数学分析练习题
数学分析练习题
数学分析练习题
数学分析是一门重要的数学学科，它研究的是数学中的极限、连续、微分、积
分等概念和性质。通过学习数学分析，我们可以更好地理解和应用数学知识。
而练习题则是巩固和应用所学知识的重要方式。在这篇文章中，我们将探讨一
些数学分析的练习题，帮助读者更好地理解和应用相关概念。
一、极限练习题
1. 计算极限：lim(x→0) (sinx/x)。这是一个经典的极限问题，可以通过泰勒级数
展开或利用极限的定义来求解。通过这个练习题，我们可以加深对极限的理解，并熟悉不同的求解方法。
2. 证明极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。这是一个重要的极限关系，它揭示了自然对数e与指数函数的联系。通过证明这个极限，我们可以深入理解e的定义
和性质。
二、连续性练习题
1. 设函数f(x) = x^2，证明f(x)在区间[0,1]上是连续的。通过证明函数的连续性，我们可以理解连续函数的性质和重要定理，如介值定理和零点定理。
2. 设函数f(x) = |x|，证明f(x)在整个实数轴上是连续的。这是一个稍微复杂一些
的例子，通过证明绝对值函数的连续性，我们可以进一步理解不同类型函数的
连续性。
三、微分练习题
1. 求函数f(x) = x^3的导数。通过求解导数，我们可以熟悉微分的定义和基本
运算法则，并掌握求解各种函数的导数的方法。
2. 求函数f(x) = e^x的高阶导数。通过求解高阶导数，我们可以进一步理解指数函数的性质，并学习应用泰勒级数展开来求解复杂函数的导数。
四、积分练习题
1. 计算定积分：∫(0,1) x^2 dx。通过计算定积分，我们可以熟悉积分的定义和基本运算法则，并理解定积分的几何意义。
2. 计算不定积分：∫(x^2+2x) dx。通过计算不定积分，我们可以掌握积分的基本运算法则，并学习应用不定积分解决实际问题。
通过以上练习题的学习和解答，我们可以加深对数学分析概念和性质的理解，提高数学分析的应用能力。同时，我们还可以通过与他人的讨论和交流，进一步拓宽思路，发现更多有趣的数学问题和解法。
总结起来，数学分析练习题是巩固和应用数学分析知识的重要方式。通过练习题的解答，我们可以加深对数学分析概念和性质的理解，并提高解决实际问题的能力。希望读者通过这些练习题的学习，能够更好地掌握数学分析的知识和方法，为日后的学习和应用打下坚实的基础。
数学分析20曲线积分总练习题(含参考答案)
第二十章 曲线积分 总练习题 1、计算下列曲线积分： (1)⎰L yds , 其中L 是由y 2=x 和x+y=2所围的闭曲线； (2)⎰L ds y , 其中L 为双纽线(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2)； (3)⎰L zds , 其中L 为圆锥螺线x=tcost, y=tsint, z=t ，t ∈[0,t 0]； (4)ydx x dy xy L 22-⎰, 其中L 为以a 为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点B ； (5)⎰--L y x dx dy , 其中L 是抛物线y=x 2-4, 从A(0,-4)到B(2,0)的一段； (6)dz x dy z dx y L 222++⎰,L 是维维安尼曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=ax (z ≥0,a>0),若从x 轴正向看去，L 是沿逆时针方向进行的. 解：(1)解方程组⎩⎨⎧=+=2 2y x x y ，得⎩⎨⎧-==24 y x ，⎩⎨⎧==11y x . ∴曲线L 抛物线段为x=y 2, y ∈[-2,1], ds=241y +dy; 直线段为x=2-y, y ∈[-2,1], ds=2dy; ∴⎰L yds =dy y y ⎰-+1 22 41+dy y ⎰-1 22= 12 3 2)41(12 1 -+y + 12 2 2 2-y = 22 3)171755(121-- (2)双纽线的极坐标方程为：r 2=a 2cos2θ, θ∈[-4π,4π ]∪[ 43π,4 5π], ∴ds=θd r r 2 2 '+=θθ d r a r 2 242 2sin +=θd r a 2，由被积函数与L 的对称性， 有⎰L ds y =4θθπ d r a r ⎰402 sin =4a 2θθπd ⎰40sin =4a 2⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-221.
数学分析课本-习题及答案01
第一章 实数集与函数 习题 §1实数 1、 设a 为有理数，x 为无理数。证明： （1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。 2、 试在数轴上表示出下列不等式的解： （1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。 3、 设a 、b ∈R 。证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。 4、 设x ≠0，证明|x+x 1|≥2，并说明其中等号何时成立。 5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。 6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。 你能说明此不等式的几何意义吗 7、 设x>0，b>0，a ≠b 。证明x b x a ++介于1与b a 之间。 8、 设p 为正整数。证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。 9、 设a 、b 为给定实数。试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： （1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|0（a ，b ，c 为常数，且a 练习题1 1. 0 lim ()x x f x A →= 等价于以下 （ ）. （A ）00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时，有|()|f x A ε-≥； （B ）00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时，有|()|f x A ε-<； （C ）00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时，有|()|f x A ε-≥； （D ）00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时，有|()|f x A ε-<； 2．下列等式成立的是（ ）. （A ）11 sin lim =∞→x x x ； （B ）11sin lim 0=→x x x ； （C ）1sin lim =∞→x x x ； （D ）11 sin 1lim 0=→x x x . 3. a a n n =∞ →lim ，它等价于( ). A.,0,0>?>?εN 当ε<->||,a a N n n 时； B.,0>?ε在{}n a 中除有限个项以外，其余所有项都落在邻域);(εa U 之内； C. {}{}k k a a 212,-都收敛； D. {}n a 中有无穷多个子列都收敛于a ． 4. 设{} n a 为单调数列，若存在一收敛子列{} j n a ，这时有( ). A. j n j n n a a ∞ →∞ →=lim lim ； B. {} n a 不一定收敛； C. {} n a 不一定有界； D. 当且仅当预先假设了{} n a 为有界数列时，才有Ａ成立． 5.设)(x f 在0x 可导，则=??--?+→?x x x f x x f x ) ()(lim 000 （ ）． A. )(20x f '- B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(0x f '- 6. 下列结论中正确的是（ ）． A.若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导． B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导． 第二章 数列极限 一、填空题 1．∑=∞ →=++++N n n n 1 (3211) lim _________； 2． - +∞ →3(lim n n n 3．= + ++ + ++++ ∞ →n n n 3 19 13 1121 41211lim ； 4．已知 22 35 lim 2 =-++∞ →n bn an n ，则 =a ， =b ； 5．=-+∞ →n n n n n 3 535lim ； 6．已知2003) 1(lim =--∞ →b b a n n n n ，则 =a ， =b ； 7．=+++ ++++ ++∞ →)1211 1( lim 2 2 2 n n n n n n n n ； 8． =- ??-- ∞ →)11()3 11)(2 11(lim 2 22n n ； 二、选择填空 1． “对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时恒有ε2||≤-a a n ”是数列 }{n a 收敛于a 的 A 充分条件但非必要条件。 B 必要条件但非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分条件又非必要条件。 2．数列}{n a 不收敛于a 的充要条件是 A 对于任给 0>ε，满足ε<-||a a n 的项只有有限项。 B 对于任给 0>ε，总有相应的项n a ，ε≥-||a a n 。 C 存在某个正数0ε，除有限项外，都有0||ε≥-a a n D 存在某个正数0ε，有无穷多项满足0||ε≥-a a n 3． 设数列n x 与n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是 A 若n x 发散，则n y 必发散。 B 若n x 无界，则n y 必有界。 C 若n x 有界，则n y 必为无穷小。 D 若 n x 1为无穷小，则n y 必为无穷小。 4． 设}{n a 收敛，}{n b 发散，则 A }{n n b a 必收敛。 B }{n n b a 必发散。 C }{n n b a +必收敛。 D }{n n b a +必发散。 5． 设数列}{n a 无上界且 ,2,1,0=≠n a n ，则 A }{1 -n a 必有上界 B 对于任给定的M>0，必有无穷多项M a n >。 C 对于足够大的M>0，小于M 的项n a 只有有限个。 D 存在某个正数M 和正整数N ，当N n ≥时有M a n > 三、计算题 1．设a n = n 1) (1n -+，n=1,2,…, a=0. (1) 对下列的ε分别求出定义中的N; ε1=0.1, ε2=0.01, ε3=0.001; (2) 对ε1、ε2、ε 3可以找到相应的 N 是否证明了 n 1) (1n -+趋于0,应该怎样做才对; (3) 对给定的ε是否只能找到一个N? 2．求下列极限: (1) 3 2n 4n 13n n lim 3 2 3n ++++∞ →; (2) 2 n n 2n 1lim +∞ →; (3) 1 n 1 n n n 3 (-2) 3(-2)lim ++∞ →++; (4) () n n n n 1 lim 2 n - +∞ →; 4 数学分析练习题 1.函数f^y) = x2y-xe y在(1 ,0)处方向导数的最大值等于 什2兀+ X Lk心------------------------- 3 设/“)是连续函数，J=L/(x) = x + 2p(r)Jr,M/(x) = 5.函数项级数u n(x)在£)上一致收敛于函数S(Q的(w,N)定义是 n=l 6. 7.由曲线y = J｛x) , x = a , x = b和尤轴围成的llll边梯形绕尤轴旋转的旋转体体积 V v= 严dx 8已知反常积分Jo 甬尹收敛于1,则比= 0 1 9.求级数2 + 4 + - + 100 +工莎的和S = _________ /I=I 2 10设。00,兄=1,2,….且｛皿“｝有界，则工盗的敛散性为_______ • 11.函数/W = c A的幕级数展开式为___________________________ . 12.设平面点集E G/?2,点A W R2，“ A为E的内点”的定义是： __________ _______ 见p86 __________________________________________________________ .1 . 1 ° xsin —+ ysin-, xy H 0 “、 13 若 f(x,y)= y - x - ,(X,)，)H(0,0)则二重极限r hm f(x9y) = 0, 巧=0 14函数z =兀v，则全微分dz = ____________________ . 15 设/(x,y,?)=A>2+yF，则y 在点Po(2,_l,l)的梯度为 16.改变累次积分/=pA^7(x,.y)6/y的次序，则". 17以曲面z = Ax j)(其屮几叨)20)为顶，gy平面上的区域D为底的町顶柱体的体积 18函数z是由方^.e x -xyz = 0所确定的二元函数，贝ij全微分dz\{}}= _____ ・ 一、选择题 1.若0 () lim 1sin x x x φ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。 A.sin ||x B.ln(1)x - C. 1 1.【答案】D 。 2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0() lim 1tan sin x f x x x →=-则'''f (0)=（ ） A.5 B.3 C.1 D.0 2. 【 答 案 】 B. 解 析 由 洛 必达 法 则 可 得 300 02() '() ''() lim lim lim 1 tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x x x x -→→→==-+-42200''()''() lim lim 16cos sin 2cos cos 21 x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3x B.3 4 x C.3 2 x D.x 3.【答案】A.解析 .1 2 2 33 31233 2000311(1)1133lim lim (1)3313 x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。 4.函数2sin f ()lim 1(2)n n x x x π→∞=+的间断点有（ ）个 A.4 B.3 C.2 D.1 4.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故 20.5sin 12lim 1(2(0.5))2n x π →-- =- +⨯-， 20.5sin 12lim 1(20.5)2n x π →= +⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。 5.已知()bx x f x a e =-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ） 统计专业和数学专业数学分练习题 计算题 １. 试求极限 .4 2lim )0,0(),(xy xy y x +-→ 2. 试求极限.)() cos(1lim 222222) 0,0(),(y x y x e y x y x ++-→ 3. 试求极限.1 sin 1sin )(lim )0,0(),(y x y x y x +→ 4. 试讨论.lim 4 22 )0,0(),(y x xy y x +→ 5. 试求极限 .1 1lim 2 2 22) 0,0(),(-+++→y x y x y x 6. ),(xy y x f u +=,f 有连续的偏导数,求 .,y u x u ∂∂∂∂ 7. ,arctan xy z =,x e y = 求 .dx dz ８. 求抛物面 2 22y x z +=在点 )3,1,1(M 处的切平面方程与法线方程. ９. 求5362),(2 2+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式. 10. 求函数)2(),(2 2y y x e y x f x ++=的极值． 1１. 叙述隐函数的定义. 1２. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 1３. 叙述隐函数可微性定理的内容. 1４． 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数. 15． 讨论笛卡儿叶形线 0333=-+axy y x 所确定的隐函数)(x f y =的一阶与二阶导数. 16. 讨论方程 0),,(323=-++=z y x xyz z y x F 在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数. １7. 设函数23 (,,)f x y z xy z =, 方程 2223x y z xyz ++=. (1)验证在点0(1,1,1)P 附近由上面的方程能确定可微的隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =; （2)试求(,(,),)x f x y x z z 和(,,(,))x f x y z x y ,以及它们在点)(x f y =处的值. 18． 讨论方程组 数学分析精选习题 数学分析是一门基本学科，是其他大多数数学分支学科的基础 和突破口。学习数学分析时，除了理论知识的掌握，习题的做法 与解法也是非常重要的一部分。下面我将介绍一些精选的数学分 析习题。 一、一元积分学 1、计算定积分 $\int_{1}^{2}(x-1)^{2} dx$ 分析：将 $(x-1)^{2}$ 展开后，进行积分，得到 $\int_{1}^{2}x^{2}-2x+1dx$，计算可得 $\frac{1}{3}$。 2、计算定积分 $\int_{0}^{1}\frac{dx}{(x+1)^{2}}$ 分析：利用换元法可得到$\int\frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}+C$，代回原式，得到$\left[-\frac{1}{x+1}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$。 二、多元积分学 1、计算二重积分 $\iint_{D}xydxdy$，其中 $D=\{(x,y)|1\leq x\leq 2,0\leq y\leq1\}$ 分析：直接进行积分即可得到 $\frac{3}{4}$。 2、计算三重积分 $\iiint_{\Omega}xe^{x}\sin y dxdydz$，其中$\Omega=\{(x,y,z)|0\leq x\leq 1,0\leq y\leq\pi,0\leq z\leq2\}$ 分析：先对 $x$ 进行积分，得到 $\frac{1}{2}(e-e^{0})$，然后对 $y$ 进行积分，得到0，最后对 $z$进行积分，得到 $2(e-1)$。 三、微分方程 1、求解微分方程 $\frac{dy}{dx}+y=1-x$，$y(0)=0$。 分析：通过对变量分离的方法，得到 $y=1-x-Ce^{-x}$，代入初始条件，得到 $y=1-(x+1)e^{-x}$。 2、求解微分方程 $\frac{dy}{dx}-y=x^{2}$。 数学分析十讲习题册、课后习题答案_ 数学分析十讲习题册、课后习题答案习题1-1 1．计算下列极限（1）, 解：原式= == （2）； 解：原式（3）解：原式（4），解：原式（5）解：原式= （6），为正整数； 解：原式2．设在处二阶可导，计算. 解：原式3．设，，存在，计算. 解： 习题1-2 1.求下列极限（1）; 解：原式，其中在与之间（2）; 解：原式===，其中在与之间（3）解：原式，其中在与之间（4）解：原式，其中其中在与之间2．设在处可导，，计算. 解：原式习题1-3 1．求下列极限（1）, 解：原式（2）; 解： （3）; 解：原式（4）; 解：原式2. 求下列极限（1）; 解：原式（2）; 解：原式习题1-4 1．求下列极限（1）； 解：原式（2）求； 解：原式（3）； 解：原式（4）； 解：原式此题已换3．设在处可导，，.若在时是比高阶的无穷小，试确定的值. 解：因为，所以从而解得： 3．设在处二阶可导，用泰勒公式求解：原式4. 设在处可导，且求和. 解因为所以,即所以习题1-5 1. 计算下列极限(1) ; ; 解：原式(2) 解：原式2．设，求(1) ； 解：原式(2) ，解：由于，所以3．设，求和. 解：因为，所以且从而有stolz定理，且所以，4．设，其中，并且，证明：. 证明：因，所以，所以，用数学归纳法易证，。 又，从而单调递减，由单调有界原理，存在，记在两边令，可得所以习题1-6 1. 设在内可导，且存在. 证明: 证明： 2. 设在上可微，和存在. 证明:. 证明：记（有限），（有限），则 从而所以 3. 设在上可导，对任意的, ，证明:. 证明：因为，所以，由广义罗必达法则得4．设在上存在有界的导函数，证明:. 证明：，有界，，所以习题2-1 （此题已换）1. 若自然数不是完全平方数，证明是无理数. 1.证明是无理数证明：反证法. 假若且互质，于是由可知,是的因子，从而得即,这与假设矛盾2. 求下列数集的上、下确界. （1）解： （2）解： （3）解： （4）. 解： 3．设，验证. 证明：由得是的一个下界. 另一方面，设也是的下界，由有理数集在实数系中的稠密性，在区间中必有有理数，则且不是的下界.按下确界定义， . 4．用定义证明上（下）确界的唯一性. 证明：设为数集的上确界，即.按定义，有.若也是的上确界且 .不妨设，则对有即矛盾. 下确界的唯一性类似可证习题2-2 1．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界. 证明：设是的一个下界，不是的下界，则. 令，若是的下界，则取； 若不是的下界，则取. 令，若是的下界，则取； 若不是的下界，则取； ……，按此方式继续作下去，得一区间套，且满足： 是的下界，不是的下界. 由区间套定理，且. 下证： 都有，而，即是的下界. 由于，从而当充分大以后，有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界2. 设在上无界.证明：存在, 使得在的任意邻域内无界. 证明：由条件知，在上或上无界，记使在其上无界的区间为； 再二等分，记使在其上无界的区间为，……，继续作下去，得一区间套，满足在上无界. 根据区间套定理，，且. 因为对任意的，存在，当时，有，从而可知在上无界3.设,在上满足,,若在上连续, 在上单调递增. 证明：存在,使. 证明：记且二等分.若，则记若则记. 类似地,对已取得的二等分,若，则记； 第二章 数列极限 习题 § 1 数列极限观点 1、 a n = 1 ( 1)n ， n=1， 2，⋯， a=0。 n （ 1） 以下ε分 求出极限制 中相 的 N ： 1=， 2=， 3=； （ 2） 1 ， 2 ， 3 可找到相 的 N ， 能否 了然 a n 于 0 怎 做才 ； （ 3） 定的ε能否只好找到一个N 2、按ε— N 定 明： 2 3 ；（ 3） lim n! n ； （ 1） lim n =1；（2） lim 3n 2n n n 1 n 2n 1 2 n n （ 4） lim sin n =0；（ 5） lim n n =0（ a>0）。 n n a 3、依据例 2，例 4 和例 5 的 果求出以下极限，并指出哪些是无 小数列： （ 1） lim 1 ；（ 2） lim n 3 ；（ 3） lim 13 ；（4） lim 1 n ； n n n n n n 3 （ 5） lim 1 n ；（ 6） lim n 10 ；（ 7） lim n 1 。 n 2 n n 2 4、 明：若 lim a n = a ， 任一正整数 k ，有 lim a n k = a 。 n n 5、 用定 1 明： （ 1）数列 { 1 }不以 1 极限；（ 2）数列 { n ( 1) n } 散。 n 6、 明定理，并 用它 明数列 ( 1) n } 的极限是 1。 { 1 n 7、 明：若 lim a n = a ， lim | a n |= |a| 。当且 当 a 何 反之也建立 n n 8、按ε— N 定 明： （ 1） lim ( n 1 n ) =0 ； n （ 2） lim 1 2 3 3 n =0； n n 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章 第六章 微分中值定理及其应用 一、 填空题 1．若0,0>>b a 均为常数，则=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛+→x x x x b a 3 2 lim ________。 2．若2 1 sin cos 1lim 0 =-+→x x b x a x ，则=a ______，=b ______。 3．曲线x e y =在0=x 点处的曲率半径=R _________。 4．设2442 -+=x x y ，则曲线在拐点处的切线方程为 ___________。 5．= -+ →x e x x x 10 )1(lim ___________。 6．设) 4)(1()(2 --=x x x x f ，则0)(='x f 有_________个根， 它们分别位于________ 区间； 7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的 __________=ξ； 8．函数3 )(x x f =与2 1)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定 理条件的_____=ξ； 9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ； 10．函数 2 )(x e x f x =的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33-=的极大值点是______，极大值是 A.没有实根 B.有两个实根 C.有无穷多个实根 D.有且仅有一个实根 5．已知)(x f 在0=x 处某邻域内连续，2cos 1) (lim 0 =-→x x f x ，则在0=x 处)(x f ( )。 A.不可导 B.可导且2)0('=f C.取得极大值 D.取得极小值 6．设函数)(x f 在区间[)+∞,1内二阶可导，且满足条件0)1()1(='=f f ，1>x 时0)(<''x f ，则x x f x g ) ()(=在[)+∞,1内 ( ) A ．必存在一点ε，使0)(=εf B ．必存在一点ε，使0)(='εf C ．单调减少 D. 单调增加 7．设)(x f 有二阶连续导数，且0)0(='f ，1) (lim 0=''→x x f x ，则( ) A ．)0(f 是)(x f 的极大值 B.)0(f 是)(x f 的极小值 C ．())0(,0f 是曲线)(x f y =的拐点 D ．)0(f 不是)(x f 的极值，())0(,0f 也不是曲线)(x f y =的拐点 8．若)(x f 和)(x g 在0x x =处都取得极小值，则函数 数学分析第四版下册课后练习题含答案前言 《数学分析（第四版）》是由中国地质大学出版社出版的一套教材，该教材适用于大学数学分析课程的教学。作为研究数学的基础学科，数学分析的学习是深入理解数学各领域的前置条件。为了帮助各位学生更好地完成课程学习，本文将给出《数学分析（第四版）下册》的课后练习题答案。 第一章 选择题 1.选D. 2.选B. 3.选A. 4.选C. 5.选A. 填空题 1.$\\frac{a}{2}$， $\\frac{b}{2}$， $\\sqrt{\\frac{a^2}{4}+\\frac{b^2}{4}}$. 2.$\\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)$. 论述题 1.略 第二章 选择题 1.选D. 2.选B. 3.选A. 4.选C. 5.选A. 填空题 1.$\\ln a - \\ln b$. 2.$\\frac{a}{\\sqrt{2}}$， $-\\frac{a}{\\sqrt{2}}$. 论述题 1.略 第三章 选择题 1.选D. 2.选B. 3.选A. 4.选C. 5.选A. 填空题 1.a n=n3−n 2. 2.不成立. 论述题 1.略 第四章 选择题 1.选D. 2.选B. 3.选A. 4.选C. 5.选A. 填空题 1.$\\frac{1}{2}x^2+\\frac{1}{2}(y-2x)^2+1$， $\\sqrt{2}$. 2.$\\frac{1}{2}\\sqrt{2}$. 论述题 1.略 结语 本文提供了《数学分析（第四版）下册》课后习题的解答，希望对各位学生完成课程学习有所帮助。如有不懂之处，请咨询相应的教师或学长学姐。 第二十二章 曲面积分 4 场论初步 一、场的概念 概念：若对全空间或其中某一区域V 中每一点M ，都有一个数量(或向量)与之对应，则称V 上给定了一个数量场(或向量场). 温度场和密度场都是数量场. 若数量函数u(x,y,z)的偏导数不同时为0, 则满足方程u(x,y,z)=c(常数)的所有点通常是一个曲面. 曲面上函数u 都取同一个值时，称为等值面，如温度场中的等温面. 重力场和速度场都是向量场. 设向量函数A(x,y,z)在三坐标轴上投影分别为：P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), 则A(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), 其中P , Q, R 为定义区域上的数量函数，且有连续偏导数. 设向量场中的曲线L 上每点M 处的切线方向都与向量函数A 在该点的方向一致，即 P dx =Q dy =R dz , 则称曲线L 为向量场A 的向量场线. 如, 电力线、磁力线等都是向量场线. 二、梯度场 概念：梯度是由数量函数u(x,y,z)定义的向量函数grad u=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, 且grad u 的方向是使 l u ∂∂达到最大值的方向, 其大小为u 在这个方向上 的方向导数. 所以可定义数量场u 在点M 处的梯度grad u 为在M 处最大的方向导数的方向，及大小为在M 处最大方向导数值的向量. 因为方向导数的定义与坐标系的选取无关，所以梯度定义也与坐标系选取无关. 由梯度给出的向量场，称为梯度场. 又数量场u(x,y,z)的等值面u(x,y,z)=c 的法线方向为⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, 所以 grad u 的方向与等值面正交, 即等值面法线方向. 引进符号向量： ▽=⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ,,. 将之视为运算符号时, grad u=▽u. 基本性质：若u,v 是数量函数, 则 1、▽(u+v)=▽u+▽v ； 2、▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v. 特别地▽u 2=2u(▽u)； 3、若r=(x,y,z), φ=φ(x,y,z), 则d φ=dr ▽φ； 4、若f=f(u), u=u(x,y,z), 则▽f=f ’(u)▽u ； 5、若f=f(u 1,u 2,…,u n ), u i =u i (x,y,z) (i=1,2,…,n), 则▽f=i n i i u u f ∑ =∇∂∂1. 证：1、▽(u+v)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+∂∂+∂∂+∂z v u y v u x v u )(,)(,)(=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂z v z u y v y u x v x u ,, =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,+⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v y v x v ,,=▽u+▽v. 2、▽(uv)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z uv y uv x uv )(,)(,)(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂z v u v z u y v u v y u x v u v x u ,, =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v u y v u x v u ,,+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂v z u v y u v x u ,,=u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v y v x v ,,+⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,v =u(▽v)+(▽u)v. 当u=v 时，有▽u 2=▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v =2u(▽u). 习题 小组成员： 刘浩思、梅卓、韩亚松、陈薇、 石 帆、陈越 一.选择题(每题一分，共1*10=10分) 1.已知函数f (x)所对应的一个原函数为F(x),则()与 d(“(xXx) 等价 A> f(x)dx B. (/(x) + c)dx C. F(x) De F(x) + c 2•下面计算结果正确的是J 弓=() A. lnx B. lnx + c ClnI%l D. lnlxl+c 3•当a, b,c 满足()条件时，心)3+加+。的原函数仍 x(x + l) 是有理函数 D. a =0, c=l, b=l 4. 下列反常积分收敛的是() 5. 如果/(x)在［T, 1］上连续，且平均值为2,则［j\x)dx=() A. 1 B.-1 C. 4 D. -4 6•若『戶力=|，则2 ( ). A. 1 B. 2 C In2 D 丄 ln2 2 7. 设/(x)是连续函数，且F(x)= { 则 F'(x)=(). A. a=0, b 二0, c 二R B. a =0, c 二0, b 二R C. a 二 1, b 二 1, c 二 1 \nxdx A. -e-x f(e~x)-f(x) B・-厂门厂)+几兀) C.e-x f(e~x)-f(x) D.厂/(厂) + /(兀) 8.—[sint2dt=() dx l A. sinx2 -sintz2 B・ 2xcosx2 C・ sinx2 D. 2xsmx2 9.设XT O时，与x"是同阶无穷小，则n=() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.设函数/(x), g(x)是大于0的可导函数，且g(x)f (x)-f(x)g'(x)<0,则当啊a 2023高中数学数学分析复习题集附答案 2023高中数学数学分析复习题集附答案 一、函数与极限 1. 某物体在时刻t的位移函数为s(t) = 2t^2 - 3t + 1，请计算物体在t = 2时的位移与速度。 解答： 代入t = 2，得到s(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3，因此物体在t = 2时的位移为3。 速度函数v(t)是位移函数的导数，即v(t) = s'(t) = 4t - 3。代入t = 2，得到v(2) = 4(2) - 3 = 5，因此物体在t = 2时的速度为5。 2. 已知函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6，求f(x)的极值。 解答： f'(x) = 3x^2 + 4x - 5。令f'(x) = 0，解得x = 1和x = -5/3。 将x = 1和x = -5/3代入f(x)中，得到f(1) = 2和f(-5/3) = -64/27。 因此，f(x)的极小值为-64/27，在x = -5/3处取得。 二、数列和级数 1. 已知数列{an}满足a1 = 2，an+1 = (an + 3)/2。求数列的通项公式。 解答： 观察数列的前几项，可以猜想数列的通项公式为an = 2 - 2^n。 下面使用数学归纳法证明猜想： （1）当n = 1时，an = 2 - 2^1 = 0；符合题意。 （2）假设当n = k时，an = 2 - 2^k成立，即ak = 2 - 2^k。 （3）当n = k + 1时，an+1 = (an + 3)/2 = (2 - 2^k + 3)/2 = (5 - 2^k)/2 = 2 - 2^k-1。 根据数学归纳法，an = 2 - 2^n成立，是数列的通项公式。 2. 求级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2)的和。 解答： 根据数学定理，级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2)的和为π^2/6。 三、导数与微分 1. 求函数f(x) = x^3 - 2x在x = 1处的导数值与二阶导数值。 解答： f'(x) = 3x^2 - 2。代入x = 1，得到f'(1) = 3(1)^2 - 2 = 1。 二阶导数f''(x) = 6x。代入x = 1，得到f''(1) = 6(1) = 6。 因此，函数f(x)在x = 1处的导数值为1，二阶导数值为6。 2. 已知函数f(x) = 2e^x，求f'(x)和f''(x)。 解答： 数学分析综合算式练习题 一、综合算式 1. 计算下列各式的值： （1）$5 + 2 \times 3 - 4 \div 2$ （2）$6 \times (4 - 3) + 8 \div 2$ （3）$10 \div 2 - (3 + 1) \times 2$ （4）$(3 + 4) \times (2 - 1) + 5$ （5）$6 - (3 \times 2 + 4) \div (1 + 1)$ 2. 将下列算式化简： （1）$(a + b)^2 - (a - b)^2$ （2）$5xy - 3xz + 2yz - 4xy + 7xz - 6yz$ （3）$(a - b + c)^2 - (a^2 - b^2 - c^2)$ （4）$3(x - y + z) + 2(y - z - x) + (z - x + y)$ 二、方程与不等式 1. 解下列方程： （1）$2x - 3 = 9$ （2）$3(x + 4) = 15$ （4）$2(x - 1) + 3(2 - x) = x + 3 - 2x$ 2. 解下列不等式，并用图示法表示解集： （1）$2x - 5 < 7$ （2）$3 - x \geq 2x + 1$ （3）$4(x - 1) \leq 3(x + 2)$ （4）$5 - 2x > 3x + 4$ 三、函数 1. 已知函数$f(x) = 2x^2 + 3x - 1$，求： （1）$f(2)$的值； （2）当$f(x) = 0$时，求$x$的值。 2. 求函数$y = 3x^2 - 2x + 4$的最小值。 3. 若函数$g(x)$满足$g(2x) = x^2 - 3x$，求函数$g(x)$的表达式。 四、导数与微分 1. 求下列函数的导数： （1）$f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ （2）$g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ 数学分析复习题 数学分析复习题 数学分析是数学的重要分支之一，它研究的是函数的性质、极限、连续性、微 积分等概念和方法。在学习数学分析的过程中，做复习题是非常重要的一环。 通过做题，我们可以巩固所学的知识，提高解题能力。下面，我将为大家提供 一些常见的数学分析复习题，希望能对大家的学习有所帮助。 1. 求函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在区间 [-2, 2] 上的最大值和最小值。 解析：首先，我们需要求出函数的导数。f'(x) = 2x + 3。然后，我们需要找出导数为零的点，即解方程 2x + 3 = 0。解得 x = -3/2。接下来，我们需要判断这个点是否为极值点。通过二阶导数的符号可以判断。f''(x) = 2，大于零，说明这个点是极小值点。所以，函数的最小值为 f(-3/2) = (-3/2)^2 + 3(-3/2) - 2 = -11/4。同理，我们可以求得最大值为 f(2) = 2^2 + 3*2 - 2 = 8。 2. 求函数 f(x) = x^3 - 3x 在区间 [-1, 2] 上的极值点。 解析：首先，我们需要求出函数的导数。f'(x) = 3x^2 - 3。然后，我们需要找出导数为零的点，即解方程 3x^2 - 3 = 0。解得x = ±1。接下来，我们需要判断 这些点是否为极值点。通过二阶导数的符号可以判断。f''(x) = 6x，当 x = -1 时，f''(-1) = -6，小于零，说明这个点是极大值点；当 x = 1 时，f''(1) = 6，大于零，说明这个点是极小值点。所以，函数的极大值为 f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2，极 小值为 f(1) = 1^3 - 3*1 = -2。 3. 求函数 f(x) = ln(x^2 + 1) 在区间 [0, 1] 上的最大值和最小值。 解析：首先，我们需要求出函数的导数。f'(x) = 2x / (x^2 + 1)。然后，我们需 要找出导数为零的点，即解方程 2x / (x^2 + 1) = 0。由于分母不可能为零，所 P94 1．已知直线运动方程为2 510t t s +=。分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从4=t 至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及4=t 时的瞬时速度。 2．等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。 3．设0)(0=x f ，4)(0='x f ，试求极限x x x f x ∆∆+→∆)(lim 00 4．设⎩⎨⎧<+≥=3 3)(2x b ax x x x f ，试确定a ，b 的值，使f 在3=x 可导。 5．试确定曲线x y ln =上哪些点的切线平行于下列直线： （1）1-=x y （2）12-=x y 6．求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程： （1）)1,2(,2P x y = （2）)1,0(,cos P x y = 7．求下列函数的导数： （1）3 ||)(x x f = （2）⎩⎨⎧<≥+=0101)(x x x x f 8．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(x x x x x f m （m 为正整数），试问： （1）m 等于何值时，f 在0=x 连续； （2）m 等于何值时，f 在0=x 可导； （3）m 等于何值时，f '在0=x 连续。 9．求下列函数的稳定点： （1）x x x f cos sin )(-= （2）x x x f ln )(-= 10．设函数f 在点0x 存在左右导数，试证f 在点0x 连续。 11．设0)0()0(='=g g ，⎪⎩ ⎪⎨⎧=≠=000,1sin )()(x x x x g x f ，求)0(f ' 12．设f 是定义在R 上的函数，且对任何R x x ∈21,，都有 )()()(2121x f x f x x f ⋅=+ 若1)0(='f ，证明对任何R x ∈，都有)()(x f x f =' 13．证明：若)(0x f '存在，则)(2)()(lim 0000x f x x x f x x f x '=∆∆--∆+→∆ 14．证明：若函数f 在],[b a 上连续，且K b f a f ==)()(，0)()(>'='-+b f a f ，则在),(b a 内至少有一点ξ，使K f =)(ξ 15．设有一吊桥，其铁链成抛物线型，面端系于相距100米高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点下10米处，求铁链与支柱所成之角. 16．在曲线3x y =上取一点P ，过P 的切线与该曲线交于Q ，证明：曲线在Q 处的切线斜率正好是在P 处切线斜率的四倍. P.103习题 4．对下列各函数计算)1(),1(),(-'+''x f x f x f （1）3)(x x f = （2）3)1(x x f =+ （3）3)1(x x f =- 6．设f 为可导函数，证明：若1=x 时有 )()(22x f dx d x f dx d =， 则必有0)1(='f 或1)1(=f P.105习题 4．证明曲线⎩ ⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x ，（0>a ）上任一点的法线到原点距离等于a . 5．证明：圆θsin 2a r =（0>a ）上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角. 6．求心形线)cos 1(θ+=a r 的切线与切点向径之间的夹角. P.109习题 浙江财经数学分析期末练习题五 第一篇：浙江财经数学分析期末练习题五 10统计专业和数学专业数学分析（3）期末练习题五 1.证明极限(x,y)→(0,0) lim x+yx-y 不存在。 x+yx+y 2.用极限定义证明： lim (x,y)→(0,0) =0.3.证明极限 (x,y)→(0,0) lim xy xy+(x-y) 不存在.4.设F(x,y)=f(x),f(x)在x0连续，证明：对∀y0∈R,F(x,y)在(x0,y0)连续.5.证明：如果f(x,y)在P0(x0,y0)连续，且f(x0,y0)>0，则对任意 r 在点(0,0)处连续且偏导数存在.x+y≠0x+y=0 9.设函数f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在偏导数，若(x,y)属于该邻域，则存在ξ=x0+θ1(x-x0)和η=y0+θ2(y-y0)，0<θ1<1,0<θ2<1, 使得f(x,y)-f(x0,y0)=fx(ξ,y)(x-x0)+fy(x0,η)(y-y0)。 10.证明： f(x,y)=⎩ x+y≠0x+y=0,2 在点(0,0)不可微.11.证明: 对任意常数ρ,ϕ, 球面x+y+z=ρ与锥面x+y=tanϕ⋅z是正交的.12.证明: 以λ为参数的曲线族 x a-λ + y b-λ =1(a>b) 是相互正交的(当相交时).13.证明: 由方程z=y+xϕ(z)所确定的隐函数z=z(x,y)满足 ∂z∂x = ∂⎡2∂z⎤ ϕ(z)⎢⎥, ∂y⎣∂y⎦ 其中ϕ二阶可导.14.设F(a)= ⎰ π ln(1-2acosx+a )dx, 证明 ⎧⎪0, 若a<1且a≠0,F(a)=⎨2 πlna,若a>1.⎪⎩ 15.证明含参量反常积分 ⎰ +∞数学分析练习题
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