数学分析习题集3篇
数学分析习题集
第一篇：函数极值与最值
1. 求函数 $f(x)=2x^3-6x^2-12x+20$ 的极值。
2. 求函数 $f(x)=\dfrac{1}{x^2+2x+3}$ 的最大值和最小值。
3. 求函数 $f(x)=\ln\left(x^2-2x+3\right)$ 的最大值和最小值。
4. 求函数 $f(x)=\sqrt{2-x-x^2}$ 的最大值和最小值。
5. 求函数 $f(x)=\dfrac{x}{1-x}$ 在 $(-
\infty,1)$ 上的最大值和最小值，并说明在何处取得。
6. 已知函数 $y=\sin x+\cos x$，求其最大值和最小值。
7. 已知函数 $y=x^3-3x+2$，求其极值和最值。
8. 求函数 $f(x)=\sin x\cos x+\dfrac{1}{4}$ 的最大值和最小值。
9. 求函数 $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-
\dfrac{x^2}{2}+x$ 在 $[-1,2]$ 上的最大值和最小值。
10. 求函数 $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$ 的最大值和最小值。
第二篇：导数与微分
1. 求函数 $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$ 在 $x=2$ 处的导数和微分。
2. 求函数 $f(x)=\ln\left(x^2-2x+3\right)$ 在
$x=1$ 处的导数和微分。
3. 求函数 $f(x)=\sin 2x$ 在 $x=0$ 处的导数和微分。
4. 求函数 $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ 在 $x=2$ 处的导数和微分。
5. 求函数 $f(x)=\dfrac{1}{x^2-5x+6}$ 在 $x=1$ 处的导数和微分。
6. 求函数 $f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}$ 在
$x=\dfrac{\pi}{4}$ 处的导数和微分。
7. 求函数 $f(x)=\ln\left(\dfrac{x^2}{1-
x}\right)$ 在 $x=0$ 处的导数和微分。
8. 求函数 $f(x)=\dfrac{1}{1+\sqrt x}$ 在 $x=4$ 处的导数和微分。
9. 求函数 $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+2}}$ 在 $x=-
1$ 处的导数和微分。
10. 求函数 $f(x)=x^3-4x^2$ 在 $x=2$ 处的导数和微分。
第三篇：中值定理与极值判定
1. 证明函数 $f(x)=\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 内单调递增，并说明其导数与函数的单调性有何关系。
2. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导且 $f'(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调递增。
3. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导且 $f'(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调递减。
4. 证明函数 $f(x)=x^3-3x$ 在 $(-
\infty,+\infty)$ 内有两个极值，并求出其最小值。
5. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且在 $a$ 处有极值，证明其导数在 $a$ 处不存在。
6. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，若 $f(a)\neq f(b)$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内必有
一点处于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 的中间。
7. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$，则 $f'(c)=0$ 的解 $c$ 存在于$(a,b)$ 内。
8. 判定函数 $f(x)=\sin x-\cos x$ 的符号及其最值。
9. 判定函数 $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ 的极值及其所在的区间。
10. 判定函数 $f(x)=\dfrac{1}{x^2-6x+10}$ 的符号及其最大值和最小值。
数学分析习题课1.1
第一章 实数集与函数 习题课 实数集、确界原理与函数 一、基本要求： 1、掌握有关实数的性质与运算。 2、正确理解确界概念与确界原理，并运用于有关命题的运算与证明。 3、在中学已掌握函数概念的基础上，以两个数集之间映射的观点来加深对函数概念的理解。 4、进一步掌握函数的运算性质（四则运算、复合运算、和反函数等）及其表示方法。 5、加深对某些特性函数（有界函数、单调函数、奇（偶）函数和周期函数）的认识。并能依次对所给函数是否具有上述性质做出判断。 二、内容复习： 1、实数的定义：实数是有理数和无理数的统称。有理数可用分数形式q p （q p ,为整数，0≠q ）表示也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示；而无限十进不循环小数则称为无理数。 2、实数的性质： (1) 封闭性：实数集R 对加、减、乘、除（除数不为０）四则运算是封闭的. (2) 有序性：任意两实数b a ,必满足下述三个关系之一：b a <，b a =，b a >. (3) 传递性：若b a >，c b >，则c a >. (4) 阿基米德性：对任何R b a ∈,，若0>>a b ，则存在正整数n ，使得b na >. (5) 稠密性：任何两个实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数. (6) 实数集与数轴上的点有着一一对应关系. 3、绝对值的定义： ???<-≥=. 0,,0,||a a a a a 从数轴上看，数a 的绝对值||a 就是a 到原点的绝对值. 4、绝对值的性质： (1) 0||||≥-=a a ;当且仅当时0=a 有0||=a .
第一章 实数集与函数 (2) ||||a a a ≤≤-. (3) )0(||;||>≤≤-?≤<<-?
欧阳光中数学分析答案
欧阳光中数学分析答案 【篇一：数学分析目录】 合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限 2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射和实函数 3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及使用7．1微分中值定理7．2taylor展开式及使用7．3lhospital法则及使用第八章导数的使用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类r［a，b］ 9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分和广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的使用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理使用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4abel-dirichlet判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的abel-dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章fourier级数15．1fourier级数15．2fourier级数的收敛性15．3fourier级数的
数学分析课本(华师大三版)-习题集与答案解析第十二章资料讲解
数学分析课本(华师大三版)-习题集与答案解析第十二章
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 第十二章 数项级数 证明题 1． 证明下列级数的收敛性,并求其和: (1) ++-+++1) 4)(5n (5n 111.1616.1111.61; (2) +⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 22312 131213121; (3) ∑++2) 1)(n n(n 1; (4) ∑++-+)n 1n 22n (; (5) ∑-n 212n . 2. 证明:若级数∑n u 发散,则∑n Cu 也发散(c ≠0). 3. 证明:若数列{a n }收敛于a,则级数a -a )a (a 11n n =+∑+.
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 4． 证明: 若数列{b n }有+∞=∞ →n n b lim ,则 (1)级数)b (b n 1n ∑-+发散; (2)当b n ≠0时,级数∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛-+11n b 1b 1n 1 5. 证明级数∑n u 收敛的充要条件是:任给正数ε,有某自然数N,对一切n>N 总有 |u N +u n+1+…+u n |<ε 6. 设∑∑n n v 、u 为正项级数,且存在正数N 0,对一切n>N 0,有 n 1n n 1n v v u u ++≤ 7. 设正项级数∑n a 收敛,证明级数∑2 n a 也收敛;试问反 之是否成立?
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 8. 设a n ≥0,且数列{na n }有界，证明级数∑2 n a 收敛. 9. 设正项级数∑n u 收敛,证明级数∑+1n n u u 也收敛. 10. 证明下列极限: (1) 0)(n!n lim 2 n n =∞→; (2) 1)0(a a )(2n!lim n! n >=∞→. 11. 设{a n }为递减正项数列,证明:级数∑∞=1n n a 与∑∞=0 m 2m m a 2同时收敛或同时发散. 12. 设a n >0, b n >0, C n =b n 1 n n a a +b n+1,证明: (1) 若存在某自然数N 0及常数K,当n>N 0时,有C n ≥k>0,则级数∑∞ =1n n a 收敛;
微积分和数学分析引论答案
微积分和数学分析引论答案 【篇一：高数参考书】 （国内教材大同小异） 1高等数学第Ⅱ卷:一元微积分与微分方程，居余马等著，清华大学出版社 2高等数学／西安交通大学高等数学教研室编．—2版．—北京：高等教育出版社，1986.2 3高等数学引论／华罗庚著．—北京：科学出版社，1984.7 习题集 1高等数学附册学习辅导与习题选解（同济五版）（注意：不是“高等数学习题全解指南”这本！） 6 微积分／（美）m.r.施皮格尔=murray r. spiegel著；施建兵等译．—北京：科学出版社，20024，344页；30cm．—（全美经典学习指导系列） 数学史与其他 1古今数学思想／(美)克莱因著．—上海：上海科学技术出版社，1981.7 4 一个数学家的自白／(英)g. h. 哈代著；李泳评注＝a mathematicians apology．—长沙：湖南科学技术出版社，2007网站 网易公开课 维基百科 【篇二：学习数学分析的一些建议和书籍】 本帖最后由 ke.xigui 于 2009-5-21 21:49 编辑 首先，只是觉得这篇东西写得很好，对学习数学分析的人可能有帮助，所以粘上来。希望 作者莫见怪。 旧版网站里许多有用的东西，但是现在找不到了，实在很可惜。 数学专业参考书整理推荐 学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了 整理： 从数学分析开始讲起：
数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的 一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难 的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实 随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉 轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单 的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或 者叫数学一的高数部分。 记住以下几点： 1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。 2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。 3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…, 第阿列夫遍。 4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习 题集。 6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始 相反。 7，经常回头看看自己走过的路 以上几点请在学其他课程时参考。 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推 荐1，2，7，8。另外建 议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺 序颠倒） 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷 错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面 个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好 像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。
数学分析(上)_习题集(含答案)
《数学分析（上）》课程习题集 一、单选题 1. 设)(x f 在D 内有界，并且0)(>x f ，则（ ） （A ）0)(inf >x f （B ）{}0)(inf ≥x f （C ）{}0)(inf =x f （D ）A 、B 、C 都不对 2. 函数][)(x x f =在97.3-的值为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）3- （D ）4- 3. 函数1 sin )1()(--= x x x x x f ，则0=x 是)(x f 的（ ） （A ）连续点 （B ）可去间断点 （C ）跃度非0的第一类间断点 （D ）第二类间断点 4. 函数?????=≠=0, 00 ,1sin )(2 x x x x x f 在0=x 处的导数为（ ） （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）不存在 5. 当x ?充分小，0)('≠x f 时，函数的改变量y ?与微分y d 的关系是（ ） （A ）y y d =? （B ）y y d ? （D ）y y d ≈? 6. 与x y 2=相同的函数有（ ） （A ）x y 210lg = （B ）x y 2lg 10= （C ）)sin(arcsin 2x y = （D ）x y 211 = （E ）2)2(x y = 7. 设数列}{n x 单调有界，则其极限（ ） （A ）是上确界 （B ）是下确界
（C ）可能是上确界也可能是下确界 （D ）不是上、下确界 8. 当0→x 时，下列变量为等价无穷小量的是（ ） （A ）)1ln(x +与x ； （B ）x cos 1-与2 x ； （C ）x +11与x -1 ； （D ）11-+x 与x 9. 下面哪个极限值为0（ ） （A ）x x x 1sin lim ∞→ （B ）x x x sin lim ∞→ （C ）x x x 1sin lim 0→ （D ）x x x sin lim 0→ 10. 函数)(x f 连续（ ） （A ）必可导 （B ）是)(x f 可导的充分条件 （C ）是)(x f 可导的必要条件 （D ）是)(x f 可导的充要条件 11. 函数)1ln(2x x y ++=是（ ） （A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）奇、偶函数 12. 给数列}{n x ，若在),(εε+-a a 内有无穷多个数列的点，（其中ε为一取定的正数）， 则（ ） （A ）数列}{n x 必有极限，但不一定等于a （B ）数列}{n x 极限存在且一定等于a （C ）数列}{n x 的极限不一定存在 （D ）数列}{n x 的极限一定不存在 13. 设???≥+<=0 ,0,)(x x a x e x f x ，要使)(x f 在0=x 处连续，则a =（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1- 14. 设)(x f 是连续函数，)(x F 是)(x f 的原函数，则下列结论正确的是（ ） （A ）当)(x f 是奇函数时，)(x F 必是偶函数 （B ）当)(x f 是偶函数时，)(x F 必是奇函数 （C ）当)(x f 是周期函数时，)(x F 必是周期函数 （D ）当)(x f 是单调增函数时，)(x F 必是单调增函数
数学分析习题集3篇
数学分析习题集 第一篇：函数极值与最值 1. 求函数 $f(x)=2x^3-6x^2-12x+20$ 的极值。 2. 求函数 $f(x)=\dfrac{1}{x^2+2x+3}$ 的最大值和最小值。 3. 求函数 $f(x)=\ln\left(x^2-2x+3\right)$ 的最大值和最小值。 4. 求函数 $f(x)=\sqrt{2-x-x^2}$ 的最大值和最小值。 5. 求函数 $f(x)=\dfrac{x}{1-x}$ 在 $(- \infty,1)$ 上的最大值和最小值，并说明在何处取得。 6. 已知函数 $y=\sin x+\cos x$，求其最大值和最小值。 7. 已知函数 $y=x^3-3x+2$，求其极值和最值。 8. 求函数 $f(x)=\sin x\cos x+\dfrac{1}{4}$ 的最大值和最小值。 9. 求函数 $f(x)=\dfrac{x^3}{3}- \dfrac{x^2}{2}+x$ 在 $[-1,2]$ 上的最大值和最小值。 10. 求函数 $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$ 的最大值和最小值。 第二篇：导数与微分 1. 求函数 $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$ 在 $x=2$ 处的导数和微分。 2. 求函数 $f(x)=\ln\left(x^2-2x+3\right)$ 在 $x=1$ 处的导数和微分。 3. 求函数 $f(x)=\sin 2x$ 在 $x=0$ 处的导数和微分。
4. 求函数 $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ 在 $x=2$ 处的导数和微分。 5. 求函数 $f(x)=\dfrac{1}{x^2-5x+6}$ 在 $x=1$ 处的导数和微分。 6. 求函数 $f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}$ 在 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 处的导数和微分。 7. 求函数 $f(x)=\ln\left(\dfrac{x^2}{1- x}\right)$ 在 $x=0$ 处的导数和微分。 8. 求函数 $f(x)=\dfrac{1}{1+\sqrt x}$ 在 $x=4$ 处的导数和微分。 9. 求函数 $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+2}}$ 在 $x=- 1$ 处的导数和微分。 10. 求函数 $f(x)=x^3-4x^2$ 在 $x=2$ 处的导数和微分。 第三篇：中值定理与极值判定 1. 证明函数 $f(x)=\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 内单调递增，并说明其导数与函数的单调性有何关系。 2. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导且 $f'(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调递增。 3. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导且 $f'(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调递减。 4. 证明函数 $f(x)=x^3-3x$ 在 $(- \infty,+\infty)$ 内有两个极值，并求出其最小值。 5. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且在 $a$ 处有极值，证明其导数在 $a$ 处不存在。 6. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，若 $f(a)\neq f(b)$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内必有
数学分析习题集精选精解
数学分析习题集精选精解 数学分析是现代数学基本学科之一，概念、定理、方法极其丰富，涉及范围极其广泛，理论和应用十分重要。数学分析学科的 理论极为严谨、精细，在应用中有着很高的实用价值。 然而，数学分析作为一门极其理论化和抽象的学科，其学习过 程十分困难。在学习和掌握数学分析的过程中，大量的习题训练 和解题经验显得尤为重要。因此，一本好的数学分析习题集对于 学习数学分析的人来说是非常有用的。 习题集可以提供给学生大量的题目，学生可以进行大量的练习，以掌握和加深自己对于数学分析的理解。同时，解题集中也会对 一些题目进行深入的解析，帮助学生更好的理解和掌握知识点。 针对这一需求，近年来出版了一些比较好的数学分析习题集。 本文将针对这些习题集进行简单的介绍和评价。 《数学分析习题集》（第二版）——郭宗明
这本习题集是一个经典的数学分析习题集，由中科院数学所的 郭宗明教授编写。该习题集考虑了教育和考研两个层面的需求， 涵盖了数学分析的大部分重点和难点。 该习题集的特点是难度适中，覆盖面广，注重题目选材，力求 每道题目既能锻炼基本功，又有一定的深度和难度，可以让读者 逐步进阶。同时，该习题集对每个章节进行了详细的解答和思路 分析，帮助读者快速理解和掌握相关知识点。 《高等数学分析与解题技巧》——朱松纪 朱松纪老师是清华大学数学系的教授，他的这本习题集主要针 对的是高等学校数学专业的学生，涵盖了数学分析的大部分知识 点和考点。 该习题集的特点是题目种类多样，难度较大，既包括基本习题，也包括难度较高的例题，适合于有一定基础的学生进行练习。同时，该习题集的解答也包含深入的思路分析和讨论，对于加深学 生对于数学分析的理解非常有帮助。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十九章
第十九章 含参量积分 一、证明题 1.证明下列各题: (1) ()⎰∞++-122222dx y x x y 在R 上一致收敛; (2) ⎰+∞-1y x dy e 2在[a,b]上一致收敛; (3) ⎰+∞ -0xy dy xe . (ⅰ)在[a,b](a>0)上一致收敛; (ⅱ)在[0,b]上不一致收敛; (4) ()⎰1 0dy xy ln 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡b ,b 1(b>1)上一致收敛; (5) ⎰1 0dy dx 在[]b ,∞-(b>1)上一致收敛. 2.设f 为[][]+∞⨯,c b ,a 上连续非负函数. I(x)=()⎰+∞ c dy y ,x f 在[a,b]上连续,证明I(x)在[a,b]上一致收敛. 3.证明:若f 为[][]+∞⨯,c b ,a 上连续函数,含参量非正常积分 I(x)=()⎰+∞ c dy y ,x f 在[a,b]上收敛,在x=b 时发散,则I(x)在[)b ,a 上不一致收敛. 4.设f 为[)[)+∞⨯+∞,b ,a 上非负连续函数, I(x)=()⎰+∞ b dy y ,x f 和 J(y)=()⎰+∞ a dx y ,x f 分别为[)+∞,a 和[)+∞, b 上连续函数,证明:若 ()⎰ ⎰+∞+∞a b dy y ,x f dx 与()⎰⎰+∞+∞ b a dx y ,x f dy 中有一个存在,则 ()⎰⎰+∞+∞a b dy y ,x f dx =()⎰⎰+∞+∞ b a dx y ,x f dy 5.设f(x,y)=()y x 11q p 1p e y x +--+-,证明
()⎰⎰+∞ +∞00,dy y x f dx =()⎰⎰+∞+∞ 00dx y ,x f dy . 二、计算题 1.求下列极限: (1)⎰-→αα+11220dx x lim ; (2)⎰α→α2 020xdx cos x lim . 2.设F(x)= ⎰-22x x xy dy e ,计算()x F '. 3.应用对参量的微分法,计算: (1) ()⎰+202222cos sin ln πdx x b x a . ()0b a 22≠+; (2) ()⎰+-x dx a x a 02cos 21ln . 4.设f 为可微函数,试求下列函数F 的二阶导数. (1) F(x)= ()()⎰+π0dy y f y x ; (2) F(x)=()⎰-b a dy y x y f , ()b a <. 5.从等式⎰-b a xy dy e =x e e bx ax ---出发,计算积分⎰+∞0 dx x e e bx ax ---(b>a>0) 6.计算下列积分(其中0>α,0>β): (1) ⎰∞+---02dx x e e x x a βα; (2) ⎰∞ +---0 sin 22xdx x e e x x βα. 7.计算下列Γ函数的值: ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ25,⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ25,⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γn 21,⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-Γn 21 8.运用欧拉积分计算下列积分(其中n 为自然数): (1) ⎰-102dx x x ; (2) ⎰+∞-022dx e x x n ; (3) ⎰2 046cos sin π xdx ; (4) ⎰22sin π xdx x ;
微积分和数学分析引论习题集第一卷
微积分和数学分析引论习题集第一卷 引言 微积分和数学分析是现代数学的重要分支，也是许多科学 和工程领域的基础。通过学习微积分和数学分析，我们可以更好地理解和描述自然界中各种现象和规律。 习题集是学习过程中的重要组成部分，通过做习题可以巩 固所学的知识，提高问题解决能力。这是《微积分和数学分析引论习题集第一卷》的目的所在。 本文档将根据该习题集的标题，为您介绍一些典型的习题 和解答，希望能够帮助您更好地理解微积分和数学分析的相关概念和应用。 一、极限和连续 1.1 极限的定义和性质 •习题1：证明 $\\lim_{x\\to a}(f(x)+g(x))=\\lim_{x\\to a}f(x)+\\lim_{x\\to a}g(x)$。 •习题2：计算$\\lim_{x\\to 0}\\frac{\\sin(x)}{x}$。
•习题3：证明 $\\lim_{x\\to+\\infty}(1+\\frac{1}{x})^x=e$。 解答 习题1： 根据极限的定义，我们需要证明对于任意给定的 $\\epsilon>0$，存在一个 $\\delta>0$，使得当 $0<|x- a|<\\delta$ 时，有 $|f(x)+g(x)-(L_1+L_2)|<\\epsilon$。 由于 $\\lim_{x\\to a}f(x)=L_1$ 和 $\\lim_{x\\to a}g(x)=L_2$，根据极限的定义，对于给定的$\\epsilon_1>0$，存在一个 $\\delta_1>0$，使得当 $0<|x-a|<\\delta_1$ 时，有$|f(x)-L_1|<\\epsilon_1$；对于给定的 $\\epsilon_2>0$，存在一个 $\\delta_2>0$，使得当 $0<|x-a|<\\delta_2$ 时，有 $|g(x)-L_2|<\\epsilon_2$。 现在我们取 $\\epsilon=\\epsilon_1+\\epsilon_2$，那么存在一个 $\\delta=\\min(\\delta_1,\\delta_2)$，当 $0<|x- a|<\\delta$ 时，有： $|f(x)+g(x)-(L_1+L_2)| \\leq |f(x)-L_1| + |g(x)-L_2| < \\epsilon_1+\\epsilon_2 = \\epsilon$ 所以 $\\lim_{x\\to a}(f(x)+g(x))=L_1+L_2$。
数学分析习题课讲义
数学分析习题课讲义 数学分析是学术范畴完整而严谨的系统理论，它不仅涉及许多关系、性质、构造和结构，而且解决实际问题，也显示出它极为复杂的和严格的系统结构。正是这种复杂性和严谨性，使得数学分析在社会上受到了普遍的重视和重视。 根据学者们的分析，数学分析具有许多不同的应用领域，例如：统计学中的数据分析、概率论的计算、美术数学的分析与绘图、制图计算机绘图、图像处理等都离不开数学分析。 我们以《数学分析习题课讲义》为例，来看看数学分析理论的应用。《数学分析习题课讲义》是一本深入介绍数学分析的书，它从以下几个方面深入介绍数学分析： 1、定理定义函数，及其应用，包括高次多项式、重根函数和复杂函数的定义，及其用于求解一元几何问题的应用； 2、近似法通过把复杂的函数分解成简单的函数，以求解一元数学问题； 3、数值分析用数值方法和计算机程序以求解复杂的函数； 4、泛函分析介绍一个特定函数集合的一般性特性。 在《数学分析习题课讲义》中，作者深入探讨了数学分析在实际问题中的应用。从书中可以看出，数学分析可以用来求解许多复杂的函数，表现出它的复杂性和严格性。 此外，数学分析还可以用来解决实际问题，例如，利用泛函分析来研究变量的变化规律，可以求得其最优解，从而解决最优化问题；
利用数值分析来计算非线性方程的解，从而解决许多高精度问题；使用统计方法来分析大量数据，发现其内在规律，从而解决复杂数据处理问题等等。 综上所述，数学分析是一个强大而完整的理论体系，它可以用来求解复杂的函数，而且可以解决多种实际问题。《数学分析习题课讲义》帮助我们更好地理解和掌握数学分析的理论和应用，有助于我们在学术和实践上的发展。
北大数学分析习题集的答案
北大数学分析习题集的答案 北大数学分析习题集的答案 北大数学分析习题集是一本备受学生喜爱的辅导书籍，它涵盖了数学分析领域 的各个重要知识点，并提供了大量的习题供学生练习。这本习题集不仅对于北 大的学生来说是一本宝贵的学习资料，对于其他高校的学生来说也是一本难得 的辅导书。然而，对于很多学生来说，习题集中的答案是他们学习的关键所在。下面，我们将为大家提供北大数学分析习题集中一些代表性题目的答案。 第一章：极限与连续 1. 设函数f(x) = x^2 - 3x + 2，求lim(x->2) f(x)的值。 解答：将x代入函数f(x)中，得到f(2) = 2^2 - 3*2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0。因此，lim(x->2) f(x)的值为0。 2. 设函数f(x) = sin(x)，求lim(x->0) f(x)的值。 解答：利用极限的性质，我们知道lim(x->0) sin(x) = sin(0) = 0。因此，lim(x- >0) f(x)的值为0。 第二章：导数与微分 1. 设函数f(x) = x^3 + 2x^2 + x，求f'(x)的表达式。 解答：根据导数的定义，我们可以求得f'(x) = 3x^2 + 4x + 1。 2. 设函数f(x) = e^x，求f'(x)的表达式。 解答：根据指数函数的导数公式，我们可以求得f'(x) = e^x。 第三章：积分与微积分基本定理 1. 计算∫(0 to 1) x^2 dx。 解答：根据积分的定义，我们可以求得∫(0 to 1) x^2 dx = [x^3/3] (0 to 1) =
1/3 - 0 = 1/3。 2. 计算∫(0 to π/2) sin(x) dx。 解答：根据积分的性质，我们可以求得∫(0 to π/2) sin(x) dx = [-cos(x)] (0 to π/2) = -cos(π/2) + cos(0) = -1 + 1 = 0。 通过以上题目的答案，我们可以看到北大数学分析习题集的答案是如何帮助学 生巩固和提高他们的数学分析能力的。这些答案不仅提供了正确的解题思路和 方法，还展示了数学分析中一些重要的概念和定理的应用。通过仔细研究这些 答案，学生们可以更好地理解和掌握数学分析的知识，提高他们的解题能力和 分析能力。 然而，我们也要提醒学生们，在使用习题集的答案时，不要完全依赖答案本身，而是要结合教材中的相关知识进行综合学习。答案只是一个参考，真正的学习 在于理解和掌握解题的原理和方法。只有通过自己的思考和实践，才能真正提 高数学分析的能力。 总结起来，北大数学分析习题集的答案是学生们学习数学分析的重要参考资料。通过仔细研究和理解这些答案，学生们可以提高他们的解题能力和分析能力。 然而，答案只是一个参考，学生们还需要结合教材中的相关知识进行深入学习。只有通过自己的思考和实践，才能真正掌握数学分析的知识。希望学生们能够 充分利用这本习题集，不断提高自己的数学分析水平。
数学分析课本(华师大三版)-习题集与答案解析02
第二章 数列极限 习题 §1数列极限概念 .5 1 (-1)n 1、设 a n = -------- , n=1 , 2,…，a=0。 %=0.1 , 22 =0.01 ，匕=0.001 ； 对备，电,与可找到相应的N,这是否证明了 a n 趋于0?应该怎样做才对; 2、按£ -N 定义证明: .................... 兀一 一 (4) lim sin —=0 ; (5) n n 3、根据例2,例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列: 1 n 1 1 (1) lim -= ； (2) lim 中3 ； (3) lim —3； (4) lim --； n —. n n 一.」 n 》二 n n 》二 3 一 1 1 (5) lim —= ； (6) lim h0 ； ⑺ lim —= o n 「.J 、2n n n 「.J n 2 4、证明：若lim a n = a ,则对任一正整数 k,有lim a n* = a 。 n - n T 二二 5、试用定义1 '证明: (1)数列｛1｝不以1为极限；(2)数列｛n (')n ｝发散。 n E =E ……, (-1)n 6、证明定理2.1,并应用它证明数列｛1十(―L ｝的极限是1。 n 7、证明：若lim a n = a ,则lim |a n |= |a| 。当且仅当a 为何值时反之也成立? n n — ' (1) 对下列s 分别求出极限定义中相应的 N: (2) (3) 对给定的£是否只能找到一个 N? (1) lim —n — =1 ; (2) n 一n 1 3n 2 n 3 lim -2 ---- =一；⑶ n --:: 2n 2 -1 2 limg ； n 一尸.： n n lim —- =0 (a>0 ) o n —a n
数学分析课本（华师大三版）-习题集与答案解析第十七章
数学分析课本（华师大三版）-习题集与答案解析第十七章 第十七章多元函数微分学 一、证明题 1. 证明函数 =+≠++=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,22222 22 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微. 2. 证明函数 =+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222 22 2 在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微. 3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数 f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续. 4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有 x y 1y x arctg ++≈x+y. 5. 试证: (1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和; (2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和. 6.设Z= () 2 2y x f y -,其中f 为可微函数,验证 x 1x Z ??+y 1y Z ??=2y
Z . 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明: x Z sec x + y Z ??secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ 之下.()2 x f +()2 y f 是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ). 则必有()2 x f +()2 y f =()2u g +()2 v g .(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数, F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t), 试求:F x (0,0)与F g (0,0) 10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式 F(tx,ty,tZ)=t k (x,y,z)(t>0) 则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是: ()z ,y ,x x F x +()z ,y ,x yF y +()z ,y ,x ZF x =KF(x,y,z). 并证明:Z= xy y x xy 2 2 2-+为二次齐次函数. 11..设f(x,y,z)具有性质f ( )
数学分析教程常庚哲答案
数学分析教程常庚哲答案 【篇一：数学分析】 需要说明的是，在80年代初，多数教材都是单位署名的。该书编者 有江泽坚、徐利治这些大家。我最下功夫的该书中册的“分析基础” 一章。印象很深的还有“不等式”等选学内容。该书的突出特色是喜 欢从哲学高度讨论，引用马克思和列宁等的话多是漫无边际牵强附会，有些文革遗风；个别也有启发，如把导数理解为个算子而不是 数字，对后来接触导映射等有帮助。还有些方法论的讨论，在学后 继课时感到还是很精辟。例如，说区间套的方法直观易于接受，但 抽子数列的方法更有一般性。该书的问题是有些重要内容缺失，如 没有限覆盖定理；而有的内容太少太浅，如函数可积性的讨论。 复旦大学数学系陈传璋等的两册《数学分析》内容比较全，而且也 没有变分法之类超出数学分析范畴的内容。这套书比较平淡，没有 明显缺陷，也没有突出亮点。或许是比较理想的教材，但我个人不 太喜欢。在我看来，是樊映川《高等数学讲义》的理科版。顺便一提，作者之一欧阳光中先生写过本集合论的通俗小册子，中学时读过，印象深刻。 当时还看过武汉大学数学系主编的两册《数学分析》。该书总体感 觉平平，但在分析基础部分有个别处未见的证明，从实数的描述性 而非严格定义出发证明了上确界存在定理。此外，路见可先生执笔 的多元微积分中讲了压缩映象定理。 由上述回忆可知，我对分析基础比较感兴趣，因此，要找些实数的 理论看。当时，从图书馆借了兰道的《分析基础》。后来，又买了 新出的《实数的构造理论》。不过，现在的印象已经很淡了。 像所有国内认真的数学分析学习者一样，我也读过3卷8册的菲赫 金格尔茨《微积分学教程》。学过国内的教材，读起来不是很吃力。也作过一小部分吉米多维奇《数学分析习题集》。我不喜欢大量计 算题。 还看过华罗庚的《高等数学引论》。我不是很喜欢，内容丰富但驳杂；有启发性但缺乏系统性；名词也与其它书不统一，“数列”被称 为“贯”。假如华老的书稿没有遗失，出全后足可以媲美斯米尔诺夫 的《高等数学教程》。不过，我虽然买了全套斯米尔诺夫，但并不 喜欢。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第九章
第九章 定积分 一、填空题 1.=-+ +-+ -∞ →_412 411 41( lim 2 2 2 2 2 n n n n n _________ 2．=+⎰⎰→x x t x dt t t dt t 0 sin 0 1 sin )1(lim __________ 3． [] =⎰-2 2 2,1max dx x __________ 4．设⎰+=x dt t t x f 02sin 1cos )(，则=+⎰202)(1)('π dx x f x f ___________ 5．设)(x f 在[]4,0上连续，且 ⎰--=2 1 23)(x x dt t f ，则=)2(f ___________ 6．=+-⎰→4 2 1ln sin lim x x tdt x x _________ 7．=++⎰-dx x x x 22 2 2 )cos 1(sin π π______________ 8． []⎰-=-++-1 1 )()(22ln dx x f x f x x _________，其中)(x f 连续。 10．设0)()(21 =-+⎰x x f dx x f ，则=⎰1 )(dx x f _______________ 11．若 ⎰=+101sin b dx x x ，则=+⎰102)1(cos dx x x _________ 12．设)(x f 连续，则=-⎰x dt t x tf dx d 02 2)(____________ 13．=⎰0 22cos x dt t x dx d ______________ 14． =-⎰π π 222cos sin dx x x ____________ 15． =+-⎰-dx x x 1 12cos 21sin αα ____________ 16． []=-⎰π 2 sin )(cos 'cos )(cos dx x x f x x f ____________ 17．设)(x f 有一个原函数x x sin ，则=⎰ππ2 )('dx x xf ____________