一元一次不等式与函数图象
不等式与函数图象
一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系：函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+•b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－b
，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；•直线y=ax+b在x轴的上方，a
也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解．
例题1：观察y=2x－5的图象回答下列问题.
（1）x取哪些值时，2x－5=0? （3）x取哪些值时，
2x－5＜0?
（2）x取哪些值时，2x－5＞0? （4）x取哪些值
时，2x－5＞3?
（3）如果y=－2x－5,那么当x取何值时，y＞0?
例题2：已知一次函数y＝kx＋b的图像，如图
所示，当x＜0时，y的取值范围是（）
例题2图练习1 2 3
练习1. 如图所示，直线y＝kx＋b与x轴交于点（－4，0），当y＞0时，x 的取值范围是（）
2. 一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图像如图所示，则不等式kx ＋b＞0的解集是（）
3. 一次函数y＝kx＋b的图像如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（）。例题2. 直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为（）
练习：1
，如图，直线y＝1/2kx＋b经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组x＜kx＋b＜0的解集为__________。
2.如图，l1反映了某公司的销售收入与销量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量必须
____________。
3．小亮用作图像的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图像L1，L2如图所示，他解的这个方程组是（）
A．
22
1
1
2
y x
y x
=-+
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
B．
22
y x
y x
=-+
⎧
⎨
=-
⎩
C．
38,
1
3
2
y x
y x
=-
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
D．
22,
1
1
2
y x
y x
=-+
⎧
⎪
⎨
=--
⎪⎩
4．如图，一次函数y=kx+6的图像经过A，B两点，
则kx+b>0的解集是（）
A．x>0 B．x<2
C．x>－3 D．－3 课后练习： 1.如图4所示，已知函数y=x+b和y=ax+3的图像交点为P，•则不等式x+b>ax+3的解集为 ________． 图4 图5 图6 2．函数y1=x+1与y2=ax+b（a≠0）的图像如图5所示，•这两个函数图像的交点在y轴上，那么使y1，y2的值都大于零的x的取值范围是（） A．x>－1 B．x<2 C．1 3．如图6，一次函数y=kx+b的图像经过A，B两点，则kx+b>0•的解集是（）A．x>0 B．x>2 C．x>－3 D．－3 一元一次不等式与一次函数 【基础知识精讲】 1.一元一次不等式与一次函数的关系。 两个一次函数有时根据需要，要比较其函数值的大小，这时问题就转化为一元一次不等式的问题。另一方面，利用解不等式的方法也可以求出两个一次函数的值的大小。事实上，不等式与函数和方程是紧密联系的一个整体。 2.一次函数的图象与一元一次不等式的关系。 一次函数y=kx＋b（k≠0）的图像是一条直线，当kx＋b＞0时，表示图像在x轴上方的部分；当kx＋b=0时，表示直线与x轴的交点；当kx＋b＜0时，表示图像在x轴下方的部分。 【考点聚焦】 本章一元一次不等式与一次函数是中考热点，随着素质教育的逐步发展，突出了对创新意识的考查，加大了对“三个一次”（即一元一次方程，一次函数，一元一次不等式）综合应用考查及解决实际问题的考查。题型有选择题、填空题及解决实际问题（多为压轴题）。 【典例精析】 例1作出函数y=x－3的图象如图所示，并观察图象回答下列问题： （1）x取哪些值时，y＞0；（2）x取哪些值时，y＜0；（3）x取哪些值时，y＞3。 思路点拨：首先要认清一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，所以需要知图象上两点的坐标，可取(3，0)和(0，－3)。 解：由图象可知： （1）当x＞3时，y＞0； （2）当x＜3时，y＜0； （3）当x＞6时，y＞3。 评注：（1）两点确定一条直线。（2）大于往右看，小于往左看。 【试解相关题】 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9米，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3米，哥哥每秒跑4米，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题： （1）何时弟弟跑在哥哥前面？ （2）何时哥哥跑在弟弟前面？ 第十九章 一次函数 知识要点回顾： 1、一元一次方程与一次函数的关系 任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值. 2、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 3、一次函数与二元一次方程组 （1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=b c x b a +- 的图象相同. （2）二元一次方程组?? ?=+=+2 22111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b c x b a +-和y=2222b c x b a +-的图象交点. 考点1 ：一次函数与不等式 例题1、画出函数y=2x-1的图象，利用图象：①求方程2x-1=0的解；②求不等式2x-1＞0的解；③若-1≤y ≤3，求x 的取值范围． 例题2、已知一次函数y=kx+b 的图象（如图），当x ＜0时，y 的取值范围是（ ） A ．y ＞0 B ．y ＜0 C ．-2＜y ＜0 D ．y ＜-2 （第2题 ） （第4题） 例题3、把直线y=﹣x+3向上平移m 个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m 的取值范围是 （ ） A ． 1＜m ＜7 B ． 3＜m ＜4 C ． m ＞1 D ． m ＜4 例题4、如图，函数y1=﹣2x 与y2=ax+3的图象相交于点A （m ，2），则关于x 的不等式﹣2x ＞ax+3的解集是（ ） A 、x ＞2 B 、x ＜2 C 、x ＞﹣1 D 、x ＜﹣1 变式练习： 1、直线y=3x+9与x 轴的交点是（ ） A.（0,-3） B.（-3,0） C.（0,3） D.（0,-3） 2、已知一元一次方程ax-b=0（a ，b 为常数，a ）的解为x=2，则一次函数y=ax-b 的函数值为0时,自变量x 的值是（ ） A 3 B -3 C 2 D -2 3、已知直线y=2x+k 与x 轴的交点为（-2，0），则关于x 的不等式2x+k<0的解集是（ ） A ．x>-2 B ．x≥-2 C ．x<-2 D ．x≤-2 4、直线l 1：y=k 1x+b 与直线l 2：y=k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于k 2x>k 1x+b 的不等式的解集为( ) ＞-1 ＜-1 ＜-2 D.无法确定 5、函数y=-2x+6的图象如图所示，P （2，2）是图象上的一点，观察图象回答问题． （1）当x 为何值时，y ＜0 （2）当x 为何值时，y=0 （3）求当0≤x ≤2时，y 的取值范围． 考点2:一次函数与二元一次方程组 一元一次不等式与一次函数整理 一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。本文将从概念、性质、解法和应用四个方面来介绍一元一次不等式和一次函数。 一、概念 一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式，例如：ax+b>c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。一次函数是指函数的表达式为y=kx+b，其中k、b为常数，x、y为自变量和因变量。 二、性质 1. 一元一次不等式的解集是一个区间，可以用数轴表示出来。 2. 一次函数的图像是一条直线，斜率k表示函数的增长速度，截距b表示函数的起点。 3. 一元一次不等式和一次函数都具有可加性和可减性，即若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。 三、解法 1. 一元一次不等式的解法有两种：图像法和代数法。图像法是将不等式转化为数轴上的图形，通过观察图形来确定解集。代数法是通 过移项、化简等代数运算来求解。 2. 一次函数的解法是通过求出函数的斜率和截距，然后画出函数的图像，根据图像来确定函数的性质和解析式。 四、应用 1. 一元一次不等式和一次函数在经济学中有着广泛的应用，例如：利润、成本、收益等问题都可以用一次函数来描述。 2. 一元一次不等式和一次函数在物理学中也有着重要的应用，例如：速度、加速度、力等问题都可以用一次函数来描述。 3. 一元一次不等式和一次函数在生活中也有着实际的应用，例如：购物打折、优惠券等问题都可以用一元一次不等式来描述，而房价、工资等问题都可以用一次函数来描述。 一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。掌握一元一次不等式和一次函数的概念、性质、解法和应用，对于提高数学素养和解决实际问题都有着重要的意义。 一元一次不等式与函数 图象 文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968） 不等式与函数图象 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系：函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+?b=0（a≠0）的解，所对应的 坐标（－b a ，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；?直线y=ax+b在x轴 的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也 就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解． 例题1：观察y=2x－5的图象回答下列问题. （1）x取哪些值时，2x－5=0?（3）x取哪些值时， 2x－5＜0? （2）x取哪些值时，2x－5＞0?（4）x取哪些值时， 2x－5＞3? （3）如果y=－2x－5,那么当x取何值时，y＞0? 例题2：已知一次函数y＝kx＋b的图像，如图所示，当x＜0时，y的取值范围是（??） 例题2图练习123 练习1.如图所示，直线y＝kx＋b与x轴交于点（－4，0），当y＞0时，x的取值范围是（??） 2.一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图像如图所示，则不等式kx＋b＞0的解集是（??） 3.一次函数y＝kx＋b的图像如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（??）。 例题2.直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为（??） 练习：1，如图，直线y＝1/2kx＋b经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组 x＜kx＋b＜0的解集为__________。 一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解 1.什么是一次函数 一次函数，也称为一次多项式函数或线性函数，是指形如$y=a x+b$的 函数，其中$a$和$b$是常数，$x$是自变量，$y$是因变量。一次函数的 图像为一条直线，具有特定的斜率和截距。 一次函数的基本形式为$y=ax+b$，其中$a$表示斜率，决定了函数图 像的倾斜程度，$b$表示截距，决定了函数图像与$y$轴的交点。 2.一元一次方程的求解 等式性质一元一次方程是指只含有一个变量的一次方程。解一元一次 方程的核心思想是通过运用和**方程统一变形原则**，将方程逐步化简，最终得到变量的解。 求解一元一次方程的一般步骤如下： 1.对方程中的项进行整理和合并，使得方程成为$a x+b=0$的形式； 2.根据方程统一变形原则，将方程中的常数项移至方程的右侧，得到 $a x=-b$； 3.利用解方程的等式性质，将方程两边同时乘以$\fr ac{1}{a}$，得 到$x=\f ra c{-b}{a}$； 4.化简得到最终解，即$x$的值。 通过以上步骤，可以求得一元一次方程的解。 3.一元一次不等式的求解 等式性质一元一次不等式是指只含有一个变量的一次不等式。求解一 元一次不等式的方法与求解一元一次方程类似，同样可以运用和**不等 式统一变形原则**。 求解一元一次不等式的一般步骤如下： 1.对不等式中的项进行整理和合并，使得不等式成为$a x+b 《一次函数与一元一次不等式》知识全解 课标要求 理解一次函数与一元一次不等式的关系，会用一次函数及其图像解决一元一次不等式的问题，会用一元一次不等式解决实际问题。 知识结构 一次函数与一元一次不等式的关系 同一次函数与一元一次方程一样，一次函数y=ax+b（a,b为常数，a≠0）与一元一次不等式：ax+b＞0（或ax+b＜0）（a,b为常数）之间也有密切联系。由于任何一个一元一次不等式都可以化为一般形式ax+b＞0（或ax+b＜0）（a,b为常数），所以解一元一次不等式可以转化为求：当一次函数y=ax+b中，函数值y大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围。从图象上看，相当于直线y=ax+b在x轴上方（或下方）时，x的取值范围。 解关于x的不等式kx+b>mx+n有两种转化方式，分别为： （1）当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的上方． （2）求当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理） 内容解析 求一次函数y=ax+b中，当自变量在什么范围取值时，函数值y＞0。这个问题即为当x 取何值时ax+b＞0，正好是求一元一次不等式的解集；而从图象上看，因为纵坐标大于0的点都在x轴上面，所以求函数y=ax+b的函数值大于0时，自变量x的范围，就相当于求已知直线y=ax+b在x轴上面的图象所对应的横坐标的范围。 用一次函数图象来解一元一次不等式．虽说方法未必简单，但我们从函数的角度来重新认识不等式，发现了一次函数、一元一次不等式之间的联系，能直观看到怎样用图形来表示不等式的解，对我们以后学习很重要． 重点难点 本节的重点是：用一次函数及其图象来解决一元一次不等式的问题 难点是：正确理解一次函数与一元一次不等式的转化关系，并能用它们解决实际问题。教法引导 通过举例，让学生体会一次函数与一元一次不等式的转化关系。通过让学生动手画函数图象，掌握用图象来解决一元一次不等式的方法. 一元一次不等式与一次函数讲解一元一次不等式与一次函数是数学中非常重要的概念，它们在我 们的生活中都有广泛的应用。本文将从定义、性质、解法等多个方面 介绍一元一次不等式与一次函数，帮助读者更加深入地理解这两个概念。 一、一元一次不等式 一元一次不等式，简单来说，就是只有一个未知量的一次不等式。比如：ax + b > c，其中a、b、c是已知实数，x是未知实数。一元一次不等式常常用于解决一些实际问题，比如数量关系、利润计算等。 一、一元一次不等式的性质 1. 对于一元一次不等式ax + b > c，如果a > 0，则当x > (c- b)/a时，不等式成立；如果a < 0，则当x < (c-b)/a时，不等式成立。 2. 对于一元一次不等式ax + b < c，如果a > 0，则当x < (c- b)/a时，不等式成立；如果a < 0，则当x > (c-b)/a时，不等式成立。 上述性质可以帮助我们更好地解决一元一次不等式的问题。 二、一次函数 一次函数，是指一个函数的自变量只有一个，且函数的表达式是一个一次多项式。一次函数通常表示成f(x) = kx + b的形式，其中k 和b为常数。 一次函数在实际问题中经常被用到，比如直线运动、物品价格变化等，因为它的表达式简单，易于计算，而且有明确的几何意义。 二、一次函数的性质 1. 一次函数的图像是一条直线。 2. 当k > 0时，函数图像单调递增；当k < 0时，函数图像单调递减。 3. 如果k = 0，则函数是一个常函数，图像为一条水平直线；如果b = 0，则函数是一个零函数，图像过原点。 4. 一次函数的x轴截距为-b/k，y轴截距为b。 上述性质有助于我们更好地理解一次函数的性质，同时也为我们解决一些实际问题提供了帮助。 三、一元一次不等式的解法 对于一元一次不等式ax + b > c，我们可以通过以下几个步骤来解决： 1. 将不等式移项得到ax > c-b。 2. 根据a的正负性质确定解的方向。如果a > 0，则解为x > (c-b)/a；如果a < 0，则解为x < (c-b)/a。 一次函数与一元一次不等式的关系 一次函数与一元一次不等式的关系 一次函数是数学中非常重要的一个概念，而它与一元一次不等式之间 也存在着密切的关系。下面就让我们来了解一下。 一、一次函数的定义与性质 一次函数指的是形如y=kx+b的函数，其中x为自变量，y为因变量，k 和b为常数。它的图像是一条直线，具有以下性质： 1. 斜率k表示线性关系的比例系数，k越大，直线越陡峭；k为正数时，直线右上方倾斜；k为负数时，直线左下方倾斜。 2. 截距b表示直线与y轴的交点，当x=0时，y=b。当k=0时，直线平 行于x轴，即为一条水平直线。 3. 一次函数图像在直线上每个点的斜率都相等，斜率就是函数的导数。 二、一元一次不等式的定义与性质 一元一次不等式是指形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中x为变量， a和b为常数。它的解集是一个区间。不等式的基本性质如下： 1. 如果不等式两边同时加上一个正数，则不等式不变。 2. 如果不等式两边同时乘上一个正数，则不等式不变。 3. 如果不等式两边同时乘上一个负数，则不等式的不等号方向改变。 三、一次函数与一元一次不等式的关系 一次函数与一元一次不等式之间存在着密切的关系，具体表现在以下几个方面： 1. 根据一次函数的性质，我们可以根据一次不等式求解其解集合并确定一次函数的定义域和值域。 2. 根据一元一次不等式的基本性质，我们可以对一次函数的图像进行平移、伸缩和翻折等操作，从而得到不同的函数图像。 3. 一元一次不等式的解与一次函数的斜率有关，当一次不等式为 ax+b>0时，解集表示函数图像位于y轴上方的区间，此时函数的斜率为正数a；当一次不等式为ax+b<0时，解集表示函数图像位于y轴下方的区间，此时函数的斜率为负数a。 综上所述，一次函数与一元一次不等式之间存在着密切的关系，掌握 一次函数与一元一次不等式的关系 一次函数和一元一次不等式是初中数学中比较基础的知识点，两者之间也有着密切的联系。本文将从定义、性质、图像等方面探讨一次函数和一元一次不等式之间的关系。 一、一次函数的定义 一次函数是指形如 $y=kx+b$ 的函数，其中 $k$ 和 $b$ 都是常数，$x$ 和 $y$ 是变量。其中，$k$ 称为斜率，表示函数图像的倾斜程度；$b$ 称为截距，表示函数图像与 $y$ 轴的交点。 二、一元一次不等式的定义 一元一次不等式是指形如 $ax+b>0$ 或 $ax+b<0$ 的不等式，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数，$x$ 是变量。其中，$a$ 表示不等式左侧的系数，$b$ 表示不等式右侧的常数。 三、一次函数的性质 1. 斜率为正，则函数是单调递增的；斜率为负，则函数是单调递减的。 2. 截距表示函数与 $y$ 轴的交点，当 $x=0$ 时，$y=b$。 3. 一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点来确定。 四、一元一次不等式的性质 1. 当 $a>0$ 时，不等式的解集为 $x>-b/a$；当 $a<0$ 时，不等式的解集为 $x<-b/a$。 2. 如果不等式中的 $<$ 变成了 $leq$ 或 $geq$，则解集不变。 3. 如果不等式中的 $>$ 和 $<$ 交换，不等式的解集也随之交 换。 五、一次函数和一元一次不等式的关系 1. 一次函数的图像可以用来表示一元一次不等式的解集。例如，不等式 $2x+3>0$ 的解集可以表示成一次函数 $y=2x+3$ 在 $y>0$ 区域的图像。 2. 一元一次不等式的解集也可以用来表示一次函数的定义域或值域。例如，不等式 $3x-1<5$ 的解集为 $x<2$，则一次函数 $y=3x-1$ 的定义域为 $(-infty, 2)$。 3. 一次函数的斜率和截距也可以用来确定一元一次不等式的形式。例如，已知一次函数 $y=2x-1$ 的斜率为正，截距为负，则对应的一元一次不等式为 $2x-1>0$。 综上所述，一次函数和一元一次不等式之间存在着紧密的联系，可以相互转化和应用。在解决数学问题的过程中，我们可以根据具体情况选择使用一次函数或一元一次不等式，以便更好地理解和解决问题。 一次函数与一元一次不等式（基础） 【学习目标】 1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观 地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题． 【要点梳理】 要点一、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 要点二、一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 要点三、如何确定两个不等式的大小关系 ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的 函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围． 【典型例题】 类型一、一次函数与一元一次不等式 1、如图，直线y kx b =+交坐标轴于A （－3，0）、B （0，5）两点，则不等式kx b --＜0的解集为（ ） A ．x ＞－3 B ．x ＜－3 C ．x ＞3 D ．x ＜3 【思路点拨】kx b --＜0即kx b +＞0，图象在x 轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式kx b +＞0的解集. 第五节一元一次不等式与一次函数 一元一次不等式与一次函数—目标导引 1.通过一次函数的图象进一步体会函数概念，并从中体会到一元一次不等式与一次函数的内在联系. 2.通过具体问题初步体会一次函数变化规律与一元一次不等式解集的联系. 3.培养学生，分析问题、解决问题及看图、识图的能力 一元一次不等式与一次函数—内容全解 1.利用一次函数图象可以直接求解一元一次不等式，从而得到一元一次不等式的另一种解法. 2.还可以运用一元一次不等式来帮助研究一次函数问题. 第六课时 ●课题 §1.5.1 一元一次不等式与一次函数（一） ●教学目标 （一）教学知识点 1.一元一次不等式与一次函数的关系. 2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较. （二）能力训练要求 1.通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识. 2.训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力. （三）情感与价值观要求 体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. ●教学重点 了解一元一次不等式与一次函数之间的关系. ●教学难点 自己根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答. ●教学方法 研讨法 即主要由学生自主交流合作来解决问题，老师只起引导作用. ●教具准备 投影片两张 第一张：（记作§1.5.1 A） 第二张：（记作§1.5.1 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］上节课我们学习了一元一次不等式的解法，那么，是不是不等式的知识是孤立的呢？本节课我们来研究不等式的有关应用. Ⅱ.新课讲授 1.一元一次不等式与一次函数之间的关系. ［师］大家还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式. ［生］如y=2x－5为一次函数. ［师］在一次函数y=2x－5中， 当y=0时，有方程2x－5=0; 当y＞0时，有不等式2x－5＞0; 当y＜0时，有不等式2x－5＜0. 由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式. 下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系. 2.做一做 图1－21 ［生］（1）当y=0时，2x－5=0, 第1讲一元一次不等式与一次函数 知识点1 观察图像，求不等式解集 1.下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系. 作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题. （1）x取哪些值时，2x－5=0? （2）x取哪些值时，2x－5＜0? （3）x取哪些值时，2x－5＞0? （4）x取哪些值时，2x－5＞3? 知识点2 一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集的联系 1.根据上面的分析，找到一次函数当函数值y＞0时，对应的自变量x的取值范围为不等式－2x－5＞0的解集. 2.从图像上来分析，不等式－2x－5＞0的解集.即为图像在x轴上方的部分对应的自变量x 的取值 例1.如图，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于点A （m ，3），则不等式2x < ax + 4的解集为（ ） A ．23< x B ．3 2.5《一元一次不等式与一次函数》 教学设计 （第1课时） 一、教学目标 1.通过观察函数图像，求方程的解和不等式的解集：从中体会一元一次方程、一元一次不 等式与一次函数的内在联系。 2.通过具体问题，初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系。 二、教学重点及难点 重点：了解一元一次不等式与一次函数之间的内在联系. 难点：自己根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答. 三、教学用具 多媒体课件、三角尺 四、教学过程 【问题导入】 小华准备将平时的零用钱储存起来他己经存有300元现在起每月存50元.小华的同学小丽以前没有存过零用钱在听说小华存零用钱后表示从现在起每月存70元争取超过小华.根据以上信息你能帮助小丽计算出她需要多久才能超过小华吗？ 设计意图：让学生在解题过程中有目的的思考，懂得把函数关系式表达出来.为下面的新课学习做好铺垫. 【探究新知】 1.探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系. 大家还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式. 如产2人一5为一次函数. 师生：在一次函数,v=2r-5中， 当），=0时，有方程2X-5=O： 当y>0时，有不等式2A-5>0； 当时，有不等式2A—5<0. 由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于 0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式. 2 ,做一做： 作出函数.V=2T-5的图象，观察图象回答下列问题. (1)x取哪些值时，"-5二0? (2)x取哪些值时，2v-5>0? (3)x取哪些值时，2.r-5<0? (4)x取哪些值时，Zv-5>1? 请大家讨论后回答： (1)当尸0 时，2x-5=o, ，当 4* 时，2v-5=0. 2 (2)要找2r—5>0的x的值，也就是函数值y大于。时所对应的x的值，从图象上可 知，)，>0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件.当x>|■时，由)=2x-5 可知y>0.因此当■时，2L5>0. (3)同理可知，当xV2时，有2T—5<0： 2 (4)要使2x-5>l,也就是产入一5中的)，大于1,那么过纵坐标为1的点作一条直线平行于X轴，这条直线与产2》一5相交于一点3 (3, 1),则当x>3时，有2A— 5>1. 3.试一试 一次函数与方程、不等式 峰迭新区中学：尚金星教学目标 知识与技能： [1] 认识一次函数与一次方程、一元一次不等式之间 的联系。会用函数观点解释方程和不等式及其解 （解集）的意义； [2] 经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进 一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想。 过程与方法： [1] 引导学生经历探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系的过程，体会数形结合、分类、类比、归纳等数学思想方法的运用，积累数学活动经验。 [2] 通过自主探究、小组合作等活动，锻炼学生的自学能力、归纳概括的能力，增强学生间的合作意识。 情感态度与价值观： [1] 通过对一次函数、一次方程与一元一次不等式内在关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系，培养学生用联系的观点看待数学问题的意识。 的合作意识。 教学重点/难点 教学重点 [1] 探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间内在关系。 教学难点 [1] 对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的揭示。 教学方法 启发式教学 教学用具 多媒体课件，教学用直尺、三角板等。 教学过程 1 复习旧知、提出课题前面我们学习了一次函数。实 际上,一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应，互相依存。它与我们七年级学过的一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程组有着必然的联系。 【师】复习一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的形式。 【生】师生共同回答。这节课开始，我们就学着用函数的观点去看待方程(组)与不等式，并充分利用函数图象的直观性，形象地看待方程(组)不等式的求解问题。这是我们学习数学的一种很好的思想方法。 不等式与函数图象 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系：函数y=ax+ba≠0,a,b为常数中,函数 的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+ b=0a≠0的解,所对应的坐标－b a ,0是直 线y=ax+b与x轴的交点坐标,反过来也成立；•直线y=ax+b在x轴的上方,也就是函数的值大于零,x的值是不等式ax+b>0a≠0的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零,x的值是不等式ax+b<0a≠0的解． 例题1：观察y=2x－5的图象回答下列问题. 1x取哪些值时,2x－5=0 3x取哪些值时,2x－5＜0 2x取哪些值时,2x－5＞0 4x取哪些值时,2x－5＞3 3如果y=－2x－5,那么当x取何值时,y＞0 例题2：已知一次函数y＝kx＋b的图像,如图所示,当x＜0时,y的取值范围是 例题2图练习123 练习1.如图所示,直线y＝kx＋b与x轴交于点－4,0,当y＞0时,x的取值范围是 2.一次函数y＝kx＋bk、b是常数,k≠0的图像如图所示,则不等式kx＋b＞0的解集是 3.一次函数y＝kx＋b的图像如图所示,当y＜0时,x的取值范围是. 例题2.直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图像如图所示,则x的不等式k1x＋b＞k2x的解为 练习：1,如图,直线y＝1/2kx＋b经过A－2,－1和B－3,0两点,则不等式组x＜kx＋b＜0的解集为__________. 2.如图,l 1反映了某公司的销售收入与销量的关系,l 2反映了该公司产品的销售成本与销 量的关系,当该公司赢利收入大于成本时,销售量必须____________. 3．小亮用作图像的方法解二元一次方程组时,在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次 函数的图像L 1,L 2如图所示,他解的这个方程组是 A ．22112 y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩B ．22y x y x =-+⎧⎨=-⎩ C ．38,132y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩D ．22,112 y x y x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩ 4．如图,一次函数y=kx+6的图像经过A,B 两点,则kx+b>0的 解集是 A ．x>0 B ．x<2 C ．x>－3 D ．－3 一、一次函数与一元一次方程的关系 直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b k - 就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。 二、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值围。 三、一次函数与二元一次方程（组）的关系 一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。 一、一次函数与一元一次方程综合 【例1】 若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60， ，则m 的值为（ ） 【例2】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．0 【巩固】已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ， ，则a b +=______． 知识点睛 例题精讲 一次函数与方程、不等式综合 二、一次函数与一元一次不等式综合【例3】已知一次函数25 y x =-+． （1）画出它的图象； （2）求出当 3 2 x=时，y的值； （3）求出当3 y=-时，x的值； （4）观察图象，求出当x为何值时，0 y>，0 y=，0 y<【例4】当自变量x满足什么条件时，函数23 y x =-+的图象在：（1）x轴下方；（2）y轴左侧；（3）第一象限． 【巩固】当自变量x满足什么条件时，函数41 y x =-+的图象在：（1）x轴上方；（2）y轴左侧；（3）第一象限． 数学《一元一次不等式》说课稿 数学《一元一次不等式》说课稿 作为一名教师，往往需要进行说课稿编写工作，写说课稿能有效帮助我们总结和提升讲课技巧。说课稿应该怎么写呢？下面是小编整理的数学《一元一次不等式》说课稿，仅供参考，希望能够帮助到大家。 数学《一元一次不等式》说课稿1 尊敬的各位评委： 你们好！ 我今天说课的内容是浙教版数学八年级上册第五章第3节《一元一次不等式》的第2课时。下面我从教材分析、教学方法和教学过程等几方面来谈谈我对本节课的理解和设计。 一、教材分析 （一）教材的地位与作用 本节课是学生在学习了一元一次不等式及其解的概念，解简单的一元一次不等式的基础上，对解一元一次不等式的进一步深入和拓展；另一方面，又为学习不等式的应用、函数等知识奠定了基础。鉴于这种认识，我认为本节课不仅有着广泛的应用，而且起着承上启下的作用。 （二）教学目标 知识与能力目标：掌握解一元一次不等式的一般步骤；会运用解一元一次不等式的基本步骤解一元一次不等式。 过程与方法目标：通过学生的观察、独立思考等过程培养学生归纳概括的能力。 情感与态度目标：通过获得用数学知识解决实际问题的成功体验，增强学生学习的自信心。 （三）教学重点难点 基于教学目标，我认为本节课的重点是：运用解一元一次不等式的一般步骤解一元一次不等式。 由于例2的步骤较多，容易发生错误，是为本节课的难点。 二、教学方法 我认为在教学中，要善于调动学生的学习积极性，关注学生的学习过程。本节课我采用启发式，讲练结合的教学方法，让学生手脑并用，合作交流，自主探究。 三、教学过程 为了整体把握教材，构建高效课堂，我设计科一下流程： 复习引入—探究新知—巩固练习拓展新知—目标检测—归纳小结—作业布置，总共7个环节。 （一）复习引入 课件出示：解下列不等式：（1）3-3x＞2-4x；（2）3+3x≤4x+8。这两道题是上节课学过的知识，我估计学生能够解决。于是我给学生一定时间让他们自行完成，同时请两位学生上台板演。对照学生的解题过程，教师提问：“解这样的不等式的基本步骤是什么？根据学生的回答，教师及时板书：移项、合并同类项、两边同除以未知数前面的系数。（注：遇负数，不等号的方向改变，与方程的不同之处）现在再看以下两道题： 1.合作学习，根据已学过的知识，你能解下列一元一次不等式吗？ （1）5x>3(x-2)+2 (2)2m-3<(7m+3)/2 2.解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤类似。解一元一次不等式的一般步骤和根据如下： 步骤根据 1去分母不等式的基本性质3 2去括号单项式乘以多项式法则 3移项不等式的基本性质2 4合并同类项，得ax>b,或ax 5两边同除以a(或乘1/a)不等式的基本性质3 3.例1.解不等式3(1-x)>2(1-2x) 解：去括号，得3-3x>2-4x 移项，得-3x+4x>2-3一元一次不等式与一次函数
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