第四章 随机变量的数字特征
㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置. 1、数学期望的定义
(1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为
{}?????==?∑∞
∞
- d )( )()( ,
,
连续型离散型x x xf x X x X k
k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和.对于离散型变量,若可能值个数无限,则要求级数绝对收敛;对于连续型变量,要求定义中的积分绝对收敛;否则认为数学期望不存在. ①常见的离散型随机变量的数学期望
1、离散型随机变量的数学期望
设离散型随机变量的概率分布为
,若,则称级数为随
机变量
的数学期望(或称为均值),记为
, 即
2、两点分布的数学期望
设服从0—1分布,则
有
,根据定
义,的数学期望为
.
3、二项分布的数学期望
设服从以
为参数的二项分布,,则。
4、泊松分布的数学期望
设随机变
量
服从参数
为的泊松分布,
即
,从而有
。
①常见的连续型随机变量的数学期望
1)均匀分布
设随机变量ξ服从均匀分布,ξ~U [a ,b ] (a
= 则
=
∴ E (ξ)=(a+b )/2. 即数学期望位于区间的中点.
2)正态分布
设随机变量ξ服从正态分布,ξ~N(μ,σ2),它的概率密度函数为:
(σ>0,- <μ<+ )
则
令
得
∴ E(ξ)=μ .
3)指数分布
设随机变量服从参数为的指数分布,的密度函数为
,则.
(2) 随机变量的函数的数学期望设)
(x
g
y=为连续函数或分段连续函数,而X是任一随机变量,则随机变量)
(X
g
Y=的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求,而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望;对于二元函数)
,
(Y
X
g
Z=,有类似的公式:
(){}
?
?
?
?
?=
=
=
?
∑
∞
∞
.
;
(连续型)
离散型
-
d)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
f
x
g
x
X
x
g
X
g
Y
k
k
k
P
E
E
()
(){}()
()()()
?
?
?
?
?=
=
=
=
??
∑∑
∞
∞
-
∞
∞
-
.
;
连续型
离散型
d
d
,
,
,
,
,
y
x
y
x
f
y
x
g
y
Y
x
X
y
x
g
Y
X
g
Z
i j
j
i
j
i
P
E
E
设(,)
X Y为二维离散型随机变量,其联合概率函数(,),,1,2,,
i j ij
P X a Y b p i j
====
如果级数
(,)
i j ij
j i
g a b p
∑∑
绝对收敛,则(,)
X Y的函数(,)
g X Y的数学期望为
[(,)](,)
i j ij
j i
E g X Y g a b p
=∑∑
;特别地
();()
i ij j ij
i i j i
E X a p E Y b p
==
∑∑∑∑
.
设X为连续型随机变量,其概率密度为()
f x,如果广义积分()()
g x f x dx
+∞
-∞
?绝对收敛,则X的函数()
g X的数学期望为[()]()()
E g X g x f x dx
+∞
-∞
=?.
设(,)X Y 为二维连续型随机变量,其联合概率密度为(,)f x y ,如果广义积分
(,)(,)g x y f x y dxdy
+∞+∞-∞
-∞
??
绝对收敛,则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为
[(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy
+∞+∞-∞
-∞
=
??
; 特别地
()(,)E x xf x y dxdy
+∞+∞-∞
-∞
=
??
,
()(,)E Y yf x y dxdy
+∞+∞-∞
-∞
=
??
.
注:求E(X,Y)是无意义的,比如说二维(身高,胖瘦)的数学期望是无意义的,但是二维随机变量函数Z= E(X,Y)是有意义的,他表示的是函数下的另一个一维意义。
2、数学期望的性质
(1) 对于任意常数c ,有c c =E . 例E[E(X)]=E(X) (2) 对于任意常数λ,有X X E E λλ=.例:E(aX+b)=aE(X)+b
(3) 对于任意m
X X X ,,,21 ,有()m m X X X X X X E E E E +++=+++ 2121.
(4) 如果m
X
X X ,,,21 相互独立,则()m
m
X
X X X
X X E E E E 2121=
.(注:相互独立
有后面的结论成立,但这是单向性的,即不能有结论推出独立) ㈡ 方差和标准差 表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征. 1、方差的定义 称2
2
2
)()(X X
X X X E E E E D -=-=
为随机变量X 的方差,称X D =
σ为随机变量X 的标准差.随机变量X 的方差有如下计算公式:
(){}()???????-=-=?∑∞∞
-.;连续型离散型 )( d )( )( 2
2x x f X x x X X x X k k k E P E D (4.3)
2、常见分布的方差
(1)两点分布
设ξ~(0-1),其概率分布为: P (ξ=1)=p , P (ξ=0)=1-p =q (0
设ξ~B (n ,p ), 其概率分布为
:
(k =0, 1, 2,…,n ) (0
,
(此处运用组合数公式
)
=
=,
(运用二项分布的数学期望公式知)
E(ξ2)=np(n-1)p+np ,
∴D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2=np(1-p).
(3)均匀分布
设ξ~U[a, b] ( a< b),它的概率密度函数为:
E(ξ)=(a+b)/2 ,
.
∴D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2=(b-a)2/12.
(4)正态分布
设ξ~N(μ, σ2),它的概率密度函数为: (σ>0,-∞<μ<+∞)E(ξ)=μ
(令t=(x-μ)/σ)
=σ2∴D(ξ)=σ2.
(5)指数分布
2、方差的性质
(1) 0≥X D ,并且0=X D 当且仅当X (以概率1)为常数;
(2) 对于任意实数λ,有X X D D 2
λλ=;(方差对随机变量前面的常数具有平方作用) (3) 若m
X
X X ,,,21 两两独立或两两不相关,则
()m
m
X
X
X X
X
X D D D D +++=
+++ 2
12
1.
(4)D(X)≥0,D(X)=0的充要条件是P {X=E (X )}=1或者P{X=C}=1. (5)设X 是一个随机变量,c 是常数,则D(X+c)=D(X).例:D (kξ+c )= k 2D (ξ); ㈢ 切比雪夫不等式
我们知道方差)(X D 是用来描述随机变量X 的取值在其数学期望)(X E 附近的离散程度的,因此,对任意的正数ε,事件ε≥-)(X E X 发生的概率应该与)(X D 有关,而这种关系用数学形式表示出来,就是下面我们要学习的切比雪夫不等式。
定理1 设随机变量X 的数学期望)(X E 与方差)(X D 存在 ,则对于任意正数ε,不等式 2
)
(])([ ε
εX D X E X P ≤≥- (1)
或
2
)
(1])([ ε
εX D X E X P -
≥<- (2)
都成立。不等式(1)和(2)称为切比雪夫不等式。
切比雪夫不等式给出了在随机变量X 的分布未知的情况下,只利用X 的数学期望和方差即可对X 的概率分布进行估值的方法,这就是切比雪夫不等式的重要性所在。
例1 已知正常男性成人血液中,每毫升含白细胞数的平均值是7300,均方差是700,利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在9400~5200之间的概率。
解 设X 表示每毫升血液中含白细胞个数,则
700
)()(,7300)(==
=X D X X E σ
而}2100|7300{|1}2100|7300{|}94005200{≥--=≤-=≤≤X P X P X P 又9
12100
700}2100|7300{|2
2=
≤
≥-X P 所以9
8}94005200{≥
≤≤X P
㈢ 协方差和相关系数
考虑二维随机向量),(Y X ,其数字特征包括每个变量的数学期望和方差,以及X 和Y 的联合数字特征——协方差和相关系数.
1、协方差和相关系数的定义
(1) 协方差 随机变量X 和Y 的协方差定义为
Y X XY Y Y X X Y X E E E E E E -=--=))((),cov(,
其中
{}()()()???
?
???===??∑∑∞∞-∞
∞-.;连续型离散型 d d ,
, y x y x xyf y Y x X y x XY i j j i j i P E (2) 相关系数 随机变量X 和Y 的相关系数定义为
()y
x Y
X XY Y
X Y X σ
σρE E E D D -=
=
,cov .
2、协方差的性质 设随机变量X 和Y 的方差存在,则它们的协方差也存在. (1) 若X 和Y 独立,则0),cov(=Y X ;对于任意常数c ,有0),cov(=c X . (2) ),cov(),cov(X Y Y X =.
(3) 对于任意实数a 和b ,有),cov(),cov(Y X ab bY aX =. (4) 对于任意随机变量Z Y X ,,,有
.
, ),cov(),cov(),cov( ),cov(),cov(),cov(Z X Y X Z Y X Z Y Z X Z Y X +=++=+
(5) 对于任意X 和Y ,有()Y X Y X D D ≤,cov .(等号成立,且当仅当存在常数啊,a ,b 使
P{Y=a+bX}=1成立)
(6) 对于任意X 和Y ,有),cov(2)(Y X Y X Y X ±+=±D D D .
3、相关系数的性质 相关系数的如下三条基本性质,决定了它的重要应用.设ρ——X 和Y 的相关系数,,,,,2
22
121Y X Y X D D E E ====σσμμ
(1) 11≤≤-ρ.
(2) 若X 和Y 相互独立,则ρ=0;但是,当ρ=0时X 和Y 却未必独立. (3) 1=ρ的充分必要条件是X 和Y (以概率1)互为线性函数. (4)对随机变量x ,y ,下列事件等价:
①cov (X,Y )=0;
②X 和Y 不相关;
③E(XY)=E(X)E(Y);
④D(X+Y)=D(X)+D(Y)
三条性质说明,随着变量X 和Y 之间的关系由相互独立到互为线性函数,它们的相关系数的绝对值
ρ从0增加到1,说明相关系数可以做两个变量统计相依程度的度量.
4、随机变量的相关性 假设随机变量X 和Y 的相关系数ρ存在.若ρ= 0,则称X 和Y 不相关,否则称X 和Y 相关.
(1) 若两个随机变量独立,则它们一定不相关,而反之未必;
(2) 若X 和Y 的联合分布是二维正态分布,则它们“不相关”与“独立”等价.
㈣ 矩 在力学和物理学中用矩描绘质量的分布.概率统计中用矩描绘概率分布.常用的矩有两大类:原点矩和中心矩.数学期望是一阶原点矩,而方差是二阶中心矩.
1、原点矩 对任意实数0≥k ,称k
k X E =α为随机变量X的k 阶原点矩,简称k 阶
矩.X E 1
=α.原点矩的计算公式为:
{}???????===?∑∞∞
-.;
连续型离散型 d )( )()( x x f x x X x X
k
i i k i k
k P E α 一阶原点矩是数学期望()E X ;
2、中心矩 称()k k X
X E E -=μ为随机变量X的k 阶中心矩.二阶中心矩是方差D(X);
3.混合中心矩随机变量(,)X Y 的(,)k l 阶混合原点矩定义为()k
l
E X Y ;随机变量(,)X Y 的(,)
k l 阶混合中心矩定义为[(())(())]k
l
E X E X Y E Y --.(1,1)阶混合中心矩为协方差cov(,)X Y .
(四)常用分布的数字特征
9.1当X 服从二项分布(,)B n p 时, (),()(1)E X np D X np p ==-. 9.2 当X 服从泊松分布()p λ时, (),()E X D X λλ==, 9.3 当
X 服从区间(,)a b 上均匀分布时,
2
()(),()2
12
a b b a E X D X +-=
=
9.4 当X 服从参数为λ的指数分布时, 2
1
1
(),()E X D X λ
λ=
=
9.5 当X
服从正态分布2
(,)N μσ时,
2
(),()E X D X μσ
==.
9.6 当(,)X Y 服从二维正态分布2
2
1212(,,,,)N μμσσρ时,
2
11
(),()E X D X μσ==;
2
22
(),()E Y D Y μσ==;12cov(,),XY X Y ρσσρρ==
三、典型例题及其分析
例4.2.1 一台设备由三大部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30,假设各部件的状态相互独立,以X 表示同时需要调整的部件数,试求X 的数学期望E X 和方差D X .
【思路】 关键是求出X 的分布律,然后用定义计算E X . 【解】 引入事件:
{}
i =1,2,3.i A i =第个部件需要调整 根据题设,三部件需要调整的概率分别为 ()
()()1230.10,0.20,0
.30.P A P A P A ===
由题设部件的状态相互独立,于是有
()(
)()()()123
1
2
3
0 0.90.80.70.504.
P X P A A A
P A P A P A ====??=
()(
)12312312
3
10.10.80.70.90.20.70.90.80.3
0.398
P X P A A A A A A A A A ==??=
??+??+??=()(
)12312312
3
20.10.20.70.10.80.30.9
0.20.3
0.092;
P X P A A A A A A A A A ==??=
??+??+??=
于是X 的分布律为
从而
00.5041
0.39820.0923
0.6,
i
i i
EX x
p =
=?+?+?+?=∑
2
22
2
2
2
00.504
1
0.3982
0.092
3
0.006
0.820.
i
i i EX
x
p =
=?+?+?+?=∑
故 ()
2
2
2
0.8200.60.46.DX EX
EX =-=-=
【解毕】
【技巧】 本题的关键是引入事件i A ,将X 的分布律求出,因此,可以发现求期望和方差的难点转到了求X 的分布.同时,方差的计算一般均通过公式()
2
2
DX EX
EX =-来进行.
例4.2.3 设X 是一随机变量,其概率密度为
()1, 10,
1, 01,0, x x f x x x +-≤≤??
=-<≤???
其他.
求D X .
(1995年考研题)
【解】
()()()()()()()0
1
1
1
1
2
2
2
22
1
110.
.11211 6
E X xf
x d x
x x d x x x d x
E X
x f
x d x
x
x d x x x d x
x
x d x
+∞
-∞
-+∞
-∞
-=
=
++-==
=
++
-=-=
?
???
?
??
于是 (
)2
2
1.6
D X
E X E X =-= 【解毕】
【技巧】 在计算数学期望和方差时,应首先检验一下()f
x 的奇偶性,这样可利用对称区间上奇偶函数的积分公式简化
求解,比如本题中,()f
x 为偶函数,故()0.EX
xf
x dx +∞
-∞
=
=?
同样D X
的计算也可直接简化.
例4.2.4 已知连续型随机变量X 的密度函数为 (
)2
21
, - x -+-= ∞∞求E X 与D X . (1987年考研题) 【思路】 一种求法是直接利用数学期望与方差的定义来求.另一种方法是利用正态分布的形式及其参数的含义. 【解】 (方法1)直接法. 由数学期望与方差的定义知 ( )( ) ( ) ()( ) () 2 2 2 2 11111 1. x x x x E X xf x dx xe dx e dx x e dx e dx +∞ +∞ +∞ +∞ -------∞ ∞ -∞ ∞ +∞ ---∞ = = = + -= =? ? ? ? ? () () ()( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 12111 . 2 x t t D X E X E X x f x dx x dx t e e dt +∞ +∞ ---∞ -∞ +∞ +∞ --∞ ∞ =-= -= -= = ??? ? (方法2) 利用正态分布定义. 由于期望为μ,方差为2 σ 的正态分布的概率密度为 () ()2 2 2.x x μσ -- -∞<<+∞所以把()f x 变形为 ( )( ) 22 12x f x e -- ?= 易知,()f x 为11,2N ?? ? ?? 的概率密度,因此有11,.2E X D X == 【技巧】 解决本题的关键是要善于识别常用分布的密度函数,不然的话,直接计算将会带来较大的工作量.反过来,用正 态分布的特性也可以来求积分 2 kx e dx +∞ --∞ ? 等. (2)若干计算公式的应用 主要包括随机变量函数的数学期望公式,数学期望与方差的性质公式的应用. 例4.2.5 设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,求2 EX . (1995年考研题) 【解】 由题意知()~10,0.4X B 于是100.44,EX =?=()100.410.4 2.4.DX =??-= 由() 2 2 DX EX EX =-可推知() 2 2 2 2.4418.4.EX DX EX =+=+= 【寓意】 本题考查了两个内容,一是由题意归结出随机变量X 的分布;二是灵活应用方差计算公式,如果直接求解,那 么() 10 102 2 100 0.4 10.4k k k K EX k C -== -∑ 的计算是繁琐的. 例4.2.6 设X 服从参数1λ=的指数分布,求( )2X E X e -+.(1992年考研题) 【解】 由题设知,X 的密度函数为 (), 0, 0, 0. x e x f x x -?>=?≤? 且1EX =,又因为()2220 1,3 X x x x Ee e f x dx e e dx +∞ +∞ -----∞ = = = ? ? 从而 ( ) 22141.3 3 X X E X e E X E e --+=+=+= 【解毕】 【寓意】 本题的目的是考查常见分布的分布密度(或分布律)以及它们的数字特征,同时也考查了随机变量函数的数学期望的求法. 例4.2.7 设二维随机变量(),X Y 在区域(){},:01,G x y x y x =<<<内服从均匀分布, 求随机变量21Z X =+的方差.D Z 【解】 由方差的性质得知 ()214DZ D X DX =+= 又由于X 的边缘密度为 ()()1, 01 ,0, .2, 01 0, x X x dy x f x f x y dy x x +∞ - -∞ ?<==?? ? <=? ??? 其他其他. 于是 () 1 1 2 2 2 2 2 21 2, 2,3 21 21.2318 E X x xdx E X x xdx D X E X E X = = = = ?? =-=-= ???? ? 因此 , 1244.18 9 D Z D X ==? = 【解毕】 【技巧】 尽管本题给出的是二维随机变量,但在求X 的期望于方差时,可以从X 的边缘密度函数出发,而不必从X 与 Y 的联合密度函数开始.在一般情形下,采用边缘密度函数较为方便. 例4.2.8 设随机变量X 和Y 独立,且X 服从均值为1 Y 服从标准正态分布,试求随机 变量23Z X Y =-+的概率密度函数.(1989年考研题) 【思路】 此题看上去好像与数字特征无多大联系,但由于X 和Y 相互独立且都服从正态分布,所以Z 作为,X Y 的线性组合也服从正态分布.故只需求E Z 和D Z ,则Z 的概率密度函数就唯一确定了. 【解】 由题设知,()()~1,2,~0,1X N Y N .从而由期望和方差的性质得 2235,2 9. E Z E X E Y D Z D X D Y =-+==+= 又因Z 是,X Y 的线性函数,且,X Y 是相互独立的正态随机变量,故Z 也为正态随机变量,又因正态分布完全由其期望和方差确定,故知()~5,9Z N ,于是,Z 的概率密度为 ( )() 2 529 , .z Z f z z -- ?= -∞<<+∞ 【解毕】 【寓意】 本题主要考查二点内容,一是独立正态分布的线性组合仍为正态分布;其二是正态分布完全由其期望和方差决定. 例4.2.9 假设随机变量Y 服从参数为1λ=的指数分布,随机变量 0, ,1, . k Y k X Y k ≤?=?>?若若 ()1,2k = (1) 求1X 和2X 的联合概率分布; (2) 求()12E X X +. 【解】 显然,Y 的分布函数为 ()1, 0,0, 0. y e y F y y -?->=? ≤? 10, 11 1.Y X Y ≤?=? >?若,,若 20, 212. Y X Y ≤?=?>?若 ,,若 (1)()12X X +有四个可能取值:()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,且 ()()() ()()()()()() ()()()()() 121 12121 2 1 20,01,21 11,0,11,20, 1,01,212 21, 1,11,22 P X X P Y Y P Y F e P X X P Y Y P X X P Y Y P Y F F e e P X X P Y Y P Y --===≤≤=≤==-===≤>====>≤=<≤=-=-===>>=>()2 12. F e -=-= 于是得到1X 和2X 的联合分布律为 (3) 显然,12,X X 的分布律分别为 1X 0 1 2X 0 1 P 1 1e -- 1 e - P 2 1e -- 2 e - 因此 1 2 12,.EX e EX e --== 故 ()1 2 1212.E X X EX EX e e --+=+=+ 【解毕】 【技巧】 本题中若不要求求X 与Y 的联合分布律,也可直接求出()12E X X +,这是因为 () ()()1 11101 1 . E X P Y P Y P Y e -=?>+?≤=>= 而 2 22,EX PY e -=>= 因此 ()1 2 1212.E X X EX EX e e --+=+=+ 不仅如此,我们还能求12,X X 其他函数的期望.例如求()12E X X ,此时,由于 12 1, 2,0 .Y X X >?=??若, 其他 故 ()()()()2 1212022.E X X P Y P Y P Y e -=?>+?≤=>= 例4.2.10 设随机变量(),X Y 服从二维正态分布,其密度函数为 ()() 2 2 1 2 1,2x y f x y e π - += 求随机变量Z =. 【思路】 利用随机变量函数的期望的求法进行计算. 【解】 由于Z = ( )2 2 2 ,1 . 2x y E Z E f x y dxdy dxdy π +∞+∞ -∞-∞+∞+∞ +--∞-∞ == = ?? ?? 令cos ,sin . x r y r θθ=?? =?,则 2 2 2 2 22 2 2 2 11 222 | r r r r E Z d re r re e dr e dr πθ ππ π+∞ +∞ - - - +∞+∞ -?? = =-+ ????? ?= = ? ? ? ? 而 ()()()2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 121 2 2 2. x y r r E Z E X Y x y e dxdy d r e rdr re dr π π θ π ++∞+∞ - -∞-∞ +∞ +∞- - =+= += ==??? ? ? 故 () 2 2 2.2 D Z EZ EZ π =-=- 【解毕】 【技巧】 本题也可先求出Z 的密度函数,再来求Z 的期望与方差,但由于求Z 的密度本身就是一繁琐的工作,因此我们借助随机变量函数的期望公式来求解,再此公式中并不需要知道Z 的分布,而只需直接计算一个二重积分即可.因此,对随机变量函数的期望计算问题,除非它是一线性函数,或者(),X Y 为离散型随机变量,一般我们往往不直接去求这个 函数的分布,而直接按随机变量函数的期望计算公式来求解. 例 4.3.4 已知随机变量X 与Y 分别服从正态分布( ) 2 1,3 N 和( ) 2 0,4 N ,且X 与Y 的相关系数12 X Y ρ=- ,设 ,3 2 X Y Z = + 求: (1)Z 的数学期望E Z 和方差D Z ; (2)X 与Z 的相关系数X Z ρ; (2) 问X 与Z 是否相互独立?为什么?(1994年考研题) 【解】 (1)由数学期望的运算性质有 1 11.3 2323X Y EZ E EX EY ??=+=+= ??? 由()()2,D X Y DX DY Cov X Y +=++有 ( ) 2 2 11112,3232321111 2,32 3 2 111 9 4 3 142 3. X Y X Y D Z D D X D Y C o v X Y D X D Y C o v X Y D X D Y ρ???????? =+=++ ? ? ? ?????????=++? ? = + + =+-= (2)因为 () ()( )2 ,,3211 ,,32 11 3211 1 3340,3 22X Y X Y C ov X Z C ov X C ov X X C ov X Y D X ρ? ?=+ ? ??=+ =+?? = ?+ ?-??= ??? 所以 ,0.XZ C ov X Z ρ= = (3)因,X Y 均为正态,故,X Y 的线性组合Z 也是正态随机变量,由于二正态分布的独立性与相关性是等价的,所以由0XZ ρ=知,X 与Z 相互独立. 【解毕】 【寓意】 本题考查的主要有两点,一是关于协方差,有性质 ()()()()(),,,,,C o v a X b Y c U d V a c C o v X U a d C o v X V b c C o v Y U b d C o v Y V ++=+++另一点为: 对于二正态变量X 与Y ,X 与Y 相互独立等价于0.XY ρ= 综例4.4.3 设随机变量X 的概率密度为 () , 02, , 24,0, .ax x f x cx b x <?=+≤≤??? 其他 已知()32,13.4 E X P X =<<= 求:(1)常数,,;a b c (2)X Ee . 【思路】 要确定三个常数,,,a b c 需三个条件,题设中已有两个条件,另一条件为 ()1,f x dx +∞ -∞ =?而X Ee 只需利用随 机变量函数的期望计算公式即可. 【解】 (1)由概率密度的性质知,有()()2 4 02 1262.f x dx axdx cx b dx a c b +∞ -∞ = =++=++??? 又因为 ()()2 4 2 2356 6, 8 3 E X xf x dx x axdx x cx b dx a c b +∞ -∞ == = ++=+ +? ?? 而 ()()()3 2 3 1 1 2 3 134 35 . 22P X f x d x a xd x cx b d x a c b =<<== ++= + +??? 解方程 2621,856 62,3 3353.224 a c b a c b a c b ? ?++=? ?++=???++=?? 得 111,4, 4 a b c = ==- (2) ()2 4 2 4 2 144111 . 4 24 X x x x x x E e e f x dx e dx e dx e e +∞ -∞ ? ?= =+ - ???= - + ? ?? 【解毕】 随机变量的数字特征试题 答案 It was last revised on January 2, 2021 第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、 选择(每小题2分) 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则下列结论中正确的是(D ) A. E (X )=,D (X )= B. E (X )=,D (X )= C. E (X )=2,D (X )=4 D. E (X )=2,D (X )=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立,且X~N (1,4),Y~N (0,1),令Y X Z -=,则D (Z )= (C ) A. 1 B. 3 C. 5 D. 6? 3、已知D (X )=4,D (Y )=25,cov (X ,Y )=4,则XY ρ =(C ) A. 0.004 B. C. D. 4 4、设X ,Y 是任意随机变量,C 为常数,则下列各式中正确的是(D ) A . D (X+Y )=D (X )+D (Y ) B . D (X+C )=D (X )+C C . D (X -Y )=D (X )-D (Y ) D . D (X -C )=D (X ) 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ,则E(X)=(D ) A . 31 B . 21 C .2 3 D . 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立,且)61,36(~B X ,)3 1 ,12(~B Y ,则)1(+-Y X D = (C ) A . 34 B . 37 C . 323 D . 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布,)31 ,8(~B Y ,X 与Y 相互独立,则 )43(--Y X D =(C ) A . -13 B . 15 C . 19 D . 23 8、已知1)(=X D ,25)(=Y D ,XY ρ=,则)(Y X D -=(B ) A . 6 B . 22 C . 30 D . 46 9、设)3 1 ,10(~B X ,则)(X E =(C ) A . 31 B . 1 C . 3 10 D . 10 10、设)3,1(~2N X ,则下列选项中,不成立的是(B ) A. E (X )=1? B. D (X )=3? C. P (X=1)=0 D. P (X<1)= 11、设)(X E ,)(Y E ,)(X D ,)(Y D 及),cov(Y X 均存在,则)(Y X D -=(C ) A . )(X D +)(Y D B . )(X D -)(Y D C .)(X D +)(Y D -2),cov(Y X D .)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)2 1 ,10(~B X ,)10,2(~N Y ,又14)(=XY E ,则X 与Y 的相关系数 XY ρ=(D ) A . B . -0.16 C . D . 13、已知随机变量X 的分布律为 25 .025.012p P x X i -,且E (X )=1?,则常数x =( B) A . 2 B . 4 C . 6 D . 8 14、设随机变量X 服从参数为2的指数分布,则随机变量X 的数学期望是(C ) A. B. 0 C. D. 2 15、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=?? ?>--other x e x 00 12,则X 的均值和方差分别为(D ) 概率论与数理统计练习题 、选择题: 二、填空题: 1 4.设随机变量 X 的密度函数为f(x) e |x| ( x ),则E(X) 0 三、计算题: 1.袋中有5个乒乓球,编号为1 , 2, 3, 4, 5,从中任取3个,以X 表示取出的3个球中最大编 号,求E(X) 解:X 的可能取值为3, 4, 5 E(X) 3 丄 4 色 5 3 4.5 10 10 5 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 系 _____ 第四章 专业 ______ 班 _________ 随机变量的数字特征(一) 学号 1 ?设随机变量 X 的可能取值为0, 1, 相应的概率分布为 0.6,0.3 , .01,则 E(X) 0.5 2 .设X 为正态分布的随机变量,概率密度为 f(x) 2?2 e (x 1)2 2 8 ,贝U E(2X 1) ,则 E(X 3X 2) 116/15 1 ?设随机变量X ,且 E(X)存在,则 E(X)是 (A )X 的函数 (B )确定常数 随机变量 (D )x 的函数 2 .设X 的概率密度为 f(x) 1 x e 9 9 0 ,则 E( 9X) 3 ?设 x x e 9 dx 1 (B) 9 x x e 9dx (C ) (D ) 1 是随机变量, E( )存在,若 ¥,则 E() E() (B)罟 (C ) E() P(X 3) 1 10 , P(X 4) C 5 3 10 P(X 5) § 10 2 ?设随机变量X 的密度函数为f(X ) 2 (1 %)0甘它1,求E(X) 0 其它 2 3?设随机变量X~N(,),求E(|X I) (1) Y 1 e 2X ( 2)Y 2 max{ X, 2} 解:(1) E(Y) 2x x 1 e e dx 0 3 (2) EM) 2 x 2e dx xe 0 2 x dx 2 2e 2 3e 2 2 2 e (3) E(Y 3) 2 e x dx 2e x 0 2 dx 1 c 2 c 2 」 2 3e 2e 1 e 概率论与数理统计练习题 ________ 系 _______ 专业 ______ 班 ___________________学号 _________ 第四章 随机变量的数字特征(二) 、选择题: 解:E(X) X 2(1 x)dx 解: |x (x )2 1 — dx 令y 2 y I y |e 2dy 4 .设随机变量 X 的密度函数为f (x) x 0 ,试求下列随机变量的数学期望。 x 0 (3) Y min{ X,2} 2 2~ 2 o ye dy 第四章 随机变量的数字特征 一、填空题 1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望____________)(2=+-X e X E 。 2. 若随机变量X 服从均值为2,方差为2 σ的正态分布,且3.0)42(=< 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 学号 第四章 随机变量的数字特征(一) 一、选择题: 1.设随机变量X ,且()E X 存在,则()E X 是 [ B ] (A )X 的函数 (B )确定常数 (C )随机变量 (D )x 的函数 2.设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=?? ,则1 ()9 E X - = [ C ] (A )919x x e dx +∞-∞?? (B )91 9x x e dx +∞-∞ -?? (C )1- (D )1 3.设ξ是随机变量,()E ξ存在,若2 3 ξη-=,则()E η= [ D ] (A )()E ξ (B )()3E ξ (C )()2E ξ- (D )()2 33 E ξ- 二、填空题: 1.设随机变量X 的可能取值为0,1,2,相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01,则()E X = 0.5 2.设X 为正态分布的随机变量,概率密度为2 (1) 8()x f x +-=,则2(21)E X -= 9 3.设随机变量X 的概率分布 ,则2(3)E X X += 116/15 4.设随机变量X 的密度函数为|| 1()()2 x f x e x -= -∞<<+∞,则()E X = 0 三、计算题: 1.袋中有5个乒乓球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个,以X 表示取出的3个球中最大编号,求()E X 解:X 的可能取值为3,4,5 3511(3)10P X C ===, 23353(4)10C P X C === 2 4356 (5)10 C P X C === 133 ()345 4.510105 E X =? +?+?= 第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、选择(每小题2分) 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则下列结论中正确的是(D ) A. E (X )=,D (X )=? B. E (X )=,D (X )= C. E (X )=2,D (X )=4? D. E (X )=2,D (X )=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立,且X~N (1,4),Y~N (0,1),令Y X Z -=,则D (Z )=? (??C?) A. 1 ? B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D (X )=4,D (Y )=25,cov (X ,Y )=4,则XY ρ =(C ) A. 0.004? B. ? C. ? D. 4 4、设X ,Y 是任意随机变量,C 为常数,则下列各式中正确的是(?D ) A . D (X+Y )=D (X )+D (Y ) ?B . D (X+C )=D (X )+C C . D (X-Y )=D (X )-D (Y ) ?D . D (X-C )=D (X ) 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ,则E(X)=(D ) A . 31 ?B . 21 C .2 3 ?D . 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立,且)61,36(~B X ,)3 1 ,12(~B Y ,则)1(+-Y X D =(C ) A . 34 ? B . 37 C . 323 ? D . 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布,)3 1 ,8(~B Y , X 与Y 相互独立,则)43(--Y X D =(C ) A . -13 ? B . 15 C . 19 ? D . 23 8、已知1)(=X D ,25)(=Y D ,XY ρ=,则)(Y X D -=(B ) A . 6 ?B . 22 C . 30 ?D . 46 9、设)3 1,10(~B X ,则)(X E =(C ) A . 31 ?B . 1 C . 3 10 ?D . 10 10、设)3,1(~2 N X ,则下列选项中,不成立的是(B ) A. E (X )=1? B. D (X )=3? C. P (X=1)=0? D. P (X<1)= 11、设)(X E ,)(Y E ,)(X D ,)(Y D 及),cov(Y X 均存在,则)(Y X D -=(C ) A . )(X D +)(Y D ?B . )(X D -)(Y D 第四章随机变量的数字特征试题答案 一、 选择(每小题2分) 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则下列结论中正确的是(D ) A.E (X )=0.5,D (X )=0.5?B.E (X )=0.5,D (X )=0.25 C.E (X )=2,D (X )=4?D.E (X )=2,D (X )=2 2 Y X -=,则34) A C 5A 6、)1= (C ) A .3 4?B .3 7C . 323?D .3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布,)3 1 ,8(~B Y ,X 与Y 相互独立,则 )43(--Y X D =(C ) A .-13? B .15 C .19? D .23 8、已知1)(=X D ,25)(=Y D ,XY ρ=0.4,则)(Y X D -=(B ) A .6? B .22 C .30? D .46 9、设)3 1 ,10(~B X ,则)(X E =(C ) A .31? B .1 C .3 10?D .10 10、设)3,1(~2N X ,则下列选项中,不成立的是(B ) A.E (X )=1? B.D (X )=3? C.P (X=1)=0? D.P (X<1)=0.5 11 A .C .12、XY ρ= (D 13x =(B) A . 14、(C ) A.-15、为(A .C .21)(,41)(== X D X E ?D .4 1 )(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量(X ,Y )的分布律为 则)(XY E =(B ) A .9 1-?B .0 C .9 1?D .3 1 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则随机变量X 的方差为(D ) A 18,0.5),则A 19,则X A 20, 则21(B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本,对任意的ε>0,样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为(B ) A .{}2 2 εσεμn n X P ≥ <-?B .{} 22 1ε σεμn X P -≥<- C .{}2 2 1ε σεμn X P - ≤≥-?D .{}2 2 εσεμn n X P ≤ ≥- 第三章 随机变量的数字特征答案 一、1、35;2、 6175;;259,59,259, 563、σ σμ1 , =±=b a ; 4、()(),2 1212 1211 )(2 2 2 212111 2??? ? ??-- ---+-? = ? = = x x x x e e e x πππ ? ),(~所以2 1 1N ξ ,2 1 ,12 = ===σ ξμξD E 5、2 1-;6.a=2,b=0,或a=-2,b=2;32)(=ξE 或31 ; 7、()()125,01022===+=+=+=+a D a b a D b a b aE b a E ξξξξ 所以2,5 1 2,51=-=-== b a b a 或 8、()()6.2022,2=++=++=+ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D ()()4.232,2=-+=-+=-ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D 9、148,57; 10、()()()()n D a E D a E i i 2 2 ,,,σξ ξσξξ= ===所以 二、1、C 2、B 3、C 4、B 5、C 三、1、,2.03.023.004.02-=?+?+?-=ξE ()8.23.023.004.02222 2=?+?+?-=ξE ()() ()() ( )04.114,412,4.1353532 222=-==-=+=+ξξξξξξE E D D E E 2、ξ~[]10,0U ,()32512010,5210 02 =-==+=ξξD E , 3 35=ξD 3、4)(,1)2 (==ξξ D D ,则 1)(,4)1(==-ξξ E D 所以0)1(=-ξE 所以 ()()()() 2 2 2111404E D E ξξξ-=-+-=+= 4、()()()()()()32323223,2D D D D Cov ξηξηξηξη-=+-=+-+- ()( )941225.6D D ξηρ=+-= 随机变量的数字特征 讨论随机变量数字特征的原因 (1) 在实际问题中,有的随机变量的概率分布 难确定,有的不可能知道,而它的一些数字特征较易确定。 (2)实际应用中,人们更关心概率分布的数字特征。 (3)一些常用的重要分布,如二项分布、泊松 分布、指数分布、正态分布等,只要知道了它们的某些数字特征,就能完全确定其具体的分布。 §4.1 数学期望 一、数学期望的概念 1.离散性随机变量的数学期望 例4.1:大学一年级某班有32名同学,年龄情况如下: 解: 平均年龄=1 4810721 224218201019718217+++++?+?+?+?+?+? 25.19= 把上式改写为: 32 12232421328203210193271832217?+?+?+?+?+? 设X 为从该班任选一名同学的年龄,其概率分布为 定义4.1:设离散型随机变量X 的分布列为: 若 ∑k k k p x 绝对收敛(即 +∞ <=∑∑k k k k k k p x p x ),则称它为X 的 数学期望或均值(此时,也称X 的数学期望存在),记为E(X),即 若 ∑k k k p x 发散,则称X 的数学期望不存在。 说明: (1)随机变量的数学期望是一个实数,它体现了随机变量取值的平均; (2) 要注意数学期望存在的条件: ∑k k k p x 绝对 收敛; (3) 当X 服从某一分布时,也称某分布的数学 期望为EX 。 ∑=k k k p x EX 例4.2:设X服从参数为p的两点分布,求EX EX=p 例4.3:设X~B(n,p),求EX EX=np 例4.4:设X服从参数为λ的泊松分布,求EX EX=λ 2.连续型随机变量的数学期望 定义4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分 ?+∞∞-dx x xf) ( 绝对收敛,(即?∞∞ - +∞ < dx x f x) ( ),则称它 为X的数学期望或均值(此时,也称X的数学期望存在),记为E(X),即 ) ( ) (?∞∞- =dx x xf X E 若?∞∞ - +∞ = dx x f x) ( , 则称X的数学期望不存在。 例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。 EX= 2b a+ 例4.6:设X服从参数为λ的指数分布,求EX EX=λ 例4.7: ) , ( ~2σ μ N X,求EX §2.3.1随机变量的数字特征(二) 学习目标 1.熟练掌握均值公式及性质. 2.能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题. 学习过程 【任务一】双基自测 1.分布列为 的期望值为 ( ) A .0 B .-1 C .-13 D .12 2.设E (ξ)=10,则E (3ξ+5)等于 ( ) A .35 B .40 C .30 D .15 3.某一供电网络,有n 个用电单位,每个单位在一天中使用电的机会是p ,供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( ) A .np (1-p ) B .Np C .n D .p (1-p ) 4.两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱中,则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)=________ 【任务二】题型与解法 题型一 二项分布的均值 例1:一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中仅有一个选项正确.每题选对得5分,不选或选错不得分,满分 100分.学生甲选对任意一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值. 跟踪训练1英语考试有100道选择题,每题4个选项,选对得1分,否则得0分.学生甲会其中的20道,学生乙会其中的80道,不会的均随机选择.求甲、乙在这次测验中得分的期望. 题型二超几何分布的均值 例2一名博彩者,放6个白球和6个红球在一个袋子中,定下规矩: 凡是愿意摸彩者,每人交1元作为手续费,然后可以一次从袋中摸出5个球,中彩情况如下表: 试计算:(1)摸一次能获得20元奖品的概率; (2)按摸10 000次统计,这个人能否赚钱?如果赚钱,则净赚多少钱? 跟踪训练2厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品. (1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率; 第四章随机变量的数字特征 【基本要求】理解随机变量的数学期望与方差的概念,掌握它们的性质与计算方法;掌握计算随机变量函数的数学期望方法;掌握二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差;了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。 【本章重点】数学期望与方差的概念、性质与计算方法;求随机变量函数的数学期望的方法;二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。 【本章难点】数学期望与方差的概念计算方法;随机变量函数的数学期望的计算方法;协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法 【学时分配】7-9学时 分布函数:) x F≤ =——全面描述随机变量X取值的统计规律。但是,在实际问题中 P X ) ( (x 分布函数的确定并不是一件容易的事,而且有时我们也不需要知道分布函数,只需知道随机变量的某些数字特征就够了。例如: 评价粮食产量,只关注平均产量; 研究水稻品种优劣,只关注每株平均粒数; 评价某班成绩,只关注平均分数、偏离程度; 评价射击水平,只关注平均命中环数、偏离程度。 描述变量的平均值的量——数学期望, 描述变量的离散程度的量——方差。 §4.1 数学期望 教学目的:使学生理解掌握随机变量的数学期望的实际意义及概念,会计算具体分布的数学期望; 使学生理解掌握随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。 教学重点、难点:数学期望的概念及其计算;随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。 教学过程: (一) 数学期望的概念 先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入 区域2e 得2分, 射入区域1e 得1分,脱靶即射入 区域0e 得0分.设射手一次射击的得分数X 是一个 e 0 随机变量,而且X 的分布律为P{X=k}=k p ,k=0,1,2 现射击N 次,其中得0分0a 次,得1分1a 次,得2分2a 次,0a +1a +2a =N.则他射击N 次得分的总和为0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射击的得分数为 ∑==?+?+?2 210210k k N a k N a a a ,因为当N 充分大时, 频率k p 概率稳定值 ??→?N a k 。 所以当N 充分大时, 平均数∑=??→?2 k k k p x x 稳定值 。 显然,数值∑=2 k k k p x 完全由随机变量X 的概率分布确定,而与试验无关,它反映了平均数的大小。 定义: 1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X 的分布律为{}k k P X x p ==,1,2,3k =…若级数1 k k k x p ∞ =∑绝对收敛,则称级数1 k k k x p ∞ =∑为随机变量X 的数学期望,记为()E X ,即()E X =1 k k k x p ∞ =∑。 2.连续型随机变量的数学期望:设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ,若积分()xf x dx ∞ -∞ ?绝对 收敛,则称积分()xf x dx ∞-∞ ?的值为随机变量X 的数学期望,记为()E X 。即()E X =()xf x dx ∞ -∞ ?。 数学期望简称期望,又称为均值。 (二) 数学期望的计算 关键是:求出随机变量的分布律或者密度函数。 1、离散型——若 则()E X =1k k k x p ∞ =∑ (绝对收敛) 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征(一) 一、选择题: 1.设随机变量X ,且()E X 存在,则()E X 是 [ B ] (A )X 的函数 (B )确定常数 (C )随机变量 (D )x 的函数 2.设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=?? ,则1 ()9 E X - = [ C ] (A )919x x e dx +∞-∞?? (B )91 9x x e dx +∞-∞ -?? (C )1- (D )1 3.设ξ是随机变量,()E ξ存在,若2 3 ξη-=,则()E η= [ D ] (A )()E ξ (B )()3E ξ (C )()2E ξ- (D )()2 33 E ξ- 二、填空题: 1.设随机变量X 的可能取值为0,1,2,相应的概率分布为 , , .01,则()E X = 2.设X 为正态分布的随机变量,概率密度为2 (1) 8()x f x +-=,则2(21)E X -= 9 3.设随机变量X 的概率分布 ,则2(3)E X X += 116/15 4.设随机变量X 的密度函数为|| 1()()2 x f x e x -= -∞<<+∞,则()E X = 0 三、计算题: 1.袋中有5个乒乓球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个,以X 表示取出的3个球中最大编号,求()E X 解:X 的可能取值为3,4,5 3511(3)10P X C ===, 23353(4)10C P X C === 2 4356 (5)10 C P X C === 133 ()345 4.510105 E X =? +?+?= 第四章 随机变量的数字特征 ㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置. 1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为 {}?????==?∑∞ ∞ - d )( )()( , , 连续型离散型x x xf x X x X k k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和.对于离散型变量,若可能值个数无限,则要求级数绝对收敛;对于连续型变量,要求定义中的积分绝对收敛;否则认为数学期望不存在. ①常见的离散型随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为 ,若,则称级数为随 机变量 的数学期望(或称为均值),记为 , 即 2、两点分布的数学期望 设 服从0—1分布,则有 ,根据定义, 的数学期望为 . 3、二项分布的数学期望 设 服从以 为参数的二项分布, ,则 。 4、泊松分布的数学期望 设随机变量 服从参数为的泊松分布,即,从而有 。 ①常见的连续型随机变量的数学期望 1)均匀分布 设随机变量ξ服从均匀分布,ξ~U [a,b] (a0,- <μ<+ ) 则令得 ∴ E(ξ)=μ . 3)指数分布 设随机变量服从参数为的指数分布,的密度函数为 ,则. (2) 随机变量的函数的数学期望设)(x g y=为连续函数或分段连续函数,而X是任一随机变量,则随机变量) (X g Y=的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求,而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望;对于二元函数) , (Y X g Z=,有类似的公式: (){} ? ? ? ? ?= = = ? ∑ ∞ ∞ . ; (连续型) 离散型 - d) ( ) ( ) ( ) ( x x f x g x X x g X g Y k k k P E E 第十章 随机变量分布及数字特征 10.1 随机变量 10.2 离散型随机变量分布 1、学时:2学时 2、过程与方法: 结合实例介绍随机变量概念,离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质. 3、教学要求: (1)掌握随机变量及离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 (2)几种常见概率分布 教学重点:离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 教学难点:离散型随机变量的分布函数 教学形式:多媒体讲授 教学过程: 一、新课教学内容 10.1 随机变量 概率论与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律,因此我们必须把随机事件数量化. 在随机试验中,结果有多种可能性,试验结果样本点很多可以与数值直接发生关系,如产品检验,我们关心的是抽样中出现的废品件数.商店销售我们重视每天销售额,利润值.在投骰子中是每次出现的点数等. 但是也有不少试验结果初看与数字无直接关系,但我们可通过如下示性函数使之数值化,比如,产品合格与不合格令???=01ξ 不合格 合格 事件10A A X ?=??发生与否用 不发生发生 这些事件数值化后,数量是会 变化的称为变量.变量取值机会有大有小所以叫随机变量 . 定义1:在某一随机试验中,对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一个数,这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量.通常用希腊字母或大写英文字母X 、Y 、Z 等表示.用小写英文字母i i y x 、表示随机变量相应于某个试验结果所取的值. 举例: 1°投骰子出现的点数用随机变量X 表示,X 可取值为{ },,,,,,654321 2°电信局话务台每小时收到呼叫次数用Y 表示,Y 可取值为{}Λ210,, 3°总站每五分钟发某一路车,乘客在车站候车时间{} 50≤≤=t t ξ 4°某一电子零件的寿命用{} 30000≤≤=t t T 按其取值情况可以把随机变量分成两类: (1)离散型随机变量:取有限个或无限可列个值.如例1°、2°. (2)非离散型随机变量:可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值.非离散型随机变量范围较广,本书只研究其中常遇见的一种称为连续型随机变量如例3°、4°. 例1 设有2个一级品,3个二级品的产品,从中随机取出3个产品,如果用X 表示取出产品中一级品的个数,求X 取不同值时相应概率. 解 X 可取值为{}210,, 101)0(3533===C C X P 53)1(352312===C C C X P 103 )2(35 1 322==C C C X P 例2 抛一枚匀称的硬币,引进一变量Y 令???=0 1Y 出现反面 出现正面求出现正面与反面概率: 解 21)0(= =Y P 2 1)1(==Y P 10.2 离散型随机变量分布 10.2.1 离散型随机变量的概率分布 例1 某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间是有24天每天销售汽车是为0辆,38天 第12讲 随机变量的数字特征习题课 教学目的:掌握随机变量的数字特征,了解切比雪夫不等式和大数定律。 教学重点:理解数学期望和方差的概念,掌握它们的性质与计算,熟悉常用分布的数 学期望和方差。 教学难点:随机变量函数的数学期望。 教学时数:2学时 教学过程: 一、知识要点回顾 1. 随机变量X 的数学期望()E X 2. 对离散随机变量 ()()i i i E X x p x =∑ 3. 若1,2,i =,则假定这个级数绝对收敛,否则就没有数学期望。 4. 对连续随机变量 ()()E X xf x dx +∞ -∞ =? 5. 假定这个广义积分绝对收敛,否则就没有数学期望。 6. 随机变量X 的函数()g X 的数学期望[()]E g X ,其中()g X 为实函数。 7. 对离散随机变量 [()]()()i i i E g X g x p x =∑ 8. 对连续随机变量 [()]()()E g X g x f x dx +∞ -∞ =? 9. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛,所涉及的广义积分绝对收敛。 10. 二维随机变量(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望[(,)]E g X Y ,其中(,)g X Y 为二元 实函数。 11. 对离散随机变量 [(,)](,)(,)i j i j i j E g X Y g x y p x y =∑∑ 12. 对连续随机变量 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy +∞ +∞ -∞ -∞ =? ? 13. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛,所涉及的广义积分绝对收敛。 14. 数学期望的性质(假定所涉及的数学期望都存在) 15. (), ()E c c c =为常数 16. ()(), ()E cX cE X c =为常数 第四章 随机变量的数字特征 1. 解:令A 表示一次检验就去调整设备的事件,设其概率为p ,T 表示每次检验发现的次品个数,易知(10,0.1)T B ~,且(4,)X B p ~。 得, 0010119 1010(){1}1{1}1(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.2639p P A P T P T C C ==>=-≤=--=。 因为(4,)X B p ~,得()4 1.0556E X p =?=。 2. 解:1500 3000 2220 1500 ()()(3000)5001000150015001500x x E X xf x dx dx x dx +∞ -∞ -= =+-=+=?? ?。 3. 解:1 ()(2)0.400.320.30.2k k i E X x p ∞ == =-?+?+?=-∑; 2 21 (35)(35)170.450.3170.313.4k k i E X x p ∞ =+=+=?+?+?=∑ 22(35)3()513.4E X E X +=+=。 4.解:(1)0 ()(2)2()2 ()22(| )2x x x E Y E X E X xf x dx x e dx xe e dx +∞ +∞ +∞ --+∞ --∞ ==== =-+=???. (2)223300 1 1 33 ()()()|X x x x E Y E e e f x dx e dx e +∞ +∞ ----+∞ -∞ == = =-=??. 5.解:(1)3 33 1 1 1 ()10.420.230.42i i i ij i i j E X x p x p ? ==== ==?+?+?=∑∑∑. 3 3 3 1 1 1 ()10.300.410.30j j j ij j j i E Y y p y p ?======-?+?+?=∑∑∑. (2) 7 1 11 ()10.2(0.50.1)...0.50.10.1315i i i E Z z p ===-?+-?++?+?=-∑。 2 2 1 ()40.400.340.3 2.8 k k i E X x p ∞ ===?+?+?=∑ 随机变量的数字特征章节测试题 一、选择题(本大题共15个小题,每小题2分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知随机变量X 满足D (X )=2,则D (3X +2)=( ) A .2 B .8 C .18 D .20 2.设服从二项分布X ~B (n ,p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和45 4,则n 、p 的 值分别是( ) A .50,1 4 B .60,14 C .50,3 4 D .60,3 4 . 3.某次语文考试中考生的分数X ~N (90,100),则分数在70~110分的考生占总考生数的百分比是( ) A .68.26% B .95.44% C .99.74% D .31.74% 4.某市期末教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布,则由如图曲线可得下列说法中正确的是( ) A.甲学科总体的方差最小 B.丙学科总体的均值最小 C.乙学科总体的方差及均值都居中 D.甲、乙、丙的总体的均值不相同 5.设随机变量X 和Y 独立同分布,若记随机变量,=-=+U X Y V X Y ,则随机变量U 与V 必然( ) A.不独立 B.独立 C.相关系数不为零 D.相关系数为零 6.若X 是离散型随机变量,P (X =x 1)=23,P (X =x 2)=13,且x 1<x 2.又已知E (X )=4 3,D (X ) =2 9 ,则x 1+x 2的值为( ) A.53 B.73 C.11 3 D .3 7.已知X 为随机变量,且E (X ), D (X )均存在,则下列式子不成立的是( ) .[()]() .[()]2() .[()]0.[()]() =+=-==A E E X E X B E X E X E X C E X E X D D E X E X 8.设随机变量X 服从[,]a b 上的均匀分布,若1 ()2,()3==E X D X ,则均匀分布中的常 数,a b 的值分别为( ) .1,3.1,2.2,3.2,2========A a b B a b C a b D a b 第三章、随机变量的数字特征 一、选择题: 1.设随机变量X 的分布函数为4 0,1(),011,1x F x x x x ?=≤≤??>? ,则EX= ( C ) A .140x dx ? B .15 14 x dx ? C .1 4 4x d x ? D .1 40 1 x dx xdx +∞ + ?? 2.设X 是随机变量,0x 是任意实数,EX 是X 的数学期望,则 ( B ) A .220()()E X x E X EX -=- B .22 0()()E X x E X EX -≥- C .220()()E X x E X EX -<- D .2 0()0E X x -= 3.已知~(,)X B n p ,且EX=2.4,EX=1.44,则参数,n p 的值为 (B ) A .n = 4,p = 0.6 B .n = 6,p = 0.4 C .n = 8,p = 0.3 D .n = 24,p = 0.1 4.设X 是随机变量,且EX a =,2 EX b =, c 为常数,则D (CX )=( D ) A .2 ()c a b - B .2 ()c b a - C .22()c a b - D .22 ()c b a - 5.设随机变量X 在[a ,b ]上服从均匀分布,且EX=3,DX=4/3,则参数a ,b 的值为 (B ) A .a = 0,b = 6 B .a = 1,b = 5 C .a = 2,b = 4 D .a = -3,b = 3 6.设ξ服从指数分布()e λ,且D ξ=0.25,则λ的值为 ( A ) A .2 B .1/2 C .4 D .1/4 7.设随机变量ξ~N (0,1),η=2ξ+1 ,则 η~ ( A ) A .N (1,4) B .N (0,1) C .N (1,1) D .N (1,2) 8.设随机变量X 的方 差DX =2 σ,则()D aX b += ( D ) 1 第8章 随机变量与数字特征 一、填空题 ⒈ 设随机变量X 的概率分布为 则a = . ⒉ 设X 服从区间[1,5]上的均匀分布,当5121<< 随机变量的数字特征历年真题 数学一: 1(87,2分) 已知连续型随机变量X 的概率密度为 1 22 1 )(-+-= x x e x f π 则EX = ,DX = 。 2(89,6分) 设随机变量X 与Y 独立,且X~N (1,2),Y~N (0,1),试求随机变量Z =2X -Y +3的概率密度函数。 3(90,2分) 已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布,且胡机变量Z =3X -2,则EZ = 。 4(90,6分) 设二维随机变量(X ,Y )在区域D :0随机变量的数字特征试题答案
四、随机变量的数字特征(答案)
随机变量的数字特征
四、随机变量的数字特征(答案)
随机变量的数字特征试题答案
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第三章 随机变量的数字特征答案
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征教案
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征(答案)
随机变量的数字特征归纳
随机变量分布及数字特征
随机变量数字特征习题课
第四章 随机变量的数字特征课后习题参考答案
第四章随机变量的数字特征单元测试题
第三章、随机变量的数字特征
随机变量与数字特征练习题及答案
随机变量的数字特征历年真题数学