数学分析习题及答案(29)

习 题 场论初步

1．设 a 3i 20 j 15k ，对以下数目场 f ( x, y, z) ，分别计算 grad f 和 div ( fa) ：

1

（1） （2） （3）

f (x, y, z) ( x 2 y 2 z 2 ) 2 ； f (x, y, z) x 2 y 2 z 2 ； f (x, y, z) ln( x 2 y 2 z 2 ) 。

解（1） grad f

3

( x 2

y 2 z 2 ) 2 ( xi yj

zk ) ，

3

div ( fa)

(x 2 y 2 z 2 ) 2 (3x 20 y 15z) 。

（2） grad f 2( xi yj zk ) ，

div ( fa) 2(3x 20 y 15z) 。

（3） grad f 2( x 2 y 2 z 2 ) 1 (xi yj zk ) ，

div ( fa) 2(x 2 y 2 z 2 ) 1 (3x 20 y 15 z) 。

2．求向量场 a x 2 i y 2 j z 2 k 穿过球面 x 2 y 2 z 2 1 在第一卦限部分 的通量，此中球面在这一部分的定向为上侧。 解 设 : x 2 y 2 z 2 1 ( x 0, y 0, z 0) ，方向取上侧，则所求通量为

x 2 dydz y 2 dzdx z 2 dxdy ，

因为

z 2dxdy

(1 x

2

y 2 )dxdy

2

d

1

3

dr ，

r

4

8

xy

同理可得

x 2 dydz

y 2dzdx

，

8

因此

x 2 dydz

y 2 dzdx z 2 dxdy 3

。

8

3．设 r xi yj zk ， r | r | ，求：

（1）知足 div [ f (r )r ] 0 的函数 f (r ) ； （2）知足 div[grad f (r )] 0 的函数 f (r ) 。 解（1）经计算获得

( f ( r ) x)

f (r ) f (r ) x

2

，

x

r

( f (r ) y)

f (r )

f ( r )

y 2 ,

y

r

( f (r ) z)

f (r ) f ( r ) z

2

，

z

r 因此

。

由 div [ f (r )r ] 0 ，得 3 f (r ) r f (r )

0，解此微分方程，获得

f ( r )

c 3 ，

r

此中 c 为随意常数。

（2）由 f (r ) x f (r ) ， f (r ) x f (r ) ， f ( r )

x f (r ) ，获得

x

r

x r

x

r

x r 2 x 2

f (r )

x 2

x f (r )

r 3

r 2 f (r )

，

r

y

f (r )

2

3

y

2

2

y r r

f ( r ) y

2 f (r )

，

r

r

z

f ( r )

r

2

3

z

2 z 2

z r

f (r )

2 f (r ) ，

r

r

因此

div[grad f (r )]

2

f

( r ) f "( r ) 。

r

由 div[grad f (r )] 0 ，得 2 f (r )

rf ( r ) 0 ，解此微分方程，获得

f (r )

c 1 c 2 ，

r

此中 c 1 ,c 2 为随意常数。

4. 计算

grad c 1 ln( c r )

r

2

此中 c 是常矢量， r xi yj zk ，且 c r 0 。 解 设 c (c 1 , c 2 , c 3 ) ， u c r 1 c r ) ，则

ln(

2

u c 1 , u c 2 , u c 3 c 3 ，

x c 1 c 2 2(c z 2(c r )

2(c r ) y r ) 因此

grad c r

1

ln( c r )

c 1 c 。

2

2 c r

5. 计算向量场 a grad arctan y

沿以下定向曲线的环量：

x

（1）圆周 ( x 2) 2 ( y 2) 2 1, z 0 ，从 z 轴正向看去为逆时针方向；

（2）圆周 x 2 y 2 4, z 1 ，从 z 轴正向看去为顺时针方向。 解 经计算，可得

a grad arctan

y

1

2 ( y, x,0)

，

x x 2

y

i j k

rot a =

x y z

0 ，

y x

x2 y2 x2 y2

它在除掉 z 轴的空间上是无旋场。

（1）设L ( x, y, z) ( x 2)2 ( y 2)2 1,z 0 ，从 z 轴正向看去为逆时针方向；(x, y, z) (x 2)2 ( y 2)2 1, z 0 ，方向取上侧。因为z 轴不穿过曲面，依据 Stokes公式，

a ds rot a dS 0 。

L

（2）令x 2cos , y 2sin , z 0 ，则

a ds xdy ydx 2

d 2 。x 2 y 2 0

L L

6. 计算向量场 r xyz(i j k ) 在点M (13,,2)处的旋度，以及在这点沿

方向 n i 2 j 2k 的环量面密度。

解由

i j k

rotr

x y z

x( z y)i y( x z)j z( y x)k ，

xyz xyz xyz

可得

rot r (M ) i 3 4 。j k

向量场 r xyz(i j k ) 在点M (1,3,2) 沿方向 n 的环量面密度为

lim 1 r dr rot r (M ) n 1 。

) n

M m( 3

7. 设 a a x i a y j a z k 向量场， f ( x, y, z) 为数目场，证明：（假定函数

a x ,a y ,a z和 f 拥有必需的连续偏导数）

（1）div(rot a) 0 ；

（2）rot (grad f ) 0；

（3）grad(div a) rot (rot a) a 。

证（1）rot a z a y

i

a x a z

j

a y a x

k 。

a y z z x x y

设 a x , a y , a z二阶偏导数连续，则

div(rot a)

a z a y

a x a z

a y a x 0 。

y

z y

z

x

z

x

y

x

i j

k

（2） rot (grad f )

y z 0 。

x

f

f f x

y

z

（3）由

grad(div a) div a div a

j

div a

i

k

x

y

z

2

a x 2

a y

2

a z

i

2

a x

2

a y

2

a z

j

x 2

x y

x z

x y

y 2

y z

2

a x 2

a y 2

a z

k ，

x z y z

z

2

以及

a z

a y

a x

a z

j a y a x k ，

rota

i

z

x

x

y

y

z

rot(rot a) =

2

a y 2

a x

2

a x

2

a z

i

x y

y

2

z

2

x z

2

a z 2

a y 2

a y 2

a x

j

2

a x

2

a z

2

a z

2

a y

y z

z 2 x 2

x y x z

x 2 y 2

k ，

y z

获得

grad(div a) rot (rot a)

a x i

a y j

a z k

a 。

8. 位 于 原 点 的 点 电 荷 q 产 生 的 静 电 场 的 电 场 强 度 为

E

q

3

( xi yj zk ) ，此中 r

x 2 y 2

z 2 ， 0 为真空介电常数。

4 0

r

求 rot E 。

解

z

y 3yz 3yz 0 ， y

r 3

z r 3

r 4

r 4

x

z 3zx 3zx 0 ，

z

r 3

x r 3

r 4

r 4

y

x

3xy 3xy 0 ，

x

r

3

y r

3

r

4

r

4

因此

rot E

0 , ( x, y, z) 0 。

9. 设a为常向量，r xi yj zk ，考证：

（1）(a r ) 0 ；

（2）(a r ) 2a ；

（3）((r r )a) 2r a 。

证（1）(a r )

x y z a x a y a z x y z

(a y z a z y) (a z x a x z) (a x y a y x)

0。

x y z

i j k

（2）(a r )

x y z

a y z a z y a z x a x z a x y a y x

2( a x i a y j a z k ) 2a 。

（3）((r r )a) (a x x2 ) ( a y y 2 ) (a z z2 )

a 。x y z 2r

10. 求全微分( x2 2 yz) dx ( y 2 2xz)dy ( z2 2xy)dz 的原函数。解记 a ( x2 2 yz)i ( y2 2xz) j ( z2 2xy)k ，因为

a z 2x a y

, a x 2 y

a

z ,

a y

2z

a

x ，z x

y z x y

因此向量场 a ( x2 2 yz)i ( y 2 2xz) j ( z2 2xy)k 是一个无旋场，其原函数为

U ( x, y, z) (x , y, z)

2

2 yz)dx ( y2 2 xz)dy ( z2 2xy)dz C

(x

(0,0,0)

x 0 x2 dx

y

2 dy z 2xy)dz 1 (x2 y2 z2 ) 2xyz C 。

y ( z2

0 0 3

x y x y

11.证明向量场a

x 2 y 2 i

x2 y 2

j (x 0) 是有势场并求势函数。

证当 x 0 时，

x y y 2 x 2 2xy x y

，y x2 y2 (x 2 y2 ) 2 x x 2 y 2

因此向量场 a 是有势场，其势函数为

V (x, y) U (x, y) ( x, y) ( xy)dx ( x y)dy

C

(1,0) x 2 y 2

x dx

y x y dy C arctan

y 1

ln( x2 y2 ) C 。

1 x 0 x

2 y2 x 2

12.证明向量场a (2x y z) yzi ( x 2y z)zxj ( x y 2z) xyk 是有势场，

并求出它的势函数。

证 设 a a x i a y j a z k ，则

a z x 2

2x( y

z)

a y a x

y 2

2 y(x z)

a z

，

y

z

,

x

z

a y

z 2 2 z( x y)

a x ，

x

y

因此向量场 a 是有势场。设原函数为 U

U (x, y, z) ，则

dU (2 x y z) yzdx ( x 2y

z)zxdy (x y 2z) xydz

[ yzdx 2 x 2 (zdy ydz)] [ y 2 ( zdx xdz) zxdy 2 ]

[ z 2 ( ydx xdy) xydz 2 ]

d( x 2 yz) d ( xy 2 z) d( xyz 2 ) d[ xyz( x y z)] ，

因此势函数为

V (x, y, z)

U (x, y, z)

xyz( x

y z) C 。

13.考证：

（1） u y 3 3x 2 y 为平面 R 2 上的调解函数；

（2） u ln ( x a) 2 ( y b)2 为 R 2 {( a,b)} 上的调解函数； （3） u

x 2

1

为 R 3 {( 0,0,0)} 上的调解函数。

y 2 z 2

解（1）因为

u 6 xy, u 3y 2 3x 2 , 2u

6 y,

2

u

6y ，

x

y x 2

y 2

因此

2

u

2

u

0 ，

x

2

y

2

即 u y 3

x 2 y

为平面 R 2 上的调解函数。

3

（2）因为

u

x a

u

y b

，

x

2

( y b)

2

,

2

2

( x a)

y ( x a)

( y b)

2

u

( y b) 2

(x a)2

2

u

( x a)2

( y b) 2

x

2

[( x a)

2

( y b) 2 ] 2 ,

y 2

[( x a)

2

( y b) 2 ]2

，

因此

2

u

2

u

0 ，

x

2

y

2

即 u ln ( x a) 2 ( y b) 2 为 R 2 {( a, b)} 上的调解函数。 （3）记 r

x 2 y 2 z 2 ，则

u 1 x

x ， 2

u

1

x x 1

3 x 2

x

r 2

r r 3 x 2

r 3

3 4

r

r 3

r 5

，

r

u 1 y y y r

2

r

r

3 u 1 z z z

r 2 r

r 3

，

，

2

u

1

3 y y 1

y 2

， y 2

r 3

r 4 r r 3

3 5

r

2u

1 3 z z

1 3 z 2

z 2 r 3

r 4 r

r 3 r 5

因此

2

u

2

u

2

u

3 3 x 2

y 2 z 2 0 ，

x 2

y 2

z 2

r 3

r 5

即 u

1

为 R 3 {( 0,0,0)} 上的调解函数。

x 2

y 2

z 2

14.设 u( x, y) 在 R 2 上拥有二阶连续偏导数，证明 u 是调解函数的充要条 件为：关于 R 2 中随意圆滑关闭曲线 C ，建立

u

ds 0 ， u 为沿 C 的

C

n

n

外法线方向的方导游数。

证 必需性。设 C 是 R 2 中随意圆滑关闭曲线，由

u

u cos(n , x)

u cos(n , y)

u cos(τ, y)

u

cos(τ, x) ，

n

x y x y

此中 n 、τ分别是曲线 C 上点 ( x, y) 处的单位外法向和单位切向，获得

u ds u dy u dx 。 C

n C

x

y

由 green 公式，获得

u ds

2

u

2 u

0 。

C

n D

x

2

y 2 dxdy

充足性。假如存在点 M 0 ( x 0 , y 0 ) ，使得

2

u(x 0 , y 0 )

2

u( x 0 , y 0 ) x

2

y

2

0 ，

不如设其大于零。因为 u( x, y) 拥有二阶连续偏导数，因此存在 0 ，

使得在 D

O(M 0 , ) 上，建立

2

u

2

u

0 ，

x 2

y

2

于是

u

2

u

2

u

C

n ds

D

x

2

y 2

dxdy

0 ，

与条件矛盾，因此 u 是调解函数。

15.设 u u(x, y) 与 v v( x, y) 都为平面上的调解函数。令 F

u 2

v 2 。证

明当 p 2时，在 F 0 的点建立

( F p ) 0 。

证 由

F p

pF p 1 uu x vv x

pF p 2 (uu x vv x )

和

F

p

p 1

uu

y

vv y

pF p 2

(uu y

vv y ) ，

pF

F

y

获得

2

(F p ) p( p 2) F p 4 (uu x vv x ) 2

pF p 2 (u x 2 v x

2 uu xx vv xx )

x 2

和

2

( F p )

p( p 2) F p 4 (uu y vv y ) 2

pF p 2 (u y 2 v y 2 uu yy vv yy ) ，

y

2 因此

( F p )

p( p 2) F p 4[( uu x vv x ) 2 (uu y vv y ) 2 ] pF p 2 (u x 2 v x 2 u y 2

v y 2 ) 0 。

16.设 B {( x, y, z) | x 2 y 2 z 2 1} ，F (x, y, z) ：R 3 R 3 为拥有连续导数的 向量值函数，且知足

F B

(0,0,0) ，

F B

0 。

证明：关于任何 R 3 上拥有连续偏导数的函数 g( x, y, z) 建立

g Fdxdydz 0 。

B

证 由 (gF )

g F g

F 及 Gauss 公式，获得

g Fdxdydz

( gF)dxdydz

g

Fdxdydz

B

B

B

gF d S

g Fdxdydz 0 ，

B

B

最后一个等式利用了条件 F B (0,0,0)， F B 0 。

17.设 D ={( x, y) R 2 | x 2 y 2 1} ，u(x, y) 在 D 上拥有连续二阶偏导数。 进

一步，设 u 在 D 上不恒等于零，但在 D 的界限 D 上恒为零，且在 D 上建立

2

u

2

u

u （ 为常数）。

x 2

y 2

证明

2

u 2dxdy 0 。 grad u dxdy

D

D 证 由 green 公式，

u

u

dx u u

dy

( u ) 2 ( u )2 u( 2

u

2u

) dxdy 。

D

y

x

D

x

y

x 2 y 2

因为在 D 上 u( x, y) 恒为零，因此

u

u

dx u u

dy 0

，另一方面，在 D

D

y x

2

u

2

u

u ，因此

上建立

2

y 2

x

( u )2 ( u )2

u 2 dxdy 0 ，

D

x

y

即

gradu 2 dxdy

u 2 dxdy 0 。

D

D

18.设地区 由分片圆滑关闭曲面 所围成， 连续偏导数，且在

上浮解，即知足 2

u

x 2

（1）证明

u

dS 0 ，

n

u(x, y, z) 在 2

u

2

u

y 2 z 2

上拥有二阶

0 。

此中 n 为 的单位外法向量；

（2）设 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 为必定点，证明

1

cos(r , n) 1 u u(x 0 , y 0 , z 0 )

u

r dS ，

4

r 2

n

此中 r

( x x 0 , y y 0 , z z 0 ) ， r | r |。

证（1）设 n (cos , cos , cos ) ，由方导游数的计算公式及 获得

Gauss 公式，

u (

u cos u cos

u

cos )dS

dS

x

y z n

(

2

u

2

u

2

u

x 2

y 2

z 2 ) dxdydz 0

。

（2）因为 cos(r, n)

r n ， u

(grad u) n ，于是

r

n

1

u cos(r , n)

1 u dS 1 Pdydz Qdzdx

Rdxdy ，

4

r 2

r n 4

此中 P

(x x 0 )u r 2

u x

， Q ( y y 0 )u

r 2u y ， R ( z z 0 )u r 2u z 。

r

3

r 3

r 3

经计算获得

P

u

( x x 0 )

2

u xx

x r

3

3

5

u

r r

Q

u ( y y 0 ) 2

u

yy

y r 3

3

5

u

r r

，

，

R u

3 ( z z 0 ) 2

u u zz ，

z

r 3 r 5 r

因此

P

Q R 0 。

x

y

z

此刻取一个以 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 为中心，

0 为半径的球面 S 0 ，使得

S 0，并设 n 为 S 0 的单位外法向量，而后在

与 S 0 所围的地区 上

应用 Gauss 公式，获得

1

u cos(r , n)

1 u

dS 1

(

P

Q R

)dxdydz 0 ，

4

( S 0)

r 2

r n

4

x

y

z

进而

1 u cos(r , n)

1 u dS 1 4

r 2

r n

4

注意 r

为常数， cos(r , n ) 1与

S 0

S 0

u cos(r , n) 1

u dS 。 r 2

r n

u

dS 0 ，则

1

u cos( r , n) 1 u

dS

1

u( x, y, z) dS ，

4

r 2

r n

2

4 S 0

利用积分中值定理并令

0 ，即得

u(x 0 , y 0 , z 0 )

1

u cos(r , n)

1 u dS 。

4

r 2

r n

数学分析习题及答案(29)

习 题 场论初步 1．设 a 3i 20 j 15k ，对以下数目场 f ( x, y, z) ，分别计算 grad f 和 div ( fa) ： 1 （1） （2） （3） f (x, y, z) ( x 2 y 2 z 2 ) 2 ； f (x, y, z) x 2 y 2 z 2 ； f (x, y, z) ln( x 2 y 2 z 2 ) 。 解（1） grad f 3 ( x 2 y 2 z 2 ) 2 ( xi yj zk ) ， 3 div ( fa) (x 2 y 2 z 2 ) 2 (3x 20 y 15z) 。 （2） grad f 2( xi yj zk ) ， div ( fa) 2(3x 20 y 15z) 。 （3） grad f 2( x 2 y 2 z 2 ) 1 (xi yj zk ) ， div ( fa) 2(x 2 y 2 z 2 ) 1 (3x 20 y 15 z) 。 2．求向量场 a x 2 i y 2 j z 2 k 穿过球面 x 2 y 2 z 2 1 在第一卦限部分 的通量，此中球面在这一部分的定向为上侧。 解 设 : x 2 y 2 z 2 1 ( x 0, y 0, z 0) ，方向取上侧，则所求通量为 x 2 dydz y 2 dzdx z 2 dxdy ， 因为 z 2dxdy (1 x 2 y 2 )dxdy 2 d 1 3 dr ， r 4 8 xy 同理可得 x 2 dydz y 2dzdx ， 8 因此 x 2 dydz y 2 dzdx z 2 dxdy 3 。 8 3．设 r xi yj zk ， r | r | ，求： （1）知足 div [ f (r )r ] 0 的函数 f (r ) ； （2）知足 div[grad f (r )] 0 的函数 f (r ) 。 解（1）经计算获得 ( f ( r ) x) f (r ) f (r ) x 2 ， x r ( f (r ) y) f (r ) f ( r ) y 2 , y r ( f (r ) z) f (r ) f ( r ) z 2 ， z r 因此 。

13数学分析期末复习题03

数学分析(三)复习题 一、计算题 1．求二重极限y x x a y x x +→∞→? ?? ?? +2 11lim ； 2．求椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角； 3．求函数z=xy 在条件x+y=1下的极值点。 4．求函数z=x 2+xy+y 2-4lnx-10lny 的极值。 5. 求函数z=4(x-y)-x 2-y 2的极值。 6．求函数z=x 4+y 4-x 2-2xy-y 2的极值。 7. 求函数z=x 3y 2(6-x-y)，(x>0，y>0)的极值。 8．求函数z=x 2+(y-1)2的极值。 9. 设u(x,y)=e 3x-y ，x 2+y=t 2，x-y=t+2，求 =t dt du 。 10．求e z -z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。 11. 设f(x,y,z)=x+y 2+xz ，求f 在(1,0,1)点沿方向C =(2,-2,1)的方向导数。 12．求函数u=xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。 13. 求函数u=x 2+y 2-z 2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。 14．在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。 15．设函数f(x,y,z)=cos 2(xy)+2z y ，试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大？求出这个方向上的单 位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。 16． 求函数z=arctg x y 在位于圆x 2+y 2-2x=0上一点(21 ,2 3)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角α 的范围为：0≤α<π）。 17. 设数量场u= 2 2 2 z y x z ++，试求：（1）gradu ；（2）在域1

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第七章

第七章 实数的完备性 一、练习题 1. 设{(a n ,b n )}是一严格开区间套,即 a 1

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案08

第八章 不定积分 习题 §1 不定积分概念与基本积分公式 1． 验证下列等式，并与（3）、（4）两式相比照： （1）()()C x f dx x f +=?/ ； （2）()()C x f x df +=? 2． 求一曲线()x f y =，使得在曲线上每一点()y x ,处的切线斜率为x 2，且通过点()5,2. 3． 验证x x y sgn 2 2 = 是x 在()+∞∞-,上的一个原函数. 4． 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数没有原函数？ 5． 求下列不定积分： （1）???? ? ? ? - +-dx x x x 3 2 31 1； （2）????? ??-dx x x 2 1； （3）? gx dx 2； （4）() ?+dx x x 2 3 2； （5）? -dx x 2 443 ； （6）( ) ? +dx x x 2 2 13； （7）?xdx 2 tan ； （8）?xdx 2 sin ； （9）? -dx x x x sin cos 2cos ； （10）? ?dx x x x 2 2 sin cos 2cos ； （11）??dt t t 2310； （12）?dx x x x ； （13）???? ? ? ?+-+ -+dx x x x x 1111； （14）()?+dx x x 2sin cos ； （15）()??dx x x 2cos cos ； （16）() ?--dx e e x x 3 §2 换元积分法与分部积分法 1． 应用换元积分法求下列不定积分： （1）()?+dx x 43cos ； （2）?dx xe x 2 2； （3）? +dx x 1 21； （4）()?+dx x n 1； （5）?? ?? ? ?? -+ -dx x x 2 2 31131； （6）?+dx x 322；

《数学分析(二)》题库及答案

《数学分析（二）》题库及答案 一、填空1、?=+1 1 - 2 51dx x x ____________。 2、 ? ∞ +-= 0 2 dx xe x ____________。 3、 =++++?+?ΛΛ) 1(1 321211n n ___________。 4、 ? ∞ +∞ =+ - 2 ______1x dx 。 5、 _______) 15)(45(11161611=++-++?+?K K n n 。 6、幂级数∑∞ =--1 1 ) 1(n n n n x 的收敛域为______ 。 二、单项选择题 1、设)(x f 是),(b a 上的连续函数，则在),(b a 上)(x f 必有___________。 A ．导函数 B ．原函数 C ．最大值 D ．最小值 2、设)(x f 在),(+∞-∞上有连续的的导数)(x f '，则___________。 A ．? += 'c x f dx x f )2(2 1 )2( B ．?+='c x f dx x f )2()2( C ． ?+='c x f dx x f )()2( D ． ?=')2(2))2((x f dx x f 3、设)(x f 是),(+∞-∞上非零的连续奇函数，则? = x dt t f x F 0 )()(是___________。 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．可能是奇，也可能是偶函数 4、设函数)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上______ 。 A ．存在原函数 B ．有界 C ．连续 D ．可导 5、若0lim =∞ →n n a ，则数项级数 ∑∞ =1 n n a ______ 。 A ．收敛 B ．发散 C ．收敛且和为零 D ．可能收敛，也可能发散 6、若反常积分 ? ∞ + 1 2)(dx x f 收敛，则? ∞ + 1 )(dx x f ______ 。 A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．可能收敛，也可能发散。

(完整word版)数学分析试题库--证明题--答案

数学分析题库（1—22章) 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1)对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε,存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y 。 证明：.inf sup B A = 证 由(1)可得B A inf sup ≤.为了证B A inf sup =,用反证法。若B A inf sup ，设 B y A x A B ∈∈∃=-,,sup inf 0ε，使得0ε≥-x y 。 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ⋃=,证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 证（1）若A ，B 中有一集合无上界，不妨设A 无上界,则S 也是无上界数集,于是+∞=+∞=S A sup ,sup ，结论成立。若A ，B 都是有上界数集，且A B sup sup ≤，现设法证明:sup sup A S = （ⅰ）S x ∈∀，无论A x ∈或B x ∈,有;sup A x ≤ （ⅱ）000,,sup ,x A x A εε∀∃∈->>于是,0S x ∈ 0sup .x A > 同理可证（2）. 3。 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 证 3 5 232522---+n n n ) 23(34 32-+= n n ≤ 2 234n n ⋅ （n>4） n 32= ， 取⎭ ⎬⎫ ⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4,132max εN ，当n>N 时,

3 5 23252 2---+n n n 〈ε。 注 扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式n n G 32 )(=仍是无穷小数列。 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞ →lim 的正面陈述？并验证｜2n ｜和|n )1(-|是发散数列。 答 a a n n ≠∞ →lim 的正面陈述:0ε∃〉0，+∈∀N N ，n '∃≥N ，使得 ｜a a n -'｜≥0ε 数列{n a }发散⇔R a ∈∀,a a n n ≠∞ →lim . （1）a n a n ∀=.2，0ε∃= 41 ，+∈∀N N ，只要取⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣ ⎡+='N a n ,21max ，便可使||2a n -'≥||2a n -'≥ ||212 a a -⎪⎭⎫ ⎝ ⎛+≥41，于是{2 n ｝为发散数列。 （2）n n a )1(-=. 若a=1，0ε∃=1，取n '为任何奇数时，有2|1|=-'n a >0ε。若a=-1,0ε∃=1，取n '为任何 偶数时，有2|)1(|=--'n a >0ε。 若a ≠±1，0ε∃=|}1||,1min{|21-+a a ，对任何n ∈+N ，有|a a n -｜≥0ε。 故｜ n )1(-｜为发散数列. 5。用δε-方法验证: 3) 23(2lim 221-=+--+→x x x x x x 。 解 (1)消去分式分子、分母中当1→x 时的零化因子（x —1）: ) 2(2 )2)(1()1)(2()23(2)(22-+=---+=+--+=x x x x x x x x x x x x x x f 。 （2)把)3()(--x f 化为1)(-⋅x x ϕ，其中)(x ϕ为x 的分式: |1|| 2|| 23|)2(2533)2(23)(22---=-+-=+-+=+x x x x x x x x x x x x f ， 其中x x x x 223)(2--= ϕ。 （3)确定10=x 的邻域0〈｜x —1|<η，并估计)(x ϕ在此邻域内的上界:取21=η，当0<|x —1｜<2 1 时，可得 23-x ≤2 5 1|1|3< +-x ，

第二学期 数学分析II试题与答案

一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于 正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（ ） A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定.

数学分析面试真题答案解析

数学分析面试真题答案解析 是数学基础课程中非常重要的一门学科。它对于培养学生的逻辑 思维能力、分析问题的能力以及解决实际问题的能力有着重要的作用。所以，在面试过程中，问题经常是考察学生数学思维能力的一个重要 方面。以下是一些常见的面试真题及其解析，希望能对读者有所帮助。 一、求极限 1. 计算极限$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$。 解析：要计算这个极限，可以利用泰勒展开的思想。根据泰勒级 数展开，有$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$。因此，原极限可以改写为$\lim_{x\to 0}\frac{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots}{x}$。显然，当$x\to 0$时，分子和分母同时趋于0，所以可以使用洛必达法则，即对分子和分母同时求导，有$\lim_{x\to 0}(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots) = 1$。 2. 计算极限$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$。 解析：我们可以利用中的极限性质，即 $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$。所以，原极限可以改 写为$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}$。根据Stirling公式， $\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}{n!} = 1$。所以，原极限为1。 二、连续与可导

数学分析十讲习题册、课后习题答案_

数学分析十讲习题册、课后习题答案_ 数学分析十讲习题册、课后习题答案习题1-1 1．计算下列极限（1）, 解：原式= == （2）； 解：原式（3）解：原式（4），解：原式（5）解：原式= （6），为正整数； 解：原式2．设在处二阶可导，计算. 解：原式3．设，，存在，计算. 解： 习题1-2 1.求下列极限（1）; 解：原式，其中在与之间（2）; 解：原式===，其中在与之间（3）解：原式，其中在与之间（4）解：原式，其中其中在与之间2．设在处可导，，计算. 解：原式习题1-3 1．求下列极限（1）, 解：原式（2）; 解： （3）; 解：原式（4）; 解：原式2. 求下列极限（1）; 解：原式（2）; 解：原式习题1-4 1．求下列极限（1）； 解：原式（2）求； 解：原式（3）； 解：原式（4）； 解：原式此题已换3．设在处可导，，.若在时是比高阶的无穷小，试确定的值. 解：因为，所以从而解得： 3．设在处二阶可导，用泰勒公式求解：原式4. 设在处可导，且求和. 解因为所以,即所以习题1-5 1. 计算下列极限(1) ; ; 解：原式(2) 解：原式2．设，求(1) ； 解：原式(2) ，解：由于，所以3．设，求和. 解：因为，所以且从而有stolz定理，且所以，4．设，其中，并且，证明：. 证明：因，所以，所以，用数学归纳法易证，。 又，从而单调递减，由单调有界原理，存在，记在两边令，可得所以习题1-6 1. 设在内可导，且存在. 证明: 证明： 2. 设在上可微，和存在. 证明:. 证明：记（有限），（有限），则

从而所以 3. 设在上可导，对任意的, ，证明:. 证明：因为，所以，由广义罗必达法则得4．设在上存在有界的导函数，证明:. 证明：，有界，，所以习题2-1 （此题已换）1. 若自然数不是完全平方数，证明是无理数. 1.证明是无理数证明：反证法. 假若且互质，于是由可知,是的因子，从而得即,这与假设矛盾2. 求下列数集的上、下确界. （1）解： （2）解： （3）解： （4）. 解： 3．设，验证. 证明：由得是的一个下界. 另一方面，设也是的下界，由有理数集在实数系中的稠密性，在区间中必有有理数，则且不是的下界.按下确界定义， . 4．用定义证明上（下）确界的唯一性. 证明：设为数集的上确界，即.按定义，有.若也是的上确界且 .不妨设，则对有即矛盾. 下确界的唯一性类似可证习题2-2 1．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界. 证明：设是的一个下界，不是的下界，则. 令，若是的下界，则取； 若不是的下界，则取. 令，若是的下界，则取； 若不是的下界，则取； ……，按此方式继续作下去，得一区间套，且满足： 是的下界，不是的下界. 由区间套定理，且. 下证： 都有，而，即是的下界. 由于，从而当充分大以后，有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界2. 设在上无界.证明：存在, 使得在的任意邻域内无界. 证明：由条件知，在上或上无界，记使在其上无界的区间为； 再二等分，记使在其上无界的区间为，……，继续作下去，得一区间套，满足在上无界. 根据区间套定理，，且. 因为对任意的，存在，当时，有，从而可知在上无界3.设,在上满足,,若在上连续, 在上单调递增. 证明：存在,使. 证明：记且二等分.若，则记若则记. 类似地,对已取得的二等分,若，则记；

数学分析十讲习题册课后习题答案

习 题 1-1 1．计算下列极限 （1）lim x a x a a x x a →--, 0;a > 解：原式lim[ ]x a a a x a a a x a x a x a →--=---=()|()|x a x a x a a x ==''- =1 ln a a a a a a --⋅=(ln 1)a a a - （2）sin sin lim sin() x a x a x a →--； 解：原式sin sin lim x a x a x a →-=-(sin )'cos x a x a === （3 ）2 lim 2), 0;n n a →∞-> 解：原式2 n =20[()']x x a ==2ln a = （4）1lim [(1)1]p n n n →∞+-，0;p > 解：原式111(1)1lim ()|p p p x n n n x =→∞ +-'===11 p x px p -== （5）10 10 0(1tan )(1sin )lim ;sin x x x x →+-- 解：原式101000(1tan )1(1sin )1 lim lim tan sin x x x x x x →→+---=-- =990010(1)|10(1)|20t t t t ==+++= （6） 1x →，,m n 为正整数； 解：原式1 1lim 11 n x x x →=--11 11 ()' ()' m x n x x x ===n m = 2．设()f x 在0x 处二阶可导，计算00020()2()() lim h f x h f x f x h h →+-+-. 解：原式000()()lim 2h f x h f x h h →''+--=00000()()()() lim 2h f x h f x f x f x h h →''''+-+--= 000000()()()()lim lim 22h h f x h f x f x h f x h h →→''''+---=+-00011 ()()()22 f x f x f x ''''''=+=

福师1203考试批次《数学分析选讲》复习题及参考答案

福师1203考试批次《数学分析选讲》复习题及参考答案 本课程复习题所提供的答案仅供学员在复习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。 本复习题页码标注所用教材为： 教材名称 单价 作者 版本 出版社 数学分析 41 华东师范大学数学系 第三版 高等教育出版社 如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点 福师1203考试批次《数学分析选讲》复习题及参考答案一 一、（12分）选择题（将符合要求的结论题号，填在题末的括号内，每题至多选两个题号）： 1. 与lim n n x a →∞ =的定义等价的是：（ ） A 、0,ε∀> 总有n x a ε-<； B 、0,ε∀> 至多只有{}n x 的有限项落在(,)a a εε-+之外； C 、存在自然数N ，对0,ε∀>当n N >，有n x a ε-<； D 、0(01),εε∀><<存在自然数N ，对,n N ∀>有n x a ε-<； 答案：B,D 2．下列命题中正确的是：（ ） A 、若函数()f x 在[,]a b 内无界，则()f x 在[,]a b 上不可积； B 、若函数()f x 在[,]a b 上不连续，则()f x 在[,]a b 上不可积； C 、若函数()f x 在[,]a b 上可积，则[ ()]()x a f t dt f x '=⎰ ; D 、若函数()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上也可积，反之不然. 答案：AD 3.函数()f x 在[a,b]上可积的必要条件是( ) A 、有界 B 、连续 C 、单调 D 、存在原函数 答案：A 二、填空题：（共10分，每题2分）

数学分析期末复习题

13数学分析(三)复习范围 一、计算题(每小题10分，共70分) 1. 全微分计算题 2. 求隐函数(组)的一阶偏导数 3. 求抽象函数的二阶偏导数 4. 求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程 5. 求函数的极值 6. 计算第一型曲面积分 7. 计算第二型曲面积分 8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 9. 二重积分的计算 10. 高斯公式与斯托克斯公式 11. 求多元函数的方向导数 12. 曲线积分与路径无关问题 13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示 14. 应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分) 15. 利用余元公式B(p,1-p)=ππ p sin ，计算⎰+∞+01n x dx 类积分值 二、解答与证明题(第小题10分，共30分) 1. 用定义证明多元函数的极限 2. 证明多元函数的连续性 3. 研究含参量积分的一致收敛性 4. 证明含参量非正常积分的连续性 5. 三重积分的证明题 6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题 7. 证明二重极限不存在 8. 多元函数的可微性证明

例题 一、计算题 1. 全微分计算题 公式：du=u x ∂∂dx+u y ∂∂dy+u z ∂∂dz 。 例1：求函数u=22 22 z x x y -+的全微分； 例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x 2+y 2+z 2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。 2. 求隐函数(组)的偏导数 例3：设z y e z x +=，求y x z ∂∂∂2。 例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e -(x+y+z)，求dx dy ，dx dz 。 3. 求抽象函数的二阶偏导数 例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求z x u ∂∂∂2，22u y ∂∂其中f 具有二阶连续的偏导数； 例6：设u=f(x 2 -y 2 ，xy e )，求y x u ∂∂∂2，其中f 具有二阶连续偏导数。 4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线 例7：求曲线：x 2+y 2+z 2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。 例8：求曲线⎪⎩ ⎪⎨⎧=-+-=-++045320 3222z y x x z y x 在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。 例9：求曲面x 2+2y 2+3z 2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。 5. 求函数的极值或条件极值 例10：求f(x,y)=e 2x (x+2y+2y 2)的极值。 例11：求抛物线y=x 2和直线x-y-2=0之间的最短距离。 6. 计算第一型曲面积分 例12：计算⎰⎰++S dS zx yz xy )(，其中S 为锥面22y x z +=被曲面x 2+y 2=2ax 所截得的部分。 例13：计算：xyzdS ∑ ⎰⎰，∑是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。 7. 计算第二型曲面积分 例14：求I=⎰⎰-++S dxdy yz x dydz xy z )()2(22，其中S 是圆柱面x 2+y 2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外侧。 例15：计算⎰⎰∑ +-yzdxdy dzdx y xzdydz 24，其中∑是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所围成的立方体的全表 面的外侧。 8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 例16：计算曲线积分[][] ⎰ -'+-AmB x x dy m e y dx my e y )()(ϕϕ， 其中ϕ(y)和ϕ/ (y)为连续函数，AmB 为连接点A(x 1,y 1)和点B(x 2,y 2)的任何路径，但与线段AB 围成的区域AmBA 的面积为已知常数S 。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章

第六章 微分中值定理及其应用 一、 填空题 1．若0,0>>b a 均为常数，则=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛+→x x x x b a 3 2 lim ________。 2．若2 1 sin cos 1lim 0 =-+→x x b x a x ，则=a ______，=b ______。 3．曲线x e y =在0=x 点处的曲率半径=R _________。 4．设2442 -+=x x y ，则曲线在拐点处的切线方程为 ___________。 5．= -+ →x e x x x 10 )1(lim ___________。 6．设) 4)(1()(2 --=x x x x f ，则0)(='x f 有_________个根， 它们分别位于________ 区间； 7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的 __________=ξ； 8．函数3 )(x x f =与2 1)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定 理条件的_____=ξ； 9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ； 10．函数 2 )(x e x f x =的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33-=的极大值点是______，极大值是

A.没有实根 B.有两个实根 C.有无穷多个实根 D.有且仅有一个实根 5．已知)(x f 在0=x 处某邻域内连续，2cos 1) (lim 0 =-→x x f x ，则在0=x 处)(x f ( )。 A.不可导 B.可导且2)0('=f C.取得极大值 D.取得极小值 6．设函数)(x f 在区间[)+∞,1内二阶可导，且满足条件0)1()1(='=f f ，1>x 时0)(<''x f ，则x x f x g ) ()(=在[)+∞,1内 ( ) A ．必存在一点ε，使0)(=εf B ．必存在一点ε，使0)(='εf C ．单调减少 D. 单调增加 7．设)(x f 有二阶连续导数，且0)0(='f ，1) (lim 0=''→x x f x ，则( ) A ．)0(f 是)(x f 的极大值 B.)0(f 是)(x f 的极小值 C ．())0(,0f 是曲线)(x f y =的拐点 D ．)0(f 不是)(x f 的极值，())0(,0f 也不是曲线)(x f y =的拐点 8．若)(x f 和)(x g 在0x x =处都取得极小值，则函数

数学分析—极限练习题及详细答案

一、选择题 1。若0 () lim 1sin x x x φ→=,则当x 0→时,函数(x)φ与（ )是等价无穷小。 A.sin ||x ﻩ B.ln(1)x -ﻩﻩﻩ C.ﻩﻩD 1 1.【答案】D 。 2。设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0() lim 1tan sin x f x x x →=-则'''f (0)=（ ） A.5 ﻩﻩB 。3 ﻩ C.1ﻩﻩﻩﻩ D ．0 ２ . 【 答 案】 B 。 解 析 由 洛 必 达 法 则 可 得 300 02() '() ''() lim lim lim 1 tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x x x x -→→→==-+-42200''()''() lim lim 16cos sin 2cos cos 21 x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= ３。当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是( ） A ．3x ﻩ ﻩ B.3 4 x ﻩﻩﻩ C.3 2 x ﻩ ﻩ D 。ｘ ３。【答案】Ａ。解析 .1 2 2 33 31233 200311(1)1133lim lim (1)3313 x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。 4.函数2sin f ()lim 1(2)n n x x x π→∞=+的间断点有( )个 Ａ．4ﻩﻩﻩ ﻩB 。３ ﻩﻩﻩﻩC.2 ﻩﻩﻩﻩD.1 4.【答案】Ｃ.解析。当0.5x >时,分母→∞时()0f x =，故 20.5sin 12lim 1(2(0.5))2n x π →-- =- +⨯-, 20.5sin 12lim 1(20.5)2n x π →= +⨯，故,有两个跳跃间断点，选C 。 5。已知()bx x f x a e =-在（—∞,+∞）内连续,且lim ()0x f x →∞=,则常数a ，b 应满足的充要条件是（ )

数学分析课后习题答案(华东师范大学版)

P.182 习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=⎰, 所以⎰ +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ⎰⎰22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所 以有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0

(数学分析习题答案)第二章

第二章 数列极限 P.27 习题 2．按N -ε定义证明： （1）1 1lim =+∞→n n n 证明 因为 n n n n 11111 <+=-+，所以0>∀ε，取ε1= N ，N n >∀，必有ε<<-+n n n 111. 故1 1lim =+∞→n n n （2） 23 123lim 22=-+∞→n n n n 证明 因为 n n n n n n n n n n n n n 3 2525)1(232)12(232231232 22222<=<-++<-+=--+ )1(>n ，于是0>∀ε，取}3,1max{ε=N ，N n >∀，有 ε<<--+n n n n 3231232 2. 所以 23123lim 22=-+∞→n n n n （3）0!lim =∞→n n n n 证明 因为 n n n n n n n n n n n n n n n n 11211)1(!0!≤⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-==- ，于是0>∀ε，取ε1 = N ，N n >∀，必有ε<≤-n n n n 10!. 所以0!lim =∞→n n n n （4） sin lim =∞ →n n π 证明 因为 n n n π π π ≤ =-s in 0s in ，于是0>∀ε，取 επ = N ，N n >∀，必有 ε π π <≤ -n n 0s in . 所以 sin lim =∞ →n n π （5）)1(0lim >=∞→a a n n n 证明 因为1>a ，设)0(1>+=h h a ，于是 2 22)1(2)1(1)1(h n n h h n n nh h a n n n -≥++-+ +=+= ，从而 2 2)1(2 2)1(0h n h n n n a n a n n n -= -≤=-，所以0>∀ε，取122+=h N ε，N n >∀， 有ε<-≤-2)1(20h n a n n . 故0lim =∞→n n a n