浙江大学数学专业历年考研试题数学分析1995;1999-2018年

编号819第1页共1页浙江大学

2018年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目数学分析编号819

注意:答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。

一、(40分)计算下面各题(1)求极限lim n →∞n ?1∑k =1

(1+k n )sin kπn 2;(2)求lim

x →0ln (1+x +x 2)+arcsin 3x ?5x 3sin 2x +tan 2x ?(e x ?1)5;(3)求

∫∫

∑Rx d y d z +(z +R )2d x d y √x 2+y 2+z

2,其中∑为x 2+y 2+z 2=R 2的下半球面的上侧,R 为一常数;二、(10分)(1)用极限定义叙述lim x →+∞f (x )=+∞.(2)lim x →+∞x sin x √x +1

=+∞.三、(10分)证明有界闭集上的有限覆盖定理.

四、(15分)设函数列{f n (x )}在(a,b )上一致连续,并且f n (x )一致收敛于f (x ).证明f (x )在(a,b )上一

致连续.

五、(15分)构造或者证明是否存在函数f (x ):

(1)f (x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f (x )在(0,1)内有无数个零点,且对任意的x ∈(0,1)不存在x 使得f (x )=f ′(x )=0.

(2)假如f (0)和f (1)都不等于0,问上述的f (x )是否成立?

六、(15分)设f (y )在[0,1]上连续,且

K (x,y )=

y (1?x ),y

∞∑n =1

na n 收敛,定义x n =a n +1+2a n +2+···+ka n +k +···,(n =1,2,···)(1)问x n 是否有意义?

(2)求证lim n →∞

x n =0.八、(15分)设函数集合S ={

f (x ) sup x ∈R x m d k f d x k

<+∞,m,n ∈N }.若f (x )∈S ,求证?f (x )∈S ,其中?f (x )=∫+∞?∞f (t )e ?ixt d t,f (x )=∫+∞?∞?f (t )e ixt d t.九、(15分)设f (x )在(0,+∞)上连续可微,且存在L >0,使得对?x,y ∈(0,+∞)都有

|f ′(x )?f ′(y )|

证明:(f ′(x ))2<2Lf (x ).

考试科目:数学分析整理人：lyna

——By Celeste

1

2017浙江大学考研数学分析真题

考试时间：2017.12.25 14:00-17:00

By Celeste

一、（40分）

（1）3sin 0)(cos 1lim x

x x

x -→ （2）?+dx x sin 1

（3）

??≤++142222y x dxdy y x

（4）[]上展成余弦级数，在将ππ

02)(x x f -=

二、（10分）极限不存在证明：用n

n n 1)1(lim -+-N ∞→ε 三、

（1）、叙述有限覆盖定理

（2）、用有限覆盖定理证明：有上界数集必有上确界 四、上的最大值和最小值在求1)(22≤+-+=y x xy y x x f

五、

.)1()(0)(lim )(),1[)(1时当且证明收敛，

上单调函数，是+∞→==+∞+∞

→+∞

?x x

o x f x f dx x f x f x 六、

一致连续

的解析表达式，并证明求均成立，，有和一切实数对一切)()()!22(1)!

2()1()(10x f x f x n x k x f x n n n k k k +=+≤--∑ 七、?1

01sin 1的一致收敛区间讨论含参量积分dx x x

α 八、)(0)()()(',0)0()(R x x f x f x f R x f R x x f ∈≡≤∈?=∈证明：

有上连续，在 九、

{}{}[]B A x x x x B A x x n n n n n n n n n ，的聚点全体恰好构成证明对数列.

0)(lim ,lim lim ,1=-=<=+∞

→∞→∞→

浙江大学2017年硕士研究生招生考试试题

数学分析

一、(40分)计算下面各题

(1)()3

sin 0cos 1lim x x x x -→；(2)

dx x ?+sin 1；

(3)()

d xdy y x y x ??≤++142222；(4)将()x x f -=2

π在)(π,0上展开成余弦级数.二、(10分)利用N -ε语言证明()??? ??

+

-∞→n n n 11lim 不存在.三、(10分)求)(xy y x y x f -+=22,在区域1≤+y x 上的最大值与最小值.

四、(15分)(1)叙述有限覆盖定理；

(2)利用有限覆盖定理证明上确界存在性定理.

五、(15分)设()x f 是)(∞+,1上的单调函数，()dx x f ?∞

1收敛，证明：()0lim =+∞→x f x 并且()??

? ??=x x f 1ο()+∞→x .六、(15分)设()x f 对任意的自然数n 和任意的)(∞+∞-∈,x 都有

()()()()10!

221!21+=+≤--∑n n k k k x n x k x f .求()x f 的解析表达式并证明()x f 在 上一致连续.七、(15分)求含参量积分dx x x ??

? ???1sin 11

0α的一致收敛区间.八、(15分)设()x f 在 上连续可微，()00=f ，并且()()x f x f ≤'对任意的x ∈ 成立.证明：()0≡x f .

九、(15分)设数列{}n x 有界，lim lim n n n n x A B x →∞→∞=<=，并且()0lim 1=-+∞

→n n n a a .证明：数列{}n x 的所有聚点全体恰好是][B A ,.

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2. 3.

浙江大学

2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目数学分析编号8^

注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。计算下列各题（共40分，每小题10分）

lim

?一>〇〇

^j(n + \)(n + 2)■■?(? + ?)

n

lim

x~>0

ex sin x-x(l+x)

(cosx-1)ln(l-2x)

/T

Jo

sin(2n + r)x 7

-------------ax

sinx，其中n为自然数;

4jjx(l+ye^)^办’其中厶为由曲线；；=尤3,尤=-1，少=1 D

所围成的区域。

二、（共20分，每小题10分）

1.设浼5为非空数集，记五=证明：sup￡=max{supd，sup5}_

2.若;c…>0,且^…?“丄=1，证明：数列收敛.

n-^〇〇^

三、 （15分）利用有限覆盖定理证明：有界数列必有收敛子列?

4

编号g l 7 共页，第j 一页

极限li (15分)设凡〇定义在(f l ，6)上，证明：若对(4)内任一收敛点列W

， $/〇〇都存在，则/⑷在^，幻上一致连续.

五、 （15分）设，小[c ，+00)上连续非负函数，/⑷

c

M ]上连续。证明：/㈨在[a ,6]上一致收敛.

六、 （15分）求周期为2;r 的周期函数/⑷的F o u r ie r 级数，其中当 xe (-;r ,;r )时，/〇c ) = ；c 3;并求级数文；的和.

n=l n

七、 （15分）设/〇)在[a ,6]上有一阶连续导数，记乂 = 7^ —( /{_

x)dx ?b -a Ja 试证明：

\\f {x)-Afdx < (b -a )2\b a \f f (x )\2d x .

八、（15分）设炉00在[〇，]上连续，A ：〇,〇在[以]x [a ，5]上连续。构造函数列如下：/〇00 =的0，/力，《 = 1，2,…〇 试证明：当W 足够小时，函数列U w }收敛于一连续函数。

浙江大学2015年数学分析

2014浙大数学分析试题

1.（4×10）

（1）求lim x→1e x?12?√x

ln 2（2x?1）

（2）求∫t 2(1?t )2013dt

(3)求?e ?(x 2+xy+y 2)dxdy R 2

(4)求?x 3dydz +y 3dzdx +z 3dxdy S

,其中S 为x 2+y 2+z 2=1上半球面下侧。 2.（1）用闭区间套定理证明有限覆盖定理。

（2）用有限覆盖定理证明：对[a,b]上连续函数f （x ）,f(x)＞0，存在常数c ，c ＞0，使得 f(x)≥c ，x ∈[a,b].

3

f(x,y)={xy

(x 2+y 2)α, (x,y ）≠（0,0）0， (x,y )=(0,0)

求满足条件的α，使得f 在原点满足

（1） 连续 （2）可微 （3）方向导数存在。

4．和函数∑ln （1+n 2x 2)

n 3∞i=1，x ∈[0,1].证明其对X 一致收敛并分析其连续性、可积性和可微性。

5．f(x)可微，则f ‘(x)可积的充要条件是：存在可积函数g （x ），st

f(x)=f(a)+∫g (t )dt x a

6.空间体积为V 的?，X 0∈?，0＜α＜3,证明：

∫丨X ?X 0丨

α?3?dX ≤C V α3，其中C 与α有关。 7.f （x ）在[0,1]单增，证明： lim y→+∞∫f （x)sinxy x dx 10 = π2f （0+） 8.f （x ）在[a,+∞)一致连续，且对任意ξ＞0，序列{f （n ξ）}极限存在，求证：

lim x→∞f (x )存在。

浙江大学10年数学分析试题第11页，共11页