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专题09导数与不等式的解题技巧

专题导数与不等式的解题技巧

一．知识点

基本初等函数的导数公式

()常用函数的导数

①()′＝(为常数); ②()′＝；

③()′＝；④′＝；

⑤()′＝．

()初等函数的导数公式

①()′＝；②( )′＝；

③( )′＝；④()′＝；

⑤()′＝；⑥( )′＝；

⑦()′＝．

．导数的运算法则

()[()±()]′＝；

()[()·()]′＝；

()′＝．

．复合函数的导数

()对于两个函数＝()和＝()，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这两个函数(函数＝()和＝())的复合函数为＝(())．

()复合函数＝(())的导数和函数＝()，＝()的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．

二．题型分析

（一）函数单调性与不等式

例．【一轮复习】已知函数()＝＋，∈(－，)，则满足(－)＋(－)>的的取值范围是( )

．(，) ．(，) ．(，) ．(，)

【答案】

【分析】在区间（﹣，）上，由（﹣）＝﹣（），且′（）＞可知函数（）是奇函数且单调递增，由此可求出的取值范围．

【点睛】本题考查了判断函数的奇偶性和单调性的问题，综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式进行合理的转化，属于中档题．

练习．对任意，不等式恒成立，则下列不等式错误的是（）

．．

【答案】

【分析】构造函数，对其求导后利用已知条件得到的单调性，将选项中的角代入函数中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项.

【解读】构造函数，则，∵，∴，即在上为增函数，则，即，即，即，又，即，即，故错误的是．故选：．【点睛】本小题考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法.构造函数法主要应用于题目所给已知条件中含有，也含有其导数的不等式，根据不等式的结构，构造出相应的函数.如已知是，可构造，可得.

（二）函数最值与不等式

例．【福建省福州市学年高三第一学期质量抽测】已知函数，对于任意，，恒成立，则的取值范围是（）．．．．

【答案】

【分析】由题意知即等价转化为，通过研究函数导数从而得到最值，依次验证选项即可.

（四）不等式中存在任意问题

例．【安徽省皖南八校届高三第二次（月)联考数学】已知函数，，对于，，使得，则实数的取值范围是．．．．

【答案】

【解读】，，使得，可得，利用，的单调性、最值即可求得.

【详解】对于，，使得,

等价于

，

因为是增函数，由复合函数增减性可知

在上是增函数，

所以当时，，

令，则，

若时，，，

所以只需，解得.

若时，，，

所以只需，解得.

当时，成立.

综上，故选.

练习.已知函数，函数（），若对任意的，总存在使得，则实数的取值范围是（）

．．．．

【答案】

【解读】由题意，可得在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.

【详解】由题意，函数的导数为，

当时，，则函数为单调递增；

当时，，则函数为单调递减，

即当时，函数取得极小值，且为最小值，

又由，可得函数在的值域，

由函数在递增，可得的值域，

由对于任意的，总存在，使得，

可得，即为，解得，故选.

【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试卷.

练习．函数，，若对，，，则实数的最小值是．

【答案】

【解读】利用导数以及指数函数的性质，分别求出函数（），（）的最值，将问题转为求（）≥（）即可．【详解】

，在递减，在递增，所以，在单调递增，，由已知对，，，可知只需（）≥（）

即，

故答案为：.

练习．已知函数，且，，若存在，使得对任意，恒成立，则的取值范围是．

【答案】

【解读】存在，使得对任意的，恒成立，即，由在上递增，可得，利用导数可判断在上的单调性，可得，由，可求得的范围；

【详解】的定义域为，，

当时，，，为增函数，

所以；

若存在，使得对任意的，恒成立，

即，

，

当时，为减函数，，

∴，，

∴

故答案为：.

【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。

（五）数列与不等式

例．【湖北省武汉市届月高三数学试卷】等差数列的前项和，若，，则下列结论正确的是（）

．，．，

【答案】

【解读】设（）判断函数的奇偶性以及函数的单调性，然后判断，且＜，推出结果．

故选：．

【点睛】本题考查构造法的应用，利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，数列与函数相结合，考查计算能力．

已知函数在处的切线方程为.

()求函数的解读式；

()若关于的方程恰有两个不同的实根,求实数的值；

()数列满足.

证明：①；

②.

【答案】（）；（）或；（）证明见解读.

【解读】（）把代入切线方程，求出切点，把切点坐标代入二次函数得关于，方程，再由得另一方程，联立求解，的值，则函数解读式可求；

（）把（）中求出函数（）的解读式代入方程（），然后转化为﹣（﹣），然后利用导数求函数的极值，根据函数的极值情况，通过画简图得到使方程﹣（﹣），即方程（）恰有两个不同的实根时的实数的值；（）①利用作差法证明即可；（）由得到，分别取，，…，代入后化简，则的整数部分可求．

【详解】

(),依题设,有即，

解得，

∴.

()方程,即,得,

记,

则.

令,得 .

∴当时,取极小值；当时,取极大值.

作出直线和函数的大致图象,可知当或时,

它们有两个不同的交点,因此方程恰有两个不同的实根.

()①证明,得,又.

∴,

∴.

②由,得,

即：,

【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数解读式的求解及常用方法，考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数列的和，解答此题的关键在于构造函数，然后利用导数分析函数的极值借助于函数图象的大致形状分析函数零点的情况，是难度较大的题目．

（六）极值点偏移与证明不等式

例．【福建省福州市学年高三第一学期质量抽测】已知函数.

（）求曲线在点处的切线方程；

（）函数与函数的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，.

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）求证：.

【答案】（）（）（ⅰ），（ⅱ）见解读

【解读】（）求出的导数，求得切线的斜率，由得切点由点斜式方程可得切线的方程；

（）（ⅰ）函数与函数的图像总有两个交点转化为函数有两个零点的问题，进而研究的导数及图像即可.（ⅱ）先由（ⅰ）得的单调性，分析出、不可能在同一单调区间内；设，将导到上，利用函数在上单调性，欲证,只需证明，结合，只需证明.再构造，结合单调性即可证明结论．

【详解】（）解：由已知得，

∴∴，又∵，

曲线在点处的切线方程为：.

（）（ⅰ）令，

∴，

由得，；由得，易知，为极大值点，

又时，当时，

即函数在时有负值存在，在时也有负值存在.

由题意，只需满足，

∴的取值范围是：

（ⅱ）由题意知，，为函数的两个零点，由（ⅰ）知，不妨设，则，且函数在上单调递增，欲证，

只需证明，而，

所以，只需证明.

令，则

∴.

∵，∴，即

所以，，即在上为增函数，

所以，，∴成立.

所以，.

【点睛】

本题属于极值点偏移问题，主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、

极值，教案中的重点和难点．

练习．已知函数的极小值为.

（）求的值；

（）任取两个不等的正数，且，若存在正数，使得成立，求证：.

【答案】（）；（）见解读.

【解读】（）求函数的导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可得到结论；（）求出后把用，表示，再把与作差后构造辅助函数，求导后得到构造的辅助函数的最小值大于，从而得到，运用同样的办法得到，最后得到要证的结论.

【详解】（）显然，，令，解得.

当时，若，为减函数；

若，为增函数,∴在处取得极小值，∴解得

当时与题意不符，综上，.

（）由（）知，，

∴,∴，即.

设，则

再设，则，在上是减函数

∴，即，又

∴，即，∴，∴,

同理可证得, ∴.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；解题的关键亦为其难点即通过构造函数和，利用函数的单调性和极值证明不等式，是一道难度较大的综合题型．

练习．已知函数，.

(Ⅰ)当时，求函数在区间上的最值；

(Ⅱ)若，是函数的两个极值点，且，求证：.

【答案】(Ⅰ) 最小值为，最大值为； (Ⅱ)证明见解读。

【解读】（Ⅰ）求出函数（）的定义域，运用导函数判断函数的单调性，求解函数的最值即可．

（Ⅱ），是函数的两个极值点，所以（）＝（）＝．令通过及构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，推出,所以，即可证明结论．

【详解】(Ⅰ)当时，，函数的定义域为，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

所以函数在区间上的最小值为，

又，

显然

所以函数在区间上的最小值为，最大值为.

当，，函数单调递减；

所以函数的最大值为。

所以当直线与函数图像有两个不同的交点时，，且

要证，只要证，

易知函数在上单调递增，

所以只需证,而，所以

即证，

记，则恒成立，

所以函数在上单调递减，所以当时

所以，因此.

练习.已知函数．

（）讨论的单调性；

（）若存在两个极值点，证明：．

【答案】（）见解读；（）证明见解读.

【解读】 ()首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；

()根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.

【详解】

（）的定义域为，.

（）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.

（）若，令得，或.

当时，.所以在单调递减，在单调递增.

（）由（）知，存在两个极值点当且仅当.

由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于

，

所以等价于.

设函数，由（）知，在单调递减，又，从而当时，.

所以，即.

【点睛】该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.

练习.已知函数．

（）求的单调区间；

（）若有极值，对任意的，当，存在使，证明：

【答案】（）详见解读；（）详见解读.

【解读】（）求导数后根据可分类讨论，找到导数大于零、小于零的解即可求出单调区间;

（）由（）有极值，则，由题设化简得，作差比较，构造函数，利用导数可得，进而可得，再利用由知在上是减函数，即可得出结论.

【详解】（）的定义域为，

①若，则，所以在上是单调递增.

②若，当时，，单调递增.

当时，,单调递减.

()由（）当时，存在极值.

由题设得

又，

设.则.

所以在上是增函数，所以

又，所以，

因此

即

又由知在上是减函数，

所以，即.

（七）构造函数

例．【河北省衡水中学届高三第一次摸考】已知函数.

（）讨论的单调性；

（）当,为两个不相等的正数，证明：.

【答案】（）时，在区间内为增函数；时，在区间内为增函数；在区间内为减函数；（）见解读.

【解读】 ()求出，分两种种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（）设，原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即.设，利用导数可得在区间内为增函数，，从而可得结论.

【详解】（）函数的定义域为，.

若，，则在区间内为增函数；

若，令，得.则当时，，在区间内为增函数；当时，，在区间内为减函数.

（）当时，.不妨设，则原不等式等价于，

令，则原不等式也等价于即..

下面证明当时，恒成立.

设，则，

故在区间内为增函数，，即，

所以.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.练习.设函数.

（）若恒成立，求的取值范围；

（）对函数图像上任意两个点，，设直线的斜率为（其中为函数的导函数），证明：.

【答案】（）（）证明过程详见解读

【解读】（）恒成立即，利用导函数研究函数的单调性与极值即可；

（）由要证，即证，令，，即证.

【详解】（）解法一：

，

在为减函数，在为增函数.

∴，

由已知，

所以所求范围为.

解法二：由，有，

∵，

∴恒成立，

，

易知在为减函数，在为增函数，

，

∴

（）证明：∵，

∴，

要证，即证

∵，只要证，即证

令，，即证，也即证

设，，∵

∴在为减函数

故，即，所以成立.

【点睛】

利用导数证明不等式常见类型及解题策略() 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题

转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

练习.已知函数．

Ⅰ若函数的最大值为，求实数的值；

Ⅱ若当时，恒成立，求实数的取值范围；

Ⅲ若，是函数的两个零点，且，求证：．

【答案】Ⅰ；Ⅱ；证明见解读.

【解读】Ⅰ求出函数的定义域，利用导函数符号判断函数的单调性，由单调性求解函数的最大值，然后求出即可；Ⅱ化简恒成立的不等式为，得到令，利用函数的导数符号判断函数的单调性，得到，然后求解的范围；Ⅲ，是函数的两个零点，可得，构造函数，利用函数的导数的符号判断函数的单调性，推出，得到，即可证明结论．

【详解】

Ⅰ函数的定义域为因为，

所以在内，，单调递增；

在内，，单调递减．

所以函数在处取得唯一的极大值，即的最大值．

因为函数的最大值为，

所以，

解得

Ⅱ因为当时，恒成立，

所以，

即．令，

则

因为，

所以．

所以在单调递增

所以，

所以即实数的取值范围是；

Ⅲ由Ⅰ可知：，．

所以

因为，是函数的两个零点，

所以．

因为

令，

则．

所以在，，单调递减．

所以．

所以，即．

由Ⅰ知，在单调递增，

所以，

所以

【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合( 图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.

（八）不等式与参数

例．【江西省南康中学届高三数学试卷】已知函数.

（）讨论函数的单调性；

（）当时，若方程在区间上有唯一的实数解，求实数的取值范围；

（）当＞时，若对于区间[，]上的任意两个实数，，且＜，都有成立，求实数的最大值．

【答案】（）见解读；（）；（）

【解读】（）求得函数定义域后对函数求导，对分成两类，讨论函数的单调区间.（）化简，分离出常数.利用导数求得函数的单调区间，由此求得的取值范围.（）由（）知函数在上递增.由此去掉绝对值化简题目所给不等式，构造函数，利用在上递减，导数小于零，分离出常数，再利用导数求得的最大值.

【详解】

（）（）的定义域是（，∞），′（），

≥时，′（）＞，故≥时，（）在（，∞）递增；

＜时，方程的判别式为：△＞，

令′（）＞，解得：＞，

令′（）＜，解得：＜＜，

故＜时，（）在（，∞）递增，在（，）递减；

（）时，由题意得：，整理得：，

令（），′（），

令′（）＞，解得：∈（，），函数（）在（，）递增，

令′（）＜，解得：∈（，∞），函数（）在（，∞）递减；

若方程（）在[，∞）上有唯一实数根，

须求（）在[，∞）上的取值范围，

（）≤（），又（）＞，（＞），∴的范围是（）≤≤，

即≤≤；

令（），则′（）＞，故（）在[，]递增，

故（）∈[，］，故≤．

实数的最大值为.

导数综合大题分类

导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用. 题型一利用导数研究函数的单调性、极值与最值题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论．（1）单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论． (2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点． (3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值．已知函数f (x )＝x －1 x ，g (x )＝a ln x (a ∈R )． (1)当a ≥－2时，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间； (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )有两个极值点为x 1，x 2，其中x 1∈? ?????0，12，求h (x 1)－h (x 2)的最小值． [审题程序] 第一步：在定义域，依据F ′(x )＝0根的情况对F ′(x )的符号讨论；第二步：整合讨论结果，确定单调区间；第三步：建立x 1、x 2及a 间的关系及取值围；第四步：通过代换转化为关于x 1(或x 2)的函数，求出最小值． [规解答] (1)由题意得F (x )＝x －1 x －a ln x ，其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x )＝x 2－ax ＋1 x 2 ，

2021年高考数学复习《导数---泰勒不等式专题》

导数——泰勒不等式专题一、泰勒公式：泰勒公式，也称泰勒展开式，主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值。如果一个函数足够平滑，即若函数)(x f 在包含0x 的某个闭区间],[b a 具有n 各阶导数，且在开区间),(b a 上存在1+n 阶导数，则对],[b a 上任意一点x ，有 ).()(! )()(!2)()(!1)(!0)()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= 其中)(x R n 为泰勒展开式的余项，泰勒展开式也叫泰勒级数. 我们更多的是用泰勒公式在00=x 的特殊形式： )(!) 0(!2) 0( !1)0(!0)0()(2 2x R x n f x f f f x f n n +++''+'+= .以下列举一些常见函数的泰勒公式： ++++=32!31 !21 !11 1x x x e x ① +-+-=+4324 1 3121 )1ln(x x x x x ② +-+-=753!71!51!31sin x x x x x ③ -+-=4 2!41!211cos x x x ④ ++++=-32111x x x x ⑤从中截取片段，就构成了高考数学考察导数的常见不等式： x e x +≥1①； 1ln -≤x x ②； 212 x x e x ++≥③对0≥x 恒成立； x x x x ≤+≤+)1ln(1④对0≥x 恒成立； x x x x ≤≤-sin 63 ⑤对0≥x 恒成立； 2421cos 214 22x x x x +-≤≤-⑥对0≥x 恒成立

(no.1)2013年高中数学教学论文利用导数处理与不等式有关的问题新人教版

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利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧

利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧趣题引入已知函数x x x g ln )(= 设b a <<0，证明：2ln )()2 ( 2)()(0a b b a b g a g -<+-+< 分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。证明：1ln )(+='x x g ，设)2 (2)()()(x a g x g a g x F +-+= 2 ln ln )2()(21)2(2)()(''''x a x x a g x g x a g x g x F +-=+-=?+-=' 当a x <<0时 0)(<'x F ，当a x >时 0)(>'x F ，即)(x F 在),0(a x ∈上为减函数，在),(+∞∈a x 上为增函数 ∴0)()(min ==a F x F ，又a b > ∴0)()(=>a F b F ，即0)2 ( 2)()(>+-+b a g b g a g 设2ln )()2 (2)()()(a x x a g x g a g x G --+-+= )ln(ln 2ln 2ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-='∴ 当0>x 时，0)(' ∴0)()(=