【好题】高考数学第一次模拟试卷(及答案)

【好题】高考数学第一次模拟试卷(及答案)

一、选择题

1．如图所示的圆锥的俯视图为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

2．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π

)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A ．23

B ．43

C ．

32

D ．3

3．

()()3

1i 2i i --+=（ ）

A ．3i +

B ．3i --

C ．3i -+

D ．3i -

4．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ．

19

B ．

29

C ．

49

D ．

718

5．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32

C ．33

D ．27

6．下列各组函数是同一函数的是（ ）

①()32f x x =

-与()2f x x x =-()3f x 2x y x 2x 与=-=-()f x x =与

()2g x x =

③()0

f x x =与()0

1g x x

=

；④()221f x x x =--与()2

21g t t t =--． A ．① ② B ．① ③

C ．③ ④

D ．① ④

7．若θ是ABC ?的一个内角，且1

sin θcos θ8

，则sin cos θθ-的值为（ ） A ．3 B 3C ．5-

D 5 8．已知函数()(3)(2ln 1)x

f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在

(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(,)e +∞

B ．2(,2)e e

C ．2(2,)e +∞

D ．22(,2)

(2,)e e e +∞

9．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4

100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺

序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 10．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ）

A ．2

B ．3

C ．22

D ．32

11．已知双曲线C ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的

距离为

3

c ，则双曲线的渐近线方程为（） A ．3y x =±

B ．2y x =±

C ．y x =±

D ．2y x =±

12．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32

B ．0.2

C ．40

D ．0.25

二、填空题

13．函数()22,0

26,0

x x f x x lnx x ?-≤=?-+>?的零点个数是________．

14．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．

15．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120?，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．

16．已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为

2，4，则球O 的表面积为__________．

17．在平行四边形ABCD 中，3

A π

∠=，边AB ，AD 的长分别为2和1，若M ，N 分别是

边BC ，CD 上的点,且满足

CN CD

BM BC

=

，则AM AN ?的取值范围是_________．

18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则

ABC 的面积为______．

19．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ?=______．

20．已知α，β均为锐角，4

cos 5α=

，1tan()3

αβ-=-，则cos β=_____． 三、解答题

21．已知向量()2sin ,1a x =+，()2,2b =-，()sin 3,1c x =-，

()1,d k =(),x R k R ∈∈

（1）若,22x ππ??

∈-

???

?，且()

//a b c +，求x 的值. （2）若函数()f x a b =?，求()f x 的最小值.

（3）是否存在实数k ，使得()()

a d

b

c +⊥+？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.

22．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214

y x =25

. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若

1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值.

23．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知

,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.

求证：（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC .

24．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3

BAD π∠=，PAD ?是等边

三角形，F 为AD 的中点，PD BF ⊥.

（1）求证：AD PB ⊥； （2）若E 在线段BC 上，且1

4

EC BC =

，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ？若存在，求四面体D CEG -的体积.

25．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD 上，且1

4

AM AD =，将AED,DCF 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.

()1试判断PB 与平面MEF 的位置关系，并给出证明； ()2求二面角M EF D --的余弦值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】

找到从上往下看所得到的图形即可． 【详解】

由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C. 【点睛】

本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B ，属于基础题.

2．C

解析：C 【解析】 函数sin 23y x πω??

=+

+ ??

?的图象向右平移43

π

个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx π

πππ?????

?

=-

++=+-+ ? ??????

?

?? 所以有4333

20132

22

w k

k k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=

≥ 故选C

3．B

解析：B 【解析】 【分析】

先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果. 【详解】 由题意得，复数()()()3

1i 2i 13i i 13i 3i i i

i i

--+-+?-+===----?．故应选B

【点睛】

本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住

2i 1=-.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实

数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.

4．C

解析：C 【解析】

试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；164369

p == 考点：古典概型的计算.

5．B

解析：B 【解析】 【分析】

通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得x 的值. 【详解】

因为数列的前几项为2,5,11,20,,47x ， 其中5213,11523,201133-=?-=?-=?， 可得2043x -=?，解得32x =，故选B. 【点睛】

本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

6．C

解析：C 【解析】 【分析】

定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可. 【详解】

①中()f x =

的定义域为(),0∞-，()f x =(),0∞-，但

()

f x ==-与()f x =

②中()f x x =与()g x =

R ，但()g x x ==与()f x x =对应关系不

一致，所以②不是同一函数； ③中()0

f x x =与()01

g x x =

定义域都是{}|0x x ≠，且()0

1f x x ==，()

11g x x ==对应关系一致，所以③是同一函数；

④中()2

21f x x x =--与()2

21g t t t =--定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.

故选C 【点睛】

本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.

7．D

解析：D 【解析】

试题分析：θ是ABC ?的一个内角,

，又，所以有

，故本题

的正确选项为D.

考点：三角函数诱导公式的运用.

8．C

解析：C 【解析】 【分析】

求得函数的导数()(2)()x xe a

f x x x

-'=-?，根据函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，

转化为0x xe a -=在(1,)+∞上有不等于2的解，令()x

g x xe =，利用奥数求得函数的单

调性，得到()1a g e >=且()2

22a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，得到

()0f x '≥在(1,2)上恒成立，进而得到x a xe ≥在(1,2)上恒成立，借助函数()x g x xe =在

(1,)+∞为单调递增函数，求得2(2)2a g e >=，即可得到答案.

【详解】

由题意，函数()(3)(2ln 1)x

f x x e a x x =-+-+，

可得2()(3)(1)(2)()(2)()x x

x

x

a xe a f x e x e a x e x x x x

-'=+-+-=--=-?，

又由函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，

则()0f x '=，即(2)()0x xe a

x x

--?=在(1,)+∞上有两解，

即0x xe a -=在在(1,)+∞上有不等于2的解，

令()x

g x xe =，则()(1)0,(1)x

g x x e x '=+>>，

所以函数()x

g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，

所以()1a g e >=且()2

22a g e ≠=，

又由()f x 在(1,2)上单调递增，则()0f x '≥在(1,2)上恒成立，

即(2)()0x xe a

x x

--?≥在(1,2)上恒成立，即0x xe a -≤在(1,2)上恒成立，

即x a xe ≥在(1,2)上恒成立，

又由函数()x

g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以2

(2)2a g e >=，

综上所述，可得实数a 的取值范围是22a e >，即2

(2,)a e ∈+∞，故选C.

【点睛】

本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.

9．C

解析：C 【解析】 【分析】

跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 【详解】

由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒， ∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，

当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意； 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 故跑第三棒的是丙． 故选：C ． 【点睛】

本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．

10．C

解析：C 【解析】 【分析】

两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解. 【详解】

因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0， 两式相减得20x y --=，即公共弦所在的直线方程. 圆C 1：x 2+y 2＝4，圆心到公共弦的距离为

d =，

所以公共弦长为：l ==. 故选：C

本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

11．A

解析：A 【解析】 【分析】

利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离为3

c ，求出a ，b 的

关系式，然后求解双曲线的渐近线方程． 【详解】

双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=的距离为3

c ，

可得：22

3

2c a b =

+，可得32

b c =，3b

a =，则C 的渐近线方程为3y x =±．

故选A ． 【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.

12．A

解析：A 【解析】

试题分析：据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．

解：设间一个长方形的面积S 则其他十个小长方形面积的和为4S ，所以频率分布直方图的总面积为5S 所以中间一组的频率为

所以中间一组的频数为160×0.2=32 故选A

点评：本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．注意频率分布直方图的纵坐标是

．

二、填空题

13．2【解析】【详解】当x≤0时由f （x ）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x ＞0函数f （x ）=2x ﹣6+lnx 单调递增则f （1）＜0f （3）＞0此时函数f （x ）只有一个零点所以共有2个零点故答案为：

解析：2

【详解】

当x≤0时，由f（x）=x2﹣2=0，解得x=1个零点；

当x＞0，函数f（x）=2x﹣6+lnx，单调递增，

则f（1）＜0，f（3）＞0，此时函数f（x）只有一个零点，

所以共有2个零点．

故答案为：2．

【点睛】

判断函数零点个数的方法

直接法（直接求零点）：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点，定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点，

图象法（利用图象交点的个数）：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0?h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数，

性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数

14．1和3【解析】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加

解析：1和3.

【解析】

根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；

（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；

所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；

（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；

又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；

所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；

所以甲的卡片上的数字是1和3.

15．【解析】【分析】将平移到和相交的位置解三角形求得线线角的余弦值【详解】过作过作画出图像如下图所示由于四边形是平行四边形故所以是所求线线角或其补角在三角形中故【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的

解析：

4

【解析】

【分析】

BC相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.

将AC平移到和1

过B 作//BD AC ，过C 作//CD AB ，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD 是平行四边形，故//BD AC ，所以1C BD ∠是所求线线角或其补角.在三角形1BC D 中，

1122,23BC C D BD ===，故16

cos 422223

C B

D ∠=

=??.

【点睛】

本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

16．【解析】【分析】本道题结合半径这一条件利用勾股定理建立等式计算半径即可【详解】设球半径为R 球心O 到上表面距离为x 则球心到下表面距离为6-x 结合勾股定理建立等式解得所以半径因而表面积【点睛】本道题考查 解析：80π

【解析】 【分析】

本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。 【详解】

设球半径为R ，球心O 到上表面距离为x ，则球心到下表面距离为6-x,结合勾股定理，建立等式()2

22224+6x x +=-，解得4x =，所以半径222220R x =+= 因而表面积2480S R ππ== 【点睛】

本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。

17．【解析】【分析】画出图形建立直角坐标系利用比例关系求出的坐标然后通过二次函数求出数量积的范围【详解】解：建立如图所示的直角坐标系则设则所以因为二次函数的对称轴为：所以时故答案为：【点睛】本题考查向量

解析：

[2]5, 【解析】 【分析】

画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围． 【详解】

解：建立如图所示的直角坐标系，则(2,0)B ，(0,0)A ，

13,2D ?? ? ???

，设||||||||BM CN BC CD λ==，[]

0,1λ∈，则(22M λ+，3)λ，5(22N λ-，3)， 所以(22

AM AN λ

=+

，

35)(22λλ-，22353

)542544

λλλλλλ=-+-+=--+， 因为[]0,1λ∈，二次函数的对称轴为：1λ=-，所以[]

0,1λ∈时，[]2

252,5λλ--+∈．

故答案为：

[2]5,

【点睛】

本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．

18．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式可求的值根据同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值根据两角和的正弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定 解析：

15716

【解析】 【分析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解． 【详解】

2b =，3c =，2C B =，

∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23

sin sin B C

=，可得：

233sin sin22sin cos B B B B

==， ∴可得：3cos 4B =

，可得：27sin 1cos B B =-=， ∴可得：37sin sin22sin cos C B B B ===，21

cos cos22cos 18C B B ==-=，

()7133757

sin sin sin cos cos sin 484816

A B C B C B C ∴=+=+=

?+?=

， 1157157sin 2322S bc A ∴=

=???=

． 故答案为：157

． 【点睛】

本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

19．2【解析】【分析】过点C 作CD ⊥AB 于D 可得Rt △ACD 中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C 作CD ⊥AB 于D 则D 为AB 的中点Rt △ACD 中可得cosA==2故答

解析：2 【解析】 【分析】

过点C 作CD⊥AB 于D ，可得1

AD AB 12

=

=，Rt△ACD 中利用三角函数的定义算出1

cos A AC

=

，再由向量数量积的公式加以计算，可得AB AC ?的值． 【详解】

过点C 作CD ⊥AB 于D ，则D 为AB 的中点．

Rt △ACD 中，1

AD AB 12

=

=， 可得cosA=

11

,cosA AD AB AC AB AC AB AC AB AC AC AC

=∴?=?=??==2． 故答案为2 【点睛】

本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．

20．【解析】【分析】先求得的值然后求得的值进而求得的值【详解】由于为锐角且故由解得由于为锐角故【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正切公式属于中档题

解析：

50

【解析】 【分析】

先求得tan α的值，然后求得tan β的值，进而求得cos β的值. 【详解】

由于α为锐角，且4cos 5α=

，故3sin 5α==，sin 3tan cos 4

ααα=

=.由()tan tan 1

tan 1tan tan 3

αβαβαβ--=

=-+?，解得13tan 9β=，由于β为锐角，故

cos β===50

=

. 【点睛】

本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.

三、解答题

21．（1）6

x π

=-；（2）0；（3）存在[]5,1k ∈--

【解析】 【分析】

（1）由向量平行的坐标表示可求得sin x ，得x 值；

（2）由数量积的坐标表示求出()f x ，结合正弦函数性质可得最值；

（3）计算由()()

0a d b c +?+=得k 与sin x 的关系，求出k 的取值范围即可． 【详解】 （1）

()sin 1,1b c x +=--，()

//a b c +，

()2sin sin 1x x ∴-+=-，即1sin 2x =-.又,22x ππ??

∈-????

，6x π∴=-.

（2）∵()2sin ,1a x =+，()2,2b =-，()()22sin 22sin 2f x a b x x ∴=?=+-=+.

x R ∈，1sin 1x ∴-，()04f x ∴，()f x ∴的最小值为0.

（3）∵()3sin ,1a d x k +=++，()sin 1,1b c x +=--，

若()()

a d

b

c +⊥+，则()()

0a d b c +?+=，即()()()3sin sin 110x x k +--+=，

()2

2sin 2sin 4sin 15k x x x ∴=+-=+-，由[]sin 1,1x ∈-，得[]5,1k ∈--，

∴存在[]5,1k ∈--，使得()()

a d

b

c +⊥+ 【点睛】

本题考查平面得数量积的坐标运算，考查正弦函数的性质．属于一般题型，难度不大．

22．（Ⅰ）2

215

x y +=（Ⅱ）-10

【解析】 【分析】

（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22

221x y a b

+=，根据它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，

得到1b =，又c a ==C 的标准方程. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程

2215

x y +=，得()2222

15202050k x k x k +-+-=，由此利用韦达定理结合已知条件能求出12λλ+的值. 【详解】

（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()22

2210x y a b a b

+=>>，

抛物线方程化为2

4x y =，其焦点为()0,1

则椭圆C 的一个顶点为()0,1，即1b =，

由5

c e a ===，解得25a =， ∴椭圆C 的标准方程为2

215

x y +=

（Ⅱ）证明：∵椭圆C 的方程为2

215

x y +=，

∴椭圆C 的右焦点()2,0F

设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，由题意知直线l 的斜率存在，

设直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程2

215

x y +=，

并整理，得(

)2

2

2215202050k

x

k x k +-+-=，

∴21222015k x x k +=+，2122

205

15k x x k -=+，

又()110,MA x y y =-，()220,MB x y y =-，()112,AF x y =--，()222,BF x y =--， 而1MA AF λ=，2MB BF λ=，

即()()1101110,2,x y y x y λ--=--，()()2202220,2,x y y x y λ--=--， ∴1112x x λ=

-，2

22

2x x λ=-，

∴()()12121212121212

22102242x x x x x x

x x x x x x λλ+-+=+==----++. 【点睛】

本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

23．(1)证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】

（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面DEF 内找到一条与PA 平行的直线，由于题中中点较多，容易看出//PA DE ，然后要交待PA 在平面DEF 外，DE 在平面DEF 内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得DE AC ⊥，因此考虑能否证明DE 与平面ABC 内的另一条与AC 相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明DE EF ⊥，因此要找的两条相交直线就是,AC EF ，由此可得线面垂直. 【详解】

（1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA ?平面DEF ，DE ?平面DEF ，所以//PA 平面DEF ．

（2）由（1）//PA DE ，又PA AC ⊥，所以DE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以

1

32DE PA =

=，142

EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ?平

面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ． 【考点】

线面平行与面面垂直． 24．（1）证明见解析；（2）112

. 【解析】 【分析】

（1）连接PF ，BD 由三线合一可得AD ⊥BF ，AD ⊥PF ，故而AD ⊥平面PBF ，于是AD ⊥PB ； （2）先证明PF ⊥平面ABCD ，再作PF 的平行线，根据相似找到G ，再利用等积转化求体积． 【详解】

连接PF ，BD,

∵PAD ?是等边三角形，F 为AD 的中点， ∴PF ⊥AD ，

∵底面ABCD 是菱形，3

BAD π

∠=

，

∴△ABD 是等边三角形，∵F 为AD 的中点， ∴BF ⊥AD ，

又PF ，BF ?平面PBF ，PF ∩BF ＝F ， ∴AD ⊥平面PBF ，∵PB ?平面PBF ， ∴AD ⊥PB ．

（2）由（1）得BF ⊥AD ，又∵PD ⊥BF ，AD ，PD ?平面PAD ， ∴BF ⊥平面PAD ，又BF ?平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ，

由（1）得PF ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PF ⊥平面ABCD ，

连接FC 交DE 于H,则△HEC 与△HDF 相似，又1142EC BC FD ==，∴CH=1

3

CF ， ∴在△PFC 中,过H 作GH //PF 交PC 于G ，则GH⊥平面ABCD ，又GH ?面GED ，则面GED⊥

平面ABCD ， 此时CG=

1

3

CP, ∴四面体D CEG -的体积

1

11311

223

382312

D CEG G CED CED

V V S

GH PF --==?=?????=． 所以存在G 满足CG=13CP, 使平面DEG ⊥平面ABCD ，且112

D CEG V -=. 【点睛】

本题考查了线面垂直的判定与性质定理，面面垂直的判定及性质的应用，考查了棱锥的体积计算，属于中档题． 25．（1）见解析；（2）6

.3

【解析】 【分析】

(1)根据线面平行的判定定理直接证明即可；

（2）连接BD 交EF 与点N ，先由题中条件得到MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角，再解三角形即可得出结果. 【详解】

（1）PB 平面MEF ．证明如下：在图1中，连接BD ，交EF 于N ，交AC 于O ， 则11

24

BN BO BD =

=， 在图2中，连接BD 交EF 于N ，连接MN ，在DPB 中，有1

4

BN BD =

，1

4

PM PD =

， MN PB ∴． PB ?平面MEF ，MN ?平面MEF ，故PB 平面MEF ；

（2）连接BD 交EF 与点N ，图2中的三角形PDE 与三角形PDF 分别是图1中的

Rt ADE 与Rt CDF ，PD PE PD PF ∴⊥⊥，，又PE PE P ?＝，PD ∴⊥平面PEF ，则PD EF ⊥，又EF BD ⊥，EF ∴⊥平面PBD ， 则MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角．

可知PM PN ⊥，则在Rt MND 中，12PM PN ＝，=

，则

22PM PN 3MN =+=．

在

MND 中，332MD DN =＝，，由余弦定理，得

2226

2MN DN MD cos MND MN DN +-∠==

?． ∴二面角M EF D ﹣﹣的余弦值为

63

．

【点睛】

本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求法，熟记线面平行的判定定理以及二面角的概念即可，属于常考题型.