离散型随机变量特点

离散型随机变量特点

一、离散型随机变量的概念

离散型随机变量（Discrete Random Variable）是概率论中的一个重要概念，指的是一个随机变量只能取有限个或可列个数个值的情况。

与离散型随机变量相对的是连续型随机变量，连续型随机变量可以取无穷个值，这两者是概率论中两种不同类型的随机变量。

离散型随机变量可以用一个概率分布函数来描述其取值的概率分布情况。

二、离散型随机变量的特点

离散型随机变量具有以下几个重要特点：

2.1 可列性

离散型随机变量的取值集合为可列集合，即它的各个取值能够一一对应到自然数集合（或数学上的可数集合）中的某个数。

2.2 随机性

离散型随机变量是随机的，其各个取值之间并没有规则的关联性。每个取值都有一定的概率与之对应，这个概率由概率分布函数来描述。

2.3 概率分布律

离散型随机变量的概率分布可以用概率分布律（Probability Mass Function，简称PMF）来描述。概率分布律表示了随机变量取各个值的概率。

概率分布律需要满足两个条件： - 非负性：概率分布律对于任意的变量取值都是非负的。 - 规范性：概率分布律对于所有的变量取值之和等于1。

2.4 期望值和方差

离散型随机变量的期望值和方差是概率论中常用的两个指标，可以通过概率分布律计算得到。

期望值是随机变量的平均值，表示了随机变量的中心位置，用E(X)表示。对于离散型随机变量X，其期望值的计算公式为：

E(X) = Σ(xi * P(X=xi))

其中，xi为X的取值，P(X=xi)为X取值为xi的概率。

方差是对随机变量离其期望值的偏离程度的衡量，用Var(X)表示。对于离散型随机变量X，其方差的计算公式为：

Var(X) = Σ((xi - E(X))^2 * P(X=xi))

2.5 离散型分布

离散型随机变量可以服从不同的概率分布，常见的离散型分布包括： - 伯努利分布（Bernoulli Distribution） - 二项分布（Binomial Distribution） - 泊松分布（Poisson Distribution） - 几何分布（Geometric Distribution） - 超几何分布（Hypergeometric Distribution）

每个离散型分布都有其特定的概率分布律和特点，对不同的实际问题可以选择适合的离散型分布进行建模和分析。

三、离散型随机变量的应用

离散型随机变量在实际问题中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：

3.1 统计学

离散型随机变量常常用于统计学中的抽样分布、假设检验、点估计、区间估计等问题中。

通过对样本进行抽样，可以得到离散型随机变量的样本分布，进而对总体分布进行推断和分析。

3.2 金融与风险管理

在金融与风险管理领域，离散型随机变量广泛应用于风险测度、投资组合分析、期权定价等问题中。

离散型随机变量可以描述涨跌概率和涨跌幅度，从而帮助投资者对风险进行度量和管理。

3.3 信息论

离散型随机变量在信息论中起着重要的作用，特别是熵的计算与应用。

熵是随机变量的不确定性的度量，用来衡量信息的平均信息量。离散型随机变量的概率分布律可以用来计算熵，进而对信息的平衡性进行分析。

3.4 生物学与遗传学

离散型随机变量在生物学与遗传学中的应用广泛，特别是遗传变异和基因频率的研究。

离散型随机变量可以帮助科学家对遗传变异的模式和基因频率的分布进行分析和解释，从而推进基因组学和遗传学的发展。

四、总结

离散型随机变量作为概率论中的重要概念，在统计学、金融与风险管理、信息论、生物学与遗传学等领域都有着广泛的应用。

离散型随机变量具有可列性、随机性、概率分布律、期望值和方差等特点。

不同的离散型分布适用于不同的实际问题，可以根据问题的特点选择合适的离散型分布进行建模和分析。

通过对离散型随机变量的研究和分析，可以帮助我们更好地理解和解释实际问题，为决策提供科学依据。

离散性随机变量的概念

离散性随机变量的概念 知识归纳 1．离散型随机变量 随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量．如果随机变量所有可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做 随机变量．如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做 随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1、x 2、…、x i 、…、x n ，X 取每个值x i (i ＝1,2，…n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表 为随机变量X 的分布列． X 的分布列也可简记为： P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1、2、…、n . (2)离散型随机变量的两个性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…n ； ②p 1＋p 2＋p 3＋…p n ＝1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 3．两点分布 如果随机变量X 的分布列为 其中0

0，称P (B |A ) ＝P (AB ) P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，一般把P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率． (1)如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．

离散型随机变量

离散型随机变量 离散型随机变量是概率论中的一个重要概念，它是指随机变量取值为有限个或可数个的情况。对于离散型随机变量，我们可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述其取值与相应概率的关系。下面将对离散型随机变量的定义、特点以及常见的离散型随机变量进行介绍。 一、离散型随机变量的定义 离散型随机变量是指其取值为有限个或可数个的随机变量。具体来说，对于一维离散型随机变量X，其取值集合可以表示为{X1, X2, X3, ... , Xn}，而不是一个连续的区间。离散型随机变量的特点是，它的每个取值都有一个概率与之相对应，即P(X = Xi)。这意味着我们可以通过概率质量函数（PMF）来描述离散型随机变量的取值与相应概率的对应关系。 二、离散型随机变量的特点 离散型随机变量有几个重要特点，包括有限性、不连续性、可数性和非负性。 1. 有限性：离散型随机变量的取值集合是有限个或可数个，即有限可数。这与连续型随机变量不同，后者的取值集合是无限个且无法一一列举。

2. 不连续性：离散型随机变量的取值是离散的，即不存在取任意实 数的情况。相应地，其概率质量函数在取值点之间可以是零，而在取 值点上为正。 3. 可数性：离散型随机变量的取值集合是可数的，即可以用自然数 进行一一对应。这也意味着我们可以将概率质量函数表示为一个概率 分布列。 4. 非负性：离散型随机变量的概率质量函数的取值是非负的，即 P(X = Xi) ≥ 0。这是因为概率是一个非负实数。 三、常见的在概率论与数理统计中，有一些常见的离散型随机变量。下面将介绍几个常见的离散型随机变量以及它们对应的概率分布。 1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利变量是最简单的离 散型随机变量之一，其概率分布只有两个取值。伯努利分布常用于表 示一次试验只有两个可能结果的情况，如抛硬币、赛马比赛等。 2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布是一种重要的离散 型随机变量，它描述了一系列相互独立的伯努利试验中成功次数的分 布情况。在二项分布中，每次试验的结果只有两个可能，成功和失败。 3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布是一种用于描述单位 时间或空间内随机事件发生次数的离散型随机变量。泊松分布适用于 事件独立发生且平均发生率较低的情况，如电话交换机接到的呼叫次数、车站候车人数等。

名词解释离散随机变量的概念

名词解释离散随机变量的概念 名词解释离散随机变量的概念 离散随机变量是指在同一个总体中，各观测值与某个特定分布或均值的差的平均数。随机变量的离散性是指它可以取不同的值，这些值不会彼此重合，也就是说各个观察值与均值的差不是一个固定的数值，而是随着样本容量的增大，其分布渐趋于均匀的分布。对每一个连续变量X，如果其值落在某个区间（[0， 1]）之内，就称为具有离散性，否则就没有离散性。离散随机变量(Discretely Statistical Variable)亦称“随机变量”。它是在相同总体内各单位随机事件的观测值的集合，简记为X。离散随机变量不像连续随机变量那样取连续值，而是取一系列有限值。根据分布的形状，离散随机变量又分为以下四类：(1)位置离散型，即X的值落在[-1， 1]之间的随机变量; (1)离散随机变量的均值，是设X取值a、 b时的值，记为C(x)或P(x)，亦称为离散均值(discrete median); (2)分位数离散型，即X的值落在[-1， 1]上的某个分位数上，记为P_n，亦称为离散分位数(discrete numerator);(3)分布离散型，即X的值落在[-1， 1]上的任意一个分布区间(point)，记为P(X)或P(x)亦称为离散分布(discrete distribution);(4)混合离散型，即X的值不是位置离散型和分位数离散型的任意组合，而是两者的组合，记为P(X)。通常用分布来表示，且P(x)、 P(y)、 P(z)都是离散分布。 (2)离散随机变量的方差，是设X的值落在[-1， 1]之间的任意一个分布区间(x_k)，记为D(x)或D(x)，亦称为离散均方差(discrete

随机变量的概念

随机变量的概念 一、引言 随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，它是指在一次试验中可 能出现的各种结果所对应的数值。随机变量在实际问题中有着广泛应用，如金融、医学、工程等领域。本文将从定义、分类、性质和应用 四个方面详细介绍随机变量的概念。 二、定义 随机变量是指在一次试验中可能出现的各种结果所对应的数值。简单 来说，就是将样本空间中所有可能出现的结果都赋予一个数值。例如，抛硬币时正面朝上为1，反面朝上为0，则抛硬币这个试验就可以用一个随机变量X来表示：X=1表示正面朝上，X=0表示反面朝上。 三、分类 根据随机变量取值的类型不同，可以将其分为离散型和连续型两类。 1. 离散型随机变量 离散型随机变量取值只能是某些特定的离散值。例如掷骰子时点数只 能取1至6这几个整数值。离散型随机变量通常用概率分布函数来描 述其概率分布情况，如二项分布、泊松分布等。

2. 连续型随机变量 连续型随机变量取值可以是任意的实数值。例如测量一个人的身高时，可以得到任意一个实数值，而不是像掷骰子那样只能得到几个离散的 整数值。连续型随机变量通常用概率密度函数来描述其概率分布情况，如正态分布、均匀分布等。 四、性质 随机变量具有以下性质： 1. 取值范围 随机变量的取值范围是指它可能取到的所有数值。对于离散型随机变 量来说，其取值范围是一些离散的特定值；对于连续型随机变量来说，其取值范围是一个区间。 2. 概率分布函数 概率分布函数描述了随机变量取某个特定值的概率。对于离散型随机 变量来说，其概率分布函数可以用概率质量函数表示；对于连续型随 机变量来说，其概率分布函数可以用概率密度函数表示。 3. 期望 期望是指在大量重复试验中，某一事件发生的平均次数。对于随机变 量来说，期望可以用其概率分布函数来计算。

离散型随机变量的数字特征

离散型随机变量的数字特征 随机变量是经常出现在数学和统计学中的一个概念，它描述了一个数值在一个随机试验中可能出现的各种可能性。离散型随机变量也是其中的一种类型，它与连续型随机变量不同，离散型随机变量只能取有限个或可数无限个离散值。 离散型随机变量的数字特征，也就是描述一个随机变量的数字指标，有两种：期望和方差。 首先，期望是随机变量的平均值，用E(X)表示。对于一个离散型随机变量X，它的期望计算公式为： E(X)=Σ(xi*pi) 其中，xi表示X取到的第i个值，pi表示X取到xi的概率。这个公式的意义是，将X的各个取值乘以对应的概率，再将所有结果相加，得到的就是X的期望。 举个例子，假设X表示掷一枚骰子，它的各个取值及对应概率为： xi: 1 2 3 4 5 6 pi: 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 那么X的期望为：

E(X)=1/6×1+1/6×2+1/6×3+1/6×4+1/6×5+1/6×6=3.5 在这个例子中，我们可以得到结论：如果一枚均匀的骰子被掷的次数 很多，那么6出现的次数就会趋近于总次数的1/6，也就是说骰子的期 望掷出的数字为3.5。 另一个数字特征是方差，用Var(X)或σ²表示。方差表示随机变量与它 的期望之间的离散程度，它的计算公式是： Var(X)=E{(X-E(X))²}=E(X²)-{E(X)}² 其中，E{(X-E(X))²}表示X与E(X)之间的离散程度，也就是上述公式 中的方差。E(X²)表示X的平方的期望，{E(X)}²表示X的期望的平方。继续以上面的例子为例，X的平方的期望为： E(X²)=1/6×1²+1/6×2²+1/6×3²+1/6×4²+1/6×5²+1/6×6²=15.17 所以X的方差为： Var(X)=15.17-3.5²=2.92 这个数字特征表达的含义是，如果一个离散型随机变量的各个取值与 它的期望比较接近，那么它的方差就比较小；反之，如果各个取值比

随机变量的定义与分类

随机变量的定义与分类 随机变量是指随机试验中与观察对象的数值相关的数学量，它 是随机现象的量化表达。随机变量不仅在概率论中有着重要的角色，在各种领域中都有广泛的应用。 一、随机变量的定义 在概率论中，对于一个实验，若对于每一个结果都可以对应唯 一的实数，我们称这个实数为随机变量。简单的说，随机变量是 指一个结果对应的数值量。 例如，掷一枚骰子，用X表示掷出的点数，X的取值范围为{1,2,3,4,5,6}。此时，X就称为一个随机变量。 在概率论的学习中，随机变量是研究随机现象的基本工具之一。 二、随机变量的分类 随机变量可以分为两类：离散型随机变量和连续型随机变量。

1.离散型随机变量 离散型随机变量是指在随机试验的结果中，取不到某些数，如 投硬币，它只有正反两个结果。如果用X表示正面朝上的次数， 那么X的取值范围为{0,1}，X就是离散型随机变量。离散型随机 变量在数值上是可数的，例如X的取值范围为{0,1,2,3,......}。 2.连续型随机变量 连续型随机变量是指在随机试验的结果中，每一个数都可以取到，如测量某件物品的长度，它的取值范围可以是任意的实数值，可以用X表示，X就是连续型随机变量。 由于连续型随机变量在数值上是不可列举的，所以它们的概率 密度函数是它们的数值范围上的函数。 三、随机变量的性质 1.累积分布函数

累积分布函数指的是随机变量X小于等于x的概率，也就是 P(X<=x)。对于任意的随机变量X，它的累积分布函数都是单调不降的，它满足以下性质： （1）F(x)≥0； （2）F(x)≤1； （3）F(x)单调不降； （4）当x→∞时，F(x)→1； （5）当x→-∞时，F(x)→0。 2.概率密度函数 概率密度函数是描述连续型随机变量在某一点上的概率密度值的函数，也称概率密度。对于连续型随机变量X，它的概率密度函数f(x)满足以下两个性质：

选修2-3离散型随机变量及其分布知识点

离散型随机变量及其分布 知识点一：离散型随机变量的相关概念； 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机 变量随机变量常用希腊字母、等表示 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随 机变量叫做离散型随机变量。若 •是随机变量， b ，其中a 、b 是常数，则 也 是随机变量 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的 变量就叫做连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系 ：离散型随机变量与连续型随机 变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一 列出，而连续性随机变量的结果不可以 列出 离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量•可能取的值为x i 、X 2…人取每 个值x i =1,2,…的概率为P( =Xi) = 口，则称表 为随机变量•的概率分布，简称•的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质； 任何随机事件发生的概率都满足：0乞P(A)叮，并且不可能事件的概率为0 ,必然 事件的概率为1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1) Pi 王0, i =1,2,…；(2) R+巳+川=1 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率的和即P 「_x k ) =x k ) • P(F ； =x k 』•丨1( 知识点二：两点分布: 特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布，则称X 服从两点分布，而称P(X=1) 为成功率 • (2) 两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 (3) 两点分布列的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是 否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列 来研究• 知识点三：超几何分布: 般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则 C k C n _k p （x 二k ）二 M N 川，k =0,1, m,m = min{M ,n},其中,n N,M < N.称超几何分布列. 若随机变量X 的分布列: 则称X 的分布列为两点分布列

7.3离散型随机变量的数字特征(学生版) 讲义-2021-2022学年人教A版(2019)高中数学选

离散型随机变量的数字特征 一离散型随机变量的均值 均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示． X x1x2…x n P p1p2…p n 则称E(X)＝x 1p 1 ＋x 2 p 2 ＋…＋x n p n＝ i＝1 n x i p i为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． 注意点： 分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平．求随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值． (2)求出X取每个值的概率P(X＝k)． (3)写出X的分布列． (4)利用均值的定义求E(X)． 二两点分布的均值 两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p．反思感悟两点分布的特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的． (2)由对立事件的概率求法可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝1． 三均值的简单应用 解答应用类问题时，首先把问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可

能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应概率． 四均值的性质 离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 五均值的实际应用 解答概率模型的三个步骤 (1)建模：即把实际问题概率模型化． (2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值． (3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断． 六决策问题 (1)求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式即可． (2)根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从均值的大小关系作出比较后得到结论． 七离散型随机变量的方差 方差：设离散型随机变量X的分布列为 X x1x2…x n P p1p2…p n 考虑X所有可能取值x i与E(X)的偏差的平方(x 1－E(X))2，(x 2 －E(X))2，…，(x n－E(X))2，因为 X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称 D(X)＝(x1－E(X))2_p1_＋(x2－E(X))2_p2＋…＋(x n－E(X))2p n＝ i＝1 n(x i－E(X))2p i为随机变量X的方差，

新高考数学复习考点知识讲解6---离散型随机变量的数字特征

新高考数学复习考点知识讲解 离散型随机变量的数字特征 1、一般地，若离散型随机变量X 的分布列，如图所示 则称∑==+++=n i i i n n p x p x p x p x X E 12211 )(为随机变量X 的均值或数学期望，简称期望。 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平 2、用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X 取值与其均值)(X E 的偏差程度，则称 ∑=-=-++-+-=n i i i n n p X E x p X E x p X E x p X E x X D 122 22 212 1))(())(())(())(()( 为随机变 量X 的方差，称)(X D 为随机变量X 的标准差，记为)(X σ 3、随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度。方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散 4、重要结论：b X aE b aX E +=+)()(；)()(X D a b aX D 2=+

题型一 数学期望中的参数问题 例 1 某射击运动员在一次射击比赛中所得环数ξ的分布列如下： ξ 3 4 5 6 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的均值E (ξ)＝4.3，则y 的值为( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.2 D ．0.1 C [解析] 由题意知，x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，又E (ξ)＝3x ＋4×0.1＋5×0.3＋6y ＝4.3，两式联立解得y ＝0.2. 设随机变量X 的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P a 13 16 若F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1，2)时，F (x )等于( ) A.1 3 B ．16 C.12 D ．56 巩固练习 知识典例

2022新高考大一轮复习第九章离散型随机变量的分布列和数字特征

§9.5 离散型随机变量的分布列和数字特征 考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征． 1．离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w ，都有唯一的实数X (w )与之对应，我们称X 为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X 的可能取值为x 1，x 2，…，x n ，我们称X 取每一个值x i 的概率P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 为X 的概率分布列，简称分布列． 3．离散型随机变量的分布列的性质： ①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；②p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. 4．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n (1)均值 称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n ＝∑i ＝1n x i p i 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了 离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D (X )＝(x 1 －E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2 p n ＝ ∑i ＝1 n (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方 差，并称D (X )为随机变量X 的标准差，记为σ(X )，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度． 5．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . (2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为常数)．

第10章 第7节 离散型随机变量的分布列及数字特征

第七节离散型随机变量的分布列及数字 特征 一、教材概念·结论·性质重现 1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． (2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列出的随机变量． (1)离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的． (2)若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，x n，我们称X取每一个值x i的概率P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n为离散型随机变量X的概率分布列，简称分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i≥0，i＝1,2，…，n； ②p1＋p2＋…＋p n＝1. 判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用p i≥0，i＝1,2，…，n及p1＋p2＋…＋p n＝1检验． 离散型随机变量X的分布列为 X x1x2…x n P p1p2…p n (1)均值

称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ＝∑i ＝1 n x i p i 为随机变量X 的均值或数学期望，数 学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D (X )＝∑i ＝1n (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，可以用来度量随机变量X 取 值与其均值E (X )的偏离程度，并称D (X )为随机变量X 的标准差，记为σ(X )． (1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均． (2)E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即作为随机变量，X 是可变的，可取不同值，而E (X )是不变的，它描述X 取值的平均状态． (3)E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 直接给出了E (X )的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加． 4．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ．(a ，b 为常数) (2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 5．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X 服从两点分布，那么E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np ·(1－p )． 1．若X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)·E (X 2)． 2．均值与方差的关系：D (X )＝E (X 2)－E 2(X )． 3．超几何分布的均值：若X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则E (X )＝nM N . 1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.(×) (2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具

新教材高考数学一轮复习第十章概率随机变量及其分布10-5离散型随机变量的数字特征学案新人教A版

10.5离散型随机变量的数字特征 必备知识预案自诊 知识梳理 1.离散型随机变量的均值 (1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为 则称E(X)=为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望. 问题思考随机变量的均值与样本的平均值有什么区别和联系? (2)均值的性质 若Y=aX+b,其中X是随机变量,a,b是常数,随机变量X的均值是E(X),则 E(Y)=E(aX+b)=. 特别提示①当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身; ②当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数之和; ③当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量X乘积的均值等于这个常数与X的均值的乘积. 2.离散型随机变量的方差 (1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为 则称D(X)=为随机变量X的方差,并称√D(X)为随机变量X 的标准差,记为σ(x). 温馨提示①随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的. ②(x i-E(X))2描述了x i(i=1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离程度,而D(X)是上述偏离程度的加权平均数,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.

③标准差与随机变量有相同的单位,而方差的单位是随机变量单位的平方. (2)方差的性质 若Y=aX+b,其中X是随机变量,a,b是常数,随机变量X的方差是D(X),则D(Y)= =. 特别提示①当a=0时,D(b)=0,即常数的方差等于0. ②当a=1时,D(X+b)=D(X),即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差. ③当b=0时,D(aX)=a2D(X),即随机变量与常数之积的方差等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积. 3.几种特殊分布的均值和方差 (1)两点分布:若随机变量X服从两点分布,则E(X)=,D(X)=. (2)二项分布:若X~B(n,p),则E(X)=,D(X)=. (3)超几何分布:设随机变量X服从参数为N,M,n(n,N,M∈N*,M≤N,n≤N)的超几何分布, , 令p=M N . 则E(X)=,D(X)=nM(N-M)(N-n) N2(N-1) 1.若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2). 2.均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X). 3.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数. 4.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). 5.若X~N(μ,σ2),则X的均值与方差分别为 E(X)=μ,D(X)=σ2. 考点自诊 1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.() (2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.() (3)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.() (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.() ,则D(X)=() 2.(2020江苏镇江高三检测)若X~B80,1 4 A.20 B.40 C.15 D.30 3.已知X的分布列为:

7.3 离散型随机变量的数字特征

7.3 离散型随机变量的数字特征 教学目标 1.掌握数学期望（均值）的概念及公式； 2.掌握离散型随机变量方差及标准差公式。 问题提出 某工厂生产一批产品，一等品占50％，二等品占40％，次品占10％。如果生产一件次品，工厂要损失1元钱，生产一件一等品，工厂获得2元钱的利润，生产一件二等品，工厂获得1元钱的利润。假设生产了大量这样的产品，问工厂每件产品获得的期望利润是多少？ 1.离散型随机变量的期望 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋i i n n 离散型随机变量X的数学期望是X的各可能值与其对应概率乘积的和，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，p i（i＝1，2，…）为权重。 例 问题提出 要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数X 2.离散型随机变量的方差 量X

例.若随机变量x 满足P(x＝c)＝1，其中c为常数，求Ex。 3.数学期望的性质 (1)若C是常数，则E(C)＝C； (2)若K是常数，则E(kX)＝kE(X)； (3)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数) (4)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； 推广到有限个随机变量和的情况：E(X1＋X2＋…X n)＝EX1＋EX2＋…＋EX n； (5)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)。 例.若随机变量x 满足P(x＝c)＝1，其中c为常数，求Dx。 4.方差的性质 (1)设C是常数，则D(C)＝0 (2)设X是随机变量，C是常数，则D(CX)＝C2·D(X) (3)D(aX＋b)＝a2·D(X) (a、b为常数) 在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)。 (4)为计算方便，方差的计算公式还可以简化为D(X)＝E(X2)－(E(X))2。 5.两点分布的期望、方差 若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)。 典例讲解 考点一离散型随机变量的期望 例1.(2011·湖南) 试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至 ．．．，将频率视为概率。 ．．．3件，否则不进货 (1)求当天商店不进货 ．．．的概率； (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。