对函数极限概念的认识与教学方法研究文献综述
毕业论文文献综述
数学与应用数学
对函数极限概念的认识与教学方法研究
一、 前言部分
在我们日常生活中还是学习中，我们会遇到很多类似无穷的问题，这时就需要我们用极限的思想来解决它。他不仅仅涉及我们的生活学习，而且涉及到了很多科学方面的研究，比如科学家们在制造反导系统的时候需要把导弹的路线细分成无数的线段之和，这时必须用到微分极限的思想。可见极限是一个能解决实际问题的理论研究，我们也就有了研究极限的必要性，但是我们研究的极限没有涉及比较深奥的方面，只是初步的研究函数极限的基本概念，性质和极限存在的条件，由数列的极限引出函数极限的方法来进行教学。本文课题研究了数列极限，函数极限，左右极限，无穷小，无穷大，无穷大无穷小的比较，重点介绍了求极限的各种方法，分别为1：零比零的形式，2：无穷比无穷的形式3：无穷减去无穷的形式4：零乘以无穷的形式5：零的零次方形式6：类未定式，其中零比零的形式的求解法可通过分解因式或有理化得方法进行求解，消去零因子再通过运算法则或连续函数的求解法求解或通过利用等价无穷小的运算法则。无穷比无穷的形式可通过洛毕达法则或通过变量替换化为零比零型。无穷减去无穷的形式可以通过通分，有理化，变量替换来求解。零乘以无穷的形式可用可以用法则或抓大头的方法来求解。零的零的方可以通过对数恒等式化为零比零形或无穷比无穷的形式。类未定式是指未能确切肯定某种运算结果的极限，例如在求某个函数极限的过程中)(x f 与)(x g 均无界，则)(x f +)(x g 的极限就不能肯定其不存在，而要具体问题具体分析，又如，若)(x f 有极限，)(x g 无极限，)(x g 的极限也能肯定其不存在。本文还研究极限在经济等方面的应用。目标是使我们能够熟练掌握极限的定义性质等，并学会各种求极限的方法解决实际问题以及如何使同学们更好的学会极限函数的方法和教学步骤。[]1
二、主题部分
18世纪的许多科学家如达兰贝尔，欧拉，拉朗日等都提出了自己的看法，都不同度用极限概念作为微积分基础，占主要地位的是“无穷小方法”，至于“无穷小”到底是什么，没有公认的精确定义。[]
2在19世纪20年代以后，柯西在182l —1823年间出版了《分析教程》、
《无穷小计算讲义》两本书，柯西给出了极限的精确定义，终于解决了“无穷小”问题，确立了极限论作为微积分的基础。极限概念是微积分学的奠基概念之一，微积分中几乎所有的重要概念，如连续、导数、定积分、重积分、级数等的定义都是建立在极限概念的基础上，且极限方法揭示了常量与变量、有限与无限、直线与曲线、匀速运动与变速运动等一系列对立统一的矛盾辩证关系及其相互转化，它是微积分教学的基础，也是微积分解决问题贯穿始终的基本方法。现将已有文献的结果综述如下：
一：函数极限的定义：
因为数列{}n x 可看作自变量为n 的函数n x =)(x f ,n 为正整数，所以数列{}n x 的极限为a ，就是当自变量n 取正整数时且无限增大（即n ∞→）时，对应的函数值)(x f 无限接近于确定的数a ，把极限概念中的函数为)(n f 而自变量的变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个常数那么这个确定的数就叫做自变量在这一变化过程中函数的极限。这个极限时与自变量的变化过程不同，函数极限就表现为不同的形式，数列极限看作函数)(n f 当n ∞→时的极限，这里的自己变量的变化过程是n ∞→。下面讲述自变量的变化过程为其他情形时函数)(x f 的极限，主要研究两种情形：
（1） 自变量x 任意接近于某个有限值0x 或说x 趋于有限值0x 时，对应的函数值)
(x f 的变化情形。
（2） 自变量x 的绝对值x 无限增大即趋于无穷大时，对应的函数值)(x f 的变化情
形。
1：自变量趋于有限值时函数的极限
现在考虑自变量x 的变化过程为0x x →的过程中，对应的函数值)(x f 无限接近于一个确定的数A ，那么就是说A 是函数当0x x →时的极限，当然这里我们首先假定)(x f 点0x 的某个去心领域内是有定义的。
定义1 设函数)(x f 在点0x 的某个去心领域内有定义，如果存在常数A ，对于任意的正数ε（不论它多少小），总存在正整数δ，使得当x 满足不等式0<0x x -<δ时，对应的函数值)(x f 都满足不等式
A x f -)(<ε
那么常数A 就叫做函数)(x f 当0x x →时的极限，记作)(lim
0x f x x →=A
如果这样的常数A 不存在那么称0x x →时，)(x f 没有极限，习惯上表达)(lim 0x f x x →不存在，定义1可以简单地表达为)(lim
0x f x x →=A ?>?ε0时，存在δ>0当0<0x x -<δ时，有A x f -)(<ε
[]3
对极限的定义的理解注意以下几点： （1） 定义中的0x x -<δ，表示x 与0x 的距离小于δ，而0<0x x -<δ表示x ≠0x ，
因此0<0x x -<δ，表示)(x f 有没有极限与)(x f 在点0x 是否有定义并无关系。
（2） 定义中的ε刻画)(x f 与常数A 的接近程度，δ刻画x 与0x 的接近程度，ε是任
意给的，δ一般是是随着ε的变化而确定的。
（3） 因为初等函数在其定义域内都是连续的，所以求函数的)(x f 在0x 处的极限只
要求函数的值(f 0x ）即可。[]4
2 自变量趋于无穷大时函数的极限
如果在∞→x 的过程中，对应的函数值)(x f 无限接近某个确定的数值A ，那么叫做函数)(x f 当∞→x 时的极限 如∞→x lim
656x x +-656x x - []5
定义2 设函数)(x f 当x 大于某个正数时有定义，如果存在常数A 。对于任意给定的正数ε（不论多少小）总存在正数X ，使得当x 满足不等式x >X 时，对应的函数值)(x f 都满足不等式A x f -)(<ε ，函数那么叫做)(x f 当∞→x 得极限，记作)(lim
x f x ∞→=A ，定义2可以简单地表达为
)(lim x f x ∞→?0>?ε，存在X>0,当x >X 时，有A x f -)(<ε。例如)31ln()21ln(lim x
x x ++∞→ []6 如果x>0且无限增大（记作∞→x ），那么只要把上面的定义中的x >X 改为x>X,就可
以得到)(lim
x f x ∞→的定义，同样，x<0时而 x 无限增大（记作∞→x ），那么只要把
x >X 改为x<-X ，使得
)(lim
x f x ∞→=A 的定义。
二：函数极限的性质 定理1 （函数极限的唯一性）如果)(lim
x f x x →存在，那么这个极限唯一。
定理2 （函数极限的局部有界性）如果)(lim
x f x x →=A 那么存在常数M>0和δ>0，使得当0<0x x -<δ时，有)(x f x f x x →=A ，而且A>0（或A<0）那么存在常数δ，使得当0<0x x -<δ时，有)(x f >0 定理4 如果)(lim 0x f x x →=A ，A ≠0，那么就存在着0x 的某一个去心领域U （0x ，δ），当x ∈ U （0x ，δ）时，就有)(x f >2A 。由定理3可得出以下推论。 推论 如果在0x 的某个空心领域内)(x f >0或)(x f <0，而且)(lim x f x x →=A ，那么A>0，（或A<0）。 三 无穷小 定义 如果函数)(x f 当0x x →（或∞→x ）时的极限为0，那么称函数)(x f 为0x x →（或∞→x ）时的无穷小。特别的，以0为极限的数列{}n x 称为n ∞→时的无穷小。如 n x x x ln lim ∞→ []7 定理1 )(lim 0x f x x →=A ?)(x f =A+)(x α，其中)(x α当0 x x →时为无穷小量。 定理2 有限无穷小的和是无穷小。,0>?ε因为α是当0x x →时的无穷小，对于 2ε>0，1δ>0，当0<0x x -<1δ时，不等式 α<2 ε成立，又因为β是当0x x →时的无穷小，对于 2ε>0，存在2δ>0，当0<0x x -<2δ时不等式β<2 ε成立，取δ时1δ，2δ的最小者，则当0<0x x -<δ时，α<2ε和β<2ε，同时成立，从而有限个无穷小的和是无穷小。 定理3 无穷小与有界量的积是无穷小。 定理3 无穷小与有界量的积是无穷小。 推论1 常数与无穷小的积是无穷小。 推论2 有限个无穷小的积石无穷小。[]-8[]9 四无穷大 定义2 设函数)(x f 在0x 的某一领域内有定义（或x 大于某一个正数时有定义）如果对于任意给定的正数M ）不论它多少大）总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式0<0x x -<δ对应的函数值)(x f 总满足不等式)(x f >M ，则称函数)(x f 为0x x →（或∞→x ）时的无穷大，当0x x →（或∞→x ）时为无穷大的函数)(x f ，按函数的极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数这一个性态，我们说函数 的极限时无穷大，并记作)(lim x f x x →=∞，如果在无穷大的定义中，把)(x f >M 换成)(x f >M ，就记作)(lim 0x f x x →=∞+，例如)14(tan 0lim n x n +→π []10 定理4 在自变量的同一变化过程中，如果 )(x f 为无穷大，则他的倒数为无穷小，反之，如果)(x f 为无穷小，且)(x f 不为零，则他的倒数为无穷大。 我们指出无穷大与无穷小不同的是，在自变量的同一变化过程中，两个无穷大相加或相减的结果是不确定的，因此无穷大没有和无穷小那样类似的性质，需具体情况具体分析。 五 极限的运算法则 定理1 如果2个函数极限存在，那么2个函数的极限相加等于2个函数相加的极限。 定理2 如果2个函数的极限存在，那么2个函数的极限相乘等于函数相乘的极限。 定理3 如果2个函数极限存在，那么2个函数的极限相除等于函数的相除的极限。 推论1 如果函数的极限存在，那么任意一个常数乘以这个函数的极限等于函数乘以这个常数的极限。 六 极限存在的准则和2个重要极限。1sin 0lim =→x x x 和e x x x =+∞→)11(lim []11-[]12- 函数极限的定义 林芳 20101101903 数学科学学院 2010级（1）班 指导教师 韩刚 摘要 极限是数分中的重要内容，用定义证明极限类型题都要用到它。本文就给出二十四个函数极限的定义。 关键词 极限 1函数在一点的极限的定义 1.1函数在0x 点的极限的定义 设函数f(x)在0x 点的附近（但可能除掉点本身）有定义，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0，一定存在δ>0，使得当0<0x x -<δ时，总有A x f -)(<ε，我们就称A 是函数在点0x 的极限，记为 A x f x x =→0 )(lim , 或者记为 f(x)→A(x 0x →). 这时也称函数f(x)在0x 点极限存在，其极限值是A. 1.2函数在点0x 右侧的极限的定义 设函数f(x)在（0x ，η+0x ）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0 我们就称A 是函数f(x)在点x 0的右极限，记为 0)(lim +→x x x f =A 或f(x 0+0)=A 或 f(x)→A (x 0x →+0) 这时也称函数f(x)在点0x 右极限存在。 1.3函数在0x 点左侧的极限的定义 设函数f(x)在（00,x x η-）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0<δ<-x x 0时，有A x f -)(<ε,我们就称A 是函数f(x)在点的左极限，记为 0)(lim -→x x x f =A 或 f(00-x )=A 或 f(x))0(0-→→x x A 这时也称函数f(x)在0x 点左极限存在. 2函数在无限远处的极限 2.1函数在无限远处极限的定义 若对任意给定的ε>0，存在X>0，当X x >时，总有ε<-A x f )(，我们说A 是f(x)在无限远处的极限，或者说A 是当x 的极限时)(x f ∞→,记为 ) ()()()(lim ∞→→=∞=∞→x A x f A f A x f x 或 这时也称函数f(x)在无限远处极限存在 2.2函数在正无限远处的极限的定义 《高中英语阅读策略的研究》文献综述一、研究背景及意义 《全日制义务教育普通高级中学英语课程标准》明确指出:“基础教育阶段英语课程的总体目标是培养学生的综合语言运用能力。在当今社会中，阅读作为最基本的语言能力之一，已经成为获取知识和科学技术新信息的一条必不可缺的重要途径。它不仅是中国大多数英语学习者的学习目标，也是中国大多数英语学习者的重要学习手段。因此，可以说在缺少语言教学实际环境的我国英语教学中，阅读是高效率进行英语教学的首选捷径，这在我国具有及其突出的现实性和迫切性。 在高中英语教学中，尽管大多数教师非常重视阅读能力的培养，但其教学目的仅局限于题海的应试教学上，致使学生中普遍存在这阅读速度慢，理解能力差的现象。导致这种现象的主要原因有：阅读教学课中过多地强调语言知识的传授，忽视阅读技巧和方法的指导；注重阅读教学结果而轻视阅读心理状态的分析和调控。 因此，本文将从阅读策略出发，探讨如何培养学生的英语阅读能力。 二、理论基础 （一）、英语阅读策略的含义 英语阅读策略是学习策略的组成部分，有利于提高学生的英语阅读效率和阅读水平，增强学生学习英语的自信心。英语阅读策略是指在英语阅读中有意识地调控阅读环节的过程，它是有目的，有计划地 灵活运用一系列阅读方法或技能的学习过程。 （二）、常见的阅读策略主要包括： 1、略读（skimming） 略读是一种快速浏览阅读方式，其目的是了解文章的大意。因此读者不需要细读全文，而是有选择地进行跳跃式的阅读。其特点是速度快而理解的精确度则要求较低。通常采取三个步骤：1)通读文章的起始段和结尾段；2)细读其他段落的主题句；3)浏览一些与主题句相关的信息词。 2、寻读（scanning） 寻读是另一种快速阅读方式，其目的是从较长的文字资料中查询特定的细节内容。寻读与略读不同，要求既准又快，要在很短的时间内准确地找到目标，可以利用以下几方面的信息：1)主题词。2)标题或图表。版式及印刷特点。 3、预测（prediction） 阅读不是被动地接受和理解信息的过程，而是不断地预测——验证与修正——进一步预测的循环过程。阅读过程中，读者经常要借助逻辑、语法、文化线索，对文章的主题、题材、结构以及相关的内容进行预测。 4、猜测词义（guessing the meaning of new words） 在阅读过程中猜测词义是扩大词汇量的有效方法之一。我们通常根据上下文以及词句结构知识来推断词性和词义。 三、课题研究的目标 “朗读”是书面语言的有声化，是化无声的文字为有声语言的阅读方法。“朗读教学”作为阅读教学的组成部分，不等于学习朗读，而是通过朗读的方式启发、引导学生感知、体验作品的语言形式。 朗读是语文教学的一种传统方法，关于它的研究从未间断过，收录在中国期刊数据库中的各种各类相关文章有数百篇之多。本文选取近5年有关“小学语文阅读教学中的朗读教学”的论文46篇，深入细读、归纳综合。研究者们对朗读教学相关问题的思考是多方面、多角度的，概括起来，主要集中在朗读教学的作用、意义，朗读教学中朗读训练和指导的方法、技巧，朗读教学现状、问题及对策、建议等。这反映出教育者们对朗读教学的关注度越来越高，同时也存在一些问题。 一、朗读教学训练方法及作用的研究 （一）对朗读训练、技巧指导的研究 有近一半的论文是研究小学语文阅读教学中朗读的训练、指导和朗读能力的培养等。总体上看，小学语文阅读教学中朗读的训练方法或朗读技巧指导的探讨主要涉及：激发学生兴趣，营造良好氛围，采用多种朗读形式，让学生投入感情并掌握一定的朗读技巧。朗读训练要有原则，要循序渐进，根据不同学段学生的不同情况，逐步提高；要授之以渔，给予方法指导，使学生达到举一反三的境界。朗读不是没有主次之分，不是没有详略之分，而是要重点段落重点朗读。其中，比较深入的研究集中在学生兴趣的激发、朗读技巧的指导、组织形式等方面。 多篇文章都重视教师的范读。如《大阅读，小细节》（蒋芳，2011）中指出：“示范朗读是朗读指导的一个法宝。好的范读不仅能以真挚的情感、优美的语言、动人的形象感染学生，更能使学生真切感受语言的音乐美、节奏美、情感美，还能潜移默化地进行朗读方法的指导。”教师范读的重要性不言而喻，这就要求教师要研究朗读的技巧，并且自己也要多读、多练。同时，教师范读不可以也无法取代学生自己的实践朗读。在课堂上，朗读的主角还是学生，教师应“该出声时就出声”，更多时候还是要倾听、欣赏学生的朗读。 《让阅读教学中的朗读指导扎实而灵动》（何玉莲，2008）一文中指出，朗读要适时导悟，要彰显个性。“导悟”区别于一般的朗读技巧指导，它主要是“在教师的引导下，在一次次的点拨中，使学生的思维、想象、情感等心智活动积极地参与到阅读实践活动中去”，从而“对阅读材料的内涵及语言组织形式等方面有深层把握和领会”，最终投入适合的感情，轻松自然地掌握正确的朗读方 法，于无痕之中教会学生朗读。“彰显个性”是反驳“整齐划一、不达标准死不休”的。不同的理解，读出的味儿自然不同，这一观点传达出了作者对每个学生的尊重。 《浅谈小学语文教学中的朗读教学》（张婷，2008）一文指出，“教师在指导朗读时要根据学生朗读能力的形成规律，找准学生的‘最近发展区’，考虑到学生在各个年龄层上表达能力的差别，给予适当的指导。”即意味着从一年级到六年级，指导原则和要求不能一成不变，这不仅适用于朗读指导和训练，对于朗读评价也同样具有借鉴意义。而针对老师的具体指导，文中还提出：“选取指导的训练点要精；训练要求细致、精要；训练的过程都需精心设计。”一个“精”字，反映了教师对学生朗读指导的精心、细心和责任心。 （二）对朗读教学作用的研究 教育部颁布的《义务教育语文课程标准》中明确指出：“小学各个年级的阅读教学都要重视朗读。中高年级要重视默读，要让学生充分地读，在读中整体感知，在读中有所感悟，在读中培养语感，在读中受到情感的熏陶。”由此可见，“读”在小学语文教学中的重要性。朗读教学作为一种语文教学方法，独具魅力，在小学生语文学习中具有多方面的作用。综合这些论文，有的是从语言学习的角度来谈朗读教学的作用，有的是从整体的角度来看朗读教学的作用，有的是从重要性的角度来看朗读教学的作用等。 研究者总体认为，朗读教学具有以下作用：（1）有助于正确识字。（2）有助于发展学生的语言能力，是学习语言、培养语感的重要途径之一。（3）有助于发展学生的思维能力。（4）有助于学生感悟课文，深入理解课文。（5）可以增强学生热爱大自然、热爱祖国的情感。（6）有助于学生获得审美感受、提高审美情趣。总的来说，研究者对于朗读教学的作用的总结是比较全面的，他们也提出了支撑这些观点的例证，即关于这些作用、效果的具体展示，这些基于结果层面的论述，更多的还呈现一种经验性的概括和总结。而对于其背后的理论依据并没有做深入的探讨和说明，比如，为什么会有这样的作用，依据是什么等尚未涉及。 二、朗读教学现状、问题和对策的研究 新课程改革后，小学语文阅读教学掀起了一场轰轰烈烈的朗读教学高潮，但在实施过程中，出现了这样或那样的问题。对此，研究者们给予了关注，积极探讨了朗读教学的现状、问题，并对其进行了反思，提出了一些对策、解决措施和建议。 （一）朗读教学的现状与问题 对于朗读教学的现状及其存在的问题，研究者总结认为： 近五年有关小学语文朗读教学的文献综述 文/程晓红 摘要：对近五年小学语文阅读教学中朗读教学的训练与作用以及朗读教学现状、问题及对策等进行梳理，归纳综合，以期发现新的研究方向。 关键词：小学语文；阅读教学；朗读 对函数极限相关性质的理解及应用 定西师范高等专科学校 数学系 数学教育专业 09级3班 程艳君 摘 要：函数极限的概念和存在条件是我们理解函数极限和判断函数极限是否存在的主要依据，函数的极限在数学分析中占有十分重要的地位，因此，较为复杂函数极限的计算也是我们学者应该掌握的。本文浅略地介绍了函数极限的概念和存在条件，函数极限的性质以及两个重要极限在计算比较复杂的函数极限中的应用。 关键词：函数极限；重要极限；四则运算；迫敛法。 引 言： 函数极限是数学分析的重要概念，它贯彻于整个数学分析中，函数极限理论是研究函数连续、导数、积分、级数等的基本工具，而一些较为复杂的函数极限计算又在解决实际问题中是必不可少的。本文最主要介绍函数极限的概念和函数极限存在的条件，还有两个重要函数极限、迫敛法和四则运算法在解较复杂函数极限中的应用。 1 . 函数的极限和极限存在的条件 1.1 函数的极限 1.1.1 x 趋于∞+时函数的极限 设函数f 定义在 ),[∞a 上，类似于数列的情形，我们研究当自变量x 趋于∞+时，对应的函数值能否无限的接近于某个正数A 。例如，对于函数x x f 1)(=，从图像上可见，当x 无限的增大时，函数值无限的接近于0；而对于函数 x crc x g tan )(=，则当x 趋于∞+时函数值无限的接近于2 π。我们称这两个函数当x 趋于∞+时有极限。一般地，当x 趋于∞+ 时函数的极限饿精确定义如下： 设f 为定义在),[∞a 上的函数，A 为定数。若对任给的0>ε，存在正数M(a ≥)，使得当M x >时有ε<-a x f )(，则称函数f 当x 趋于∞+时以A 为极限，记作 定义证明二重极限 定义证明二重极限就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点P(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0户几卜8的一切点P，有不等式V(P)一周。成立，则称A为函数人P)当P～P。时的极限.定义3设函数X一人工，”的定义域为D，点产人工。，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点P(X，…ED，都有成立，则称A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人X，…在点P 入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点P。(X。，入)的任一去心邻域内都有使人X，y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点P都适合/(P)一A卜利用极限存在准则证明：(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;(2)证明数列{Xn}，其中a0，Xo0,Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx0,x^20,故lnx/x^20且lnx1),lnx/x^2(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0故(Inx/x^2)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1) (a/Xn-1)]/20,单调递减且Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=[A (a/A)]/2.解得A=√a同理可求x0√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义, 的直观意义.定义( 和. )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“ ”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证例5 验证例6验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制, 就有例7验证例8验证( 类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有: 例10证明: 极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有= §2 函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性( 不等式性质):Th 4若和都存在, 且存在点的空心邻域,使，都有证设= ( 现证对有)註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:( 只证“ ”和“ ”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1( 利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 [ 利用公式]例5例6例7 核心素养在初中英语阅读教学中的实践研究 摘要： 英语学科是初中课程中比较重要的学科。对于英语课程的学习，很多学生在学习的过程中存在一些困难。有的学生不能适应英语学科中思维逻和语法句式的教学要求，导致了对英语学习中不顺利。也有的学生由于长时间的跟不上教师的进度直接就导致了学生对英语学习兴趣的丧失。本文在阅读了大量的近几年关于初中英语课程中阅读教学的核心素质培养的的文献，来针对初中英语课程中如何在阅读教学过程中培养学生的核心素质提出一些想法和建议，希望能够给读者带来一些启发。 关键词：阅读教学核心素养实践研究 在英语教学中，对学生的听说能力、写作能力、阅读能力、语法能力等都有着一定的要求。其中，阅读能力是检验学生词汇量、检测学生对所学知识掌握情况的有效手段。[1]付野认为：初中英语教学对整个英语基础教育起到了很关键的作用，是沟通小学英语和高中英语的桥梁。英语阅读能力是英语四项基本技能之一，它既是学生学习英语的手段,又是学生学习英语的内容,一直都是英语教学的重点,阅读不管在积累词汇还是在熟悉语法方面都有不可替代的作用。拥有良好英语学习素养对整个英语学习起到至关重要的作用。特别是新课改以来，八年级的英语阅读课文大量增加。面对英语阅读教学的比重在不断的增加的现状，我们要积极的采用措施来培养学生对英语学习的核心素养，提高阅读教育效果，为整个英语学习打下良好的基础。 一、初中英语阅读教学存在的一些问题 在初中英语阅读教学中存在着一些实际性的问题是阻碍学生英语核心素养培养的主要原因，影响着学生英语核心素养的养成。[1]付野在教育实习期间，通过科学的研究方法发现了现阶段初中英语阅读教学中存在的问题主要来自三个方面：首先，教师方面，表现在对教学目标的不明确、教学内容不够丰富，教师缺少对学生阅读策略的指导，教学模式固化、教学评价主体一元化和教学反思不足这七个方面；学生方面，学生缺乏对英语教材的阅读兴趣并且在课堂上对阅 引言 在数学分析中，极限的概念占有主要的低位并以各种形式出现而贯穿全部内容,同时极限概念与方法是近代微积分的基础. 因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文主要对一元函数极限定义和它的求解方法进行了归纳总结,并在具体求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明, 以便于我们了解函数的各种极限以及对各种极限进行计算.求函数极限的方法较多,但每种方法都有其局限性, 都不是万能的, 对某个具体求极限的问题,我们应该选择合适的方法. 一、函数极限概念 定义1[]1 设f 为定义在[)+∞,a 上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0，存在 正数M （a ≥），使得当M x >时有 ()f x A ε-<， 则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作 lim ()x f x A →+∞ = 或()().f x A x →→+∞ 定义2[]1 （函数极限的ε-δ定义）设函数f 在点 0x 的某个空心邻域0 U （0x ；'δ）内有定义，A 为定数。若对任给的ε>0，存在正数δ（<'δ），使得当0<0x x δ-<时有 ()f x A ε-<， 则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作 lim ()x f x A →∞ =或0()()f x A x x →→. 定理1[]1 设函数f 在0'0(,)U x δ+（或00(;')U x δ-）内有定义，A 为实数。若 对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）时有 ()f x A ε-<， 则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限，记作 习题1-3 1. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3 =-→x x ; (2)12)25(lim 2 =+→x x ; (3)42 4 lim 22-=+--→x x x ; (4)21 241lim 3 2 1=+--→x x x . 证明 (1)分析 |(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε3 1 |3|<-x . 证明 因为?ε >0, ?εδ31 =, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x . (2)分析 |(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε5 1 |2|<-x . 证明 因为?ε >0, ?εδ5 1 =, 当0<|x -2|<δ时, 有|(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x . (3)分析 |)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 要使ε<--+-)4(2 4 2x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明 因为?ε >0, ?εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有 ε<--+-)4(2 42x x , 所以424 lim 22-=+--→x x x . (4)分析 |)21 (|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 要使 ε<-+-212413x x , 只须ε2 1|)21(|<--x . 证明 因为?ε >0, ?εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 3 2 1=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明: (1)2 121lim 33= +∞ →x x x ; (2)0sin lim =+∞ →x x x . 证明 (1)分析 3 3 3333||21212121x x x x x x = -+=-+, 要使 ε<- +21213 3x x , 只须ε<3| |21 x , 即3 21 ||ε > x . 英语专业文献综述 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 Y i b i n U n i v e r s i t y 2015届本科毕业论文文献综述 题目_翻译目的论指导下的英语介词汉译策略研究 二级学院外国语学院 专业英语 学生姓名简汝梦 学号年级 2011级 指导教师徐文英职称讲师 年月日 文献综述 翻译目的论指导下的英语介词汉译策略研究 Study on the Translation Strategies of English Prepositions Based on Skopos Theory 摘要：英语介词使用频率高，搭配能力强，含义灵活，因此在翻译中属于比较难以处理的一种词类。目的论论者认为翻译是有明确的目的和意图，在译者的作用 下，以原文文本为基础的跨文化的人类交际活动。目的论以文本目的为翻译过程的第一准则，目的决定了译者需要采用何种翻译策略和方法。目的论的提出为英语介词的汉译提供了可靠的指导。本文将目的论引入到介词翻译中，认为在目的论原则的指导下，英语介词的汉译可通过加词、减词、分译、转译等策略来达到较好的翻译效果以及更好地实现翻译目的。 关键词：英语介词；翻译；目的论 导言：随着时代的发展，以及中国入世的大好形势的出现，汉语与英语在世界上似乎显得同等重要，所以将这两种语言互相转化是我们越来越重要的任务。在英语中，英语介词数量不多，但其构成的介词短语在英语中的出现频率很高，功能多样且位置灵活，对构成句子具有重要作用，因此对于英语介词的翻译策略问题一直深受广大翻译学者的关注。目的论以文本目的为翻译过程的第一准则，目的论者认为翻译是一种有目的的活动，目的决定了译者需要采用何种翻译策略和方法，即“目的决定论”。目的论的提出为英语介词汉译提供了有效的指导。因此，译者若能熟练掌握翻译目的和翻译方法，则能译出高质量的译文。鉴于此，本文先是阐述各大专家对于英语介词翻译以及翻译目的论的已有研究和探索，并结合笔者自己的观点加以评述；然后以此综述在翻译目的论指导下研究英语介词的汉译策略是个切实可行的手段；最后预测此观点的发展前景一定是光明受欢迎的。 历史发展：对于翻译目的论的发展历程，笔者在总结各前辈的资料中得出：在20世纪70年代，功能主义翻译理论兴起于德国，其四大代表性人物及其理论是: 凯瑟林娜·赖斯(Katharina Reiss)的功能主义翻译批评理论(functional category 以语用为取向的小学语文阅读教学策略研究阅读教学可谓是语文教学的半壁江山,在培养学生运用语言文字获取信息、认识世界、发展思维、获得审美体验等方面起着举足轻重的作用。笔者从现实语文教学中发现问题,通过对阅读教学现状进行调查分析,得出当下的教学现状:教师教学方式单一,师生互动呆板、不灵动,学生表达感知、理解、鉴赏与评价的方式单一。 以此为基础,深入思考并归因,在归因的基础上,研究有关语用理论,以语用为切入点,着重探讨以语用为取向的小学语文阅读教学两大策略体系,包括:备课策略和课堂上的实施策略。然后,以策略体系为指引,在实际教学中实施策略,并构建语用教学课型与课堂模式,用切身的教学实践论证两大策略体系的可行性。 论文分为四大部分,概要如下:绪论部分,阐明研究的缘起与目的、创新点和意义、文献综述和思路与方法。其中,研究的创新点在于构建教学策略体系,也是本论文的核心,包括备课策略和课堂实施策略。 备课策略提出3条:1.分层关注语体形态,明确教学的基础内容;2.关注语象世界,变空白为有白;3.关注语义体系,评价主题内蕴。以此为根基,形成3条教学内容的选择策略:1.厘定文本的语体形态,深入探索文字密码;2.厘定文本的语象世界,探究其内隐和外显;3.厘定文本的语义体系,深入探索主题内蕴。 两大策略环环相扣。课堂上的实施策略以时序分为导入、教学推进、教学尾声三大板块。 第一板块,导入时,以语用来检测学生原有认知水平的策略;第二板块,教学推进过程中,以语用来检测学生重构的认知水平的策略;第三板块,教学尾声时,以语用来检测学生迁移能力的策略。其中,第一板块,论述了情境创设的意义、方 式和方法。 第二板块是核心,提出以语用来检测学生重构的认知水平的6种策略,即:1.启发学生概括、复述;2.启发学生补充提示语;3.启发学生更换人称进行角色体验;4.启发学生描述语象;5.启发学生补白想象;6启发学生发现构段、构篇密码。基于第二板块,提出教学尾声时,以语用来检测学生迁移能力的6种策略:1.以概括、复述迁移概括、复述;2.以补充提示语迁移补充提示语;3.以更换人称迁移更换人称;4.以描述语象迁移描述语象;5.以补白想象迁移补白想象;6.以发现构段、构篇密码迁移构段、构篇。 第二、三板块的策略丝丝入扣,相得益彰。第一章,对语用、阅读教学、语用阅读教学等概念进行界定,阐明研究的理论依据主要是系统论、学习理论和教学理论,论述语用阅读教学策略研究的必要性。 第二章,小学语文阅读教学现状调查分析与原因剖析,包括现状调查与原因 剖析两大方面。现状调查包括:调查对象及方法、调查内容、调查分析与调查结论。 原因剖析包括五个方面:一是制约小学语文教师专业发展的因素,其中包括 教师不堪重负等4种外部因素和4种自身因素;二是制约学生发展的两大因素; 三是家长方面的原因;四是语文课程设置单一;五是现行教育体制下语文教学评 价的单一。第三章,是论文的核心,提出以语用为取向的小学语文阅读教学两大策略体系。 有关详情,以上创新点部分已阐述。第四章,着重阐述语用教学课型与模式、案例分析,包括口头表达练习课、朗读领悟指导课和读写迁移训练课。 函数极限的综合分析与理解 PB 王欣 极限可以与很多的数学问题相联系。例如，导数从根本上是求极限；函数连续首先要求函数在某一点的左极限等于右极限。有鉴于函数极限的重要性，结合自己的学习心得，笔者写下了此文。其目的在于归纳和总结解决函数极限问题的实用方法和技巧，以期对函数极限问题的学习有所帮助。 一、函数极限的定义和基本性质 函数极限可以分成x →0x ，x →∞两类，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以0x x →的极限为例，()x f 在点0x 以A 极限的定义是：,0,0>?>?δε使当δ<-<00x x 时，有()().f x A A ε-<为常数问题的关键在于找到符合定义要求的δ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。 函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。如函数极限的唯一性（若0 lim x x →存在，则在该点的极限是唯一的）可以体现在用海涅定理证明()x f 在0x 处的极限不存在。即如果()A x f n →，()B x f n →'（0',x x x n n n →∞→和）， 则()x f 在0x 处的极限不存在。 运用函数极限的性质可以方便地求出一些简单函数的极限值。例如对于有理分式()()() x Q x P x f =（()()x Q x P ,均为多项式，()0≠x Q ）。设()x P 的次数为n ,()x Q 的次数为m ， 当∞→x 时，若m n <，则()0→x f ;若m n =，则()→x f ()x P 与()x Q 的最高次项系数之比；若 m n >，则()∞→x f 。 000()()(()0)()P x f x Q x Q x →→≠0当x x 时,。 二、运用函数极限的判别定理 最常用的判别定理包括单调有界定理和夹挤定理，在运用它们去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值，参见附例2。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数()x g 与()x h ，并且要满足()()()x h x f x g ≤≤，从而证明或求得函数()x f 的极限值。 关于函数极限如何证明 函数极限的性质是怎么一回事呢?这类的性质该怎么证明呢?下面就是学习啦给大家的函数极限的性质证明内容，希望大家喜欢。 X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会 |Xn+1-A| 以此类推，改变数列下标可得|Xn-A| |Xn-1-A| …… |X2-A| 向上迭代，可以得到|Xn+1-A| 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1<4， 设x(k)<4，则 x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。 当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞ (2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞ (3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。 n/(n^2+1)=0 毕业论文文献综述 小学教育 小学语文课堂教育评价策略研究 一、综述导言 哲人詹姆士曾说过:“人类本质中最殷切的要求就是渴望被肯定。”尤其是小学阶段的学生，由于他们的心理特点，身处于班集体之中, 他们喜欢表扬, 需要鼓励, 渴望被肯定，他们希望看到自己在集体中的位置和作用，教师的一句激励性评价语可能影响他们的一生。因而, 教师在课堂中的评价则无疑是至关重要的，教师的评价应抓住学生的这种心态, 对学生的表现。应用适当、正确的评价来不断激励学生的上进心和求知欲, 点燃他们的信心之火, 让他们迸发出智慧的火花, 营适轻松和谐的学习氛围。 目前，国内已经有好多学者、专家研究过该课题，但是实践证明小学语文课堂中的教师评价体制还是不够健全，因此，研究本课题是十分有必要的。 二、小学课堂教育评价策略的理论基础 教育心理学表明，处于不同年级的学生有不同的心理特征，小学生好奇心强、好动、好胜，注意力不能集中，因此教师的课堂评价对于其学习兴趣的提高是十分重要的，语文是一门基础学科，在小学语文中，它的地位是显而易见的，因此，教师的课堂评价对于学生语文知识的获得，人文情操的陶冶是十分重要的。赵明仁、王嘉毅在《促进学生发展的课堂教学评价》中认为促进学生发展的课堂教学评价是建立在对于评价对象的科学认识及教育教学方式的重新理解之上的，是对人的本质尤其人在教育视野中本质的重新解读和教育教学本质的重新定位。由于语文学科的独特性特点以及其在基础教育阶段的重要性，语文课堂教育评价应建立在对评价对象的认识上进行的。多元智力理论和建构主义理论对促进学生发展的课堂教学评价观的形成具有启发意义。多元智力理论的广阔性和开放性对于我们正确地、全面地认识学生具有很高的借鉴价值。各种智力只有领域的不同，而没有优劣之分，轻重之别，也没有好坏之差。因此，每个学生都有可以发展的潜力，只是表现的领域不同而已。在小学语文课堂中，教师应根据每个学生的不同发展给以一定的鼓励，评价也应因人而异。这就需要我们的教师在以促进学生发展为终极关怀的参照下，从不同的视角、不同的层面去看待每一个学生。而且要促进其优势智力领域的优秀品质向其他智力领域迁移，因此，我认为在课堂中，教师应挖掘多方面的评价，促进学生的综合发展。建构主义的教育思想在小学语文课堂评价中也是至关重要的。维果茨基的“最近发展区”理论，其主旨在于学生的学习是在教师有效指导下逐步 对函数极限概念的理解 函数极限概念，不易理解。由于极限概念具有高度的抽象性，因此，令人很难快速正确理解和掌握极限数学语言的真正内涵，以致于学完了极限，极限的意识还很薄弱。因此，要抓住理解的关键，我们体会，宜抓住以下三点： （一）将“任意近处”的描绘性语言，转化为可进行量化比较的准确表达 考察数集X={x},若在点x0的任意近处包含有X中异于x0的x的值，则点x0称为这数集的聚点。 为着要更准确地表达这定义，我们引入点x0的邻域的概念：以点x0为中心的开区间（x0?δ，x0+δ）称为点x0的邻域。下边我们将聚点做可进行量化比较的准确表达：若在点x0的任一邻域内包含X中异于x0的x的值，则x0是数集X的聚点。关于“任一邻域”，δ=1cm算不算“任一邻域”？不算。只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；δ=1mm算不算“任一邻域”？不算。只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；δ=1nm算不算“任一邻域”？不算。只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；……,点x0的邻域可以无穷小。因此，“任一邻域”是一个无穷集。 对聚点x0本身来说，可以属于X，或不属于X。也就是说x0在X上可以有定义或无定义。x0在X上无定义时，它的邻域也存在，叫做空心领域。 （二）注意函数f(x)在x接近于x0时的性态。 设在区域X内给定函数f(x)，且x0是X的聚点。这函数f(x)在x接近于x0时的性态是值得注意的。相对于自变量x,通过法则f,得到f(x)，若出现了f(x)无限趋近于数A的性态，或者叫做f(x)与数A的差距无限小的性态，则可类似于x0的邻域δ，把ε看作A的邻域， 而把这种性态更准确地表达为：Ⅰf(x)- AⅠ<ε(ε是任一大于零的数)。这个表达就具备了可 进行量化比较性。 （三）δ与ε的关系 从x与f(x)的关系看，前者为因，后者为果。但是从x0的邻域δ与A的邻域ε的关系看，则是前者依赖后者，总是要先给定任一ε>0，而后求那个能保证ε成立的δ。即δ的几何空 间受ε的几何空间的约束。既然f(x)无限趋近于数A的性态，可更准确地表达为：Ⅰf(x)- A Ⅰ<ε(ε是任一大于零的数)，那么，使Ⅰf(x)- AⅠ<ε(ε是任一大于零的数)成立的δ应是什么样呢？也就是如何依赖Ⅰf(x)- AⅠ<ε求δ呢？具体过程如下： 将Ⅰf(x)- AⅠ变形：Ⅰf(x)- AⅠ=MⅠx-x0Ⅰ,其中M是一个与x无关的常量。 再取δ=ε M ，则当0<Ⅰx-x0Ⅰ<δ时，有0<Ⅰx-x0Ⅰ<ε M ，整理为0 极 限 的 概 念（4月27日） 教学目的：理解数列和函数极限的概念； 教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限； 教学难点：数列和函数极限的理解 教学过程： 一、实例引入： 例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。 观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。 二、新课讲授 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．． 某个常数A （即A a n -无限趋近于0） ，那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞ →lim 注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。A a n n =∞ →lim 有时也记作当n →∞时，n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？ 例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1， 21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1 +n n ，…； 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取 εδ= 则当δ <-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限 δε-定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I) []=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim 0 x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II) []B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00 （IV ） cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数） 上述性质对于 时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x =254252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于 型时0 ,0x x → 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式= () () ) 12102(65) 2062(103lim 223 2232 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =)65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =)65()103(lim 222++---→x x x x x =) 3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )21 44(lim 22x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足： A Study on Teaching Methods of English Speaking in Junior Middle School “初中英语口语教学方法探究” Literature Review Ⅰ. Introduction Spoken language is defined as a kind of output capabilities. Stimulated by the external sound or other information, speakers produce an initial motivation and intention, form deep syntactic structure through internal language stage, and then expand into an external speech based on a surface structure. (Zhu Chun, 1993) Linguist French once said that speaking is a basis of other abilities (listening, reading and writing). believed that no one would be born to speak, and people can communicate with others only by much practice. The Father of Application linguistic in British thought that, to learn English, you need to open your mouth , to read, to say. Linguist Thomas (D. HYMES) said, language refers not only ability of whether one can make grammatical sentence, but also the ability of whether one can apply it properly. He said speech is an important form of language and a significant way in communication. With economic globalization, the deepening of China's reform and opening up, the current world is changing rapidly and international exchanges increase frequently. It has became a necessity of the society to learn English and use English in common communication. English is a language communication tool. Enhancing the teaching of spoken English and helping students improve overall level of oral English communication have been paid much attention. It is not only a real application of the knowledge on the books in daily life, but also a respond to face work, business, and other problems encountered in future. English speaking teaching is an important and integral part of English teaching in junior middle middle school is a key stage of English study for all Chinese is a period which transition from simple word recognition in primary school to proficiently expression in senior high school. Speaking learning of this stage will lay a solid foundation for deep English study in future, also help in all aspects of English learning capabilities. However, it has been reported that English teaching in our junior middle school still exists the following questions. Firstly, influenced by the examination-oriented education, most of the teaching methods can not achieve the outline of the standard released by the Ministry of Education. Secondly, insufficient emphasis is put on the teaching of pronunciation. Thirdly, the common level of teachers is not advanced. Fourthly, because of the over class size, fewer opportunities to practice is given the students. Fifthly, lack the necessary language environment. These problems encourage us to make further exploration on English teaching methods of the junior middle school,so as to improve the standard of teaching and to enhance students' speaking level. The following paper reviews researches on main teaching methods of English speaking in and abroad. Ⅱ. Research status in and abroad Speaking is one of main language output skills. American linguist Krashen put forward the Second Language Acquisition Theory in the 1970s, which attracted much attention in both linguistics field函数极限的定义的多种表达
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