2020年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数 Word版含答案

2020年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数

一、选择题

1 ．（2020年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））

已知2

10

cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.3

4 B.

4

3

C.43-

D.34-

【答案】C

2 ．（2020年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为

a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为

(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定

【答案】B

3 ．（2020年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△

ABC 中, ,2,3,4

AB BC ABC π

∠==

=则sin BAC ∠ =

(A)

10

10

(B)

105

(C)

31010

(D)

55

【答案】C

4 ．（2020年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函

数sin(2)y x ?=+的图象沿x 轴向左平移8

π个单位后,得到一个偶函数的图象,则?的一个可能取值为

(A) 34π (B) 4π

(C)0 (D) 4π-

【答案】B

5 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在

ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,

2

a B C c B A

b +=且a b >,则B ∠=

A.6π

B.3π

C.

23π D.56

π 【答案】A

6 ．（2020年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是

(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2

x π=对称

(C)()f x 的最大值为3

2

(D)()f x 既奇函数,又是周期函数

【答案】C

7 ．（2020年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数

cos sin y x x x =+的图象大致为

【答案】D

8 ．（2020年高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)2

2

f x x π

π

ω?ω?=+>-

<<

的

部分图象如图所示,则,ω?的值分别是( )

(A)2,3

π- (B)2,6

π- (C)4,6

π- (D)4,3

π

【答案】A

9 ．（2020年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间(0 )π，上

单调递减的函数是( )

(A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x =

【答案】B

10．（2020年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））

004cos50tan 40-= ( )

A.2

B.

23

2

+ C.3 D.221- 【答案】C

11．（2020年高考湖南卷（理））在锐角中ABC ?,角,A B 所对的边长分别为,a b .

若2sin 3,a B b A =则角等于 A.

12π B.6π C.4π D.3

π

【答案】D

12．（2020年高考湖北卷（理））将函数()3cos sin y x x x R =+∈的图像向左

平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( )

A.

12

π B.

6

π C.

3

π D.

56

π

【答案】B 二、填空题

13．（2020年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））

ABC ?中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若3

1

sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________. 【答案】

6

3

14．（2020年高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得

最大值,则cos θ=______

【答案】25

5

-

. 15．（2020年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））

如图

ABC

?中,已知点D 在BC 边

上,AD ⊥AC,22

sin ,32,33

BAC AB AD ∠=

==则BD 的长为

_______________

【答案】3

16．（2020年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数2sin y x =的最小正周

期是_____________

【答案】2π

17．（2020年高考四川卷（理））设sin 2sin αα=-,(,)2

π

απ∈,则tan 2α的值是

_________.

【答案】3

18．（2020年高考上海卷（理））若12

cos cos sin sin ,sin 2sin 223

x y x y x y +=+=,

则sin()________x y +=

【答案】2

sin()3

x y +=

. 19．（2020年高考上海卷（理））已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分

别为a 、b 、c,若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)

【答案】1arccos 3

C π=-

20．（2020年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已

校对））已知α是第三象限角,1sin 3a =-,则cot a =____________.

【答案】22

21．（2020年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））函数)4

2sin(3π

+=x y 的最小正周期为___________.

【答案】π

22．（2020年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在ABC ?中,角 A B C 、、所对边

长分别为 a b c 、、,若5 8 60a b B ===o ，

，,则b=_______ 【答案】7

23．（2020年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））

设ABC ?的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则

3sin 5sin ,A B =则角C =_____.

【答案】π3

2

24．（2020年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含

答案））设θ为第二象限角,若1tan()42

πθ+=,则sin cos θθ+=________.

【答案】10

5

-

25．（2020年高考江西卷（理））函数2sin 223sin y x x =+的最小正周期为T

为_________.

【答案】π

26．（2020年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数4sin 3cos y x x =+的最大

值是_______________

【答案】5 三、解答题

27．（2020年高考北京卷（理））在△ABC 中,a=3,b=26,∠B=2∠A.

(I)求cosA 的值; (II)求c 的值.

【答案】解:(I)因为a=3,b=26,∠B=2∠A. 所以在△ABC 中,由正弦定

理得

326sin sin 2A A =.所以2sin cos 26sin 3A A A =.故6

cos 3

A =. (II)由(I)知6cos 3A =

,所以23

sin 1cos 3A A =-=.又因为∠B=2∠A,所以21

cos 2cos 13

B A =-=

.所以222sin 1cos 3B B =-=.

在△ABC 中,53

sin sin()sin cos cos sin 9

C A B A B A B =+=+=. 所以sin 5sin a C

c A

=

=.

28．（2020年高考陕西卷（理））已知向量1

(cos ,),(3sin ,cos2),2

x x x x =-=∈a b R , 设

函数()·f x =a b .

(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.

(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π??????

上的最大值和最小值.

【答案】

解:(Ⅰ)

()·f x =a b =)6

2sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π

-=-=-

?x x x x x x . 最小正周期ππ

==

2

2T . 所以),6

2sin()(π

-=x x f 最小正周期为π.

(Ⅱ)

上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[π

πππππx y x x =∈-∈.

]1,2

1

[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .

所以,f (x) 在0,2π??

????

上的最大值和最小值分别为2

1

,1-.

29．（2020年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在ABC

V 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且2222a b ab c ++=. (1)求C ; (2)设()()2cos cos 322

cos cos ,5cos 5

A B A B ααα++=

=,求tan α的值. 【答案】

由题意得

30．（2020年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知

函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π?

?=-

++- ?+?

?∈R .

(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;

(Ⅱ) 求f(x)在区间0,2π??

????

上的最大值和最小值.

【答案】

31．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））设

向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π??

==∈????

(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =g 求的最大值

【答案】

32．（2020年高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>;

(1)若()y f x =在2[,

]4

3

ππ

-上单调递增,求ω的取值范围;

(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6

π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在

[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最

小值.

【答案】(1)因为0ω>,根据题意有

342

0243

2π

πωωππ

ω?-≥-???<≤?

?≤?? (2) ()2sin(2)f x x =,()2sin(2())12sin(2)16

3

g x x x ππ

=++=++

1()0sin(2)323g x x x k πππ=?+=-?=-或7

,12

x k k Z ππ=-∈,

即()g x 的零点相离间隔依次为3

π

和23π,

故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,则b a -的最小值为

2431415333

πππ

?

+?=

. 33．（2020年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已

校对））设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.

(I)求B (II)若31

sin sin 4

A C -=

,求C . 【答案】

34．（2020年高考四川卷（理））在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,

且2

3

2cos cos sin()sin cos()25

A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值;

(Ⅱ)若42a =,5b =,求向量BA u u u r

在BC uuu r 方向上的投影.

【答案】解:()I 由()()2

3

2cos cos sin sin cos 25

A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5

A B B A B B B -+---=-????, 即()()3

cos cos sin sin 5

A B B A B B ---=-,

则()3cos 5A B B -+=-,即3

cos 5A =-

()

II 由3cos ,05A A π=-<<,得4

sin 5

A =, 由正弦定理,有

sin sin a b

A B

=

,所以,sin 2sin 2b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故4

B π

=.

根据余弦定理,有()2

223425255c c ??=+-??- ???

,

解得1c =或7c =-(舍去).

故向量BA u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为2

cos 2

BA B =u u u r

35．（2020年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△ABC

的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9

B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.

【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理222

2cos b a c ac B =+-,得

()2

22(1cos )

b a

c ac B =+-+,

又6a c +=,2b =,

7

cos 9B =

,所以9ac =,解得3a =,3c =.

(Ⅱ)在△ABC 中,242sin 1cos 9B B =-=

,

由正弦定理得

sin 22

sin 3a B A b =

=,

因为a c =,所以A 为锐角,所以21

cos 1sin 3A A =-=

因此

102sin()sin cos cos sin 27A B A B A B -=-=

.

36．（2020年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））

已知函数()4cos sin (0)4f x x x π?????

=?+> ??

?

的最小正周期为π.

(Ⅰ)求?的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性.

【

答

案

】

解: (Ⅰ

)

2)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+?π

ωωωωωωx x x x x x

122=?=?

ωπωπ.所以1,2)4

2sin(2)(=++=ωπ

x x f (Ⅱ) ；解得，令时，

当8

2

4

2]4

,4

[)4

2(]2

,0[π

π

π

πππππ=

=

++∈+∈x x x x

所以.]2

8[]8

,0[)(上单调递减，上单调递增；在在π

ππx f y =

37．（2020年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））

已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4

π

,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵

坐标不变),在将所得图像向右平移2

π

个单位长度后得到函数()g x 的图

像.

(1)求函数()f x 与()g x 的解析式;

(2)是否存在0(,)64

x ππ

∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差

数列?若存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由.

(3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2020个零点.

【答案】解:(Ⅰ)由函数()sin()f x x ω?=+的周期为π,0ω>,得2ω=

又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4

π

,(0,)?π∈

故()sin(2)04

4

f ππ?=?+=,得2

π

?=

,所以()cos 2f x x =

将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cos y x =的图象,再将cos y x =的图象向右平移2

π

个单位长度后得

到函数()sin g x x = (Ⅱ)当(,)64

x ππ

∈时,1

2sin 22x <<

,10cos 22

x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>

问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64

ππ

内是否有解

设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-,(,)64

x ππ

∈

则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++-

因为(,)64x ππ∈,所以()0G x '>,()G x 在(,)64

ππ

内单调递增

又1()06

4

G π=-<,2

()04

2

G π

=

> 且函数()G x 的图象连续不断,故可知函数()G x 在(,)64

ππ

内存在唯一零

点0x ,

即存在唯一的0(,)64

x ππ

∈满足题意

(Ⅲ)依题意,()sin cos 2F x a x x =+,令()sin cos 20F x a x x =+=

当sin 0x =,即()x k k Z π=∈时,cos 21x =,从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解,所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin x

a x

=-,()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin x

h x x

=-

,(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况

22

cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=,令()0h x '=,得2x π=或32

x π

= 当x 变化时,()h x 和()h x '变化情况如下表

x

(0,)2π

2π (,)2π

π 3(,

)2

ππ 32π 3(

,2)2π

π ()h x ' + 0

- -

0 +

()h x

Z

]

] 1-

Z

当0x >且x 趋近于0时,()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时,()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时,()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时,()h x 趋向于+∞

故当1a >时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点,在(,2)ππ内有

2个交点;

当1a <-时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内无交点;

当11a -<<时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内有2个交点

由函数()h x 的周期性,可知当1a ≠±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点,从而不存在正整数n ,使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点;当1a =±时,直线y a =与曲线()y h x =在

(0,)(,2)πππU 内有3个交点,由周期性,20133671=?,所以67121342n =?=

综上,当1a =±,1342n =时,函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点

38．（2020年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD

版含附加题））本小题满分

14分.已知

(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=r r ＝，,παβ<<<0.

(1)若||2a b -=r r ,求证:a b ⊥r r ;(2)设(0,1)c =r

,若a b c +=r r r ,求βα,的值.

【答案】解:(1)∵2||=-b a ∴2||2=-b a 即()

222

22=+-=-b b a a b a ,

又∵1sin cos ||2

2

2

2=+==ααa a ,1sin cos ||2222

=+==ββb b ∴222=-b a ∴

0=b a ∴b ⊥a

(2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos b a =++=+βαβα ∴??

?=+=+1

sin sin 0

cos cos βαβα即

??

?-=-=β

αβ

αsin 1sin cos cos 两边分别平方再相加得:βsin 221-= ∴21sin =

β ∴2

1

sin =α ∵παβ<<<0 ∴πβπα6

1

,65==

39．（2020年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））

已知函数()2cos 12f x x π??

=-

??

?

,x ∈R . (Ⅰ) 求6f π??- ???

的值; (Ⅱ) 若3cos 5

θ=,3,22

πθπ??∈ ???

,求23f πθ?

?+ ??

?

.

【答案】(Ⅰ)2cos 2cos 2cos 1661244f πππππ??????

-=--=-== ? ? ???????

;

(Ⅱ) 22cos 22cos 2cos 2sin 233124

f ππππ

θθθθθ??????

+=+-=+=- ? ? ??

?

?

?

?

?

因为3

cos 5

θ=,3,22πθπ??

∈

???

,所以4sin 5θ=-,

所以24sin 22sin cos 25θθθ==-

,227

cos 2cos sin 25

θθθ=-=- 所以23f πθ??+ ?

??cos2sin 2θθ=-72417

252525??=---= ???. 40．（2020年高考湖南卷（理））已知函数

2()sin()cos().()2sin 632

x

f x x x

g x ππ=-+-=.

(I)若α是第一象限角,且33

()5

f α=

.求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.

【

答

案

】

解

:

(I)5

33sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==?=++-=

ααf x x x x x x f .

5

1

cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===?∈=?ααααπααg 且

(II)2

1)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+?

-≥?

≥πx x x x x x g x f

Z k k k x k k x ∈+∈?+

+

∈+

?],3

22,2[]652,6

2[6

π

πππππππ

41．（2020年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点A

处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从

A 沿索道乘缆车到

B ,然后从B 沿直线步行到

C .现有甲.乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m .在甲出发min 2后,乙从A

乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =A ,5

3

cos =C . (1)求索道AB 的长;

(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?

【答案】解:(1)∵1312cos =

A ,5

3

cos =C ∴），（、20π∈C A ∴135sin =A ,54sin =C

∴[]65

63

sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-

=C A C A C A C A B ）（）（π 根据

sinB sinC AC AB =得m C AC AB 1040sin sinB

== (2)设乙出发t 分钟后,甲.乙距离为d,则

C

B

A

13

12)50100(1302)50100()130(222?

+??-++=t t t t d ∴)507037(20022+-=t t d

∵1301040

0≤

≤t 即80≤≤t ∴3735=t 时,即乙出发37

35

分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.

(3)由正弦定理

sinB

sinA AC

BC =

得50013565

631260sin sinB ===A AC BC (m) 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C

设乙的步行速度为V min /m ,则350

710

500≤-v ∴3507105003≤-≤

-v ∴14

625431250≤

≤v ∴为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在??

?

?

??14625,431250范围内 法二:解:(1)如图作BD ⊥CA 于点D, 设BD=20k,则DC=25k,AD=48k, AB=52k,由AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m.

(2)设乙出发x 分钟后到达点M, 此时甲到达N 点,如图所示. 则:AM=130x,AN=50(x+2),

由余弦定理得:MN 2=AM 2+AN 2-2 AM ·ANcosA=7400 x 2-14000 x+10000,

其中0≤x ≤8,当x=35

37 (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离

最短.

(3)由(1)知:BC=500m,甲到C 用时:126050 =126

5

(min).

若甲等乙3分钟,则乙到C 用时:1265 +3=1415 (min),在BC 上用时:86

5

(min) .

此时乙的速度最小,且为:500÷865 =1250

43

m/min.

若乙等甲3分钟,则乙到C 用时:1265 -3=1115 (min),在BC 上用时:56

5

(min) .

此时乙的速度最大,且为:500÷565 =625

14 m/min.

故乙步行的速度应控制在[125043 ,625

14

]范围内.

42．（2020年高考湖北卷（理））在ABC ?中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .

已知()cos23cos 1A B C -+=. (I)求角A 的大小;

(II)若ABC ?的面积53S =,5b =,求sin sin B C 的值.

【答案】解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A +=

C

B

A

D

M

N