数学分析20曲线积分总练习题(含参考答案)
第二十章 曲线积分
总练习题
1、计算下列曲线积分：
(1)⎰L yds , 其中L 是由y 2=x 和x+y=2所围的闭曲线； (2)⎰L ds y , 其中L 为双纽线(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2)；
(3)⎰L zds , 其中L 为圆锥螺线x=tcost, y=tsint, z=t ，t ∈[0,t 0]；
(4)ydx x dy xy L 22-⎰, 其中L 为以a 为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点B ； (5)⎰--L
y
x dx
dy , 其中L 是抛物线y=x 2-4, 从A(0,-4)到B(2,0)的一段； (6)dz x dy z dx y L 222++⎰,L 是维维安尼曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=ax (z ≥0,a>0),若从x 轴正向看去，L 是沿逆时针方向进行的.
解：(1)解方程组⎩⎨⎧=+=2
2y x x y ，得⎩⎨⎧-==24
y x ，⎩⎨⎧==11y x .
∴曲线L 抛物线段为x=y 2, y ∈[-2,1], ds=241y +dy; 直线段为x=2-y, y ∈[-2,1], ds=2dy; ∴⎰L yds =dy y y ⎰-+1
22
41+dy y ⎰-1
22=
12
3
2)41(12
1
-+y +
12
2
2
2-y
=
22
3)171755(121-- (2)双纽线的极坐标方程为：r 2=a 2cos2θ, θ∈[-4π,4π
]∪[
43π,4
5π], ∴ds=θd r r 2
2
'+=θθ
d r
a r 2
242
2sin +=θd r a 2，由被积函数与L 的对称性， 有⎰L
ds y =4θθπ
d r a r ⎰402
sin =4a 2θθπd ⎰40sin =4a 2⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-221.
(3)ds=dt z y x 222'+'+'=dt t 22+. ∴⎰L zds =dt t t t 2200
+⎰=
[]
22)2(3
120
-+t
.
(4)L: x=acost, y=asint, -2
π≤t ≤2
π.
∴ydx x dy xy L 2
2
-⎰=dt t t a ⎰-
22
2
24sin cos 2π
π=)4()4cos 1(1622
4t d t a
⎰--ππ=44πa -.
(5)⎰--L y x dx dy =dx x x x ⎰+--2024
12=-)4(412
202----⎰x x d x x =-ln|x 2-x-4|2
=ln2.
(6)设x=asin 2t, 则维维安尼曲线的参量方程为：
x=asin 2t, y=asintcost, z=acost, 当t 从2π
减少到-2
π时，就是曲线的方向， ∴dz x dy z dx y L 222++⎰=a
3
dt t t t t t t )sin cos sin cos cos sin 2(5222
2
433--+⎰-
π
π
= a 3⎪
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-⎰⎰-
-
dt t t dt t 22
22222
cos sin 2cos π
πππ= a 3⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+-42
ππ=4
π-a 3.
2、设f(x,y)为连续函数，试就如下曲线： (1)L:连接A(a,a), C(b,a)的直线段；
(2)L:连接A(a,a), C(b,a), B(b,b)三点的三角形(逆时针方向)， 计算下列曲线积分：⎰L ds y x f ),(, ⎰
L
dx y x f ),(,
⎰
L
dy y x f ),(.
解：(1)⎰L ds y x f ),(=dx a x f b
a ⎰),(; ⎰
L
dx y x f ),(=dx a x f b a
⎰),(;
⎰
L
dy y x f ),(=0.
(2)∵⎰L =⎰AC +⎰CB +⎰BA ,
∴⎰L ds y x f ),(=dx a x f b
a ⎰),(+dy y
b f b
a ⎰),(+dt t t f b
a 2),(⎰;
⎰
L
dx y x f ),(=dx a x f b a
⎰),(+0+dt t t f b
a
⎰),(;
⎰
L
dy y x f ),(=0+dy y b f b a
⎰),(+dt t t f b
a
⎰),(.
3、设f(x,y)为定义在平面曲线弧段⌒AB上的非负连续函数，且在⌒AB上恒大于0.
(1)试证明⎰⋂
AB
ds
y
x
f)
,
(>0；
(2)在相同条件下，第二型曲线积分⎰⋂
AB
dx
y
x
f)
,
(>0是否成立？为什么？
(1)证：∵存在点(x0,y0)∈⌒AB，使得
⎰L ds
y
x
f)
,
(=f(x0,y0)△L，△L为⌒AB的弧长. 又f(x,y)在⌒AB上恒大于0，
即f(x0,y0)>0，∴⎰⋂
AB
ds
y
x
f)
,
(>0.
(2)解：不一定成立，如取⌒AB为从A(0,0)到B(0,1)的直线段，取f(x,y)=0,
则⎰⋂
AB
dx
y
x
f)
,
(=0.
数学分析20曲线积分总练习题(含参考答案)
第二十章 曲线积分 总练习题 1、计算下列曲线积分： (1)⎰L yds , 其中L 是由y 2=x 和x+y=2所围的闭曲线； (2)⎰L ds y , 其中L 为双纽线(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2)； (3)⎰L zds , 其中L 为圆锥螺线x=tcost, y=tsint, z=t ，t ∈[0,t 0]； (4)ydx x dy xy L 22-⎰, 其中L 为以a 为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点B ； (5)⎰--L y x dx dy , 其中L 是抛物线y=x 2-4, 从A(0,-4)到B(2,0)的一段； (6)dz x dy z dx y L 222++⎰,L 是维维安尼曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=ax (z ≥0,a>0),若从x 轴正向看去，L 是沿逆时针方向进行的. 解：(1)解方程组⎩⎨⎧=+=2 2y x x y ，得⎩⎨⎧-==24 y x ，⎩⎨⎧==11y x . ∴曲线L 抛物线段为x=y 2, y ∈[-2,1], ds=241y +dy; 直线段为x=2-y, y ∈[-2,1], ds=2dy; ∴⎰L yds =dy y y ⎰-+1 22 41+dy y ⎰-1 22= 12 3 2)41(12 1 -+y + 12 2 2 2-y = 22 3)171755(121-- (2)双纽线的极坐标方程为：r 2=a 2cos2θ, θ∈[-4π,4π ]∪[ 43π,4 5π], ∴ds=θd r r 2 2 '+=θθ d r a r 2 242 2sin +=θd r a 2，由被积函数与L 的对称性， 有⎰L ds y =4θθπ d r a r ⎰402 sin =4a 2θθπd ⎰40sin =4a 2⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-221.
工科数学分析试题及答案
A 一、 求解下面问题（每小题6分，满分48分） 1.设),(y x f 为一连续函数，求极限.),(1 2 222 0lim dxdy y x f r r y x r ?? ≤+→+ π 解 (0,0)),(12 222 lim f dxdy y x f r r y x r =?? ≤+→+ π 建议：中间过程4分 2. 改变累次积分的积分顺序： dy y x f dx x x ),(-21 -4 2 6 -2 ?? 08 20 -1 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---=+?? ?? 3. 计算二重积分 dxdy y x D 2 2sin +??，其中积分区域为}.4|),{(2222ππ≤+≤=y x y x D 解：D ?? 4. 计算三重积分dxdydz x y V ???+)1(2012，其中V 由22--4y x z =与2 23y x z +=所成的立体. 解：由于V 是关于yoz 平面对称的，且x y 2012是关于x 的奇函数，所以 02012 =???d x d y d z x y V ，于是 2 3 22012 1()r V V y x dxdydz dxdydz d πθ+==???????? 2 23 )r d rdr πθ=? 2 2230 01)()2r d d r πθ=? 22220 012(4)()62r d r d r πθ?=--????? 3422200 1219(4)6236r d r πθπ?=?---=????? （写出对称性给2分，计算过程适当给分） 2 204sin 6d r rdr π π π θπ ==-??
数学分析练习题
练习题1 1. 0 lim ()x x f x A →= 等价于以下 （ ）. （A ）00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时，有|()|f x A ε-≥； （B ）00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时，有|()|f x A ε-<； （C ）00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时，有|()|f x A ε-≥； （D ）00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时，有|()|f x A ε-<； 2．下列等式成立的是（ ）. （A ）11 sin lim =∞→x x x ； （B ）11sin lim 0=→x x x ； （C ）1sin lim =∞→x x x ； （D ）11 sin 1lim 0=→x x x . 3. a a n n =∞ →lim ，它等价于( ). A.,0,0>?>?εN 当ε<->||,a a N n n 时； B.,0>?ε在{}n a 中除有限个项以外，其余所有项都落在邻域);(εa U 之内； C. {}{}k k a a 212,-都收敛； D. {}n a 中有无穷多个子列都收敛于a ． 4. 设{} n a 为单调数列，若存在一收敛子列{} j n a ，这时有( ). A. j n j n n a a ∞ →∞ →=lim lim ； B. {} n a 不一定收敛； C. {} n a 不一定有界； D. 当且仅当预先假设了{} n a 为有界数列时，才有Ａ成立． 5.设)(x f 在0x 可导，则=??--?+→?x x x f x x f x ) ()(lim 000 （ ）． A. )(20x f '- B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(0x f '- 6. 下列结论中正确的是（ ）． A.若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导． B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．
数学分析练习题.doc
4 数学分析练习题 1.函数f^y) = x2y-xe y在(1 ,0)处方向导数的最大值等于 什2兀+ X Lk心------------------------- 3 设/“)是连续函数，J=L/(x) = x + 2p(r)Jr,M/(x) = 5.函数项级数u n(x)在£)上一致收敛于函数S(Q的(w,N)定义是 n=l 6. 7.由曲线y = J｛x) , x = a , x = b和尤轴围成的llll边梯形绕尤轴旋转的旋转体体积 V v= 严dx 8已知反常积分Jo 甬尹收敛于1,则比= 0 1 9.求级数2 + 4 + - + 100 +工莎的和S = _________ /I=I 2 10设。00,兄=1,2,….且｛皿“｝有界，则工盗的敛散性为_______ • 11.函数/W = c A的幕级数展开式为___________________________ . 12.设平面点集E G/?2,点A W R2，“ A为E的内点”的定义是： __________ _______ 见p86 __________________________________________________________ .1 . 1 ° xsin —+ ysin-, xy H 0 “、 13 若 f(x,y)= y - x - ,(X,)，)H(0,0)则二重极限r hm f(x9y) = 0, 巧=0 14函数z =兀v，则全微分dz = ____________________ . 15 设/(x,y,?)=A>2+yF，则y 在点Po(2,_l,l)的梯度为 16.改变累次积分/=pA^7(x,.y)6/y的次序，则". 17以曲面z = Ax j)(其屮几叨)20)为顶，gy平面上的区域D为底的町顶柱体的体积 18函数z是由方^.e x -xyz = 0所确定的二元函数，贝ij全微分dz\{}}= _____ ・
数学分析20.2第二型曲线积分(含习题及参考答案)
第二十章 曲线积分 2第二型曲线积分 一、第二型曲线积分的定义 引例：如图，一质点受力F(x,y)的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力F(x,y)所作的功. 在曲线⌒AB 内插入n-1个分点M 1, M 2, …, M n-1， 与A=M 0, B=M n 一起把有向曲线⌒AB 分成 n 个有向小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n). 若记小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，则分割T 的细度为T =i n i s ∆≤≤1max . 设力F(x,y)在x 轴和y 轴方面的投影分别为P(x,y)与Q(x,y)，则 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)). 又设小弧段⌒M i-1M i 在x 轴与y 轴上的投影分别为 △x i =x i -x i-1与△y i =y i -y i-1，(x i ,y i )与(x i-1,y i-1)分别为分点M i 与M i-1的坐标. 记i i M M L 1-=(△x i ,△y i )，于是力F(x,y)在小弧段⌒M i-1M i 上所作的功为 W i ≈F(ξi ,ηi )·i i M M L 1-=P(ξi ,ηi )△x i +Q(ξi ,ηi )△y i ，其中(ξi ,ηi )是⌒M i-1M i 上任一点. 因而力F(x,y)沿曲线⌒AB 所作的功近似地等于 W=∑=n i i W 1 ≈∑=∆n i i i i x P 1 ),(ηξ+∑=∆n i i i i y Q 1 ),(ηξ. 定义1：设函数P(x,y)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线L ：⌒AB 上. 对L 的任一分割T 把L 分成n 个小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n), A=M 0, B=M n . 记各小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，分割T 的细度为T =i n i s ∆≤≤1max . 又设T 的分点M i 的坐标为(x i ,y i )，并记△x i =x i -x i-1,△y i =y i -y i-1(i=1,2,…,n). 在每个小弧段⌒M i-1M i 上任取一点(ξi ,ηi )，若存在极限
微积分(数学分析)习题及答案.doc
统计专业和数学专业数学分析（3）练习题一 填空题 1. 函数 xy x y z +=arcsin 的定义域是 . 2. 函数y x z -= 的定义域是 . 3. 设 )ln(),(22y x x y x f -- =，其中 0>>y x ，则),(=-+y x y x f . 4. 设 y x xy y x y x f tan ),(2 2-+=，则 =),(ty tx f . 5. 设2 R E ⊂为 点集，则E 在2 R 中至少有一个聚点. 6. 32),,(yz xy z y x f +=，则 =-)1,1,2(gradf 。 7. xyz z xy u -+=3 2在点)2,1,1(0P 处沿方向→ l （其中方向角分别为00060,45,60）的方向导数为=→)(0P u l . 8. ,y x z =其中,0>x ,0≠x 则=dz 。 9. 函数),(y x f 在),(00y x 处可微，则 =-∆df f 。 10. 若函数 ),(y x f 在区域D 上存在偏导数，且,0==y x f f ，则),(y x f 在区域上为 函数。 11. 由方程1 (,)sin 02F x y y x y =-- =确定的隐函数)(x f y =的导数'()f x = . 12. 设243 340x y x y +-=, 则dy dx = . 13. 平面上点P 的直角坐标),(y x 与极坐标),(θr 之间的坐标变换公式为 .其雅可比行列式 (,) (,) x y r θ∂=∂ . 14. 直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(θϕr 之间的变换公式为 . 其雅可比行列式 (,,) (,,) x y z r ϕθ∂=∂ . 15. 设平面曲线由方程0),(=y x F 给出, 它在点),(000y x P 的某邻域内满足隐函数定理的条件，则该曲线在点0P 处存在切线和法线，其方程分别为 切线： , 法线： . 16. 设空间曲线由参数方程βα≤≤===t t z z t y y t x x L ),(),(),(:给出, 它在点000000 0(,,)((),(),())P x y z x t y t z t =处的切线和法平面方程为 切线： ,
数学分析22.2第二型曲面积分(含习题及参考答案)
第二十二章曲面积分 2 第二型曲面积分 一、曲面的侧 概念：设连通曲面S上到处都有连续变动的切平面(或法线)，M为曲面S上的一点，曲面在M处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向是负方向。 设M0为S上任一点，L为S上任一经过点M0，且不超出S边界的闭曲线。动点M在M0处与M0有相同的法线方向，且有：当M从M0出发沿L连续移动时，它的法线方向连续地变动，最后当M沿L回到M0时，若这时M的法线方向仍与M0的法线方向相一致，则称曲面S是双侧曲面；若与M0的法线方向相反，则称S是单侧曲面. 默比乌斯带：这是一个典型的单侧曲面例子。取一矩形长纸带ABCD，将其一端扭转180°后与另一端黏合在一起(即让A与C重合，B与D 重合(如图). 注：通常由z=z(x,y)所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与z轴的正向的夹角成锐角的一侧为正侧(也称为上侧)时，另一侧为负侧(也称为下侧). 当S为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，
内侧为负侧. 二、第二型曲面积分的概念 引例：设流体以一定的流速v=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))从给定的曲面S 的负侧流向正侧，其中P ,Q,R 为所讨论范围上的连续函数，求单位时间内流经曲面S 的总流量E. 分析：设在曲面S 的正侧上任一点(x,y,z)处的单位法向量为 n=(cos α,cos β,cos γ). 这里α,β,γ是x,y,z 的函数，则 单位时间内流经小曲面S i 的流量近似地等于 v(ξi ,ηi ,ζi )·n(ξi ,ηi ,ζi )△S i =[P(ξi ,ηi ,ζi )cos αi ,Q(ξi ,ηi ,ζi )cos βi ,R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi ]△S i , 其中(ξi ,ηi ,ζi )是S i 上任意取定的一点, cos αi ,cos βi ,cos γi 分别是S i 正侧上法线的方向余弦, 又 △S i cos αi ,△S i cos βi ,△S i cos γi 分别是S i 正侧在坐标面yz, zx 和xy 上 投影区域的面积的近似值, 并分别记作△S iyz ,△S izx ,△S ixy , 于是 单位时间内由小曲面S i 的负侧流向正侧的流量也近似地等于 P(ξi ,ηi ,ζi )△S iyz +Q(ξi ,ηi ,ζi )△S izx +R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy , ∴单位时间内由曲面S 的负侧流向正侧的总流量为： E=}),,(),,(),,({lim 10 ixy i i i n i izx i i i iyz i i i T S R S Q S P ∆+∆+∆∑=→ζηξζηξζηξ. 定义1：设P , Q, R 为定义在双侧曲面S 上的函数，在S 所指定的一侧作分割T ，它把S 分成n 个小曲面S 1,S 2,…,S n 组，分割T 的细度
20-21-1 数学分析III 练习 参考答案
一、填空题 1．二元函数z =的定义域为 {}22 (,)01x y x y <+≤ . 2. 二元函数xy y x f =),(的定义域为{}(,)0x y xy ≥ 3．二元函数 x y y x f -= 1),(的定义域为{(,)x y y > 4. 已知1()2Γ=3 ()2 Γ= 5. 已知1()2Γ=7 ()2 Γ=8. 6. 若2(,2)f x x y +z ＝ ，则 z x ∂=∂122xf f + 7. 函数23u x y z =++在点)1,1,1(A 的梯度=)1,1,1(|gradu ___()1,2,3__. 8.设222z y x r ++= ，则gradr = 1 (,,)x y z r 9. 交换积分次序后，1 20 (,)x x dx f x y dy = ⎰⎰ 1 21 1 2 2 (,)(,)y y y dy f x y dx dy f x y dx +⎰ ⎰⎰⎰ 10. 交换积分次序后， 10 (,)dy f x y dx =⎰⎰ 1 (,)dx f x y dy -⎰ . 二、选择题 1. 极限 (,)lim x y →=( A ). A ．0 B ．1 C ．2 D ．不存在 2. 极限 22 (,)(0,0)lim x y xy x y →=+( D ). A ．0 B ．1 C ．2 D ．不存在 3. 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数0000(,),(,)x y x y x y f f 连续是(,)f x y 在该点可微的( A ). A ．充分条件而非必要条件 B ．必要条件而非充分条件
数学分析习题答案
1．计算下列二重积分： （1）⎰⎰ D d xy σ2 ，其中D 由抛物线px y 22=与直线)0(2 >=p p x 所围成的区域； （2） ⎰⎰+D d y x σ)(22，其中{} x y x x y x D 2,10|),(≤≤≤≤=； （3）)0(2>-⎰⎰ a x a d D σ，其中为图21-9中阴影部分； （4） ⎰⎰ D d x σ，其中{ }x y x y x D ≤+=22|),(； 解 （1） ⎰⎰D d xy σ2 =⎰ ⎰ -p p p p y xdx dy y 222 2=5 2222211])2()2[(21p dy p y p y p p =-⎰- （2） ⎰⎰+D d y x σ)(2 2 =⎰⎰ -+1022 2 )(x x dy y x dx =105 128 )37(23 1 02 5 = +⎰dx x x （3） = -⎰⎰ D x a dxdy 2⎰⎰ ----a a x a a dy x a dx 0 )(0 2 221=23 0)38 22()2(a dx x x a a a -=--⎰ （4） σd x D ⎰⎰ =⎰⎰--- 1 022 x x x x dy x dx =15 8 121 = -⎰dx x x 2．求由坐标平面及4,3,2=++==z y x y x 所围成的角柱体的体积. 解： 角柱体如图所示，阴影部分为角柱体在xy 平面上的投影区域D . 于是 dxdy z V D ⎰⎰== ⎰⎰--D dxdy y x )4( 655)4()4(3 2 1 40 1 = --+--⎰⎰⎰ ⎰ -x dy y x dx dy y x dx . 3．（1）计算二重积分 ⎰⎰D dxdy x x cos ，其中D 是由2x y =及x y =所围成的区域。 （2）计算二重积分 ⎰⎰-D y x dxdy e ，其中D 由0,2,1,====x y y x y 围成。 （1）解：⎰⎰D dxdy x x cos 2 1 0cos x x x dx dy x =⎰⎰ 1 1 cos cos xdx x xdx =-⎰⎰
数学分析22.1第一型曲面积分(含习题及参考答案)
第二十二章 曲面积分 1 第一型曲面积分 一、第一型曲面积分的概念 定义1：设S 是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S 上的函数，对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个小曲面块S i (i=1,2,…,n)， 以△S i 记小曲面块S i 的面积，分割T 的细度T =n i ≤≤1max {S i 的直径}， 在S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)，若极限i n i i i i T S f ∆∑=→1 ),,(lim ζηξ存在， 且与分割T 及(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)的取法无关，则 称此极限为f(x,y,z)在S 上的第一型曲面积分，记作⎰⎰S dS z y x f ),,(. 性质：1、存在性：若f(x,y,z)在光滑曲面S 上连续，则第一型曲面积分存在. 2、可加性：若曲面S 由互不相交的曲面S 1,S 2,…,S k 组成，且 ⎰⎰i S dS z y x f ),,((i=1,2,…,k)都存在，则⎰⎰S dS z y x f ),,(也存在，且 ⎰⎰S dS z y x f ),,(=∑⎰⎰=k i S i dS z y x f 1),,(. 3、线性：若⎰⎰S i dS z y x f ),,( (i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则 ⎰⎰∑=S k i i i dS z y x f c 1 ),,(=∑⎰⎰=k i S i i dS z y x f c 1 ),,(. 4、若⎰⎰S dS z y x f ),,(与⎰⎰S dS z y x g ),,(都存在，且f(x,y,z)≤g(x,y,z)，则 ⎰⎰S dS z y x f ),,(≤⎰⎰S dS z y x g ),,(. 5、若⎰⎰S dS z y x f ),,(存在，则⎰⎰S dS z y x f |),,(|也存在，且
《数学分析》（华师大版）课本上习题
《数学分析》（华师大版）课本上习题 第二十二章曲线积分与曲面积分 P.361 第一型曲线积分与第一型曲面积分1. 计算下列第一型曲线积分：（1）)1,0(),0,1(),0,0(,)(B A O L ds y x L 是以其中?+为顶点的三角形； （2） +L ds y x 2 12 2 )(，其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周； （3）?L xyds ，其中L 为椭圆122 22=+b y a x 在第一象限中的部分； （4） L ds y ，其中L 为单位圆122=+y x ； （5）ds z y x L )(2 2 2 ++，其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一 段；（6）? L xyzds ，其中L 为曲线)10(2 1
,232,22≤≤== =t t z t y t x 的一段；（7） +L ds z y 222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆周．2. 求曲线)0,10(2 1,,2 >≤≤= ==a t at z at y a x 的质量．设其线密度为.2a z =ρ 3. 求摆线?? ≤≤-=-=)0() cos 1() sin (πt t a y t t a x 的重心，设其质量分布是均匀的． 4. 计算下列第一类型曲面积分：（１） ++S dS z y x )(,其中S 是上半圆面0,2 222≥=++z a z y x ；（２） +S dS y x )(22，其中S 为立体12 2≤≤+z y x 的边界曲面；（３），??+S y x dS 22其中S 为柱面2 22R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分；（４） S xyzdS ，其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分； 5. 若曲线以极坐标))((21θθθθρρ≤≤=表示，试给出计算 L ds y x f ),(的公式，并用此 公式计算下列曲线积分：（１）? +L
数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案)
第二十章 曲线积分 1第一型曲线积分 一、第一型曲线积分的定义 引例：设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量. 当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时，可以对Ω作分割，把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n)，并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知，当Ωi 的弧长都很小时，每一小段Ωi 的质量可近似地等于f(P i )△Ωi , 其中△Ωi 为小曲线段Ωi 的长度. 于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式i n i i P f ∆Ω∑=1)(. 当对Ω有分割越来越细密(即d=i n i ∆Ω≤≤1max →0)时，上述和式的极限就是 该物体的质量. 定义1：设L 为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i=1,2,…,n)，L i 的弧长记为△s i ，分割T 的细度为T =i n i s ∆≤≤1max ，在L i 上任取一点 (ξi ,ηi ),( i=1,2,…,n). 若有极限i n i i i T s f ∆∑=→1 ),(lim ηξ=J ，且J 的值与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L 上的第一型曲线积分，记作：⎰L ds y x f ),(. 注：若L 为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在L 上的函数，则可类
似地定义f(x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分⎰L ds z y x f ),,(. 性质：1、若⎰L i ds y x f ),((i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则 ⎰∑=L k i i i ds y x f c 1 ),(=∑⎰=k i L i i ds y x f c 1 ),(. 2、若曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰i L ds y x f ),((i=1,2,…,k) 都存在，则⎰L ds y x f ),(也存在，且⎰L ds y x f ),(=∑⎰=k i L i i ds y x f 1 ),(. 3、若⎰L ds y x f ),(与⎰L ds y x g ),(都存在，且f(x,y)≤g(x,y)，则 ⎰ L ds y x f ),(≤⎰L ds y x g ),(. 4、若⎰L ds y x f ),(存在，则⎰L ds y x f ),(也存在，且⎰L ds y x f ),(≤⎰L ds y x f ),(. 5、若⎰L ds y x f ),(存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得⎰L ds y x f ),(=cs, 这里),(inf y x f L ≤c ≤),(sup y x f L . 6、第一型曲线积分的几何意义：(如图)若L 为平面Oxy 上分段光滑曲线，f(x,y)为定义在L 上非负连续函数. 由第一型曲面积分的定义，以L 为准线，母线平行于z 轴的柱面上截取0≤z ≤f(x,y)的部分面积就是 ⎰ L ds y x f ),(. 二、第一型曲线积分的计算 定理20.1：设有光滑曲线L:⎩⎨ ⎧==) () (t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，函数f(x,y)为定义在L 上的连续函数，则⎰L ds y x f ),(=⎰'+'β αψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22. 证：由弧长公式知，L 上由t=t i-1到t=t i 的弧长为△s i =⎰='+'i i t t dt t t 1 )()(22ψϕ. 由)()(22t t ψϕ'+'的连续性与积分中值定理，有
数学分析21.3格林公式、曲线积分与路线的无关性(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分 3格林公式、曲线积分与路线的无关性 一、格林公式 概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L. 定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式： ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向. 证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d. 这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE 的方程, ∴⎰⎰ ∂∂D d x Q σ=⎰⎰∂∂)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=⎰d c dy y y Q )),((2ψ-⎰d c dy y y Q )),((1ψ =⎰⋂ CBE dy y x Q ),(-⎰⋂ CAE dy y x Q ),(=⎰⋂ CBE dy y x Q ),(+⎰⋂ EAC dy y x Q ),(=⎰L dy y x Q ),(. 同理可证：-⎰⎰ ∂∂D d y P σ=⎰L dx y x P ),(. 即有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)， 则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，
数学分析教案(华东师大版)第二十章曲线积分
第二十章曲线积分 教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。 教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。教学时数：10学时 §1 第一型曲线积分 一. 第一型线积分的定义: 1.几何体的质量: 已知密度函数, 分析线段的质量 2.曲线的质量: 3.第一型线积分的定义: 定义及记法.线积分,. 4.第一型线积分的性质: P198 二. 第一型线积分的计算: 1.第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念 . Th20.1 设有光滑曲线, . 是定义在上的连续函数 . 则 . ( 证) P199
若曲线方程为: , 则 . 的方程为时有类似的公式. 例1 设是半圆周, . . P200例1 例2 设是曲线上从点到点的一段. 计算第一型曲线积分. P200例2 空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线 ,. 函数连续可导, 则对上的连续函数, 有 . 例3计算积分, 其中是球面被平面 截得的圆周 . P201例3 解由对称性知, , =. ( 注意是大圆) §2 第二型曲线积分
一.第二型曲线积分的定义: 1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功: 先用微元法, 再用定义积分的方法讨论这一问题, 得 , 即. 2. 稳流场通过曲线( 从一侧到另一侧) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例). 设有流速场. 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E . 设曲线AB上点处的切向量为, ( 是切向量方向与X轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段上的流量. , 因此, . 由, 得 .
数学分析练习题
练习题1 1.0 lim ()x x f x A →= 等价于以下 （ ）. （A ）00,0,0<|x-x |εδδ∀>∃><当时，有|()|f x A ε-≥； （B ）00,0,0<|x-x |εδδ∃>∀><当时，有|()|f x A ε-<； （C ）00,0,0<|x-x |εδδ∃>∀><当时，有|()|f x A ε-≥； （D ）00,0,0<|x-x |εδδ∀>∃><当时，有|()|f x A ε-<； 2．下列等式成立的是（ ）. （A ）11 sin lim =∞→x x x ； （B ）11sin lim 0=→x x x ； （C ）1sin lim =∞→x x x ； （D ）11 sin 1lim 0=→x x x . 3.a a n n =∞ →lim ，它等价于( ). A.,0,0>∃>∀εN 当ε<->||,a a N n n 时； B.,0>∀ε在{}n a 中除有限个项以外，其余所有项都落在邻域);(εa U 之内； C.{}{}k k a a 212,-都收敛； D.{}n a 中有无穷多个子列都收敛于a ． 4. 设{} n a 为单调数列，若存在一收敛子列{} j n a ，这时有( ). A.j n j n n a a ∞ →∞ →=lim lim ； B.{} n a 不一定收敛； C.{} n a 不一定有界； D. 当且仅当预先假设了{} n a 为有界数列时，才有Ａ成立． 5.设)(x f 在0x 可导，则=∆∆--∆+→∆x x x f x x f x ) ()(lim 000 （ ） ． A. )(20x f '- B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(0x f '- 6. 下列结论中正确的是（ ）． A.若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导． B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．
数学分析期末复习题
13数学分析(三)复习范围 一、计算题(每小题10分，共70分) 1. 全微分计算题 2. 求隐函数(组)的一阶偏导数 3. 求抽象函数的二阶偏导数 4. 求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程 5. 求函数的极值 6. 计算第一型曲面积分 7. 计算第二型曲面积分 8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 9. 二重积分的计算 10. 高斯公式与斯托克斯公式 11. 求多元函数的方向导数 12. 曲线积分与路径无关问题 13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示 14. 应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分) 15. 利用余元公式B(p,1-p)=ππ p sin ，计算⎰+∞+01n x dx 类积分值 二、解答与证明题(第小题10分，共30分) 1. 用定义证明多元函数的极限 2. 证明多元函数的连续性 3. 研究含参量积分的一致收敛性 4. 证明含参量非正常积分的连续性 5. 三重积分的证明题 6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题 7. 证明二重极限不存在 8. 多元函数的可微性证明
例题 一、计算题 1. 全微分计算题 公式：du=u x ∂∂dx+u y ∂∂dy+u z ∂∂dz 。 例1：求函数u=22 22 z x x y -+的全微分； 例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x 2+y 2+z 2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。 2. 求隐函数(组)的偏导数 例3：设z y e z x +=，求y x z ∂∂∂2。 例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e -(x+y+z)，求dx dy ，dx dz 。 3. 求抽象函数的二阶偏导数 例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求z x u ∂∂∂2，22u y ∂∂其中f 具有二阶连续的偏导数； 例6：设u=f(x 2 -y 2 ，xy e )，求y x u ∂∂∂2，其中f 具有二阶连续偏导数。 4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线 例7：求曲线：x 2+y 2+z 2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。 例8：求曲线⎪⎩ ⎪⎨⎧=-+-=-++045320 3222z y x x z y x 在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。 例9：求曲面x 2+2y 2+3z 2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。 5. 求函数的极值或条件极值 例10：求f(x,y)=e 2x (x+2y+2y 2)的极值。 例11：求抛物线y=x 2和直线x-y-2=0之间的最短距离。 6. 计算第一型曲面积分 例12：计算⎰⎰++S dS zx yz xy )(，其中S 为锥面22y x z +=被曲面x 2+y 2=2ax 所截得的部分。 例13：计算：xyzdS ∑ ⎰⎰，∑是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。 7. 计算第二型曲面积分 例14：求I=⎰⎰-++S dxdy yz x dydz xy z )()2(22，其中S 是圆柱面x 2+y 2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外侧。 例15：计算⎰⎰∑ +-yzdxdy dzdx y xzdydz 24，其中∑是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所围成的立方体的全表 面的外侧。 8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 例16：计算曲线积分[][] ⎰ -'+-AmB x x dy m e y dx my e y )()(ϕϕ， 其中ϕ(y)和ϕ/ (y)为连续函数，AmB 为连接点A(x 1,y 1)和点B(x 2,y 2)的任何路径，但与线段AB 围成的区域AmBA 的面积为已知常数S 。
(完整版)曲线积分与曲面积分习题及答案
第十章曲线积分与曲面积分 （A） 1．计算L x y dx，其中L为连接1,0 及0,1 两点的连直线段。 2．计算L x2 y2 ds ，其中L为圆周x2 y2 ax 。 3．计算x2 y2 ds ，其中L为曲线x acost tsint ，y asint tcost ，L 0t2。 22 4．计算 e x2 y2ds，其中L为圆周x2 y2 a2，直线y x及x轴在第一L 角限内所围成的扇形的整个边界。 44 5．计算x3 y3 ds，其中L为内摆线x acos3t ，y asin3 t 0 t L2 在第一象限内的一段弧。 2 6．计算2z2ds ，其中L 为螺线x acost ，y asint ，L x2y2 z at 0 t 2 。 7．计算xydx ，其中L为抛物线y2 x上从点A1, 1到点B 1,1 的一段弧。 8．计算L x3dx 3zy2dy x 2 ydz ，其中L是从点 A 3,2,1 到点B 0,0,0 的直线段AB 。 9．计算L xdx ydy x y 1dz ，其中L 是从点1,1,1 到点2,3,4 的一段直线。 10．计算L 2a y dx a y dy ，其中L 为摆线x a t sint ，y a1 cost 的一拱（对应于由t从0变到 2 的一段弧）： 11．计算L x ydx y x dy ，其中L是： 1）抛物线y2 x上从点1,1 到点4,2 的一段弧； 2）曲线x 2t2 t 1，y t2 1从点1,1到4,2 的一段弧 12．把对坐标的曲线积分L P x, y dx Q x, y dy 化成对弧和的曲经积分，其中L 为： 1）在xoy 平面内沿直线从点0,0 到3,4 ； 2）沿抛物线y x2从点0,0 到点4,2 ； 3）沿上半圆周x2 y 2x 从点0,0 到点1,1 。
微积分(数学分析)练习题及答案doc
统计专业和数学专业数学分练习题 计算题 １. 试求极限 .4 2lim )0,0(),(xy xy y x +-→ 2. 试求极限.)() cos(1lim 222222) 0,0(),(y x y x e y x y x ++-→ 3. 试求极限.1 sin 1sin )(lim )0,0(),(y x y x y x +→ 4. 试讨论.lim 4 22 )0,0(),(y x xy y x +→ 5. 试求极限 .1 1lim 2 2 22) 0,0(),(-+++→y x y x y x 6. ),(xy y x f u +=,f 有连续的偏导数,求 .,y u x u ∂∂∂∂ 7. ,arctan xy z =,x e y = 求 .dx dz ８. 求抛物面 2 22y x z +=在点 )3,1,1(M 处的切平面方程与法线方程. ９. 求5362),(2 2+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式. 10. 求函数)2(),(2 2y y x e y x f x ++=的极值． 1１. 叙述隐函数的定义. 1２. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 1３. 叙述隐函数可微性定理的内容. 1４． 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数. 15． 讨论笛卡儿叶形线 0333=-+axy y x 所确定的隐函数)(x f y =的一阶与二阶导数. 16. 讨论方程 0),,(323=-++=z y x xyz z y x F 在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数. １7. 设函数23 (,,)f x y z xy z =, 方程 2223x y z xyz ++=. (1)验证在点0(1,1,1)P 附近由上面的方程能确定可微的隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =; （2)试求(,(,),)x f x y x z z 和(,,(,))x f x y z x y ,以及它们在点)(x f y =处的值. 18． 讨论方程组