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2020年高考数学试题分类汇编:概率.docx

2020 年高考数学试题分类汇编:概率

【考点阐述】

随机事件的概率. 等可能性事件的概率. 互斥事件有一个发生的概率. 相互独立事件同时发生的概率.独立重复试验. 【考试要求】

( 1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. ( 2)了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. ( 3)了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件

的概率乘法公式计算一些事件的概率.

(4)会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生

κ 次的概率.

【考题分类】

(一)选择题(共

8 题)

1.(福建卷理 5)某一批花生种子,如果每

1 粒发牙的概率为

4 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发

5

芽的概率是(

16

96

C.

192

D.

256

A.

B.

625

625

625

625

【标准答案】 B

2

2

【试题解析】 由 P

4 (2) C 42

4

1 96

5

5 625

【高考考点】 独立重复实验的判断及计算 【易错提醒】 容易记成二项展开式的通项

,当然这题因为数字的原因不涉及

.

【学科网备考提示】 请考生注意该公式与二项展开式的通项的区别 ,所以要强化公式的记忆

.

2.(福建卷文 5)某一批花生种子,如果每

1 粒发芽的概率为

4

,那么播下 3 粒种子恰有 2 粒

5

发芽的概率是(

12 16

48 96

A.

B.

C.

D.

125

125

125

125

【标准答案】 C

2

1

【标准答案】 由 P 3

(2) C 32 4

1 48

5

5 125

【高考考点】 独立重复实验的判断及计算

【易 提醒】 容易 成二 展开式的通

.

【学科网 考提示】 考生注意 公式与二 展开式的通 的区

3.(江西卷理

11文 11) 子 一天 示的 是从 00:00 到 23: 59 ,所以要 化公式的

的每一 刻都由四个数字

.

成, 一天中任一 刻的四个数字之和

23 的概率 (

1

1

1

1

A .

B .

C .

D .

180

288

360

480

【 准答案】 C .

【 准答案】一天 示的 共有

24 60 1440 种 ,和 23 共有 4 种 ,故所求概率

1 .

360

4. ( 宁卷理 7 文 7) 4 卡片上分 写有数字 1,2, 3, 4,从 4 卡片中随机抽取

2 ,

取出的

2 卡片上的数字之和 奇数的概率 (

1

1

2

3

A .

B .

C .

D .

3

2

3

4

【答案】:C

【解析】:本小 主要考 等可能事件概率求解 。依 要使取出的 2 卡片上的数字之和

奇数, 取出的 2 卡片上的数字必 一奇一偶,

∴取出的

2 卡片上的数字之和 奇数的

概率 P

C 21 C 21 4 2 .

C 32 6 3

5.(全国Ⅱ卷理 6)从 20 名男同学, 10 名女同学中任 3 名参加体能 , 到的

3 名同

学中既有男同学又有女同学的概率 (

9

10

C .

19

20

A .

B .

29

D .

29

29

29

【答案】 D

【解析】

P C 201 C 102

C 202C 101 20

C 303

29

6.(山 卷理 7)在某地的奥运火炬 活 中,有 号

1, 2, 3,?, 18 的 18 名火炬手 .

若从中任 3 人, 出的火炬手的 号能 成

3 公差的等差数列的概率 (

(A )

1

( B )

1

(C )

1

( D )

1

51

68 306

408

【 准答案】 :B 。

【 分析】:属于古典概型 ,基本事件 数

C 183

17 16

3 。

出火炬手 号

a n a 1 3(n 1) ,

a 1 1 ,由 1,4,7,10,13,16 a 1 2 ,由 2,5,8,11,14,17 a 1 3 ,由 3,6,9,12,15,18

可得 4 种 法;

可得 4 种 法;

可得 4 种 法。

P

4 4 4 1 .

17 16 3

68

【高考考点】 : 古典概型

【易 提醒】

: 求目 事件 会出 分 准不明确 致事件的重复 数,如令

a 1 4 所

得 号就与 a 1

1 的情形部分重复。

【学科网 考提示】 :概率的 算与排列 合知 有着密切的 系,情景 置极易生活化,需要构建数学模型。 理解能力要求 高,具有理解新事物 理新信息的能力。

7.(重 卷文 9)从 号

1,2,? ,10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个, 所取 4 个球的最大

号 是 6 的概率 (

1 1

2 3

(A)

(B)

(C)

(D)

84

21

5

【答案】 B

【解析】 本小 主要考 合的基本知 及等可能事件的概率。

C 53

P

C 104

8.(四川延考理 8 文 8)在一次 活 中,一同学从 4 本不同的科技 和

中任 3 本, 所 的 中既有科技 又有文 的概率

( )

( A )

1

( B )

1

( C )

2

( D )

4

5

1 ,故 B 。

21

2 本不同的文

5

2

3

5

解:因文 只有

2 本,所以

3 本必有科技 。 等价于

3 本 有文 的概率:

C 43 4 4

P( A) 1 P( A) 1

1

5

C 63

20

(二)填空 (共

6 )

1.(湖北卷文 14)明天上午李明要参加奥运志愿者活 , 了准 起床,他用甲、乙两个 叫醒自己, 假 甲 准 响的概率是 0.80,乙 准 响的概率是

0.90, 两个 至少有

一准 响的概率是

.

【标准答案】 0. 98

【试题解析】用间接法做 : 两个闹钟一个也不准时响的概率是(1 0.8)(1 0.9)0.02 ,所以要求的结果是 1 0.02 0.98.

【高考考点】间接法求概率,分类讨论思想。

【易错提醒】计算出错 .

【学科网备考提示】本题还可以这样做:

要求的概率是 (10.8)0.90.8(10.9)0.80.90.98

2.(湖南卷理15)对有 n(n≥ 4)个元素的总体1,2, L ,n 进行抽样,先将总体分成两个子总体

1,2,L,m 和 m1, m2,L, n(m 是给定的正整数,且2≤ m≤ n-2),再从每个子总体中各随机抽取 2个元素组成样本 .用P ij表示元素i和j同时出现在样本中的概率,则 P1n=;所有 P ij(1 ≤i < j≤n的和等于.

【答案】4, 6

m(n m)

C m11C n1m 14(m1)(n m1)4;

第二空可分:

【解析】 P1n

C n2

C m2m m(m1)(n m)(n m1)m(n m)

①当 i , j1,2, L , m 时,P

ij

C m2

1;

C m2

②当 i , j m1, m2,L, n 时,P ij 1 ;

③当 i1,2, L, m ,j m1, m2,L, n时,P ij m(n m)

4

4 ; m(n m)

所以 P ij11 4 6.

3.(江苏卷2)一个骰子连续投 2 次,点数和为 4 的概率为。

【答案】

1

12

【解析】本小题考查古典概型。基本事件共 6 6 个,点数和为 4 的有(1,3)、(2, 2)、(3,1)共

3 个,故P

63 1 。612

4.(江苏卷 6)在平面直角坐标系xoy中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域, E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随意投一点,则落入 E 中的概率为。

【答案】

16

【解析】本小题考查古典概型。如图:区域 D 表示边长为 4 的正方形

ABCD的内部(含边界),区域 E 表示单位圆及其内部,因此

P12

4

416

5.(上海卷理7 文 8)在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0)、 B(2,0) 、 C(1,1) 、 D(0,2) 、E(2,2)、 F(3,3)中任取三个,这三点能构成三角形的概率是(结果用分数表示)

【答案】

3

4

【解析】已知 A、C、E、F 共线; B、C、D 共线;六个无共线的点生成三角形总数为:C63;

可构成三角形的个数为: C 63C 43 C 3315 ,所以所求概率为:

C63C43C33

C633 ;4

.6.(上海春卷10)古代“五行”学说认为:“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,

木克土,土克水,水克火,火克金 .”将五种不同属性的物质任意排成一列,设事件 A 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”,则事件 A 出现的概率是(结果用数值表示)

【答案】

1

12

(三)解答题(共17 题)

1.(安徽卷文18)在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了10张卡片,每张卡片印有一个汉字的拼音,其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g” .

(Ⅰ)现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这10 张卡片总随机抽取 1 张,测试后放回,余下 2 位的测试,也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上,拼

音都带有后鼻音“ g”的概率。

(Ⅱ)若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取 3张,求这三张卡片上,拼音带有后鼻

音“ g”的卡片不少于 2 张的概率。

【解析】( I )记第一位被测试者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“ g”为事件A,则p( A)

3

。10

记第二位被测试者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“g”为事件B,则p(B)3

。记第三10

位被测试者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“ g”为事件C,则p(C )3

B ,C

。又 A ,

10

相互独立则这三位被测试者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“ g ”是ABC所以

p( ABC )p( A) p( B) p(C )33327 10 10 101000

C73C72C3111

(Ⅱ)p 1C10360

【试题解析】主要考查相互独立事件、互斥事件、对立事件概率的求法.

【高考考点】概率

【易错提醒】相互独立事件、互斥事件、对立事件概念

【学科网备考提示】高考对概率知识的考查,主要是以实际应用题为主,这既是这类问题的热点,又符合高考的发展方向,对这部分的学习要以课本的基础知识为主,难度不会太大. 2.(北京卷文18)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.

(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率;

(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.

【试题解析】(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件E A,那么 P(E A )

A331

C52 A44,

40即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 1 .

40

(Ⅱ)设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ,那么 P(E )

A441

,C52 A4410

所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P( E) 1 P(E)

9

.10

3.(福建卷文18)三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为 1 , 1, 1 , 且

543他们是否破译出密码互不影响.

( Ⅰ )求恰有二人破译出密码的概率;

( Ⅱ )“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大?说明理由.

【试题解析】

解:记“第 i 个人破译出密码”为事件

A 1(i=1,2,3) ,依题意有

P( A )

1

, P( A )

1

, P( A )

1

, 且 A 1, A 2, A 3 相互独立 . 1

5

2

4 3

.3

(Ⅰ)设“恰好二人破译出密码”为事件

B ,则有

B = A 1· A 2· A 3 · A 1· A 2 · A 3+ A 1 · A 2· A 3 且 A 1· A 2· A 3 , A 1· A 2 · A 3, A 1 · A 2·A 3 彼此互斥

于是 P(B)=P(A 1·A 2· A 3 )+P ( A 1· A 2 · A 3) +P ( A 1 · A 2·A 3)

1

1 2 1 3 1 4 1 1

5

4 3

5 4 3 5 4 3

3

.

20

3 答:恰好二人破译出密码的概率为

.

20

(Ⅱ)设“密码被破译”为事件 C ,“密码未被破译”为事件

D.

D = A 1 · A 2 · A 3 ,且 A 1 , A 2 , A 3 互相独立,则有

P ( D )= P ( A 1 )· P ( A 2

4 3 2 2

)·P ( A 3 )=

4

= .

5

3

5

而 P ( C )= 1-P ( D )= 3

,故 P ( C )> P ( D ) .

5

答:密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.

【高考考点】 本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,

考查运用数学知识分析问题、

解决

问题的能力 .满分 12 分 .

【易错提醒】 对于恰有二人破译出密码的事件分类不清.

【学科网备考提示】 对于概率大家都知道要避免会而不全的问题 ,上述问题就是考虑不周全所

造成的 ,所以建议让学生一定注重题干中的每一句话

,每一个字的意思 .只有这样才能做到满分 .

4.(广东卷文 19)某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表:

初一年级

初二年级 初三年级 女生

373 x

y

男生

377

370

z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是0.19.

(1) 求 x 的值;

(2) 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名?

(3)

已知 y 245,z 245,求初三年级中女生比男生多的概率.

【试题解析】

(1) 由

x

0.19 , 解得 x

380,

2000

(2)

,

初三年级人数为 y

z 2000 (373 377

380 370) 500

设应在初三年级抽取 m 人,则 m

48 ,解得 m=12. 答:

应在初三年级抽取 12 名.

500

2000

( 3)设初三年级女生比男生多的事件为

A ,初三年级女生和男生数记为数对

( y, z) ,

由( 2)知 y

z

500, ( y, z N , y 245, z

245) ,则基本事件总数有:

(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251),(250,250),

(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245)

共 11 个, 而事件 A 包含的基本事件有:

(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245)

共 5 个,

∴ P( A)

5

11

5.(海南宁夏卷文 19)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调 查部门对某校 6

名学生进行问卷调查, 6 人得分情况如下: 5, 6, 7, 8, 9,10。把这 6 名学

生的得分看成一个总体。 ( 1)求该总体的平均数; ( 2)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽

取 2 名,他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的

概率。

【试题解析】

(1)总体平均数为

1 6 7

8 9

10 7.5

5

6

(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5”

从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有:

(5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (5,10), (6,7), (6,8), (6,9),

(6,10), (7,8), (7,9), (7,10), (8,9), (8,10), (9,10), 共15个基本结果。

事件A包含的基本结果有: (5,9), (5,10), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9), 共有7个基本结果;

所以所求的概率为

P A

7

15

6.(湖南卷文 16)甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约,乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是 1

,且面试是否合格互不影响。求:

2

( I )至少一人面试合格的概率;

( I I )没有人签约的概率。【试题解析】

用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A,B,C 相互独立,

且 P( A)P( B)P(C )1 . 2

(I)至少有一人面试合格的概率是1

1 P( A) P(B)P(C ) 1( 1) 3

2(II )没有人签约的概率为P( A B C )P( A B C )

7 .

8

P( A B C)P( A B C )

P( A) P(B) P(C )P( A) P( B) P(C ) P( A) P(B) P(C )

( 1)3( 1)3( 1)3 3 .

2228

7.(江西卷文 18)因冰雪灾害,某柑桔基地果林严重受损,为此有关专家提出一种拯救果树的

方案,该方案需分两年实施且相互独立.该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是0.2、0.4、0.4;第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.5 倍、1.25 倍、 1.0 倍的概率分别是0.3、 0.3、0.4.

(1)求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率;

(2)求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.

【试题解析】

(1)令 A 表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件

P( A) 0.20.40.4 0.3 0.2

(2)令 B 表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件

P(B) 0.20.60.4 0.6 0.40.3 0.48

8.(辽宁卷文18)某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100 周的统计结果如下表所示:

周销售量234

频数205030

(Ⅰ)根据上面统计结果,求周销售量分别为 2 吨, 3 吨和 4 吨的频率;

(Ⅱ)若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求

(ⅰ) 4 周中该种商品至少有一周的销售量为 4 吨的概率;

(ⅱ)该种商品 4 周的销售量总和至少为15 吨的概率.

【试题解析】

本小题主要考查频率、概率等基础知识解:(Ⅰ)周销售量为 2 吨, 3 吨和(Ⅱ)由题意知一周的销售量为

,考查运用概率知识解决实际问题的能力 .满分 12 分. 4 吨的频率分别为 0.2, 0.5 和 0.3. (4)

分 2 吨, 3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2, 0.5 和 0.3,

故所求的概率为

P 1 0.740.7599

.·································8 分(ⅰ) 1

(ⅱ) P2C43 0.50.330.340.0621 .························12分9.(全国Ⅰ卷文20)已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种化验方案:

方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.

方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1只化验.

求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率.

【试题解析】

解:主要依乙所验的次数分类:

若乙验两次时,有两种可能:

①先验三只结果为阳性,再从中逐个验时,恰好一次验中概率为:

C42 A 331

=6 6 1

=

1

(

也可以用

C

4

21

=

61

=

1

)

A 53A13 3 4 5 35C53C311035

②先验三只结果为阴性,再从其它两只中验出阳性(无论第二次验中没有,均可以在第二次结束)

A 34A12

=242

C34

4 11

A 53A 22

=

C53

=5 4 3 510 2 5

∴乙只用两次的概率为1+2=3。

5 55

若乙验三次时,只有一种可能:

先验三只结果为阳性,再从中逐个验时,恰好二次验中概率为:

C42 A 33(-1) 6 6 22也可以用C

4

2 A 1

2A 22= 6 42

311==(33

10 6= )

A 5 A 3 3 4 5 35C5 A 35∴在三次验出时概率为

2

5

∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为:

3121

-1

)=

12

6

18

(-)+(-

555252525 55

解法 2:设 A 为甲的次数不多于乙的次数

则 A 表示甲的次数小于乙的次数

则只有两种情况,甲进行的一次即验出了和甲进行了两次,乙进行了 3次。

则设 A 1 ,A 2分别表示甲在第一次、二次验出,并设乙在三次验出为 B

1 1 1 1

2 1 6 2 2

A 4

C

4

则 P(A 1 )= 1 = ,P(A 2 )= 2 = ,P(B) = 3(1- 1 )=

=

C 5 5 A 5 5 C 5 C 3

10 3 5

1 1

2 7

∴ P(A)=P(A 1 )+P(A 2 ) P(B)= + = 25

5 5 5

∴ P(A)=1 - 7 = 18

25 25

作后感:遇到正作情况过于复杂的,要主动去分析应用对立事件来处理。

10(.全国Ⅱ卷文 19)甲、乙两人进行射击比赛,在一轮比赛中,甲、乙各射击一发子弹.根据

以往资料知,甲击中 8 环, 9 环, 10 环的概率分别为 0.6, 0.3, 0.1,乙击中 8 环, 9 环, 10

环的概率分别为 0.4, 0.4, 0.2. 设甲、乙的射击相互独立.

(Ⅰ)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率;

(Ⅱ)求在独立的三轮比赛中,至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率. 【试题解析】

记 A 1, A 2 分别表示甲击中

9 环, 10 环,

B 1, B 2 分别表示乙击中 8 环, 9 环,

A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数,

B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数,

C 1, C 2 分别表示三轮中恰有两轮,三轮甲击中环数多于乙击中的环数.

(Ⅰ)

A

A 1 g

B 1

A 2 g

B 1 A 2 gB 2

, ·································2 分

P( A)

P( A 1 gB 1

A 2 g

B 1

A 2 g

B 2 )

P( A 1gB 1)

P(A 2 gB 1)

P(A 2 gB 2 )

P( A 1)gP( B 1 )

P( A 2 ) gP( B 1 )

P( A 2 )gP( B 2 )

0.3 0.4 0.1

0.4

0.1 0.4

0.2 . ······························6 分

(Ⅱ)

B

C 1

C 2 , ··········································8 分

P(C1 )C32[ P( A)] 2 [1P( A)] 3 0.22(10.2) 0.096 ,

P(C2 )[ P( A)] 30.230.008,

P(B)P(C1C2 )P(C1 ) P(C2 ) 0.0960.0080.104.·············12 分11(.山东卷文18)现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者A1, A2, A3通晓日语,B1,B2,B3通晓俄语, C1,C2通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组.(Ⅰ)求 A1被选中的概率;

(Ⅱ)求 B1和 C1不全被选中的概率.

【试题解析】

(Ⅰ)从8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,

其一切可能的结果组成的基本事件空间

{ (A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),( A1,B2,C2),(A1,B3,C1),( A1, B3, C2 ) , ( A2, B1, C1 ),(A2, B1, C2 ),(A2, B2, C1) , ( A2, B2, C2 ) ,( A2, B3, C1) , ( A2, B3, C2 ) , ( A3, B1, C1),(A3, B1, C2 ),(A3, B2, C1 ) ,( A3, B2, C 2 ),(A3, B3, C1 ),(A3, B3, C2 ) }

由18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,

因此这些基本事件的发生是等可能的.

用 M 表示“A1恰被选中”这一事件,则

M{ ( A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),

( A1, B2, C2 ),(A1, B3, C1 ),(A1, B3, C2 ) }

事件 M 由6个基本事件组成,因而P(M )6 1 .

183

(Ⅱ)用 N 表示“B1,C1不全被选中”这一事件,

则其对立事件 N 表示“ B 1, C 1 全被选中”这一事件,

由于 N

{ ( A 1, B 1, C 1),(A 2, B 1, C 1 ),(A 3, B 1, C 1 ) } ,事件 N 有 3 个基本事件组成,

3 1 P(N ) 1 P(N )

1 5 所以 P( N )

,由对立事件的概率公式得

1

18

6

6

6

12.(陕西卷文 18)一个口袋中装有大小相同的 2 个红球 ,3 个黑球和

4 个白球 ,从口袋中一次摸

出一个球 ,摸出的球不再放回 .

(Ⅰ)连续摸球 2 次,求第一次摸出黑球 ,第二次摸出白球的概率;

(Ⅱ)如果摸出红球 ,则停止摸球 ,求摸球次数不超过 3 次的概率.

【试题解析】

(1)从袋中依次摸出

2 个红球共有种结果,

A 92 ,第一次摸出黑球,第二次摸出白球的结果

1 1

A 31 A 41 1

3 4 1

A 3 A 4 ,则所求概率为

P 1

,或

P

A 9

2

9 8

6

6

( 2)第一次摸出红球的概率

A 21

,第二次摸出红球的概率

A 71A 21 ,第三次摸出红球的概率

A 9 1

A 9 2

A 7 2 A 21 ,则摸球次数不超过 3 的概率为 A 21

A 7 1A 21 A 7 2 A 21

7

A 93

A 91

+

A 92 +

A 93

9

【点评】 几何分布的模型,注意互斥事件的概率计算;

【易错指导】 摸球认不清不放回的特征,误用独立重复试验模型求解;

13.(四川卷文 18)设 进 入 某 商 场 的 每 一 位 顾 客 购 买 甲 种 商 品 的 概 率 为 0.5 ,购 买 乙种 商 品 的 概 率 为 0.6 ,且 购 买 甲 种 商 品 与 购 买 乙 种 商 品 相 互 独 立 ,各 顾 客 之 间 购买 商 品 也 是 相 互 独 立 的 。

(Ⅰ)求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;

(Ⅱ)求进入商场的 3 位顾客中至少有 2 位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率。【试

题解析】

(Ⅰ)记 A 表示事件:进入商场的

1 位顾客购买甲种商品,

记 B 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买乙种商品,

记 C 表示事件:进入商场的

1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种,

C

A B

A B

P C

P A B

A B

P A B P A B

P A P B

P A P B

0.5 0.4 0.5 0.6

0.5

(Ⅱ)记

A 2 表示事件:进入商场的

3 位顾客中都未选购甲种商品,也未选购买乙种商品;

D 表示事件:进入商场的

E 表示事件:进入商场的

1 位顾客未选购甲种商品,也未选购买乙种商品;

3 位顾客中至少有 2 位顾客既未选购甲种商品,也未选选

购乙种商品;

D A B

P D

P A B

P A

P B

0.5 0.4

0.2

P A 2

C 22

0.22

0.8 0.096

P A 3

0.23

0.008

P E

P A 1

A 2

P A 1

P A 2

0.096 0.008 0.104

【点评】:此题重点考察相互独立事件有一个发生的概率;

【突破】:分清相互独立事件的概率求法;对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用; 14(.天津卷文 18)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为

1

与 p ,

2

且乙投球 2 次均未命中的概率为

1 .

p ;

16

(Ⅰ)求乙投球的命中率

(Ⅱ)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率;

(Ⅲ)若甲、乙两人各投球

2 次,求两人共命中 2 次的概率.

15.(浙江卷文 19)一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球。已知袋中共有 10 个球。从袋 中任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是

2

;从袋中任意摸出

2 个球,至少得到

1 个白球的概

5

率是

7

。求:

9

(Ⅰ)从中任意摸出 2 个球,得到的都是黑球的概率;

(Ⅱ)袋中白球的个数。

【试题解析】

本题主要考查排列组合、概率等基础知识,同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。满分 14

分。

(Ⅰ)解:由题意知,袋中黑球的个数为10

2

4.

5

记“从袋中任意摸出两个球,得到的都是黑球”为事件

A ,则

2

P( A) C 4

2

.

C 102

15

(Ⅱ)解:记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件 B 。

设袋中白球的个数为

x ,则

P( B) 1 P(B)

C n 2 1 7 ,

1

9

C n 2

得到 x =5

16.(重庆卷文 18)在每道单项选择题给出的 4 个备选答案中,只有一个是正确的 .若对 4 道选

择题中的每一道都任意选定一个答案,求这 4 道题中:

(Ⅰ)恰有两道题答对的概率 ;

(Ⅱ)至少答对一道题的概率 .

【解析】 本小题主要考查相互独立事件、互斥事件、对立事件概率的求法及运算能力。

【答案】 视“选择每道题的答案”为一次试验,则这是

4 次独立重复试验,且每次试验中“选

1

择正确”这一事件发生的概率为

.

4

由独立重复试验的概率计算公式得:

( Ⅰ ) 恰有两道题答对的概率为

P 4 (2) C 24

( 1

) 2

( 3)2

4 4 27 .

128

(

Ⅱ ) 解法一:至少有一道题答对的概率为

1 P 4 (0) 1 C 04 ( 1 )0 ( 3 ) 4

4

4 1

81

175 .

256 256

解法二:至少有一道题答对的概率为

1

1 3 2

2

1 2 3 2

3

1 3 3

4

1 4 3 0

C 4 ( 4)( 4) C 4 ( 4 ) ( 4)

C 4 ( 4) ( 4 ) C

4 ( 4 ) ( 4)

10854121

256256 256256

175 .

256

17.(四川延考文18)一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类: A 类、B 类、C 类.检验员定时从该生产线上任取 2 件产品进行一次抽检,若发现其中含有 C 类产品或 2 件都是 B 类产品,就需要调整设备,否则不需要调整.已知该生产线上生产的每件产品为 A 类品, B 类

0.05,且各件产品的质量情况互不影响.

品和 C 类品的概率分别为0.9 , 0.05

(Ⅰ)求在一次抽检后,设备不需要调整的概率;

(Ⅱ)若检验员一天抽检 3 次,求一天中至少有一次需要调整设备的概率.

【解析】(Ⅰ)设A i表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为 A 类品”,i1,2 .

B i表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为 B 类品”,i1,2 .

C i表示事件“一次抽检后,设备不需要调整”.

则 C A1 A2A1 B2 B1 A2.

由已知 P(A i )0.9, P( B i )0.05 , i1,2 .

所以,所求的概率为P(C ) P( A1 A2 )P( A1 B2 )P(B1 A2 )

0.9220.90.050.9 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,一次抽检后,设备不需要调整的概率为P(C ) 0.9 .

故所求概率为: 1 0.930.271

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