全国高考理科数学试题分类汇编：概率与统计

全国高考理科数学试题分类汇编：概率与统计

一、选择题

1 ．（2019年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直

方图如图,数据的分组一次为[)[)20,40,40,60,[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是

（ ）

A ．45

B ．50

C ．55

D ．60

【答案】B

2 ．（2019年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将

840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为（ ）

A ．11

B ．12

C ．13

D ．14 【答案】B

3 ．（2019年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,

随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为

86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ ） A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样

C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C

4 ．（2019年高考湖南卷（理））某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方

面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 （ ）

A ．抽签法

B ．随机数法

C ．系统抽样法

D ．分层抽样法 【答案】D

5 ．（2019年高考陕西卷（理））如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆

盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该

矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．

信号的概率是

（ ）

A ．14

π

-

B ．1

2π

-

C ．22

π

-

D ．

4

π 【答案】A

6 ．（2019年高考四川卷（理））节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若

接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电

后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ） A ．

14

B ．

12

C ．

34

D ．

78

【答案】C

7 ．（2019年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们

的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得

到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．480 C ．450 D ．120

【答案】B

8 ．（2019年高考江西卷（理））总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5

个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198

3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 （ ） A ．08

B ．07

C ．02

D ．01

【答案】D

9 ．（2019年高考新课标1（理））为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学

生进行调查,事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视

力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是（ ）

1

2

D

A

E

F

A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样

【答案】C．

10．（2019年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)

已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y的值分别为（）

A．2,5B．5,5C．5,8D．8,8

【答案】C

11．（2019年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））已知离散型随机变量X的分布列为

X123

P 3

5

3

10

1

10

则X的数学期望EX=（）

A．3

2B．2C．

5

2D．3

【答案】A

12．（2019年高考湖北卷（理））如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.

经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X,则X的均值为()

E X=（）

A．126

125

B．

6

5

C．

168

125

D．

7

5

【答案】B

二、填空题

13．（2019年高考上海卷（理））盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示)

【答案】13 18

.

14．（2019年高考湖北卷（理））从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350

度之间,频率分布直方图所示.

(I)直方图中x 的值为___________;

(II)在这些用户中,用电量落在区间[)100,250内的户数为

_____________.

【答案】0.0044;70

15．（2019年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单

位:环),运

动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙

89

90

91

88

92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_____________. 【答案】2

16．（2019年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则时间

“310a ->”发生的概率为________

【答案】

2

3

17．（2019年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））从n 个正整数1,2,n …中任意取出两个不同

的数,若取出的两数之和等于5的概率为

1

14

,则n =________. 【答案】8

18．（2019年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全

校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为

4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最大值为____________. 【答案】10

19．（2019年高考上海卷（理））设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x L 的公差,随机变量ξ等可能地取

值12319,,,,x x x x L ,则方差_______D ξ=

【答案】|D d ξ=.

20．（2019年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））在区间

[]3,3-上随机取一个数x ,使得

121

x x +--≥成立的概率为______.

21．（2019年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数

m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m ，都取到奇数的概率为____________.

【答案】20

63

.

三、解答题

22．（2019年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日

加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.

(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值;

(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人;

(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.

【答案】解:(1)由题意可知,样本均值171920212530

226

x +++++=

=

(2)Q 样本6名个人中日加工零件个数大于样本均值的工人共有2名,

∴可以推断该车间12名工人中优秀工人的人数为:2

1246

?

= (3)Q 从该车间12名工人中,任取2人有2

1266C =种方法, 而恰有1名优秀工人有11

10220C C =

∴所求的概率为:111022

122010

6633

C C P C === 23．（2019年高考北京卷（理））下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100

表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中

的某一天到达该市,并停留2天.

1 7 9

2 0 1 5

3 0

第17题图

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;

(Ⅱ)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望;

(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

【答案】解:设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”( i =1,2,,13).

根据题意, 1

()13

i P A =

,且()i j A A i j =?≠I . (I)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则58B A A =U , 所以58582()()()()13

P B P A A P A P A ==+=

U . (II)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,且

P(X=1)=P(A 3∪A 6∪A 7∪A 11)= P(A 3)+P(A 6)+P(A 7)+P(A 11)= 413, P(X=2)=P(A 1∪A 2∪A 12∪A 13)= P(A 1)+P(A 2)+P(A 12)+P(A 13)= 4

13

,

P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= 5

13

,

所以X 的分布列为:

012

544131313

X P

故X 的期望5441201213131313

EX =?

+?+?=. (III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

24．（2019年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种

抽奖方案,方案甲的中奖率为

23,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为2

5

,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,X Y ,求3X ≤的概率; (2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学

期望较大?

【答案】解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为

23,小红中奖的概率为2

5

,两人中奖与否互不影响,记

“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A,则A 事件的对立事件为“5=X ”,

224(5)3515==

?=Q P X ,11()1(5)15

∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为

11

15

. (Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X 由已知:12~(2,)3X B ,22~(2,)5

X B

124()233∴=?

=E X ,224()255

=?=E X 118(2)2()3∴==E X E X ,2212

(3)3()5==E X E X

12(2)(3)>Q E X E X

∴他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.

25．（2019年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编

号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何

一张卡片的可能性相同).

(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.

(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.

【答案】

26．（2019年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比

赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为1

,

2

各局

比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.

(I)求第4局甲当裁判的概率;

(II)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.

【答案】

27．（2019年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学

从中任取3道题解答.

(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;

(II)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是3

5

,答对每道乙类题的概率都是4

5

,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.

【答案】

1．（2019年高考陕西卷（理））

在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.

各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.

(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;

(Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X 的分布列和数学期望.

【答案】解:(Ⅰ) 设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手. 观众甲选中3号歌手的概率为

32,观众乙未选中3号歌手的概率为5

3-1.

所以P(A) = 15

453-132

=

?）（. 因此,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为

15

4 (Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则X 可取0,1,2,3.

观众甲选中3号歌手的概率为

32,观众乙选中3号歌手的概率为5

3. 当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时X=0,P(X = 0) = 75

4

)531()321(2=-?-.

当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时,这时X=1,P(X = 1) =

75

20

7566853)531(321()531(53321()531(322=

++=?-?-+-??-+-?））. [来源:Zxxk.Com] 当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时,这时X=2,P(X = 2) =

75

33

751291253)531(325353321()531(5332=

++=?-?+??-+-??）. 当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,这时X=3,P(X =3) = 75

18

)53(322=?.

X 的分布列如下表:

15

28

755466207518375332752017540=

++=?+?+?+?

=εE 所以,数学期望1528

=EX

1．（2019年高考湖南卷（理））某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的

交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收

获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示:

X 1 2 3 4 Y

51

48

45

42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.

(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率; (II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.

X

1

2

3

P

754 7520 7533 75

18

【答案】解: (Ⅰ) 由图知,三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.

从三角形上顶点按逆时针方向开始,分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点,共8对格点恰好“相近”. 所以,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率

9

2

3128=?=

P (Ⅱ)三角形共有15个格点.

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4).

15

4)51(=

=Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1).15

4)48(=

=Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0,1,) ,(0,2),(0,3,).15

6)45(=

=Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1).15

3)42(==Y P 所以 如下表所示:

4615

6901512627019210215342156451544815251)(==+++=?+?+?+?

=Y E 46)(=∴Y E .

2．（2019年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一

X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 频数 2

4

6

3

概率P

152 154 156 15

3

次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球

奖级摸出红.蓝球个数获奖金额

一等奖3红1蓝200元

二等奖3红0蓝50元

三等奖2红1蓝10元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.

(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;

E X.

(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望()

【答案】

3．（2019年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））设袋子中装有a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:

取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.

(1)当1,2,3===c b a 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,.求ξ分布列;

(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若

9

5

,35==ηηD E ,求.::c b a

【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时2ξ=,此时331

(2)664

P ξ

?==

=?;当两次摸到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时4ξ=,此时2231135

(4)66666618

P ξ???==++=???;当两次摸到

的球分别是红黄,黄红时3ξ=,此时32231

(3)66663

P ξ??==+=??;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄

时5ξ=,此时12211

(5)66669

P ξ??==+=??;当两次摸到的球分别是蓝蓝时6ξ=,此时

111

(6)

P ξ?===

;所以ξ的分布列是:

所以:2225233555253(1)(2)(3)9333a b c E a b c a b c a b c a b c D a b c a b c a b c ηη?==++??++++++??==-?+-?+-?

?++++++?

,

所以2,3::3:2:1b c a c a b c ==∴=.

4．（2019年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,

每售出1t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,

150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农

产品的利润.(Ⅰ)将T 表示为X 的函数;

(Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率;

(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望.

【答案】

5．（2019年高考江西卷（理））小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O

为起点,再从12345678,,,,,,,,A A A A A A A A (如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若0X =就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.

(1) 求小波参加学校合唱团的概率; (2) 求X 的分布列和数学期望

.

【答案】解:(1)从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有2

828C =种,0χ

=时,两向量夹角为直

角共有8种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为82(0)287

P χ==

=. (2)两向量数量积χ的所有可能取值为2,1,0,1,2χ--=时,有两种情形;1χ=时,有8种情形;1χ=-时,有10种情形.所以χ的分布列为: χ 2- 1-

0 1

P

114 514 27 27 (2)+(1)0114147714

E χ=-?-?+?+?=-.

6．（2019年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得

比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是

12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是2

3

,假设各局比赛结果相互独立.

(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;

(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X 的分布列及数学期望.

【答案】解:(Ⅰ)记“甲队以3:0胜利”为事件1A ,“甲队以3:1胜利”为事件2A ,“甲队以3:2胜利”

为事件3A ,由题意,各局比赛结果相互独立,

故3128()()327P A ==

, 22

232228()()(1)33327P A C =-?=,

122342214

()()(1)33227

P A C =-?=

所以,甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率分别是827,827,4

27

;

(Ⅱ)设“乙队以3:2胜利”为事件4A ,由题意,各局比赛结果相互独立,所以

122442214

()(1)()(1)33227

P A C =-?-=

由题意,随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3,,根据事件的互斥性得

1212(0)()()()P X P A A P A P A ==+=+16

27

=,

34(1)()27P X P A ===, 44

(2)()27

P X P A ===,

(3)P X ==1-(0)P X =(1)P X -=(2)P X -=3

27

=

故X 的分布列为

X

0 1 2 3 P

1627 427 427 327

所以

16443012327272727EX =?

+?+?+?79=

7．（2019年高考新课标1（理））一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,

这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批

产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率;

(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X 的分布列及数学期望.

【答案】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB 与CD 互斥, ∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=3

2

44111()()2

22C ??+411()22?=364

(Ⅱ)X 的可能取值为400,500,800,并且 P(X=400)=1-3

3

441

11()()2

22C ?-=1116,P(X=500)=116,P(X=800)=33411()22C ?=14

, ∴X 的分布列为

EX=400×

1116+500×116+800×1

4

=506.25

8．（2019年高考湖北卷（理））假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布()2

800,50N

的随机

变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p .

(I)求0p 的值;(参考数据:若()

2,X N μσ:,有()0.6826P X μσμσ-<<+=,

()220.9544P X μσμσ-<<+=,()330.9974P X μσμσ-<<+=.)

(II)某客运公司用A .B 两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一

次,A .B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B 型车不多于A 型车7辆.若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备A 型车.B 型车各多少辆?

【答案】解:(I)

1

0.50.95440.97722

p =+?=

(II)设配备A 型车x 辆,B 型车y 辆,运营成本为z 元,由已知条件得

2136609007,x y x y y x x y N +≤??+≥?

?

-≤??∈?

,而16002400z x y =+

作出可行域,得到最优解5,12x y ==.

所以配备A 型车5辆,B 型车12辆可使运营成本最小.

9．（2019年高考四川卷（理））某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在1,2,3,,24???这24个整数

中等可能随机产生.

(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =;

(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.

运行 次数

输出y 输出y 的值 输出y 的值

甲的频数统计表(部分)

乙的频数统计表(部分)

当2100n =时,根据表中的数据,

分别写出甲、乙所编程序各自输出

y 的值为(1,2,3)i i =的频率(用分

数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大;

(Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望

.

【答案】解:

()I .变量x 是在1,2,3,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.

当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y 的值为1,故112

p =

; n

的值 为1的频数

为2的频数

为3的频数 30

14

6

10

2100

1027 376 697

运行 次数n

输出y 的值 为1的频数

输出y 的值 为2的频数

输出y 的值 为3的频数

30

12

11

7

2100 1051 696

353

当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y 的值为2,故213

p =

; 当x 从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y 的值为3,故316

p =

()II 当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i=1,2,3)的频率如下:

比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大 (3)随机变量ξ可能饿取值为0,1,2,3.

030

3

128(0)3327p C ξ????==?= ? ????? 12

13124(1)339p C ξ????==?= ? ?????

2123122(2)339p C ξ????==?= ? ????? 30

33121(3)3327p C ξ????==?= ? ?????

故ξ的分布列为

所

以

842101231279927

E ξ=?

+?+?+?= 即ξ的数学期望为1

2．（2019年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不

同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有n 位学生,每次活动均需该系k 位学生

参加(n 和k 都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x (Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (Ⅱ)求使()P X m =取得最大值的整数m .

输出y 的值 为1的频率

输出y 的值 为2的频率

输出y 的值 为3的频率

甲 1027

2100

376

2100 697

2100 乙

1051

2100

696

2100 353

2100

ξ 0

1 2 3

p

827

49

29

127