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大连理工大学《工科数学分析基础》多元数量值函数积分学复习3.docx

例1设D 是xOy 平面上以（1, 1）、（-1, 1）和（一1, -1）为顶点的三角形区域, 卩是D 在第一彖限的部分，若

/ = jj (xy + cos x sin y^dxdy ,

试问下列等式是否成立，并说明理由.

(1) / = 2jj xydxcly ; (2) I = cosxsin yclxdy ；⑶ / 二 (xy + cosxsin y^dxdy

解画出区域D 的图形（如图9-43）,将区域D 分为四个子区域°,0,2,2。

显然0与D?关于），轴对称，和关于兀轴对称，将/分为两个二重积分,

I = Jj xydxdy, I 2 = jj cos x sin ydxdy D D

由于xy 关于兀和关于y 轴都是奇函数，因此

Jj xydxdy - 0,

JJ xydxdy - 0

D {+D 2

0+2

所以人=0,而cos x sin y 是关于y 的奇函数，关于x 的偶函数，故有

jj cos % sin ydxdy = 0

D3+D44

综上分析可知，等式（1）、（3）不成立，等式（2）式成立.

通过上面的讨论，可利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化重积分的计算?通常有如下几种情况:

（1）设平而有界闭区域D =

up 与0关于y 轴（兀=0）对称，/（兀，刃

为￡＞上的可积函数，则

jjcosxsin D \+D

ydxdy = 2 JJ cosxsin 02

ydxdy

因此

I = 2|jcosxsin ydxdy

即/(一兀,y) = /(x,刃) (当/为D上关于兀的奇函数,

即/(一兀,刃=—/(兀,刃)

(2)设平面有界闭区域D =+ 2，且q与2关于X轴(y = 0)对称，./G,y)

为D上的可积函数，则

2fjf(x9 y)加/y(当/为D上关于y的偶函数，

BI J/(x-J)=/(^, y))

(当/为D上关于y的奇函数,

即/(兀，一刃=—/(兀刃)

例2计算fj(3x3 + y^dxdy ,其中Q是由两条抛物线y = x2,y = 4x2之

间、直线y = 1

以下的闭区域.

解积分区域如图9-44所示，D关于y轴对称，3/ + y中3疋是关于兀的奇函数, y是关于兀的偶函数，依对称性有

例3计算二重积分jj y~x2 \dxdy ,其中D是由直线x = l,x = -l,y = 2和x轴所

围成的闭区域.

解为计算积分，首先要将被积函数JG二H屮绝对值符号去掉，如图所示，抛物线y = x2将D分成两个子区域D|、D2,其屮

D}:-1

D2 : -1 < X <1,A:2 < ^ < 2.

Jy —异((%, y) G D2).

被积函数/(兀y)在D上是关于X的偶函数，积分区域D关于y轴对称，D』也是关于y轴对称的，故

JJ Jl 跑y =

例4设/(无)在区间［⑦b ］上连续，证明—— b-a

证/(x)在区间[a,b]上连续，故F(x, y) = [f(x)

一 /(y)]2

在矩形区域D:a

d (J>0.

显然

\\[fM-f(y)]2d (y

= \\f{x)-d (y 一 2JJ

+ JJ /(y)? d”

=ff f 2Mdxdy - 2 f C /(x)/(y)如y + f f f 2 (y)dxdy Ja Ja Ja Ja Ja Ja =2(b - a) C f\x)dx - 2「[b f(x)dx\ > 0

两端同乘以一厶并开方得—[b

f{x)dx < J —!— \b f 2

(x)dx

(b-a)^

b-a Ja

\ b-a Ja

例5求rtl 曲线)“ =x 与直线兀=1所围成的平面均匀薄片对于通过坐标原点的任一直线的转动惯量，并讨论转动惯量在哪种情况下，取得最大值或最小值. 解设过原点的任一直线为y =

平面薄片上任一点(x,y)到该直线的距离为

&则由转动惯量的计算公式’有

<(b-a)^f 2(x)cbc

一2砂 + /兀

2)d (r

r b

I f^dx < J

所以

fMdx 其中°为均匀薄片的面密度.

05y 51,)，

被积函数y 2 - 2cixy + a 2x 2中，b , //是关于丿轴的偶函数，一2仏。是关于y 的

4p 32p

刁-一

( 1 + /)?105

4 显然当a = 0时，平面

薄片绕x 轴的转动惯量最小，即/ min = —/?.当dToo 时，即平

面薄片绕y 轴的转动惯量最大，/max =^p ?

例6计算三重积分JJJ （兀+y+z ）2加，其中Q 是由抛物ffiz = x 2+y 2和球面 z 二』2-/一歹2所围成的空间闭区域.

解被积函数O+y + z)? = x 2 + y 2 4- z 2 +2(xy + yz + xz).

由于积分区域Q 关于兀Oz 坐标而对称，兀y+yz 是关于y 的奇函数，所以

+ yz ）dv = 0:

如图所示,

奇函数，于是

+ a 2x 2

)dy

类似地，由于Q 关于yOz 坐标而对称，兀z 是关于兀的奇函数，所以^xzdv = 0.

采用柱面坐标计算JJj(x 2

+尸+ z 2

)Jv , Q 由不等式

O<0<2TT ,0

' (r 3 + rz 2)dz

=2^(r 3(J2-厂$ -r 2) + -|(2-r 2卩-r 6 \)dr

1 1 1

----- + --22 5 8 5

=—(16V2-19) + —[32V2-13], 1 =—(96V2-89)O

例7 —均匀物体Q 是由曲面z = k +于和“1 + Jl—* —所围成，试求该物体关于z 轴的转动惯量.

解显然Q 在兀0)：平面上的投影区域为Z ):x 2 + >2 <1,于是用柱面坐标，得

I 2 =p JJj(x 2 + ^2)Jv =pj

；d 厂「' i ' Pdz = 2%J ；(1 + 71 - r~ - r)r y dr

,<121 =2710 —I --------

(4 15 5

例8由曲面z = 2-兀2_b 和z = 后 +尸围成的立体Q,其密度为1,求Q 绕直线仁

A = y = z 旋转的转动惯量.

解如图所示，求立体Q 绕直线I 的转动惯量，必须先求得立体Q 内任意一点M （兀y,z ）到直线/的距离的平方〃S

271

J M V2sin 3 / cos 2

M 一￡ + 一丄（2川亠

5 8

11 ——071 30

—> -9 -9设0M为坐标原点到点M的向径，则=| OM |2 -（Pr j；OM）2

其中Pr j z OM =(lx + l-y + l-z)/V3

1 2

所以d? = x2 + y2 + z2——(尢+y + z)2 = — (x2 4- y2 + z2 - xy - xz- yz).故

// = jjj-|u2 +)" + z? - xy - xz - yz)dv y

rh对称性知

jjj (xy + xz + yz)dv = 0,

再用柱坐标可得

2「2龙r 1 r2-r29 983

/, = — I dO\ rdr\ (厂+z~)dz = —71.

'3 J。J()J 厂90

例9设函数/（兀）连续，且/（0） = 6/,若

F⑴z + f(x2+y2+z2)]dv9

其中Q : J%2 +y2

_无2 _y2,

求lim理.

fTO f 5

2穴n t

解F(t) = dO^ sin(pd(p jJ /-cos cp + f{r2 )\r~clr

?龙t龙t

jjsin 奴0匚沪cos (pdr + |Jsin(pd(p\ f f (f'clr

=2.7 1丄严+

\ /

lim 学= lim"

JT O 广FT O

于是

—丄严+ 1

F 16

^(2-72)f72/(r2)Jr]

= ^(2-V2)lim r^(r)

= ^(2-V2)lim^(Z ) - 2-忑

7ta.

第七章多元数量值函数积分学

7. 1多元数量值函数积分的概念与性质

一、多元数量值函数积分的概念

/(M)dQ =1= lim AQ,

1=1

可积的必要条件若函数/(M)在儿何形体Q上可积，则./(M)在Q上闭有界。可积的充分条件若函数/(M)在有界闭儿何形体Q上连续，则./(M)在Q上必可积。

二、多元数量值函数积分的性质

1= Q. 2][罗(册)+ 炖(M)]dQ = a^f(M)dQ. + .

3 J /(M)dQ = J /(M)dQ + J /(M)dQ

4 /(M)Wg(M),贝9

打(M )加< ￡ g(M )dQ | ￡/(M )dQ |< LI /(M) I dQ

5设M,加分別是人M)在闭几何形体Q上的最大值和最小值，则

6积分中值定理设函数y(M)在闭几何形体Q上连续，则在Q上至少存在一点M(),使得Jj(M)dQ = /(M())Q

三、多元数量值函数积分的分类

1.二重积分JJ f(x,y)d(y = \imX。

D° 一

2.三重积分^f(x,y,z)dv = hm△岭(1)

3.对弧氏的曲线积分［/(x,y)ds = lim￡ f(&,〃,)A》

或丄 /(兀％z)ds = lim ￡ /(乙,％匚

f=1

4.对面积的曲面积分

y,z)dS = Hm ￡)AS Z ,

￡ /=!

7. 2二重积分

计算方法: 说明：1 “画线定限” n 累次积分积之。方法：“画线”定限（切点

D ）

选择积分次序要合适，若先y 后x / =（心晋心不能积出结果。

不可积函数￡*,cos 兀IsinF,里叮等等

例 1 计算￡ dx^ e~y dy 解/ =

' 〃) J dx =卜宅 '

1 『2

2 2 1 = — \e ay"=——e

2 Jo z 2

r 2

习题 i 计算()y dy

3 /于[0,1] ±连续，^ f(x)dx = A ,求 f(y)dy 0

解令 F(x) = \j{x)dx ,则 F(0) = 0, F(l) = A, F z (x) = /(%), 原式=[/⑴力

[F(y)dy = ￡/(x) ? F(y) I ； dx = f F(x)[F(l) - F(x)]dx

"F(J 讥 ~F 2(X )|* = 1A 2

例2交换积分次序

MG?

皿=匸血口他+￡fdx

⑵ l =M^

(1) I

-1

l ?1

例4 (函数的奇偶性与区域对称性) 引例 ff y^dxdy = 0

D { :x = y 2 和兀=1 围成

D 区域关于x 轴对称/关于y 是奇函数￡>2关于轴对称，/关于％是奇函数。

规范语言：人小被积函数关于y 是奇函数，区域关于y = 0对称,

厶屮被积函数关于兀奇函数，区域关于兀=0对称，则积分为零。

反之，被积函数关于兀是偶函数，区域关于x = 0对称，则积分等于一半区I'可上积分值的二倍。

例 H W- jjx[l + yf(x 2 + y 2)]clxdy ,其中￡>:由 = x 3, y = \, x = -\ 围成，/连续。

解作),=一疋，分区域为0, D- 0，2如图原式=加3+

+ y 2)dxdy+ ^xyf(x 2 + y 2

)dxdy

Di+Q

Z)3 + Z)4

k ______________ _______________

J \ ________

丿

jj xdxdy = 2 JJ xdxdy = 2 J ：AZ Z X j dy = _

q 一

注：如上奇偶性分析对三重积分，一型线积分，一型曲面积分其结论都是对的。例5 (极坐标)计算双纽线(x 2^y 2)2=x 2-y 2 成区域的面积。解 r 4 = r 2 (cos 2 0 - sin 2 0) r 2 = cos 20

f — /?Vcos2^

f — —

do 二

rdr - 2J 4 cos 20d & 二 sin 20 \^ = I

注:(1)对称性分析，(2)极坐标使用原则)

JJ xdxdy +

D 严6 、 -- v --- '

D3+D4

例7计算JJ （|兀| +1 y |）^dy 奇偶性4”（| x| +1 y |）心心轮换对称性8”xdxdy =吕关于轮换对称性说明：互换，区域若保持不变，微元不变，即可使用，此时被积函数常发生变化。

解巳需衆护叫咒册坤

则弓

『駕卅％*

例9将极坐标形式的累次积分（严//（广,&）〃交换积分次序。

解将由厂，&构成的区域在直角坐标系中画出积分区域，然后交换积分次序

兀

、(2a 龙

￡4 d0^se rf{r,O)dr = ￡ dr^ J Jrj 4 n rf(r,3)d&

7. 3三重积分 7.3.1概念与形式

性质：与二重积分相同 2.

计算方法：

1）直角坐标：

投影法 JJf/(x,y,zWv = f 州::呱:::dz

截而法 Jjj/(x, y, z)dv =「Jzjj /(x, y, z)dxdy Q

2）柱而坐标

jjj f (x, y, z)dxdydz = jjj/(pcos&, psin 0, z) pdpdOdz

例8计算JJ

X 2 + V 2

2 /W + /(y)

dxdy,其中/连续恒号。

例6 rdr

fl 1-t f 7T 71 —I 一 [ dt = -------------------------

球面坐标

y, z)dxdydz = |||/(rsin 0cos&, rsin °sin &, rcos (p)r~ sin (pdrd (pd0

Q Q

3) 一般方法 jjj/(x, y, z)dxdydz = JJ F(u, v,w) \ J \ dudvdw V v z

F 仏匕 w) = /(x(u,匕 w), y(u, V, w), z(w, % w))。

其屮

732例题

(2.6)

例 1 计算 JJJycos(x + z)du,其中 V ： z=0, y=0, y = 4x, x+ z =—围成的区域。

v 2

兰- y[x —2 ]

解 / = JJ ydxdy^~ cos (兀 + z)dz = ￡2

dx^ )必[；cos (兀 + z)dz = ------------

0 0 0 0

16 2

例2将jjjf(x,y 9z)dV f 分别按直角坐标系，柱坐标系，球坐标系写出累次积分形式,

其中V 为(z-l)2

+x 2

+ y 2

= 1和x 2

+ y 2

< z 2

围成部分。

解(1)直角坐标系下：

(2) 柱坐标系下：

「2兀 /*1

r l+V I —/*2

/ = ￡ rJrj fdz

(3) 球坐标系下

rln (?—

f2cosfi> c —

/ = ￡ d6^ sin (pd (p\^ rfd&

f I p''l-X 2 f 1+Jl-

/(兀 jz)dz 二 L 严刎R /(x jz)〃z

计算 I = jjj(x 3

+ y 2

sin y + z)dV ,其中 V ： z 二 ^x 1 + y 2 与 z 二 yjl-x 2 - y 2

围

成区

域。

1 = JfJx'dU + jjj y

2 sin ydV +

X -------------- V --------------- '

I I

其中

= — o

亦可用柱坐标系

jjjzJV =

d0^ rdr^ * ' zdz

V2 ]

2^-r(l~r-r )d r=-

例4 设 F(t) = JJj[z 2 4- f(x 2 + y 2)]dxdydz ，其中/@)连续。Q 为 0 0),求些和 lim 理。

解 F(r) = j|J[z 2

+ f(x 2

+ y 2

)]dxdydz = ￡ dzJJ[z ，+ f(x 2

+ y 2

)]dxdy

= m 2- + 27ih-\t2

f (z)dz

3 2 o

由轮换对称性

= \\\y 2

dv =

故原式=

+ r + Z 2)JV

7.4.1第一型曲线积分的计算

物理解释：视/为密度函数，则积分为曲线质量。儿何解释：1?取/三1,积分为曲线弧长。

2.第一型曲线积分当f(x,y)> 0吋，表示以xOy 平面上的曲线段L 为

准线。母线平行于z 轴，高度为f(x 9y)的柱面面积。

-、计算方法：设参数，化定积分

J"叩:叫［；(八时)问十J

解由奇偶性 \\\xydV = \\\xdV = 0

+ y 2 + z 2)dV

7.4数量值函数的曲线与曲面积分的计算

穴

_________ ]

______ 1

j xds = ￡2

cos N4-3sin 2

tdt =

- 3x 2

dx = —

3 cos 2 OdO

L3\y = 2- x 1 ds = 1 + y~dx = Jl + 4J ?力

i ds = ^7dt y = W)

y = y(x) (x = x) ds = ^1 + y 2dx

3. r =厂(0)=> x = r(0) cos 0

---- 77

尸询sin 。

妇

x = x(Z) y = y(/) Z = z(/) ds = J(cZx)2 + (如2 + (〃Z )2 二 J”2 + + zJ dt

y = y(x) V z = z (兀)

(x = x)

ds = Jl + y'2 + fdx （此类空间曲线常以隐式方程形式出

现）

特殊的：平行x 轴线段ds = dx,平行y 轴线段 ds = dy

例1计算1 = ixds ,厶：女口图

ABCDEA

解

/ = j xds + j xds + — J xds

厶

S s

其中厶:

X = C0Sf

ds = ^7dt y = sin t

j xds =

cos tdt =

厶： x = cosf

y = 2sinf

ds = 7sin 2/ + 4cos 2r^r = 74-3sin 2Z6/r

n ________

二『j4-3sin%sin

\--x 2dxx = ^sint 4 V3 (1+cos 2 e )de=丄+年

2 3^3

J xds = j°,_ x^l 1 + 4x2 dx = -J°Jl + 4x，d (1 + 4x2)=丄(1 + 4%2 )2

-V2 6

y = -\ ,ds = dx xds = 「xdx = -l

由对称性 ^xds = ^2yds = 0 , ^(3x 2 +4y 2)tfc = ^12tfc = 12a

解由轮换对称性y 2ds = fz'ds ,

[x 2 + y 2 + z 2 = /?2 [x+y + z = 0 x 2 + y 2 + (x+y)2 =R 2

x=x'+y y = x-y

才2+2才卩+卩2+才2—2兀了+严+才2-=

,R . y = ^

mt L 4:X

x 2 +)，+ z 2:

x + y + z = 0

例2设厶为周长为a 的椭圆才+ * = 1。计算"x + 2y + 3宀4加$

f R

X = ~尸 COS t V6

dS 二 Jl + zj + dxdy

JJ /(^ y, z)dS = JJ f(x, y, z(x, y)Jl + z ： + z ； dxdy

2.若曲面方程为y = y(z,x),则 dS = ^U y? + y?dzdx

JJ/(x ，y ，z)dS = JJ /(x, y(z, x), z) Jl + yj + ￡ dzdx s — 3.若曲面方程为x = x(y,z),则

dS = Jl + xf + dydz

JJ /(^ y, z)dS =

z), y, z J s

D”

+ + x? dydz

三、例题

例 1 计算 JJ(F + y2)dS, S ： X 2 + J 2 = Z 2 (0 < Z < 1)表面

解原式=JJ(F + >,2)Jl + zj + z ； dxdy = JJ(x 2

D xy

+旳卜壬嘤严

习题

1. 计算］y 2

ds ,厶：摆线］"=°"一smz) 0 (一拱)

(空/)

X ［y = 6r(l-cosz)

2. ITW-￡(X 3 + y 3 )ds , L :0 + y3=0, —周(星形线：4》)

3. 计算 / = ￡| y\ds. L:双纽线(x 2

+ y 2)2

= a(x 2

- y 2

)的一周(a > 0) ( 2(2 - 2)a 2

)

7.4.2笫一型曲面积分的计算

一、物理解释：/三1时得曲面面积二、计算方法：投影，做二重积分

1.若曲面方程为z = z(x,y),则

R R .

y = -j=COSt 27? Z -——COST

fH 。兀Rdz 解⑵取微元dS = 2逊z,原式岂卡

j|V2(%2 + y 2)dxdy = &J ； r^dr =

^^71

s ? 0

例2计算JJ s

——,其中S 是介于z = 0, z = H 之间的柱面x 2 + y 2 = R 2 o jr + y~ + z 「解(1)曲血向yOz 面投影，由对称性

,: x 2 + y 2 = /?2(x> 0), x

原式呷E

1 + ~-dydz =

2 ff

^-y 2 i J _

FT?

=2 =2 arctan —

R H

y arcsin —

o R

.严arcta 碍 c H

2^arctan — R

w_R_ 0

1 d 1 H - j

R 2

d (九幵z)=

空+必+_i

乂由S ：专+号+八1,得z ；

(0.0,0)

、2

/ \2

y\ J 丿

+ z 2

右由对称性＞

dS = Jl + z?++z ；2=J4-F-疋

例3 S 是椭球面—+ ^- + z 2 = 1的上半部分，点P(x,y,z) G S , 口是S 在P 点的切

2 2

平面，d(x,y,z)为原点O 到切平面口的距离。求口一二—clS ° S d(x,y,z)

解设g,z )是切平面上任意点，则切平面口的方程为￥+￥+◎】

解依对称性 JJ xdS = Jj ydS = jj xydS = 0 ,

对几何形体Q 来说，Q 上的可加量0的微元的一般形式为/(M)dQ,即

dQ = , MwdQ,其中dQ 为Q 的任一子量，/(M)为Q 上的连续函数，而且

AQ-f(M)dQ 是当dTO 时的无穷小。找到微元后dQ = f(M)dQ 以后，对/(M)在Q 上积分即

得0也即 Q = jf(M)dQ

兀=￡ JjJ "(匕 y, Z )du , y =右 JJJ yp(x, y, z)clv , z = 士■ JJJ zp(x, y. z)clv M Q

M Q M Q

其中 M = y.z)dv

薄片对X 轴及y 轴的转动惯量为

l x = JJ 長"(x, y)d (r, I y = jj fgx, y)d

物体对于x 、y 、z 轴的转动惯量为

I x +z2)p(x,”z)dv,

解依对称性

形心为 X=一汕如尸汕如

例 4 计算 + 2y + xy + 3x 2 + 4y 2 )dS , S : x 2 + >j2 + z 2 = a 2 (a > 0)

再轮换对称性 [[兀勺s=jjy 爲訂片ds,则

再轮换对称性

7.5数量值函数积分应用举例

7.5.1几何问题举例 7.5.2质心与转动惯量

质心坐标为

Jy = JJJ (22 4-x 2 )p (兀,y, z)dv

I z = JJj (兀 2 + y 2 )p(兀,y, z)dv

W 1绕直线y = kx 的转动惯量，并说明k 为何值时转动惯量最

若a = b f 转动惯量与比无关

若a < b , k =0 ,绕兀轴的转动惯量最大。

若Q >Z?。k=8 ,绕y 轴的转动惯量最大，此时直线为x = 0 o

7. 5. 3引力

物体对位于P.(兀°,y 0,z 0)处的单位质量的质点的引力近似地为

dF = (dF x ,dF yJ dF z )

"G 如」恥一兀。)亦G 如丿⑵卩-儿)為G 如」于一％)血

丿

其中dF xJ dF y ,dF z 为引力元素〃F 在三个坐标轴上的分量, 厂=J (兀— Xo )2+(y — yo )2+(z

— Zo )2 , G 为引力常数，将必;,dF v ,〃；在Q 上分别积分，即得 F=(Fx ，Fy,FJ

例1设平面薄片占有兀Oy 平面上的半圆闭区域D:x 2^y 2

数p ,求它对位于(0,0,-d)(d > 0)处的单位质量的质点的引力。

x 2

例1求均匀椭圆* +

大。

Gp(x,y 9z)(x-x 0)^ jjj

Gp(x,y,z)(y-yo )di ，

, abu7C b 1 + a 2k 2

dxdv = --- ------------ — * 4 1 + k 2

多元函数微积分测试题

第七、八、九章多元函数微积分复习测试题一、单项选择题（每题2分） 1、在空间直角坐标系中，1=y 表示（）。 A 、垂直于x 轴的平面 B 、垂直于y 轴的平面 C 、垂直于z 轴的平面 D 、直线 2、用平面1=z 截曲面22y x z +=，所得截线是（）。 A 、圆 B 、直线 C 、抛物线 D 、双曲线 3、下列关于二元函数的说法正确的是（）。 A 、可偏导一定连续 B 、可微一定可偏导 C 、连续一定可偏导 D 、连续一定可微 4、设3 2 y xy x z +-=，则=???y x z 2（）。A 、y 612+- B 、x - C 、y - D 、1- 5．若函数),(y x z z =的全微分y y x x y z d sin d cos d -=，则二阶偏导数y x z ???2=（） A ．y sin - B ．x sin C ．x cos D ． y cos 6、函数x x y y x f 2),(22+-=在驻点（1，0）处（） A ．取极大值 B ．取极小值 C ．无极值 D ．无法判断是否取极值 7．若函数),(y x f z =的一阶偏导存在，且 y y f xy x z ==??),0(,2，则=),(y x f （） A ．y x 2 B ．2 xy C ．y y x +2 D ．y xy +2 8、设20,10:x y x D ≤≤≤≤；则下列与 ??D dxdy 的值不相等的是（）。 A 、 ?1 2 dx x B 、? 1 dy y C 、?-1 )1(dy y D 、??1 2 x dy dx 9、二次积分dy y x x dx x ? ? -+240 2220 转化为极坐标下的二次积分为（） A 、dr r d ??20 32 cos θθπ B 、dr r d ?? 2 22 cos θθπ C 、 dr r d ?? 2 30 cos θθπ D 、dr r d ??2 20 cos θθπ 10、x y x D ≤≤≤||,10:，则二重积分=??D dxdy （）。 A 、 ? 10 ydy B 、 ? 10 xdx C 、 ? -11 ydy D 、 ? 10 2xdx 二、填空题（每空3分） 11、0242 2 2 =+++-z z y x x 的图形是球心为的球面。

多元函数微分学知识点梳理

第九章多元函数微分学内容复习一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理（1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续（2）（二元函数）极值的必要、充分条件二、基本计算（一）偏导数的计算 1、偏导数值的计算（计算),(00y x f x '）（1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='）（3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '）（1）简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导（2）复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式）（3）隐函数求导求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等）注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算注意记号表示，以及求导顺序（二）全微分的计算 1、叠加原理

用MATLAB算多元函数积分

用MATLAB 计算多元函数的积分三重积分的计算最终是化成累次积分来完成的，因此只要能正确的得出各累次积分的积分限，便可在MA TLAB 中通过多次使用int 命令来求得计算结果。但三重积分的积分域Ω是一个三维空间区域，当其形状较复杂时，要确定各累次积分的积分限会遇到一定困难，此时，可以借助MATLAB 的三维绘图命令，先在屏幕上绘出Ω的三维立体图，然后执行命令 rotate3d on ↙ 便可拖动鼠标使Ω的图形在屏幕上作任意的三维旋转，并且可用下述命令将Ω的图形向三个坐标平面进行投影： view(0,0),向XOZ 平面投影； view(90,0),向YOZ 平面投影； view(0,90),向XOY 平面投影. 综合运用上述方法，一般应能正确得出各累次积分的积分限。例11.6.1计算zdv Ω ???，其中Ω是由圆锥曲面222z x y =+与平面z=1围成的闭区域解首先用MA TLAB 来绘制Ω的三维图形，画圆锥曲面的命令可以是： syms x y z ↙ z=sqrt(x^2+y^2); ↙ ezsurf(z,[-1.5,1.5]) ↙ 画第二个曲面之前，为保持先画的图形不会被清除，需要执行命令 hold on ↙ 然后用下述命令就可以将平面z=1与圆锥面的图形画在一个图形窗口内： [x1,y1]=meshgrid(-1.5:1/4:1.5); ↙ z1=ones(size(x1)); ↙ surf(x1,y1,z1) ↙ 于是得到Ω的三维图形如图:

由该图很容易将原三重积分化成累次积分： 111zdv dy -Ω=???? 于是可用下述命令求解此三重积分： clear all ↙ syms x y z ↙ f=z; ↙ f1=int(f,z.,sqrt(x^2+ y^2),1); ↙ f2=int(f1,x,-sqrt(1- y^2), sqrt(1- y^2)); ↙ int(f2,y,-1,1) ↙ ans= 1/4*pi 计算结果为4 π 对于第一类曲线积分和第一类曲面积分，其计算都归结为求解特定形式的定积分和二重积分，因此可完全类似的使用int 命令进行计算，并可用diff 命令求解中间所需的各偏导数。例11.6.2用MATLAB 求解教材例11.3.1 解求解过程如下 syms a b t ↙ x=a*cos(t); ↙ y=a*sin(t); ↙ z=b*t; ↙ f=x^2 +y^2+z^2; ↙ xt=diff(x,t); ↙ yt=diff(y,t); ↙ zt=diff(z,t); ↙ int(f*sqrt(xt^2 +yt^2+zt^2),t,0,2*pi) ↙ ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*a^2*pi+8/3*( a^2 +b^2)^1/2*b^2*pi^3 对此结果可用factor 命令进行合并化简： factor （ans ） ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*pi*(3* a^2 +4*b^2*pi^2) 例11.6.3用MATLAB 求解教材例11.4.1 解求解过程如下 syms x y z1 z2↙ f= x^2 +y^2; ↙ z1=sqrt(x^2 +y^2); ↙ z2=1; ↙ z1x=diff(z1,x); ↙ z1y=diff(z1,y); ↙ z2x=diff(z2,x); ↙ z2y=diff(z2,y); ↙

多元函数积分的计算方法技巧

第10章多元函数积分的计算方法与技巧一、二重积分的计算法 1、利用直角坐标计算二重积分假定积分区域可用不等式表示, 其中, 在上连续. 这个先对, 后对的二次积分也常记作如果积分区域可以用下述不等式表示,且函数,在上连续,在上连续,则 (2) D a x b x y x ≤≤≤≤??12()()?1()x ?2()x [,]a b y x f x y d dx f x y dy D a b x x (,)(,)() ()σ??????=12D c y d y x y ≤≤≤≤,()()φφ12φ1()y φ2()y [,]c d f x y (,)D f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c d c d y y (,)(,)(,)()()()()σφφφφ??????=????? ? ??=1212

显然,(2)式是先对,后对的二次积分. 积分限的确定几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与, 这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为. 例1计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域. x y D ],[b a x x y D D ))(,(1x x ?))(,(2x x ?)(1x ?)(2x ?x y x [,]a b x x a b xyd D ??σD y x 2=y x =- 2

2.利用极坐标计算二重积分 1、就是极坐标中的面积元素. 2、极坐标系中的二重积分, 可以化归为二次积分来计算. 其中函数, 在上连续. 则注:本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值. D y y x y :,-≤≤≤≤+1222xyd dy xydx x y dy D y y y y σ?????==???? ??-+-+12 2 212 2 2 212[] =+-=-?12 245 8 2512y y y dy ()rdrd θr →cos θ r →sin θrdrd →θ f x y dxdy D (,)??f r r rdrd D (cos ,sin )θθθ??αθβ?θ?θ≤≤≤≤12()()r ?θ1()?θ2()[,]αβf r r rdrd d f r r rdr D (cos ,sin )(cos ,sin )() () θθθθθθα β ?θ?θ????=12

多元函数微分学及应用(隐函数反函数)

习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微，则将z 看成y x ,的函数，有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ，求y z x z ????,。

多元函数微分学总结

`第八章多元函数微分学 8.1基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 8.2基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。

（1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。（2）关于二元函数极限的解题思路注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2）例1证明：2 24 (,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++，

2多元函数积分学.docx

2.多元函数积分学 K考试内容》（数学一）二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件己知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用 K考试要求》（数学一） 1 ?理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3?理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4.掌握计算两类曲线积分的方法。 5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。 6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。 7.了解散度与旋度的概念，并会计算。 8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。 K考试要求』（数学二） 1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 K考试要求》（数学三） 1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 2.了解无界区域上较简单的广义二重积分及其计算。 K考试要求》（数学四）同数学三

2.多元函数积分学 K知识点概述H 2. 1二重积分基本概念：定义、基本性质计算方法：直角坐标法（x型简单区域；y型简单区域）极坐标法（r型简单区域；&型简单区域）一般变换法几何应用：面积、曲顶柱体体积物理应用：质量、质心、转动惯量 2. 2三重积分基本概念：定义、基本性质计算方法：直角坐标法：x型简单区域；y型简单区域；z型简单区域投影法（先定积分后二重积分）截面法（先二重积分后定积分）柱坐标法；球坐标法；一般变换法儿何应用：体积物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 2. 3曲线积分第一类曲线积分基本概念：定义、基本性质计算方法：参数化法儿何应用：弧长物理应用：质量、质心、转动惯量、引力第二类曲线积分基本概念：定义、基本性质计算方法：参数化法曲线积分基本定理（曲线积分与路径无关的条件（平面情形，空间情形）；全微分的原函数；场论基本概念与计算格林公式（平面曲线积分）；斯托克斯公式（空间曲线积分）物理应用：功，环流量，通量第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系

多元函数微积分复习题

多元函数微积分复习题一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的（ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2

多元函数微分学及其应用

第8章多元函数微分学及其应用参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性：（1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。

多元函数积分学37931

第八章.多元函数积分学在不同的问题当中，可以对多元函数的积分进行不同的定义，因此，我们需要在不同的问题背景当中来定义不同的积分概念。二重积分。二重积分实际上就是对二元函数求定积分，在实际问题当中，需要对二元函数进行求和计算，或者直观地说，涉及到体积的计算与具有在二维区域上的分布的物理量的计算，就需要运用二重积分的概念来进行。因此我们对二重积分的定义，与对单变量函数的定积分的定义是完全类似的，只是这里的积分区域不是一维的，而是二维平面上的区域。这样通过把积分区域任意划分成只有公共边界的子区域，然后在每一个子区域当中任意取一点，取这点的函数值与该子区域的面积之积，再把所有的这样的乘积加起来，得到一个和式，接下来，就是我们已经很熟悉的极限过程，即使得所有子区域当中面积最大者的面积趋向于0，也就是使得子区域的数目趋向于无穷大，看和式是否存在极限，以及可能的话，这个极限是多少。这就是关于二重积分的可积性问题与二重积分的计算问题。关于可积性的问题有下面一个简单的定理：如果函数在一个有界闭区域上有定义并且连续，则这个函数必定在这个区域上可积。从上面的二重积分概念的说明，可以得到与单变量函数的定积分相类似的几何说明，即被积函数所描述的曲面与其在自变量平面上的积分区域上的投影之间所夹的空间的体积。基于这样的理解，可以很容易得到如下的二重积分的性质。（1）??+??=??+D D D gdx j fdx i dx jg if )(，其中i ，j 为任意常数。这是二重积分的线性性质；（2），??+??=??D D fdx fdx fdx D 21 其中D D D =?21。（3）如果在区域D 上有 ),(),(y x g y x f ≤，则有 ??≤??D D gdx fdx ；而对于D 上的可积函数f ，存在任意上界M 和任意下界m ，则有 MD fdx mD D ≤??≤ 其中D 为区域D 的面积。（4）设函数f 为有界连通闭区域D 上的连续函数，则一定在这个区域上存在一点（a ，b ），使得 D b a f fdx D ),(=??；这个性质还可以推广到比较一般的形式：设函数g 为D 上的非负值连续函数，f 在D 上可积，则存在一个介于f 在D 上的上界

多元函数微积分练习题

练习题一多元函数微分学部分练习题 1 求函数y x y x z -+ += 11的定义域. 2已知xy y x xy y x f 5),(2 2 -+=-，求),(y x f . 3计算下列极限（1） 22) 0,1(),() ln(lim y x e x y y x ++→ （2） 442 2),(),(lim y x y x y x ++∞∞→ （3） 2 43lim ) 0,0(),(-+→xy xy y x （4） x y x xy 1) 1,0(),()1(lim +→ （5）2222)1,2(),(2lim y x y x xy y x ++→ （6）2222)0,0(),() (2sin lim y x y x y x ++→ 4 证明极限 y x y x y x +-→)0,0(),(lim 不存在. 5 指出函数2 2),(y x y x y x f -+= 的间断点. 6计算下列函数的偏导数（1）)ln(2y x z = （2）x xy z )1(-= （3）),(2 y x f x z = （4）)(xy x z ?= （5）y xy y x z 234 4+-+= （6）)ln(22y x z += （7）)3cos(22y x e z y x += （8）y xy z )1(+= （9）2 221 z y x u ++= （10）? = 220 sin y x dt t z 7 计算下列函数的二阶偏导数（1）2 43y xy x z -+= （2）)ln(xy y z = （3）y e z xy sin = （4）),(2 y x f x z = （5）2 (,)z f xy x =

多元函数积分的计算方法与技巧

.多元函数积分二重积分的计算方法与应用。（一）在作二次积分时，首先是把一个自变量看成是一个参数，而不是看成变量，这样第一步是作单变量函数的定积分，然后得到一个包含第二个变量的表达式，再对第二个变量求定积分，这样就得到了二重积分的值。这里对于选择进行积分运算的自变量的顺序是完全任意的，也就是说，假设函数的积分区间，是由曲线和，x=a ，x=b 所围成的区域，那么f 在这个区域上的二重积分为（二）另外一种常常更为简单的计算二重积分的方法，是在极坐标下，通过把二重积分转变为二次积分来得到结果。一般公式就是三重积分及其应用与计算。在这两种坐标里计算多重积分，首先是给出分别在这些坐标系里的体积微元的表达式：在圆柱坐标系里是；在球面坐标系里是。因此可以分别得到在这两个坐标系里的三重积分的计算公式：在圆柱坐标系里是；在球面坐标系里是 )(1x y y =) (2x y y ==??=??)()(21),(),(x x b a D y y dy y x f dx dxdy y x f ??)()(21),(x x b a y y dx y x f dy ??=??) ()(21 )sin ,cos (),(θθβ αθθθσr r rdr r r f d d y x f D dz rdrd dv θ=αθαd drd r dv sin 2 =???=???Ω Ω dz rdrd z r r f dv z y x f θθθ),sin ,cos (),,(???=???Ω Ω α θααθαθαd drd r rcoa r r f dv z y x f sin ),sin sin ,cos sin (),,(2

高等数学第八章多元函数微分法及其应用教案

第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念 1、()y x,f z =，定义域为平面上某一个平面域几何上()y x,f z =为空间一张曲面。 2、二元函数极限 P186 例1、讨论函数 ()()()0,00 y x 0y x 0x y y 4x y x,f 222222 44 2在=+≠+?????+=极限是否存在。解：()()()01K x x 4K lim x x K x K 4x lim x y y 4x lim 24222022444 42022442y x 0 2=+=+?=+→→=→x x x 而 ()4y y y 4y lim 244442y x 0 x =+?=→ ∴ () y x f 在(0,0)极限不存在. 3、连续 P187 第二节偏导数定义：()()00y ,x y x,f z 在点=处对x 的偏导数，记作：()0010y y 0x x x 0y y 0x x 0y y 0x x y ,x f ,z ,x f , x z ''????====== 即： ()()()x y ,x f y x,x f lim y ,x f 00000x 00x ?-?+='→? 同理：()()()y y ,x f y y ,x f lim y ,x f 00000y 00y ?-?+='→? ()00y x y ,x f ,f 在''存在，称()()00y ,x y x,f z 在=可导。例1、y z ,x z ,x z y ????=求解：lnx x y z ,yx x z y 1y =??=??- 例2、P188，例5，6

第八讲多元函数积分学知识点

第八讲多元函数积分学知识点一、二重积分的概念、性质 1、 ∑??=→?=n i i i i d D f dxdy y x f 1 0),(lim ),(δηξ ，几何意义：代表由),(y x f ，D 围成的曲顶柱体体积。 2、性质：（1）=??D dxdy y x kf ),(??D dxdy y x f k ),( （2）[]??+D dxdy y x g y x f ),(),(= ??D dxdy y x f ),(+??D dxdy y x g ),( （3）、D d x d y D =?? （4）21D D D +=,??D dxdy y x f ),(=??1),(D dxdy y x f +??2 ),(D dxdy y x f (5)若),(),(y x g y x f ≤，则≤??D dxdy y x f ),(??D dxdy y x g ),( （6）若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D ≤≤??),( (7)设),(y x f 在区域D 上连续，则至少存在一点D ∈),(ηξ，使=??D dxdy y x f ),(D f ),(ηξ 二、计算（1） D:)()(,21x y x b x a ??≤≤≤≤ ????=) ()(21),(),(x x b a D dy y x f dx dxdy y x f ?? （2） D ：)()(,21y x y d y c ??≤≤≤≤， ????=) ()(21),(),(x x d c D dy y x f dy dxdy y x f ?? 技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和垂直线的方法确定另一个变量的范围（3）极坐标下：θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos ????=) (0)sin ,cos ( ),(θβαθθθr D rdr r r f d dxdy y x f 三、曲线积分 1、第一型曲线积分的计算（1）若积分路径为L ：b x a x y ≤≤=),(φ，则

多元函数微分学习题

第五部分多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A

多元函数积分学

多元函数积分学总结多元函数积分学是一元函数积分学的拓展与延伸，包括二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分。几何意义：曲顶柱体的体积性质：线性性质、可加性、单调性、估值性质、中值定理计算方式：x 型、y 型、极坐标（2 2 y x +）常见计算类型： ① 选择积分顺序：能积分、少分块 ② 交换积分顺序：确定积分区域→交换积分顺序→开始积分 ③ 利用对称性简化计算：要兼备被积函数和积分区域两个方面，不可误用。 ④ 极坐标系下的二重积分的定限：极点在积分区域内（特殊：与x 轴相切、与y 轴相切）、极点不在积分区域内 ⑤ 其他：利用几何意义、含绝对值时先去绝对值、分段函数、概率积分了解“积不出来函数”：dx x ?)cos(2、dx e x ? -2 、dx x ? ln 1、dx x x ?sin 概率积分例题展示证明 2 2 π = ? ∞ +-dx e x 证：令=)(x f 2 x e - ① 易证)()(x f x f -=?)(x f 为偶函数? 2 12 = ? +∞ -dx e x dx e x 2 ? +∞ ∞ -- （奇偶对称性、轮换对称性、周期性→简化计算） ② 已知dx e x ? -2 为“积不出来函数”，所以改变我们所求目标函数dx e x 2 ?+∞ ∞ --的形式令= w dx e x 2 ? +∞ - 4 1 2 =w ? dx e x 2 ? +∞ ∞ -- 4 1= dxdx e x x ? ?+∞ ∞ -+-+∞ ∞ -) (22 （了解“积不出来函数”，增强目标意识，适当转化目标函数形式）

③ 令其中一个x 变成y ，构造2 2 y x + 2 w 4 1 = dxdy e y x ? ?+∞ ∞ -+-+∞∞ -) (22 ④ 将θcos r x =，θsin r y =带入上一步的2 w 易得),0(+∞∈r ，)2,0(π∈θ 2 w =θdrd e r r ? ?-+∞ ?π 20 2 41 = ?? +∞ -?π20 2 θd dr e r r 20 2 12 1 2dr e r ?=? +∞ -π 2021212 lim dr e b r b ?=?-+∞ →π )1(2121 2lim --=-+∞ →b b e π π4 1==?w 2π 即220π=?∞+-dx e x 成立（极坐标系?直角坐标系，选择合适的积分次序将二重积分?二次积分，了解广义定积分）（此类积分为概率积分 b dt e b dx e t bx π 2110 2 2 ? ? ∞ +-∞ +-= = ）

《数学分析》多元函数微分学

第四章多元函数微分学一、本章知识脉络框图

二、本章重点及难点本章需要重点掌握以下几个方面容： ● 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式. ● 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. ● 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. ● 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法. 三、本章的基本知识要点 (一)平面点集与多元函数 1.任意一点A 与任意点集E 的关系. 1) 点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?，则称点A 是点集E 的点。 2) 外点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?=?，则称点A 是点集E 的外点。 3) 界点（边界点）. 若在点A 的任何邻域既含有属于E 得的点，又含有不属于E 的点，则称点A 是点集E 的界点。 4) 聚点. 若在点A 的任何空心邻域()o U A 部都含有E 中的点，则称点A 是点集E 的聚点。 5) 孤立点. 若点A E ∈，但不是E 的聚点，则称点A 是点集E 的孤立点。 2. 几种特殊的平面点集. 1) 开集. 若平面点集E 所属的每一点都是E 的点，则称E 为开集。 2）闭集. 若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集。 3) 开域. 若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 得有限折线相连接，则称E 为开域。 4）闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。 5）区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。 3.2 R 上的完备性定理. 1) 点列收敛定义：设{}2 n P R ?为平面点列，2 0P R ∈为一固定点。若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，有()0,n P U P ε∈，则称点列{}n P 收敛于点0P ，记作 0lim n n P P →∞ = 或 ()0,n P P n →→∞.

多元函数微分学复习(精简版)

高等数学下册复习提纲第八章多元函数微分学本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆）条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆）无条件极值（☆☆☆☆）曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆）隐函数（组）求导（☆☆☆）一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆）方向导数、梯度计算（☆☆）重极限、累次极限计算（☆☆）函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数例设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y

第八章多元函数积分学.

第八章多元函数积分学基本课题：8. 1 二重积分的概念与性质目的要求：理解二重积分的概念与性质重点：二重积分的性质难点：8. 1 二重积分的概念教学方法：讲授与讨论结合教学手段：电子课件、黑板教参：《高等数学》(人大理工类本科教材) 教学环节及组织：复习并引入新课一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域： ?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n . 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为： f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和：i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1. 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值.

定义设f (x , y )是有界闭区域D 上的有界函数. 将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 ?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n . 其中?σ i 表示第i 个小区域, 也表示它的面积. 在每个?σ i 上任取一点(ξ i , ηi ), 作和 i i i n i f σηξ?=∑),(1 . 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在闭区域D 上的二重积分, 记作σd y x f D ??),(, 即 i i i n i D f d y x f σηξσλ?==→∑??),(lim ),(1 0. f (x , y )被积函数, f (x , y )d σ被积表达式, d σ面积元素, x , y 积分变量, D 积分区域, 积分和. 直角坐标系中的面积元素: 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D , 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域?σi 的边长为?x i 和?y i , 则?σi =?x i ?y i , 因此在直角坐标系中, 有时也把面积元素d σ 记作dxdy , 而把二重积分记作 dxdy y x f D ??),( 其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素. 二重积分的存在性: 当f (x , y )在闭区域D 上连续时, 积分和的极限是存在的, 也就是说函数f (x , y )在D 上的二重积分必定存在. 我们总假定函数f (x , y )在闭区域D 上连续, 所以f (x , y )在D 上的二重积分都是存在的. 二重积分的几何意义: 如果f (x , y )≥0, 被积函数f (x , y )可解释为曲顶柱体的在点(x , y )处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f (x , y )是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的.

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