2011矩阵论复习题
1. 设+
=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕
对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =?
问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.
2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为
),(112211y x y x y x y x +++=⊕
对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为
)2)1(,(2121x k k kx kx x k -+
=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.
3.设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=,试证明S 是3
R 的子空间,并求S 的一组基和S dim .
4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=
证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim .
5. 设T 是2
R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)(
1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;
2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.
6. 设T 是3
R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=
1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵;
2)求T 的零空间和像空间的维数.
7.在线性空间)(3R P 中
321)(x x x a x f +++= 3221)(x x ax x f +++= 32321)(x x x x f +++= 讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.
8.在22R ?中求由基(I) 12101A ??= ??? 20122A ??= ??? 32112A -??= ??? 41312A ??= ??? 到基(II) 11210B ??=
?-?? 21111B -??= ??? 31211B -??= ??? 41101B --??= ???的过渡矩阵. 9.已知 1(1,2,1,0)α= 2(2,1,0,1)α=- 1(1,1,1,1)β=- 2(1,1,3,7)β=- 设1212(,)(,)V L L ααββ=?, 求线性空间V 的维数和基.
10.在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为
?=1
0)()())(),((dx x g x f x g x f 若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组正交基.
11. 在2[]P x 中,内积定义为:120,()(),,[].f g f x g x dx f g P x <>=
?∈? (1)如果()612+-=x x x f ,计算f ;
(2)证明:任一线性多项式()bx a x g +=,都正交于()612+
-=x x x f . 12.设A 是n n C
?上的n 阶方阵,x 是n C 上的n 维列向量,证明:22||||||||||||F Ax A x ≤?. 13.设n
n C A ?∈,并且满足E A A H =,计算2||||A 和F A ||||. 14.已知122112012422A ?? ?= ? ???
,求A 的最大秩分解。
15. 求矩阵10002i A i +??=
???的奇异值分解. 16.设m n A C ?∈,1)证明:()()H rank A A rank A =;
2) 证明:H
A A 是半正定矩阵或正定矩阵。
17.求下列矩阵的谱阵和谱分解 400031013A ?? ?= ? ??? 332112310A ?? ?=- ? ?--??
18.设s λλλ,,,21 是n 阶单纯矩阵A 的重数为s r r r ,,,21 的特征值,∑==s i i n r
1
i E 是A 的对应于i λ的谱阵,证明
1)0=j i E E ,(j i ≠ ),,2,1,s j i =
2) ∑==s i i E E
1
19.设函数矩阵???
? ??-=t t t t A cos sin sin cos , 求)(t A dt d , ))((det t A dt d 和))(det(t A dt d . 20.证明 1))()()())((111t A t A dt
d t A t A dt d ---??-= 2)A
e Ae e dt
d At At At == 21.已知????? ??=73487612i A , ????
? ??=845x , 求111||||,||||,||||,||||,||||,||||x x Ax Ax A A ∞∞∞
22.设a ||||?是n n C ?的一种矩阵范数,B 和D 是n 阶可逆矩阵,且,1||||1≤-a B 1||||1≤-a D ,试
证明对任意的n n C A ?∈,a b BAD A ||||||||=也是n n C ?的一种矩阵范数.
23. 已知a ||||?是n n C ?上的矩阵范数,0y 是n
C 中的某非零列向量,n x C ?∈设0||||||||H a x xy =证明它是n C 上的向量范数,并且与矩阵范数a ||||?相容。
24.设n n C A ?∈, B 和D 是酉矩阵, 证明: F F F F B A D
AD BA A ||||||||||||||||=== 25.已知???? ??-=00a a A , ???
? ??-=a a a a B cos sin sin cos 其中R a ∈且0≠a , 证明:B e A =. 26.已知???
? ??-=33i i A , 1)证明A 是Hermite 矩阵; 2)求方阵函数A cos .
27.已知??????
? ??=2000310020111001A , 1)求A 的Jordan 标准形J ; 2)求可逆矩阵P , 使J AP P =-1
28.已知??????
? ??=3000130001300001A , 求A sin 和)sin(At . 29.设A 为n 阶方阵,求证()det()A tr A e e =特别地当A 为反对称矩阵时有det()1A e =
30.设????
? ??----=163053064A , 求方阵函数A e 和()cos At .
31.证明:线性方程组b Ax =(其中n m C A ?∈ m C b ∈)有解的充分必要条件是b b AA =+
32.已知??????
? ??--=112001110001A , 求A 的广义逆矩阵+A . 33. 已知???
? ??=011i i i A , 求A 的广义逆矩阵+A . 34.设BC A =是A 的最大秩分解, 证明: +++=B C A
35.求微分方程组
32113x x x dt
dx +-= 32125x x x dt
dx -+-= 32133x x x dt
dx +-= 的通解及满足初始条件123(0)1(0)1
(0)0x x x ===的特解.
第 1 页 共 6 页 (A 卷) 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题,违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式:闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷(A ) 适用专业:2016级硕士研究生 考试日期:2017.1.09 时间:120 分钟 共 8页 一、填空选择题(每小题3分,共30分) 1-5题为填空题: 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ,则1||||A =。 2. 设线性变换1T ,2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ,B ,则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3.在3R 中,基T )2,1,3(1--=α,T )1,1,1(2-=α,T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β, T )3,2,1(2=β,T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ,则 5432333A A A A A -++-= . 5.??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题: 6.设A 是正规矩阵,则下列说法不正确的是 ( ). (A) A 一定可以对角化; (B )?=H A A A 的特征值全为实数; (C) 若E AA H =,则 1=A ; (D )?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7.设矩阵A 的谱半径1)( 武汉理工大学研究生考试试题(2010) 课程 矩阵论 (共6题,答题时不必抄题,标明题目序号) 一,填空题(15分) 1、已知矩阵A 的初级因子为223 ,(1),,(1)λλ-λλ-,则其最小多项式为 2、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -????????==== ? ? ? ?--???????? ,则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 4、已知0100001000011 000A ?? ? ?= ? ???,则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--,21i =-,则其范数 1α= ;2α= ;∞α= ; 二,(20)设1112112121220a a V A a a a a ??????==-=?? ?????? ?为22?R 的子集合, 1、证明:V 是22?R 的线性子空间; 2、求V 的维数与一组基; 3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ????== ? ????? V ∈,定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++= 证明:),(B A 是V 的一个内积; 4、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、(15分)设{} 23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于3的实系数 多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈,定义: 2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷 (17级专业硕士) 专业 学号 姓名 得分 一.判断题(每小题3分,共15分) 1.线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零, 即ker A =0。( ) 2.实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个 线性空间。( ) 3.设A 是n 阶方阵,则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分 必要条件是A 的谱半径1)( 4. 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间,求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为 , 。 5.设A 是复数域上的正规矩阵,则A 满足: ,并 写出常用的三类正规矩阵 。 三.计算题(每小题12分,共48分) 1.在3R 中,试用镜像变换(Householder 变换)将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量,写出变换矩阵。 。矩阵论武汉理工大学研究生考试试题科学硕士
矩阵论试题
2016矩阵论试题A20170109 (1)