一般形式的柯西不等式_教案

澜沧拉祜族自治县第一中学教案 【一般形式的柯西不等式】

学科：数学 年级：高三 班级：202、203

主备教师：沈良宏 参与教师：郭晓芳、龙新荣 审定教师：刘德清

一、教材分析：柯西不等式是人教A 版选修 4-5不等式选讲中的内容，是学生继均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用。一方面可以巩固不等式的基本证明方法，和函数最值的求法，另一方面为后面学习三角不等式与排序不等式奠定基础。本节课的核心内容是柯西不等式一般形式的推导及其简单应用。 二、教学目标：

1、知识与技能：.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2、过程与方法：通过柯西不等式与其它基本不等式的关系，感悟柯西不等式的美;

3、情感、态度与价值观：在运用柯西不等式分析、解决问题的过程中，体会柯西不等式的应用方法.

三、教学重点：柯西不等式的一般形式、变形以及它与一些基本不等式的关系，柯西不等式的使用方法．

四、教学难点：在具体问题中怎样使用柯西不等式． 五、教学准备

1、课时安排：1课时

2、学情分析：学生不仅已经掌握了不等式证明的基本方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力。通过对两种方法的证明，让学生体会对柯西不等式的向量形式和代数法证明的不同之处.

3、教具选择：多媒体 实物展台

六、教学方法：启发引导、讲练结合法 七、教学过程

1、自主导学：一、创设问题情境，检查课后学习情况： 问题1：你知道二维形式的柯西不等式吗？有几种形式？

定理1：（二维柯西不等式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++， 等号当且仅当bc ad =时成立．

定理2：（向量形式）设αu r ，βu r

为平面上的两个向量，则αβαβ?u r u r u r u r ≥，其中等号当且仅

当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立．

定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：

231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-

问题2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？

（１）222a b ab +≥ （２）2221

()2

a b a b ++≥

解析： (1)2222222222))()(2),)(2)a b a b ab ab ab a b ab +++=+∵((≥∴(≥

222222, 2a b ab ab a b ab ++∴≥≥∴≥

(2) 222222(11(11)()a b a b a b ++?+?=+∵)()≥,2221

a b ()2

a b ++∴≥

问题3:已知,,1a b R a b +∈+=且 ,你能求出11

a b +的最小值吗？

解析：2

1111111, ()()()4a b a b a b a b a b a b

+=+=++?

+?=Q ∴≥ 即1

2

a b ==

时，11a b +取得最小值4.

二、类比猜想，进行新课

问题4:类比二维空间的柯西不等式，你能提出三维柯西不等式吗？会证明吗？ 猜想：,(1,2,3)i i x x R i ∈=设，则2222222123123112233()()()x x x y y y x y x y x y ++++++≥

解疑：123123(,,),(,,)x x x y y y αβ==u r u r

令,由于空间向量中αβαβ?u r u r u r u r ≥也成立 .所以

222222123123112233()()x x x y y y x y x y x y ++++++≥,

2222222123123112233()()()x x x y y y x y x y x y ++++++∴≥,

其中等号当且仅当,αβu r u r 共线时等号成立；即0β=u r r

,或存在一个实数k ,使得

i i a kb =(1,2,3i =)时，等号成立.

2、合作探究

（1）分组探究：问题5：你会用柯西不等式证明下面的不等式吗？等号成立的条件呢？

（1）(,)2a b ab a b R ++∈≥ （2） 22221

()3a b c a b c ++++≥

(3) 222a b c ab bc ca ++++≥

解析： (1)220,0,()()()(2),a b a b a b ab ab ab >>∴++≥+=Q 22)2), 2a b ab a b ab ++∴(≥(∴≥ ,即

2

a b

ab +≥. (2) 22222222()(111)(111)()a b c a b c a b c ++++≥?+?+?=++Q ,

22221

()3

a b c a b c ∴++≥++

(3) 2222222()()()a b c b c a ab bc ca ++++≥++Q

22222222()(),a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca ++≥++++≥++≥++∴∴

问题6:已知,,,1a b c R a b c +∈++=且 ,你能求出111

a b c

++的最小值吗？

解析：1, a b c ++=Q

2111111111()()()9a b c a b c a b c a b c a b c

++=++++?+?+?=∴≥ 即13a b c ===时，111

a b c

++取得最小值9.

问题7:类比二维、三维空间的柯西不等式，猜一猜n 维空间的柯西不等式，即一般式． （2）教师点拨： 定理4：（一般形式的柯西不等式）：

设n 为大于1的自然数，,(1,2,3,,)i i x y R i n ∈=L ,则：

222222212121122()()()n n n n x x x y y y x y x y x y ++++++≥+++L L L ,其中等号当且仅当

存在实数k ,使得1122,,,n n y kx y kx y kx ===L 时成立.

证明：构造二次函数：2221122()()()()n n f x x x y x x y x x y =-+-++-L ,则

222222212112212()()2()()n n n n f x x x x x x y x y x y x y y y =+++++++++++L L L 是二次

函数,因为对任意的实数,(1,2,3,,)i i x y i n =L ,都有()0f x ≥成立，0△∴≤ 2

2

21

1

1

4()4()()0n

n

n

i i i i i i i x y x y ====-≤∑∑∑△∴，

222222212121122()()()n n n n x x x y y y x y x y x y ++++++≥+++L L L ∴

其中等号当且仅当存在实数k ,使得1122,,,n n y kx y kx y kx ===L 时成立.

即当且仅当121

2

n n

y y y x x x ===L 时成立（当0i x =时，约定0i y =，=i 1，2，…，n ）.

如果i x （n i ≤≤1）全为0，结论显然成立. 3、巩固训练：应用举例，深化理解：

例1：已知12,n a a a R ∈L ,求证：222212121

()n n a a a a a a n

++++++L L ≥

证明：22222221212()(111)(111)n n a a a a a a ++++++≥?+?++?L L L ∵, 22221212()()n n a a a n a a a +++≥+++L L ∴

222212121

()n n a a a a a a n

++++++L L ∴≥

例2：已知,,,a b c d 是不全相等的实数，证明：2222a b c d ab bc cd da ++++++≥.

证明：222222222()()()a b c d b c d a ab bc cd da ++++++≥+++Q 222222()()a b c d ab bc cd da +++≥+++∴

2222a b c d ab bc cd da ab bc cd da +++≥++++++∴≥ 例3：已知231x y z ++=,求222x y z ++的最小值.

解：231x y z ++=∵,2222222)(123)(23)1x y z x y z ++++++=∴(≥ 222114x y z ++∴≥,即当123

,,141414

x y z ===时取得最小值114.

4、拓展延伸：

（1）.已知,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求z

y

x

941++的最小值.

(2).已知1a b c d +++=，求2222a b c d +++的最小值.

5、师生合作总结： （1）柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点

构造证明.

（2）设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn 都是实数，则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k ，使得ai=kbi(i=1,2,…,n ）时，等号成立.

（3）一般形式的柯西不等式的应用.

对于许多不等式问题，应用柯西不等式往往简明。掌握柯西不等式的结构特点，灵活应用. 八、课外作业：

P41习题3.2 2，3，4，5 九、板书设计：

一般形式的柯西不等式 定理1：（柯西不等式的代数形式） 例： 变形：1. 法1：

2. 法2：

3.

定理2：（柯西不等式的向量形式）

十、教学反思：（注：教学实施后写） 过上完本节课我的体会和反思是：

本节课重点在于让学生学会不等式中对于等号成立的应用，应多加强学生理解用共线与b a 坐标满足的条件，即

3

3

2211.y x y x y x =

=