常见离散型随机变量分布列示例
常见随机事件的概率与分布列示例
1、耗用子弹数的分布列
例 某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．
分析：确定ξ取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得．
解：本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=⨯==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2
=⨯==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3
=⨯==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以4
1.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为：
ξ
0 1 2 3
P 0.9 0.09 0.009 0.0001
说明：搞清5=ξ的含义，防止这步出错．5=ξ时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以，
5
41.09.01.0)5(+⨯==ξP ．当然，
5
=ξ还有一种算法：即
0001.0)0009.0009.009.09.0(1)5(=+++-==ξP ．
2、独立重复试验某事件发生偶数次的概率
例 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________．
分
析
：
发
生
事
件
A
的
次
数
()
p n B ,~ξ，所以，
),,2,1,0,1(,)(n k p q q p C k p k
n k k n =-===-ξ其中的k 取偶数0，2，4，…时，为二项式
n q p )(+ 展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论．
解：由题，因为()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥，所以，
[][]
n n n n n n n n n p p q p q q p C q p C q p C P P P P )21(12
1
)()(21)4()2()0(4
4422200-+=-++=
+++=+=+=+==-- ξξξ．
（因为1=+q p ，所以p p q 21-=-）
说明：如何获得二项展开式中的偶数次的和？这需要抓住n
p q )(+与n
p q )(-展开式的特点：联系与区分，从而达到去除p 奇次，留下p 偶次的目的．
3、根据分布列求随机变量组合的分布列
例 已知随机变量ξ 的分布列为
ξ
－2 －1 0 1 2 3
P
121
123 124 121 122 12
1 分别求出随机变量221,2ξ η ξ η ==
的分布列． 解： 由于ξ η 211
=对于不同的ξ 有不同的取值x y 2
1
=，即2
3
21,121,2121,021,2121,1216
65544332211========-==-==x y x y x y x y x y x y ，所以1η 的分布列为
1η
－1
21- 0
21 1
32 P
12
1
12
3 12
4 12
1 12
2 12
1 2
2ξ η =对于ξ 的不同取值－2，2及－1，1，2η
分别取相同的值4与1，即2η 取4这个值的概率应是ξ 取－2与2值的概率121与12
2
合并的结果，2η 取1这个值的概率就是ξ 取－1与1值的概率
123与12
1合并的结果，故2η 的分布列为 2η
0 1 4 9
P
124 124 123 12
1 说明：在得到的1η 或2η 的分布列中，1η 或2η 的取值行中无重复数，概率得中各项必须非负，且各项之和一定等于1．
4、成功咨询人数的分布列
例 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为
4
3
，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列．
分析：3个人各做一次试验，看成三次独立重复试验，拨通这一电话的人数即为事件的发生次数ξ，故符合二项分布．
解：由题：⎪⎭⎫ ⎝⎛43,3~B ξ，所以3,2,1,0,4143)(33=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k P k
k k ξ，分布列为
ξ 0 1 2 3
P
641 649 6427 64
27
说明：次独立重复实验中，以事件发生的次数ξ为随机变量．
5、盒中球上标数于5关系的概率分布列
例 盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0，1，2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一．规定一个随机变量，并求其概率分布列．
分析：要求其概率的分布列可以先求个小球所对应的概率．
解：分别用321,,x x x 表示题设中的三类情况的结果：1x 表示“小于5”的情况，2x 表示“等于5”的情况，3x 表示“大于5”的情况．
设随机变量为ξ ，它可能取的值为ξ ,,,321x x x 取每个值的概率为
P x P ==)(1ξ （取出的球号码小于5）＝
105
， P x P ==)(2
ξ （取出的球号码等于5）＝101
， P x P ==)(3
ξ （取出的球号码大于5）＝104
． 故ξ 的分布列为
ξ
1x 2x 3x
P
21
10
1 5
2
小结：分布列是我们进一步解决随机变量有关问题的基础，因此准确写出随机变量的分布列是很重要的，但是我们不能保证它的准确性，这时我们要注意运算的准确性外，还可以利用
11
=∑=n
i i
p
进行检验．
6、求随机变量的分布列
例 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ 的分布列．
分析：由于任取三个球，就不是任意排列，而要有固定的顺序，其中球上的最大号码只有可能是3，4，5，可以利用组合的方法计算其概率．
解：随机变量ξ 的取值为3，4，5．
当ξ ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他二球的编号只能是1，2，故有
;101C C )3(35
23
===ξ P
当ξ ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他二球只能在编号为1，2，3的3球中取2个，故有
;103C C )4(35
2
3
===ξ P
当ξ ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他二球只能在编号为1，2，3，4的4球中取2个，故有
.53106C C )5(35
2
3
====ξ P
因此，ξ 的分布列为
ξ
3 4 5
P
101
103 10
6 说明：对于随机变量ξ 取值较多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．
7、取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列
例 一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．
分析：取出不合格品数的可能值是0，1，2，3，从而确定确定随机变量的可能值．
解：以ξ 表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则ξ 是一个随机变量，由题设ξ 可能取的数值是0，1，2，3．
当ξ ＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为
;750.012
3
)0(==
=ξ P 当ξ ＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为
;204.011
9
123)1(≈⋅=
=ξ P 当ξ ＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为
;041.011
9
112123)2(≈⋅⋅=
=ξ P 当ξ ＝3时，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为
.005.09
9
101112123)3(≈⋅⋅⋅=
=ξ P 所以ξ 的分布列为
ξ
0 1 2 3 P
0.750
0.204
0.041
0.005
说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量ξ的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列．
8、关于取球的随机变量的值和概率
例 袋中有1个红球，2个白球，3个黑球，现从中任取一球观察其颜色．确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率．
分析：随机变量变量是表示随机试验结果的变量，随机变量的可能取值是随机试验的所有可能的结果组成．
解： 设集合},,{321x x x M =，其中1x 为“取到的球为红色的球”，2x 为“取到的球为白色的球”，3x 为“取到的球为黑色的球”
． 我们规定：)3,2,1()(===i i x i ξ ξ ，即当i x x =时，i x =)(ξ
，这样，我们确定)(x ξ 就
是一个随机变量，它的自变是量x 取值不是一个实数，而是集合M 中的一个元素，即M x ∈，而随机变量ξ 本身的取值则为1，2，3三个实数，并且我们很容易求得ξ 分别取1，2，3三个值的概率，即
.2
1
63)3(,3162)2(,61)1(========ξ ξ ξ P P P
说明：确定随机变量的取值是根据随机试验的所有可能的结果．
离散型随机变量及其分布列33
离散型随机变量及其分布列 命题人：王斌 审核人： 1.袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为（ ） A.25 B.10 C.7 D.6 2.下列表中能成为随机变量X 的分布列的是（ ） A. X -1 0 1 P 0.3 0.4 0.4 B. X 1 2 3 P 0.4 0.7 -0.1 C. X -1 0 1 P 0.3 0.4 0.3 D. X 1 2 3 P 0.3 0.4 0.4 3.已知随机变量X 的分布列为P （X=i ）=a i 2（i=1，2，3），则P （X=2）等于 （ ） A.91 B.61 C.31 D.41 4.一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，其中出现次品的概率是 . 5.若X 的分布列为 则常数c= . 6、将4封不同的信随机地投入到3个信箱里，记有信的信箱个数为ξ，试求ξ的分布列． X 0 1 P 9c2-c 3-8c 基础自测
例1 一袋中装有编号为1，2，3，4，5，6的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以X表示取出的最大号码. （1）求X的分布列； （2）求X＞4的概率. 例2:某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列. 例3 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：（1）2X+1的分布列； （2）|X-1|的分布列.
1.袋中有3个白球，3个红球和5个黑球.从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分.求所得分数ξ的分布列. 2.袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分. （1）求得分X 的分布列； （2）求得分大于6的概率. 3.已知随机变量ξ的分布列为 ξ -2 -1 1 2 3 P 121 12 3 12 4 12 1 12 2 12 1 分别求出随机变量η1=ξ 21 ，η2=2 ξ的分布列.
随机变量及其分布列.几类典型的随机分布
随机变量及其分布列.几类典型的随机分布 1． 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示． 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)i n =列表表示： X X 的分布列． 2．几类典型的随机分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． 两点分布又称01-以这种分布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件 ()n N ≤， 这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为 C C ()C m n m M N M n N P X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参
数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． ⑶二项分布 1．独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为 ()C (1)k k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布 若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立 重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X 的分布列 由式 00111 0()C C C C n n n k k n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++ 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ． 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则 ()E X np =，()D x npq =(1)q p =-． ⑷正态分布 1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为 X 的概率密度曲线． 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布 ⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从 正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 22 ()2()x f x μσ--= ，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>， μ-∞<<+∞． 式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．
高中数学—离散型随机变量及其分布列-习题
对事件的描述，有时是很复杂的，有没有量化的可能呢？ 1.随机变量 引例1 随机试验：某人射击一次，其结果是什么呢？ 引例2 随机试验：任意掷一枚硬币，其结果是什么呢？ 从上面两个引例可看出随机试验的结果可用一个数来表示，且这个数是唯一的，这个数在一次随机实验前是无法确定的，在不同次的随机试验中，表示结果的数值可能发生变化，也就是说随机实验的结果可用一个变量来表示. 定义： 如果随机试验的结果可用一个变量来表示，而且这个变量是随着试验结果的不同而变化的，则这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母“ξ”，“η”来表示, 如：在“随机试验：某人射击一次”中，可用“ξ=9”表示“射击一次，命中9环”这一事件； 在“随机试验：任意掷一枚硬币”中，可用“ξ=0”表示“任意掷一枚硬币，正面向上”这一事件； 2.随机变量的分类 引例3 随机试验：考察某自动装置无故障运转时间； 引例4 随机试验：某林场树最高30米，考查树高
对于随机变量可能取的值，可按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量； 如果随机变量可取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量； 在实际问题中，有些随机变量是可用其他随机变量表示的，如下例： 引例5 在一次知识问答竞赛中规定：参赛者得分为在基本分50分的基础上累加答对题目所得分数为其总得分，其中答对一题得5分，答错或不答不得分，现共20题，考查某人参赛后得分“ξ”与答对题目数“η”关系 (某人参赛后得分“ξ”与答对题目数“η”都是离散型随机变量) 引例6 正方形边长η与其面积ξ的关系 3.离散型随机变量的分布列 引例7 一个布袋中共有50个完全相同的球，其中标记为0号的球有5个，其余的球按如下要求标记：标记为k号的球有k个，k=1,2,3…, 设随机变量ξ表示从袋中任取一球所得球的号数，写出ξ取不同值时的概率； 引例8 投两颗骰子，设随机变量ξ表示掷得点数和，写出ξ取不同值时的概率；
常见离散型随机变量分布列示例
常见随机事件的概率与分布列示例 1、耗用子弹数的分布列 例 某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列． 分析：确定ξ取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得． 解：本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=⨯==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2 =⨯==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3 =⨯==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以4 1.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 0.9 0.09 0.009 0.0001 说明：搞清5=ξ的含义，防止这步出错．5=ξ时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以， 5 41.09.01.0)5(+⨯==ξP ．当然， 5 =ξ还有一种算法：即 0001.0)0009.0009.009.09.0(1)5(=+++-==ξP ． 2、独立重复试验某事件发生偶数次的概率 例 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________． 分 析 ： 发 生 事 件 A 的 次 数 () p n B ,~ξ，所以， ),,2,1,0,1(,)(n k p q q p C k p k n k k n =-===-ξ其中的k 取偶数0，2，4，…时，为二项式 n q p )(+ 展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论．
常见的离散型随机变量的分布列、均值与方差(学生)
常见的离散型随机变量的分布列、均值与方差 【知识要点】 一、离散型随机变量及其分布列 1、随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。长用希腊字母ηξ，来表示。 若ξ是随机变量，b a +=ξη，其中b a ，是常数，则η也是随机变量。 2、离散型随机变量 如果对于随机变量可能取的值，可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。 3、离散型随机变量的分布列 （1）若离散型随机变量X 可能取的不同值为n i x x x x ，，，， ，??????21，X 取每一个值)21(n i x i ，，， ???=的概率i i p x X P ==)(，以表格的形式表示如下： 此表称为离散型随机变量X 的分布列，简称X 的分布列。有时为了表达简单，也用等式i i p x X P ==)(，n i ，，，???=21，表示X 的分布列。 （2）性质：①n i p i ，，， ，???=≥210；②11=∑=n i i p ；③在某个范围内取值的概率等于这个范围内每个随机变量值的概率的总和。 4、常见离散型随机变量 （1）两点分布 若随机变量X 的分布列是 则这样的分布列称为两点分布列。如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就
称X 服从两点分布（也称伯努利分布），而称)1(==x P p 为成功概率。其EX=p ，DX=p(1-p). （2）超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数， 则事件{X=k}发生的概率为m k C C C X P n N k n M N k M ，，，，，???=?==--210)k (，其中}min{n M m ，=，且*∈≤≤N N M n N M N n 、、，，，称分布列 为超几何分布列。如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布。 记作：1 ) 1()(--- ?== N n N N M N nM DX N nM EX n M N H X ，，其，，—。 【例题1—1】一次数学摸底考试，某班60名同学的成绩的频率分布直方图如图所示，若得分90分以上为及格。从该班任取一位同学，其分数是否及格记为ξ，求ξ的分布列。 解： 【例题1—2】某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛，用X 表示其中的男生人数，求X 的分布列。 解：
离散型随机变量及其分布列知识点
离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量及其分布列知识点 离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。 离散型随机变量的概率分布列 概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P 表示。其一般形式如下： P(X=x1)=p1 P(X=x2)=p2 P(X=x3)=p3 … P(X=xn)=pn 其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。 离散型随机变量的特点
1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。 2. 取值之间具有间隔或间距。 3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。 4. 概率之和为1。 离散型随机变量的常见分布 1. 0-1分布 0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。其分布列为： P(X=0)=1-p P(X=1)=p 2. 二项分布 二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。其分布列为：
P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k) 其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。 3. 泊松分布 泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。其分布列为： P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k! 其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。 总结 离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。
离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的分布列 1．离散型随机变量的分布列 (1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值 x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下： X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 的概率分布列，简称为的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①p i ≥0，i ＝1，2，…，n ； （1）离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.和函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P （X ＝x i ）＝p i ，i ＝1，2，…，n 和图象表示. （2）随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况. 2．两个特殊分布 (1)两点分布 X 0 1 P 1－p p 若随机变量X p ＝P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －M C n N ， k ＝0，1，2，…，m ， 即
X 01…m P C0M C n－0 N－M C n N C1M C n－1 N－M C n N … C m M C n－m N－M C n N 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． (1)超几何分布的模型是不放回抽样． (2)超几何分布中的参数是M，N，n. (3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( ) (2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( ) (3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( ) (4)超几何分布的模型是放回抽样．( ) 答案：(1)×(2)×(3)√(4)× 下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是( ) A. ξ－10 1 P 0.30.40.4 B. ξ12 3 P 0.40.7－0.1 C. ξ－10 1 P 0.30.40.3 D. ξ12 3 P 0.30.10.4 答案：C
专题01 离散型随机变量分布列(解析版)
概率与统计 专题01 离散型随机变量分布列 常见考点 考点一 离散型随机变量分布列 典例1．某校组织“百年党史”知识比赛，每组有两名同学进行比赛，有2道抢答题目．已知甲、乙两位同学进行同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等．抢到题目且回答正确者得100分，没回答者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得50分，2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲答对每道题目的概率为45 ．乙答对每道题目的概率为35 ，且两人各道题目是否回答正确相互独立． (1)求乙同学得100分的概率； (2)记X 为甲同学的累计得分，求X 的分布列和数学期望． 【答案】(1) 37100 ； (2)分布列见解析，()100E X =. 【解析】 【分析】 （1）应用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法，求乙同学得100分的概率； （2）由题意知X 可能值为{0,50,100,150,200}，分别求出对应概率，写出分布列，进而求期望. (1) 由题意，乙同学得100分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误}、{甲乙各抢到一题都回答正确}、{甲抢到两题且回答错误}， 所以乙同学得100分的概率为1312 1413111137222525 25252525 100 ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. (2) 由题意，甲同学的累计得分X 可能值为{0,50,100,150,200}， 1111111313134 (0)225252525252525P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=； 121112134 (50)222525252525 P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=； 1212111414139(100)2225252525252525P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=；14124 (150)2252525 P X ==⨯⨯⨯⨯=；
离散型随机变量的分布列
之马矢奏春创作 时间：二O二一年七月二十九日 2.两点分布、超几何分布 教学重点、难点:离散型随机变量的分布列 教学过程： 一．知识导读 1.离散型随机变量的分布列 (1)界说：一般地,若离散型随机变量X可能取的分歧值为 ,,………… X取每一个值(i=1,2,3,4,……n)的概率P（X=）=以表格的形式 暗示如下： X ………… P ………… 那么上表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列 （2）暗示：离散型随机变量可以用_________、________、________暗示 （3）性质：离散型随机变量的分布列具有如下性质 ①≥____________（i=1,2,3……n） ②=____________ 2.两个特殊分布列
（1）两点分布 如果随即变量X的分布列是 X 0 1 P 1-P P 这样的分布列叫做两点分布列,如果随机变量X的分布列 为两点分布列,就称X服从_____________,而称P=P （X=1）为______________ （2）超几何分布列 一般地,在含有M件次品的N件产物中,任何n件其中恰 有X件为次品,则事件{X=K}发生的概率为P（X=K） =_______________(K=0,1,2,3……m)其中m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,（n,m,n∈） X 0 1 …m P … 为________________________________ 如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量 X服从__________________________________ 二、例题讲解 例1.一袋中装有6个同样年夜小的小球,编号分别为1,2,3,4,5,6现从中随即取出3个球,以X暗示取出球的最年夜号码,求X的分布列 变式1.将一颗骰子掷两次,求两次掷出的最年夜点数量的分布列例 2.已知离散型随机变量的分布列为P(ξ=)=ak
(整理版)求离散型随机变量的分布列
求离散型随机变量的分布列 学习离散型随机变量最重要的根本能力是求离散型随机变量的分布列，而解决这类问题应注意以下几个步骤：〔1〕确定离散型随机变量ξ所有的可能取值，并确定i x ξ=的意义；〔2〕尽量寻求计算()i P x ξ=的普遍规律；〔3〕检查计算结果是否满足分布列的第二条性质。下面通过例题来说明求离散型随机变量的分布列方法。 例1.袋中有5个编号为1，2，3，4，5的球，等可能地任取3个球，求取出的3个球的最大号码ξ的分布列。 分析：先从ξ的特殊取值进行分析，然后再总结出计算()i P x ξ=的普遍规律，从而求出ξ的分布列。 解：因为ξ为最大号码数，所以ξ的取值为3，4或5， 设(3,4,5)i i i ξ==表示取出的三个球中号球最大。 当3ξ=时，剩下的两个球只能取1，2 ，3 511 (3)10 P C ξ∴== = 当4ξ=时，剩下的两个球只能取1，2 ，3中的两个，23353 (4)10 C P C ξ∴=== 当5ξ=时，剩下的两个球可取剩下的四个数中的两个，243563 (5)105 C P C ξ∴==== 故ξ的分布列为: 点评: 如果对上述解题过程进行探讨, 寻求计算()i P x ξ=的普遍规律；可进一步培养学生的思维能力尤其重要. 另解取出的三个球中第i 号球最大, ∴剩下的两球只能取 1,2,3,,1i -号中的两个,2135(1)(2) (),(3,4,5)10 i C i i P i i C ξ---∴====,从而求出分布 列. 例2 某人参加射击, 击中目标的概率为 13 , (1) 设ξ为他射击6次击中目标的次数, 写出ξ的分布列.
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列 知识梳理 1、离散型随机变量：随机变量的所有取值可以 的随机变量叫离散 型型随机变量。 注意：①i p ≥ （i=1,2,…,n ） ②n n i i p p p p +++=∑=....211= . 3、常见离散型随机变量的分布列 （1X 的分布列为 则这样的分布列叫做两点分布列，称X 服从两点分布，称p= 为成功概 率。 （2）二项分布： ①独立重复试验：在相同的条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复的试验，它的特点是： 每次试验的结果只有两种，就是 ；各次试验相互独立。 ②恰有k 次发生的概率：在n 次独立重复的试验中，X 表示事件A 发生的次数， p 是事件A 发生的概率，则事件A 刚好发生k 次的概率是P(X=k) =,k=0,1,2,…,n,此时称随机变量X 服从二项分布，记作 ，并 称p 为成功概率。 （3）超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次 品，则事件{X=k}发生的概率P(x=k)=n N k n M N k M C C C --, k=0,1,2,…,m(其中
题组一 离散型随机变量的性质 1、已知随机变量ξ的分布列为（右图），则m= . 2、已知某离散型随机变量ξ 则常数k 的值为( ) A.15 B.16 C.19 D ．不存在 3、(2012岳阳模拟)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为(上图)：，则q=（ ） A. 1 B. 221± C .221- D .2 21+ 4、设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，若P(X ＜4)＝0.3，则n=（ ） A.3 B.4 C.9 D ．10 5、设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a i )3 1(⨯，i ＝1,2,3，则a 的值为( ) A ．1 B.913 C.1113 D.2713 6、随机变量ξ的概率分布规律为：P (ξ＝n )＝a n (n ＋1) (n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12<ξ<52＝________. 题组二 分布列的求法 1 ξ＝8)＝________. 2、已知随机变量ξ 则ξ为奇数的概率为 3、盒中有16个白球和4个黑球，从中任意取3 个，设ξ表示其中黑球的个数，求ξ的分布列。
离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的分布列 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示. 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量. 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出. 若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量. 并且不改变其属性（离散型、连续型） . 1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 . 2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0 ≤≤A P ，并且不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1) 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 .即 ⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ . 3.两点分布列: 例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令 ⎧⎨ ⎩1，针尖向上； X =0,针尖向下. 如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列． 解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是 ． 两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布 ( two 一point distribution)，而称p =P (X = 1）为成功概率． 两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布． ()q P ==0ξ， ()p P ==1ξ， 10<
离散型随机变量及其分布列考点与题型归纳
离散型随机变量及其分布列考点与题型归纳 一、基础知识 1. 随机变量的有关概念 (1) 随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X, Y, ",…表示❶. (2) 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量. 2. 离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为XI, X2,…，X ，…，X”，X 取每一个 值…，“) 的概率P(X=Xi)=ph 以表格的形式表示如下： ❷此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列.有时也用等式P(X=Xi ) =p“ i=\, 2, •••, n 表示X 的分布列. (2)分布列的性质 7=1,23，…，"：②口「=1・ 3・常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列 若随机变量X 的分布列具有左表的形式，则称/服从两点分布❸,并称p=P(X=1)为成功概率. ⑵超几何分布列 ❹ 在含有M 件次品的N 件产品中，任取"件，其中恰有X 件次品，则P(X=Q=9g 鱼， £=0丄2,…，m,其中加=min{M ，”}，」LM NU N '❺. 如果随机变量X 的分布列具有左表的形式，则称随机变就服从超几何分布. ❶若X 是随机变量,则Y=aX+b(a , b 为常数)也是随机变量.
睡中第一行表示随机变量的取值；第二行对应变量的概率.
A.1 C. A/ 3 yl33 B 丹 ❸两点分布的试验结果只有两个可能性,其概率之和为1. 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是: 0 (1)考察对■象分两类； (2)已知各类对象的个数； (3)从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布. 超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型. ©ni=min{M, 11}的理解 m为£的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数,即” 时,H抽取的样本中次品的件数)的最大值为川二〃当抽取的产品件数大于总体中次品件数即n ＞皿时，k的最大值为tn=M. 考点一离散型随机变量的分布列的性质 1•设X是一个离散型随机变量，其分布列为 则q的值为() 解析：选C由分布列的性质知 3 - 3狞0 , V 9—解得g二I-辱 g + 2-3g +『二1 , 2•离散型随机变量X的概率分布规律为尸&=〃)=亦务(” =1,2,3,4),其中a是常数,
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列 一、基础知识 1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示❶. (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下： ❷ .有时也用等 式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列. (2)分布列的性质 ①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；②∑i ＝1n p i ＝1. 3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列 错误! (2)超几何分布列❹ 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝ k )＝C k M C n －k N －M C n N ，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ， N ∈N *❺.
如果随机变量X的分布列具有左表的形式，则称随机变量X服从超几何分布. 若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量． 表中第一行表示随机变量的取值；第二行对应变量的概率． 两点分布的试验结果只有两个可能性，其概率之和为1. 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是： (1)考察对象分两类； (2)已知各类对象的个数； (3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布． 超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. m＝min{M，n}的理解 m为k的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数，即n≤M时，k(抽取的样本中次品的件数)的最大值为m＝n；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即n＞M时，k的最大值为m＝M. 考点一离散型随机变量的分布列的性质 1.设X是一个离散型随机变量，其分布列为
离散型随机变量及其分布列
10．6 离散型随机变量及其分布列 班级姓名 一、学习目标： (1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概 念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性． (2)理解两点分布和超几何分布的意义，并能进行简单的 应用． 二、学习建议： 1．随机变量的确定是根本； 2．概率的计算 是关键． 三、自主预习 已知下列四个命题： ①某机场候机室中一天的游客数量为ξ；②某数学老师一 节课向学生提问次数为ξ； ③某水文站观察到一天中长江的水位为ξ；④某立交桥一 天经过的车辆数为ξ. 其中不是离散型随机变量的是( ) A．①中的ξ B．②中的ξC．③中的ξD．④中的ξ
知识链接1．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为__________，常用字母X、Y、ξ、η、…表示． 所有取值可以一一列出的随机变量称为____________________． 2．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列． 知识链接2． 离散型随机变量的分布列 一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…， x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，Array n)的概率P(X＝x i)＝p i，则表 称为离散型随机变量X的________________，简称________． 有时为了表达简单，也用等式P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n表示X的分布列． 常见离散型随机变量的分布列 (1)超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其
中恰有X 件次品， 则事件{X ＝k }发生的概率为_ ， k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称分布列 为 ，如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从 _ ． (2)两点分布 若随机变量X 的分布列是 ，则这样的分布列称为_____ ． 如果随机变量 X 的分布列为_ ， 就称X 服从两点分布，而称_ 为成功概率． 3．随机变量X 的分布列如下： 其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝____ ____ 知识链接3．离散型随机变量分布列的性质 (1)_________________________ ；
离散型随机变量的分布列及均值、方差
离散型随机变量的分布列及均值、方差 1.离散型随机变量的分布列 (1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量. (2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量. (3)设离散型随机变量X 的取值为a 1，a 2，…随机变量X 取a i 的概率为p i (i ＝1,2，…)，记作：P (X ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…)， 或把上式列表： 称为离散型随机变量X 的分布列. (4)性质： ①p i >0，i ＝1,2，...； ②p 1＋p 2＋ (1) 2.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…r ). (1)均值 EX ＝a 1p 1＋a 2p 2＋…＋a r p r ，均值EX 刻画的是X 取值的“中心位置”. (2)方差 DX ＝E (X －EX )2为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度. 3.均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aEX ＋b . (2)D (aX ＋b )＝a 2DX .(a ，b 为常数) 4.超几何分布 一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品.从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么 P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N (其中k 为非负整数). 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布.
概念方法微思考 1.随机变量和函数有何联系和区别？ 提示 区别：随机变量和函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射； 联系：随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域. 2.离散型随机变量X 的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？ 提示 代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的. 3.如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确？ 提示 可用p i >0，i ＝1,2，…，n 及p 1＋p 2＋…＋p n ＝1检验. 4.随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？ 提示 随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量.( √ ) (2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.( √ ) (3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X 服从超几何分布.( √ ) (4)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (5)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.( √ ) (6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.( √ ) 题组二 教材改编 2.设随机变量X 的分布列如下： 则p 为( ) A.16 B.13 C.14 D.112 答案 C 解析 由分布列的性质知， 112＋16＋13＋1 6 ＋p ＝1，
高中数学-离散型随机变量的分布列
高中数学-离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的分布列 一.基本理论 (一)基本概念 (1) 随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量来表示, 随机变量常用希腊字母ηξ,等表示. (2) 离散型随机变量: 如果对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.例如,射击命中环数ξ是一个离散型随机变量. (3) 连续型随机变量 如果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的随机变量叫连续型随机变量. （二）离散型随机变量的分布列 1.设离散型随机变量ξ可能取的值为ΛΛ,,,2 1 n x x x ,ξ 取每一个值)4,3,2,1(Λ=i x i 的概率 i i p x P ==)(ξ,则称下表 ξ 1 x 2 x … n x … P 1 p 2 p … i p …
为随机变量ξ的概率分布,简称为ξ的分布列. 分布列的表达式可以是如下的几种(A)表格形式; (B)一组等式 (C)压缩为一个帶i 的形式. 2.由概率的性质知,任一离散型随机变量的分布列具有下列二个性质: (A),3,2,1,0Λ=≥i p i (B)1 2 1 =++Λp p 3. 求分布列三种方法 (1)由统计数据得到离散型随机变量分布列； (2)由古典概型求出离散型随机变量分布列； (3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列． 4..离散型随机变量的期望与方差 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布列为 ξ 1 x 2x … n x … P 1 p 2 p … i p … 则称Λ Λ++++=n n p x p x p x E 2 2 1 1ξ为ξ的数学期望或平均 数.或均值. Λ Λ+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的均方差. 简称方差. ξ D 叫标准差.