数学分析1练习题
数学分析 1 练习题
一、判断题
1、非空有界数集S 必有正常上确界和下确界；
2、单调数列必有极限；
3、有界数列必有极限；
4、有极限的数列一定单调；
5、有极限的数列一定有界；
6、设 f (x)在(a,b)内连续，则 f (x)在(a,b)内一定取
得最大值和最小值；
7、设 f (x)在(a,b)内连续，则 f (x)在(a,b)内一定一致连续性；8、设函数f(x)在点x0连续，则函数 f (x)在点x0一定可导；9、设函数f(x)在点x0可导，则函数 f (x)在点x0一定连续；10、设 f (x0)和 f (x0 )均存在，则 f (x0) 一定存在；11、设 f (x0)和 f ( x0 )均存在，则 f (x)在点x0一定连续；12、函数 f ( x)在点x0取得极值，则必有 f (x0) 0；13、若 f (x0) 0，则x0为函数 f ( x)的极值点；
14、点(x0, f (x0)) 为曲线y f (x)的拐点，则必有 f (x0) 0；
15、若 f (x0) 0，则点(x0, f (x0)) 为曲线y f ( x)的拐点；
16、若x lim x f ( x)不存在，则 f (x0 )一定不存在；
x x 0
17、设 f (x) C[a,b]，在( a,b)内可导，则一定不存在
(a,b)，使得 f ( ) 0 ；
18、设函数f(x)在点x0可微，则函数 f (x)在点x0一定可导；
设 f (x) sgn x ，则 x 0为函数 f (x)的
间断
点； 若 x
lim x 0
f (x) 存在，则函数 f (x)在点 x 0一定连
续；
定不存在；
存在；
存在；
填空题
19
、
20、 21、
22、 23、 二、 1、 2、 4、 6、 8、 10、 11、 12、 13、
设 f ( x ) 的定
义域为 [0,
1]
f (x 2
) 的定义
域为
lim n
3 n 2
2 n 1
2n 2 3 3、 lim
lnn n
n
1 lim x
sin x 0
x
5
、
sin 2 5 x lim x 0 x tan 3 x 7、 li m x0
ln(1 x ) x e1 lim x 0 x 9、 li m x0
1 cosx x
2
3x 3
1 y
x 2
x 的垂直渐近线为 3 x 2
1 y
x 2
x
的水平渐近线为 3 x 3
4 y
x 2
2x
的斜渐近线为
若 lim f ( x) 不lim g(x) 也不存在，
则 lim[ f (x) g( x)] 若 x
lim x
f ( x) 不l x im x g( x) 存
在，则
x
lim x [ f (x) g( x)]
一定不
若 x lim x 0
f (x)不存在， l x im x 0
g( x)存在，则 x lim x 0
[ f(x) g(x)]一定不 tan x sin
x lim x0 sin 3
x
xx
0；
设 f (x) tan x ，则 x 为函数 f (x)的 间断点； 设 f (x) sin 1
，则 x 0为函数 f (x)的 间断点；
x 线 f(x) ln x 在点 (1,0) 的切线方程为
(2009) ( n)
sin x ； 21、 cosx ； (2009)
cosx
；
设 x ln(1 t 2
) ，则 dy ， d dy
，d
2
2
y
y t arctan t
dx d t d x
dx 2
曲线 f (x) x 3
3x 2
的拐点为 ； 线 f(x) 3
x 的拐点为 函数 f (x) x 4
5x 4
在 [ 1,2] 上的最大值为 设 f (x) (x 1)(x 2)( x 3) ，则 f (x) 0有 个根。 计算题
1 x
(a 0,b 0,c 0) ；
sin5x lim x 0 tan 3 x
sinx
,
设 f (x) x
,
2,
x 0
，则 x 0为函数 f (x)的
x0
间断点
-
14、
15、 16、
17、
18、 20、 22、 23、 24、
25、
26、
27、 三、 1、
4、 6、 l
i m x 13
x i m
l x
lim 4 3 x
x
1
；
xxx
abc 3
x sin x
lim 2 ； x 0 x 2
sin x
n
(n)
x
n
； 19、 sin x ；最小值
sin x
x lim
x sinx；7
、
l x im0 cot x
x
1；
2
x 2
3
求l x
im 0
ln(1 x) e x
3 sinx 1； 求 lim x x 2
ln(1 1
) ； x
x 求 l n im
21
21
21
n
n
2 1 n 2
2
n 2
n
1
g( x)sin , x 0,
设 g(0) g(0) 0 ， f(x) x 求 f (0) ；
0, x 0,
设 y log 3 sin 2 1
2 x
tan x x x
e
3 arc cot x 1 ，求
dy ； x
设 y x sinx
(x 0) ，求 y
； x e t
cost
d 2
y
14、设
x y e
e t
c
si o n s t
t
，求
d dx y
2
；
设 y ln( x 1) ，求 y (n)
； x , x 2
在 x 2可导，求 a,b 的值； ax b, x 2
将函数 f(x) 1
在x 1处展开成带拉格朗日型和佩亚诺型余项
x
的泰勒公式；
将函数 f(x) 1
在x 2处展开成带拉格朗日型和佩亚诺型
余项 x
的泰勒公式；
将函数 f(x) sinx 在 x 处展开成带拉格朗日型和佩亚诺型
余 4
项的泰勒公式；
将函数 f(x) e 1 3x
展开成带拉格朗日型和佩亚诺型余项
的麦克
8、
9、
10、
11、 12、
13、 15、 17、 19、
20
、
21、
22、
23、
24、
设 y x 2
e 3x
，求 y (20) ； 16、设 y x 3
e 2x
，求 y (10)
； 设 y xe x
，求 y (n)
； 18、设 y xln x ，求 y (n)； 设 f ( x)
劳林公式；
四、证明题
2
1、按定义证明 lim n
2 n 1
； 2、按定义证明 lim 1
2 sinn 0( 0) ；
n
2n 2 1 2
n
n 2
3、按定义证明 lim 5x 1
5 ； 4、按定义证明 l x im 2 x 4
4 ；
x
x x 2
x 2
4、证明 f (x) sinx 在( , )上一致连续；
5、证明 f (x) x 在［1, ) 上一致连续；
6、设函数 f ( x )在［0,2 a ］上连续，且 f(0) f (2a) 。证明：存在点 x 0 ［0,a ］， 使得 f (x 0) f (x 0 a)；
2
x 1x
2!
8、证明 x 0时， 1 xln(x 1 x 2
) 1 x 2
；
10、设 x 0， y 0， x y ，n 1，证明： 1
2
(x n y n
) x
2 y
；
11、设函数 f (x) 在［a,b ］上连续，在 (a, b)内可导，且 a b 0 。证明存在
12、设函数 f ( x)在［0, ］上连续，在 (0, ) 内可导。证明存
在 (0, ) ，
使得 f ( )cos f ( )sin 0 ；
7、证明 x 0 时， 9、设 x 0， y 0， x y ，证明：
x ln x y ln y ( x y)ln xy
2
(a, b) ， 使得ab a
f (a) b f(b
)
f ( ) f ( )；
13、设函数 f ( x)在［a,b］上连续，在(a, b)内可导，又 b a 0。证明存
b
ln
在、(a, b) ，使得f ( ) f ( )b a a
14、设函数 f ( x)在［a,b］上连续，在(a, b)内可导，且 f (a)
f (b) 0，证
明存在(a,b)，使得 f ( ) f ( ) 0；
15、设函数 f ( x)在[a,b]上连续，在(a, b)内可导，且 f (a) f
(b) 0，证
明存在(a,b)，使得 f ( ) f ( ) 0 ；
16、设x1 2, ,x n 1 2x n ，证明lim x n存在，并求lim x n；nn
17、设x1 2, x2 2 2, , x n 1 2 x n ，证明lim x n存在，并求lim
x n；
nn
18、设lima n a，证明lim [nan] a ；
n n
n n
21、证明数列a n 1 121212收敛；
2 3 n
19、设 f (x)为定义在 D 上的有界函数，
证明：( 1) sup{ f(x)} inf f (x)；(2) inf{ f(x)} sup f(x)。
x D x D x D x D
五、综合题
x 2n
1
1、讨论函数 f ( x) l n im x x2n1的间断点，并确定其类型；n x 1
2、列表讨论函数y ( x 1)3x2的单调性、凹凸性、极值、拐点，并作
出其图形
数学分析试卷及答案6套
一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ∀∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ⋅⋅⋅+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使lim )0x ax b →+∞ -=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15 [,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()()f f b f a b a ζ''≥ --.
一. (10分)设数列{}n a 满足 : 1a = , 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的 正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=. 三. (10分)设0n a >,且1 lim 1n n n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞ =. 四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且 lim ()x a f x + →,lim ()x b f x - →存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理. 六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2 [()]f x 在a 可导,则函数()f x 在 a 可导. 七. (12分)求函数()1f x x x α αα=-+-在的最大值,其中01α<<. 八. (12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈, 12x x <,都有 12()()f x f x ''≤. 九. (12分)设() ,0()0,0 g x x f x x x ⎧ ≠⎪ =⎨⎪ =⎩ 且(0)(0)0g g '==, (0)3g ''=, 求(0)f '.
数学分析(1)期末模拟考试题(证明部分新)
数列极限类 1. 证明: 11 2 11 1lim 2 2 2 =???? ? ?++ +++ +∞→n n n n n . 证 因为 1 1 2 11 12 2 2 2 2 +≤???? ??++ +++ +≤+n n n n n n n n n 又11 lim lim 2 2 =+=+∞ →∞ →n n n n n n n ,由迫敛原理得 11 2 11 1lim 2 2 2 =???? ? ?++ +++ +∞→n n n n n . 2. 设() ,2,121,1111=??? ? ?? +=>=+n a a a a a a n n n ,证明{}n a 有极限,并求此极限的值. 证 由均值不等式得 a a a a a a a a n n n n n =??? ?? ??≥???? ??+=+2212111 ,即{}n a 有下界. 又021212 1 =-??? ? ?? +≤-???? ??+=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ,即{}n a 单调减,于是A a n n =∞→lim 存在,且由极限的保号性可得1≥A .对已知递推公式,令∞→n 和极限的唯一性得 ?? ? ??+= A a A A 21, 解得a A =(负根舍去),即有a a n n = ∞ →lim . 单调性的证明也可如下完成: 11211212221=???? ??+≤???? ??+=+n n n n n a a a a a a ,或n n n n n a a a a a =??? ? ?? + ≤+2 121. 3. 设() ,2,16,1011=+= =+n x x x n n ,试证数列{}n x 存在极限,并求此极限. 证 由4166,10121== +==x x x 知, 21x x >.假设1+>k k x x ,则 21166+++=+> += k k k k x x x x ,由归纳法知{}n x 为单调下降数列.又显然有0>n x ,所 以{}n x 有下界.由单调有界原理知,数列{}n x 收敛.所以可令a x n n =∞ →lim ,对n n x x += +61两 边取极限得0662 =--?+= a a a a ,解得3=a 或2-=a (舍去),故3lim =∞ →n n x .
十数学分析1考试试题
（十）《数学分析1》考试试题 一、叙述题 1叙述闭区间套定理； 2用肯定的形式叙述函数)(x f 在数集D 上无上阶； 3叙述Rolle 微分中值定理； 二、计算题 1 求极限x x x x )1 1(lim -+∞→ ； 2 求摆线???-=-=t y t t x cos 1sin π20≤≤t ， 在π=t 处的二阶导数22dx y d 的值； 3 设x e x f =)(2，求不定积分?dx x x f ) ( ； 4 求不定积分?-+dx e e x x 1arctan 2 ； 三、讨论题 1讨论函数=)(x f ?????≤0 , 00 , 1sin x x x x 在0=x 点处的左、右导数； 2设221)(x n nx x f n += ，[]A e x .∈ ，)0(+∞ A e 2 1 ）、、（ =n ，讨论)(x f n 在[]A e .上的单调性的最大值点； 四、证明题 1用定义证明21121lim =-+∞→x x x ； 2证明：方程033=+-c x x ，（其中c 为常数）在[]1,0上可能有两个不同的实根； 3若数列{}n x 收敛于a （有限数），它的任何子列{} k n x 也收敛于a 。 （十一） 一年级《数学分析》考试题 一（ 满分 1 0 分，每小题 2 分）判断题： 1 设数列}{n a 递增且 （有限）. 则有}sup{n a a =. ( ) 2 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义. 若对)(0x U x n ∈?,当 0x x n →时, 数列)}({n x f 都收敛于同一极限. 则函数)(x f 在点0x 连续. ( ) 3 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义. 若存在实数A ,使0→?x 时, ),()()(00x x A x f x x f ?=?--?+ 则)(0x f '存在且A x f =')(0. ( ) 4 若),(0)( ,0)()(2121x f x f x f x f ''<<''='='则有).()(21x f x f >( )
《数学分析(一)》题库及答案
《数学分析（一）》题库及答案 一．单项选择 1、函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为_______。 A ．]1,2[- B ．]2,1[- C ．[0,3] D ．[1,3] 2、函数)(x f 在0x x →时极限存在，是)(x f 在0x 点处连续的_______。 A ．充分但非必要条件 B ．必要但非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 3、设函数???????>=<-=1,11,21,1)(x x x x x x f ，则=→)(lim 1x f x _______。 4、设?????≥+<=0 ,10,sin )(x x x x x x f ，则=→)(lim 0x f x ________。 A ．-1 B ．0 C ．1 D ．不存在 5、已知)1ln()(a x x f += )0(>x ，则=')1(f ________。 A ．a B ．2a C ．2 1 D ． 1 6、若在区间),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(<'x f ，二阶导数0)(>''x f ，则)(x f 在),(b a 内是________。 A ．单调减少，曲线上凸 B ．单调增加，曲线上凸 C ．单调减少，曲线下凸 D ．单调增加，曲线下凸 二、填空题 1、函数)43cos(π+=x y 的周期为________。 2、=+∞→x x x )21(lim ________。 3、设x y 2sin =，则='''y ________。 4、设,2x e y =则y '''=_______。
5、设,)(lim 0A x x f x =→则=→x bx f x )(lim 0_______。 6、曲线x y 1=的渐近线是_______、_______。 三、判断对错 1. 设函数在)(x f （a 、b ）上连续，则在)(x f [ a 、b ] 上有界。 2. 数列{}n x 收敛的充要条件是{}n x 的任一子列{}k n x 都收敛。 3. 设函数)(x f 在（a 、b ）上可导，则0)('>x f 是在)(x f （a 、b ） 内严格递增的充分必要条件。 4. 设[]a a x f ,)(-在上是奇函数，则[]a a x f ,)(--在上也是奇函数。 5. 数列{}n x 的任一子列{} k n x 都收敛是{}n x 收敛的必要而非充分的条件。 6. 设0)(,0)(),()(22≠>=-=a g a x x g x g a x x f 且连续在其中，则 )(2)()(lim a ag a x a f x f a x =--→。 7. 设函数)(x f 是可导的奇函数，则导函数)('x f 是偶函数。 8. 函数0)(x x f y 在=可导是))(,()(00x f x x f y 在点=存在切线的充分而非必要的条件。 9. 设22()g(),()f x x a x g x x a =-=其中在连续，且0)(≠a g ，则)()()(lim a g a a x a f x f a x +=--→。 10. 函数)(x f 的最大值也是)(x f 的极大值。 11.设在区间(a 、b)上）、是（则b a x f x f )(,0)(''>上的凸函数。 12.若函数0)(x x f 在可导，则曲线0)(x x f y 在=必有切线。 13. 函数a x x f =在)(可导的充要条件是对任意数列{},0,0,→≠n n n x x x 都有发n n n x a f x a f )()(lim -+∞→存在且相等。 四、求极限 1. n n n 3 13131212 121lim 22++++++∞→ΛΛ ; 2. 1 1lim 1--→m n x x x , (n, m 为正整数)； 3. )1 11(lim 0--→x x e x ; 4. ?????? +-∞→)11ln(lim 2x x x x ；
大学数学分析题题库
大学数学分析题题库题目一：极限与连续性 1. 计算下列极限： (a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{4x}$ (b) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ (c) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ 2. 判断函数在给定点或区间内的连续性： (a) 函数$f(x) = \sqrt{x}$在$x=0$处是否连续？ (b) 函数$g(x) = \frac{1}{x}$在区间$(1, 2)$内是否连续？ (c) 函数$h(x) = \begin{cases} x, & x < 1 \\ 2, & x \geq 1 \end{cases}$在$x=1$处是否连续？ 题目二：微分学基础 1. 计算下列函数的导数： (a) $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ (b) $g(x) = \sin(x) + \cos(x)$ (c) $h(x) = e^x \cdot \ln(x)$ 2. 判断函数在给定点处的可导性： (a) 函数$f(x) = |x|$在$x=0$处是否可导？
(b) 函数$g(x) = \sqrt[3]{x}$在$x=8$处是否可导？ 题目三：积分与面积 1. 计算下列定积分： (a) $\int_{0}^{1} x^2 \, dx$ (b) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x) \, dx$ (c) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$ 2. 计算两个曲线之间的面积： (a) 曲线$y = x^2$与$x$轴所围成的面积； (b) 曲线$y = \sin(x)$与$y = \cos(x)$在区间$[0, \pi/2]$内所围成的面积。 题目四：级数与收敛性 1. 判断下列级数的敛散性： (a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ (b) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ (c) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$ 2. 判断函数项级数的一致收敛性： (a) 级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}$在区间$[0, \pi]$上是否一致收敛？
数学分析课本-习题及答案01
第一章 实数集与函数 习题 §1实数 1、 设a 为有理数，x 为无理数。证明： （1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。 2、 试在数轴上表示出下列不等式的解： （1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。 3、 设a 、b ∈R 。证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。 4、 设x ≠0，证明|x+x 1|≥2，并说明其中等号何时成立。 5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。 6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。 你能说明此不等式的几何意义吗 7、 设x>0，b>0，a ≠b 。证明x b x a ++介于1与b a 之间。 8、 设p 为正整数。证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。 9、 设a 、b 为给定实数。试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： （1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|0（a ，b ，c 为常数，且a 数学分析题库（1-22章） 四．计算题、解答题 求下列极限 1.24lim 2 n n n →∞-- ； 2.111lim(1)1223(1) n n n →∞++++⨯⨯+； 3.01 lim sin x x e x →-； 4.1 0(1)lim x x x e x →+-； 5.3 1lim 1n n n →∞--； 6.21 1lim(1)n n n n →∞++； 7.612sin lim cos3x x x π →-； 8.01 1 lim()1x x x e →--； 9. x x x x x sin tan lim 0--→; 10． 1 0lim(sin 2cos )x x x x →+ ； 求下列函数的导数或微分 11.cos x y e x =； 12.ln(ln )y x =； 13.sin x y x =； 14.求函数sin y x =的各阶导数； 15.sin 2x y e x = 16.ln(cos ln )y x x =+ 17.sin (cos )x y x = 18. 求函数cos y x =的各阶导数； 19．设x x y 1 tan 3+=，求dx dy ； 20.设x e x v x x u ==)(,ln ) (，求)(),(33v u d uv d ； 21. 32(arctan )y x =， 求y '; 22. x x y x =，求y '; 23. 求由参量方程⎪⎩⎪⎨⎧==; sin ,cos t e y t e x t t 所确定的函数的二阶导数22d y dx ; 24. 设3x y x e =, 试求(6)y . 25. 试求由摆线方程(sin ),(1cos ) x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩ 所确定的函数()y f x =的二阶导数 26.求函数()1 1++=x x x f 的单调区间、极值、凹凸区间及拐点. 27．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00 1sin )(x x x x x f m （m 为正整数），试问： （1）m 等于何值时，f 在0=x 连续； （2）m 等于何值时， f 在0=x 可导； （3）m 等于何值时，f '在0=x 连续. 28．试问函数32)(,)(x x g x x f ==在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？ 29．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(24x x x x x f （1）证明：0=x 是极小值点； （2）说明f 的极小值点0=x 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件. 30．若对任何充分小的0>ε ，f 在],[εε-+b a 上连续，能否由此推出f 在),(b a 内连续. 31. 试求2()ln(1)f x x =+到6x 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式. 32. 试求函数 32|2912|y x x x =-+在[1,3]-上的最值和极值. 考试科目： 数学分析(I) 一 、求极限、导数或高阶导数( 每小题5分，共35分) 1. n lim →∞ ??++ …… 解：n n n 11(1)(1)lim lim n n n n →∞++??≤+≤……，故原式1=2. 2.()222n x x x n x x x x 2x 2lim =lim =lim =lim =022ln 22ln 22 n →∞→∞→∞→∞ . 3.()42 2 20011-cos 1 2lim =lim =sin ln 1+2 x x x x x x x x x x →→?. 4. 11 limarcsin()1ln x x x x →-- 解：111limarcsin( )arcsin 1ln 26x x x x π→-==-. 5.设(0)x x y x x =>,求y '. 1(ln (ln 1))x x x x y x x x x x -'=++. 6. 设函数)(x y y =是由参数方程???-=-=) cos 1() sin (t a y t t a x 确定，求2t dy dx π =和t dy dx π =。 2 1 t dy dx π= =. 7. 设函数f 二阶可导， 1( )1x y f x -=+，2 2d y dx 解：221 () (1)1dy x f dx x x -'=++， 22344141()()(1)1(1)1d y x x f f dx x x x x --'''=-+++++. 二、解答题（每小题8分，共32分） 1. 已知001a <<，)n+1a n 0≥，求证n a 的极限存在并求其极限. 解: 易知{}n a 单调增有上界1，故由单调收敛定理及n+1n n lim a =→∞ 知 n n lima =1.→∞ 2. 讨论函数()21 1 sin x x f x e x -=的间断点及其类型. 解: 0x =为可去间断点，=1x ±为第二类间断点. 3. 求函数()(4)f x x =-的极值点与极值。 解： ()f x ' = ，驻点为1x =，不可导点为1x =- 极大值为(1)0f -=，极小值为(1)f =- 4 . 将边长为a 的正方形的四个角减去同样大小的正方形后折成一个无盖的盒子，问剪去的正方形边长为何值时,可使合资的容积最大? 解：设剪去的小正方形的边长为x ，则盒子的容积为 2()(2),[0,]2a V V x x a x x ==-∈ 令()12()()062a a V x x x '=--=,得稳定点6a x =,且()06 a V ''<,所以为极大值点又为一,所以6a x = 时候,容积最大,为32()6 27a a V = 三、证明题（每小题8分,共16分） 1、求证：方程2 22--2=0x x 至少有两个实根. 证明：设2 222x f(x)x =--，则易验证0=-1<0, 2=10>0f()f()±，由零点定理知 ()0f x =在()-2,0和()0,2中各有一个实根. 练习题1 1. 0 lim ()x x f x A →= 等价于以下 （ ）. （A ）00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时，有|()|f x A ε-≥； （B ）00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时，有|()|f x A ε-<； （C ）00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时，有|()|f x A ε-≥； （D ）00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时，有|()|f x A ε-<； 2．下列等式成立的是（ ）. （A ）11 sin lim =∞→x x x ； （B ）11sin lim 0=→x x x ； （C ）1sin lim =∞→x x x ； （D ）11 sin 1lim 0=→x x x . 3. a a n n =∞ →lim ，它等价于( ). A.,0,0>?>?εN 当ε<->||,a a N n n 时； B.,0>?ε在{}n a 中除有限个项以外，其余所有项都落在邻域);(εa U 之内； C. {}{}k k a a 212,-都收敛； D. {}n a 中有无穷多个子列都收敛于a ． 4. 设{} n a 为单调数列，若存在一收敛子列{} j n a ，这时有( ). A. j n j n n a a ∞ →∞ →=lim lim ； B. {} n a 不一定收敛； C. {} n a 不一定有界； D. 当且仅当预先假设了{} n a 为有界数列时，才有Ａ成立． 5.设)(x f 在0x 可导，则=??--?+→?x x x f x x f x ) ()(lim 000 （ ）． A. )(20x f '- B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(0x f '- 6. 下列结论中正确的是（ ）． A.若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导． B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导． 数学分析练习题 数学分析练习题 数学分析是一门重要的数学学科，它研究的是数学中的极限、连续、微分、积 分等概念和性质。通过学习数学分析，我们可以更好地理解和应用数学知识。 而练习题则是巩固和应用所学知识的重要方式。在这篇文章中，我们将探讨一 些数学分析的练习题，帮助读者更好地理解和应用相关概念。 一、极限练习题 1. 计算极限：lim(x→0) (sinx/x)。这是一个经典的极限问题，可以通过泰勒级数 展开或利用极限的定义来求解。通过这个练习题，我们可以加深对极限的理解，并熟悉不同的求解方法。 2. 证明极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。这是一个重要的极限关系，它揭示了自然对数e与指数函数的联系。通过证明这个极限，我们可以深入理解e的定义 和性质。 二、连续性练习题 1. 设函数f(x) = x^2，证明f(x)在区间[0,1]上是连续的。通过证明函数的连续性，我们可以理解连续函数的性质和重要定理，如介值定理和零点定理。 2. 设函数f(x) = |x|，证明f(x)在整个实数轴上是连续的。这是一个稍微复杂一些 的例子，通过证明绝对值函数的连续性，我们可以进一步理解不同类型函数的 连续性。 三、微分练习题 1. 求函数f(x) = x^3的导数。通过求解导数，我们可以熟悉微分的定义和基本 运算法则，并掌握求解各种函数的导数的方法。 2. 求函数f(x) = e^x的高阶导数。通过求解高阶导数，我们可以进一步理解指数函数的性质，并学习应用泰勒级数展开来求解复杂函数的导数。 四、积分练习题 1. 计算定积分：∫(0,1) x^2 dx。通过计算定积分，我们可以熟悉积分的定义和基本运算法则，并理解定积分的几何意义。 2. 计算不定积分：∫(x^2+2x) dx。通过计算不定积分，我们可以掌握积分的基本运算法则，并学习应用不定积分解决实际问题。 通过以上练习题的学习和解答，我们可以加深对数学分析概念和性质的理解，提高数学分析的应用能力。同时，我们还可以通过与他人的讨论和交流，进一步拓宽思路，发现更多有趣的数学问题和解法。 总结起来，数学分析练习题是巩固和应用数学分析知识的重要方式。通过练习题的解答，我们可以加深对数学分析概念和性质的理解，并提高解决实际问题的能力。希望读者通过这些练习题的学习，能够更好地掌握数学分析的知识和方法，为日后的学习和应用打下坚实的基础。 P94 1．已知直线运动方程为2 510t t s +=。分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从4=t 至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及4=t 时的瞬时速度。 2．等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义. 3．设0)(0=x f ,4)(0='x f ,试求极限x x x f x ∆∆+→∆)(lim 00 4．设⎩⎨⎧<+≥=3 3)(2x b ax x x x f ，试确定a ，b 的值，使f 在3=x 可导。 5．试确定曲线x y ln =上哪些点的切线平行于下列直线： （1）1-=x y （2）12-=x y 6．求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程： （1）)1,2(,2P x y = (2）)1,0(,cos P x y = 7．求下列函数的导数： （1）3 ||)(x x f = （2）⎩⎨⎧<≥+=0101)(x x x x f 8．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(x x x x x f m （m 为正整数）,试问： (1)m 等于何值时，f 在0=x 连续； (2）m 等于何值时,f 在0=x 可导； (3）m 等于何值时，f '在0=x 连续。 9．求下列函数的稳定点： （1)x x x f cos sin )(-= (2）x x x f ln )(-= 10．设函数f 在点0x 存在左右导数，试证f 在点0x 连续. 11．设0)0()0(='=g g ，⎪⎩ ⎪⎨⎧=≠=000,1sin )()(x x x x g x f ，求)0(f ' 12．设f 是定义在R 上的函数，且对任何R x x ∈21,，都有 )()()(2121x f x f x x f ⋅=+ 若1)0(='f ,证明对任何R x ∈,都有)()(x f x f =' 13．证明：若)(0x f '存在，则)(2)()(lim 0000x f x x x f x x f x '=∆∆--∆+→∆ 14．证明：若函数f 在],[b a 上连续，且K b f a f ==)()(,0)()(>'='-+b f a f ，则在),(b a 内至少有一点ξ，使K f =)(ξ 15．设有一吊桥，其铁链成抛物线型，面端系于相距100米高度相同的支柱上,铁链之最低点在悬点下10米处,求铁链与支柱所成之角. 16．在曲线3 x y =上取一点P ,过P 的切线与该曲线交于Q ，证明:曲线在Q 处的切线斜率正好是在P 处切线斜率的四倍. P 。103习题 4．对下列各函数计算)1(),1(),(-'+''x f x f x f (1）3)(x x f = （2）3)1(x x f =+ (3）3)1(x x f =- 6．设f 为可导函数,证明:若1=x 时有 )()(22x f dx d x f dx d =, 则必有0)1(='f 或1)1(=f P.105习题 4．证明曲线⎩ ⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x ,（0>a ）上任一点的法线到原点距离等于a . 5．证明:圆θsin 2a r =（0>a ）上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角。 6．求心形线)cos 1(θ+=a r 的切线与切点向径之间的夹角. P.109习题 练习题1 1.0 lim ()x x f x A →= 等价于以下 （ ）. （A ）00,0,0<|x-x |εδδ∀>∃><当时，有|()|f x A ε-≥； （B ）00,0,0<|x-x |εδδ∃>∀><当时，有|()|f x A ε-<； （C ）00,0,0<|x-x |εδδ∃>∀><当时，有|()|f x A ε-≥； （D ）00,0,0<|x-x |εδδ∀>∃><当时，有|()|f x A ε-<； 2．下列等式成立的是（ ）. （A ）11 sin lim =∞→x x x ； （B ）11sin lim 0=→x x x ； （C ）1sin lim =∞→x x x ； （D ）11 sin 1lim 0=→x x x . 3.a a n n =∞ →lim ，它等价于( ). A.,0,0>∃>∀εN 当ε<->||,a a N n n 时； B.,0>∀ε在{}n a 中除有限个项以外，其余所有项都落在邻域);(εa U 之内； C.{}{}k k a a 212,-都收敛； D.{}n a 中有无穷多个子列都收敛于a ． 4. 设{} n a 为单调数列，若存在一收敛子列{} j n a ，这时有( ). A.j n j n n a a ∞ →∞ →=lim lim ； B.{} n a 不一定收敛； C.{} n a 不一定有界； D. 当且仅当预先假设了{} n a 为有界数列时，才有Ａ成立． 5.设)(x f 在0x 可导，则=∆∆--∆+→∆x x x f x x f x ) ()(lim 000 （ ） ． A. )(20x f '- B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(0x f '- 6. 下列结论中正确的是（ ）． A.若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导． B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导． 十）数学分析1考试试题 （十）《数学分析1》考试试题 一、叙述题 1叙述闭区间套定理； 2用肯定的形式叙述函数)(x f 在数集D 上无上阶； 3叙述Rolle 微分中值定理； 二、计算题 1 求极限x x x x )1 1(lim -+∞→ ； 2 求摆线-=-=t y t t x cos 1sin π20≤≤t ，在π=t 处的二阶导数22dx y d 的值； 3 设x e x f =)(2，求不定积分?dx x x f ) ( ； 4 求不定积分?-+dx e e x x 1arctan 2 ； 三、讨论题 1讨论函数=)(x f ≤0 , 00 , 1sin x x x x φ 在0=x 点处的左、右导数； 2设221)(x n nx x f n += ，[]A e x .∈ ，)0(+∞πππA e 2 1 ）、、（Λ=n ，讨论)(x f n 在[]A e .上的单调性的最大值点； 四、证明题 1用定义证明21121lim =-+∞→x x x ； 2证明：方程033=+-c x x ，（其中c 为常数）在[]1,0上可能有两个不同的实根； 3若数列{}n x 收敛于a （有限数），它的任何子列{} k n x 也收敛于a 。 （十一）一年级《数学分析》考试题一（满分 1 0 分，每小题 2 分）判断题： 1 设数列}{n a 递增且（有限）. 则有}sup{n a a =. ( ) 2 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义. 若对)(0x U x n ο ∈?,当0x x n →时, 数列)}({n x f 都收敛于同一极限. 则函数)(x f 在 数学分析1练习题 一、判断题 1、非空有界数集S 必有正常上确界和下确界； 2、单调数列必有极限； 3、有界数列必有极限； 4、有极限的数列一定单调； 5、有极限的数列一定有界； 6、设f x ()在a b (,)内连续，则f x ()在a b (,)内一定取得最大值和最小值； 7、设f x ()在a b (,)内连续，则f x ()在a b (,)内一定一致连续性； 8、设函数f x ()在点x 0连续，则函数f x ()在点x 0一定可导； 9、设函数f x ()在点x 0可导，则函数f x ()在点x 0一定连续； 10、设f x -'0()和f x +'0()均存在，则f x '0()一定存在； 11、设f x -'0()和f x +'0()均存在，则f x ()在点x 0一定连续； 12、函数f x ()在点x 0取得极值，则必有f x '=0()0； 13、若f x '=0()0，则x 0为函数f x ()的极值点； 14、点x f x 00(,())为曲线y f x = ()的拐点，则必有f x ''=0()0； 15、若f x ''=0()0，则点x f x 00(,())为曲线y f x =()的拐点； 16、若x x f x →'0 lim ()不存在，则f x '0()一定不存在； 17、设f x C a b ∈()[,]，在a b (,)内可导，则一定不存在a b ∈(,)ξ， 使得f '=()0ξ； 18、设函数f x ()在点x 0可微，则函数f x ()在点x 0一定可导； 19、若x x f x →0 lim ()存在，则函数f x ()在点x 0一定连续； 20、若x x f x →0 lim ()不存在，x x g x →0 lim ()也不存在，则x x f x g x →±0 lim[()()]一 定不存在； 21、若x x f x →0 lim ()不存在，x x g x →0 lim ()存在，则x x f x g x →⋅0 lim[()()]一定不 存在； 22、若x x f x →0 lim ()不存在，x x g x →0 lim ()存在，则x x f x g x →±0 lim[()()]一定不 存在； 23、x x x x x x x x →→--==3300 tan sin lim lim 0sin ； 二、填空题 1、设f x ()的定义域为[0,1]，则f x 2()的定义域为 ； 2、n n n n →∞-+=+22321lim 23 ； 3、n n n →∞ =ln lim ； 4、x x x →=01lim sin ； 5、x x x →=0 sin5lim tan 3 ； 6、x x x x →=20sin 5lim tan 3 ； 7、x x x →+=0 ln(1) lim ； 8、x x e x →-=01 lim ； 9、x x x →-=20 1cos lim ； 10、曲线x y x x +=-3231 的垂直渐近线为 ； 11、曲线x y x x +=-2231 的水平渐近线为 ； 第三、四章复习题 一、填空题 1. =+∞→x x x 1)1(lim ；=+→x x x 10)1(lim 2．设 11lim )(2+=∞→n n x x f ，则 =)(x f 3．=+∞→x x x ][lim 4．若函数⎩ ⎨⎧>+≤+=0),ln(,0,)(x e x x a x x f 在),(∞+-∞连续，则 =a 5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0 0) 21()(1x a x x x f x 在0=x 连续，则 =a 6．若函数连续在0)(x x f ，则 =∆--∆+→∆)]()([lim 000x x f x x f x 7．若函数连续在0)(=x x f ，x x x f 1)21()(-=，则 =)0(f 8．若 b x ax x x =-+-→13lim 21，则 =a ，=b 9. 设sin 2(),x f x x 补充定义(0)f ,可使()f x 在0x 连续 10. 函数11y x 的连续区间是 二、选择题（每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母填入括号中） 1．当0→x 时，x x x f 1sin 1)(=是 （ ） (A) 无穷小； (B) 无穷大； (C) 有界但不是无穷小； (D) 无界但不是无穷大 2．当a x →时，)(x f 为无穷大，)(x g 为有界量，则)()(x g x f 是 （ ） (A) 无穷大； (B) 有界量； (C) 无界但不是无穷大； (D) 以上都不对 3．设| |sin )(x x x f =，则0=x 是f 的 （ ） (A) 连续点； (B) 可去间断点； (C) 跳跃间断点； (D) 第二类间断点。 4．设f 在0x 连续，且)(00x U x ∈∀，有0)(>x f ，则 （ ） (A) 0)(0>x f ； (B) 0)(0≥x f ； (C) 0)(0 数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 证 由（1）可得B A inf sup ≤.为了证B A inf sup =，用反证法.若 B A inf sup ，设B y A x A B ∈∈∃=-,,sup inf 0ε，使得0ε≥-x y . 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ⋃=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 证（1）若A ，B 中有一集合无上界，不妨设A 无上界，则S 也是无上界数集，于是+∞=+∞=S A sup ,sup ，结论成立.若A ，B 都是有上界数集，且A B sup sup ≤，现设法证明:sup sup A S = （ⅰ）S x ∈∀，无论A x ∈或B x ∈，有;sup A x ≤ （ⅱ）000,,sup ,x A x A εε∀∃∈->>于是,0S x ∈ 0sup .x A > 同理可证（2）. 3. 按N -ε定义证明 证 ≤ （n>4） n 32 = ， 取，当n>N 时， <ε. 注 扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式仍是无穷小数列. 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞→lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列. 答 a a n n ≠∞ →lim 的正面陈述：0ε∃>0，+∈∀N N ，n '∃≥N ，使得 |a a n -'|≥0ε 数列{n a }发散⇔ R a ∈∀，a a n n ≠∞ →lim . （1）a n a n ∀=.2，0ε∃=4 1，+∈∀N N ，只要取，便可使||2a n -'≥| |2a n -'≥≥4 1，于是{2n }为发散数列. （2）n n a )1(-=. 若a=1，0ε∃=1， 取n '为任何奇数时，有2|1|=-'n a >0ε.若a=-1，0ε∃=1，取n '为任何偶数时，有2|)1(|=--'n a >0ε. 若a ≠±1， 0ε∃=，对任何 n ∈+N ，有|a a n -|≥0ε. 故|n )1(-|为发散数列. 5.用δε-方法验证： . 解 （1）消去分式分子、分母中当1→x 时的零化因子（x-1）： ) 2(2)2)(1()1)(2()23(2)(22-+=---+=+--+=x x x x x x x x x x x x x x f . （2）把 ) 3()(--x f 化为1)(-⋅x x ϕ，其中)(x ϕ为x 的分式： |1|| 2|| 23|)2(2533)2(23)(22---=-+-=+-+=+x x x x x x x x x x x x f ，数学分析试题库--计算题、解答题
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