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二项式定理与多项式定理

《高中数学研究性学习案例》分组问题二项式定理多项式定理

1.固定分组问题

例1 将12本不同得书分给甲、乙、丙、丁4位学生,求分别满足下列条件得分配方法各有多少种:

(1)4位学生每人3本;

(2)甲、乙各得4本,丙、丁各得2本;

(3)甲得5本,乙得4本,丙得2本,丁得1本.

解 (1)先从12本书中选取3本分给甲,有种方法;当甲分得3本书后,从剩下得9本书中选取3本分给乙,有种方法;类似可得,丙、丁得分法分别有、种,由乘法原理得所求分法共有==369600种;

(2)与(1)得解法类似可得所求分配方法种数为==207900;

(3)与(1)得解法类似可得所求分配方法种数为==83160.

在例1中就是将不同得书分给不同得学生,并且指定了每人分得得本数,我们称之为固定分组问题.我们将这个问题总结成如下一般定理:

定理1将n个不同得元素分成带有编号从1,2,…,r得r 个组:,,使得有n1个元素,有个元素,…,有个元素,,则不同得分组方法共有种.

证明先从n个不同得元素中选取n1个分给,这一步有种方法;再从剩下得个元素中选取个分给,这一步有种方法;如此继续下去,最后剩下得个元素分给,有种方法,由乘法原理得这样得固定分组方法共有…=种.证毕.

我们将定理1得分配问题简称为()固定分组问题.

2.不尽相异元素得全排列多项式定理

固定分组数有多种组合学意义,除了表示固定分组得方法数外,它还有以下两种表示意义:

(1)不尽相异元素得全排列种数

有r类元素,其中第k类元素有个(k=1,2,…,r),同类元素不加区分,不同类元素互不相同,。则这r类n个不尽相异元素得全排列种数等于固定分组数。.

例2 (06年高考江苏卷(理))今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加区分,将这9个球排成一列有种不同得方法(用数字作答).

解 9个球排成一列要占9个位置,从9个位置中选取2个放红球,有种方法;再从其余7个位置中选取3个放黄球,有种方法;最后在剩下得4个位置上全放白球,有种方法,由乘法原理得所求得排列方法共有==1260种.

评注:对于固定分组数,除了表示固定分组得方法数外,它还表示r类共n个(不尽相异)元素得全排列数,其中第k类元素有个(k=1,2,…,r),同类元素不加区分,.

(2)多项式定理得系数

在得展开式中,项得系数等于固定分组数。例如在得展开式中,项得系数为=,这正就是我们所熟悉得二项式系数。有如下得多项式定理:

多项式定理设n就是正整数,则对一切实数x1 ,x2,……,x r有

(*)其中求与就是对满足方程n1+n2+……n r= n得一切非负整数n1,n2,……,n t来求。因为r元方程n1+n2+……n r = n得非负整数共有组,所以在得展开式中共有个不同得项。

多项式定理就是对二项式定理得推广,在多项式定理中令r = 2 就得到了二项式定理。

例3写出得展开式中项与项得系数.

解先求项得系数.就是10个括号得连乘积,将这10个括号瞧成10个元素,从中先取出4个括号作为第一组,在每个括号中都取x;再从剩下得6个括号中取出3个作为第二组,在每个括号中都取y;再从剩下得3个括号中取出2个作为第三组,在每个括号中都取z;最后得剩下得1个括号作为第四组,从中取w.这样取出得4个x,3个y,2个z,1个w得连乘积就就是项,由定理1知,上述取法就就是(10;4,3,2,1)固定分组问题,于就是在展开10个括号得连乘积时,项有=12600个同类项,所以此项得系数就是12600.同理可得项得系数就

是=25200.

例4(94年全国高考题)有甲、乙、丙三项不同得任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,现从10人中选取4人担任这三项工作,有多少种不同得分配方法？

解:从10人中选取4人,有对于取定得4人,让她们担任这三项工作,为(4;2,1,1)固定分组问题,故所求分配方法共有种.

注:一般地,设有、、…,共r项不同得工作,工作需个人承担(,,现从个人中选取n个人做这r项工作(),则不同得分配工作方法共有种.

例5 (07年全国高考理2(必修+选修Ⅱ))从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同得选派方法共有

(A)40种 (B)60种 (C)100种

(D)120种

解从5人中选取4人,有对于选定得4人,让她们参加这3天得公益活动,为(4;2,1,1)固定分组问题,由定理1及乘法原理得所求选派方法共有种.故选B.

例6 (06年高考天津卷(理))将4个颜色互不相同得球全部放入编号为1与2得两个盒子里,使得放入每个盒子里得球得个数不小于该盒子得编号,则不同得放球方法有

A.10种

B.20种

C.36种

D.52种

解放球方法即分组方法.满足条件得放球方法可分成两类:①(4;1,3)固定分组问题;②(4;2,2)固定分组问题,它们分别有,种放球方法,故所求放球方法共有+=4+6=10种.故选A.

评注:对于类似例3这样得不能直接按固定分组解决得问题,如果能够按各个组(盒子)允许放得元素(球数)将问题分成互不相交得若干类,使得每一类都就是固定分组问题,则可按固定分组分别计算这些类再相加即可.

例7 (07年全国高考1(文))甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同得选修方案共有

(A)36 种 (B)48 种 (C)96 种(D)192种

解因每人都就是从4门课程中选课,故甲、乙、丙3人得选课方法分别有种,由乘法原理得所求选修方案共有=96种.故选C、

例8(08年湖北理6题)将5名志愿者分配到3个不同得奥运场馆参加接待工作,每个场馆至少分配一名志愿者得方案种数为

A、540

B、300

C、180

D、150

解:用“捆绑法”可得所求结果为

=60+90=150 选D。

高考数学-计数原理-1-二项式定理

专项-二项式定理知识点 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与 b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ，变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

二项式定理(通项公式)

六、二项式定理一、指数函数运算知识点：1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个 )0(10≠=a a ,0(1 N n a a a n n ∈≠=- 2．运算性质： ),(Z n m a a a n m n m ∈=?+ ，),()(Z n m a a mn n m ∈=，)()(Z n b a ab n n n ∈?= 3．注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=m a -② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?n n b 4、n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) 例题：例1求值：43 32 13 2)81 16(,)41(,100,8---. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式： 1） a a a a a a ,,32 32?? (式中a ＞0) 2)43a a ? 3）a a a 例3计算下列各式（式中字母都是正数）);3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88 341n m 例4计算下列各式： );0() 1(3 2 2>a a a a 435)12525)(2(÷- 例5化简：)()(4 14 12 12 1y x y x -÷- 例6 已知x+x -1 =3,求下列各式的值：.)2(,)1(2 32 32 12 1- - ++x x x x 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ , 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++- ，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++ 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②

二项式定理11种题型解题技巧

二项式定理知识点及11种答题技巧 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ，变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

计数原理与二项式定理

小题精练：计数原理与二项式定理(限时：50分钟) 1．甲、乙两人计划从A 、B 、C 三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有( ) A ．3种 B ．6种 C ．9种 D ．12种 2．(2013·高考四川卷)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ， b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( ) A ．9 B ．10 C ．18 D ．20 3．(2013·高考全国卷)(x ＋2)8 的展开式中x 6 的系数是( ) A ．28 B ．56 C ．112 D ．224 4．将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少安排1名教师，则不同的分配方案种数为( ) A ．12 B ．36 C ．72 D ．108 5．(2014·济南市模拟)二项式? ?????x 2－13x 8 的展开式中常数项是( ) A ．28 B ．－7 C ．7 D ．－28 6．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法有( ) A ．36种 B ．45种 C ．54种 D ．84种 7．一个盒子里有3个分别标有号码1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有( ) A ．12种 B ．15种 C ．17种 D ．19种 8．(2014·安徽省“江南十校”联考)若(x ＋2＋m)9 ＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2 ＋…＋a 9(x ＋ 1)9 ，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2 －(a 1＋a 3＋…＋a 9)2 ＝39 ，则实数m 的值为( ) A ．1或－3 B ．－1或3 C ．1 D ．－3 9．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( ) A ．18个 B ．15个 C ．12个 D ．9个 10．设复数x ＝2i 1－i (i 是虚数单位)，则C 12 013x ＋C 22 013x 2＋C 32 013x 3＋…＋C 2 0132 013x 2 013 ＝( ) A ．i B ．－I C ．－1＋i D ．1＋i 11．(2014·郑州市质检)在二项式? ?? ???x ＋1 2·4x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )

二项式定理的十大应用

二项式定理的十方面应用一、利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数 1.(2012年高考安徽卷理科7)(x2+2)( 1 x2-1)5的展开式的常数项是（） (A)-3(B)-2(C)2(D)321世纪教【答案】D 【解析】第一个因式取x2，第二个因式取 1 x2得：1?C1(-1)4=5 5 第一个因式取2，第二个因式取(-1)5得：2?(-1)5=-2展开式的常数项是5+(-2)=3. 2.(2012年高考天津卷理科5)在(2x2- 1 x )5的二项展开式中，x的系数为（）（A）10（Ｂ）-10（Ｃ）40（Ｄ）-40 点评：利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数，实际上就是对二项展开式的通项公式的考查，此类问题是高考考查的重点． 3．在二项式(x-1)11的展开式中，系数最小的项的系数是解：ΘT r+1 =C r x11-r(-1)r 11 ∴要使项的系数最小，则r必为奇数，且使C r为最大，由此得r=5，从而可知最小项的 11 系数为C5(-1)5=-462 11 二、利用二项式定理求展开式的系数和 1、若(1-2x)2013=a+a x+a x2+...+a 0122013 x2013(x∈R)，则(a+a)+(a+a)+(a+a)+Λ+(a+a 010******** )=_______。(用数字作答) 解析：在(1-2x)2013=a+a x+a x2+...+a 0122013 x2013中，令x=0，则a=1，令x=1，则a+a+a+a+Λ+a 01232004 =(-1)2013=1 故(a+a)+(a+a)+(a+a)+Λ+(a+a 0102030 精品资料 2013 )

二项式定理(通项公式).

二项式定理二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111 ()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +, 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+ +-，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=++ +++ ① 01 11 (21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++ ++ + 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++ + ② ① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 01 2n n n n n C C C ++ +=，即二项式系数和等于2n ；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即0213 12n n n n n C C C C -++=++ = ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=. （2）二项式系数k n C 增减性与最大值：当12n k +< 时，二项式系数是递增的；当1 2 n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n C -和12n n C +相等，且同时取得最大值. 3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n ⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2) 1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……= 2 ) 1()1(--f f

高考数学考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、

考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、二项式定理及应用 1.（2010·湖北高考文科·Ｔ6）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ) （A）65（B）56（C）565432 2 ????? （D）6543 ????2 【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查考生的逻辑推理能力．【思路点拨】因每名同学可自由选择其中的一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，由分步计数原理即可得出答案. 【规范解答】选A.每名同学可自由选择5个讲座中的其中一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，因此共有65种不同选法. 【方法技巧】本题每名同学可自由选择其中的一个讲座，故每位同学的选择都有5种，共有65种不同选法.若将“每名同学可自由选择其中的一个讲座”改为“每一个讲座都至少有一位同学去听”，它就是一个典型的不同元素的分组问题.利用“先分堆，再分配”的思想将6名同学分为5堆，再分给5个不同的讲座，有 25 65 1800 C A= 1 800种不同选法. 2.（2010·湖北高考理科·Ｔ8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）（A）152 （B）126 （C）90 （D）54 【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：①司机只安排1人；②司机安排2人，然后将其余的人安排到其他三个不同的位置. 【规范解答】选B.当司机只安排1人时，有 123 343 C C A =108(种)；当司机安排2人时有 23 33 C A =18(种).由分类计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126（种）. 【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有3种选择，丙、丁、戊各有4种选择，因此共有33444576 ????=（种）安排方案. 3.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( ) （A）12种（B）18种（C）36种（D）54种【命题立意】本题考查了排列、组合的知识. 【思路点拨】运用先选后排解决，先从3个信封中选取一个放入标号为1，2的2张卡片，然后剩余的2个信封分别放入2张卡片. 【规范解答】选B.标号为1，2的卡片放法有A 1 3种，其他卡片放法有 2 2 2 4 C C种，所以共有A132 2 2 4 C C=18 （种）. 【方法技巧】先排列特殊元素是解决排列、组合问题的常用方法.

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C +++++ +=，变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

排列数、组合数公式及二项式定理的应用

排列数、组合数及二项式定理整理慈济中学全椒刘 1、排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =！！ )(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)． 2、排列恒等式 (1) 1(1)m m n n A n m A -=-+;(2) 1m m n n n A A n m -= -;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5) 1 1m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?+ +?=+-. 3、组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤). 4、组合数的两个性质 (1) m n C =m n n C - ; (2) m n C +1 -m n C =m n C 1 +. 5、排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?！ . 6、二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈ 【注】： 1．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 2．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

二项式定理各种题型解题技巧

二项式定理 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是0 1 2 ,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ，变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值。如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数1 2n n C -,12n n C +同时

(完整版)排列组合二项式定理新课

20.1.1 排列的概念【教学目标】 1.了解排列、排列数的定义；掌握排列数公式及推导方法； 2. 能用“树形图”写出一个排列问题的所有的排列，并能运用排列数公式进行计算。 3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣。【教学重难点】教学重点：排列的定义、排列数公式及其应用教学难点：排列数公式的推导【教学课时】二课时【教学过程】合作探究一：排列的定义我们看下面的问题（1）从红球、黄球、白球三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里（2）从10名学生中选2名学生做正副班长；（3）从10名学生中选2名学生干部；上述问题中哪个是排列问题？为什么？概念形成 1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列：从n个不同元素中，任取m（m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．。说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关）（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同合作探究二排列数的定义及公式 3、排列数：从n个不同元素中，任取m（m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m元素的排列数，用符号m n A表示议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 4、排列数公式推导

探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？m A n 呢？ )1()2)(1(+-?--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤）说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；（2）,,m n N m n * ∈≤ 即学即练: 1.计算 (1）4 10A ；(2）25A ；(3)3355A A ÷ 2.已知101095m A =???L ，那么m = 3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----L 用排列数符号表示为( ) A ．5079k k A --B ．2979k A -C ．3079k A -D ．3050k A - 答案：1、5040、20、20；2、6；3、C 典型例题例1．计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。解析：（1）利用好树状图，确保不重不漏；（2）注意最后列举。解：略点评：在写出所要求的排列时，可采用树状图或框图一一列出，一定保证不重不漏。变式训练：由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？并写出所有的排列。 5 、全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的全排列。此时在排列数公式中，m =n 全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--?=L （叫做n 的阶乘）. 即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）334A （2）4 4A （3）)!1(-?n n 想一想：由前面联系中（ 2 ) ( 3 ）的结果我们看到，25A 和3 355A A ÷有怎样的关系？那么，这个结果有没有一般性呢？排列数公式的另一种形式：

二项式定理的推广与应用

二项式定理的推广及应用曲靖市麒麟高级中学车保勇 [摘要] 二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式．深入研究二项式定理的推广及其用途，巧妙应用，能为许多数学问题提供另类解法，同时解决一些难度较大的问题．因此，进一步探讨二项式定理的推广及应用仍是一项有意义的工作．但前人得出的应用范围仅局限于求值、近似计算、整除、求余数、证明不等式等方面，而且在推广方面不够完善，笔者对二项式定理的推广作进一步完善，系统整理已有用途，并给出一种前人尚未提及的用途：即用二项式定理处理特殊极限问题．纵观全文，深入研究二项式定理的用途，不仅为一些数学问题提供了另类解法，更重要的是拓宽了二项式定理的应用范围． [关键词] 二项式定理推广方幂应用 1 引言二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式.数式二项式定理表述为：() 0,(,,0)n n r n r r n r a b C a b n r N r n -=+=∈≤≤∑．它有着十分广泛的应用，遍及初等数学和高等数学领域[1] ．认真研究问题的条件和结构，把一些表面与二项式定理或推广定理无关的问题作适当变形，构造出二项式定理或推广定理，再用其求解（证明），可使解题简洁明快．巧妙应用二项式定理或推广定理，不仅为许多问题提供另类解法，还能解决一些难度较大的数学问题．因此，把二项式定理进一步推广完善，并充分研究其用途，拓宽其应用范围，仍是一件有意义的工作．

2 问题的提出虽然学者们对二项式定理的推广及应用的研究取得了丰硕的成果，但已有成果都存在两个不足方面：一是推广不够完善；二是应用范围不够广．针对此情况，笔者试图将其推广进一步完善，系统整理已有用途，并提出新的用途，拓宽其应用范围． 3 二项式定理的推广二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式．数式二项式定理表述为： 011r n r r n n ()n n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +0 ,(,,0)n r n r r n r C a b n r N r n -==∈≤≤∑ 其中r n r r r 1T n C a b -+=叫做二项式的通项公式，()!!! r n n C r n r =-叫做二项式系数．若令 -n r q =，则 ! !! r n n C r q = ，(,,r q n)n r N ∈且+=． 3.1 推广一在实际应用中，除遇到二项式外还常常遇到多项式问题，为便于应用，现将其作推广．先考察三项式()()n a b c n N ++∈的展开式: ()[()]n n a b c a b c ++=++ ()n r r r n C a b c -=+++ ( )r q n r q q r n n r C C a b c ---= ++++ r q n r q q r n n r C C a b c ---= ++ 若令n r q p --=，便得到三项式()()n a b c n N ++∈展开式通项公式： (,,p q r n)r q p q r n n r C C a b c p q r N -∈且++=，其中()()!(r)!! !!q!q !!q!p! r q n n r n n n C C r n r n r r --==---叫三项式系数．[2] 类似地可得四项式(d)()n a b c n N +++∈通项公式为 ! (,,,)!!!s! p q r s n a b c d p q r s N p q r ∈且p+q+r+s=n ，其中 ! !!!s! n p q r 称四项式系数．于是猜想ｍ项式定理为：定理１12()n m a a a +++12 121212!!! !m m i i i m i i i n m n a a a i i i +++==∑，(,,1,2,,)k i n N k m ∈=．

高考数学分类解析专题计数原理和二项式定理理

2019高考数学最新分类解析专题10计数原理和二项式定理（理）一．基础题 1.【2013年山东省日照市高三模拟考试】设 321x x ??+ ??? 旳展开式中旳常数项为 a ，则直线 y ax =与曲线2y x =围成图形旳面积为 A.272 B.9 C.92 D.274 【答案】C 【解析】.∵x x 23 1 ( ) 旳展开式中旳常数项为 23C ,即3a =. 2.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】若 3 1() 2n x x - 旳展开式中第四项为常数项，则n =（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 3.【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生旳选法共有（） A ．80种 B ．100种 C ．120种 D ．240种【答案】B 【解析】 2231 5454100C C C C +=. 4.【北京市顺义区2013届高三第一次统练】从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字旳三位数,其中偶数旳个数为 A.36 B.30 C.24 D.12 【答案】C 【解析】若选1，则有 21232212C C A =种·若选0，则有232 332()12C A A -=种，所以共有 121224+=，选C.

5.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】在高三（1）班进行旳演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序旳排法种数为 A. 24 B. 36 C. 48 D.60 6.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出旳4人中既有男生又有女生，则不同旳选法共有 A ． 140种 B ． 120种 C ． 35种 D ． 34种 7.【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】 51(2) 2x -旳展开式中2x 旳系数是（） A ．5 B ．10 C ．-15 D ．-5 【答案】D 【解析】由二项式旳通项公式得2x 旳系数为 22 3 5 12()5 2 C -=- 8.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】从装有2个红球和2个黑球旳口袋内任取2个球，则恰有一个红球旳概率是 (A) 13 (B) 12 (C) 23 (D) 56 【答案】C 【解析】P ＝ 1122 24 C C C ＝2 3 故选C ·

计数原理及二项式定理概念公式总结

排列组合及二项式定理概念及公式总结 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理，如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示（2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, n n A =!n =()1231????- n n =n(n-1)! 规定 0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合（1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m n C 表示（2）组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+==或 )! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且

二项式定理二项式定理的应用教案

排列、组合、二项式定理·二项式定理的应用·教案教学目标 1.利用二项式定理及二项式系数的性质解决某些关于组合数的恒等式的证明；近似计算;求余数或证明某些整除或余数的问题等. 2.渗透类比与联想的思想方法，能运用这个思想处理问题. 3.培养学生运算能力，分析能力和综合能力．教学重点与难点数学是一门工具,学数学的目的就是为了应用.怎样建立起要解决的问题与数学知识之间的联系（如一个近似计算问题与二项式定理有没有联系,怎样联系),是这节课的难点，也是重点所在．教学过程设计师：我们已经学习了二项式定理及二项式系数，请大家用6分时间完成以下三道题: (1)在（1-ｘ3)（１+x)１０的展开式中,ｘ5的系数是多少? （2）求（1＋x-x2）6展开式中含x5的项．（全体学生参加笔试练习) ６分钟后，用投影仪公布以上三题的解答: （1)原式=(1+ｘ)10-x3(1＋ｘ）10,可知x５的系数是（1＋x）（2)原式=[1+(x－ｘ２）]６=1＋6（ｘ-x2)+1５（ｘ-x2)2+20（x-x2)３+1５（x-ｘ2）4+６（x-x2）5＋(x-x２）６. 其中含x5的项为：２0·3x5＋15(-4）ｘ5+6ｘ5=6x5.

师：解（1）,（2)两题运用了变换和化归思想，第(2)题把三项式化为二项式，创造了使用二项式定理的条件．第（3）题的解法是根据恒等式的概念，a,b取任何数时，等式都成立．根据习题结构特征选择a，b的取值.这种用概念解题的思想经常使用. 下面我们看二项式定理的一些应用．师:请同学们想一想，例１怎样解？生甲:从结构上观察,则与练习的第(3)题有相似之处,只是组合数的系数成等比数列,是否根据二项式定理令a=１，b＝3，即可得到证明. 师:请同学们根据生甲所讲，写出证明．（找一位同学板演) 证明：在（ａ+b)ｎ的展开式中令a=１,b=3得: 师：显然，适当选取ａ,b之值是解这一类题的关键,再看练习题. 练习生乙:这题与例1类比有共同点，仍是组合数的运算，不同点是缺

高考数学《二项式定理》

二项式定理主标题：二项式定理副标题：为学生详细的分析二项式定理的高考考点、命题方向以及规律总结。关键词：二项式定理，二项式系数，项系数难度：2 重要程度：4 考点剖析： 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 命题方向： 1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题． 2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度： (1)求二项展开式中的第n项； (2)求二项展开式中的特定项； (3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数．规律总结： 1个公式——二项展开式的通项公式通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点： (1)C r n a n－r b r是第r＋1项，而不是第r项； (2)通项公式中a，b的位置不能颠倒； (3)通项公式中含有a，b，n，r，T r＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”． 3个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”； (2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； (3)展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．

知识梳理 1．二项式定理二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *) 二项展开式的通项公式 T r ＋1＝C r n a n －r b r ，它表示第r ＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数C 0 n ，C 1n ，…，C n n 2.二项式系数的性质 (1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －k n . (2)二项式系数先增后减中间项最大当n 为偶数时，第n 2 ＋1项的二项式系数最大，最大值为2n n C ；当n 为奇数时，第n ＋1 2项和n ＋3 2项的二项式系数最大，最大值为21 -n n C 或21 +n n C . (3)各二项式系数和：C 0 n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ， C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2 n －1.