一次函数和几何综合题

1．（2013?天水）如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．（1）求直线AB的解析式；

（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；

（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2013?济宁）如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以

每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．

（1）求点P运动的速度是多少？

（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？

（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．

3．（2013?绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B 点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．

（1）求C点坐标；

（2）求直线MN的解析式；

（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

4．（2013?齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2

（1）求A、C两点的坐标；

（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2013春?屯留县期末）如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M．已知点A（﹣3，4）．

（1）求AO的长；

（2）求直线AC的解析式和点M的坐标；

（3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB 的面积为S．

①求S与t的函数关系式；

②求S的最大值．

6．（2012?鞍山）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；

（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．

7．（2012?桃源县校级自主招生）如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：

（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值；

（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论；

（3）①设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．

②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．

8．（2012秋?海陵区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC交于点C．

（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，直线OC解析式为y=x，

①求点C的坐标；

②求△OAC的面积．

（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．

9．（2012秋?成都校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；

（2）若四边形PQOB的面积是，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2012秋?綦江县校级期末）如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．

（1）求△ABC的面积；

（2）如果在第二象限内有一点P（m，），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相

等时m的值；

（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）

1．（2013?天水）如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．（1）求直线AB的解析式；

（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；

（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：一次函数综合题．

专题：压轴题．

分析：（1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解．

（2）由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD?cos60°，DG=BD?sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标．

（3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t，0）：

①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同（2），在直角三角形DBG中，可

根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值．

②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用

BD的长表示出DG，进而求出GF的长，然后同①．

③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤时，方法同②．

综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值．

解答：解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得：

BF=OE=2，OF==，

∴点B的坐标是（，2）

设直线AB的解析式是y=kx+b（k≠0），则有．

解得．

∴直线AB的解析式是y=x+4；

（2）如图2，∵△ABD由△AOP旋转得到，

∴△ABD≌△AOP，

∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，

∴∠DAP=∠BAO=60°，

∴△ADP是等边三角形，

∴DP=AP=．

如图2，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．方法（一）

在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．

∴BG=BD?cos60°=×=．

DG=BD?sin60°=×=．

∴OH=EG=，DH=

∴点D的坐标为（，）

方法（二）

易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG，

∴△ABE∽△BDG，

∴；而AE=2，BD=OP=，BE=2，AB=4，

则有，解得BG=，DG=；

∴OH=，DH=；

∴点D的坐标为（，）．

（3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于．

设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：

①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG=t，

∴DH=2+t．

∵△OPD的面积等于，

∴，

解得，（舍去）

∴点P1的坐标为（，0）．

②∵当D在y轴上时，根据勾股定理求出BD==OP，

∴当＜t≤0时，如图，BD=OP=﹣t，DG=﹣t，

∴GH=BF=2﹣（﹣t）=2+t．

∵△OPD的面积等于，

∴，

解得，，

∴点P2的坐标为（，0），点P3的坐标为（，0）．

③当t≤时，如图3，BD=OP=﹣t，DG=﹣t，

∴DH=﹣t﹣2．

∵△OPD的面积等于，

∴（﹣t）[﹣（2+t）]=，

解得（舍去），

∴点P4的坐标为（，0），

综上所述，点P的坐标分别为P1（，0）、P2（，0）、P3（，0）、P4（，0）．

点评：本题综合考查的是一次函数的应用，包括待定系数法求解析式、旋转的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积公式的应用等，难度较大．

2．（2013?济宁）如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以

每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．

（1）求点P运动的速度是多少？

（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？

（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．

考点：一次函数综合题．

专题：压轴题．

分析：

（1）根据直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出==，据此可以求得点P的运动速度；

（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；

（3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可．

解答：

解：（1）∵直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，

∴x=0时，y=4，y=0时，x=8，

∴==，

当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，

∵EP∥BO，

∴==，

∴AP=2t，

∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；

（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，

则∵OQ=FQ=t，PA=2t，

∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，

∴8﹣3t=t，

解得：t=2；

如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，

∵OQ=t，PA=2t，

∴OP=8﹣2t，

∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，

∴t=3t﹣8，

解得：t=4；

（3）如图1，当Q在P点的左边时，

∵OQ=t，PA=2t，

∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，

∴S矩形PEFQ=QP?QF=（8﹣3t）?t=8t﹣3t2，

当t=﹣=时，

S矩形PEFQ的最大值为：=，

如图2，当Q在P点的右边时，

∵OQ=t，PA=2t，

∴2t＞8﹣t，

∴t，

∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，

∴S矩形PEFQ=QP?QF=（3t﹣8）?t=3t2﹣8t，

∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，

∴＜t≤4，

当t=﹣=时，S矩形PEFQ的最大，

∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×42﹣8×4=16，

综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16．

点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P，Q不同的位置进行分类讨论得出是解题关键．

3．（2013?绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B 点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．

（1）求C点坐标；

（2）求直线MN的解析式；

（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

考点：一次函数综合题．

专题：压轴题．

分析：（1）通过解方程x2﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）；

（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；

（3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．

解答：解：（1）解方程x2﹣14x+48=0得

x1=6，x2=8．

∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根，

∴OC=6，OA=8．

∴C（0，6）；

（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．

由（1）知，OA=8，则A（8，0）．

∵点A、C都在直线MN上，

∴，

解得，，

∴直线MN的解析式为y=﹣x+6；

（3）∵A（8，0），C（0，6），

∴根据题意知B（8，6）．

∵点P在直线MNy=﹣x+6上，

∴设P（a，﹣a+6）

当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：

①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；

②当PC=BC时，a2+（﹣a+6﹣6）2=64，

解得，a=，则P2（﹣，），P3（，）；

③当PB=BC时，（a﹣8）2+（a﹣6+6）2=64，

解得，a=，则﹣a+6=﹣，∴P4（，﹣）．

综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（﹣，）P3（，），P4（，﹣）．

点评：本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质．解答（3）题时，要分类讨论，防止漏解．另外，解答（3）题时，还利用了“数形结合”的数学思想．

4．（2013?齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2

（1）求A、C两点的坐标；

（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：一次函数综合题．

专题：压轴题．

分析：（1）通过解一元二次方程x2﹣（+1）x+=0，求得方程的两个根，从而得到A、B两点的坐标，再根据两点之间的距离公式可求AB的长，根据AB：AC=1：2，可求AC的长，从而得到C点的坐标；

（2）分①当点M在CB边上时；②当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于t的函数关系式；

（3）分AQ=AB，BQ=BA，BQ=QA三种情况讨论可求Q点的坐标．

解答：解：（1）x2﹣（+1）x+=0，

（x﹣）（x﹣1）=0，

解得x1=，x2=1，

∵OA＜OB，

∴OA=1，OB=，

∴A（1，0），B（0，），

∴AB=2，

又∵AB：AC=1：2，

∴AC=4，

∴C（﹣3，0）；

（2）∵AB=2，AC=4，BC=2，

∴AB2+BC2=AC2，

即∠ABC=90°，

由题意得：CM=t，CB=2．

①当点M在CB边上时，S=2﹣t（0≤t）；

②当点M在CB边的延长线上时，S=t﹣2（t＞2）；

（3）存在．

①当AB是菱形的边时，如图所示，

在菱形AP1Q1B中，Q1O=AO=1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0），

在菱形ABP2Q2中，AQ2=AB=2，所以Q2点的坐标为（1，2），

在菱形ABP3Q3中，AQ3=AB=2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2），

②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，

设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，AP42=AO2+P4O2，即x2=12+（﹣x）2，解得x=，

所以Q4（1，）．

综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（﹣1，0），Q2（1，﹣2），Q3（1，2），Q4（1，）．

点评：考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：解一元二次方程，两点之间的距离公式，三角形面积的计算，函数思想，分类思想的运用，菱形的性质，综合性较强，有一定的难度．

5．（2013春?屯留县期末）如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M．已知点A（﹣3，4）．

（1）求AO的长；

（2）求直线AC的解析式和点M的坐标；

（3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB 的面积为S．

①求S与t的函数关系式；

②求S的最大值．

考点：一次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；菱形的性质．

专题：计算题．

分析：（1）根据A的坐标求出AH、OH，根据勾股定理求出即可；

（2）根据菱形性质求出B、C的坐标，设直线AC的解析式是y=kx+b，把A（﹣3，4），C（5，0）代入得到方程组，求出即可；

（3）①过M作MN⊥BC于N，根据角平分线性质求出MN，P在AB上，根据三角形面积公式求出即可；P 在BC上，根据三角形面积公式求出即可；②求出P在AB的最大值和P在BC上的最大值比较即可得到答案．解答：（1）解：∵A（﹣3，4），

∴AH=3，OH=4，

由勾股定理得：AO==5，

答：OA的长是5．

（2）解：∵菱形OABC，

∴OA=OC=BC=AB=5，

5﹣3=2，

∴B（2，4），C（5，0），

设直线AC的解析式是y=kx+b，

把A（﹣3，4），C（5，0）代入得：，

解得：，

∴直线AC的解析式为，

当x=0时，y=2.5

∴M（0，2.5），

答：直线AC的解析式是，点M的坐标是（0，2.5）．

（3）①解：过M作MN⊥BC于N，

∵菱形OABC，

∴∠BAC=∠OCA，

∵MO⊥CO，MN⊥BC，

∴OM=MN，

当0≤t＜2.5时，P在AB上，MH=4﹣2.5=，

S=×BP×MH=×（5﹣2t）×=﹣t+，

∴，

当t=2.5时，P与B重合，△PMB不存在；

当2.5＜t≤5时，P在BC上，S=×PB×MN=×（2t﹣5）×=t﹣，

∴，

答：S与t的函数关系式是（0≤t＜2.5）或（2.5＜t≤5）．

②解：当P在AB上时，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是×5×=，同理在BC上时，P与C重合时，S最大是×5×=，

∴S的最大值是，

答：S的最大值是．

点评：本题主要考查对勾股定理，三角形的面积，菱形的性质，角平分线性质，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．

6．（2012?鞍山）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；

（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．

考点：一次函数综合题．

专题：压轴题．

分析：（1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可证△AOG≌△ADG；

（2）利用（1）的方法，同理可证△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而

∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系；

（3）由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，当∠1=∠2时，可证∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG，PC，确定P、G两点坐标，得出直线PE的解析式．

解答：（1）证明：∵∠AOG=∠ADG=90°，

∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，

∵，

∴△AOG≌△ADG（HL）；

（2）解：PG=OG+BP．

由（1）同理可证△ADP≌△ABP，

则∠DAP=∠BAP，由（1）可知，∠1=∠DAG，

又∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，

所以，2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°，

故∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°，

∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，

∴DG=OG，DP=BP，

∴PG=DG+DP=OG+BP；

（3）解：∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD，

又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，

∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，

又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，

∴∠1=∠2=30°，

在Rt△AOG中，AO=3，AG=2OG，AG2=AO2+OG2，

∴OG=，则G点坐标为：（，0），

CG=3﹣，在Rt△PCG中，

PG=2CG=2（3﹣），PC==3﹣3，则P点坐标为：（3，3﹣3），

设直线PE的解析式为y=kx+b，

则，解得，

所以，直线PE的解析式为y=x﹣3．

点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据正方形的性质证明三角形全等，根据三角形全等的性质求角、边的关系，利用特殊角解直角三角形，求P、G两点坐标，确定直线解析式．

7．（2012?桃源县校级自主招生）如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：

（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值；

（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论；

（3）①设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．

②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．

考点：一次函数综合题．

专题：压轴题；探究型．

分析：（1）△AOC和△BCP全等，则AO=BC=1，又∵AB=，t=AB﹣BC=﹣1；

（2）过点C作x轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H，证△OTC≌△CHP即可；

（3）根据题意可直接得出b=1﹣t；当t=0或1时，△PBC为等腰三角形，即P（1，1），P（1，1﹣），但t=0时，点C不在第一象限，所以不符合题意．

解答：解：（1）△AOC和△BCP全等，则AO=BC=1，

又AB=，

所以t=AB﹣BC=﹣1；

（2）OC=CP．

证明：过点C作x轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H．

∵PC⊥OC，

∴∠OCP=90°，

∵OA=OB=1，

∴∠OBA=45°，

∵TH∥OB，

∴∠BCH=45°，又∠CHB=90°，

∴△CHB为等腰直角三角形，

∴CH=BH，

∵∠AOB=∠OBH=∠BHT=90°，

∴四边形OBHT为矩形，∴OT=BH，

∴OT=CH，

∵∠TCO+∠PCH=90°，

∠CPH+∠PCH=90°，

∴∠TCO=∠CPH，

∵HB⊥x轴，TH∥OB，

∴∠CTO=∠THB=90°，TO=HC，∠TCO=∠CPH，

∴△OTC≌△CHP，

∴OC=CP；

（3）①∵△OTC≌△CHP，

∴CT=PH，

∴PH=CT=AT=AC?cos45°=t，

∴BH=OT=OA﹣AT=1﹣t，

∴BP=BH﹣PH=1﹣t，

∴；（0＜t＜）

②t=0时，△PBC是等腰直角三角形，但点C与点A重合，不在第一象限，所以不符合，

PB=BC，则﹣t=|1﹣t|，

解得t=1或t=﹣1（舍去），

∴当t=1时，△PBC为等腰三角形，

即P点坐标为：P（1，1﹣）．

点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数的性质和点的意义表示出相应的线段的长度，再结合三角形全等和等腰三角形的性质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．

8．（2012秋?海陵区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC交于点C．

（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，直线OC解析式为y=x，

①求点C的坐标；

②求△OAC的面积．

（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．

考点：一次函数综合题．

专题：综合题；数形结合．

分析：（1）①联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标．

②欲求△OAC的面积，结合图形，可知，只要得出点A和点C的坐标即可，点C的坐标已知，利用函数关

系式即可求得点A的坐标，代入面积公式即可．

（2）在OC上取点M，使OM=OP，连接MQ，易证△POQ≌△MOQ，可推出AQ+PQ=AQ+MQ；若想使得AQ+PQ存在最小值，即使得A、Q、M三点共线，又AB⊥OP，可得∠AEO=∠CEO，即证△AEO≌△CEO（ASA），又OC=OA=4，利用△OAC的面积为6，即可得出AM=3，AQ+PQ存在最小值，最小值为3．

解答：

解：（1）①由题意，（2分）

解得所以C（4，4）（3分）

②把y=0代入y=﹣2x+12得，x=6，所以A点坐标为（6，0），（4分）

所以．（6分）

（2）存在；

由题意，在OC上截取OM=OP，连接MQ，

∵OQ平分∠AOC，

∴∠AOQ=∠COQ，

又OQ=OQ，

∴△POQ≌△MOQ（SAS），（7分）

∴PQ=MQ，

∴AQ+PQ=AQ+MQ，

当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小．

即AQ+PQ存在最小值．

∵AB⊥ON，所以∠AEO=∠CEO，

∴△AEO≌△CEO（ASA），

∴OC=OA=4，

∵△OAC的面积为6，所以AM=12÷4=3，

∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．（9分）

点评：本题主要考查一次函数的综合应用，具有一定的综合性，要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度．

9．（2012秋?成都校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；

（2）若四边形PQOB的面积是，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数与几何综合压轴题题型归纳88728

学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲 一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此 抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解? ?? ?==0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴） （1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。 （2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得 AN MN BM ++之和最小。 （3）如图，B A 、是直线l 同旁的两个定点，线段a ，在直线l 上确定两点E 、F （E 在F 的左侧 ），使得四边形AEFB 的周长最小。 8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法 三角形的面积求解常用方法：如右图，S △PAB =1/2 ·PM ·△x=1/2 ·AN ·△y 9、函数的交点问题：二次函数（c bx ax y ＋＋＝2 ）与一次函数（h kx y ＋＝） （1）解方程组???h kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2可求出两个图象交点的坐标。 （2）解方程组???h kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2，即()02 ＝－＋－＋h c x k b ax ，通过?可判断两个图象的交点 的个数 有两个交点 ? 0＞?

一次函数与几何综合(一)(讲义及答案).

一次函数与几何综合（一）（讲义） ? 课前预习 1. 若一次函数经过点 A (2，-1)和点 B (4，3)，则该一次函数的表达式为 ． 2. 若直线 l 平行于直线 y =-2x -1，且过点(1，4)，则直线 l 的表 达式为 ． 3. 如图，一次函数的图象经过点 A ，且与正比例函数 y =-x 的图象交于点 B ，则该一次函数的表达式为 ． 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，点 A 在直线 l 1：y =3x 上，且点 A 在第一象限，过点 A 作 y 轴的平行线交直线 l 2：y =x 于点 B ． （1） 设点 A 的横坐标为 t ，则点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，线段 AB 的长为 ；（用含 t 的式子表示） （2） 若 AB =4，则点 A 的坐标是 ． ? 知识点睛 1. 一次函数与几何综合的处理思路： 从已知的表达式、坐标或几何图形入手，分析特征，通过坐标与横平竖直线段长、函数表达式相互转化解决问题． 2. 函数与几何综合问题中常见转化方式： （1） 借助表达式设出点坐标，将点坐标转化为横平竖直线段 长，结合几何特征利用线段长列方程； （2） 研究几何特征，考虑线段间关系，通过设线段长进而表 达点坐标，将点坐标代入函数表达式列方程． 表达线段长： 横平线段长，横坐标相减，右减左； 竖直线段长，纵坐标相减，上减下．

1

? 精讲精练 1. 如图，直线 y = - 3 x + 3 与 x 轴、y 轴交于 A ，B 两点，点 C 4 是 y 轴负半轴上一点，若 BA =BC ，则直线 AC 的表达式为 ． 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y =kx +b 的图象经过点A (-2，6)，且与 x 轴相交于点 B ，与正比例函数 y =3x 的图象交于点 C ，点 C 的横坐标为 1，则△OBC 的面积为 ． 3. 如图，直线l ：y = 3 x + 6 与 y 轴相交于点 N ，直线l ：y = kx -3 1 4 2 与直线l 1 相交于点 P ，与 y 轴相交于点 M ，若△PMN 的面积为 18，则直线l 2的表达式为 ． 4. 如图，一次函数 y = 1 x + 2 的图象与 y 轴交于点 A ，与正比例 3 函数 y =kx 的图象交于第二象限内的点 B ，若 AB =OB ，则 k 的值为 ．

二次函数与几何综合压轴题题型归纳 学生版

标准实用 二次函数综合压轴题型归类、要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系教学目标：1 2、掌握特殊图形面积的各种求法 1、利用图形的性质找 点重点、难点： 2、分解图形求面积 一、二次函数和特殊多边形形状二、二次函数和特殊多边形面积三、函数动点引起的最值问题四、常考点汇总????22x?AB??yy?x：1、两点间的距离公式BAAB x?xy?y??BABA，ABC??的坐标为：：线段的中点2 、中点坐标 22??y?kx?bk?0y?kx?bk?0）的位置关系：）与（（直线212112??k?bk?kb?k）两直线相交 且（1）两直线平行（2212112??kk?b?1bk?k? 3（）两直线重合（4）两直线垂直且2121213、 一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ?和参数的其他要求确定参数的取值范围；①用②解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、 二次根式） ③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 ??22mxm5＜m02m?1＝x?mx－的值。为整数，求例：关于的一元二次方程有两个整数根，且 x轴的交点为整数点问题。（方法同上）、4二次函数与??2mx3x?y?mx?3m1?为正整数，试确定轴交于两个不同的整数点，且例：若抛物线与此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 文案大全． 标准实用 2mxm0?2m?mx3?3(m?1)x?为何值，方程总为实数）（已知关于，求证：无论的方程有一个固定的根。1x0?m?时，解：当；??3?1?m?3??2x?2?x?1?x0?m0??3m??；、时，当，， 12m2m m为何值，方程总有一个固定的根是1。综上所述：无论 6、函数过固定点问题，举例如下： 2mm2?my?x??mx为何值，该抛物线总经过一个固已知抛物线（，求证：不论是常数）定的点，

二次函数与几何综合(习题及答案)

二次函数与几何综合（习题） ?例题示范 例1：如图，抛物线y=ax2+2ax-3a 与x 轴交于A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点C，且OA=OC，连接AC． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值． （3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 第一问：研究背景图形 【思路分析】 读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a，可以求解A(-3，0)，B(1，0)，对称轴为直线x=-1；结合题中给出的OA=OC，可得C(0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式． 再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形． 【过程示范】 解：（1）由y=ax2+2ax-3a=a(x+3)(x-1) 可知A(-3，0)，B(1，0)， ∵OA=OC， ∴C(0，-3)， 将C(0，-3)代入y=ax2+2ax-3a， 解得，a=1， ∴y=x2+2x-3． 1

△ 第二问：铅垂法求面积 【思路分析】 （1） 整合信息，分析特征： 由所求的目标入手分析，目标为 S △ACP 的最大值，分析 A ，C 为定点，P 为动点且 P 在直线 AC 下方的抛物线上运动，即 -3＜x P ＜0； （2） 设计方案： 注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达 S △ACP ． 【过程示范】 如图，过点 P 作 PQ ∥y 轴，交 AC 于点 Q ， 易得 l AC ：y =-x -3 设点 P 的横坐标为 t ，则 P (t ，t 2+2t -3)， ∵PQ ∥y 轴， ∴Q (t ，-t -3)， ∴PQ =y Q -y P =-t -3-(t 2+2t -3)=-t 2-3t （-3＜t ＜0）， ∴ S = 1 PQ ? (x - x ) = - 3 t 2 - 9 t （-3＜t ＜0） △ ACP 2 C A 2 2 ∵ - 3 < 0 ， 2 ∴抛物线开口向下，且对称轴为直线t = - 3 ， 2 ∴当t = - 3 时，S ACP 最大，为 27 ． 2 8 第三问：平行四边形的存在性 【思路分析】 分析不变特征： 以 A ，B ，E ，F 为顶点的四边形中，A ，B 为定点，E ，F 为动点，定点 A ，B 连接成为定线段 AB ． 分析形成因素： 要使这个四边形为平行四边形．首先考虑 AB 在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则 AB 既可以作边，也可以作对角线． 画图求解： 先根据平行四边形的判定来确定 EF 和 AB 之间应满足的条 2

一次函数的应用、二次函数与几何知识的综合应用练习题

2012届一次函数的应用、二次函数与几何知识的综合应用练习题 1、某书报亭开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是 会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书， 若每月租书数量为x 册. （1）写出零星租书方式应付金额y 1(元)与租书数量x （册）之间的函数关系 式； （2）写出会员卡租书方式应付金额y 2(元 )与租书数量x (册)之间的函数关 系式； （3）小军选取哪种租书方式更合算？ 2、某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知 大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购 车总费用为y （万元）． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）； （2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最 省的方案，并求出该方案所需费用． 3、如图，抛物线y = 2 1x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． 4、如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物 线交x 轴于另一点C （3,0）. 第3题图

⑴ 求抛物线的解析式; ⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求 出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由. 5、已知双曲线x k y 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式; (2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积, 6、已知函数y=mx 2－6x ＋1（m 是常数）． ⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值． 7、如图所示，二次函数y =-x 2+2x +m 的图象与x 轴的一个交点为A （3，0），另一 个交点为B ，且与y 轴交于点C ． 第5题图

二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)

二次函数与几何综合
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C

一次函数的与几何图形综合的题目(含答案)

一次函数与几何图形综合专题讲座 思想方法小结 ： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 知识规律小结 ： （1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点； 当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－ k b =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－k b ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限；

当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0) 当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 12 1b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2） ； ③???≠=21 21,b b k k ?y 1与y 2平行； ④?? ?==2 121, b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB (1) 求AC (2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系， 并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①(MQ +AC )/PM x y

(完整版)一次函数与几何图形综合题,精选十道,道道经典。

专题训练：一次函数与几何图形综合 1、直线y=-2x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB (1) 求AC 的解析式； (2) 在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并 证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不 变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。 2．(本题满分12分)如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。 (1)当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式； x y o B A C P Q x y o B A C P Q M 第2题图①

(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。 (3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。 问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。 3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， （1）求直线2l 的解析式；（3分） 第2题图② 第2题图③ C B A l 2 l 1 x y

二次函数和几何综合压轴题题型归纳

学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲 一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 课 题 函数的综合压轴题型归类 教学目标 1、 要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系 2、 掌握特殊图形面积的各种求法 重点、难点 1、 利用图形的性质找点 2、 分解图形求面积 教学内容

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴） （1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。 （2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得 AN MN BM ++之和最小。

一次函数与几何图形综合题

一次函数与几何图形 1、 平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点P 在直线y=-x-m 上，且AP=OP=4，则m 的值是多少？ 2、如图，已知点A 的坐标为（1，0），点B 在直线y=-x 上运动，当线段AB 最短时，试求点B 的坐标。 3、如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（15，6），直线y=1/3x+b 恰好将矩形OABC 分为面积相等的两部分，试求b 的值。 4、如图，在平面直角坐标系中，直线y= 2x —6与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点C 在x 轴上，若△ABC 是等腰三角形，试求点C 的坐标。 5、在平面直角坐标系中，已知A （1，4）、B （3，1），P 是坐标轴上一点，（1）当P 的坐标为多少时，AP+BP 取最小值，最小值为多少? 当P 的坐标为多少时，AP-BP 取最大值，最大

值为多少？ 6、如图，已知一次函数图像交正比例函数图像于第二象限的A点，交x轴于点B（-6，0），△AOB的面积为15，且AB=AO，求正比例函数和一次函数的解析式。 7、已知一次函数的图象经过点（2，20），它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的表达式。 8、正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB在x轴负半轴上，A 点的坐标是（-1，0）， （1）经过点C的直线y=-4x-16与x轴交于点E，求四边形AECD的面积； （2）若直线L经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线L的解析式。

9、在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(b 小于0）的图像分别与x 轴、y 轴和直线x=4交于A 、B 、C ，直线x=4与x 轴交于点D ，四边形OBCD 的面积为10，若A 的横坐标为-1/2，求此一次函数的关系式 10、在平面直角坐标系中,一个一次函数的图像过点B(-3,4),与y 轴交于点A ，且OA=OB ：求这个一次函数解析式 11、如图，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点P （2，m ）在第一象限，直线PA 交y 轴于点C （0，2），直线PB 交y 轴于点D ，S AOP =6. 求：（1）△COP 的面积 （2）求点A 的坐标及m 的值； （3）若S BOP =S DOP ，求直线BD 的解析式 12、一次函数y=- 3 3x+1的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第一象限内做等边△ABC

二次函数与几何综合--面积问题

二次函数与几何综合--面积问题 知识点睛 1.“函数与几何综合”问题的处理原则：_________________，__________________． 2.研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________ ． 2___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息． 3．二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积——铅垂法： ②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时，PQ ∥AB ．AB 平分PQ ． 例题示范例1：如图，抛物线y =ax 2+2ax -3a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C ，且OA =OC ，连接AC ． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值． （3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ， E ， F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的 点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 第一问：研究背景图形 【思路分析】 读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a ，可以求解A (-3，0)，B (1，0)，对称轴为直线x =-1；结合题中给出的OA =OC ，可得C (0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式． 再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形． 【过程示范】 解：（1）由2 23y ax ax a =+-(3)(1) a x x =+-可知(30)A -，，(10)B ，， ∵OA OC =， ∴(03)C -，， 将(03)C -，代入2 23y ax ax a =+-， 第二问：铅垂法求面积 【思路分析】 （1）整合信息，分析特征： 由所求的目标入手分析，目标为S △ACP 的最大值，分析A ，C 为定点，P 为动点且P 在1()2 APB B A S PM x x =??-△

浅说函数与几何综合题的解题策略及复习

浅说函数与几何综合题的解题策略及复习 Last revision on 21 December 2020

浅说函数与几何综合题的解题策略及复习 函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；这一特点在孝感市近三年的中考数学试卷中表现得尤为突出；如2001年的中考压轴题是以直角三角形为背景，揉合一次函数、相似形、直线与圆的位置关系等知识构成；2002年的中考压轴题是以矩形为背景，揉合轴对称、二次函数、几何证明等知识构成；2003年的压轴题是以二次函数为背景，揉合直角三角形的知识构成；因此，将函数知识与几何知识有机结合编制出综合题作为压轴题是我市中考命题的一大特点，也是今后中考命题的一大趋势； 函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点是：根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、四边形，特别是圆）（这类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题；本文特从2003年各地的中考试题中略选几例，谈一谈解决这类问题的策略和复习方法，以期达到抛砖引玉的目的。 一、函数与几何综合题例析 （一）“几函”问题： 1、线段与线段之间的函数关系： 由于这类试题的主要要素是几何图形，因此，在解决此类问题时首先要观察几何图形的特征，然后依据相关图形的性质（如直角三角形的性质、特殊四边形的性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的性质、圆的基本性质、圆中的比例线段等等）找出几何元素之间的联系，最后将它们的联系用数学式子表示出来，并整理成函数关系式，在此函数关系式的基础上再来解决其它的问题；解决此类问题时，要特别注意自变量的 取值范围。 例1 如图，AB是半圆的直径，O为圆心 AB=6，延长BA到F，使FA=AB，若P为线段 AF上的一个动点（不与A重合），过P点作半 圆的切线，切点为C，过B点作BE⊥PC交PC 的延长线于E，设AC=x，AC+BE=y，求y与x 的函数关系式及x的取值范围。（2003年山东省烟台市中考题）O

八年级数学一次函数与几何图形综合题专题训练

一次函数与几何图形综合题专题训练 1、直线y=-x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB (1) 求AC 的解析式； (2) 在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系， 并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的 值不变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。 2．如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。 (1)当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式； (2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。 第2题图① 第2题图②

(3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。 问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。 3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， （1）求直线2l 的解析式；（3分） （2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝ 第2题图③

八年级数学下《一次函数及几何综合》专题练习题.doc

2019-2020 年八年级数学下《一次函数与几何综合》专题练习题 1.如图，直线 l1的函数解析式为 y＝－ 3x＋3，且 l1与 x 轴交于点 D，直线 l2经过点 A，B，直线 l 1，l2交于点 C. (1)求点 D 的坐标； (2)求直线 l 2的函数解析式； (3)求△ADC 的面积； (4)在直线 l 2上存在异于点 C 的另一点 P，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点 P 的坐标． 1 2. 如图，直线 y＝2x＋6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，直线 y＝－2x＋1 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，两直线交于点 E，求 S△BDE和 S 四边形AODE . 4 3．如图，直线 y＝－3x＋8 分别交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交 x 轴、 y 轴于 C，D 两点． (1) 求点 C 的坐标； (2) 求直线 CE 的解析式； (3) 求△BCD 的面积．

4.如图，在平面直角坐标系中，点 A( －1，0)，B(0，3)，直线 BC 交坐标轴于 B，C两点，且∠ CBA ＝45°.求直线 BC 的解析式． 5.如图， A(0，4)，B(－4，0)，D(－2，0)，OE⊥AD 于点 F，交 AB 于点 E，BM ⊥OB 交 OE 的延长线于点 M. (1)求直线 AB 和直线 AD 的解析式； (2)求点 M 的坐标； (3)求点 E，F 的坐标． 6.如图，正方形 OBAC 中， O(0，0)，A( －2，2)，B，C 分别在 x 轴、 y 轴上， D(0，1)，CE⊥BD 交 BD 延长线于点 E，求点 E 的坐标． 1 7. 如图，在平面直角坐标系中，A(0 ，1)，B(3，2)，P 为 x 轴上一动点，则 PA＋PB 最小时点 P 的坐标为 ________．

(完整版)题型五二次函数与几何图形综合题

目录 题型五二次函数与几何图形综合题 (2) 类型一与特殊三角形形状有关 (2) 类型二与特殊四边形形状有关 (8) 类型三与三角形相似有关 (18) 类型四与图形面积函数关系式、最值有关 (23) 类型五与线段、周长最值有关 (29)

题型五二次函数与几何图形综合题 类型一与特殊三角形形状有关 针对演练 1. (’16原创)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为x=1,与y轴的交点第1题图C为（0,3），与x轴交于点A、B，顶点为D. （1）求抛物线的解析式； （2）求A、B、D的坐标，并确定四边形ABDC的面积； （3）点P是x轴上的动点，连接CP，若△CBP是等腰三角形，求点P的坐标. 2. （’15长沙模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点M（-2,3），顶点为N （-1, 43 3 ），与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C. （1）求抛物线解析式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点Q是抛物线对称轴上一点，当△QBC是直角三角形时，求点Q的坐标.

3. （’16原创）如图，抛物线y = -1 2 x2+mx+n与x轴交于点A、B两点，与y轴 交于点C，其对称轴与x轴的交点为D，已知A（-1,0），C（0,2）. （1）求抛物线的解析式； （2）判断△ACD的形状，并说明理由； （3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由. 4. 如图，已知二次函数L1:y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C. （1）写出A、B两点的坐标； （2）二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k≠0),顶点为P. ①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质； ②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由； ③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由.

一次函数与几何图形综合题10及答案(供参考)

1文档来源为: . 专题训练：一次函数与几何图形综合 1、直线y=-x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB (1) 求AC 的解析式； (2) 在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并 证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不 变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。 2．(本题满分12分)如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。 (1)当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式； (2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。 (3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。 问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。 3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， x y o B A C P Q x y o B A C P Q M 第2题图① 2题图② 题图③

2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. （1）求直线2l 的解析式；（3分） （2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF （3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。在 这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。（6分） 4.如图，在平面直角坐标系中，A (a ，0)，B (0，b )，且a 、 b 满足 . (1)求直线AB 的解析式； (2)若点M 为直线y =mx 上一点，且△ABM 是以AB 为底的等腰直角三角形，求m 值； (3)过A 点的直线交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为-1，过N 点的直线 交AP 于点M ，试证明的值为定值． 5.如图，直线AB ：y =-x -b 分别与x 、y 轴交于A （6，0）、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于C ，且OB ：OC=3：1。 （1）求直线BC 的解析式： （2）直线EF ：y =kx-k （k ≠0）交AB 于E ，交BC 于点F ，交x 轴于D ，是否存在这样的直线EF ，使得S △EBD =S △FBD ？若 存在，求出k 的值；若不存在，说明理由？ （3）如图，P 为A 点右侧x 轴上的一动点，以P 为直角顶点，BP 为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ ，连接QA 并延长交ｙ轴于点K ，当P 点运动时，K 点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。 C B A 0x y Q M P C B A x y

一次函数与几何综合 专题练习题 含答案

一次函数与几何综合专题练习题 1. 如图，直线l 1的函数解析式为y ＝－3x ＋3，且l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A ，B ，直线l 1，l 2交于点C. (1)求点D 的坐标； (2)求直线l 2的函数解析式； (3)求△ADC 的面积； (4)在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标． 2. 如图，直线y ＝2x ＋6与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线y ＝－12x ＋1与x 轴 交于点C ，与y 轴交于点D ，两直线交于点E ，求S △BDE 和S 四边形AODE . 3．如图，直线y ＝－43x ＋8分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分 别交x 轴、y 轴于C ，D 两点．

(1)求点C的坐标； (2)求直线CE的解析式； (3)求△BCD的面积． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B(0，3)，直线BC交坐标轴于B，C 两点，且∠CBA＝45°.求直线BC的解析式． 5. 如图，A(0，4)，B(－4，0)，D(－2，0)，OE⊥AD于点F，交AB于点E，BM⊥OB 交OE的延长线于点M. (1)求直线AB和直线AD的解析式； (2)求点M的坐标； (3)求点E，F的坐标． 6. 如图，正方形OBAC中，O(0，0)，A(－2，2)，B，C分别在x轴、y轴上，D(0，1)，CE⊥BD交BD延长线于点E，求点E的坐标．

7. 如图，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(3，12)，P 为x 轴上一动点，则PA ＋PB 最 小时点P 的坐标为________． 8. 如图，直线y ＝x ＋4与坐标轴交于点A ，B ，点C(－3，m)在直线AB 上，在y 轴上 找一点P ，使PA ＋PC 的值最小，求这个最小值及点P 的坐标．

(完整版)二次函数与几何图形综合题.doc

二次函数与几何图形综合题 类型 1二次函数与相似三角形的存在性问题 1． (2015 ·明西山区一模昆)如图，已知抛物线y＝ ax2＋bx＋ c(a≠0)经过 A(－ 1， 0)， B(4， 0)， C(0 ，2) 三点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)P 为线段 BC 上的一个动点，过P 作 PE 垂直于 x 轴与抛物线交于点 E，设 P 点横坐标为 m， PE 长度为 y，请写出 y 与 m 的函数关系式，并求出PE 的最大值； (3)D 为抛物线上一动点，是否存在点 D 使以 A、B、D 为顶点的三角形与△ COB 相似？若存在，试求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．

2． (2013 ·靖曲 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝ x＋ 4 与坐标轴分别交于A， B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－ x2＋ bx＋ c.点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CD⊥ x 轴于点 C，交抛物线于点 E. (1)求抛物线的解析式； (2)当 DE＝ 4 时，求四边形CAEB 的面积； (3)连接 BE，是否存在点 D ，使得△ DBE 和△ DAC 相似？若存在，求出 D 点坐标；若不存在，说明理由．

3．(2015 襄·阳 )边长为 2 的正方形O ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接 CD ，点 E 在第一象限，且DE⊥ DC ， DE ＝DC.以直线 AB 为对称轴的抛物线过C， E 两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 从点 C 出发，沿射线 CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点 P 作 PF ⊥ CD 于点 F .当 t 为何值时，以点P， F ，D 为顶点的三角形与△COD 相似？ (3)点 M 为直线 AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M， N，使得以点M，N， D， E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．