高中数学复习课导学案
【高中数学复习课导学案】
一．复习目标：
1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；
2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；
3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；
4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；
5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．
6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．．
二．考试要求：
1．理解不等式的性质及其证明。
2．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。
3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
4．掌握简单不等式的解法。
5．理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。
三．教学过程：
（Ⅰ）基础知识详析
1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方
程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函
数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．
3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式
化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．通过复习，感悟到不等式的
核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用．
4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→变形
→判断符号(值)．
5．证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维
等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．
6．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的
基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
7．不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
8．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这
三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：10审题，20建立不等式模型，30
解数学问题，40
作答。
9．注意事项：
⑴解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解，。
⑵解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。
⑶不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。
⑷根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。 （Ⅱ）2004年高考数学不等式综合题选 1．（2004年高考数学广西卷，5）函数)1(log 22
1-=
x y 的定义域为（ ）
A ．[
)(]
2,11,2 --
B ．)2,1()1,2( --
C ．[)(]2,11,2 --
D ．)2,1()1,2( --
答案：A
2．（2004年高考数学广西卷，8）不等式311<+ A ．()2,0 B ．())4,2(0,2 - C ．()0,4- D ．())2,0(2,4 -- 答案：D 3．（2004年高考数学广西卷，11）设函数?????≥--<+=1 ,141 ,)1()(2 x x x x x f ，则使得1 )(≥x f 的自变量x 的取值范围为 （ ） A ．(][]10,02, -∞- B ．(][]1,02, -∞- C ． (][]10,12, -∞- D ．[]10,1]0,2[ - 答案：A 4．（2004年高考数学广西卷，19）某村计划建造一个室内面积为8002 m 的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空 地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？ 分析：本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题 的能力. 解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则 a b=800. 蔬菜的种植面积 ).2(2808824)2)(4(b a a b ab b a S +-=+--=--= 所以 ).(648248082 m ab S =-≤ 当).(648,)(20),(40,22 m S m b m a b a ====最大值时即 答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面 积为648m 2 . 5．（2004年高考数学江苏卷，1）设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于 （ ） A ．{1，2} B ． {3，4} C ． {1} D ． {-2，-1，0，1，2} 答案：A 6．（2004年高考数学江苏卷，10）函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 （ ） A ．1，-1 B ．1，-17 C ．3，-17 D ．9，-19 答案：C 7．（2004年高考数学江苏卷，12）设函数)(1)(R x x x x f ∈+- =，区间M=[a ，b](a A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数多个 答案：A 8．（2004年高考数学江苏卷，13）二次函数y=ax 2 +bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表： 则不等式ax 2 +bx+c>0的解集是_______________________. 答案：),3()2,(+∞--∞ 9．（2004年高考数学江苏卷，22）已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有 )]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤- 和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数. 设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -= (Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ； (Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-； (Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤. 分析：本题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力。 证法一： （I ）任取则由,,,2121x x R x x ≠?)]()()[()(21212 21x f x f x x x x --≤-λ 和|||)()(|2121x x x f x f -≤- ② 可知 22121212121221|||)()(|||)]()()[()(x x x f x f x x x f x f x x x x -≤-?-≤--≤-λ， 从而 1≤λ. 假设有则由使得,0)(,000=≠b f a b ①式知 .0)]()()[()(00000200矛盾=--≤- ∴不存在.0)(,000=≠b f a b 使得 （II ）由)(a f a b λ-= ③ 可知 2 20202020)]([)()(2)()]([)(a f a f a a a a a f a a a b λλλ+---=--=- ④ 由和0)(0=a f ①式，得2 0000)()]()()[()()(a a a f a f a a a f a a -≥--=-λ ⑤ 由0)(0=a f 和②式知，2 0202)()]()([)]([a a a f a f a f -≤-= ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 2 022022020)()(2)()(a a a a a a a b -+---≤-λλ 2 02))(1(a a --=λ （III ）由③式可知2 2)]()()([)]([a f a f b f b f +-= 22)]([)]()()[(2)]()([a f a f b f a f a f b f +-+-= 22)]([)]()([2)(a f a f b f a b a b +--?--≤λ （用②式） 222)]([)]()()[(2 )]([a f a f b f a b a f +---=λ λ 2222)]([)(2 )([a f a b a f +-??- ≤λλ λ （用①式） 2 2 22222)] ()[1()]([)]([2)]([a f a f a f a f λλλ-=+-= 证法二：题目中涉及了八个不同的字母参数λ,,,,,,,2100x x x b a b a 以及它们的抽象函数值(*)f 。参数量太多，让考生们在短时间内难以理清头绪。因而解决问题的关键就在于“消元”——把题设条件及欲证关系中的多个参数量转化为某几个特定变量来表示，然而再进行运算证明。“消元”的模式并不难唯一，这里提供一个与标准解答不同的“消元”设想，供参考。 题设中两个主要条件是关于21x x -与)()(21x f x f -的齐次式。而点))(,(11x f x 、 ))(,(22x f x 是函数图象上的两个点，2121/)()(x x x f x f --是连接这两点的弦的斜率。若 欲证的不等式关系也能转化为这样的斜率表示，则可以借助斜率进行“整体消元”。 设21,x x 为不相等的两实数，则0||,0)(212 21>->-x x x x 由题设条件可得： 2121)()(0x x x f x f --< <λ和1|) ()(| 2 121≤--x x x f x f 。 令2 121)()(x x x f x f k --= ， 则对任意相异实数21,x x ，有k ≤<λ0及1||≤k ，即10≤≤ 由此即得1≤λ；又对任意21x x ≠有0>k ，得函数)(x f 在R 上单调增，所以函数)(x f 是R 上的单调增函数。 如果00a b ≠，则)()(00a f b f ≠，因为0)(0=a f ，所以0)(0≠b f 。即不存在00a b ≠，使得0)(0=b f 。于是，（Ⅰ）的结论成立。 考虑结论（Ⅱ）： 因为)(a f a b λ-=，故原不等式为 20220))(1()]([a a a f a a --≤--λλ； 当0a a =时，左右两边相等； 当0a a ≠时，0)(2 0>-a a ，且0)(0=a f ，则原不等式即为： 2 2 02001) ()]()([λλλ-≤-+--a a a f a f a a ， 令0 0)()(a a a f a f k --= ，则原不等式化为221)1(λλ-≤-k ，即为k k 2)1(2 ≤+λ。 因为10≤≤ ，所以k k 22 ≤+λλ成立，即（Ⅱ）中结论成立。 再看结论（Ⅲ）： 原不等式即0)]([)]([)]([2 2 2 2 ≤+-a f a f b f λ， 即0)]([)](2)()([)]()([2 2 ≤++-?-a f a f a f b f a f b f λ，注意到)(a f a b λ-=，则 )(a f a b λ-=-，则原不等式即为 0)(]/)(2)()([)]()([2≤-+---?-a b a b a f b f a f b f λ 即 01]2)()([)()(≤+---?--λa b a f b f a b a f b f ，令a b a f b f k --= ) ()(，则原不等式即化为 01)/2(≤+-λk k ，即k k 22≤+λλ，因为10≤≤ k k 22≤+λλ成立，即（Ⅲ）的结论成立。 在一般的“消元”方法中，本题三个小题中不等关系的证明过程差异较大。尤其是（Ⅱ） 与（Ⅲ），许多尖子学生证明了（Ⅱ）的结论而不能解决（Ⅲ）。 借助斜率k “整体消元”的想法把（Ⅱ）、（Ⅲ）中的不等关系都转化为相同的不等关系 k k 22≤+λλ，然后由条件10≤≤ （Ⅲ）范例分析 b)∈M ，且对M 中的其它元素(c ，d)，总有c ≥a ，则a=____． 分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M 中的其 它元素(c ，d)，总有c ≥a ”？M 中的元素又有什么特点？ 解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3) (2)当1≤y ≤3时， 所以当y=1时，xmin=4． 说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示 其数学实质．即求集合M 中的元素满足关系 式 例2．解关于x 的不等式： ()09 22 >≤-a a a x x 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数a 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。 解：当()???≤--≥???≤-≥≥0 299292 22a ax x a x a a x x a x a x 即时，不等式可转化为 a b x a 17 3+≤ ≤∴ ???≥+- 22a ax x a x a x a ax a x a x 即时不等式可化为当 ]?? ? ???+?-∞<≤≤ ∴a a a a x a a x 6173,323 , (3 23故不等式的解集为或。 例3． 己知三个不等式：①x x -<-542 ② 12 32 2 ≥+-+x x x ③0122<-+mx x (1)若同时满足①、②的x 值也满足③，求m 的取值范围； (2)若满足的③x 值至少满足①和②中的一个，求m 的取值范围。 分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解 本题的关键弄清同时满足①、②的x 值的满足③的充要条件是：③对应的方程的两根分别在 ()0,∞-和[),3+∞内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解 决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。 解：记①的解集为A ，②的解集为B ，③的解集为C 。 解①得A=（-1，3）；解②得B=][[)3,2()1,0B A ,4,2()1,0?=?∴? （1） 因同时满足①、②的x 值也满足③，A ?B ?C 设12)(2 ++=mx x x f ，由)(x f 的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即可满足317 173010)3(0)0(-≤∴???≤+<-?? ?≤ （2） 因满足③的x 值至少满足①和②中的一个，]4,1(,-=???∴B A B A C 而因此 ]0124,1(2=-+∴-?mx x C 方程小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而 ??? ? ? ? ?? ? <-<-≤≤-≥+=≥-=-4411431,0314)4(01)1(m m m f m f 解之得 说明：同时满足①②的x 值满足③的充要条件是：③对应的方程2x 2 +mx-1=0的两根分别在(-∞，0)和[3，+∞)内，因此有f(0)＜0且f(3)≤0，否则不能对A ∩B 中的所有x 值满足条件．不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系． 例4.已知对于自然数a ，存在一个以a 为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a ≥5． 分析：回忆二次函数的几种特殊形式．设f(x)=ax 2 +bx+c(a ≠0)．① 顶点式．f(x)=a(x-x 0)2 +f(x 0)(a ≠0)．这里(x 0，f(x 0))是二次函数的顶点，x 0=- ))、(x 2，f(x 2))、(x 3，f(x 3))是二次函数图象上的不同三点，则系数a ，b ，c 可 由 证明：设二次三项式为：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2 )，a∈N． 依题意知：0＜x 1＜1，0＜x 2 ＜1，且x 1 ≠x 2 ．于是有 f(0)＞0，f(1)＞0． 又f(x)=ax2-a(x 1+x 2 )x+ax 1 x 2 为整系数二次三项式， 所以f(0)=ax 1x 2 、f(1)=a·(1-x 1 )(1-x 2 )为正整数．故f(0)≥1，f(1)≥1． 从而 f(0)·f(1)≥1．①另一方面， 且由x 1≠x 2 知等号不同时成立，所以 由①、②得，a 2 ＞16．又a∈N，所以a≥5． 说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活．根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键． 例5.设等差数列{a n }的首项a1＞0且Sm=Sn(m≠n)．问：它的前多少项的和最大？ 分析:要求前n项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列． 解:设等差数列{a n }的公差为d，由Sm=Sn得 ak≥0，且ak+1＜0． (k∈N)． 说明：诸多数学问题可归结为解某一不等式(组)．正确列出不等式(组)，并分析其解在具体问题的意义，是得到合理结论的关键． 例6．若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围．分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来．即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解． 解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx．于是 解法一(利用基本不等式的性质) 不等式组(Ⅰ)变形得 (Ⅰ)所以f(-2)的取值范围是[6，10]． 解法二(数形结合) 建立直角坐标系aob，作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10． 解法三(利用方程的思想) 又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而 1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4， ① 所以 3≤3f(-1)≤6． ② ①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10． 说明：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解： 2b ，8≤4a ≤12，-3≤-2b ≤-1，所以 5≤f(-2)≤11． (2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高． 例7．(2002 江苏)己知2 )(,0bx ax x f a -=>函数， （1）();2 ,10b a x f R x b ≤≤∈>证明：都有时，若对任意 当 （2）时当1>b ，证明：对任意]1,0[∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是b a b 21≤≤-； （3）时，当10≤ 证明：（1）依题意，对任意R x ∈，都有b a b a x b x f x f 4)2()(.1)(2 2+--=≤ .20,0,14)2(2 b a b a b a b a f ≤∴>>≤=∴ （2）充分性：[]x x x b bx ax x b a b --≥-∈-≥>)(:,1,0,1,12 2 可推出对任意 []可知对任意又即,1,0,2,1;1,12∈≤>-≥--≥-≥x b a b bx ax x 1,1)1 (12)2(222max 222≤-=?-? =-≤-≤-bx ax b b b b bx x b bx x b bx ax 即1)(1≤≤-∴x f 必要性：对 ()111,1101;11≤?? ? ??≤<< ∴>-≥∴-≥-b f x f b b b a b a 知由又即 任意[]1)1(,1)(,1)(,1,0-≥∴-≥∴≤∈f x f x f x b a b b a b a 21,2,11≤≤-≤∴≤-故即 []b a b x f x 211)(,1,0,≤≤-≤∈的充要条件是对任意综上 （3）[]1)(,1,0,10,02 -≥-≥-=∈≤<>b bx ax x f x b a 对任意时 即1,1,1)1(1)(;1)(+≤≤-≤≤-≥b a b a f x f x f 即即知又由 而当b b b b x b bx x b bx ax x f b a 4)1()21()1()(,12 22 2 +++--=-+≤-=+≤时 121 ,10>+∴ ≤ b b []1)(11,)1(,1,02≤∴=-+=∴x f x bx x b y 时取得最大值故在是增函数上在 []11)(,1,0,10,0+≤≤∈≤<>∴b a x f x b a 的充要条件是对任意时当 例8．若a ＞0，b ＞0，a3+b3=2．求证a+b ≤2，ab ≤1． 分析：由条件a3+b3=2及待证的结论a+b ≤2的结构入手，联想它们之间的内在联系，不妨用作差比较法或均值不等式或构造方程等等方法，架起沟通二者的“桥梁”． 证法一 (作差比较法) 因为a ＞0，b ＞0，a3+b3=2，所以 (a ＋b)3-23=a 3+b 3+3a 2b+3ab 2-8=3a 2b+3ab 2 -6 =3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a 3+b 3)]=-3(a+b)(a-b)2 ≤0， 即 (a+b)3 ≤23． 证法二 (平均值不等式—综合法) 因为a ＞0，b ＞0，a3+b3=2，所以 所以a+b ≤2，ab ≤1． 说明：充分发挥“1”的作用，使其证明路径显得格外简捷、漂亮． 证法三 (构造方程) 设a，b为方程x2-mx+n=0的两根．则 因为a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0且Δ=m2-4n≥0．① 因此2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n]，所以 所以a+b≤2． 由2≥m得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1．所以 ab≤1． 说明：认真观察不等式的结构，从中发现与已学知识的内在联系，就能较顺利地找到解决问题的切入点． 证法四(恰当的配凑) 因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)， 于是有6≥3ab(a+b)，从而 8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3， 所以a+b≤2．(以下略) 即a+b≤2．(以下略) 证法六(反证法) 假设a+b＞2，则 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]＞2(22-3ab)． 因为a3+b3=2，所以2＞2(4-3ab)，因此ab＞1．① 另一方面，2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)·ab＞2ab， 所以ab＜1．② 于是①与②矛盾，故a+b ≤2．(以下略) 说明：此题用了六种不同的方法证明，这几种证法都是证明不等式的常用方法． 例9．设函数f(x)=ax 2 +bx+c 的图象与两直线y=x ，y=-x ，均不相 分析：因为x ∈R ，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设 f(x)=a(x-x 0)2 +f(x0)． 证明：由题意知，a ≠0．设f(x)=a(x-x 0)2 +f(x 0)，则 又二次方程ax 2 +bx+c=±x 无实根，故 Δ1=(b+1)2 -4ac ＜0， Δ2=(b-1)2 -4ac ＜0． 所以(b+1)2+(b-1)2-8ac ＜0，即2b 2 +2-8ac ＜0，即 b 2-4a c ＜-1，所以|b 2 -4ac|＞1． 说明：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径． 例10．（2002理）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 解：设2001年末的汽车保有量为1a ，以后每年末的汽车保有量依次为....,32a a ，每年新增汽车x 万辆。 由题意得)06 .0(94.006.094.011x a x a x a a n n n n -=-+=++即 万辆 过即每年新增汽车不应超应有满足故要对一切自然数上式趋于时且当的减函数上式右端是关于解得令6.3,6.3,606.3,,06 .0)94.0130 30(,6006 .094.0)06.030(1 1≤≤∞→?-+≤≤+- =--x a n n n x a x x a n n n n n 例11．已知奇函数）上是增函数， ，）上有定义，在（，（），在（∞+∞+?∞-000)(x f 又,0)1(=f 知函数集合],2 ,0[,2cos sin )(2π θθθθ∈-+=m m g {}{} N M g f m N g m M ?<=<=求恒有恒有,0))((,0)(θθ 分析：这是一道比较综合的问题，考查很多函数知识，通过恰当换元，使问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题。 022cos , 12cos sin ]2 01)(1)(0)()1(0)((0)(0)1()1(0)1(0)0)(22<+-+--<-+∈- ?-< θθθθθθ也即），即，（（即的条件是满足得又由）上也是增函数。，在（（）上是增函数，，在（奇数函数解 令10,22)],1,0[,cos 2 ≤≤+-+-=∈=t m mt t t t t （又设则δθ 要使内的最大值小于零， 在必须使]10[)(,0)(t t δδ< 10 当φδδ∈? ??<+-<+-==< 知解不等式组时，即0220,22)0()(002max 2 22404882 0, 4 8 8)(,20120222max 0 ≤<- ? ? ??+-≤≤+-=≤≤≤≤m m m m m m t m m 得解不等式组时即当δ 30 当 ???<<+->+-=>>2 012,1)(212max m m m m t m m 得解不等式组时，即δ 综上：{ }4M N m m ?=>- 例12．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。 （1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？ （2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小？ （半个椭圆的面积公式为s= ,4 lh π 柱体体积为：底面积乘以高，414.12=，646 .27=本题结果均精确到0.1米） 分析：本题为2003年上海高考题，考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力。 解：1)建立如图所示直角坐标系，则P （11，4.5） 椭圆方程为：122 22=+b y a x 将b=h=6与点P 坐标代入椭圆方程得 3.337 7882,7744≈=== a l a 此时故隧道拱宽约为33.3米 2)由椭圆方程15.411122 222222=+=+b a b y a x 得 4 .6,1.3122 2 9,2112 15.411,2992499,5 .41125.41122222222≈=≈===∴==≥==∴≥∴??≥+b h a l b a b a s ab lh s ab ab b a 此时最小时有当πππ 故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小. 例13．已知n ∈N ，n ＞1．求证 分析:虽然待证不等式是关于自然数的命题，但不一定选用数学归纳法，观其“形”，它具有较好规律，因此不妨采用构造数列的方法进行解． 则 说明：因为数列是特殊的函数，所以可以因问题的数学结构，利用函数的思想解决． 例14．已知函数1 2 2)(2-+-=x x x x f ()[]() 11)2(≥+-+n n x f x f x 是正实数，求证： 设 分析：本例主要复习函数、不等式的基础知识，绝对值不等式及函数不等式的证明技巧。基 本思路先将函数不等式转化为代数不等式，利用绝对值不等式的性质及函数的性质。证明（1）再利用二项展开式及基本不等式的证明（2）。 证明：（1）tx tx tx f x x x f 1 )1(11)1()(2+=+∴-+-= ,21 211)1(=?≥+=+ =+∴tx tx tx tx tx tx tx f 当且仅当1=tx 时，上式取等号。 2)1(,110,10>+∴≠∴<<< 2222222222 2)(2)(2)(2(x t x t x t x t x t x t x t x t s -++=-++--++=-++= 44;44,22<=≤≤=≥x s x t t s x t 时当时当 )1()1(2+<-+++<≤-++∴tx f x t x t tx f x t x t 即 （2）1=n 时，结论显然成立 当2≥n 时， [].....11)1()1()1()1(2 2211+?+?=+ -+=+-+--x x C x x C x x x x x f x f n n n n n n n n n 21 4242211122211......11----------?+?+++=?+?+n n n n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x C x x C () 1,10,10)1(+<-++≤< ?? ????++++++= -------)1(....)1()1(2122 1442221n n n n n n n n n n x x C x x C x x C [] 22...)...(22 112 1121-=+++=+++?≥ --n n n n n n n n n C C C C C C 例15．（2001年全国理）己知n m i n m i <≤<1,,是正整数，且 （1）i n i i m i A m A n <证明： （2）()()m n m n +>+11证明： 证明：（1）m i m m m m m m m m A i m m m A m i i i m i m 1 ......21),1)......(1.(,1+--?-?=+--=≤<有对于 同理有对整数由于,1,......,2,1,1 ......21-=<+--?-? =i k n m n i n n n n n n n n A i i n i m i i n i i i m i i n A n A m m A n A m k m n k n >>∴->-即, （2）由二项式定理有i m i i n i m i i m i m n i i n i n A n A m C n n C m m >=+= +∑∑==知由)1(,)1(,)1(0 )1(! ,!),1(n m i C n c m i A C i A C n m i i m i i n i i m i m i n i n <≤<>∴==<≤<而 因此 0,,1,1 1 2 2>====>∑∑==i n i m n m i m i o m o o n o i m i i n i C m mn nC mC C n C m C n C m 又 ∑∑==+>+>∴≤ i m n i m i n i i n i n m C n C m n i m 0 )1()1()(即。 四、强化训练 1．已知非负实数x ，y 满足2380x y +-≤且3270x y +-≤，则x y +的最大值是（ ） A ． 7 3 B ．83 C ．2 D ． 3 2．已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数x a y )25(--=是 减函数。若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．a ≤1 B ．a <2 C ．1 3 22---x x x a ＞0 4．求a ，b 的值，使得关于x 的不等式ax 2 +bx+a 2 -1≤0的解集分别是： (1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)． 5． 解关于x 的不等式)10(12≠>->-a a a a a x x 且 6．（2002北京文）数列{} n x 由下列条件确定： *+∈???? ? ?+= >=N n x a x x a x n n n ,21,011 （1）证明：对于a x n n ≥ ≥总有,2, （2）证明：对于1,2+≥≥n n x x n 总有． 7．设P=(log 2x)2 +(t-2)log 2x-t+1，若t 在区间[-2，2]上变动时，P 恒为正值，试求x 的变化范围． 8．已知数列{} {}n n n n n n b s a s n a a 的等差中项，数列与是且项和为前的通项为2,,中，b 1=1，点P （b n ,b n+1）在直线x-y+2=0上。 Ⅰ）求数列{}{ }n n n n b a b a ,的通项公式、 Ⅱ）设{}n b 的前n 项和为B n, 试比较 的大小与21 ...1121n B B B +++。 Ⅲ）设T n = 的最小值求恒成立若对一切正整数c Z c c T n a b a b a b n n n ,)(,, (22) 11∈<+++ 五、参考答案 1．解：画出图象，由线性规划知识可得，选D 2．解：命题p 为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数2 2x x a ++的判别式440a ?=-≥，从而1a ≤；命题q 为真时，5212a a ->?<。 若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，故p 和q 中只有一个是真命题，一个是假命题。 若p 为真，q 为假时，无解；若p 为假，q 为真时，结果为1 3．分析：本题主要复习分式不等式的解法、分类讨论的思想及利用序轴标根法解不等式的基本步骤。本题的关键是对分母分解因式，将原不等式等价转化为()()()013<+--x x a x 和比较a 与1-及3的大小，定出分类方法。 解：原不等式化为：()()()013<+--x x a x （1） 当1-≤a 时，由图1知不等式的解集为} {31<<- 31231<<-<≤<-x a x x a 或知不等式的解集为时，由图 （3） 当{} a x x x a <<-<>3133或知不等式的解集为时，由图 4．分析：方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通． 解(1) 由题意可知，a ＞0且-1，2是方程ax 2 +bx+a 2-1≤0的根，所以 (3)由题意知，2是方程ax 2 +bx+a 2 -1=0的根，所以 4a+2b+a 2 -1=0． ① 又{2}是不等式ax 2+bx+a 2 -1≤0的解集，所以 (4)由题意知，a=0．b ＜0，且-1是方程bx+a2-1=0的根，即-b+a2-1=0，所以 a=0，b=-1． 说明：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间相互联系相互渗透，并在一定条件下相互转换。 5．分析：在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观，形象的图象关系，对含参数的不等式，运用图解法，还可以使得分类标准更加明晰。 解：设x a t =，原不等式化为t a y t t y t t a t -=>-=>->-2212),0(1)0(1设，在同一坐标系中作出两函数图象 ,21y y > 故（1）当[),010,10,10+∞∈∴≤<≤<< （2） )2 2log ,222(log 22222 21,,212 2 2 2 22 ,12 a a a x a a t a a a a t t a t a a a -+--∈∴-+<<--∴ -±= -=-<<得解方程如右图时当 （3）当2≥ a 时，原不等式的解集为φ 综上所述，当)1,0(∈a 时，解集为[+∞,0）；当)2,1(∈a 时，解集为 §3.1.2 空间向量的数乘运算（一） 班级：二年级 组名：数学 设计人： 审核人： 领导审批： 学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． P 86~ P 87，找出疑惑之处） 复习1：化简：⑴ 5（32a b - ）+4（23b a - ）； ⑵ ()()63a b c a b c -+--+- . 2：在平面上，什么叫做两个向量平行？ 在平面上有两个向量,a b ，若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件 学习探究（由学生完成） 问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关 系？ 新知：空间向量的共线： 1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 2. 空间向量共线： 定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠ ）， //a b 的充要条件是存在唯一 实数λ，使得 推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是 反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠ ，注意零向 量与任何向量共线. 知识应用：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+ ()3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共线. 精讲例题 例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若O P xO A yO B =+ ，且x +y ＝1， 试判断A,B,P 三点是否共线？ 变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12 O P O A tO B =+ ， 那么t ＝ 例2 已知平行六面体''''ABC D A B C D -，点M 是棱AA ' 的中点，点G 在 对角线A ' C 上，且CG:GA ' =2:1,设CD =a ，' ,CB b CC c == ，试用向量,,a b c 表示向量' ,,,C A C A C M C G . 变式1：已知长方体''''ABC D A B C D -，M 是对角线AC ' 中点，化简下列 表达式：⑴ ' AA CB - ;⑵ '''''AB B C C D ++ ⑶ ' 111222 AD AB A A +- 变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得： ⑴22OP OA AB AC =++ ⑵32O Q O A AB AC =-- ⑶32OR OA AB AC =+- ⑷ 23OS OA AB AC =+- . 小结（由学生完成）空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向. ※ 动手试试（由学生完成） 练1. 下列说法正确的是（ ） A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； B. 任意两个共线向量不一定是共线向量； C. 任意两个共线向量相等； D. 若向量a 与b 共线，则a b λ= . 2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++ ，0a ≠ ，若//a b ，求实数.x 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移. 学案样板模式 1.页面设置：纸张B5长25.7，宽18.2 ，页边距上下均是 2.54 ， 左右均是3.17 2.设置页眉、页脚如下面例子，请根据内容写清楚归属第几册书 3.注意居中插入页码 第一章 集合与函数 新课按下列格式规范: 1.2.1排列 (小四宋体加粗居中) 【课标要求】 【知识要点】 【情景设置】 【导学求思】 【范例剖析】 (小标题：五号宋体加粗) 【双基测评】 (标题下的内容：五号宋体) 【能力培养】 【课后作业】 习题课按下列格式规范: 1.2.1排列 (小四宋体加粗居中) 【复习目标】 【方法介绍】 (小标题：五号宋体加粗) 【典型例题】 (标题下的内容：五号宋体) 【巩固练习】 复习课按下列格式规范: 1.2.1排列(小四宋体加粗居中)【知识系统】 【经典例题】(小标题：五号宋体加粗) 【运用导练】 (标题下的内容：五号宋体) 【自我反思】 第一章集合与函数 1.1.1集合的含义与表示 【课标要求】 1.集合语言是现代数学的基本语言。高中数学课程将集合作为一种语言来学习。通过本模块的学习，使学生学会用最基本的集合语言表示有关对象，并能在自然语言、图型语言、集合语言之间进行转换。体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性，发展运用集合语言进行交流的能力。 2.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。 3.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。 【知识要点】 元素：一般的，我们把____________统称为元素； 集合：把一些元素组成的___-叫做集合。 集合的性质：_______、________、_______ 元素与集合间的关系： 属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作：________； 不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作:__________ 4常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作____； 正整数集，记作_______； 整数集，记作________； 有理数集，记作________； 实数集，记作_________。 集合的表示法 列举法：把集合中的元素_________，并用花括号{ }括起来表示集合的方法。描述法：用集合所含元素的_________表示集合的方法。 【情景设置】 在小学和初中时，我们已经接触过一些集合，比如说，到定点的距离等于定长的点的集合，自然数的集合等，你还能说说我们还接触过哪些集合吗？那集合的含义是什么呢？请同学们自己阅读教材第二页的内容。 【导学求思】 1、你能从教材给出的8个例子中自己总结出集合和元素的概念吗？ 2、那我们来判断一下下列情况能不能构成集合 (1)大于3小于11的偶数； (2)我国的小河流； (3)非负奇数； (4)我校高一全体学生； (5)著名的数学家； 3、同学们，我们来思考一下，如果我想描述张三同学是不是我班的一员， 1.1.1 正弦定理 班级： 组名： 姓名： 设计人： 审核人： 领导审批： 【学习目标】 1.通过对特殊三角形边角间的数量关系的探究发现正弦定理，初步学会由特殊到一般的思想方法发现数学规律。（难点） 2.掌握正弦定理，并能用正弦定理解决两类解三角形的基本问题。（重点） 【研讨互动 问题生成】 1. 正弦定理的概念； 2. 什么是解三角形； 3. 正弦定理适用于哪两种情况； 【合作探究 问题解决】 1.在ABC △中，已知3b =，c =30B ∠=，解此三角形。 2.在ABC △中，已知∠A=4530B ∠=，C=10,解此三角形。 3．在三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且A,B 为锐角，sin A sin B = 10 （1） 求A+B 的值： （2） 若-1，求a,b,c 得值 【点睛师例 巩固提高】 1. 在ABC △中，已知222 sin sin sin A B C +=，求证：ABC △为直角三角形 2． 已知ABC △中，60A ∠=，45B ∠=，且三角形一边的长为m ，解此三角 【要点归纳 反思总结】 1． 正弦定理反映了三角形中各边和它的对角正弦值的比例关系，表示形式为 2sin sin sin a b c R A B C ===，其中R 是三角形外接圆的半径。 2． 正弦定理的应用 （1）如果已知三角形的任意两角与一边，由三角形的内角和定理可以计算出另外一个角，并由三角形的正弦定理计算书另外两边。 （2）如果已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理可以计算出另外一边对角的正弦值，进而可以确定这个角（此时特别注意：一定要先判断这个三角形是锐角还是钝角）和三角形其它的边和角。 【多元评价】 自我评价: 小组成员评价: 小组长评价: 学科长评价: 学术助理评价: 【课后训练】 1．在ABC △中，若2sin sin cos 2 A C =，则ABC △是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ． 等腰直角三角形 2. 正弦定理适用的范围是（ ） Ａ．直角三角形 Ｂ．锐角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．任意三角形 3. 在ABC △中，已知30B =，b =，150c =，那么这个三角形是（ ） Ａ．等边三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形 4. 在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ．2 D ．2 5. 在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值 （ ） A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定 6.ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B = ==，则a 等于 （ ） A B ．2 C D 7. ．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于 （ ） A ．A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2 D ．B b cos 2 高中数学习题课“导学案”的环节 随着新课改的实施，“导学案”这种高效的教学方式备受大家青睐。导学案在高中数学课堂发挥着重要的作用，习题课是高中数学最重要的课型之一。“习题课”上应用导学案可以提高学生学习高中数学的兴趣和解题能力，也有利于学生自主学习能力的提高。如何编制高中数学习题课导学案就成了重中之重。我认为高中数学习题课“导学案”的编写应该包含以下环节。 一、学习目标 学习目标是学生在学习过程中预期要达到的目标或标准。教师需根据高中数学新课程标准，结合学生的现有的认知水平和学习情况制定学习目标。具体要求为：（1）目标内容要全面，知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观这三维目标缺一不可。（2）目标要有一定难度，不可过高，也不可过低。要让学生觉得通过自己努力就可以达到本节课的要求。（3）目标要具体可操作，将学习目标落实到导学案具体题目中，让学生通过每一个具体的学习任务循序渐进地实现学习目标。 二、重点难点 学习重点是教师根据教学内容，认为学生通过课堂学习必须掌握的内容。教师根据高中数学新课程标准以及教材确定重点，在这个过程中教师也要充分了解学生的实际情况，以免确定的重点过难。学习难点是大部分学生学习吃力的地方，确定教学难点 时，不仅要根据新课标，还要结合以往经验和学生实际情况。在导学案中突出学习重难点，可以让学生在课堂教学中有的放矢地听课，促进学生更高效地学习。 三、知识回顾 习题课的作用是巩固基础知识，帮助学生查漏补缺，加深学生对知识、方法、数学思想的认识，让学生“有备而来”，提高学习效率。在习题课导学案中知识回顾是必不可少的环节。在新授巩固习题课中，回顾的知识要起到承上启下的作用，既温习了已学过的知识，也要为新知识的学习做好铺垫。章节总结习题课，不仅要让学生回顾每一个零散的知识点，还要帮助学生形成知识网络，梳理出一个知识框图。专题训练习题课的知识回顾不能拘泥于知识的顺序，要有层次性，需要加入本节知识的考点分布，让学生了解所学知识在高考中的地位。 四、学习检测 为复习本节课的定义、概念、性质、公式、方法等，根据学情，编制简单题目引发学生再现这些知识，进而牢记这些知识。题目的难度要适中，以简单题为主，题量一般是5个选择题或填空题，覆盖面要广，不出现重复知识。 五、典例分析 这是导学案的重要环节，也是课堂教学的重要环节。导学案不是练习册，习题课也不是练习课，这些不同就是体现在典例分析这一环节中。高中数学习题课是教师通过引导学生解决问题， 学科组：高一数学组主备人：级段：高一学期时间：2020.3 《中心投影和平行投影》导学案（学习单） 一、创设情境，引入新课 1、提问：地上什么东西捡不起来？ 观看视频影子舞。 2、提问：同学们在感受这些形象逼真的图形时，是否思考一下，这些图形是怎样形成的呢？它们形成的原理又是什么呢？这些原理还有哪些重要用途呢？ 3、导入：这就是我们本节课所要研究的问题——中心投影和平行投影。 4、思维导图展现教学目标及重难点 二、知识生成、示例讲解 （一）、投影的概念 投影：光线通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。 2、中心投影：投射线交于一点的投影称为中心投影。 3、中心投影中物体与光源的距离产生的影子大小有什么关系？ 特点：中心投影的投影大小与物体和投影面之间的有关. 3、中心投影的应用 空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线． 中心投影后的图形与原图形相比，虽然改变很多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最象原来的物体．所以在绘画时，经常使用这种方法，但在立体几何中很少用中心投影原理来画图。【活动一】观察与思考 1、中心投影有什么特点？ 二）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影。平行投影分为斜投影与正投影。 1、正投影：投射线于投影面 2、斜投影：投射线于投影面 3、正投影与斜投影的应用 正投影，能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方便，在作图中应用最广泛．斜投影，在实际中用得比较少，其特点是直观性强，但作图比较麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只是作为一种辅助图样． 讲解原则：配以多媒体动画，让学生思考，抽象或概括出相应定义，教师加以修正。 【活动二】思考1：平行投影有哪些的特点？ 结论：平行投影中，与投影面平行的平面图形留下的影子, 与物体的完全相同，与物体和投影面之间的无关。 思考2：平行投影的到的影子总与实际图形形状相同吗？中心投影呢？ 结论：物体平行于投影面，形状、大小；物体倾斜于投影面形状、大小 三、升华提炼 【活动三】如图，把一块正方形硬纸板P（例如正方形ABCD）放在三个不同的位置： （1）纸板平行于投影面； （2）纸板倾斜于投影面； （3）纸板垂直于投影面。三种情况的正投影各是什么形状？ 3．2.1几类不同增长的函数模型 函数模型 (1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝xα(α>0)都是□1增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上． (2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝a x(a>1)的□2增长速度越来越快，会超过□3并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的□4增长速度则会越来越慢． (3)对于函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)，y＝xα(α>0)，存在一个x0，使得当x>x0时，有□5a x>xα>log a x. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x3比y＝2x增长的速度更快些．() (2)当x>100时，函数y＝10x－1比y＝lg x增长的速度快．() (3)能用指数型函数f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数．()答案(1)×(2)√(3)√ 2．做一做 (1)已知变量x，y满足y＝1－3x，当x增加1个单位时，y的变化情况是________． (2)(教材改编P98T1)当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关 系为________． (3)(教材改编P95例1)某商店每月利润的平均增长率为2%，若12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则k＝________. (4)如图所示的曲线反映的是________函数模型的增长趋势． 答案(1)减少3个单位(2)b 如何设计小学数学导学案 设计导学案是落实教学常规的首要任务。是教师上好课的前提和基础，也是提高课堂效率的重要保证。如何设计导学案，我将从“设计导学案的三个前期准备工作和各环节应注意的问题”几个方面谈谈我的想法。 一、课前备课很重要。 1、读熟五本书。 一是读熟《课标》和《数学课程标准解读》。这两本书是教学的基本依据。教师要认真学习领会《课标》精神，明确教学目的、教学原则、教学方法，以及各年级的教学任务和教学要求，整体把握教学内容之间的联系和衔接。 二是读熟教研室编写的《且行且思》。这本书涵盖了我县对生本理念下的“三学小组”模式的理论引领、基本流程、操作要领、经验总结、问题反思等，都有明确的解读与介绍。在第97页，对“小学数学生本课堂三学小组模式新授课教学流程及要求”有明确、具体的要求。 三是深钻教材、读熟《教师用书》，教师要通过通读教材，清晰了解全套教材的脉络，理解课标精神，从宏观上把握教材的编写思路、从微观审视每册、每单元、每课时的目标要求。 如：《教师用书》要三读：一读整册教材说明；二读单元教学建议，三读课时教学建议。每课时，在教师用书中都有具体的编写意图和教学建议，我们一定要看清编写意图，灵活使用教材，领会教学建议，捋清教学思路。 2、全面了解学生。 备课要从学生的实际情况出发，力求全面了解学生的思想状况和兴趣态度，了解学生已有知识经验和技能水平，了解学生学习方法和习惯。注意学生的年龄特点和个体差异，要因材施教，提高课堂教学实效性。 3、适当开展前置性学习。 前置性学习是实现“以学定教”的重要手段。它不同于以往的“预习”。它在传统预习的基础上，拓展了内容，更具科学性和趣味性。 低年级的前置性学习应以趣味数学活动为主。 如：有关时间认识的教学内容，可安排学生回家，让父母计时，看看自己1分钟能写多少个字、跳多少个绳、读课外书读了多少个字等，让学生在活动中体验1分钟能够做哪些事、感悟1分钟时间的长短，从而建立时间表象，让时间附着在活动中，使抽象的时间概念具象化。 低年级的前置性学习也在实践活动中开展。 如：7+8的前置性学习。教师可让学生左边画7朵红花、右边画8朵蓝花，数一数、圈一圈，一共有多少朵花？给同伴或家长说一说，你是怎样算的？让学 《步步高学案导学设计》2018-2019学度高中数学人教A版1-2【配套备课资源】第1章 【一】基础过关 1．下面说法正确的选项是 () A、统计方法的特点是统计推断准确、有效 B、独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法 C、任何两个分类变量有关系的可信度都可以通过查表得到 D、不能从等高条形图中看出两个分类变量是否相关 2．用独立性检验来考察两个分类变量x与y是否有关系，当统计量K 2的观测值() A、越大，〝x与y有关系〞成立的可能性越小 B、越大，〝x与y有关系〞成立的可能性越大 C、越小，〝x与y没有关系〞成立的可能性越小 D、与〝x与y有关系〞成立的可能性无关 3．在一个2×2列联表中，由其数据计算得K2的观测值k＝7.097，那么这两个变量间有关系的可能性为 () A、99% B、99.5% C、99.9% D、无关系 4．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，以下说法正确的选项是() A、假设K2的观测值为k＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病 B、从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病 C、假设从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误 D、以上三种说法都不正确 5．在等高条形图中，以下哪两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大( ) A.a a ＋b 与d c ＋d B.c a ＋b 与a c ＋d C.a a ＋b 与c c ＋d D.a a ＋b 与c b ＋c 6 根据以上数据，可得出 ( ) A 、种子是否经过处理跟是否生病有关 B 、种子是否经过处理跟是否生病无关 C 、种子是否经过处理决定是否生病 D 、以上都是错误的 【二】能力提升 7．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据： 由以上数据，计算得到K2的观测值k ≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的选项是( ) A 、没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B 、有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 C 、有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D 、有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 8．如果K2的观测值为6.645，可以认为〝x 与y 无关〞的可信度是________． 算法初步 知识系统整合 规律方法收藏 1．对于算法的理解不能仅局限于解决数学问题的方法，解决任何问题的方法和步骤都应该是算法．算法具有概括性、抽象性、正确性等特点，要通过具体问题的过程和步骤的分析去体会算法的思想，了解算法的含义．2．算法的三种基本逻辑结构为顺序结构、条件结构、循环结构．顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间是按从上到下顺序进行；条件结构是依据指定条件选择执行不同指令的控制结构；循环结构是根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构． 3．要掌握各程序框图的作用，准确应用三种基本逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构来画程序框图，准确表达算法，画程序框图是用基本语句来编程的前提． 4．基本算法语句是程序设计语言的组成部分，注意各语句的作用，准确理解赋值语句，灵活表达条件语句，注意UNTIL型循环语句和WHILE型循环语句的区别． 5．用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句叫做赋值语句．它的作用是先计算出赋值号右边表达式的值，然后把该值赋给赋值号左边的变量，使 该变量的值等于表达式的值． 6．注意搞清输入语句、输出语句的功能． 7．条件语句是处理条件分支逻辑结构的算法语句． 在程序中需要对某些语句重复地执行，这样就需要用到循环语句进行控制． 8．中国古代数学发展的特色是“寓理于算”，即“算法化”． 学科思想培优 一、算法的设计 算法设计与一般意义上的解决问题不同，它是对一类问题的一般解法的抽象和概括，算法设计应注意： (1)与解决问题的一般方法相联系，从中提炼出算法； (2)将问题的解法划分为若干个可执行的步骤； (3)引入有关的参数或变量对算法步骤加以表达； (4)用最简练的语言将各个步骤表达出来； (5)算法步骤有些甚至可重复多次，但最终都必须在有限个步骤之内完成． [典例1] 为推动城市生态文明建设，进一步加强城市节约用水工作，某市政府对居民用水实行“阶梯式计量水价”，具体收费标准为：每月用水量未超过3吨的部分，每吨收取2.5元；用水量超过3吨但未超过10吨的部分，每吨收取3元；超过10吨的部分，每吨收取4元． (1)写出水费y (元)关于用水量x (吨)的函数关系式； (2)请帮助该市政府设计一个计算水费的算法． [解] (1)函数关系式为 y ＝????? 2.5x ，0≤x ≤3，2.5×3＋3(x －3)，3 第四章圆与方程 4.1圆的方程 4.1.1圆的标准方程 学习目标 1.会推导圆的标准方程. 2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径. 3.掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程. 4.体会数形结合思想,初步形成代数方法处理几何问题能力.能根据不同的条件,利用待定系数法求圆的标准方程. 学习过程 一、设计问题,创设情境 前面我们已经学习过直线方程,初中也学习过圆的一些知识,请同学们思考: 问题1:在平面直角坐标系中,两点能确定一条直线,一点和直线的倾斜角也能确定一条直线.那么在平面直角坐标系中确定一个圆的几何要素是什么呢? 问题2:根据前面我们所学的直线方程的知识,应该怎样确立圆的方程呢? 二、学生探索,尝试解决 若设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r(其中a,b,r都是常数,r>0),试求圆的方程. 三、信息交流,揭示规律 1.在直角坐标系中,当与确定后,圆就唯一确定了,因此,确定圆的基本要素是. 2.在平面直角坐标系中,若一个圆的圆心A(a,b),半径长为r,则圆的标准方程为.推导的步骤是.若点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则点M的坐标就适合方程,即;反之,若点M的坐标适合方程,这就说明与的距离为r,即点M 在圆心为A的圆上. 3.圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程为. 4.若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2内,则满足条件;若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2外,则满足条件;同理,若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内,则满足条件;若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外,则满足条件. 5.△ABC外接圆的圆心即为外心,即的交点. 四、运用规律,解决问题 6.写出下列各圆的标准方程: (1)圆心在原点,半径为3. (2)圆心为(2,3),半径为 (3)经过点(5,1),圆心在(8,-3). 高中数学导学案编写模式的案例分析 发表时间：2017-10-31T16:05:08.067Z 来源：《创新人才教育》2017年第6期作者：苏裕华 [导读] 随着我国教育部门对高中教育的不断改革，使得越来越多的教师和家长开始关注学生的学习方式，努力帮助他们学会学习。广西河池市环江县高级中学苏裕华 【摘要】随着我国教育部门对高中教育的不断改革，使得越来越多的教师和家长开始关注学生的学习方式，努力帮助他们学会学习。因为，只有这样才能保证学生学习成绩不断提高的基础上，减轻他们的学习压力。“导学案”是最近新兴的一种教育理念和教学方式，那么导学案究竟是怎样的一种教学形式？它在高中数学教学过程中有什么作用呢？本篇论文就相关问题和案例进行了分析探讨。【关键词】高中数学；导学案；编写模式；分析 引言： 高中数学作为高中课程中及其重要的一门学科，它的学习好坏直接影响到高中生的高考成绩。那么，作为一名高中数学教师，该如何正确引导高中生的数学学习兴趣，帮助他们学好数学呢？导学案这一概念的兴起，给高中数学教师在困境中带来了灵感。 一、导学案的概念 从课程的角度出发，有学者认为导学案是根据课程标准或者教材以及学习资源、学生实际（知识基础、能力水平、学法特点和心理特征等）编制的，是培养学生的创新精神、训练和发展学生学习能力的校本课程。[3] 二、导学案编写模式分析 导学案是在结合了人本主义理论、建构主义学习理论、最近发展区等知识理论的基础上，再根据教材进行编写的。但是目前我国大部分的高中数学教师对于导学案的编写模式并不是十分清楚，所以在编写的过程中也只是根据自己的理解和猜测来进行。 案例1：在进行数列一课教学时，很多教师的导学案是按一下模式编写的。 教学目标：掌握有关数列的基本知识、公式和答题技巧 教学重点、难点：数列的基本知识、公式、解题技能的掌握?? 教学过程：? 1、课前检测： 问题1：求满足下列条件的数列的一个通项公式：1、2、4、6、8...... 问题2：已知数列{ɑn}中，前n项和满足Sn=n2-2n+3,求数列{ɑn}的通项公式。? 2、知识回顾：? 等差数列的概念和性质；等比数列的概念和性质等。 这种类型的导学案的编写模式，是大多数数学教师的风格，从上面我们也可以看出学生仍然是被动的听老师讲重点，然后做练习。为了体现导学案的意义，使学生主动思考和探索，对教材内容融会贯通，我们可以尝试以下编写模式。 案例2：数列的导学案的另一种编写模式 教学目标?? 1、理解数列和有关概念，了解数列和函数之间的关系。?? 2、掌握数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项。? 3、对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。??? 学习过程?? 1、课前教学准备? 让学生自己先预习数列相关知识，并复习前面的函数知识点。? 复习1：函数y=3x,当x依次取1，2，3，时，其函数值有什么特点？??????? 复习2:函数y=7x+9，当x依次取1,2,3，时，其函数值有什么特点？????? 2、教学过程 概念1、数列的定义：（）的一列数叫做数列.?? 概念2、数列的项：数列中的（）都叫做这个数列的项.?? 思考：? 问题1、如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？???? 问题2、同一个数在数列中可以重复出现吗？??? 3、数列的一般形式：ɑ1,ɑ2,ɑ3,......ɑn或简记为{ɑn}，其中ɑn是数列的第（）项.??? 4、数列的通项公式：如果数列{ɑn}的第n项ɑn与n之间的关系可以用（）来表示，那么（）就叫做这个数列的通项公式.? 思考：? 1、所有数列都能写出其通项公式？??? 2、一个数列的通项公式是唯一？???? 3、数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？ 这一导学案的编写模式无论是问题还是流程明显更为开放，能够让学生自己主动思考和总结，使新的知识点与旧的知识点做到有效衔接，温如而知新。 案例3：《空间几何体的表面积与体积》的导学案编写模式之一 教学目标 1、通过对柱、锥、台体及球的研究，掌握柱、锥、台体及球的表面积、侧面积和体积的求法。 高中数学导学案设计与使用浅谈 发表时间：2014-08-27T08:36:04.123Z 来源：《教育学》2014年6月第6期（总第67期）供稿作者：韩琼[导读] 学生研习小组的建立，构建了教师导学和学生的探索、合作、交流的平台。 韩琼陕西省清涧县清涧中学718300 一、新课改已经有了一个新的开始，把教研教改作为办特色学校的突破口，坚持立足创新，因地制宜，注重实践，开展大量卓有成效的工作，大力推行素质教育，使办学更有新特色，下文浅谈高中数学导学案设计与使用1.教师理念整体转变 本次课程改革转变了大多数教师的教学观念，由权威意识转变为服务意识观；由注重教材设计转变为满足学生需要的教学设计观；由课程封闭转变为课程开放的课程整合观；由片面评价转变为促进全面发展的学习评价观。 2.学生有了展示平台 学生研习小组的建立，构建了教师导学和学生的探索、合作、交流的平台。在这个平台上展示了学生的学习成果，使学生每堂课有成功感，每天都有新收获。 3.课堂气氛非常活跃 原来的课堂老师在讲台上津津有味地“讲”，下面的学生默默无闻地“听”，个个无精打采，好比一个大桶硬往一个个杯子里倒水。现在是老师们不再一味地讲，把任务放给了学生，有了问题先抛给学生，在老师的引导下，让学生小组中开动脑筋尝试着、探索着去解决。学生们有了问题的驱动，自然会有动力，课堂也便活了起来。学生们在交流的过程中也有利于情感领域目标的实现。 4.学生的“双基” 牢固扎实 “双基”在教学上的重要位置是不言而喻的。以前的方法就是“题海战术”，布置大量的作业练习题让学生去做，去练。这样的结果是，学生做作业累，老师看作业也累。总抱怨时间少，没有足够的时间去巩固“双基”。但是现在我们有了方法，学生们在小组中有了良好的合作精神，交流也很融洽。所以上课练“双基”时都是学生们在小组中自己练，相互提问，相互监督。不但自己做了一遍，而且在别人做时，自己还要认真去看，看别人出错了没有，这样就是做了两遍。这样比以前大家一起做和老师一个一个提问的效率要提高了许多。结果证明，这样做学生的自学能力有了很大的提高。 5.课堂训练能落到实处 无论导学案的课前预习、当堂训练、检测，还是巩固本节课的所学知识和技能都落到实处，并提高了把知识转化为实际问题的解决能力。例如 “竞赛练习”设计，能调动学生的积极性，使“当堂训练”更有效。 6.课堂评价机制根本转变 原来评价学生都以个体为主，表扬学生时也是以表扬个体的表现为主。现在学生们在小组中，形成了一个集体，则采用了小组评价法。既以小组为单位集体评价，组内以小组长为代表，当某个小组的所有的学生都表现好的时候，对整个小组进行表扬；若某个组内有一个学生表现不好，进行评价时也点出××小组表现不是很好，是因为××同学哪里做的不是很好，督促小组内的学生提醒他哪里做得不好，以便于及时改正。这样学生便有了一种集体意识，认为自己是集体内的一个非常重要的一部分，自己的表现时刻关系着小组的好坏。从而使学生时时刻刻想到自己代表的不仅仅是自己，而是整个小组，整个班级，学生自己会促使自己往好的地方发展。 7.学生交流能力逐步提高 学生们在交流探索问题的过程中，都要进行交流，把自己的方法充分、清晰地表达给其他同学，提高了组织和表达自己见解的能力。通过向其他同学解释要点和原理，学生还能强化自己的学习。因此，也有利于学生学习积极性的提高。在小组内，学生之间较易进行不同经验和想法的交流，有利于培养学生的思维能力。 8.课堂小结平等互助 老师宏观和微观的把握，引导学生尽量自主总结，并提出问题，学生相互补充，最后老师点评、补充。这样既调动了学生的积极性，又能发现学生存在的问题，并能得到及时解决。 二、探索研究过程中有许多问题，主要有下面几点 1.部分学生座位安排不满意，新安排座位提供了学生玩耍、说话的机会，还出现学生要歪着脖子听课解决办法：（1）班主任加强管理，各小组长要发挥管理、监督作用。（2）科任老师不能只教学，还要管理课堂纪律。（3）座位安排要进一步探究，寻找更合适的解决办法。 2.学生不能主动学，而是被动完成任务，甚至有厌学的情绪解决办法：（1）学科练习以一本资料为主，其他资料作为辅助补充，禁止多次重复性练习；导学案题量以B4纸一面的题量较适中，还可以分成课前、课堂、课后三部分完成。（2）导学案设计要有梯度，逐步提高难度 3.老师课堂有时控制不当，导致课堂内容没有完成解决办法：老师灵活学生展示，书面展示可以课节10分钟完成，可以让学生讲解，也可以老师提出问题，小组讨论，小组代表解答，学生相互补充。 4.编写导学案有难度 （1）计算机应用不熟练。（2）难易程度、数量多少不好把握。解决方法：学校考虑建“导学案”库，实现资源共享，可供参考。导学案也可以手写，然后复印。 5.编写导学案教案化、练习化解决方法：（1）问题的设计要有梯度，由浅入深，由易到难，学习目标不能过高。（2）设计导学案的重点：①知识问题化；②能力过程化；③情感、态度价值观的培养潜移化。 三、探索研究过程中有疑难问题 【高中数学复习课导学案】 一．复习目标： 1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力； 2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式； 3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题； 4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力； 5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题． 6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．． 二．考试要求： 1．理解不等式的性质及其证明。 2．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。 3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 4．掌握简单不等式的解法。 5．理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。 三．教学过程： （Ⅰ）基础知识详析 1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方 程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函 数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式 化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．通过复习，感悟到不等式的 章末检测 一、选择题 1． i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则 ( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈S D.2i ∈S 2．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3． i 是虚数单位，复数3＋i 1－i 等于 ( ) A ．1＋2i B ．2＋4i C ．－1－2i D ．2－i 4． 已知a 是实数，a －i 1＋i 是纯虚数，则a 等于 ( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．－ 2 5． 若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于 ( ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2i D ．1＋2i 6． 在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么BC →对 应的复数为 ( ) A ．4＋7i B ．1＋3i C ．4－4i D ．－1＋6i 7． (1＋i)20－(1－i)20的值是 ( ) A ．－1 024 B ．1 024 C ．0 D ．1 024i 8． i 是虚数单位，若1＋7i 2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是 ( ) A ．－15 B ．3 C ．－3 D ．15 9． 若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．无数个 二、填空题 11．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围 是________． 12．给出下面四个命题： ①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中真命题的个数是________． 13．已知01＋i ； ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数； ④若一个数是实数，则其虚部不存在； ⑤若z ＝1i ，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限． 三、解答题 15．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时， (1)z 是实数？(2)z 是纯虚数？ 16．已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2. 17．计算：(1)(2＋2i )4 (1－3i )5 ； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 18．实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 对应的点在： (1)x 轴上方； (2)直线x ＋y ＋5＝0上． 19．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；高中数学导学案
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