2018年各地中考数学最新解析版试卷分类汇编：直角三角形与勾股定理(图片版)

直角三角形与勾股定理

一.选择题

1.（2018?江苏淮安?3分）如图，菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）

A．20 B．24 C．40 D．48

【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．

【解答】解：由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，

则AB==5，故这个菱形的周长L=4AB=20．

故选：A．

【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键，难度一般．

2.（2018?山东东营市?3分）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）

A．B．C．D．

【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．

【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A.C的最短距离为线段AC的长．

在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π，

所以AC=，

故选：C．

【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．

3.(2018?湖州?3分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC 上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（）

A. AE=EF

B. AB=2DE

C. △ADF和△ADE的面积相等

D. △ADE和△FDE的面积相等

【答案】C

【解析】分析：先判断出△BFC是直角三角形，再利用三角形的外角判断出A正确，进而判断出AE=CE，得出CE是△ABC的中位线判断出B正确，利用等式的性质判断出D正确．

详解：如图，连接CF，

∵点D是BC中点，

∴BD=CD，

由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF，

∴BD=CD=DF，

∴△BFC是直角三角形，

∴∠BFC=90°，

∴∠B=∠BFD，

∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE，

∴AE=EF，故A正确，

由折叠知，EF=CE，

∴AE =CE ，

∵BD =CD ，

∴DE 是△ABC 的中位线，

∴AB =2DE ，故B 正确，

∵BD =DF ，

∵AE =CE ，

∴S △ADE =S △CDE ，

由折叠知，△CDE ≌△△FDE ，

∴S △CDE =S △FDE ，

∴S △ADE =S △FDE ，故D 正确，

∴C 选项不正确，

故选：C ．

点睛：此题主要考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，作出辅助线是解本题的关键．

4. （2018?广西北海?3分）如图，矩形纸片 ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，点 P 在 BC 边上，将△CDP 沿 DP 折叠，点 C

落在点 E 处，PE.DE 分别交 AB 于点 O 、F ，且 OP ＝OF ，则 cos ∠ADF 的值为

11 13 15 17 13

15 17 19

【答案】C

【考点】折叠问题：勾股定理列方程，解三角形，三角函数值

【解析】 B. C.

D. A.

由题意得：Rt△DCP≌Rt△DEP，所以DC＝DE＝4，CP＝EP

在Rt△OEF 和Rt△OBP 中，∠EOF＝∠BOP，∠B＝∠E，OP＝OF

Rt△OEF≌Rt△OBP(AAS)，所以OE＝OB，EF＝BP

设EF 为x，则BP＝x，DF＝DE－EF＝4－x，

又因为BF＝OF＋OB＝OP＋OE＝PE＝PC，PC＝BC－BP＝3－x

所以，AF＝AB－BF＝4－(3－x)＝1＋x

在Rt△DAF 中，AF2＋AD2＝DF2，也就是(1＋x)2＋32＝(4－x)2

3 3 3 17

解之得，x＝5，所以EF＝5，DF＝4－5＝5

AD 15

最终,在Rt△DAF 中，cos∠ADF＝DF＝17

【点评】本题由题意可知，Rt△DCP≌Rt△DEP 并推理出Rt△OEF≌Rt△OBP，

寻找出合适的线段设未知数，运用勾股定理列方程求解，并代入求解出所求

cos 值即可得。

5．（2018年湖南省娄底市）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（）

A．B．﹣C．D．﹣

【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值，进而可求出sinα﹣cosα的值．

【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，

∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

即AC2+（7+AC）2=132，

整理得，AC2+7AC﹣60=0，

解得AC=5，AC=﹣12（舍去），

∴BC==12，

∴sinα==，cosα==，

∴sinα﹣cosα=﹣=﹣，

故选：D．

【点评】本题考查了勾股定理的证明，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键．

6. （2018湖南长沙3.00分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A．

7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米

【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．

【解答】解：∵52+122=132，

∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，

∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．

故选：A．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．

二.填空题

1. （2018·湖北襄阳·3分）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为2或2．

【分析】分两种情况：

①当△ABC是锐角三角形，如图1，

②当△ABC是钝角三角形，如图2，

分别根据勾股定理计算AC和BC即可．

【解答】解：分两种情况：

①当△ABC是锐角三角形，如图1，

∵CD⊥AB，

∴∠CDA=90°，

∵CD=，AD=1，

∴AC=2，

∵AB=2AC，

∴AB=4，

∴BD=4﹣1=3，

∴BC===2；

②当△ABC是钝角三角形，如图2，

同理得：AC=2，AB=4，

∴BC===2；

综上所述，BC的长为2或2．

故答案为：2或2．

【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握．

2.（2018?江苏徐州?3分）边长为a的正三角形的面积等于．

【分析】根据正三角形的性质求解．

【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，

∵AD⊥BC，∴BD=CD=a，∴AD==a，面积则是：a?a=a2．

【点评】此题主要考查了正三角形的高和面积的求法，比较简单．