离散型随机变量例子

离散型随机变量例子

随机变量是概率论中一个重要的概念，所谓随机变量，指的是一个可以取几种不同可能值的变量，其中每一种可能值的发生概率可以用概率论来描述。离散型随机变量是指可能取值为有限数或者数目可算的有限或无穷多实数的随机变量。下面我们就来看看几个典型的离散型随机变量例子。

1、伯努利随机变量：伯努利随机变量是指一个随机变量，它只有两种可能的结果，也就是只有 0 或 1。它具有 0 的概率为 p，另一个结果就是 1 的概率也就是 1-p。

2、离散型随机变量的数学期望：离散型随机变量的数学期望是指随机变量的均值。它的计算方法是把变量的各种可能值乘以其对应的概率，然后求和，就可以得到数学期望的值。

3、二项分布：二项分布是指一个随机变量 X 的概率分布如果是一个多次独立试验的离散型结果，它的取值就是 0 到 n 之间的整数。它的概率分布可以用下面的公式来表示：P（X=k）={nchoose k}p^kq^{nk}

4、泊松分布：泊松分布是一个特殊的二项分布，它只有两个参数，一个是λ，另一个是 n。

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2.1.1离散型随机变量(学生学案)

2．1．1离散型随机变量（学生学案） 例1 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由。 （1）昨天我校办公室接到的电话的个数. （2）标准大气压下，水沸腾的温度. （3）在一次比赛中，设一二三等奖，你的作品获得的奖次. （4）体积64立方米的正方体的棱长. （5）抛掷两次骰子,两次结果的和. （6）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数. 函数与随机变量的异同点： 例2：下列变量中是离散型随机变量的________． (1)下期《星光大道》节目中冠军的人数； (2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差； (3)在泉州至福州的高速铁路线上，每隔50 m有一电线铁塔，从泉州至福州的高速铁路线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号； (4)福州市闽江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位． 课堂练习1：（课本P45练习NO：1） 课堂练习2： 1、袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、 2、 3、 4、5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小 球，设两个小球号码之和为ξ，则ξ所有可能值的个数是____ 个；{ }表示． 2、抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问: (1) {ξ>4}表示的试验结果是什么? (2) P (ξ>4)=? 3、写出下列各随机变量可能的取值. （1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数ξ． （2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球数ξ． （3）抛掷两个骰子，所得点数之和ξ． （4）接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数ξ． 4、写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果 一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ； 5、(1)某座大桥一天经过的中华轿车的辆数为ξ； (2)某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ； (3)一天内的温度为ξ；(4)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分。上述问题中的ξ是离散型随机变量的是（） A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(2)(4) C.(1)(3)(4) D.(2)(3)(4) 6.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( ) (A)两次出现的点数之和 (B)两次掷出的最大点数 (C)第一次减去第二次的点数差 (D)抛掷的次数

离散型随机变量的分布列及其期望与方差

离散型随机变量的分布列及其期望与方差 题组一： 1、已知随机变量X 的分布列为P （X=i ）=a i 2（i=1，2，3），则P （X=2）= . 2、设离散型随机变量X 的概率分布为 求：（1）2X+1的概率分布；（2）|X-1| 的概率分布. 3、设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布为 则q 的值为 . 4、设离散型随机变量ξ的分布列P （ξ=5 k ）=ak ， k=1，2，3，4，5. （1）求常数 a 的值； （2）求P （ξ≥53）；（3）求P （101 ＜ ξ ＜107）. 题组二： 1、若某一射手射击所得环数X 的概率

分布如下： 则此射手“射击一次命中环数X≥7”的概率是 . 2、一批产品共50件，其中5件次品， 45件合格品，从这批产品中任意抽两件，其中出现次品的概率是 . 3、某人共有5发子弹，他射击一次命 中目标的概率为，击中目标就停止 射击，则此人射击次数为5的概率 为 . 4、设随机变量X～B(6, 2 1),则P（X=3）= . 5、某同学有2盒笔芯，每盒有25支， 使用时从任意一盒中取出一支。经 过一段时间后，发现一盒已经用完 了，则另一盒恰好剩下5只的概率 是 .6、甲、乙两人各进行一次射击，如果 两人击中目标的概率都是，计算：（1）两人都击中目标的概率； （2）其中恰有一人击中目标的概率； （3）至少有一人击中目标的概率. 7、已知P（AB）= 10 3，P（A）= 5 3，则P （B|A）= . 8、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格 率是95%，乙厂产品的合格率是 80%，则从市场上买到一个是甲厂生 产的合格灯泡的概率是 . 9、1号箱中有2个白球和4个红球，2

常见离散型随机变量分布列示例

常见随机事件的概率与分布列示例 1、耗用子弹数的分布列 例 某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列． 分析：确定ξ取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得． 解：本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=⨯==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2 =⨯==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3 =⨯==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以4 1.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 0.9 0.09 0.009 0.0001 说明：搞清5=ξ的含义，防止这步出错．5=ξ时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以， 5 41.09.01.0)5(+⨯==ξP ．当然， 5 =ξ还有一种算法：即 0001.0)0009.0009.009.09.0(1)5(=+++-==ξP ． 2、独立重复试验某事件发生偶数次的概率 例 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________． 分 析 ： 发 生 事 件 A 的 次 数 () p n B ,~ξ，所以， ),,2,1,0,1(,)(n k p q q p C k p k n k k n =-===-ξ其中的k 取偶数0，2，4，…时，为二项式 n q p )(+ 展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论．

离散型随机变量

离散型随机变量 新知1：随机变量的定义： 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示． 新知2：随机变量与函数的关系： 例1.在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } . 例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等． ｛X<3｝在这里表示_______________“抽出 3件以上次品”用 X 表示__________ 新知3：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 某林场树木最高可达36m ，林场树木的高度η是一个随机变量吗？若是随机变量，η的取值范围是什么？ 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 林场树木的高度ξ是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值 区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达 如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1，表示反面向上 （2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量 练习： 1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ 其中的ξ是连续型随机变量的是（ ） A ．①； B ．②； C ．③； D ．①②③ 2．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么4=ξ表示随机实验结果是 ( ) ． A ．一颗是3点，一颗是1点 B ．两颗都是2点 C ．两颗都是4点 D ．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点

2.1.1 离散型随机变量

2.1离散型随机变量及其分布 列 2.1.1离散型随机变量 问题导学 一．随机变量的概念 阅读教材 44 p 活动与探究1:判断下列各量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2015年5月1日的旅客数量； (2)2015年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (3)体积为1 000 cm3的球半径长． 迁移与应用:下列变量中，不是随机变量的是() A．2016年奥运会上中国取得的金牌数 B．每一年从地球上消失的动物种数 C．2008年奥运会上中国取得的金牌数 D．某人投篮6次投中的次数 在一次随机试验中，随机变量的取值实质是随机试验的结果所对应的数，且这个数所有可能的取值是预先知道的，但不知道究竟会出现哪一个值，这便是“随机”的本源． 二、离散型随机变量的判定 阅读教材 45 p 活动与探究2:指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． (1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X； (2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X； (3)一天内气温的变化值X； (4)丁俊辉在2012世锦赛中每局所得的分数X; (5) 任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料, 其实际量与规定量之差. 迁移与应用 1．下面给出四个随机变量： ①高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y； ③某网站未来1小时的点击量； ④某人一生中的身高X．其中是离散型随机变量的序号为() A．①② B．③④C．①③D．②④2．下列随机变量中不是离散型随机变量的 是__________． ①某地车展中，预订各类汽车的总人数X； ②北京故宫某周内每天接待的游客人数； ③正弦曲线上的点P到x轴的距离X； ④小麦的亩产量X； ⑤王老师在一次英语课提问的学生人数X； ⑥抛掷两枚骰子, 所得点数之和. 判断一个变量是否为离散型随机变量，首先看它是不是随机变量，其次看可能取值是否能一一列出，也就是说变量的取值若是有限的，或者是可以列举出来的，就可以视为离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量． 三、离散型随机变量的取值 活动与探究3: 写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果： (1)在2018年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X； (2)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X；(3)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5．现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X; (4)某足球队在5次点球中射进的球数X.

概率统计中的离散型随机变量与连续型随机变量

概率统计中的离散型随机变量与连续型随机 变量 概率统计是数学的一个分支，用于研究随机现象的规律性和不确定性。在概率 统计中，随机变量是一个非常重要的概念。随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两种类型。本文将介绍这两种类型的随机变量以及它们的特点和应用。 一、离散型随机变量 离散型随机变量是指在一定范围内取有限个或可列个值的随机变量。它的特点 是在定义域内的每个值都有一定的概率与之对应。离散型随机变量的概率可以通过概率分布函数来描述。概率分布函数是一个将随机变量的取值映射到概率的函数。 离散型随机变量常见的例子有抛硬币的结果、掷骰子的点数、抽奖的中奖号码等。这些随机变量的取值都是有限个或可列个，每个取值的概率可以通过实验或统计数据得到。 离散型随机变量的期望值和方差是衡量其分布特征的重要指标。期望值表示随 机变量的平均取值，方差表示随机变量取值的离散程度。通过计算期望值和方差，可以更好地理解和描述离散型随机变量的分布特征。 离散型随机变量在实际应用中有着广泛的应用。例如，在市场调研中，我们可 以将消费者的购买行为看作是一个离散型随机变量，通过统计分析不同购买决策的概率分布，可以了解不同消费者的购买偏好和市场需求。 二、连续型随机变量 连续型随机变量是指在一定范围内可以取任意实数值的随机变量。与离散型随 机变量不同，连续型随机变量的取值是连续的，无法一一列举出来。连续型随机变量的概率可以通过概率密度函数来描述。

概率密度函数是一个描述随机变量概率分布的函数，它可以表示在某个取值范 围内随机变量出现的概率密度。与离散型随机变量的概率分布函数不同，连续型随机变量的概率密度函数在定义域内的每个点上的函数值并不表示该点的概率，而是表示该点附近的概率密度。 连续型随机变量常见的例子有身高、体重、温度等物理量。这些随机变量的取 值可以是任意的实数，通过概率密度函数可以描述它们的概率分布情况。 与离散型随机变量类似，连续型随机变量也有期望值和方差这两个重要指标。 期望值表示连续型随机变量的平均取值，方差表示连续型随机变量取值的离散程度。通过计算期望值和方差，可以更好地理解和描述连续型随机变量的分布特征。 连续型随机变量在实际应用中也有着广泛的应用。例如，在气象学中，我们可 以将气温视为一个连续型随机变量，通过分析气温的概率密度函数，可以了解不同气温区间出现的概率，从而预测未来的天气情况。 三、离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系 离散型随机变量和连续型随机变量是概率统计中两种常见的随机变量类型。它 们在定义、特点和应用方面存在一些区别和联系。 首先，离散型随机变量的取值是有限个或可列个，而连续型随机变量的取值是 连续的。这是两者最本质的区别之一。 其次，离散型随机变量的概率可以通过概率分布函数来描述，而连续型随机变 量的概率可以通过概率密度函数来描述。概率分布函数和概率密度函数是两种不同的数学工具，用于描述离散型和连续型随机变量的概率分布情况。 此外，离散型随机变量和连续型随机变量的期望值和方差的计算方法也存在差异。对于离散型随机变量，期望值可以通过将每个取值与其对应的概率相乘再求和来计算；方差可以通过将每个取值与其对应的概率相乘再求和，再减去期望值的平方来计算。对于连续型随机变量，期望值可以通过将概率密度函数乘以自变量后再

离散型随机变量概念

离散型随机变量概念 随机变量是概率论和数理统计中的重要概念。简单来说，随机变量就是从随机 试验中得到的结果，它可以是实数或者向量形式的。而离散型随机变量就是一种特殊的随机变量，它只能取到有限或者可数个取值。本文将详细介绍离散型随机变量的概念及其相关知识。 一、离散性 离散型随机变量的一大特征就是离散性。离散性指的是它所取的值是一些离散 的点，而非连续的数轴上的任意一个值。比如，掷骰子时，所得点数只能是1、2、3、4、5、6这六个离散的点，而不能取到任意其他的值。再比如，学生的考试成 绩只能是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这11个离散的取值，而不能取到小数或其他任何连续的值。 二、概率分布 离散型随机变量的概率分布是指它取各个值的概率。以掷骰子为例，每个点数 的概率都是相等的，为1/6。而考试成绩则需要根据具体情况来确定各个分数的概率。 概率分布可以由分布函数或者密度函数来表示。对于离散型随机变量而言，它 的概率分布由其概率质量函数（PMF）来描述。 概率质量函数表示的是随机变量取某个值的概率。以掷骰子为例，设X为掷一次骰子得到的点数，则X的概率质量函数为： P(X=1)=1/6，P(X=2)=1/6，P(X=3)=1/6，P(X=4)=1/6，P(X=5)=1/6，P(X=6)=1/6三、期望和方差

期望是一个重要的统计量，它表示了随机变量的平均值。对于离散型随机变量X，它的期望可以由概率质量函数计算得到： E(X)=∑x·P(X=x) 其中，x是X所能取到的各个值。 方差是用来描述随机变量离散程度的统计量。离散型随机变量X的方差可以由以下公式计算得到： Var(X)=E((X-E(X))^2)=∑(x-E(X))^2·P(X=x) 四、常见离散型随机变量 1. 伯努利分布 伯努利分布（Bernoulli distribution）是最简单的离散型随机变量之一。它的概率质量函数为： P(X=1)=p，P(X=0)=1-p 其中p为成功的概率，1-p为失败的概率。例如，掷一次硬币，正面朝上的事件就是成功，那么伯努利分布的取值为1表示正面，取值为0表示反面。 2. 二项分布 二项分布（binomial distribution）描述了进行n次伯努利试验，成功次数为k 的概率分布。它的概率质量函数为： P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k) 其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。二项分布可以用来描述掷n次硬币，正面朝上k次的概率分布。当n=1时，二项分布即为伯努利分布。 3. 泊松分布

统计学中的随机变量

统计学中的随机变量 统计学是一门研究收集、整理、分析和解释数据的学科。而随机变 量是统计学中的重要概念之一，它在描述统计数据的分布、计算概率 以及进行假设检验等方面发挥着关键作用。本文将介绍统计学中的随 机变量的基本概念、性质及其在实际应用中的重要性。 一、随机变量的定义与分类 随机变量是一个数值函数，它的取值取决于随机试验的结果。随机 变量可以分为离散型和连续型两种类型。 1. 离散型随机变量 离散型随机变量是指在一组有限或可数的数值中取值的变量。比如，投掷一枚骰子，点数的取值范围是1到6之间的整数，这就是一个离 散型随机变量。 2. 连续型随机变量 连续型随机变量是指在一个区间范围内取值的变量，其取值可以是 任意实数。比如，测量一个人的身高，身高可以是从0到无穷大的任 意实数，这就是一个连续型随机变量。 二、随机变量的概率分布函数 随机变量的概率分布函数是描述其取值和对应概率之间关系的函数。离散型随机变量的概率分布函数通常称为概率质量函数，连续型随机 变量的概率分布函数通常称为概率密度函数。

1. 离散型随机变量的概率质量函数 离散型随机变量的概率质量函数以概率的形式给出每个可能取值的概率。比如，掷一枚骰子的结果可能是1、2、3、4、5或6，每个结果的概率都是1/6，这就是一个离散型随机变量的概率质量函数。 2. 连续型随机变量的概率密度函数 连续型随机变量的概率密度函数描述了变量在某一取值范围内的概率密度。在某个取值范围内的概率可以通过概率密度函数在该范围上的积分得到。常见的连续型随机变量的概率密度函数有正态分布、均匀分布等。 三、随机变量的数学期望与方差 数学期望和方差是描述随机变量特征的重要指标。 1. 数学期望 数学期望是随机变量在其所有可能取值上加权平均的值。对于离散型随机变量，数学期望可以通过每个可能取值乘以其对应的概率，再求和得到。对于连续型随机变量，数学期望可以通过概率密度函数在整个取值范围上的积分得到。 2. 方差 方差是衡量随机变量取值分散程度的指标。方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中。方差可以通过每个

高中数学论文--离散型随机变量及其分布列高考聚焦.

离散型随机变量及其分布列高考聚焦 一、备考导学 离散型随机变量及其分布列是概率和排列组合的深化，也是高考的重点内容，在每年的高考命题中都有着对分布列的考察，其中考察的重点就是根据题意分析写出随机变量的分布列。求解过程往往和排列、组合和概率相结合。二、考点聚焦 考点1. 离散型随机变量分布列的性质 例1. （2009年陕西理）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下： 求a 的值 分析：由离散型随机变量分布列的性质可知所有的概率之和为1. 从而求得a 的值。解：由概率分布的性质有0.1+0.3+2a +a =1，解得a =0.2 点评：本节的重点就是离散型随机变量分布列及其性质，在高考中有时单独命题，有时考察分布列的写法，其实就是考察了分布列的性质，其应用可以简化运算和验证计算是否正确。考点2. 与现实紧密结合的离散型随机变量及其分布列 例2. （2009安徽理）某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区，B 肯定是受A 感染的。对于C, 因为难以判定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是1/2.同样也假设D 受 A 、 B 和 C 感染的概率都是1/3.在这种假定之下，B 、C 、 D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量。写出X 的分布列（不要求写出计算过程）。 分析：共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是1

： 在情形①和②之下，A 直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A 直接感染了两个人；在情形⑥之下，A 直接感染了三个人。解：随机变量X 的分布列是 点评：本题与现实紧密结合，是现实的热点也是高考的关注，让我们明确数学和现实的紧密关系，应用数学可以解决现实中的应用问题。 考点3. 与排列组合紧密结合的离散型随机变量及其分布列 例3．（2009浙江卷理）在1, 2,3, ,9 这9个自然数中，任取3个数．（I ）求这3个数中恰有1个是偶数的概率； （II ）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1, 2,3，则有两组相邻的 数1, 2和2,3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列 分析：在求这3个数中恰有1个偶数的概率，先在4个偶数中抽取1个，再从剩余的5个数 中抽取2个，所以基本事件个数为1245C C ，总的事件个数为39 C 。在第二问中首先明确ξ的的取值，可能取0，即没有相邻的，可能取1，即只有1组相邻的，可能取2，即有两组相邻。

统计学基础知识之随机变量的种类与描述

统计学基础知识之随机变量的种类与描述统计学基础知识之随机变量的种类与描述 随机变量的种类与描述 有些实验结果是用数值表现的，我们可以直接用这些数值代表随机变量的数值，如掷骰子的点数。但有一些试验的结果并不是数值，而是各种态度，观点和属性，如记录顾客的性别，对于这样的试验 结果，我们通常使用不同的数值来代表不同的结果，如令“男性 =1”，“女性=0”，这样就可以用随机变量来描述试验的结果了。 根据随机变量所代表数值的不同，随机变量分为两类：离散型随机变量和连续型随机变量。 离散型随机变量是指它全部的取值是有限个或可列无限多个。例如，每月销售的电脑数量就是一个离散型随机变量，它的取值是0，1，2，…。这是有限个变量值。上例中掷骰子的点数，也是一个离 散型随机变量。离散型随机变量还有一些其它例子： 1)一天内光顾某家商店的顾客人数; 2)固定资产由200万元达到10亿元的年数; 3)某年观看春节晚会的观众数; 4)一个班级上课迟到的学生数; 连续型随机变量是指在某一段区间上可以取无限多个数值的'随 机变量。也就是说连续性随机变量是个无间隔变量，他在一定区间 内可以取任何值。例如，每天接到的前两个电话的时间间隔是个随 机变量，这个随机变量的取值可以是任意X≥0。它可以是1min， 2.34min， 3.6547min等，因为在理论上任意两个时刻之间都可以有 无数个时间段，所以时间间隔是一个连续型随机变量。连续型随机 变量的其它例子还有：

1)一口油井每小时抽出是由的质量; 2)等待电梯所用时间; 3)企业一年的利润; 4)灯泡的寿命; 对于两种不同的随机变量，他们的概率计算也是不同的。离散型随机变量的取值可以一一举例，因而可以分别计算他们的概率值，而连续型随机变量的取值是连续的，计算概率的方法相对复杂。

离散型随机变量例题

离散型随机变量例题 随机变量是概率论中的重要概念，它代表了随机试验结果的数值化表达。离散型随机变量是随机变量的一种，它的可能取值是有限个或者可数个。 在本文中，我们将通过一些例题来介绍离散型随机变量的概念和性质。 例题一：掷骰子 假设我们有一个均匀的六面骰子，每个面上的数字分别为1到6。设随机变量X表示掷骰子的结果，试求X的概率分布。 解析： 由于每个面上的数字是等可能的，所以X的取值为1到6的概率都是1/6。可以得到X的概率分布如下： X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ---------------------------------------------------- P(X) | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 例题二：抛硬币 假设我们有一个公正的硬币，并进行了连续的独立抛掷，设随机变量Y表示第一次出现正面的次数，试求Y的概率分布。 解析：

当抛掷一次时，正面出现的次数可以为0或1，因此Y的取值为0 和1。考虑到硬币是公正的，所以可以得到Y的概率分布如下：Y | 0 | 1 | --------------------- P(Y) | 1/2 | 1/2 | 例题三：某班级考试 某班级的学生进行了一次考试，设随机变量Z表示考试得到的成绩。已知Z的概率分布如下： Z | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | ------------------------------------------------- P(Z) | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.2 | 试求该班级的平均成绩和方差。 解析： 根据概率分布，可以计算出该班级的平均成绩和方差。平均成绩的 计算公式为： E(Z) = Σ(Zi * P(Zi)) 其中，Zi为Z的取值，P(Zi)为Z取值为Zi的概率。将具体数值代 入公式计算，得到 E(Z) = 60 * 0.1 + 70 * 0.2 + 80 * 0.3 + 90 * 0.2 + 100 * 0.2 = 82

高考数学百大经典例题——离散型随机变量的期望与方差

开锁次数的数学期望和方差 例 有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数ξ的数学期望和方差． 分析：求)(k P =ξ时，由题知前1-k 次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如3,2,1=ξ，发现规律后，推广到一般． 解：ξ的可能取值为1，2，3，…，n ． ;12112121)111()11()3(;111111)11()2(,1)1(n n n n n n n n n P n n n n n n P n P =-⋅--⋅-=-⋅--⋅-===-⋅-=-⋅-====ξξξ n k n k n k n n n n n n n k n k n n n n k P 111212312111)211()211()111()11()(=+-⋅+-+---⋅--⋅-=+-⋅+----⋅--⋅-== ξ；所以ξ的分布列为： 2 31211=⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n n E ξ； n n n n n k n n n n n n D 1)21(1)21(1)213(1)212(1)211(22222⋅+-++⋅+-++⋅+-+⋅+-+⋅+- = ξ ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡⋅+++++++-++++=n n n n n n 22222)21()321)(1()321(1 1214)1(2)1()12)(1(611222-=⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡+++-++=n n n n n n n n n 说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键． 次品个数的期望 例 某批数量较大的商品的次品率是5％，从中任意地连续取出10件，ξ为所含次品

高中数学总结归纳 感悟离散型随机变量

感悟离散型随机变量 随机变量和函数都是一种映射，随机变量是人为地把随机试验的结果映为实数，这与函数概念的本质是一样的，只不过函数是把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的范围相当于函数的值域． 例1 写出下面随机变量的可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． 一袋中装有5个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ． 分析：从这5个球中任取3个，等价于从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个，每次取出的三个数字中，自然有一个最大的数字． 解：ξ可取3，4，5． 3ξ=，表示取出的3个球的编号为1，2，3． 4ξ=，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4； 5ξ=，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5． 点评：随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数． 例2 一个袋中装有大小相同的4个玻璃球，其中两个红色，一个黄色和一个蓝色，从中任取一球，用1ξ=表示取出红球，2ξ=表示取出黄球，3ξ=表示取出蓝球，求ξ分别取1，2，3时的概率． 分析：该例中的ξ是一个随机变量，随机变量用来表示不同试验的结果数，试验结果和实数之间存在着对应关系． 解：∵1ξ=表示从4个球中取出的1个球是红球，而袋中有两个红球 ∴ 1ξ=时的概率为2142 =． ∵ 2ξ=表示从4个球中取出的1个球是黄球，而袋中有一个黄球， ∴ 2ξ=时的概率为． ∵3ξ=表示从4个球中取出的一个球是蓝球，而袋中有一个蓝球， ∴ 3ξ=时的概率为．

黑龙江省大庆市喇中材料——离散型随机变量及其分布列练习

离散型随机变量及其分布列练习 1、一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）。设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立。 （1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ （3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。 2、若随机变量η的分布列如下： 则当时，实数x的取值范围是（） Ａ．x≤1 Ｂ．1≤x≤2 Ｃ．1＜x≤2 Ｄ．1x＜2 3、某射手有4发子弹，射击一次命中目标的概率为，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，用表示用的子弹数，则等于（）（A） (B) (C) (D) 以上都不对 4、一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200 分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相 互独立． （Ⅰ）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列;

（Ⅱ）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 5、电子蛙跳游戏是: 青蛙第一步从如图所示的正方体顶点 起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点． （1）直接写出跳两步跳到的概率； （2）求跳三步跳到的概率； （3）青蛙跳五步，用表示跳到过的次数，求随机变量的概率分布． 6、甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局 中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求： (1)打满4局比赛还未停止的概率； (2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E(ξ)． 令A k ，B k ，C k 分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜． 7、近年来空气污染是一个生活中重要的话题， PM2．5就是其中一个指标。PM2．5指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级：在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．淮北相山区2014年12月1日至I0日每天的PM2．5监测数据如茎叶图所示．（1）期间的某天小刘来此地旅游，求当天PM2．5日均监测数据未超标的概率；

专题01 离散型随机变量分布列(解析版)

概率与统计 专题01 离散型随机变量分布列 常见考点 考点一 离散型随机变量分布列 典例1．某校组织“百年党史”知识比赛，每组有两名同学进行比赛，有2道抢答题目．已知甲、乙两位同学进行同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等．抢到题目且回答正确者得100分，没回答者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得50分，2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲答对每道题目的概率为45 ．乙答对每道题目的概率为35 ，且两人各道题目是否回答正确相互独立． (1)求乙同学得100分的概率； (2)记X 为甲同学的累计得分，求X 的分布列和数学期望． 【答案】(1) 37100 ； (2)分布列见解析，()100E X =. 【解析】 【分析】 （1）应用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法，求乙同学得100分的概率； （2）由题意知X 可能值为{0,50,100,150,200}，分别求出对应概率，写出分布列，进而求期望. (1) 由题意，乙同学得100分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误}、{甲乙各抢到一题都回答正确}、{甲抢到两题且回答错误}， 所以乙同学得100分的概率为1312 1413111137222525 25252525 100 ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. (2) 由题意，甲同学的累计得分X 可能值为{0,50,100,150,200}， 1111111313134 (0)225252525252525P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=； 121112134 (50)222525252525 P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=； 1212111414139(100)2225252525252525P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=；14124 (150)2252525 P X ==⨯⨯⨯⨯=；