单位圆与诱导公式(1)

§4.3 单位圆与诱导公式(1)

)α+； （)． ),360范围内角),360范围内的角的

的正角的三角函数

,360内的角的三角函数为锐角的三角函数．

圆的计算有关公式

圆的计算有关公式1、同一个圆中半径与直径的关系。（1）半径是直径的一半。 1d 用字母表示：r= 2 （2）直径是半径的2倍。 用字母表示：d=2r 2、圆的周长的计算有关公式。 （1）圆的周长=圆周率×直径。 用字母表示：c=兀d （2）圆的周长=圆周率×半径×2。 用字母表示：c=2兀r （3）圆的半径=圆的周长÷圆周率÷2。 用字母表示：r=c÷兀÷2 （4）圆的直径=圆的周长÷圆周率。 用字母表示：d=c÷兀 3、半圆的周长的计算有关公式。 （1）半圆的周长=圆周率×直径÷2+直径。 用字母表示：c=兀×d÷2+d （2）半圆的周长=圆周率×半径+半径×2。 用字母表示：c=兀×r+2r （3）圆的半径=半圆的周长÷(圆周率+2)。 用字母表示：c=c÷(兀+2)

（4）圆的直径=半圆的周长÷(圆周率+2)×2。 用字母表示：c=c÷(兀+2) ×2。 n+半径×2。 4、扇形的周长=圆的周长× 360 n+2r 用字母表示：c=2兀r× 360 (n表示圆心角的度数) 5、环形的周长=大圆的周长+小圆的周长。 用字母表示：c=2兀R+2兀r=2兀×(R+r) 6、圆的面积=圆周率×半径的平方。 用字母表示：S=兀r2 7、半圆的面积=圆周率×半径的平方÷2。 用字母表示：S=兀r2÷2 n。 8、扇形的面积=圆周率×半径的平方× 360 n 用字母表示： S=兀r2× 360 (n表示圆心角的度数) 9、环形的面积=大圆的面积-小圆的面积。 用字母表示：S =2兀R2-2兀r2=2兀×(R2-r2) 10、时钟先问题。 (1)一昼夜=一天=24小时 (2) 时针一昼夜转2圈 (3)分针一昼夜转24圈 (4)秒针一昼夜转1440圈

圆的周长计算公式

《圆的周长计算公式》 万建里 教学《圆的周长计算公式》时，教师可让学生利用圆片、铁丝圈、直尺、彩带等材料，测量圆周长。当学生探讨出不同的测量方法后，教师演示（拿着一个一端系有小球的绳子，手执另一端并不停地甩动形式成圆的轨迹），设疑；你们还能用刚才的方法测量出这个圆的周长吗？然后让学生猜一猜，圆的周长可能与它的什么有关？接着让学生把圆的周长与直径比一比，看看它们有什么关系？并让学生小组合作量出圆的周长和直径，算出圆的周长与直径的比值。通过实践探索，学生不难发现圆的周长与直径之间的倍数关系。这样学生就很自然地推导出圆的周长公式。由此可见，学生借助学具自主操作亲自去经历、去实践，获得的圆的周长公式，比教师直接灌输的知识理解得更深刻、记忆更牢固。 首先教师为学生提供了几个大小不一的圆，材质也不一样，有的是用纸板做的，有的是用软布做的，有的是用铁丝围成，有的画在纸上，要求学生分组活动测量出这些圆的周长，每一小组桌上都有教师预先放在桌上的材料工具，包括绳子、纸条、彩笔、尺子、剪刀等。小组活动时，学生纷纷把材料一一选出，逐样试验。一会用绳子绕，一会用纸条围，一会在桌上滚圆一会用剪刀比划着……在学生作讨论、动手活动中产生了许多简易又灵活的方法：生1：圆周是曲线不能直接用尺量，先用纸条围纸板圆一周，再把纸条展开后用尺量。生2：也能用绳子绕。生3：先在纸板圆周上用彩笔做一点标记，把标记放在尺的0刻度上，向前滚动一周，读出刻度。生4：把铁丝圈剪开，再拉直了测量。生5：沿桌边滚一周后直接测量桌边也行。生6：我把布圆对折再对折下去，这条曲线就能用尺小心的量了。这所有的方法归结起来就是绕圈法、滚动法、化曲为直法，而且这些方法得到了很多小组的赞同与证实。 丰富的实践源自巧妙的设计这个活动只是《圆的周长》一课中的一部分，教学目标是为了使学生掌握一些生活中的简易又灵活的测量圆周长的方法，是下面测量圆周长和直径、探求他们比值关系的基础。教师设计安排的这个小组活动充分体现了数学新课程表准中强调的“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能……”这一理念。现代教育主张“要让学生动手做科学，而不是只用耳朵听科学”。因此，在教学中要加强学生动手操作能力的培养，把操作同观察、思维、语言表达有机结合，使学生逐步从具体的操作有效的转化为内部智力活动。特别是教师提供的不同材质的圆，深化了知识难度。每一个圆都是一个新问题，它们向学生设置了一个个具体的问题情境，激起学生寻找适当方法解决不同问题的愿

[高一数学]单位圆与诱导公式一

编制：李彩英审核：包科领导：年级主任：使用时间： 单位圆与诱导公式（一） 【学习目标】 1、理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三 角函数式的化简； 2、通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思 维方式； 3、感受学习、探索发现的乐趣与成功快乐。 【重点.难点】 重点：诱导公式的推导及应用。 难点：相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。 【使用说明与学法指导】 1.结合问题导学，用红色笔勾勒出疑惑点，独立完成探究题，并归纳总结； 2.限时30分钟完成导学案； 3.带※的重点班的C层可以不做。 一、问题导学 1、由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同名三角函数值相等． 即公式一：。 思考：除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等，那么它们的三角函数有何关系呢？ 2、角α的终边与角ˉα的终边关于x轴对称，α与ˉα的三角函数值之间的关系为： 公式二：。 思考：角2π-α与角α的三角函数值之间关系如何？ 3、角α的终边与角α±π的终边关于原点对称，α与α±π的三角函数值之间的关系为： 公式三：。 4、角α的终边与角π-α的终边关于y称，α与π-α的三角函数值之间的关系为： 公式四：。 二、合作.探究.展示 1、求下列三角函数值： （1）sin960；（2）) 6 43 cos( π；（3）) 4 19 cos( π - 2、利用单位圆，求适合cos 2 2 - = α ※3、化简) 2 cos( ) 2 sin( ) 5 sin( ) 3 cos( α π π α π α π α - ? - ? + -

圆概念公式定理

1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr2 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积S=nπr2/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl 〖圆的定义〗 几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。 集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 〖圆的相关量〗 圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率， 值是 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944 5923078164062862089986280348253421170679...， 通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。 圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 〖圆和圆的相关量字母表示方法〗 圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S 〖圆和其他图形的位置关系〗 圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

1.4.3单位圆与诱导公式

1.4.3单位圆与诱导公式 一.教学目标： （一）知识与技能：通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想。 （二）过程与方法：通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，并通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。 （三）情感态度与价值观：通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想，提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力。 二.教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。 三.教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明等。 四.学情分析： 五. 教学方法：讲授法与探究法。 六. 教学过程 第1课时 （一）、导入新课 思路1.(复习引入)我们前面利用单位圆得到了任意角的正弦、余弦函数，周期函数，最小正周期等概念.它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么呢？从周期函数的概念中我们知道正弦、,余弦函数值每隔2π就会重复出现，那么在单位圆中是怎样体现的呢？有什么内在的联系呢？由此引入新课. 思路2.在单位圆中，216°角的终边OP 在第三象限内，将OP 反向延长，与单位圆交于P′点，则在0°—90°之间找到一个角α=216°-180°=36°.由于△OPM ≌△OP′M′，所以有MP=M′P′.又因为sin216°=MP ，sin36°=M′P′，而MP 与M′P′的长度相同、方向相反，所以有sin216°=-sin36°.这样便把求sin216°的值的问题，转化为可查表的36°角的三角函数求值问题.你能把以上几何变换的过程，用三角关系式表示出来吗？由此引入新课. 或者从猜想中引入：比如学生根据上节所求，会得到以下结果： sin 65π＝sin 6π＝21，cos 65π＝-cos 6 π＝-21； sin 32π＝sin 3π＝23，cos 32π＝-cos 3 π ＝-23,等等. 教师由此发问:观察角65π与6π角的关系会得到什么结论？把角6π、6 5π 放到单位圆中又 有什么发现呢？让学生在强烈的探求欲望中展开新课，这也是一种很不错的选择. （二）、推进新课 新知探究

与圆有关的阴影面积的计算

辅导材料：与圆有关的阴影面积的计算 准备阶段： 1. 圆的面积公式：S r 2.其中r 为圆的半径. 1 2. 半圆的面积公式：S 半圆-r 2. 2 2 3. 扇形的面积公式：S 扇形n 其中r 为扇形的半径,n 为扇形的半径. 360 1 4?扇形的面积公式（另）：S 扇形尹.其中r 为扇形的半径,> 为扇形的弧长. n r 180 n r 1 r — Ir . 180 2 5. 关于旋转： （1） 复习旋转的性质? （2） 会画出一个图形旋转后的图形. （3） 旋转的作用：通过旋转，有时候我们可以把分散的几何条件集中起来，使题目 呈现出整体上的特点. 该作用也常用于与圆有关的阴影面积的计算? 6. 重点介绍：转化思想 在解决数学问题时，把复杂问题简单化，把一般问题特殊化，把抽象问题具体 化等的思想方法，叫做转化思想. 7?怎样求与圆有关的阴影的面积？ （1） 利用圆、半圆以及扇形的面积计算公式? 2 r ,1 360 2 . n r 1 --S 扇形 360 2

（2）利用整体与部分之间的关系. （3）采用整体思想求不规则图形的面积，一般将其转化为规则图形的和差来解决，具体可以通过平移、旋转或割补的形式进行转化

实战阶段： ★ 1.（ 2015河南）如图（1）所示，在扇 形AOB 中，/ AOB=90，点C 为OA 的 中点,CE 丄OA 交弧AB 于点E.以点O 为圆心,OC 的长为半径作弧CD 交OB 于点D.若OA=2,则阴影部分的面积为 解析：图（1）中阴影所在图形为不规 则图形,可以利用整体与部分之间的关 系的方法求解，即采用整体和差的方 法. 解:连结OE. ??? OA=OB=OE v CE 丄 OA ???△ COE 为直角三角形 v 点C 为OA 的中点 1 1 d 二 OC -OA -OE 1 2 2 ???在 Rt △ COE 中，/ CEO=30 ???/ EOC=60 vZ AOB=90 ? / BOE=30 在Rt △ COE 中,由勾股定理得： CE ,OE 2 OC 2 . 22 12 3 S 阴影 S COE S 扇 形OBE S 扇形OCD 1 1 30 22 2 90 12 2 360 360 3 2 12 ★ 2. （2015.贵州遵义）如图（2）所示, 在圆心角为90°的扇形OAB 中半径 OA=2 cm,C 为弧AB 的中点，D 、E 分 别是OA 、OB 的中点，则图中阴影部分 的面积是 __________ .

与圆有关的相关公式

与圆有关的相关公式 1、圆的半径： 2、圆的直径： 圆的半径=圆的直径÷2 圆的直径=圆的半径×2 或=圆的周长÷圆周率÷2 或=圆的周长÷圆周率 3、圆的周长： 4、圆的面积： 圆的周长=圆的直径×圆周率圆的面积=圆的半径2×圆周率或=圆的半径×2×圆周率或=（圆的直径÷2）2×圆周率 或=（圆的周长÷圆周率÷2）2×圆周率5、圆柱、圆锥的底面积： 圆柱、圆锥的底面积=底面半径2×圆周率 或=（底面直径÷2）2×圆周率 或=（底面周长÷圆周率÷2）2×圆周率 6、圆柱的侧面积： 圆柱的侧面积=底面周长×高 或=底面直径×圆周率×高 或=底面半径×2×圆周率×高 7、圆柱的表面积： 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+圆柱的底面积×2 或=底面周长×高+（底面周长÷圆周率÷2）2×圆周率×2 或=底面直径×圆周率×高+（底面直径÷2）2×圆周率×2 或=底面半径×2×圆周率×高+底面半径2×圆周率×2 8、圆柱的体积： 圆柱的体积=底面积×高 或=底面半径2×圆周率×高 或=（底面直径÷2）2×圆周率×高 或=（底面周长÷圆周率÷2）2×圆周率×高 9、圆锥的体积： 圆锥的体积=底面积×高 1 或=底面半径2×圆周率×高× 3 1 或=（底面直径÷2）2×圆周率×高× 3 1 或=（底面周长÷圆周率÷2）2×圆周率×高× 3

周长公式 长方形的周长=长×2+宽×2或=(长+宽)×2 C=2a+2b 或=2(a+b) 正方形的周长=边长×4 C=4a 平行四边形的周长=四条边的长度之和 梯形的周长=上底+下底+两条腰长 三角形的周长=三条边的长度之和 圆的周长=直径×圆周率或=半径×2×圆周率 C=πd 或=2πr 面积公式 长方形的面积=长×宽 S=ab 正方形的面积=边长×边长 S=a 2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2或=2 1 (上底+上底)×高 S=(a+b)h 三角形的面积=底×高÷2或=2 1 底×高 圆的面积=半径的平方×圆周率

中考复习与圆有关的计算

中考总复习——与圆有关的计算 ●教学目标 一、知识目标 1．弧长计算公式及扇形面积计算公式 2．圆锥的侧面积公式，表面积公式 二、能力目标 1．掌握弧长及扇形面积公式后，能用公式联想到与圆锥侧面和关系关掌握圆锥侧面积公式 2．能用弧长公式及扇形面积公式，求阴影部分的周长及面积 三、情感目标 1．体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．2．体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力． ●教学重点 1．经历复习弧长及扇形面积计算公式的过程． 2．理解圆锥侧面与底面的联系 3．会用公式解决问题． 4. 会用两个不同的式子表示圆锥侧面展开图的弧长，会用两种不同的式子表示圆锥的侧面积 ●教学难点 1．应用弧长及扇形面积计算公式解决问题 2．根据圆锥侧面与底面的联系解决问题 3. 求阴影面积 ●教学过程 一、知识点复习 同学们，今天我们要进行的是中考总复习的第24课时，与圆有关的计算。主要内容分为弧长及扇形面积，圆锥，阴影面积的求法这三方面内容。而这些计算都离不开公式。所以，我们先来把基本知识点复习一下。 （接下来由教师引导，学生回答）． 考点一：弧长及扇形面积 1．如果弧长为l，圆心角为n°，圆的半径为R，那么弧长的计算公式为：?Rn＝l1802．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．若 2?Rn扇形的圆心角为n°，所在圆的半径为R，弧长为l，面积为S，则S＝或3601S＝lR 2(注：公式中的n表示1°的圆心角的倍数，所以不写单位) 考点二：圆锥 1．如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那么它的侧面展开图是一个扇形．这个扇形的弧长等于底面的周长．这个扇形的面积可以用弧长l和底面半径r表示为________

与圆有关的计算教案

积是.北京立新学校教案 教案编号：__________授课日期:__20XX年4月日课题与圆有关的计算课型复习课 1.掌握圆锥、扇形面积公式，多边形内角和公式等与圆有关的计算公式 教学目标 教学重点教学难点教学策略2.能灵活运用上述公式进行与圆有关的面积、角、线段的计算能灵活运用上述公式进行与圆有关的面积、角、线段的计算 能灵活运用上述公式进行与圆有关的面积、角、线段的计算采用学生自主学习和合作学习的教学方法 教学过程设计 教学环节和时间分配一、课前预测 教师活动 1.已知圆锥的高是30cm，母线长是50cm，则圆锥的侧 面积是. 2、已知圆锥的底面半径是3cm，母线长为6cm，则侧面 积为________cm2．（结果保留π）3、已知圆锥的底面半 学生活动设计意图 径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为 独立完成课了解学生对与4.已知圆锥的底面半径是3，母线长是4，则圆锥的侧面前检测试 卷. 5.现有一个圆心角为90，半径为 8cm的扇形纸片，用它 恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面 圆的半径为. 6.一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长 为________．(结果保留π) 7.已知圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则这个圆锥的 侧面积为__________cm2． 圆的有关计算 这部分知识的 掌握情况，调动 学生已有的知 识记忆． 二、 知识回顾 1.扇形与圆锥的有关计算 (1)设扇形所在圆的半径为r，圆心角为n°，则： ①扇形的弧长：l＝_ ②扇形的面积：S＝______＝_______ （2）设圆锥的底面半径为r，底面周长为C，

单位圆与诱导公式(第一课时)

1.4.4单位圆与诱导公式 (第一课时) 主备人：刘红岩 教材分析 本节教学内容的安排是学生学过的三角函数定义等知识的延续和拓展.根据上一节任意角的正弦、余弦函数的定义，我们知道某角的三角函数值是由该角的终边上点的坐标给出的.我们根据这一点，即三角函数的定义，结合角α的终边与角π+α，-α，π-α的终边的对称性，找出这些角的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，并利用这些关系求一些角的三角函数值，化简一些三角函数式，即我们不仅要探索出这些关系式，还要掌握并能利用它们解决一些简单的问题. 诱导公式是求三角函数值的基本方法，求三角函数值是三角函数中的重要问题之一.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°-90°角的三角函数值问题.诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、,掌握数学的思想方法具有重大的意义. 在本节诱导公式的学习中，关键是紧紧抓住单位圆这一图形工具，充分利用数形结合思想，将化归思想贯穿始终，这些典型的数学思想，无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，都清晰地得到体现.在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识，特别是在本课时的几个转化问题引入后，为什么确定180°+α角为第一研究对象，-α角为第二研究对象，正是化归思想的运用.本节内容的重点是诱导公式的推导及运用，在公式的推导中，首先确定180°+α角、-α角的终边与角α的终边有何位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，由正弦函数、余弦函数的定义得出结论.另外，运用公式进行一般的化简，实际上也是熟悉公式、巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一. 本节课教学方法主要采用了引导、观察、分析、归纳、讨论、类比发现法，在教案设计过程中，一是立足于知识的发生、发展形成过程，不断创设问题情境，让学生从已有的知识及感知中去观察、分析、总结公式的特点提炼公式的含义；二是力求以学生为主体，对课本上内容进行重新处理，特别是通过设疑和学生间互相讨论，以及画图思考来引导学生发展思维，获取新知识，形成技能.这样既注重学生的认知结构培养，也体现数学教学是数学思维活动过程的教学；三是注重数学思想方法，如数形结合、化归、类比等数学思想方法，把握数学中最本质的东西，为学生进一步学习数学奠定坚实的基础. 教学目标 1.通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想. 2.通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，并通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力. 3.通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想，提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力. 重点难点 教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明等.

六年级下册有关圆的计算公式

小学有关圆的计算公式 1.圆周长=直径×圆周率=半径×2×圆周率 2.半圆形周长=πr+2r=（π+2）r=5.14r（注意：半圆形周长不同于圆周长的一半，前者要加直径） 3.圆面积=半径2×圆周率=（直径÷2）2×圆周率=（周长÷圆周率÷2）2×圆周率 4.圆环面积=（R2-r2）×圆周率 5.外圆内方阴影面积=1.14r2 6.外方内圆阴影面积=0.86r2 3.14×2=6.28 3.14×3=9.42 3.14×4=12.56 3.14×5=15.7 3.14×6=18.84 3.14×7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26 3.14×42=50.24 3.14×52=78.5 3.14×62=113.04 1.圆周长=直径×圆周率=半径×2×圆周率 2.半圆形周长=πr+2r=（π+2）r=5.14r（注意：半圆形周长不同于圆周长的一半，前者要加直径） 3.圆面积=半径2×圆周率=（直径÷2）2×圆周率=（周长÷圆周率÷2）2×圆周率 4.圆环面积=（R2-r2）×圆周率 5.外圆内方阴影面积=1.14r2 6.外方内圆阴影面积=0.86r2 3.14×2=6.28 3.14×3=9.42 3.14×4=12.56 3.14×5=15.7 3.14×6=18.84 3.14×7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26 3.14×42=50.24 3.14×52=78.5 3.14×62=113.04 1.圆周长=直径×圆周率=半径×2×圆周率 2.半圆形周长=πr+2r=（π+2）r=5.14r（注意：半圆形周长不同于圆周长的一半，前者要加直径） 3.圆面积=半径2×圆周率=（直径÷2）2×圆周率=（周长÷圆周率÷2）2×圆周率 4.圆环面积=（R2-r2）×圆周率 5.外圆内方阴影面积=1.14r2 6.外方内圆阴影面积=0.86r2 3.14×2=6.28 3.14×3=9.42 3.14×4=12.56 3.14×5=15.7 3.14×6=18.84 3.14×7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26 3.14×42=50.24 3.14×52=78.5 3.14×62=113.04 1.圆周长=直径×圆周率=半径×2×圆周率 2.半圆形周长=πr+2r=（π+2）r=5.14r（注意：半圆形周长不同于圆周长的一半，前者要加直径） 3.圆面积=半径2×圆周率=（直径÷2）2×圆周率=（周长÷圆周率÷2）2×圆周率 4.圆环面积=（R2-r2）×圆周率 5.外圆内方阴影面积=1.14r2 6.外方内圆阴影面积=0.86r2 3.14×2=6.28 3.14×3=9.42 3.14×4=12.56 3.14×5=15.7 3.14×6=18.84 3.14×7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26 3.14×42=50.24 3.14×52=78.5 3.14×62=113.04 1.圆周长=直径×圆周率=半径×2×圆周率 2.半圆形周长=πr+2r=（π+2）r=5.14r（注意：半圆形周长不同于圆周长的一半，前者要加直径） 3.圆面积=半径2×圆周率=（直径÷2）2×圆周率=（周长÷圆周率÷2）2×圆周率 4.圆环面积=（R2-r2）×圆周率 5.外圆内方阴影面积=1.14r2 6.外方内圆阴影面积=0.86r2 3.14×2=6.28 3.14×3=9.42 3.14×4=12.56 3.14×5=15.7 3.14×6=18.84 3.14×7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26 3.14×42=50.24 3.14×52=78.5 3.14×62=113.04 1.圆周长=直径×圆周率=半径×2×圆周率 2.半圆形周长=πr+2r=（π+2）r=5.14r（注意：半圆形周长不同于圆周长的一半，前者要加直径） 3.圆面积=半径2×圆周率=（直径÷2）2×圆周率=（周长÷圆周率÷2）2×圆周率

4.3单位圆与诱导公式

§4.3 三角函数的诱导公式(一) 班级：__________姓名：__________ 编制人：赵海莉 一、教材分析 （一）学习目标 1.利用三角函数的定义、单位圆及对称性推导出几组特殊角之间的三角函数关系，即诱导公式二、三、四，并会利用诱导公式进行化简、求值、证明。 2. 通过自主、合作、探究掌握公式的内涵及结构特征. 3.通过公式的推导与应用提升观察能力、分析归纳能力、领会数形结合的数学思想和化归的思想。（二）重难点 1．能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式二，并由此探究相关的其他诱导公式．(难点) 2．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简与证明问题．(重点) 3．各种诱导公式的特征．(易混点) 二、教学过程： （一）基础初探 1．设α为任意角，终边上的点P的坐标为(x,y)，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系及对称P 1 的坐标. 2.诱导公式一～四 (1)公式一：sin(α＋2kπ)＝__________，cos(α＋2kπ)＝________，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z. (2)公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________. (3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________. (4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________. 3.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)tan 210°＝ 3 3.() (2)对于诱导公式中的角α一定是锐角．() (3)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．() (4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．() (5)任意角α与-α的终边与单位圆的交点关于x轴对称. () (6)任意角α与π-α的终边与单位圆的交点关于y轴对称. () （二）核心突破 1.核心探究 问题1:比较公式一和公式二，你能得出什么结论？ 问题2：.在正切函数的诱导公式中，α可以是任意角吗？

圆的有关计算(例题+练习+详解)

知识框架 知识点一：扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180 n R l π= ； （2）扇形面积公式： 21 3602 n R S lR π= = n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积 2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 2S S S =+侧表底=2 22rh r ππ+ （2）圆柱的体积：2 V r h π= 3 .圆锥侧面展开图 （1）S S S =+侧表底=2 Rr r ππ+ （2）圆锥的体积：2 13 V r h π= 知识点二：圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ?中进行： ::1:3:2OD BD OB =； （2）正四边形 S l B A O 母线长 底面圆周长 C 1 D 1D C B A B1 R r C B A O D C B A O E C B A D O

D(B ')A(A ') D ' C 'C B C B D O A 同理，四边形的有关计算在Rt OAE ?中进行，::1:1:2OE AE OA =： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB ?中进行，::1:3:2AB OB OA =. 【例题经典】 考点1：圆的周长、弧长 中考中对圆的周长及弧长公式的考查内容难度较小，常以填空选择题出现。 [例1]如图,一块边长为8cm 的正方形木板ABCD,在水平桌面上绕点A 按逆时针方向旋转至A ′B ′C ′D ′的位置,则顶点C?从开始到结束所经过的路径长为( ) A.16cm B.162cm C.8πcm D.42πcm [例2] 如图，Rt △ABC 的斜边AB=35，AC=21，点O 在AB 边上，OB=20，一个以O 为圆心的圆，分别切两直角边边BC 、AC 于D 、E 两点，求DE 的长度． 【分析】求弧长时，只要分别求出圆心角和半径，特别是求半径时，要综合应用所学知识解题，如此题求半径时，就用到了相似． 考点2：扇形及不规则图形的面积 求不规则图形的面积一直是历年来中考考查的主要内容，一般方法是运用割补法和整体减局部的方法把不规则图形转化为规则图形，从而利用扇形公式等计算，从而达到考查目的。 [例3]如图,⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 相互外离,?它们的半径都是1,顺次连结四个圆心 得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(阴影部分)?的面积之和是( ) A.2π B. π C. 23π D. 2 π [例4] 如图3,扇形AOB 中,∠AOB=60°,AD=3cm,CD=3πcm,则图中阴影部分的面积为( ) A. 92πcm 2 B. 152πcm 2 C. 21 2 πcm 2 D.21πcm 2 [例5]如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形． B A O C B D A

北师版数学高一-教学设计1.4.3单位圆与诱导公式

4.3 单位圆与诱导公式 整体设计 教学分析 本节教学内容的安排是学生学过的三角函数定义等知识的延续和拓展.根据上一节任意角的正弦、余弦函数的定义，我们知道某角的三角函数值是由该角的终边上点的坐标给出的.我们根据这一点，即三角函数的定义，结合角α的终边与角π+α，-α，π-α的终边的对称性，找出这些角的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，并利用这些关系求一些角的三角函数值，化简一些三角函数式，即我们不仅要探索出这些关系式，还要掌握并能利用它们解决一些简单的问题. 诱导公式是求三角函数值的基本方法，求三角函数值是三角函数中的重要问题之一.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°-90°角的三角函数值问题.诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、，掌握数学的思想方法具有重大的意义. 在本节诱导公式的学习中，关键是紧紧抓住单位圆这一图形工具，充分利用数形结合思想，将化归思想贯穿始终，这些典型的数学思想，无论在本节中的分析导入，还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，都清晰地得到体现.在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识，特别是在本课时的几个转化问题引入后，为什么确定180°+α角为第一研究对象，-α角为第二研究对象，正是化归思想的运用.本节内容的重点是诱导公式的推导及运用，在公式的推导中，首先确定180°+α角、-α角的终边与角α的终边有何位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，由正弦函数、余弦函数的定义得出结论.另外，运用公式进行一般的化简，实际上也是熟悉公式、巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一. 本节课教学方法主要采用了引导、观察、分析、归纳、讨论、类比发现法，在教案设计过程中，一是立足于知识的发生、发展形成过程，不断创设问题情境，让学生从已有的知识及感知中去观察、分析、总结公式的特点提炼公式的含义；二是力求以学生为主体，对课本上内容进行重新处理，特别是通过设疑和学生间互相讨论，以及画图思考来引导学生发展思维，获取新知识，形成技能.这样既注重学生的认知结构培养，也体现数学教学是数学思维活动过程的教学；三是注重数学思想方法，如数形结合、化归、类比等数学思想方法，把握

与圆有关的计算

板块一 与圆有关的面积和长度计算 设O ⊙的半径为R ，n ?圆心角所对弧长为l ， 弧长公式：π180 n R l = 扇形面积公式：21π3602 n S R lR = =扇形 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+ 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+(l 为母线) 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法： ① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法 常考点：A 、计算弧长 B 、计算扇形面积 C 、阴影部分面积（转化、割补法） D 、 侧底 角圆锥侧面展开所对圆心S S l r = =360 E 、计算圆锥的表面积、侧面积 F 、计算最值面积（与二次函数最值结合、注意范围） G 、最短路径问题 【例1】 如图，已知O ⊙的半径6OA =，90AOB ∠=°，则AOB ∠所对的弧AB 的长为( ) A ．2π B ．3π C ．6π D ．12π 【巩固】 如图，边长为1的菱形ABCD 绕点A 旋转，当B C ，两点恰好落在扇形AEF 的弧EF 上 时，弧BC 的长度等于( ) Ａ． 6π Ｂ．4π Ｃ．3π Ｄ．2 π 与圆有关的计算

【巩固】已知圆上一段弧长为6π，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径为___________． 【例2】 已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画 弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为 cm (结果保留π)． 【例3】 矩形ABCD 的边86AB AD ==，，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地 翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111A B C D 时(如图所示)，则顶点A 所经过的路线长是_________． 【例4】 如图，已知半圆的直径12AB =厘米，点C D ，是这个半圆的三等分点，求弦AC AD ，和 CD 围成的阴影部分面积．(结果用π表示) 【巩固】 将ABC △绕点B 逆时针旋转到A BC ''△使A B C '、、在同一直线上，若90BCA ∠=°， 4cm 30AB BAC ?=∠=，，则图中阴影部分面积为 cm 2．

圆的有关计算问题专题

圆的有关计算问题专题 知识结构图 知识点一：扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180 n R l π= ； （2）扇形面积公式： 21 3602 n R S lR π= = n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积 2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 2S S S =+侧表底=222rh r ππ+ （2）圆柱的体积：2 V r h π= 3 .圆锥侧面展开图 （1）S S S =+侧表底=2 Rr r ππ+ （2）圆锥的体积：2 1 3 V r h π= 知识点二：圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ?中进行： ::32OD BD OB =； （2）正四边形 S l B O 母线长 底面圆周长 C 1 D 1D C B1 R r C B O D C B A O E C B A D O

A B C O ① ② ③ D(B ')A(A ') D ' C 'C B C B D O A 同理，四边形的有关计算在Rt OAE ?中进行，::1:1:2OE AE OA =： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB ?中进行，::1:3:2AB OB OA =. 【例题经典】 考点1：圆的周长、弧长 中考中对圆的周长及弧长公式的考查内容难度较小，常以填空选择题出现。 [例1]如图,一块边长为8cm 的正方形木板ABCD,在水平桌面上绕点 A 按逆时针方向旋转至A′B′C′D′的位置,则顶点C?从开始到结束所 经过的路径长为( ) A.16cm B.162cm C.8πcm D.42πcm [例2] 如图，Rt △ABC 的斜边AB=35，AC=21，点O 在AB 边上， OB=20，一个以O 为圆心的圆，分别切两直角边边BC 、AC 于D 、E 两点，求?DE 的长度． 考点2：扇形及不规则图形的面积 求不规则图形的面积一直是历年来中考考查的主要内容，一般方法是运用割补法和整体减局部的方法把不规则图形转化为规则图形，从而利用扇形公式等计算，从而达到考查目的。 [例3]如图,⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 相互外离,?它们的半径都是1,顺次连结四个圆心得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(阴影部分)?的面积之和是( ) A.2π B. π C. 23π D. 2 π [例4]如图3,扇形AOB 中,∠AOB=60°,AD=3cm,CD=3πcm,则图中阴影部分的面积为 ( ) A. 92πcm 2 B. 152πcm 2 C. 21 2 πcm 2 D.21πcm 2 [例5]如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90o 的扇形． （1）求这个扇形的面积（结果保留π）． （2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇 形围成一个圆锥？请说明理由． B A O C B D A

高中数学《单位圆与诱导公式》word练习题

【金榜教程】2014年高中数学 1.4.3单位圆与诱导公式检测试题 北师大版必修4 (30分钟 50分) 一、选择题(每小题4分，共16分) 1.(2011·宿州高一检测)sin480°的值为( ) (A)12 (B)32 (C)12- (D)32- 2.若sin(π-α)=13 - ,则sin(-5π+α)的值是( ) (A)13- (B)13 (C)13± (D)0 3.已知33cos()23π+α=则cos(32 π-α)的值是( ) (A) 33 (B )33 - (C)0 (D)不确定 4.若x ∈[-π,π]且3sinx 2=- 则x 等于( ) (A)23π或3π (B)3π-或43 π (C)23π或23π- (D)3π-或23 π- 二、填空题(每小题4分，共8分) 5.化简：sin(5)cos()cos(8)23sin()sin()2 πθ-π--θπ-θ=πθ--θ-π________. 6.若α是第一象限角，则sin α+cos α的值与1的大小关系是________. 三、解答题(每小题8分，共16分) 7.(2011·郑州高一检测)已知角α的终边经过点P(1,3)， (1)求sin(π-α)-sin( 2π+α)的值； (2)写出角α的集合S. 8.已知cos(π+θ)= 45 ,求cos()cos(2)cos [cos()1]cos cos()cos(2)π+θθ-π+θπ-θ-θπ-θ+θ-π. 【挑战能力】

(10分)设函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数，且满足f(2 010)=-1，求f(2 011)的值. 答案解析 1.【解析】选B.sin480°=sin(360°+120°)=sin120°=sin60°= 32. 2.【解析】选B.由sin(π-α)=13-得sin α=13 -. ∴sin(-5π+α)= sin(-6π+π+α)= sin(π+α)=-sin α= 13. 3.【解析】 选B. 33cos()cos[3()]22 ππ-α=π-+α 333cos[()]cos()223 ππ=π-+α=-+α=-. 独具【误区警示】解答本题若不用整体的思想，寻找已知角与所求角之间的关系，而是分别化简条件和所求，就会很麻烦. 4.【解析】选D.由3sinx 02=- ＜知x 是第三象限或第四象限的角，又3sin 32π=，且x ∈[-π,π]. ∴x 是第四象限角时,有x 3 π=-， 此时3sin()sin 332 π π-=-=-. x 是第三象限角时,有2x 3 π=-， 此时223sin()sin sin 3332 πππ-=-=-=-. 独具【方法技巧】诱导公式在给值求角问题中的应用 由诱导公式可知：相差π的整数倍的两个角同名三角函数值相等或互为相反数.利用这个结论可得如下推理： 例如已知sin α=m ，(|m|≤1)求角α. 首先找角x ∈[0,2 π],使sinx=|m|，然后根据诱导公式可知：正弦值的绝对值是|m|的角，有以下四类: 第一象限与x 终边相同， 第二象限与π-x 终边相同, 第三象限与π+x 终边相同,

初三数学--与圆有关的计算

初三数学与圆有关的计算 考点回顾： 1、如果弧长为l，圆心角的度数为n，弧所在的圆的半径为r，那么弧长的计算公式为； 2、设扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，扇形的面积为s，则扇形的面积的计算公式为 （其中l表示扇形的弧长）； 3、圆柱的侧面展开图为矩形，圆锥的侧面展开图是扇形； 4、设圆柱的底面半径为R，圆柱的高为h，则圆柱的侧面积为S＝2πRh，圆柱的全面积为S＝2πR2＋2πRh； 5、设圆锥的底面半径为r，母线长为a，则圆锥的侧面积为S＝πar，圆锥的全面积为 S＝πr2＋πar． 考点精讲精练： 例1、如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于F． （1）若弧CF长为，求圆心角∠CBF的度数； （2）求圆中阴影部分的面积（结果保留根号及π的形式）． 变式练习1、如图，半径OA＝6cm，C为OB的中点，∠AOB＝120°，求阴影部分面积． 例2、如图，AB切⊙O于点B，，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧的长为（）

变式练习2、如图，AB为⊙O的切线，半径OA＝2，OB交⊙O于点C，∠B＝30°，则劣 弧的长是__________． 例3、如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径为（） A、1 变式练习3、如果圆锥的底面周长为20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥 的母线长为________． 例4、如图，已知AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF． （1）证明：△AFO≌△CEB； （2）若EB＝5cm，，设OE＝x，求x的值及阴影部分的面积． 变式练习4、如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝6cm，求图中阴影部分的面积． 例5、如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁从A点出发，绕侧面一周又回 到A点，它爬行的最短路线长是多少？