常用离散型随机变量的概率分布

常用离散型随机变量的概率分布

一、离散型随机变量简介

离散型随机变量是指只能取有限个或可数个值的随机变量。在概率论与数理统计中，离散型随机变量的概率分布描述了该随机变量每个可能取值的概率。在实际问题中，常用的离散型随机变量包括伯努利分布、二项分布、泊松分布和几何分布等。

二、伯努利分布

伯努利分布是一种表示两个可能结果的离散型概率分布。它的特点是每次试验只有两个可能结果：成功和失败。该分布由一个参数p确定，表示成功的概率，成功的概率为p，失败的概率为1-p。

伯努利分布的概率质量函数如下：

P(X=x) = p^x * (1-p)^(1-x)

其中，x为随机变量X的取值（0或1），p为成功的概率。

三、二项分布

二项分布是一种多次独立重复实验的离散型概率分布。它描述了n次重复独立实验中成功次数的概率分布。每次实验都有两个可能结果：成功和失败。每次实验成功的概率为p，失败的概率为1-p。

二项分布的概率质量函数如下：

P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)

其中，X为成功次数的随机变量，k为取值，n表示实验的次数，p为每次实验成功的概率。

四、泊松分布

泊松分布是描述单位时间（或单位空间）内某种事件发生次数的离散型概率分布。泊松分布适用于很多事件发生的情况，例如到达人口数量、电话交换机接收到的呼叫数量等。泊松分布的特点是事件的发生率稳定且独立。

泊松分布的概率质量函数如下：

P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!

其中，X为事件发生次数的随机变量，k为取值，λ表示单位时间（或单位空间）

内事件的平均发生次数。

五、几何分布

几何分布是描述进行独立重复实验，直到第一次成功出现时的实验次数的离散型概率分布。每次实验成功的概率为p，失败的概率为1-p。

几何分布的概率质量函数如下：

P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p

其中，X为成功所需的实验次数的随机变量，k为取值，p为每次实验成功的概率。

六、总结

在概率论与数理统计中，离散型随机变量的概率分布是揭示随机事件规律的数学工具。在实际问题中，我们经常会遇到伯努利分布、二项分布、泊松分布和几何分布等离散型随机变量，并利用其概率分布进行概率计算和数据分析。理解常用离散型随机变量的概率分布，对于解决实际问题和应用统计学具有重要的意义。

随机变量的概率

随机变量的概率 (选修2-3) 一、知识回顾 1. 离散型随机变量x 的概率分布 随机变量x 有n 个取值 x x x ,,, ，且),,2,1(,)(n i p x X P ===——概率分布列 性质：（1）01,(1,2, ,)i p i n ≤≤=；（2）121=+++n p p p 。 2. 两点分布或0-1分布： （0

常见离散型随机变量分布列示例

常见随机事件的概率与分布列示例 1、耗用子弹数的分布列 例 某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列． 分析：确定ξ取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得． 解：本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=⨯==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2 =⨯==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3 =⨯==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以4 1.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 0.9 0.09 0.009 0.0001 说明：搞清5=ξ的含义，防止这步出错．5=ξ时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以， 5 41.09.01.0)5(+⨯==ξP ．当然， 5 =ξ还有一种算法：即 0001.0)0009.0009.009.09.0(1)5(=+++-==ξP ． 2、独立重复试验某事件发生偶数次的概率 例 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________． 分 析 ： 发 生 事 件 A 的 次 数 () p n B ,~ξ，所以， ),,2,1,0,1(,)(n k p q q p C k p k n k k n =-===-ξ其中的k 取偶数0，2，4，…时，为二项式 n q p )(+ 展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论．

常见的离散型随机变量的分布列、均值与方差(学生)

常见的离散型随机变量的分布列、均值与方差 【知识要点】 一、离散型随机变量及其分布列 1、随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。长用希腊字母ηξ，来表示。 若ξ是随机变量，b a +=ξη，其中b a ，是常数，则η也是随机变量。 2、离散型随机变量 如果对于随机变量可能取的值，可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。 3、离散型随机变量的分布列 （1）若离散型随机变量X 可能取的不同值为n i x x x x ，，，， ，??????21，X 取每一个值)21(n i x i ，，， ???=的概率i i p x X P ==)(，以表格的形式表示如下： 此表称为离散型随机变量X 的分布列，简称X 的分布列。有时为了表达简单，也用等式i i p x X P ==)(，n i ，，，???=21，表示X 的分布列。 （2）性质：①n i p i ，，， ，???=≥210；②11=∑=n i i p ；③在某个范围内取值的概率等于这个范围内每个随机变量值的概率的总和。 4、常见离散型随机变量 （1）两点分布 若随机变量X 的分布列是 则这样的分布列称为两点分布列。如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就

称X 服从两点分布（也称伯努利分布），而称)1(==x P p 为成功概率。其EX=p ，DX=p(1-p). （2）超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数， 则事件{X=k}发生的概率为m k C C C X P n N k n M N k M ，，，，，???=?==--210)k (，其中}min{n M m ，=，且*∈≤≤N N M n N M N n 、、，，，称分布列 为超几何分布列。如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布。 记作：1 ) 1()(--- ?== N n N N M N nM DX N nM EX n M N H X ，，其，，—。 【例题1—1】一次数学摸底考试，某班60名同学的成绩的频率分布直方图如图所示，若得分90分以上为及格。从该班任取一位同学，其分数是否及格记为ξ，求ξ的分布列。 解： 【例题1—2】某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛，用X 表示其中的男生人数，求X 的分布列。 解：

常用离散型随机变量的概率分布

常用离散型随机变量的概率分布 一、离散型随机变量简介 离散型随机变量是指只能取有限个或可数个值的随机变量。在概率论与数理统计中，离散型随机变量的概率分布描述了该随机变量每个可能取值的概率。在实际问题中，常用的离散型随机变量包括伯努利分布、二项分布、泊松分布和几何分布等。 二、伯努利分布 伯努利分布是一种表示两个可能结果的离散型概率分布。它的特点是每次试验只有两个可能结果：成功和失败。该分布由一个参数p确定，表示成功的概率，成功的概率为p，失败的概率为1-p。 伯努利分布的概率质量函数如下： P(X=x) = p^x * (1-p)^(1-x) 其中，x为随机变量X的取值（0或1），p为成功的概率。 三、二项分布 二项分布是一种多次独立重复实验的离散型概率分布。它描述了n次重复独立实验中成功次数的概率分布。每次实验都有两个可能结果：成功和失败。每次实验成功的概率为p，失败的概率为1-p。 二项分布的概率质量函数如下： P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) 其中，X为成功次数的随机变量，k为取值，n表示实验的次数，p为每次实验成功的概率。 四、泊松分布 泊松分布是描述单位时间（或单位空间）内某种事件发生次数的离散型概率分布。泊松分布适用于很多事件发生的情况，例如到达人口数量、电话交换机接收到的呼叫数量等。泊松分布的特点是事件的发生率稳定且独立。

泊松分布的概率质量函数如下： P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k! 其中，X为事件发生次数的随机变量，k为取值，λ表示单位时间（或单位空间） 内事件的平均发生次数。 五、几何分布 几何分布是描述进行独立重复实验，直到第一次成功出现时的实验次数的离散型概率分布。每次实验成功的概率为p，失败的概率为1-p。 几何分布的概率质量函数如下： P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p 其中，X为成功所需的实验次数的随机变量，k为取值，p为每次实验成功的概率。 六、总结 在概率论与数理统计中，离散型随机变量的概率分布是揭示随机事件规律的数学工具。在实际问题中，我们经常会遇到伯努利分布、二项分布、泊松分布和几何分布等离散型随机变量，并利用其概率分布进行概率计算和数据分析。理解常用离散型随机变量的概率分布，对于解决实际问题和应用统计学具有重要的意义。

高中数学知识点总结(第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第六节 离散型随机变量及其分布列)

第六节 离散型随机变量及其分布列 一、基础知识 1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示 (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下： X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列.有时也用等式P X ＝x i ＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列. (2)分布列的性质 ①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；② i ＝1n p i ＝1. 3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列 X 0 1 P 1－p p 若随机变量X 的分布列具有左表的形式，则称X 服从两点分布❸，并称p ＝P X ＝1 为成功概率. (2)超几何分布列 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N ， k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *. X 0 1 … m P C 0M C n － N －M C n N C 1M C n － 1 N －M C n N … C m M C n － m N －M C n N . 若X 是随机变量，则Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)也是随机变量． 表中第一行表示随机变量的取值；第二行对应变量的概率． 两点分布的试验结果只有两个可能性，其概率之和为1.

选修2-3离散型随机变量及其分布知识点

离散型随机变量及其分布 知识点一：离散型随机变量的相关概念； 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表 示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按 一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取 某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、ξ取每一个值()1,2,i x i =⋅⋅⋅的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质； 任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1) 01,2,i p i ≥=⋅⋅⋅，；12(2) 1P P ++= 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+ 知识点二：两点分布： 若随机变量X 的分布列: 则称X 的分布列为两点分布列. 特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)

离散型随机变量及其分布列知识点

离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量及其分布列知识点 离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。 离散型随机变量的概率分布列 概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P 表示。其一般形式如下： P(X=x1)=p1 P(X=x2)=p2 P(X=x3)=p3 … P(X=xn)=pn 其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。 离散型随机变量的特点

1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。 2. 取值之间具有间隔或间距。 3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。 4. 概率之和为1。 离散型随机变量的常见分布 1. 0-1分布 0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。其分布列为： P(X=0)=1-p P(X=1)=p 2. 二项分布 二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。其分布列为：

P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k) 其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。 3. 泊松分布 泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。其分布列为： P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k! 其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。 总结 离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。

离散概率分布

离散概率分布 概率分布是统计学中一个基本概念，它描述的是某个现象，如随机变量的分布情况。其中，离散概率分布是指量化变量取值有限，其取值概率有一定的规律，从而可以用数字来描述的概率分布。 离散概率分布最常用于描述实验结果的概率分布情况。由于实验结果是取值有限的，例如，一次实验结果可以得出“有/无”“是/不是”“得/不得”之类的结果，称为取值有限概率分布。所以，如果要描述它的分布概率，就可以考虑使用离散概率分布。 离散概率分布主要有二项分布、几何分布、泊松分布等。其中，二项分布是指随机选择n次实验后，每次实验只有两种可能的实验结果，可以划分为成功或失败，成功的概率用p表示，失败的概率用 1-p表示，n次实验中成功次数为x的概率是给定的，其分布情况可以用二项式分布来表示。几何分布是指在连续概率分布之中，指的是在实施某项试验时，成功的概率为p，而在若干次试验中首次成功是在第m次试验时发生的概率，可以用几何分布来表示。泊松分布是指在一定时间内，事件发生次数服从泊松分布，指的是它可以用来描述事件在一定时间内发生次数的概率分布情况。 离散概率分布可以通过样本实验、贝叶斯定理以及极大似然估计等方法来估计参数，从而计算出可能的概率分布情况。在不同的实验条件下，我们可以采用不同的离散概率分布，从而更细致地描述实验结果的概率分布情况，从而更准确地推断出实验结果的概率分布。 离散概率分布是统计学中十分重要的概念，它被广泛应用于社会

学、经济学以及计算机科学等多个领域。在实际中，它可以被用来研究事件发生的概率、计算投资风险等等问题，从而辅助其他科学或经济活动的决策。 因此，离散概率分布是统计学领域的一个重要概念，非常有用。它可以用来表示实验结果的概率分布情况，从而更加准确地推断实验结果的概率分布。同时，离散概率分布也被广泛用于社会学、经济学以及计算机科学等多个领域，可以帮助我们更好地研究何种事件发生的概率，从而做出更好的决策。

随机变量及其概率分布

随机变量及其概率分布 随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，描述了随机事件的数 值特征。概率分布则用于描述随机变量取值的概率情况。本文将介绍 随机变量及其概率分布的基本概念和常见的概率分布模型。 一、随机变量的定义与分类 随机变量是对随机事件结果的数值化描述。随机变量可分为离散型 随机变量和连续型随机变量两种。 1. 离散型随机变量 离散型随机变量只能取有限个或可数个值，常用字母X表示。例如，抛掷骰子的点数就是一个离散型随机变量，可能取1、2、3、4、5、6 之一。 2. 连续型随机变量 连续型随机变量可以取某个区间内的任意值，通常用字母Y表示。 例如，测量某个物体长度的随机误差就可看作是一个连续型随机变量。 二、概率分布的概念与性质 概率分布描述了随机变量取值的概率情况。常见的概率分布包括离 散型分布和连续型分布。 1. 离散型概率分布

离散型概率分布描述了离散型随机变量取值的概率情况。离散型概率分布函数可以用概率质量函数（probability mass function，PMF）来表示。PMF表示了随机变量取某个特定值的概率。离散型概率分布函数具有以下性质：①非负性，即概率大于等于0；②归一性，即所有可能取值的概率之和等于1。 常见的离散型概率分布有：伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布等。 2. 连续型概率分布 连续型概率分布描述了连续型随机变量取值的概率情况。连续型概率分布函数可以用概率密度函数（probability density function，PDF）来表示。PDF表示在随机变量取某个特定值附近的概率密度。连续型概率分布函数具有以下性质：①非负性；②积分为1。 常见的连续型概率分布有：均匀分布、正态分布、指数分布等。 三、常见的1. 伯努利分布 伯努利分布描述了一次随机试验中两个互斥结果的概率情况，取值为0或1。其概率质量函数为： P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，k=0或1 其中，p为成功的概率，1-p为失败的概率。 2. 二项分布

常用的一维离散型概率分布

常用的一维离散型概率分布 1.引言 1.1 概述 概述部分的内容可以包括以下内容： 概述是对整篇文章的开篇介绍，通过简要地阐述离散型概率分布的概念和重要性来引导读者进入主题。概述部分的内容可包括以下几个方面： 1. 离散型概率分布的定义：首先，可以阐述离散型概率分布的基本概念，即离散型概率分布是一种描述随机变量取不同离散值的概率分布函数。离散型概率分布可以描述一些具有明确取值的随机事件的概率分布情况。 2. 离散型概率分布的重要性：可以介绍离散型概率分布在实际生活中的重要性和应用场景。离散型概率分布对于统计分析、决策制定和风险评估等方面具有重要意义。例如，在市场调研中，研究不同产品销售数量的概率分布可以帮助企业预测市场需求；在金融风险管理中，对投资组合收益率的概率分布进行分析可以帮助投资者评估风险和收益。 3. 相关概念和术语：可以简要介绍一些与离散型概率分布相关的基本概念和术语，以便读者更好地理解后续内容。例如，可以介绍随机变量、概率质量函数、期望值等相关概念。

通过以上内容，读者可以初步了解离散型概率分布的概念和重要性，为之后具体的讨论和分析奠定基础。在文章的概述部分，可以以简练明了的语言概括离散型概率分布的核心内容，为读者带来清晰的思路和预期。 1.2文章结构 文章结构是指文章的整体组织框架，它能够帮助读者清晰地理解文章的主题和内容。本文的结构包括引言、正文和结论三个部分。在正文中，我们具体介绍了两种常用的一维离散型概率分布。在这些离散型概率分布的介绍中，我们分别列举了它们的要点和特点，以帮助读者全面了解和理解这些概率分布的含义和应用。最后，在结论部分，我们对整篇文章进行了总结与归纳，并展望了离散型概率分布的应用前景。通过这样的结构安排，读者可以很好地理解和掌握离散型概率分布的知识，并了解到其在实际应用中的重要性和价值。 1.3 目的 本文旨在介绍常用的一维离散型概率分布，并对其特点进行详细分析。通过对这些概率分布的研究和了解，我们能够更好地理解和应用概率论和统计学的基本原理。具体而言，本文的目的包括以下几点： 1. 提供一个概述：本文将首先对离散型概率分布进行概述，介绍概率分布的基本概念、性质和特点。通过清晰而简明的描述，读者可以对离散型概率分布有一个整体的理解。

概率分布离散与连续分布的应用

概率分布离散与连续分布的应用概率分布离散与连续分布的应用广泛存在于各个领域，包括统计学、经济学、生物学以及工程学等。离散概率分布用于描述离散型的随机 变量，而连续概率分布则用于描述连续型的随机变量。本文将探讨离 散与连续概率分布的基本概念以及其在实际应用中的具体例子。 一、离散概率分布的应用 离散概率分布用于描述离散型的随机变量，通常用概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来表示。离散概率分布的一 个典型例子是二项分布。 1. 二项分布 二项分布用于描述在一系列独立重复试验中成功次数的概率分布。 比如在进行一系列投掷硬币的实验中，每次投掷只有两种可能的结果，即正面或反面。假设正面出现的概率为p，反面出现的概率为1-p，那 么在n次独立重复试验中正面出现k次的概率可以通过二项分布来计算。 二项分布在实际应用中有着广泛的应用，例如在品质控制过程中， 可以使用二项分布来描述一批产品中不合格品的数量。 2. 泊松分布 泊松分布用于描述在一段固定时间或空间内随机事件发生的次数的 概率分布。泊松分布的概率质量函数为：

P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k! 其中，λ为单位时间或空间内事件的平均发生率。 泊松分布在实际应用中常用于描述诸如电话呼叫、电子邮件到达、交通事故等随机事件的发生次数。比如，可以使用泊松分布来描述某一天内某个地区的交通事故发生次数。 二、连续概率分布的应用 连续概率分布用于描述连续型的随机变量，通常使用概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）表示。连续概率分布的一个典型例子是正态分布。 1. 正态分布 正态分布也被称为高斯分布，是最常见且最重要的连续概率分布之一。正态分布的概率密度函数为： f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2)) 其中，μ为均值，σ为标准差。 正态分布在实际应用中广泛存在，尤其在自然科学、社会科学以及金融学等领域。例如，身高、体重、考试成绩等指标通常可以近似地服从正态分布。另外，在金融领域，股票价格变动、利率波动等也常常使用正态分布进行建模和分析。 2. 指数分布

最常见的变量分布类型是

最常见的变量分布类型是 离散型随机变量的常见分布 1、0-1分布 伯努利试验（Bernoulli trial）：在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。 2、二项分布（Binomial distribution） 二项代表它有两种可能的结果，成功或失败。它满足性质：每次试验成功的概率均是相同的，记录为p；失败的概率也相同，为1-p。每次试验必须相互独立，该试验也叫做伯努利试验，重复n次即二项概率分布，它主要用于解决n次试验中成功x次的概率。 掷硬币就是一个典型的二项分布。当我们要计算抛硬币n次，恰巧有x次正面朝上的概率，可以使用二项分布的公式：f(x)=(nx)px(1−p)n−x 数学期望为E(x)=np，方差Var(x)=np(1-p) 【例】假设现在有一个抽奖活动，每位用户拥有10次抽奖机会，中奖概率是5%。老板准备先考虑成本问题，想知道至少有3次以上中奖机会的概率是多少？ 思路一：可以拿恰巧3次，恰巧4次直到恰巧10次累加求和，但是这样太麻烦了。 思路二：先计算最多2次的概率是多少，f(0)+f(1)+f(2)，结果

是92.98%，利用逆向思维：概率公式1-92.98%，就是至少3次的概率了，为7.02%。 PS：二项分布和泊松分布、正太分布的关系 二项分布是多次伯努利，即扔多次硬币 泊松分布是p很小的二项，即扔好多好多次硬币，且扔出正面概率极小 正态分布是n很大的二项，即扔好多好多次硬币，且硬币是完全相同的 3、泊松分布（Poison distribution） 泊松概率主要用于估计某事件在特定时间或空间中发生的次数。比如一天内中奖的个数，一个月内某机器损坏的次数等。x代表发生x次，u代表发生次数的数学期望，概率函数为： f(x)=uxe−ux! 【例】现在又举办了一个新的运营活动，这次的中奖概率未知，只知24小时内中奖的平均个数为5个，老板想知道24小时内恰巧中奖次数为7的概率是多少？ 此时x=7，u=5（区间内发生的平均次数就是期望），代入公式

分布律与概率密度

分布律与概率密度 概念解释 在概率论中，分布律和概率密度是两个重要的概念，用于描述随机 变量的概率分布。它们分别适用于离散型随机变量和连续型随机变量。 分布律 分布律主要用于描述离散型随机变量的概率分布情况。离散型随机 变量的取值是离散的，例如抛掷一颗骰子所得到的点数。对于一个离 散型随机变量X，其取值可能是有限个或者可数无限个，分别用 x1,x2,...表示。分布律表示的是随机变量X取特定值的概率，通常用 P(X=x)表示。例如，对于抛掷一颗骰子所得到的点数，其分布律可以 表示为： P(X=1) = 1/6 P(X=2) = 1/6 P(X=3) = 1/6 P(X=4) = 1/6 P(X=5) = 1/6 P(X=6) = 1/6 概率密度 概率密度主要用于描述连续型随机变量的概率分布情况。连续型随 机变量的取值是连续的，例如某人的身高、体重等。对于一个连续型

随机变量X，其取值是一个区间，而不是一个具体的点。因此，不能 够像离散型随机变量那样直接计算某个取值的概率。概率密度函数f(x)表示的是随机变量X落在某个区间上的概率密度，而不是具体的概率。在某个区间上X的概率可以通过计算该区间下概率密度函数的积分来 得到。例如，对于身高在160厘米到170厘米之间的人群，其概率密 度函数可以表示为： f(x) = 1/(170-160), 160<=x<=170 而在特定的点上，概率密度函数的值并不表示概率。例如，f(165) 并不表示身高为165厘米的人的概率，而是表示在“身高等于165厘米”这一点密度的大小。 总结 分布律和概率密度是描述随机变量概率分布的两种方式。分布律适 用于离散型随机变量，用于描述随机变量取特定取值的概率。概率密 度适用于连续型随机变量，用于描述随机变量落在某个区间上的概率 密度。通过理解和掌握这两个概念，我们可以更好地描述和分析随机 变量的概率分布特征。 （以上内容只是对分布律和概率密度的简要介绍，实际应用中还有 很多细节和深入的内容需要探讨。）

随机变量及其分布公式

随机变量及其分布公式 可以用二项分布来描述。二项分布是一种离散型概率分布，它描述了在n次独立重复试验中，恰好发生k次某事件的概率。 3，二项分布的概率分布： 设某事件在一次试验中发生的概率为p，不发生的概率为 1-p，则在n次独立重复试验中，恰好发生k次这个事件的概 率为 P(x=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k) 其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，即C(n,k)=n!/k!(n-k)! 4，二项分布的性质： 1）二项分布是离散型概率分布； 2）二项分布的期望值为np，方差为np(1-p)。 1.二项分布：

在n次独立重复试验中，事件A发生的概率为p，事件A 恰好发生k次的概率为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，记作 X~B(n,p)。其中，p为成功概率，k为发生次数，n为试验次数。 2.离散型随机变量的均值： 如果离散型随机变量X的分布列为p1,p2.pn，则随机变量 X的均值或数学期望为E(X)=Σ(xi*pi)，即所有取值与对应概 率的乘积之和，反映了离散型随机变量取值的平均水平。 3.均值的性质： 如果Y=aX+b，其中a和b是常数，X是随机变量，则Y 也是随机变量，且有E(aX+b)=aE(X)+b。 4.常用分布的均值： 1) 两点分布：E(X)=1*p+0*(1-p)=p。 2) 二项分布：E(X)=np。 3) 超几何分布：E(X)=nM/N。 5.离散型随机变量的方差： 离散型随机变量X的方差D(X)描述了随机变量X与其均 值E(X)的平均偏离程度，其算数平方根σX为随机变量X的 标准差。方差的计算公式为D(X)=Σ[(xi-E(X))^2*pi]，即所有 偏离程度的平方与对应概率的乘积之和。 6.方差的性质：

离散型随机变量及其概率分布

第四节 离散型随机变量及其概率分布 一．考点梳理 1．离散型随机变量的概率分布 (1)假如随机试验的结果能够用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． (2)离散型随机变量的概率分布 假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，且P (X ＝x i )＝p i ， i ＝1,2，…，n ，①则称①为随机变量X 的 ，简称为X 的分布列，X 的概率分布用表格 表示为： (3)离散型随机变量分布列的性质 ① ②p 1＋p 2＋…＋p n ＝ ； 2．两点分布 假如随机变量X 的概率分布为 其中0

离散型随机变量的分布列

离散型随机变量的分布列 1．离散型随机变量的分布列 (1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值 x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下： X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 的概率分布列，简称为的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①p i ≥0，i ＝1，2，…，n ； （1）离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.和函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P （X ＝x i ）＝p i ，i ＝1，2，…，n 和图象表示. （2）随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况. 2．两个特殊分布 (1)两点分布 X 0 1 P 1－p p 若随机变量X p ＝P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －M C n N ， k ＝0，1，2，…，m ， 即

X 01…m P C0M C n－0 N－M C n N C1M C n－1 N－M C n N … C m M C n－m N－M C n N 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． (1)超几何分布的模型是不放回抽样． (2)超几何分布中的参数是M，N，n. (3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( ) (2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( ) (3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( ) (4)超几何分布的模型是放回抽样．( ) 答案：(1)×(2)×(3)√(4)× 下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是( ) A. ξ－10 1 P 0.30.40.4 B. ξ12 3 P 0.40.7－0.1 C. ξ－10 1 P 0.30.40.3 D. ξ12 3 P 0.30.10.4 答案：C