一次函数与一元一次不等式

一次函数与一元一次不等式

一次函数

定义与定义式

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b

则此时称y是x的一次函数。

当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常数，k≠0）

一次函数的性质

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

一次函数的图像及性质

1．作法与图形：通过如下3个步骤

（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；

（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线必通过原点。

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

4、特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

确定一次函数的表达式

已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②

（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

一次函数在生活中的应用

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

常用公式（不全，希望有人补充）

1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）

5.求两一次函数式图像交点坐标：解两函数式

一元一次不等式:

一般的，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是一的式子叫做一元一次不等式不等式的性质：

1.不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

2.不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3.不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向不变。

解一元一次不等式的一般方法：

1、去分母

2、去括号

3、移项

4、合并同类项

5、将x的系数化为1

一元一次不等式与一次函数

一元一次不等式与一次函数 【基础知识精讲】 1.一元一次不等式与一次函数的关系。 两个一次函数有时根据需要，要比较其函数值的大小，这时问题就转化为一元一次不等式的问题。另一方面，利用解不等式的方法也可以求出两个一次函数的值的大小。事实上，不等式与函数和方程是紧密联系的一个整体。 2.一次函数的图象与一元一次不等式的关系。 一次函数y=kx＋b（k≠0）的图像是一条直线，当kx＋b＞0时，表示图像在x轴上方的部分；当kx＋b=0时，表示直线与x轴的交点；当kx＋b＜0时，表示图像在x轴下方的部分。 【考点聚焦】 本章一元一次不等式与一次函数是中考热点，随着素质教育的逐步发展，突出了对创新意识的考查，加大了对“三个一次”（即一元一次方程，一次函数，一元一次不等式）综合应用考查及解决实际问题的考查。题型有选择题、填空题及解决实际问题（多为压轴题）。 【典例精析】 例1作出函数y=x－3的图象如图所示，并观察图象回答下列问题： （1）x取哪些值时，y＞0；（2）x取哪些值时，y＜0；（3）x取哪些值时，y＞3。 思路点拨：首先要认清一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，所以需要知图象上两点的坐标，可取(3，0)和(0，－3)。 解：由图象可知： （1）当x＞3时，y＞0； （2）当x＜3时，y＜0； （3）当x＞6时，y＞3。 评注：（1）两点确定一条直线。（2）大于往右看，小于往左看。 【试解相关题】 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9米，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3米，哥哥每秒跑4米，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题： （1）何时弟弟跑在哥哥前面？ （2）何时哥哥跑在弟弟前面？

一次函数与不等式

第十九章 一次函数 知识要点回顾： 1、一元一次方程与一次函数的关系 任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值. 2、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 3、一次函数与二元一次方程组 （1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=b c x b a +- 的图象相同. （2）二元一次方程组?? ?=+=+2 22111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b c x b a +-和y=2222b c x b a +-的图象交点. 考点1 ：一次函数与不等式 例题1、画出函数y=2x-1的图象，利用图象：①求方程2x-1=0的解；②求不等式2x-1＞0的解；③若-1≤y ≤3，求x 的取值范围． 例题2、已知一次函数y=kx+b 的图象（如图），当x ＜0时，y 的取值范围是（ ） A ．y ＞0 B ．y ＜0 C ．-2＜y ＜0 D ．y ＜-2 （第2题 ） （第4题） 例题3、把直线y=﹣x+3向上平移m 个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m 的取值范围是 （ ） A ． 1＜m ＜7 B ． 3＜m ＜4 C ． m ＞1 D ． m ＜4 例题4、如图，函数y1=﹣2x 与y2=ax+3的图象相交于点A （m ，2），则关于x 的不等式﹣2x ＞ax+3的解集是（ ） A 、x ＞2 B 、x ＜2 C 、x ＞﹣1 D 、x ＜﹣1 变式练习： 1、直线y=3x+9与x 轴的交点是（ ） A.（0,-3） B.（-3,0） C.（0,3） D.（0,-3） 2、已知一元一次方程ax-b=0（a ，b 为常数，a ）的解为x=2，则一次函数y=ax-b 的函数值为0时,自变量x 的值是（ ） A 3 B -3 C 2 D -2 3、已知直线y=2x+k 与x 轴的交点为（-2，0），则关于x 的不等式2x+k<0的解集是（ ） A ．x>-2 B ．x≥-2 C ．x<-2 D ．x≤-2 4、直线l 1：y=k 1x+b 与直线l 2：y=k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于k 2x>k 1x+b 的不等式的解集为( ) ＞-1 ＜-1 ＜-2 D.无法确定 5、函数y=-2x+6的图象如图所示，P （2，2）是图象上的一点，观察图象回答问题． （1）当x 为何值时，y ＜0 （2）当x 为何值时，y=0 （3）求当0≤x ≤2时，y 的取值范围． 考点2:一次函数与二元一次方程组

一元一次不等式与一次函数整理

一元一次不等式与一次函数整理 一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。本文将从概念、性质、解法和应用四个方面来介绍一元一次不等式和一次函数。 一、概念 一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式，例如：ax+b>c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。一次函数是指函数的表达式为y=kx+b，其中k、b为常数，x、y为自变量和因变量。 二、性质 1. 一元一次不等式的解集是一个区间，可以用数轴表示出来。 2. 一次函数的图像是一条直线，斜率k表示函数的增长速度，截距b表示函数的起点。 3. 一元一次不等式和一次函数都具有可加性和可减性，即若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。 三、解法 1. 一元一次不等式的解法有两种：图像法和代数法。图像法是将不等式转化为数轴上的图形，通过观察图形来确定解集。代数法是通

过移项、化简等代数运算来求解。 2. 一次函数的解法是通过求出函数的斜率和截距，然后画出函数的图像，根据图像来确定函数的性质和解析式。 四、应用 1. 一元一次不等式和一次函数在经济学中有着广泛的应用，例如：利润、成本、收益等问题都可以用一次函数来描述。 2. 一元一次不等式和一次函数在物理学中也有着重要的应用，例如：速度、加速度、力等问题都可以用一次函数来描述。 3. 一元一次不等式和一次函数在生活中也有着实际的应用，例如：购物打折、优惠券等问题都可以用一元一次不等式来描述，而房价、工资等问题都可以用一次函数来描述。 一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。掌握一元一次不等式和一次函数的概念、性质、解法和应用，对于提高数学素养和解决实际问题都有着重要的意义。

一次函数与一次方程,一次不等式的关系

一次函数与一次方程,一次不等式的关系 知识点： 一、一次函数与一元一次方程的关系 直线y=kx+b （k ≠0）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0（k ≠0）的解。求直线y=kx+b 与x 轴交点时，可令y=0，得到方程kx+b=0，解方程得x=-b/k 。直线y=kx+b 交x 轴于（-b/k ，0），-b/k 就是直线y=kx+b 与x 轴交点的横坐标。 二、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为ax=b>0或ax=b<0 (b a 、为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。 三、一次函数与二元一次方程（组）的关系 一次函数的解析式y=kx+b （k ≠0）本身就是一个二元一次方程，直线y=kx+b （k ≠0）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y=kx+b （k ≠0），因此二元一次方程的解也就有无数个。 例题解析 一、一次函数与一元一次方程综合 已知直线y=(3m-2)x+2和y=-3x-2交于x 轴上同一点，m 的值为______ 已知一次函数y=-x+a 与y=x-b 的图象相交于点(m,8)，则b-a=______． 二、一次函数与一元一次不等式综合 1.已知一次函数y=-2x+525y x =-+． （1）画出它的图象； （2）求出当x=3/2时，y 的值； （3）求出当y=-3时，x 的值； （4）观察图象，求出当x 为何值时，y>0，y<0,y=0 2.当自变量x 满足什么条件时，函数y=-4x+1的图象在： （1）x 轴上方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限． 3.已知直线A 为y=x+5，直线B 为y=-2x-6．当A>B 时，x 的取值范围是_____ 4.已知一次函数y=-2x+3 （1）当x 取何值时，函数y 的值在-1与2之间变化? （2）当x 从-2到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少? 5.直线A:y=Mx+b 与直线B:y=Nx 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式Nx>Mx+b 的解集为______． 6.当x_________时直线y=x+2上的点在直线y=3x-2上相应点的上方． 7.如图，直线y=kx+b （k ≠0）经过A(5,1)，B(-2,-3)两点，则不等式0.5x> kx+b>-3的解集为______． 5题图 7题图 8已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求： （1）当x=2时，y 的值； （2）x 为何值时，y<0？ （3）当-2

一元一次不等式与一次函数讲解

一元一次不等式与一次函数讲解一元一次不等式与一次函数是数学中非常重要的概念，它们在我 们的生活中都有广泛的应用。本文将从定义、性质、解法等多个方面 介绍一元一次不等式与一次函数，帮助读者更加深入地理解这两个概念。 一、一元一次不等式 一元一次不等式，简单来说，就是只有一个未知量的一次不等式。比如：ax + b > c，其中a、b、c是已知实数，x是未知实数。一元一次不等式常常用于解决一些实际问题，比如数量关系、利润计算等。 一、一元一次不等式的性质 1. 对于一元一次不等式ax + b > c，如果a > 0，则当x > (c- b)/a时，不等式成立；如果a < 0，则当x < (c-b)/a时，不等式成立。 2. 对于一元一次不等式ax + b < c，如果a > 0，则当x < (c- b)/a时，不等式成立；如果a < 0，则当x > (c-b)/a时，不等式成立。 上述性质可以帮助我们更好地解决一元一次不等式的问题。 二、一次函数

一次函数，是指一个函数的自变量只有一个，且函数的表达式是一个一次多项式。一次函数通常表示成f(x) = kx + b的形式，其中k 和b为常数。 一次函数在实际问题中经常被用到，比如直线运动、物品价格变化等，因为它的表达式简单，易于计算，而且有明确的几何意义。 二、一次函数的性质 1. 一次函数的图像是一条直线。 2. 当k > 0时，函数图像单调递增；当k < 0时，函数图像单调递减。 3. 如果k = 0，则函数是一个常函数，图像为一条水平直线；如果b = 0，则函数是一个零函数，图像过原点。 4. 一次函数的x轴截距为-b/k，y轴截距为b。 上述性质有助于我们更好地理解一次函数的性质，同时也为我们解决一些实际问题提供了帮助。 三、一元一次不等式的解法 对于一元一次不等式ax + b > c，我们可以通过以下几个步骤来解决： 1. 将不等式移项得到ax > c-b。 2. 根据a的正负性质确定解的方向。如果a > 0，则解为x > (c-b)/a；如果a < 0，则解为x < (c-b)/a。

一元一次不等式与一次函数题型及做题技巧

一元一次不等式与一次函数题型及做题技巧 一、引言 在数学学习过程中，一元一次不等式与一次函数题型是我们经常会遇 到的内容。它们不仅在中学阶段占据着重要的位置，而且在后续学习 中也有着深远的影响。本文将以一元一次不等式与一次函数为主题， 探讨其相关的题型及做题技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一部分 内容。 二、一元一次不等式的基础概念 在开始探讨一元一次不等式的题型及做题技巧之前，我们首先需要了 解一元一次不等式的基础概念。一元一次不等式是指形如ax+b>c或ax+b

1. 绝对值不等式 绝对值不等式是一种常见的不等式类型，它的形式通常为|ax+b|>c或|ax+b|0时和ax+b<0时。对于不等式|ax+b|>c，我们需要分别解出ax+b>c和ax+b<-c的不等式组，并将其合并得到最终的解集。而对于不等式|ax+b|-c的不等式组，然后得到最终的解集。 在解绝对值不等式时，我们需要注意 |ax+b| = a * x + b 或者 |ax+b| = -a * x - b ，然后分别进行讨论。 2. 含参数的不等式 含参数的不等式是指不等式中存在未知参数的情况，通常我们需要根 据参数的取值范围来求解不等式。在解含参数的不等式时，我们需要 分情况讨论参数的取值范围，然后分别求解不等式并得出最终的解集。与绝对值不等式类似，在解含参数的不等式时，我们需要将不等式分 为不同情况进行讨论，以免遗漏某些情况带来的解集。 3. 一次函数与一元一次不等式的联系

人教版八年级数学下《一次函数与一元一次不等式》知识全解

《一次函数与一元一次不等式》知识全解 课标要求 理解一次函数与一元一次不等式的关系，会用一次函数及其图像解决一元一次不等式的问题，会用一元一次不等式解决实际问题。 知识结构 一次函数与一元一次不等式的关系 同一次函数与一元一次方程一样，一次函数y=ax+b（a,b为常数，a≠0）与一元一次不等式：ax+b＞0（或ax+b＜0）（a,b为常数）之间也有密切联系。由于任何一个一元一次不等式都可以化为一般形式ax+b＞0（或ax+b＜0）（a,b为常数），所以解一元一次不等式可以转化为求：当一次函数y=ax+b中，函数值y大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围。从图象上看，相当于直线y=ax+b在x轴上方（或下方）时，x的取值范围。 解关于x的不等式kx+b>mx+n有两种转化方式，分别为： （1）当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的上方． （2）求当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理） 内容解析 求一次函数y=ax+b中，当自变量在什么范围取值时，函数值y＞0。这个问题即为当x 取何值时ax+b＞0，正好是求一元一次不等式的解集；而从图象上看，因为纵坐标大于0的点都在x轴上面，所以求函数y=ax+b的函数值大于0时，自变量x的范围，就相当于求已知直线y=ax+b在x轴上面的图象所对应的横坐标的范围。 用一次函数图象来解一元一次不等式．虽说方法未必简单，但我们从函数的角度来重新认识不等式，发现了一次函数、一元一次不等式之间的联系，能直观看到怎样用图形来表示不等式的解，对我们以后学习很重要． 重点难点 本节的重点是：用一次函数及其图象来解决一元一次不等式的问题 难点是：正确理解一次函数与一元一次不等式的转化关系，并能用它们解决实际问题。教法引导 通过举例，让学生体会一次函数与一元一次不等式的转化关系。通过让学生动手画函数图象，掌握用图象来解决一元一次不等式的方法.

一次函数与一元一次不等式的关系

一次函数与一元一次不等式的关系 一次函数和一元一次不等式是初中数学中比较基础的知识点，两者之间也有着密切的联系。本文将从定义、性质、图像等方面探讨一次函数和一元一次不等式之间的关系。 一、一次函数的定义 一次函数是指形如 $y=kx+b$ 的函数，其中 $k$ 和 $b$ 都是常数，$x$ 和 $y$ 是变量。其中，$k$ 称为斜率，表示函数图像的倾斜程度；$b$ 称为截距，表示函数图像与 $y$ 轴的交点。 二、一元一次不等式的定义 一元一次不等式是指形如 $ax+b>0$ 或 $ax+b<0$ 的不等式，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数，$x$ 是变量。其中，$a$ 表示不等式左侧的系数，$b$ 表示不等式右侧的常数。 三、一次函数的性质 1. 斜率为正，则函数是单调递增的；斜率为负，则函数是单调递减的。 2. 截距表示函数与 $y$ 轴的交点，当 $x=0$ 时，$y=b$。 3. 一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点来确定。 四、一元一次不等式的性质 1. 当 $a>0$ 时，不等式的解集为 $x>-b/a$；当 $a<0$ 时，不等式的解集为 $x<-b/a$。 2. 如果不等式中的 $<$ 变成了 $leq$ 或 $geq$，则解集不变。 3. 如果不等式中的 $>$ 和 $<$ 交换，不等式的解集也随之交

换。 五、一次函数和一元一次不等式的关系 1. 一次函数的图像可以用来表示一元一次不等式的解集。例如，不等式 $2x+3>0$ 的解集可以表示成一次函数 $y=2x+3$ 在 $y>0$ 区域的图像。 2. 一元一次不等式的解集也可以用来表示一次函数的定义域或值域。例如，不等式 $3x-1<5$ 的解集为 $x<2$，则一次函数 $y=3x-1$ 的定义域为 $(-infty, 2)$。 3. 一次函数的斜率和截距也可以用来确定一元一次不等式的形式。例如，已知一次函数 $y=2x-1$ 的斜率为正，截距为负，则对应的一元一次不等式为 $2x-1>0$。 综上所述，一次函数和一元一次不等式之间存在着紧密的联系，可以相互转化和应用。在解决数学问题的过程中，我们可以根据具体情况选择使用一次函数或一元一次不等式，以便更好地理解和解决问题。

一次函数与一元一次不等式的关系

一次函数与一元一次不等式的关系 一次函数与一元一次不等式的关系 一次函数是数学中非常重要的一个概念，而它与一元一次不等式之间 也存在着密切的关系。下面就让我们来了解一下。 一、一次函数的定义与性质 一次函数指的是形如y=kx+b的函数，其中x为自变量，y为因变量，k 和b为常数。它的图像是一条直线，具有以下性质： 1. 斜率k表示线性关系的比例系数，k越大，直线越陡峭；k为正数时，直线右上方倾斜；k为负数时，直线左下方倾斜。 2. 截距b表示直线与y轴的交点，当x=0时，y=b。当k=0时，直线平 行于x轴，即为一条水平直线。 3. 一次函数图像在直线上每个点的斜率都相等，斜率就是函数的导数。 二、一元一次不等式的定义与性质 一元一次不等式是指形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中x为变量，

a和b为常数。它的解集是一个区间。不等式的基本性质如下： 1. 如果不等式两边同时加上一个正数，则不等式不变。 2. 如果不等式两边同时乘上一个正数，则不等式不变。 3. 如果不等式两边同时乘上一个负数，则不等式的不等号方向改变。 三、一次函数与一元一次不等式的关系 一次函数与一元一次不等式之间存在着密切的关系，具体表现在以下几个方面： 1. 根据一次函数的性质，我们可以根据一次不等式求解其解集合并确定一次函数的定义域和值域。 2. 根据一元一次不等式的基本性质，我们可以对一次函数的图像进行平移、伸缩和翻折等操作，从而得到不同的函数图像。 3. 一元一次不等式的解与一次函数的斜率有关，当一次不等式为 ax+b>0时，解集表示函数图像位于y轴上方的区间，此时函数的斜率为正数a；当一次不等式为ax+b<0时，解集表示函数图像位于y轴下方的区间，此时函数的斜率为负数a。 综上所述，一次函数与一元一次不等式之间存在着密切的关系，掌握

元一次不等式与一次函数的关系

学校____________ 班级____________ 姓名____________ 【学习目标】 1、一元一次不等式与一次函数的关系。 2、会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较。 3、通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养数形结合意识。 【学习重点】 了解一元一次不等式与一次函数之间的关系。 【学习难点】 根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答。 【学习过程】 一、复习导学 前面我们学习过一次函数、一元一次方程与一元一次不等式，我们知道一元一次方程的解就是一次函数图象与x轴交点的横坐标，也就是说： “一元一次方程ax+b=0”与“求当x为何值时，y=ax+b的值为0”是同一问题， 那么一元一次不等式与一次函数之间有怎样的关系呢？ 如：下面两个问题是同一问题吗？ （1）解不等式：2x-4＜0 （2）当x为何值时，函数y=2x-4的值小于0？ 今天我们就来探究类似这样的问题？ 二、自主探究、合作交流 1．探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系： 还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式． 如y=2x－5为一次函数． 在一次函数y=2x－5中， 当y=0时，有方程2x－5=0； 当y＞0时，有不等式2x－5＞0； 当y＜0时，有不等式2x－5＜0． 由此可见：_________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解

一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解 1.什么是一次函数 一次函数，也称为一次多项式函数或线性函数，是指形如$y=a x+b$的 函数，其中$a$和$b$是常数，$x$是自变量，$y$是因变量。一次函数的 图像为一条直线，具有特定的斜率和截距。 一次函数的基本形式为$y=ax+b$，其中$a$表示斜率，决定了函数图 像的倾斜程度，$b$表示截距，决定了函数图像与$y$轴的交点。 2.一元一次方程的求解 等式性质一元一次方程是指只含有一个变量的一次方程。解一元一次 方程的核心思想是通过运用和**方程统一变形原则**，将方程逐步化简，最终得到变量的解。 求解一元一次方程的一般步骤如下： 1.对方程中的项进行整理和合并，使得方程成为$a x+b=0$的形式； 2.根据方程统一变形原则，将方程中的常数项移至方程的右侧，得到 $a x=-b$； 3.利用解方程的等式性质，将方程两边同时乘以$\fr ac{1}{a}$，得 到$x=\f ra c{-b}{a}$； 4.化简得到最终解，即$x$的值。 通过以上步骤，可以求得一元一次方程的解。 3.一元一次不等式的求解 等式性质一元一次不等式是指只含有一个变量的一次不等式。求解一 元一次不等式的方法与求解一元一次方程类似，同样可以运用和**不等 式统一变形原则**。 求解一元一次不等式的一般步骤如下：

1.对不等式中的项进行整理和合并，使得不等式成为$a x+bc$的形式； 2.根据不等式的性质，将常数项移至不等式的右侧； 3.根据不等式统一变形原则，将不等式两边同时乘以正数或除以负数，注意在乘或除的过程中要考虑到反号问题； 4.根据不等式的性质，得到不等式的最终解。 需要注意的是，在进行不等式符号的翻转时，需要根据乘或除的正负 进行对应，以确保不等式符号的方向正确。 4.总结 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式在数学中起着重要的作用。掌握了一次函数的概念和性质，以及求解一元一次方程和不等式的方法， 能帮助我们更好地理解和解决数学问题。 通过本文档的讲解，相信读者对一次函数、一元一次方程和一元一次 不等式有了更深入的了解，并且能够应用所学知识解决相关问题。希望读 者在今后的学习和应用中能够灵活运用一次函数、一元一次方程和一元一 次不等式的知识，提高数学水平。

一元一次不等式与一次函数

第1讲一元一次不等式与一次函数 知识点1 观察图像，求不等式解集 1.下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系. 作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题. （1）x取哪些值时，2x－5=0? （2）x取哪些值时，2x－5＜0? （3）x取哪些值时，2x－5＞0? （4）x取哪些值时，2x－5＞3? 知识点2 一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集的联系 1.根据上面的分析，找到一次函数当函数值y＞0时，对应的自变量x的取值范围为不等式－2x－5＞0的解集. 2.从图像上来分析，不等式－2x－5＞0的解集.即为图像在x轴上方的部分对应的自变量x 的取值

例1.如图，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于点A （m ，3），则不等式2x < ax + 4的解集为（ ） A ．23< x B ．3x D ．3>x 例2.已知直线y ＝kx +b 经过点A （5，0）B （1，4），并与直线y ＝2x ﹣4相交于点C ，求关于x 的不等式2x ﹣4＜kx +b 的正整数解． 例3. 已知直线y=3x+k 与x 轴交于（﹣2，0），则不等式3x+k ≤0的解集是 _________ 例4.甲乙两车同时从A 地出发,以各自的速度匀速向B 地行驶.甲车先到达B 地,停留一小时后按原路以另一速度匀速返回,直到两车相遇.乙车的速度为60km/h ，两车间距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数图象如下. (1)将图中（ ）填上适当的值，并求甲车从A 到B 的速度. (2)求从甲车返回到与乙车相遇过程中y 与x 的函数关系式，自变量取值范围。 (3)求出甲车返回时行驶速度及AB 两地的距离. 例5.直线l 1：y=kx 与直线l 2：y=ax+b 在同一平面直角坐标系中的图象如图，则关于x 的不 等式ax+b ＞kx 的解集为 ．

一元一次不等式与一次函数的复习讲义全

一、知识点梳理 知识点： 一. 不等关系 1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系. 3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质 1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么acb,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b; 如果ab <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a a-b<0 (由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. 三. 不等式的解集: 1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式. 2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个围的所有数,与方程的解不同. 3. 不等式的解集在数轴上的表示: 用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向: ①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈; ②方向:大向右,小向左 四. 一元一次不等式: 1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式. 2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.

一次函数一元一次不等式与一次函数的关系

学科 数学 年级 八年级 授课时间 20XX 年 月 日 （8：00 ——10：00） 教师 学生 课 程 新 授 授课题目 一次函数、一元一次不等式与一次函数的关系 精 彩 导 学 课 前 回 顾 1、 比较两个量的大小采用的方法是 2、 一元一次不等式与一元一次方程的关系 3、 学习本章需要掌握的基本数学思想有 、 、 。 授 课 内 容 1、 复习一次函数的内容 2、 复习二元一次方程组 3、 复习一次函数与二元一次方程组的关系 4、 一元一次不等式与一次函数的关系 5、 一元一次不等式组与方程组、一次函数的关系 教学过程 1、教师精讲（知识重点、例题解析、方法总结、注意问题）； 2、当堂检测（精讲精练，讲练结合）； 3、拓展提高（与中、高考结合，加大难度，注意总结解题规律） 基础知识回顾 一、正比例函数 1、正比例函数及性质 定义：一般地，形如y=kx(k 是常数，k ≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式：y=kx ① k ≠0 ② x 的指数为1 例题1.下列说法中不成立的是（ ） A ．在y=3x-1中y+1与x 成正比例； B ．在y=- 2 x 中y 与x 成正比例 C ．在y=2（x+1）中y 与x+1成正比例； D ．在y=x+3中y 与x 成正比例 思考1：如何判断两个量是不是成正比例？ 练习：已知y-5与3x-4成正比例，且当x=1时，y=2，求当y=11时，x 的值. 知识点： (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） 必过点：（0，0）、（1，k ） 例题2：当a=________时，函数y=(a －3)x ＋a 2 －9是正比例函数. 思考2：给出一个解析式是正比例函数，应当列出哪几个式子？

一次函数与一元一次不等式(基础)知识讲解

一次函数与一元一次不等式（基础） 【学习目标】 1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观 地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题． 【要点梳理】 要点一、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 要点二、一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 要点三、如何确定两个不等式的大小关系 ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的 函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围． 【典型例题】 类型一、一次函数与一元一次不等式 1、如图，直线y kx b =+交坐标轴于A （－3，0）、B （0，5）两点，则不等式kx b --＜0的解集为（ ） A ．x ＞－3 B ．x ＜－3 C ．x ＞3 D ．x ＜3 【思路点拨】kx b --＜0即kx b +＞0，图象在x 轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式kx b +＞0的解集.