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测度拓扑和连续偏序集的刻画

黎曼积分与勒贝格积分

黎曼积分如果函数f(X)在闭区间[a,b]上定义，而(P,ζ)是这个闭区间的一个带点分割，则和σ(f；p,ζ):=Σf(ζi)ΔXi 叫做函数f在区间[a,b]上对应于带点分割(P,ζ)的积分和，其中Δ Xi=Xi-X(i-1) 存在这样一个实数I，如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0，使对区间[a,b]的任何带点分割(P,ζ)，只要分化P的参数λ(P)<δ，就有|I-σ(f；p,ζ)|<ε，则称函数f(X)在闭区间[a,b]上黎曼可积，而I就成为函数f(X)在闭区间[a,b]上的黎曼积分。勒贝格积分将给定的函数按函数值的区域进行划分，作和、求极限而产生的积分概念，就是勒贝格积分。概念简述定义：设f (x) 是E ∈L q(mE < ∞) 上的有界函数，则称f (x) ∈L(E) ，如果对任意ε> 0，必然存在E 的分划D，使S(D, f ) -s(D, f ) = ΣωimEi<ε，这里S(D, f ) 及s(D, f )分别是f (x) 关于分划D 的大和及小和，ωimEi是Ei上的振幅。它与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分；后者是对函数定义域进行划分。对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻,他说: 假如我欠人家一笔钱,现在要还,此时按钞票的面值的大小分类,然后计算每一类的面额总值,再相加,这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类,而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数,那就是Riemann积分思想。(参见:周性伟,实变函数教学的点滴体会,《高等理科教学》,2000.1)

即采取对值域作分划,相应得到对定义域的分划(每一块不一定是区间), 使得在每一块上的振幅都很小, 即按函数值的大小对定义域的点加以归类。积分介绍积分是“和”的概念。即将东西加起来。所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度(Y值)乘以小区间的长度，然后加起来。用极限法就可以求得精确的面积。这是传统的积分概念(黎曼积分)。勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。比如计算面积，可以将小区间的高度(Y值)乘以对应的所有小区间的长度的和(测度)，然后加起来。又比如现有硬币：25，25，10，5，10，1，5，25。用黎曼积分来求和：25+25+10+5+10+1+5+25=106。用勒贝格积分来求和：25*3+10*2+5*2+1=106。结果是一样。但对于一些“坏”函数，结果是不一样。比如在X轴[0，1]闭区间上定义函数： Y=1，当X是无理数； Y=0，当X是有理数。求该函数覆盖的面积。黎曼积分无法定义，因为任意小的区间都包含无理数和有理数。用勒贝格积分来求和: 1*1+0*0 = 1。 [0，1]闭区间的长度(测度)是1；有限点集的长度(测度)是0；无限可数点集(如，有理数)的长度(测度)是0。而[0，1]闭区间的长度(测度) = 有理数集的长度+ 无理数集的长度。所以，[0，1]闭区间的无理数集的长度(测度) 是1。这就解释了上述计算结果。由此可见，勒贝格积分比黎曼积分广义。

偏序集的Dilworth定理学习

偏序集的Dilworth定理学习导弹拦截是一个经典问题：求一个序列的最长不上升子序列，以及求能最少划分成几组不上升子序列。第一问是经典动态规划，第二问直接的方法是最小路径覆盖，但是二分图匹配的复杂度较高，我们可以将其转化成求最长上升子序列，其最大值即等于不上升子序列的最小划分数。这就涉及到组合数学中偏序集的Dilworth定理。（第二问的贪心方法其实就是这个定理的证明过程）其中第一问和第二问都可以用o(nlogn)的算法解决： #include #include #include using namespace std; int a[100],f[100],g[100]; int main(){ freopen("lmis.in","r",stdin); freopen("lmis.out","w",stdout); int n,i; scanf("%d",&n); memset(g,0x7f,sizeof(g)); memset(f,0,sizeof(f));

for(i=0;i

习题511下面哪些集合是偏序集解是偏序集

习题5.1 1. 下面哪些集合是偏序集？（1）=><，Z （2）≠><，Z （3）≥><， Z （4）>/<|， Z 解（1）是偏序集，（2）不是偏序集，（3）是偏序集，（4）不是偏序集 2. 确定由下面的关系图5.6表示的表示的3个关系是否为偏序？并列出这些关系中的所有序偶来进行验证。解略图5.6 习题2的图 3. 确定由下面的关系矩阵表示的关系是否为偏序？（1）? ? ????? ???100011 101 （2）? ???? ?? ???101010001 （3）???? ?? ????????1011110001100101 解略 4. 画出在下述集合上的整除关系的哈斯图。（1）}87654321 {，，，，，，，（2）}131175321 {，，，，，，（3）}483624126321 {，，，，，，，（4）}6432168421 {，，，，，，解（1）、（2）的哈斯图如下：

（3）、（4）略 5. 在下面偏序集中找出两个不可比的元素。（1）?><，，， })210{(p （2）><|}86421{，，，，解略 6. ><|}452415953{，，，，，，是偏序集。（1）求极大元素和极小元素。（2）存在最大元素吗？存在最小元素吗？如果存在，请求出。（3）找出子集}53{，的所有上界。如果它的上确界存在的话，上确界。（4）找出子集}4515{，的所有下界。如果它的下确界存在的话，求出下确界。解（1）极大元素为9，15，24和45，极小元素为3和5。（2）不存在最大元素，也不存在最小元素。（3）子集}53{，的上界有15和45，上确界是15。（4）子集}4515{，的下界有3，5和15，下确界是15。 7. ?><，，，，，，，，，，，，，，，，，}}432{}431{}43{}42{}41{}21{}4{}2{}1{{ 是偏序集。（1）求极大元素和极小元素。（2）存在最大元素吗？存在最小元素吗？（3）找出子集}}4{}2{{，的所有上界。如果它的上确界存在的话，上确界。（4）找出子集}}432{}321{{ ，，，，，的所有下界。如果它的下确界存在的话，求出下确界。解略 8. 给出满足下列性质的偏序集。（1）有一个极小元素但没有极大元素。（2）有一个极大元素但没有极小元素。（3）既没有极大元素也没有极小元素。解略 9. 设R 是集合X 上的半序。（1）证明1 -R R 是等价关系。（2）定义商集 )/(1 -=R R X Y 上的关系S ：Y D C ∈?，，S D C >∈<，当且仅当在C 、D 中分别存在元素d c 、使得R d c >∈<，。证明S 是商集Y 上的偏序。解略 10. 给出下面小写英文字母串的字典序。

第三章测度论

第三章测度论（总授课时数 14学时）教学目的引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集本章要点要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较. §1、外测度教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质. 2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法. 本节要点外测度的定义及其基本性质. 本节难点外测度的定义. 授课时数 4学时 —————————————————————————————— 一、引言 (1) Riemann 积分回顾（分割定义域） ||||0 1 ()()lim ()n b i i a T i R f x dx f x ξ→==?∑ ?，1i i i x x x -?=-，1i i i x x ξ-≤≤ 积分与分割、介点集的取法无关。几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。（2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域入手）记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<，1i i i y y ξ-≤<，则 [,] 1 ()()lim n i i a b i L f x dx m E δξ→==∑? 问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 达布上和与下和上积分（外包）（达布上和的极限） ||||0 1 ()lim n b i i a T i f x dx M x →==?∑? 下积分（内填）达布下和的极限 ||||0 1 ()lim n b i i a T i f x dx m x →==?∑? 二、Lebesgue 外测度(外包) 1．定义：设 n E R ?，称非负广义实数* ({})R R ?±∞=

勒贝格积分和黎曼积分的关系和区别

勒贝格积分的若干简介我们先学习了Riemann 积分（简称R 积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。首先介绍一下在有界函数范围内，R 积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]： ⑴R 积分与极限可交换的条件太严。 ⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。 ⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间内对函数进行积分。 ⑷缺乏单调收敛。鉴于R 积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue 积分（简称L 积分）。那么，建立L 积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？L 积分的思路也基本与R 积分一样先分割，作积分和，取取极限。在重新审视R 积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立L 积分的思路浮现出来。首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现∞-∞的不定情形的出现，在定义L 积分时第一步仅限于非负函数。其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于L 积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到L 积分“横着数”的思想。下文将详细的介绍L 积分和R 积分的区别和联系。关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的定义比较 1.1勒贝格积分的定义[3]: 定义1：设)(x f 是n R E ?()∞

外测度的性质与计算小结

外测度的性质与计算 The properties and calculation of the outer measure 姓名：学号：学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：完成时间：外测度的性质与计算【摘要】Lebesgue外测度是Lebesgue积分的基础,本论文主要论述了它的一些性质及相关的计算.首先,给出了Lebesgue外测度的定义；接着,指出和证明了外测度具有的非负性、单调性、次可数可加性、距离可加性、平移不变性这五大主要性质；同时给出了外测度的介值定理和一些其他的性质,并讨论了在一般情况下,外测度不具备可数可加性；然后讨论了可数集的外测度的性质,着重写出可数

江西师范大学11届学士学位毕业论文集的外测度具有可数可加性；最后是与外测度计算相关的一些例题.【关键词】Lebesgue外测度，次可数可加性，距离可加性。

The properties and calculation of the outside measure 【abstract 】Lebesgue outer measure is the base of lebesgue integral, this thesis mainly discusses some properties and its related calculation. At first, give the definition of Lebesgue outer measure; then pointed out and proved the outer measure has nonnegative, monotonicity and second countable additive property , distance additive property,translation invariant property ,the five main properties; It also gives the outer measure mean value theorem and some other properties, and discusses the properties under the meaning of general point sets, the outer measure does not have countable additive property. Then discussed the property of outer measure of countable set, and emphatically write that outer measure of countable set has count additive property. And the last is some examples about outer measure computation. 【keywords 】Lebesgue outer measure, Second countable additive property , Distance additive property

离散数学39偏序关系

偏序关系

一、偏序关系和哈斯图 1、定义3-12.1 若集合A上的二元关系R是自反的、反对称的和传递的，则称R是A的偏序关系，记作?.设?为偏序关系，如果∈?，则记作x?y，读作“小于或等于”。.序偶称为偏序集合.（Partially Ordered Relations）注意：这里的“小于或等于”不是指数的大小，而是在偏序关系中的顺序性.x“小于或等于”y的含义是：依照这个序， x排在y的前边或者x就是y.

根据不同偏序的定义，对序有着不同的解释. 例如整除关系是偏序关系， 3 ? 6的含义是3整除6. 大于或等于关系也是偏序关系，针对这个关系写5?4是说大于或等于4,关系?中5排在4的前边，也就是5比4大. 注：和空关系都是A上的偏序关系， 1. 集合A上的恒等关系I A 但全域关系E 一般不是A上的偏序关系. A 2. 实数域上的小于等于关系（大于等于关系），自然数域上的整除关系，集合的包含关系等都是偏序关系.

定义设R为非空集合A上的偏序关系，定义 (1) ?x, y∈A, x ? y当且仅当 x ? y且x≠y; (2) ?x, y∈A, x 与 y 可比当且仅当 x ? y 或 y ? x. 注：在具有偏序关系的集合A中任二元素 x 和 y 之间必有下列四种情形之一： x ? y ，y ? x ，x=y ，x 与 y 不可比.

例设A={1, 2, 3} (1) ?是A上的整除关系，则：1 ? 2, 1 ? 3, 1＝1, 2＝2, 3＝3， 2 和 3 不可比； (2) ?是 A 上的大于等于关系，则: 2 ? 1, 3 ? 1, 3 ? 2, 1＝1, 2＝2，3＝3.

测度与积分知识结构整理

约定G 和O 为开集，F 为闭集，?为开覆盖，函数:,,f X Y <ρ><σ> 。以下所有概念均在一个度量空间X 中讨论。第七章度量空间定义 E 的闭包点E ：点x X ∈，,..y E s t ?δ>0,?∈ρ（,x y ）<δ。E ?E 。定义度量空间X 可分:由可数个点构成的稠密子集D ，即D X =。命题度量空间可分??可数开集族{}i O ，s.t.?O ?X ，O= i i O O O ? 。定义函数f f 在点x 连续：0,0,..x y (),()]s t f x f y ?ε>?δ>ρ()<δ,σ[<ε若，则。f 连续则f 在每一点连续。命题 1O Y []f f O X -????连续，是一个开集。定义 f 为X 与Y 间的同胚：f 双射，连续且f -1连续。若X 与Y 间存在一个同胚，称X 与Y 是同胚的。（拓扑学本质上是研究在同胚下保持不变的性质，这样的性质称为拓扑的。根据开集定义的性质都是一个拓扑性质。一致性质，在一致同胚下保持不变的性质；度量性质，在等距同构下保持不变的性质）定义 X 与Y 之间的等距同构（保持距离不变的同胚）：在某个同胚下，?x 1.x 2∈X ,1212h(x ),h(x )]=x σ[ρ(),x 。若X 与Y 之间存在一个等距同构，X 和Y 是等距的。定义 ρ和σ是等价度量：?X, ρ? ?X,σ?映上的恒同映射id X 是一个同胚（?若集合O 在?X, ρ?是开的，则在?X,σ?也是开的）。定义 ?x n ?收敛于点x ：0,,..(,)n N n N s t x x ?ε>??≥ρ<ε，，即关于x 的每个球包含了该序列除有限项外的一切项。定义聚点：关于x 的球包含序列的无限项，（,..(,)n n N s t x x ?ε>0,?N,?≥ρ<ε）定义柯西序列：0,,..,,(,)m n N s t m n N x x ?ε>??>ρ<ε。若每个柯西序列都收敛，则称该空间是完备的。定理若?X, ρ?不完备度量空间，则?是完备度量空间，则X 可作为一个稠密子集等距嵌入X *。若X ?Y （任意完备空间），则X *等距于X 在Y 中的闭包。定义 f 一致连续：s t.x,x',x,x'f(x),f(x')?ε>0,?δ>0,.?ρ()<ε,ρ()<δ若则。

离散编程,求偏序关系的极大元与极小元

求偏序集中的极大元与极小元成绩: 10 / 折扣: 0.9 输入输入偏序集， A 中的元素数不超过 20 个，分别用单个小写的英文字母表示。输入的第一行给出 A 中的各个元素，两个相邻的元素之间用逗号隔开。输入的第二行给出偏序关系￡，用有序对的形式给出，如 , 等等，两个相邻的有序对之间用逗号隔开。输出输出 A 的极小元与极大元。输出的第一行给出各个极小元，两个相邻元素之间用逗号隔开，输出的元素要求按照英文字母的自然顺序排列输出。输出的第二行给出各个极大元，两个相邻元素之间用逗号隔开，输出的元素要求按照英文字母的自然顺序排列输出。测试输入期待的输出时间限制内存限制额外进程测试用例 1 以文本方式显示 1.a,b,c,d? 2.,,,,,? 以文本方式显示 1.a,c? 2.b,d? 无限制 1024KB 0 测试用例 2 以文本方式显示 1.a,b,c,d,e,f? 2.,,,,,,,,? 以文本方式显示 1.a,c,e? 2.b,d,f? 无限制 1024KB 0 源程序 #define N 100 #include"stdio.h" #include"string.h" int main( ) { char b[N],c[N],d[N],e[N]; /* b放元素，c放偏序关系，d放极小元，e放极大元 */ int i,j,m=0,n=0,len1,len2,s; scanf ( "%s%s",b,c ); len1 = strlen( b );

偏序关系

4.6偏序关系偏序关系：同时具有自反、反对称和传递性

4.6 偏序关系定义4.21 设R为非空集合A上的一个二元关系，如果R是自反的、反对称的和传递的，则称R为A上的偏序关系，记作≤。设≤是偏序关系，若∈≤，则记作x≤y，读作x“小于或等于”y。集合A与A上的偏序关系≤一起组成的有序对叫做偏序集。如以下关系都是偏序关系：（1）非空集合A上的恒等关系I A。（2）实数集R上的“≤”、“≥”关系。

4.6 偏序关系定义4.22 设为偏序集，定义（1）?x, y∈A，x < y ?x ≤ y ∧x≠y，x是偏序集，其中A＝{1, 2, 3, 4, 5}，是A上的整除关系，则有（1）1<2<4，1<3等。（2）1=1，2=2，3=3等。（3）2与3是不可比的。

4.6 偏序关系 Sed ut perspiciatis unde omnis.68% 设为偏序集，若?x, y ∈A ，x 与y 都是可比的，则称≤为A 上的全序关系（或线序关系）。且称为全序集。例如，集合A = {1, 2, 3, 4, 5}上的（1）“小于等于”关系是全序关系，因为任何两个数总是可比大小的。（2）“整除关系”不是全序关系，因为2与3是不可比的。定义4.23

4.6 偏序关系定义4.24 设为偏序集，对于任意的x, y∈A，如果x < y并且不存在z∈A使得x | x, y∈A∧y盖住x} 根据定义4.24，?， ∈COV A ?y盖住x ?x ≤ y ?∈ ≤ 所以COV A ?≤。

偏序关系整理

●定义：集合S上的关系R，如果它是自反的，反对称的和传递的，就称为偏序。集合S与偏序R一起叫做偏序集，记做(S, R) ●例子： ●1、整数集合上的“大于或等于”关系 ●2、正整数集合上的整除关系 ●3、集合S的幂集合上的包含关系 ●符号： ●通常用?表示偏序关系,读作“小于等于” ●∈R ? xRy ? x?y ●使用这个记号是由于“小于或等于”关系是偏序关系的范例。 ●“严格小于”: x?y ? x?y ∧x≠y ●当a与b是偏序关系（S, ≤）的元素时，不一定有a ≤b或b ≤a。 ●定义2：偏序集（S, ≤）的元素a和b叫做可比的，如果a ≤b或b ≤a。当a和b是S 的元素且没有a ≤b，也没有b ≤a，则称a和b是不可比的。 ●极大元素：偏序集的一个元素，它不小于这个偏序集的任何其他元素 ●极小元素：偏序集的一个元素，它不大于这个偏序集的任何其他元素 ●最大元素：偏序集的一个元素，它大于这个偏序集的所有其他元素 ●最小元素：偏序集的一个元素，它小于这个偏序集的所有其他元素设为偏序集, A?S, u,l∈A ●上界(upper bound): u是A的上界??x( x∈A → x?u ) ●下界(lower bound): l是A的下界??x( x∈A → l?x ) ●例：, S={1,2,3,4,5,6,9,10,15} ●A1={1,2,3}, A2={3,5,15}, A3=S. ●A1的上界是{6}, A1的下界是{1} ●A2的上界是{15}, A2的下界是{1} ●A3的上界集合的最小上界：集合的一个上界，它小于所有其他的上界 ●集合的最大下界：集合的一个下界，它大于所有其他的下界是{}, A3的下界 I A R R∩I A=R=R R∩R-1 I A R R R 最小元与极小元是不一样的。最小元是B中最小的元素，它与B中其它元素都可比；而极小元不一定与B中元素可比，只要没有比它小的元素，它就是极小元。对于有穷集B，极小元一定存在，但最小元不一定存在。最小元如果存在，一定是唯一的，但

第三章测度

第三章可测集合一、内容结构在R积分的情形，被积函数的定义域是区间或简单区域, 定义域的度量有明确的意义——长度、面积或体积。在实变函数论中，被积函数的定义域是可测点集，推广积分的概念，首先要定义一般点集的度量，就是本章讨论的集合测度。测度理论的建立有多种方法，不同的实变函数教材引入的方法有所不同，本章为了更直观、更好地理解掌握L积分，通过测度理论的建立推广R积分的数学思想与方法，直接从L测度的引入建立测度理论。对于可测集合性质，主要讨论可测集合的充要条件、零测度集及其性质、可测集合的运算性质、可测集合与Gδ型集、Fδ型集的关系、最常用的可测集类型。主要内容：勒贝格外测度的定义及其基本性质；勒贝格可测集及其基本性质；勒贝格可测集类；开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集、Borel集之间的联系。基本要求：理解勒贝格可测集的定义及其几何意义、勒贝格测度及其基本性质，特别是可数可加性；掌握怎样用开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集刻画勒贝格可测集；可测集合的类型与充要条件。

二、主要的数学思想与方法 1、从长度、面积、体积到一般点集测度概念由内、外测度建立的思想与方法。 2、Lebesgue当初首先引入外测度m* 与内测度 m * ,然后通过条件m* A = m * A 定义可测集， Caratheodory 给出的可测集的导入法：m*T = m * (T∩E ) + m *(T∩CT) (?T) 称E可测，把m*E称为E的测度，记为mE。两种定义引入的背景、相互间的关系、在学习讨论可测集相关性质等问题时的意义与作用。 3、合列极限定义的思想与方法。 4、零测集的引入及其在实变函数学习中的意义与作用。 5、一般可测集由G δ集、F δ 集、零测集构成的思想与方法。

偏序关系中盖住关系的求取及格论中有补格的判定.

《离散数学》实验报告（2015/ 2016 学年第一学期）题目：偏序关系中盖住关系的求取及格论中有补格的判定专业学生姓名班级学号指导教师指导单位计算机学院计算机科学与技术系日期2015年12月15日

评分细则评分项优秀良好中等差遵守机房规章制度上机时的表现学习态度算法思想准备情况程序设计能力解决问题能力课题功能实现情况算法设计合理性算法效能评价报告书写认真程度内容详实程度文字表达熟练程度回答问题准确度简短评语教师签名：年月日评分等级备注评分等级有五种：优秀、良好、中等、及格、不及格

偏序关系中盖住关系的求取及格论中有补格的判定一、实验内容和要求内容：编程实现整除关系这一偏序关系上所有盖住关系的求取，并判定对应偏序集是否为格。要求：对任意给定正整数，利用整除关系求所有由其因子构成的集合所构成的格，判断其是否为有补格。二、实验目的编程实现整除关系这一偏序关系上所有盖住关系的求取，并判定对应偏序集是否为格。三、实验任务 1、求出输入数的所有因子。 2、求出整除关系“≤”的偏序集。 3、求出盖住关系COV A。 4、判断是否有补格。 5、判断是否为布尔格。四、实验内容 #include using namespace std; bool Find(int a, int b,int n) //判断两个元素是否互补 { int temp; if (a < b) { temp = a; a = b; b = temp; } int dividend=a, divider=b, remainder=0,min,max; remainder = dividend%divider; while (remainder) { dividend = divider;

积分与数学期望

积分与数学期望作者闫春霞（燕山大学理学院，河北秦皇岛 066004）摘要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关系。本文将从两个部分进行讨论。第一部分是测度空间上的积分的定义与其性质。第二部分是测度空间（概率空间）上的数学期望的定义与其性质。这其中包括着两者之间的关系。关键词：积分；数学期望；测度空间 1 积分的定义与性质 1.1 积分的定义定义1.1.1 设(),F,μΩ为测度空间，12,,,m A A A ???为两两不交的可测集，且 1 m i i A ==Ω∑， 0,1,2,,i x i m ≤≤∞=???则称1 i m i A i f x I ==∑为非负简单函数，定义在上对的积分为： ()1 1 i m m i A i i i i f d x I d x A μμμΩ Ω ====∑∑? ? 如上，此定义是在测度空间上定义的，所以，显然，讨论积分的空间必为可测空间，而f 正是此可测空间上的一个可测函数（此定义中的是特殊的可测函数——非负简单函数，以下的定义2是一般可测函数的积分定义），并且其在此空间上积分有限的充要条件是f 的测度为有限的，这点在以下的积分的性质中会有体现。现在，给出一般可测函数的积分定义，我们知道，若f 为可测函数，则,f f +- 均为非负可测函数 f f f +-=+，于是可以利用非负可测函数的积分来定义一般可测函数的积分。定义 1.1.2 设f 为可测空间(),F ,μΩ上的可测函数。如果 f d μ+Ω <+∞? 与 f d μ-Ω <+∞? 至少一个成立，则称f 积分存在，也称积分有意义，将f 在Ω上对μ的积分定义为： f d f d f d μμμ+-Ω Ω Ω =-? ??

测度论

测度论测度论是研究一般集合上的测度和积分的理论。它是勒贝格测度和勒贝格积分理论的进一步抽象和发展，又称为抽象测度论或抽象积分论，是现代分析数学中重要工具之一。测度理论是实变函数论的基础。目录定义定理形成一般定义数学定义相关定理环和ζ代数可测空间和可测函数测度和测度空间定义定理形成一般定义数学定义相关定理环和ζ代数可测空间和可测函数测度和测度空间 ?测度空间上可测函数列的收敛 ?积分和积分平均收敛 ?环上测度的延拓定义测度理论是实变函数论的基础。测度论

所谓测度，通俗的讲就是测量几何区域的尺度。我们知道直线上的闭区间的测度就是通常的线段长度；平面上一个闭圆盘的测度就是它的面积。定理形成纵观勒贝格积分和勒贝格－斯蒂尔杰斯积分理论，不难发现它们都有三个基本要测度论素。第一，一个基本空间（即n维欧几里得空间Rη）以及这个空间的某些子集构成的集类即L（勒贝格）可测集或某L－S（勒贝格-斯蒂尔杰斯）可测集全体，这个集类对集的代数运算和极限运算封闭。第二,一个与这个集类有关的函数类（即L可测函数或某L-S可测函数全体）。第三,一个与上述集类有关的测度（即L测度或某L-S测度）。在三个要素的基础上，它们都是运用完全类似的定义和推理过程获得完全类似的一整套测度、可测函数、积分的定理（见勒贝格积分、贝尔函数）。测度论正是基于这些基本共同点所形成一般理论。一般定义对于更一般的集合，我们能不能定义测度呢？比如直线上所有有理数构成的集合，它的测度怎么衡量呢？一个简单的办法，就是先在每个有理点上找一个开区间覆盖它，就好比给它带个“帽子”。因为有理数集是可列集（就是可以排像自然一样排好队，一个个数出来，也叫可数集，见集合论），所以我们可以让第n个有理数上盖的开区间长度是第一个有理数（比方是1）上盖的开区间长度的2^n分之一。这样所有那些开区间的长度之和是个有限值（就是1上的开区间长度的2倍）。现在我们让1上的开区间逐渐缩小趋向于一个点，那么所有区间的总长度也相应缩小，趋向于长度0。这样我们就说有理数集的测度是0。用上面这种方法定义的测度也叫外测度。

外测度的性质与计算

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文外测度的性质与计算 The properties and calculation of the outer measure 姓名：学号：学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：完成时间：

江西师范大学11届学士学位毕业论文外测度的性质与计算【摘要】Lebesgue外测度是Lebesgue积分的基础,本论文主要论述了它的一些性质及相关的计算.首先,给出了Lebesgue外测度的定义；接着,指出和证明了外测度具有的非负性、单调性、次可数可加性、距离可加性、平移不变性这五大主要性质；同时给出了外测度的介值定理和一些其他的性质,并讨论了在一般情况下,外测度不具备可数可加性；然后讨论了可数集的外测度的性质,着重写出可数集的外测度具有可数可加性；最后是与外测度计算相关的一些例题. 【关键词】Lebesgue外测度，次可数可加性，距离可加性。