某区域D 内解析函数()f z u iv =+的实部(,)u x y 有 A ）2
u x = B ）2
2
u x y =- C ）2
2
u x y =+ D ）2
u y = 15．设()f z 为有界整函数，C 为1z =，则
()C
f z
dz z
?
()2
C
f z dz z
A ）>
B ）≥
C ）≤
D ）不能确定
二、多项选择题
1． 设C 是绕i 一周的围线，则cos i = A ）
cos 2C i d i ??π?-? B ）cos 2C i
d i ?
?π?--? C ）()3
1cos C d i i ??π?-? D ）
()
3
1
cos C
d i ?
?π
?-? E ）
()
21cos 2C d i i ?
?π?-? 2．设围线:1C z =，则当()f z = 时，()0C
f z dz =?
A ）
1cos z B ）1sin z C ）2126z z -- D ）31
8
z + E ）2121z + 3．下列论断中，有 是不正确的（其中D 为围线C 围成的区域）
A ）()f z 在D 内有奇点，则()0C
f z dz ≠?
B ）()f z 在
C 上有奇点，则
()0C
f z dz ≠?
C ）()f z 在
D 内解析，则
()0C
f z dz =?
D ）()f z 在D 内解析，在D D C =+上连续，则()0C
f z dz =?
E ）()f z 在D D C =+内解析，则
()0C
f z dz =?
4．设函数()f z 在D 内解析，则()f z '在D 内
A ）存在但不一定连续
B ）不一定存在
C ）存在且连续
D ）可微
E ）解析 5．设,u v 为调和函数，且u 是v 的共轭调和函数，则 A ）
u v x y ??=?? B ）u v x y ??=-?? C ）u v y x
??=?? D ） u v y x ??=-?? E ）u v
y y ??=-?? 三、填空题：
1． 若()(,)(,)f z u x y iv x y =+沿曲线C 连续，则()C
f z dz =?
2． 设a 为围线C 内部一点，n 为整数，则
()
n
C
dz
z a -------
?=?-------
-?? 3． （积分估值）沿曲线C ，()f z 连续，则
()C
f z dz ≤?
其中 、
4． 设C 是一条围线，D 为C 之间内部区域，()f z 在D 内 ，在
D D C =+上 ，则()C
f z dz =?
5． 设()f z 在单连通区域D 内解析，则函数0
()()z
z F z f d ??=?
，在D 内 ，
且
6． 设区域D 的边界是围线C ，()f z 在D 内解析，在D D C =+上连接，则函数()f z 在D 内有各阶导数且有()
()n f
z =
7． 如果二元函数(,)H x y 在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足 则称
(,)H x y 为区域D 内的调和函数
8． 设是(,)u x y 是在单连通区域D 内的调和函数，则存在由积分确定的
(,)v x y = ，使()u vi f z +=是D 内的解析函数
9． 设:C z =2371
()C f z d z
????++=-?，则(1)f i '+=
10．设()f z 在D 内解析，a D ∈，圆周:r a R ?-=，只要 则有柯西不等式()
()n f
a ≤ ，其中：
四、计算题： 1．求积分
220
(281)a
z z d z
π++?
之值，其中积分路径是连续0到2a π的摆线(s i n ),(1c o
s x a y a θθθ=-=- (0)a 2． 计算积分
2sin
41
C
z
dz z π
-?
，其C 为一条围线，讨论之 3． 求满足下列条件的解析函数2
2
(),,()1f z u iv u x xy y f i i =+=+-=-+
4． 设()f z 在1z 内解析，在闭圆1z ≤上连续，有(0)1f =，求积分：
1112()22z dz
z f z i z z π=????±+ ???
?
???? 5． 计算积分
4cos ()C z
dz z i -?，其中C 绕i 一周的围线
五、证明题 综合题： 1． 由积分
2C
dz
z +?
之值（其中C :1C z =），证明：012cos 054cos d πθθθ
+=+?
2． 设()f z 在区域D 内解析，试证：2222
22()4()f z f z x
y ????'+=??????
3． 设（1）()f z 在1z ≤上连续 （2）对任意的(01),()0z r
r r f z dz ==?
试证：
1
()0z f z dz ==?
4． 设在区域arg 2D z z π??
=???
?
内的单位圆周1z =上任何一点z ，用D 内曲线C 连接0
与z ，求：2Re
1C dz z +?
5． 已知2
2
()(2)2()u v x y x xy y x y +=-++-+，试确定解析函数：()f z u iv =+
第四章 复习题
一、单项选择题： 1． 复级数
1
1
()n n
n n n a a
ib ∞∞
===+∑∑收敛的充要条件是：
A ）0n a →
B ）
1
n
n a
∞
=∑收敛 C ）实级数
1
n
n a
∞
=∑及
1
n
n b
∞
=∑皆收敛
D ）实级数
1n
n a
∞
=∑及
1
n
n b
∞
=∑至少有一个收敛
2． 复级数1n
n i n
∞
=∑
A ）条件收敛
B ）绝对收敛
C ）发散
D ）以上都不是 3． 设()(1,2)n f z n = 定义于区域D 内，若级数
1
()n
n f
z ∞
=∑在D 内 上一致收
敛，则称此级数在D 内，内闭一致收敛
A ）一个有界开集
B ）任一有界开集
C ）一个有界闭集
D ）任一有界闭集 4．复级数在区域D 内一致收敛是复级数在D 内，内闭一致收敛的 条件 A ）必要 B ）充分 C ）充要 D ）无法确定的
5．幂级数12
n
n n nz ∞
=∑的收敛半径R =
A ）0
B ）1
C ）2
D ）
12
6.幂级数1
1,,1
n n
n n n n c z c z nc z n +-∑∑
∑∑+的收敛半径分别为,,r R ρ，则 A ）r R ρ<< B ）R r ρ<< C ）r R ρ<< D ）r R ρ== 7.幂级数n
n c z ∑在点a 收敛，在点b 发散，其收敛半径为R ，则 A ）a R b << B ）a R b ≤< C ）a R b <≤ D ）a R b ≤≤ 8.一个收敛的幂级数的和函数在其收敛圆周上____________奇点. A ）没有 B ）有一个 C ）至少有一个 D ）有无限多个
9.函数2
2
2()sin 6
z f z z z =--的零点0z =是________级零点. A ）2 B ）4 C ）6 D ）10
10. a 是解析函数()f z 的m 级零点,又是()g z 的n 级零点,则a 是()()f z g z +的_________
级零点.
A ）(,)min m n
B ）max(,)m n
C ）至少(,)min m n
D ）至多max(,)m n 11.0ln (1)z +在0点展成z 的幂级数,其泰勒系数n C =____________
A ）
1n B ）1!n C ）1(1)n n - D ）11(1)n n
-- 12.在原点解析,而在1
(1,2,)z n n
==???处取___________组的函数()f z ,是存在的
A ）0,1,0,1,0,1,???
B ）111
0,,0,,0,,246
???
C ）111111,,,,,,224466???
D ）12345,,,,,23456
???
13.解析函数()f z 的零点a 满足__________,则称a 为n 级零点. A ）()
()0,()0n f a f
a =≠ B ）()(1)()()()0,()0n n f a f a f a f a +'==???==≠
C ）(1)
()()()0,()0n n f a f a f a f a -'==???==≠
D ）(1)
()()0,()0n n f a f
a f a -==≠
14.求幂级数2491z z z ++++???的收敛半径R 为:______________ A ）n C 不明确,无法求 B ）1
lim n
n n C R C →∞
+= C
）1lim n R →∞
=
D
1R
=
15.在圆:K z a R -<内的解析函数()()
n
n
n f z C z a ∞
→∞
=
-∑,则n C =__________
A ）
1!()2()n n f d i a ζζπζ+Γ-? B ）11()2()n f d i a ζζ
πζ+Γ-?
C ）
(1)!()2()n n f d i a ζζπζΓ--? D ）1()2()
n f d i a ζζ
πζΓ-? (其中:,0z a r r R Γ-=<<)
二、多项选择题
1.一个幂级数在其收敛圆周上可能____________________
A ）处处发散
B ）既有收敛点,又有发散点
C ）处处收敛
D ）处处绝对收敛
E ）和函数没有奇点
2.设在区域D 内解析函数1()f z 及2()f z 在D 内______________________相等,则1()f z 和
2()f z 在D 内恒等.
A ）一个点列{}n z 上
B ）某一子区域上
C ）某一小段弧上
D ）某一个线段
E ）一个收敛于a 的点列{}n z (n z a ≠)
3.设()f z 在2z <内解析,且不恒等于常数,则()f z 在点______________不能达到最大值.
A
）12+
B
）1 C
）1 D
E
）12
+ 4.幂级数21n
n z n
∞
=∑在闭圆1z ≤上_________________
A ）收敛
B ）条件收敛
C ）绝对收敛
D ）一致收敛
E ）对有些点收敛,有些点发散 5.函数2
()(1)z
f z z e =-有零点:_________________
A ）0z =是级零点
B ）0z =是三级零点
C ）2z i π=是一级零点
D ）2z i π=是二级零点
E ）2z i π=是三级零点 二、填充题： 1．如果幂级数
()
n
n n c z a ∞
=-∑在某点1()z a ≠收敛，则它必在圆________内_______收敛.
2．（W e i e r s t r a
s s 定理）设(1)()
(1,2,)n f z n = _____________
(2)
1
()n
n f
z ∞
=∑_____________()f z ；1
()()n n f z f z ∞
==∑
则(1)()f z __________________________, (2) ________________________________.
3. ()f z 在区域D 内解析的充要条件为__________________________即泰勒级数.
4. (Taylor 定理)设()f z 在区域D 内解析, a D ∈,只要圆:K z a R -<含于D ,则
()f z 在K 内可展成幂级数0
()()n n n f z c z a ∞
==-∑其中n c =_______(________)
且_______________.
5. (1)Ln z +的各支的展式为ln (1)k z +=____________(__________________).
6. 设2
11n
n n c z z z ∞
==--∑, 则
(1)系数递推式: n c =______________; 7c _________________;
(2)收敛半径R ____________, 收敛圆为_________和函数奇点为______________. 7.不恒为零的解析函数()f z 以a 为m 级零点的充要条件为__________________________, 其中______________________________
8.设(1)函数1()f z 和2()f z 在区域D 内解析,(2) D 内有__________________在其上1()f z 和
2()f z 等值,则1()f z 和2()f z 在D 内恒等.
9.设()f z 在D 内解析,则()f z 在____________________________最大值除非()f z 在D 内_______________________________,(________________)
10.
=
=_____________________,(_____________). 四、计算题： 1． 将函数2
1
()(1)f z z =
-展开为z 的幂级数，并求展式成立的范围
2． 将函数sin z 按1z -的幂展开，并指明收敛的范围 3． 求幂级数
224821
n
n n Z
z z z z ∞
==+++++∑ 的收敛半径
4． 求函数2
()(cos 1)f z z z =-的零点及其级别 5． 求z
e 在闭圆01z z -≤上的最大值 五、证明题 综合题： 1．设0
1
()(0)n n
n f z a z a ∞
==
≠∑的收敛半径0R >，且max ()()z p
M f z p R ≤=<试证：在圆
00a z a M
ρ<
+内()f z 无零点
2．设z R <内解析的函数()f z 有泰勒展式：0
()n
n n f z a z
∞
==
∑.试证:当0r R
≤<时,
2
22
20
1()2i n n n f re d a r π
θ
θπ
∞
==∑?
3.试证:当01z <<时,
217144
z e z <-< 4.设()f z 是一个整函数,且假定存在一贯正整数n ,以及两个正数R 与M ,使当z R
≥
时,()n
f z M z ≤,试证明: ()f z 是一个至多n 次的多项式或一常数. 5.写出ln(1)z
e z +的幂级数展式至含5z 项为止,其中0
ln(1)0z z =+=
第五章 复习题
一单项选择题:
1. 函数
sin z
z
在0z <<+∞的罗朗展式的罗朗系数2C -,2C 分别为 A)3!,13!B)0, 1
3!
C) 3!,0D) 0,13!-
2.0z =为函数21cos ()(1)
z z
f z z e -=
-的
A)零点B)一级极点C)二级极点D) 三级极点 3.z =∞ 为函数1()1sin f z z
=
的
A)可去奇点B)m 级极点C)本性奇点D)非孤立奇点
5.()f z 在1z <内解析且()1(1)f z z <<,(0)0f =,则在1z <内恒有()f z
,且(0)f ' 1 A)=,≤B)≥ ,≤C) ≤,≤D) ≤,≥
6.解析函数()f z 的孤立奇点a 的去心邻域{}K a -的罗朗级数()
n
n
n C z a ∞
=-∞
-∑的主要部分
为 A)
1
()
n
n
n C z a ∞
=-∑B)
()
n
n
n C z a ∞
=-∑C)
1
()
n
n
n C z a -∞
=-∑D)
()
n
n
n C z a ∞
-=-∑
7.z a =分别为()f z ,()g z 的m 级与n 级极点()m n ≠,则z a =是()()f z g z +的
级极点.
A)m n +B)m n C)min(,)m n D)max(,)m n
8.()f z 的孤立奇点a 为本性奇点的充要条件是 A)lim ()0z a
f z →=B)lim ()z a
f z →C)lim ()()z a
f z b →=≠∞D)lim ()z a
f z →=∞
9.若0z =是()f z 的三级极点,则∞是1
()f z
的 A)三级极点B)三级零点C)可去奇点D)本性奇点
10.设0z =是不恒为另的函数()f z 的孤立奇点,且有趋于0的无穷点列使()0n f z =则
0z =是()f z 的
A)零点B)可去奇点C)极点D)本性奇点
11.∞是函数()tan f z z =的 A)极点B) 非孤立奇点C) 本性奇点D) 可去奇点
12.函数()f z = 在1z =的去心邻域内不能展成罗朗级数. A)1sin
1z -B) 1sec 1z -C)1(1)z z -D)tan(1)
1
z z -- 13.整函数()f z 的孤立奇点个数 个 A)只有一个B)至少一个C)没有D)无法确定 14.亚纯函数的孤立奇点只能是 A) 可去奇点B)极点C) 本性奇点D) 非孤立奇点 15. ()f z 在无穷远点去心邻域内的罗朗展式:()n
n
n f z b z
∞
=-∞
=
∑的主要部分为
A)
1
n
n
n b z
-∞
=-∑B)
n
n n b z
-∞
=∑C)
1
n
n n b z
∞
=∑D)
n
n n b z
∞
=∑
二、多项选择题: 1.1
()(1)(2)
f z z z =
--可以在区域 展开罗朗级数
A)1z < B)12z << C)2z <<+∞ D)011z <-< E)021z <-< 2.0z =是函数()f z = 的本性奇点.
A) 1z
e B)
11sin z
C) 1cos
z D) 1sin z E) 21cos z z
- 3.0z =是函数()f z = 的本性奇点.
A)B)C)D)E) A)
1sin cos z z +B)ctgz C)tan z D)11z e +E)1cos
z 4.设1
()sin f z z
=存在着收敛于0的点列{}n z ,使0lim ()n n z f z →=
A ∞)B)0C)1D)2E)3
5.函数()f z = 为整函数. A)常数0C B)sin z C)az b +D)az b
cz d
++E)tan z 三、填充题：
1．在圆环H （ ）内解析的函数()f z 可展成双边幂级数
()()
n
n
n f z C z a ∞
=-∞
=
-∑，其中n C = ，Γ为
2．如果a 为()f z 的可去奇点，则有：
（1） (2) (3)
3．若z a =为()f z 之一本性奇点，且在 则z a =必为
1
()
f z 的 4．（Weierstrass 定理）如果a 为()f z 的本性奇点，则任何常数A ， ，使得lim ()n n z a
f z A →=
5．如果z =∞为()f z 的m 级极点的充要条件是下列三条中任何一条成立 （1） （2） （3） 6．若()f z 为一整函数，则z =∞为()f z 的（1）
可去奇点（2）m 级极点（3）本性奇点的充要条件分别为：（1） （2） （3） 7．函数()f z 为有理数的充要条件为
8．()f z ，()g z 分别以z a =为m 级极点与n 级极点，则z a =为
()
()
f z
g z 的 ()m n >， ()m n <， ()m n = 9．函数23
1
()()
f z z i =
+的奇点有：z = ，各为 ，z = 为
10．函数1
()1
z f z e =-的奇点有：z = ，各为 ，z =
为 四、计算题 1．求函数tan ()z
f z z
=的奇点 2．求函数1
()(1)(2)
f z z z =
++在五种不同区域（1）1z <（2）
12z <<（3）011z <+<（4）021z <+<（5）2z <<∞的罗朗展式
3．将2
()(1)z e f z z z =+在圆环01z <<内展为罗朗级数，（只要含1z 到2
z 各项） 4将函数22
25
()(2)(1)
z z f z z z -+=-+在圆环01z <<内展为罗朗级数 5求函数11
()1z f z e z
=
-
-的奇点及其类别 五、证明题 综合题：
1．试证：()f z 是单叶整函数的充要条件为：()(0)f z az b
a =+≠
2．试证：在扩充Z 平面上只有一个一级极点的解析函数()f z 必有如下形式：
()az b
f z cz d
+=
+，0ad bc -≠ 3．()f z ，()g z 分别以z a =为m 级极点与n 级极点，试问a 为()()f z g z +，()()
f z
g z 及
()
()
f z
g z 的什么点/讨论之 4．求函数11()z
f z e
-=在∞点邻域(1)z <<+∞的罗朗展式至含5
z 为止
5．设C 是一条围线，区域D 是C 的外部（含点∞），()f z 在D 内解析且连续到C ；又设
复变函数试题与答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
复变函数与积分变换习题答案
习题六 1. 求映射1 w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2222 11i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221 x x u x y ax a = ==+, 所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y = =-++ 22 2222 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1 w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0
复变函数论第三版课后习题答案
第一章习题解答 （一） 1 ．设2z =z 及A rcz 。 解：由于32i z e π- = 所以1z =，2,0,1,3 A rcz k k ππ=- +=± 。 2 ．设1 21z z = = ，试用指数形式表示12z z 及 12 z z 。 解：由于6 4 12,2i i z e z i e π π - += == = 所以( )646 4 12 12222i i i i z z e e e e π π π π π - - === 54( )14 6 12 2 6 112 2 2i i i i z e e e z e π ππππ+ - = = = 。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+= ===。 4．证明2 2 2 1212 122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212 122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 121 2 122R e () z z z z z z -=+- 所以2 2 2 12 12122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0 321=++z z z , 1 321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于 1 321===z z z ，知 3 21z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 3 1z z z == ()[]()[]2 12322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 2 1212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 2 1z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()3 22121=+-=z z z z
《复变函数论》试卷一
《复变函数论》试卷一 一、填空（30分） 1. 将复数()πααα≤≤+-=0sin cos 1i z 化为三角表示式，则=z 把它化为指数表示式，则=z 2.=+i e π3 ，()i i +1的辐角的主值为 3. =z 0是()44sin z z z f =的 阶零点. 4.0z 是()z f 的()1>m m 阶零点，则0z 是 () z f '1 的 阶极点. 5.已知()()2323cxy x i y bx ay z f +++=为解析函数， 则___________________===c b a 6.方程0273=+z 的根为 ， ， 二、简要回答下列各题（15分） 1. 用复数i 去乘复数i +1的几何意义是什么？ 2. 函数()z f 在0z 解析有哪几个等价条件？ 3. 设函数()z f 在单连通区域D 内处处解析，且不为零，C 是D 内的任一简 单闭曲线，问积分()() dz z f z f c ? '是否等于零，为什么？ 三、计算下列积分（16分） 1. c zdz ?，c 是从点1i -到点1i +的有向直线段 2. 20 2cos d πθ θ +? 四、（12分） 求函数() 1 1z z +在圆环112z <-<内的洛朗级数展开式.
五、（12分） 证明方程24290z z ++=在单位圆1z =内及其上无解. 六、（15分） 求映射，把带形区域0Re 2z <<共形映射成单位圆1w <，且把1z =映 射成0w =，把2z =映射成1w =. 《复变函数》试卷二 一、填空题（20分） 1. －2是 的一个平方根 2. 设2 1i z --= ，则，=z Argz ＝ =z Im 3. 若2 2z z =，则θi re z =满足条件 4. =z e e ，() =z e e Re 5. 设1≠=θi re z ，则()=-1ln Re z 6. 设变换βαβα,,+=z w 为复常数，则称此变换为 变换，它是由 等三个变换复合而成. 7. 幂级数∑∞ =1 2n n n z n 的收敛半径=R 8.函数 b az +1 在0=z 处的幂级数展开式为 ，其收敛半径为 9.变换z e W =将区域π< 1．设 z 1 3i ，求 z 及 Arcz 。 解：由于 z 1， Arcz 2k , k 0, 1, 。 3 (z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1) 2 z 1z 2 z 1 z 2 3 第一章习题解 答 (一) 2．设 z 1 i , z 3 1 ，试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1 。 z 2 4 i 6i 1 i i 解：由于 z 1 e 3 4 , z 2 3 i 2e 1 2 2 i i ( )i i 所以 z1z2 e 4i 2e 6i 2e ( 4 6)i 2e 12i i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2 5i 1 1 e 12 。 2 3．解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k i 解： z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4 ,k 0,1,2,3 。 4．证明 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 证明：由于 2 2 z 1 z 2 z 1 2 2 z 2 2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是： z 2 ) 2 2 ，并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 ) 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设 z 1， z 2，z 3三点适合条件： z1 z2 z3 0 z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1，z 2， z 3是内 接于单位 圆 z 1 的一个正三角形的顶点。 证 由于 z 1 z 2 z3 1 ，知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。 因为 所以， z 1z 2 z 1z 2 1 ， 所以 z 1 z 2 第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 已知x 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有 对于复数 ,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式： 黄冈师范学院 2009—2010学年度第二学期期末试卷 考试课程：复变函数论 考核类型：考试A 卷 考试形式：闭卷 出卷教师： 考试专业：数信学院数教 考试班级：数教200701-02班 一、 选择题（每小题4分，共20分） 1、复数i z 45-=，则=2Re z （ ） A 、40 B 、9 C 、-40 D 、-9 2、关于复数z ，下列不正确的是（ ） A 、||2z z z = B 、)Im()Re(iz z = C 、z Argz arg = D 、z z sin )sin(-=- 3、已知xy i y x z f 2)(22+-=，则)(z f ''是（ ） A 、2 B 、y x 22- C 、2z D 、0 4、下列等式中不正确的是（ ） A 、?==0cos 111z dz z B 、02111=?=dz e z z z C 、??=dz z f k dz z kf )()( D 、? =z z e dz e 5、下列级数收敛的是（ ） A 、∑∞ =+1)21(n n i n B 、∑∞=??????+-12)1(n n n i n C 、∑∞=02cos n n in D 、∑∞=+o n n i )251( A 卷 【第 1 页 共 2 页】 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、=-)22(i Arg ____________； 2、函数z e z f =)(是以 _______为基本周期； 3、幂级数∑∞ =12n n n z 的收敛半径R=____________； 4、函数()z z f cos =在0=z 处的泰勒级数是_________ ； 5、计算积分?==1||1 2 z z dz e 二、 判断题（每小题2分，共10分） 1、在几何上，θi re z =与)2(πθk i re z +=表示同一个复角.（ ） 2、当复数z=0时，则有0=z 和0arg =z .（ ） 3、可导函数一定处处连续，连续函数不一定处处可导.（ ） 4、若)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内存在无穷阶导数.（ ） 5、收敛级数的各项必是有界的.（ ） 三、 计算及证明题（8+8+10+12+12，共50分） 1、若0321=z z z ，则复数321,,z z z 中至少有一个为零（8分） 2、已知解析函数iv u z f +=)(的虚部为222121y x v +- =，且0)0(=f ，求)(z f （8分） 3、已知c 为从z =0到z =2+i 的直线段，求?dz z c 2（10分） 4、将z e z -1在0=z 处展成幂级数（12分） 5、将函数2 )(+=z z z f 按1-z 的幂展开，并指出它的收敛范围.（12分） A 卷 【第 2 页 共 2 页】 复变函数论第四版答案钟玉泉 （1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与 xy 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。 （2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到 复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓 的Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。 （3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎 是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。这 个是复分析的第一个重要定理。 （4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可 以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极 点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和 零点极点的性质。与之类似的幅角定理 也展示了类似的关系。 （6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和 Laurent 级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela 定理。 （7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann 映照 定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。 （8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论，是研究Weierstrass 函数的，有经典的 微分方程，以及该函数的性质。 以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍，如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- = 《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 第四章习题详解 1． 下列数列{}n a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1) mi ni a n -+= 11； 2) n n i a -?? ? ? ?+=21； 3) ()11++ -=n i a n n ； 4) 2i n n e a π-=； 5) 21i n n e n a π-= 。 2． 证明：??? ????≠==>∞<=∞→1111110a a a a a a n n ,,,,lim 不存在， 3． 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1) ∑∞ =1n n n i ； 2) ∑∞ =2n n n i ln ； 3) ()∑∞=+0856n n n i ； 4) ∑∞=0 2n n in cos 。 4． 下列说法是否正确？为什么？ 1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； 2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； 3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数。 5． 幂级数()∑∞ =-02n n n z c 能否在0=z 收敛而在3=z 发散？ 6． 求下列幂级数的收敛半径： 1) ∑∞ =1n p n n z （p 为正整数）； 2) ()∑∞=12n n n z n n !； 3) ()∑∞=+01n n n z i ； 4) ∑∞=1n n n i z e π； 5) ()∑∞=-??? ??1 1n n z n i ch ； 6) ∑∞=??? ? ?1n n in z ln 。 7． 如果 ∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ，证明()∑∞=0n n n z c Re 的收敛半径R ≥。[提示：()n n n n z c z c 复变函数 第四、五章 练习 一、 掌握复级数收敛，绝对收敛的判别 1. 判断下列级数是否收敛，是否绝对收敛。 （1）2ln n n i n ∞ =∑ （2）01cos 2n n in ∞=∑ （3）0(1)2n n n n i ∞=+∑ 2.如果级数1n n c ∞=∑收敛，且存在0,,..,|arg |,2n s t c πααα><≤证明级数1n n c ∞ =∑绝对收敛. 二、充分掌握幂级数，及解析函数的泰勒展开式 3. 证明级数11n n n z z ∞ =-∑在||1z ≥上发散；在||1z <内绝对收敛且内闭一致收敛 4. 试证：黎曼函数 11(),(ln 0)z n z n n ζ∞ ==>∑，在点2z =的邻域内可展开为泰勒级数，并求收敛半径。 5.求下列幂级数的收敛半径： （1）0()n n n n a z ∞=+∑ （2）0[3(1)](1)n n n n z ∞=+--∑ （3）(1)0()(1)n n n n i z n ∞ +=-∑ 6.设0n n n a z ∞ =∑的收敛半径为R , 证明：0[Re()]n n n a z ∞=∑的收敛半径大于等于R 。 7．若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，试回答该级数在2=z 处的敛散性。 8.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，求幂级数∑∞=0 n n n z c 的收敛半径。 9. 将函数31()z f z z -= 在点1z =-展成泰勒级数。 10.证明：若1||,2z ≤则2|ln(1)|||z z z +-≤. （这里ln(1)z +取主值支） 三、充分掌握解析函数零点阶数的求法、具有零点的解析函数的表达 式、零点的孤立性、惟一性定理、最大模原理 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y =Θ ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y =Θ ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 656121213 1 3121311+-=-++=??? ??++ … 复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） / ——课后习题答案 习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数． 若z =x ，x ∈，则z x x ==． 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 }{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. . .. . . 资料. 习题一答案 1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1）1 32i +（2）(1)(2)i i i -- （3）131i i i --（4）821 4i i i -+- 解：（1）1323213i z i -== +， 因此：32 Re , Im 1313z z ==-， （2）3(1)(2)1310 i i i z i i i -+=== ---， 因此，31 Re , Im 1010z z =-=， （3）133335122 i i i z i i i --=-=-+= -， 因此，35 Re , Im 32z z ==-， （4）821 41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re 1, Im 3z z =-=， 2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2 ）1-+（3）(sin cos )r i θθ+ （4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤ 解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ .. .. 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+--（4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）2 3 (cos5sin 5)(cos3sin 3) i i ????+- （5 = （6 ） =4． 设12 ,z z i = =-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：1 2cos sin , 2[cos()sin()]4 466 z i z i π π ππ =+=-+-，所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212 i i ππππππ =-+-=+， 5． 解下列方程： （1）5 () 1z i +=（2）440 (0)z a a +=> 解：（1 ）z i +=由此 25 k i z i e i π=-=-，(0,1,2,3,4)k = （2 ）z ==复变函数论第三版课后习题答案解析
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