数学史九章算术

《九章算术》的主要内容及意义

《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。要注意的是《九章算术》没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的

应用数学，它的出现志

中国传统数学理论体系的形成。

内容

1.第一章“方田”

主要论述了各种平面几何图形面积的地亩面积算法及分数的运算法则。平面图形有方田——长方形田地、圭田——三角形田地、斜田——直角梯形田地、箕田——等腰梯形田地、圆田——圆形田地、弧田——弓形田地、环田——圆环或环缺形田地的面积算法。分数运算法则包括约分术——约分与通分、合分术——分数加法、减分术——分数减法、课分术——两个分数的大小比较、平分术——求

几个分数的算数平均、

乘分术——分数乘法、经分术——分数除法、大广田术——带分数除法。

2. 第二章“粟米”

该章主要论述了20种粮食及其成品如稻、米、麦、面等之间的兑换比率及四项比例算法。四项比例算法当时称为“今有术”，其计算方法是：所求数=（所有数×所求率）/所有率，这里，所求率、所有率、所有数与所求数是比例算法的四个专用名词。例：已知麦与米的比率是3:2，现有麦60斤，问能兑换大米多少斤？

所有率是麦子的比率3，所求率是大米的比率2，所有数是是已有麦子的斤数，

所求数就是欲求的大米斤数，

所以能兑换大米的斤数=（60×2）÷3=40（斤）

3. 第三章“衰分”

主要论述分配比例算法，其中问题多与商业、手工业及社会制度有关。

例：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士五人，共借得五鹿，欲以爵次分之，问个几何？”

大夫、不更、簪褭、上造、公士是五种官爵，其分配原则是“位高者多得，位卑者少得”，故按大夫5、不更4、簪褭3、上造2、公士1的比率分配所以

大夫得5÷（1+2+3+4+5）×5=53 (头) 不更得4÷（1+2+3+4+5）×5=4

3

(头)

簪褭得3÷（1+2+3+4+5）×5=1(头) 上造得5÷（1+2+3+4+5）×5=23 (头) 公士得5÷（1+2+3+4+5）×5=13 (头)

4. 第四章“少广”

主要成就包括开平方、开立方的算法。用来求已知面积、体积，反求

其一

边和径长等。

5. 第五章“商功”

主要论述各种立体图形的体积算法，其中包括柱、锥、台、球体等内容涉及筑城、修堤、开渠粮垛等施工方面的计算问题。

6.第六章“均输”

主要论述较为复杂的配方比例问题，其中最引人注目的是“均输数”。主要解决按人口多少、路途远近、谷物贵贱等条件，平均缴纳赋税或摊派徭役等实际问题，这很类似于条件极值问题。

7.第七章“盈不足”

主要论述盈亏问题的解法。

盈不足的典型问题是：若干人共买一物，若每人出2b 钱，则多出1b 钱；若每人出2a （1a <2a ）钱，则又不足2b 钱，求人数与物价，《九章算术》给出的方法相当于公式：人数=（1b +2b ）/(1a -2a )

物价=（1a 2b +2

a 1

b ）/(1a -2a )

这一方法除了对于线性问题给出精确的解外，也为非线性问题提供了一个有效的近似解法。

8.第八章“方程”

主要研究线性方程组的解法，其基本思想是消元。在解方程组时，将方程组的系数（包括常数）分离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的方法消元。这一思想方法在数学发展史上是非常重要的，在西方被称为“高斯消去法”。

例：上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，，共出粮三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，，共出粮三十四斗；上等禾谷一捆，中等禾谷二捆，下等禾谷三捆，，共出粮二十六斗。问上中下等禾谷每捆出粮各多少？

设上、中、下等禾谷每捆出粮分别为x 、y 、z 斗，则有 《九章算术》给出的表示方法相等于下列矩阵

《九章算术》给出的表示方法相等于下列矩阵

1233-22323112634

39⎛⎫ ⎪ ⎪

⨯⨯ ⎪−−−−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

中列右列1033-2523112624

39⎛

⎫ ⎪ ⎪

⨯ ⎪−−−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

左列右列

0030035-43645205281136

113924

399924

39⎛

⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

⎪

⨯⨯ ⎪ ⎪−−−−−−−−→−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

左列中列左列各数除以，并逐步向右代入相消得

00101010031

14924

4

4

⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

即上等禾谷每捆出粮423

斗，中等禾谷每捆出粮144

斗，下等禾谷每捆出粮3

24

斗。

该章的另一个重点就是对负数的概念、运算进行了研究。在解方程的过

程中，由于无法回避被减数小于减数的情况出现，所以《九章算术》提出了“以正负数入之”，即引入负数及其运算法则：

“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”

即两数相减时，同号则绝对值相减，异号则绝对值相加，正数减零为负数，负数减零为正数；两数相加时，同号则绝对值相加，异号则绝对值相减，正数加零为正数，负数加零为负数。

9. 第九章“勾股”

主要讨论有关勾股问题的解法，并论及简单的勾股测量。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式：若a 、b 、c 分别是勾股形的勾、股、弦，则，m>n 。

意义

《九章算术》是我国流传至今最早的数学专著之一，是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，它成书于我国汉代，距今1900年。分数四则运算遥遥领先于世界各国，在欧洲直到16到17世纪才有人总结出类似于《九章算术》的运算法则；求两数最大公约数的“更相减损术”与西方“欧几里得算法”相同；被文艺复兴时期欧洲人誉为黄金法则的印度三率法其实就是《九章算术》中的今有术；开平方、开立方法领先于世

界1400到1500年，在国外到19世纪才由中亚数学家阿尔卡西提出开方步骤，在欧洲则更迟；“盈不足术”在世界上也是首创，中世纪被欧主人视为算术问题的万能解法；负数概念及有理数运算则也是前无古人的，在印度直到《九章算术》600年后才承认负数，欧洲人论述负数是《九章算术》1500年以后的事了；一元方程组的消元法在国外成为“高斯消元法”，而高斯解一次方程组是19世纪的事；几何体求体积方面的成就也是处于世界领先地位。所以就其数学成就来说，可以说是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术、开平方和开立方（包括二次方程数值解法）、盈不足术、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法（特别是勾股定理和求勾股数的方法）等，水平都很高。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上遥遥领先。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。

《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等。

这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期，一切科学技术都要为当时确定和巩固封建制度，以及发展社会生产服务，强调数学的应用性。最后成书于东汉初年的《九章算术》，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时成产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的。

《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作。其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。

《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。

所以，《九章算术》是中国为数学发展做出的一杰出贡献。

参考文献

[1]朱家生.数学史[M].北京：高等教育出版社，2004.

九章算术--新九章数学教育

九章算术刻本《九章算术》是中国汉族学者在古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。要注意的是《九章算术》没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。 目录 简介 主要内容 主要特点 数学成就 历史考证 后世影响 历史影响 简介 《九章算术》是中国古代数学专著，是《算经十书》(汉唐之间出现的十部古算书)中最重要的一种。魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近语也”。《九章算术》 根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补。最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在东汉后期已经基本定型。《汉书艺文志》(班固根据刘歆《七略》写成者)中着录的数学书仅有《许商算术》、《杜忠算术》两种，并无《九章算术》，可见《九章算术》的出现要晚于《七略》。《后汉书马援传》载其侄孙马续“博览群书，善《九章算术》”，马续是公元1世纪最后二、三十年时人。再根据《九章算术》中可供判定年代的官名、地名等来推断，现传本《九章算术》的成书年代大约是在公元1世纪的下半叶。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。1984年，《九章算术》 在湖北出土了《算数书》书简。据考证，它比《九章算术》要早一个半世纪以上，书中有些内容和《九章算术》非常相似，一些内容的文句也基本相同。有人推测两书具有某些继承关系，但也有不同的看法认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学，许多人曾为它作过注释。其中最著名的有刘徽(263)、李淳风(656)等人。刘、李等人的注释和《九章算术》一起流传至今。唐宋两代，《九章算术》都由国家明令规定为教科书。到了北宋，《九章算术》还曾由政府进行过刊刻(1084)，这是世界上最早的印刷本数学书。在现传本《九章算术》中，最早的版本乃是上述北宋本的南宋翻刻本(1213)，现藏于上海图书馆(孤本，残，只余前五卷)。清代戴震由《永乐大典》中抄出《九章算术》全书，并作了校勘。此后的《四库全书》本、武英殿聚珍本、孔继涵刻的《算经十书》本(1773)等，大多数都是以戴校本为底本的。作为一部世界科学名著，《九章算术》在隋唐时期即已传入朝鲜、日本。现在，它已被译成日、俄、德、法等多种文字。 编辑本段主要内容 《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、《九章算术》 生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没

九章算术

九章算术

九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》(汉唐之间出现的十部古算书)中最重要的一种。魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近语也”。 根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补。最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在东汉后期已经基本定型。《汉书艺文志》(班固根据刘歆《七略》写成者)中着录的数学书仅有《许商算术》、《杜忠算术》两种，并无《九章算术》，可见《九章算术》的出现要晚于《七略》。《后汉书马援传》载其侄孙马续“博览群书，善《九章算术》”，马续是公元1世纪最后二、三十年时人。再根据《九章算术》中可供判定年代的官名、地名等来推断，现传本《九章算术》的成书年代大约是在公元1世纪的下半叶。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。 1984年，在湖北出土了《算数书》书简。据考证，它比《九章算术》要早一个半世纪以上，书中有些内容和《九章算术》非常相似，一些内容的文句也基本相同。有人推测两书具有某些继承关系，但也有不同的看法认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。 后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学，许多人曾为它作过注释。其中最著名的有刘徽(263)、李淳风(656)等人。刘、李等人的注释和《九章算术》一起流传至今。唐宋两代，《九章算术》都由国家明令规定为教科书。到了北宋，《九章算术》还曾由政府进行过刊刻(1084)，这是世界上最早的印刷本数学书。在现传本《九章算术》中，最早的版本乃是上述北宋本的南宋翻刻本(1213)，现藏于上海图书馆(孤本，残，只余前五卷)。清代戴震由《永乐大典》中抄出《九章算术》全书，并作了校勘。此后的《四库全书》本、武英殿聚珍本、孔继涵刻的《算经十书》本(1773)等，大多数都是以戴校本为底本的。 作为一部世界数学名著，《九章算术》在隋唐时期即已传入朝鲜、日本。它已被译成日、俄、德、法等多种文字版本。 主要内容 《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下所示。原作有插图，今传本已只剩下正文了。

《九章算术》的主要内容

《九章算术》的主要内容 《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股。共九章如下所示。原作有插图，今传本已只剩下正文了。 《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章。它们的主要内容分别是： 第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。另外还系统地讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法。 第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术； 第三章“衰分”：比例分配问题。 第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；介绍了开平方、开立方的方法。 第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法； 第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。 第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。 第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术---正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与当时的社会

小学数学教材中的《九章算术》(全文)

小学数学教材中的《九章算术》 (全文) 一、《九章算术》简介 《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，也是世界数学史上极为珍贵的古典文献。它总结了秦汉以前我国在数学领域的辉煌成就，开创了独具一格的理论体系，它的成书标志着中国传统数学理论体系的形成。该书的和成书年代据考证至迟在公元前1世纪。[12-14] 现传本《九章算术》包括246道数学问题，按性质分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、句股九章，故称为《九章算术》。全书采用问题集的形式，书中每道题都有问、有答、有术（解题的思想方法、公式、法则），有的一题一术，有的一题多术，有的多题一术。其内容与当时或更早的社会生产、经济、政治等都有密切联系，许多社会问题在书中都有反映。[14] 《九章算术》的成书标志着中国传统数学理论体系的形成，公元656年，李淳风受诏负责编撰“算经十书”作为国学的标准数学教科书，[12]其中就包括《九章算术》。 正是由于《九章算术》在我国数学史上的重要地位及其影响，三种版本的教材均用了较多的篇幅介绍与教学内容有关的《九章算术》史料。 二、小学数学教材中的《九章算术》史料 以下分别是人教版、苏教版以及北师大版小学数学教材中关于《九章算术》的内容及呈现形式[2-11]（表1）：

由以上统计可以看出，《九章算术》史料在三种版本教材中均是占篇幅最多且介绍最详细的，只是根据各自教学内容的差异，教材选择具体介绍的史料也有所不同，但三种版本均选择了“负数”进行介绍，以下便以此为例加以说明。 三、负数 人教版（如图1）是在六年级下册学习第一章“负数”的过程中以“你知道吗”的形式介绍这一史料的，除介绍《九章算术》的“负数”外，教材还同时介绍了负数在国外的发展；苏教版（如图2）则是在五年级上册第一章“认识负数”的学习任务结束时以“你知道吗”的形式介绍这一史料的，且除介绍了《九章算术》中的“负数”外，教材还介绍了刘徽《注》对“负数”作的注解；而北师大版（如图3）是在四年级上册第七章“生活中的负数”的学习任务结束时以“你知道吗”的形式介绍这一史料的，其关于《九章算术》“负数”的文字介绍与苏教版相似，但没有数学家刘徽关于“负数”概念的解释，同时也没有图片。 关于负数，《九章算术》在第八卷“方程”是这样介绍的：正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。刘徽对此作了这样的注释：今两算得失相反，要令正负以名之；正算赤，负算黑，否则以邪正为异。[15]即两数相减，同号则绝对值相减，异号则绝对值相加，零减正数为负数，零减负数为正数；两数相加，异号则绝对值相减，同号则绝对值相加，正数加零是正数，负数加零是负数。刘徽注释为：正负是两种“得失相反”情况的反映，用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，或者用正、斜排列的方式分别表示正、负数。 由以上介绍可以看出三种版本都介绍了《九章算术》用红色算筹表示正数，用黑色算筹表示负数的方法。只是对于其运算律

九章算术介绍

阅读材料一 1、《几何原本》的基本内容、特点和意义 ● 《原本》产生的背景 在早期的数学中，我们可以看到两种不同的也是基本的数学思想的体现： 演绎的公理化体系和构造的算法体系。《几何原本》和《九章算术》就是这两种思想的代表。 ● 演绎的公理化体系 演绎的公理化体系是从有限的不加证明公理和定义出发，通过严格的逻辑推理推演出所有其他命题的一个有序的理论整体。《几何原本》是历史上最早建立的演绎的公理化的体系。约公元前300年，古希腊数学家欧几里得（Eucild）将希腊当时最为发达的数学---几何用公理化的思想和严格的演绎推理的逻辑方法整理在一个体系之中。《几何原本》的原名为《原本》（“Elements”），17世纪初，翻译成中文时冠以《几何原本》沿用至今。 《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，它是对欧几里得之前希腊数学的一个总结。 欧几里得《几何原本》的出现，是数学史上一个伟大的里程碑，它不仅是几何学建立的标志，同时也是公理体系在具体学科中应用成功的标志。

● 基本内容 欧几里得的《几何原本》是一本极具生命力的经典著作。全书共十三卷，总共有475个命题（包括5个公设（Postulate）和5个公理（Axiom）。除几何外，还包括初等数论，比例理论等内容。 第一篇有5个公设、5个公理和48个命题，讨论全等形，平行线，毕达哥拉斯（Pythagoras）定理（即勾股定理），初等作图法，等价形（有等面积的图形）和平行四边形。所有图形都是由直线段组成的。 欧几里得在这篇中给出了23个定义，提出了点、线、面、圆和平行线等概念。接着是五个公设： （I）从任意一点到任意一点可作直线。 （II）有限直线可以继续延长。 （III）以任意一点为中心及任意的距离（为半径）可以画圆。 （IV）所有直角都相等。 （V）同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。 其中第五个公设称为欧几里得平行公设，简称第五公设。公设之后是五个公理： （I）和同一量相等的诸量彼此相等。

九章算术

九章算术 与希腊数学的发展同步，中国数学也有了长足的进步、一系列的数学思想和著作开始流传，到了西汉时代的《九章算术》，标志着中国数学已逐渐形成体系、流传至今的最早的数学思想，当推墨经中的几何学与逻辑学的表达、《庄子》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，蕴涵了无限的数学思想、到公元前两百年，已有数学著作流传、1984年在湖北江陵张家山出土的《算数书》竹简，总字数约7000余，有60余小标题，如“方田”，“税田”，“金价”，“合分”，“约分”，“少广”，“程禾”，“贾盐”等等，涉及面积计算、开方、分数运算等、由于全部竹简尚未公开，其内涵有待进一步研究，与《算数书》几乎同时的还有《周髀算经》，涉及天文学上的分数运算、比例、等差级数等问题，而以勾股定理的论述最为重要、此后还有《淮南子》，《三统历》、《许商算术》、《杜忠算术》等著作，涉及数学问题、而集大成的，就是《九章算术》，就其内容和标题来分折，它是《算数书》的继续与发展、 现传本《九章算术》成书于何时，目前众说纷纭，多数认为在西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后、《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术、这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下表所示、 《九章算术》的作者不详、很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶、由于二千年来经过辗转手抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释，其中重要的有： 三国时曹魏刘徽注，唐朝李淳风注，南宋杨辉著《详解九章算法》选用《九章算术》中80道典型的题作过详解并分类，清李潢(？～1811年)所著《九章算术细草图说》对《九章算术》进行了校订、列算草、补插图、加说明、现代钱宝琮(1892～1974年)曾对包括《九章算术》在内的《算经十书》进行了校点，用通俗语言、近代数学术语对《九章算术》及刘、李注文详加注释、80年代以来，今人白尚恕、郭书春、李继闵等都有校注本出版、 现将《九章算术》的主要内容，按算术、代数和几何三部分概要介绍如下：

数学巨著《九章算术》

数学巨著《九章算术》 谈到中国数学史。谁都会盛赞《九章算术》这部数学巨著。 公元前221年，秦始皇结束了长达5个多世纪的兼并、征战局面，建立起我国第一个统一的中央集权的封建主义国家。自秦至西汉前期，新兴的地主阶级奖励耕织，兴修水利，重视冶炼，建筑长城。在生产的推动下，科学技术获得了巨大的发展。西汉前期，从汉高祖到汉武帝，都注意劝民农桑，进一步发展为地主阶级服务的生产和科学技术。《九章算术》就是在这种历史条件下编成的。 这部巨著是我国古代数学知识的全面总结。全书收集了实际的数学问题共246个，分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等9章，所以定名为《九章算术》。“方田章”讲述四亩面积的计算，结合这种需要，系统地介绍了分数的加、减、乘、除四则运算，化带分数为假分数，以及求几个分母的最小公倍数的方法。根据现有的史料，《九章算术》是世界上最早记载分数运算法则的文献。欧洲人到15世纪才掌握这些法则。 “粟米章”研究各类粮食的交换。“衰分章”、“均用章”讨论按比例分配赋税与徭役。“盈不足章”根据两次假设所得出的盈余或不足，来推算问题的答案，它是我国古代数学的又一项创造，后来欧洲人就把它叫做“中国算法”。

“少广章”介绍筹算开平方与开立方，其中也包含了分数的内容。“商功章”专门解决筑城、开渠等土木工程中所提出的各种体积计算问题。“勾股章”论述勾股定理和相似的直角三角形。并且提出了二次方程的筹算解法，这是世界上运用一定的算法求解二次方程的最早记录。 “方程章”详细地研究了一次方程组的解法，引进了正负数的概念及其加减运算法则，这是我国古代数学中两项非常杰出的成就。在这一章里，共收集了18道实际的多元一次方程组的问题。例如，其中第一题为：“今有上禾三秉（古代容量单位），中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉、中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾一秉各几何？”如果用现在的方法，设上、中、下禾一秉分别为x斗、y斗、z 斗，那么可以得到方程组 我国古代解这类问题的方法(叫做“方程术”)是把方程各 未知数的系数与常数项用算筹依次按“直行”排成一个 “方程组。”这道题的“方程组”如下： 然后通过行的数乘与行、行之间的加减，逐个消去未知数，得到“方程组”的解。这些思想及形式，可以无愧地称之为近代高等代数中“矩阵”概念和“线性方程组矩阵解法” 的先声。

数学史九章算术

《九章算术》的主要内容及意义 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。要注意的是《九章算术》没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的 应用数学，它的出现志 中国传统数学理论体系的形成。 内容 1.第一章“方田” 主要论述了各种平面几何图形面积的地亩面积算法及分数的运算法则。平面图形有方田——长方形田地、圭田——三角形田地、斜田——直角梯形田地、箕田——等腰梯形田地、圆田——圆形田地、弧田——弓形田地、环田——圆环或环缺形田地的面积算法。分数运算法则包括约分术——约分与通分、合分术——分数加法、减分术——分数减法、课分术——两个分数的大小比较、平分术——求 几个分数的算数平均、 乘分术——分数乘法、经分术——分数除法、大广田术——带分数除法。 2. 第二章“粟米” 该章主要论述了20种粮食及其成品如稻、米、麦、面等之间的兑换比率及四项比例算法。四项比例算法当时称为“今有术”，其计算方法是：所求数=（所有数×所求率）/所有率，这里，所求率、所有率、所有数与所求数是比例算法的四个专用名词。例：已知麦与米的比率是3:2，现有麦60斤，问能兑换大米多少斤？ 所有率是麦子的比率3，所求率是大米的比率2，所有数是是已有麦子的斤数， 所求数就是欲求的大米斤数， 所以能兑换大米的斤数=（60×2）÷3=40（斤） 3. 第三章“衰分” 主要论述分配比例算法，其中问题多与商业、手工业及社会制度有关。 例：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士五人，共借得五鹿，欲以爵次分之，问个几何？” 大夫、不更、簪褭、上造、公士是五种官爵，其分配原则是“位高者多得，位卑者少得”，故按大夫5、不更4、簪褭3、上造2、公士1的比率分配所以

九章算术简介

九章算术 概述： 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。该书经多次增补，成书时间已不可考，但据估算最迟在公元一世纪已有了现传本。许多人曾为它作过注释，其中不乏历史上的数学名人，最著名的有刘徽（公元263年）、李淳风（公元656年)........要注意的是《九章算术》没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。 《九章算术》的主要内容: 《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音c ui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下所示。原作有插图，今传本已只剩下正文了。 《九章算术》的九章的主要内容分别是： 第一章“方田”：田亩面积计算； 第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换； 第三章“衰分”：比例分配问题； 第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边长和径长等； 第五章“商功”：土石工程、体积计算； 第六章“均输”：合理摊派赋税； 第七章“盈不足”：即双设法问题； 第八章“方程”：一次方程组问题； 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题． 《九章算术》的数学成就 《九章算术》中的数学成就是多方面的： (1)、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，在第二、三、六章中有许多比例问题，在世界上也是比较早的。“盈不足”算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的． (2)、在几何方面，主要是面积、体积计算。

《九章算术》概述

《九章算术》概述 《九章算术》是中国古代数学专著，是“算经十书”中最重要的一本。《九章算术》上承先秦数学发展之源流，入汉之后又经许多学者的整理、增删和修订，大约于东汉初年（公元1世纪）成书，是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成。后世的古代数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学的。许多人曾为它作过注释，其中比较著名的是刘徽（于公元263年）、李淳风（于公元656年）等人所作的注释。唐宋两代都由国家指定为教科书。公元1084年由当时的北宋朝廷进行刊印，是世界上最早的印刷版数学书。《九章算术》在隋唐时期就已传入朝鲜、日本．现在它已被译成日、俄、德、英、法等多种文字。 《九章算术》收录246个数学问题，分为九章。它们的主要内容分别是：第一章“方田”，研究田亩面积计算；第二章“粟米”，研究谷物粮食的按比例折换；第三章“衰分”，研究比例分配问题；第四章“少广”，已知面积、体积、求其一边长和径长等；第五章“商功”，研究土石工程、体积计算；第六章“均输”，研究合理摊派赋税；第七章“盈不足”，即双设法问题；第八章“方程”，研究一次方程组问题；第九章“勾股”，利用勾股定理求解。 《九章算术》的数学成就： （1）提出分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则，比欧洲早1400多年； （2）提出整套的比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法； （3）介绍了开平方、开立方的方法，其解题程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则，它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础； （4）采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵表示法。解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到17世纪才提出完整的线性方程的解法法则； （5）引进和使用了负数，并提出了正负数的加减法则，与现今代数法则完全相同；解线性方程组时还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪才认识负数。 （6）提出了勾股数问题的通解公式。在西方直到3世纪才取得相近的结果，比《九章算术》晚了约3个世纪； （7）提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式。

九章算术的内容

九章算术的内容 《九章算术》是中国历史上最为优秀的数学著作之一，其内容涉及许多数学术语，如乘除法、立方根计算等，也是为中国古代数学思想发展做出了杰出贡献的著作。 《九章算术》由九章组成，每一章专注于一个特定的数学主题，以下分别介绍： 第一章：算术全书 本章讨论的是算术的基础，关注数字和运算符之间的关系，以及如何利用这些关系来解决问题。 第二章：立方根计算 本章介绍了立方根计算方法，包括求立方根的数学算法，以及如何使用这些算法来解决问题。 第三章：乘除法 本章介绍了乘除法，包括如何进行乘除法和被乘除数的形式，乘除法的规律与特性，以及乘除法的应用问题。 第四章：折扣计算 本章讨论的是折扣计算，涉及折扣的定义、计算和应用，以及如何使用折扣来解决问题。 第五章：测量 本章介绍了测量的基本原理，如比例和比较法，以及如何用这些原理来解决问题。 第六章：无量数计算

本章讨论的是无量数计算，涉及无量数定义、计算和应用，以及如何使用无量数来解决问题。 第七章：代数 本章介绍了代数的基本原理，如有理数，代数分析和多项式，以及如何使用这些原理来解决问题。 第八章：几何 本章介绍了几何的基本原理，如直线、圆和平面，以及如何用这些原理来解决问题。 第九章：概率 本章讨论的是概率的基本原理，如事件概率和独立概率，以及如何使用这些原理来解决问题。 《九章算术》是中国古代数学思想发展的重要著作，它是通过大量实践而形成的，也有利于理论的发展。在《九章算术》中，数学家们以清晰、精确的语言来阐述数学思想，并以实例的解释和精确的演算来加以说明。 《九章算术》的内容是集合数学、代数学、几何学、抽象代数学和概率理论等学科的总结和综合，基本上可以称之为古代中国的《现代数学入门》，是研究中国古代数学思想发展的重要资料。 《九章算术》的贡献在于它把古代中国有关数学思想的研究方法总结成一本综合性的算术手册，不仅受到了当时的赞誉，也为后人学习和研究古代中国数学思想提供了巨大的帮助。 因此，《九章算术》对中国数学思想发展史具有重要意义，它不

九章算术古代数学的精华之作

九章算术古代数学的精华之作九章算术是中国古代数学的重要著作之一，其内容广泛涉及数学中 的四则运算、方程求解、幂次运算等，被誉为古代数学的精华之作。 本文将深入探讨九章算术的历史背景、内容特点以及对后世的影响。 一、历史背景 九章算术是中国古代数学的代表之一，成书于西汉初年。当时，古 代中国正处于秦汉之际，国家制度逐渐稳定，经济生活繁荣，科学技 术也取得了巨大的发展。九章算术的问世，为古代数学的繁荣奠定了 基础。 二、内容特点 1. 四则运算：九章算术将四则运算作为数学的基础，包括加减乘除 四种运算。它通过列式、竖式等方法，系统地总结了运算规则与方法，并提出了“加减混合法”和“乘除混合法”等解题技巧，使四则运算变得更加简便快捷。 2. 方程求解：九章算术中对方程求解进行了深入研究。其中最具代 表性的是“方程两等式法”，通过分别列等式、设置未知量等步骤，将 方程的解法系统化，为后世的代数学研究奠定了基础。 3. 幂次运算：九章算术对幂次运算进行了全面的总结和归纳，为后 来的数学发展做出了重要贡献。它提出了幂运算的法则与性质，并运 用这些法则解决了幂次方程问题，拓展了数学的研究领域。

三、对后世的影响 九章算术不仅在古代中国有着巨大的影响力，也对世界数学史产生了重要的影响。 1. 扩展数学领域：九章算术在四则运算、方程求解、幂次运算等方面的系统总结和归纳，为后世的数学研究提供了重要基础。它不仅丰富了数学体系，也为后来的代数学、解析几何学等学科的发展打下了坚实的基础。 2. 传播与影响：九章算术在古代中国广泛流传，成为教育的重要内容。同时，随着中国文化的传播，九章算术也通过丝绸之路传入了西方。它的影响力可以追溯到千年后，成为中西方数学交流的桥梁。 3. 激发学者研究兴趣：九章算术的精确性和系统性激发了众多学者对数学研究的兴趣。他们基于九章算术的基础，进行了深入的研究与发展，推动了数学理论的不断进步。 综上所述，九章算术作为古代数学的精华之作，在中国古代数学史和世界数学史上都具有重要地位。它的系统性总结与归纳，为后世数学研究提供了重要的基础与思路，对于推动数学的发展与繁荣起到了积极的作用。

《九章算术》原文

《九章算术》原文 它是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。

作者：张苍、耿寿昌、刘徽 刘徽（约225年—约295年），汉族，山东滨州邹平市人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。他虽然地位低下，但人格高尚。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。

全文内容较多，本文仅摘选第一卷内容展示。 序 昔在庖犠氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之数，以合六爻之变。暨于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，协律吕，用稽道原，然后两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数，其详未之闻也。按周公制礼而有九数，九数之流，则《九章》是矣。往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。徽幼习《九章》，长再详览。观陰陽之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本榦知，发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。且算在六艺，古者以宾兴贤能，教习国子；虽曰九数，其能穷纤入微，探测无方；至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共，非特难为也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳。《周官·大司徒》职，夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸，谓之地中。说云，南戴日下万五千里。夫云尔者，以术推之。案：《九章》立四表望远及因木望山之术，皆端旁互见，无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以博尽群数也。徽寻九数有重差之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差、句股，则必以重差为率，故曰重差也。立两表于洛陽之城，令高八尺，南北各尽平地。同日度其正中之时。以景差为法，表高乘表间为实，实如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股，为之求弦，即日去人也。以径寸之筒南望日，日满筒空，则定筒之长短以为股率，以筒径为句率，日去人之数为大股，大股之句即日径也。虽夫圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉。徽以为今之史籍且略举天地之物，考论厥数，载之于志，以阐世术之美，辄造《重差》，并为注解，以究古人之意，缀于句股之下。度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不

九章算术的主要内容

九章算术的主要内容 《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，该书共九章，篇幅较为详细，内容包括整数、分数、方程、几何学等多个方面。在中国古代数学发展史上具有重要的地位，不仅对中国古代数学的研究有较大地推动作用，也对数学史研究有一定的价值。 第一章为“方程”，讨论一元二次方程、二元一次方程等的解法。第二章为“为多设方”，解决了多元方程组的问题，包括几何问题和商业问题。第三章为“尺规作图”，讲述几何作图知识，包括平分角、作正方形等。 第四章为“检释方程”，介绍了方程根的概念，并通过实例说明了解二次方程的公式的计算方法，着重考虑到符号问题，并将数学符号化的初步工作已经体现。第五章为“释方程”，主要关注除方、截方等求式方法，包括负数的表示方法、分数的计算等。 第六章为“省广义”，扩展了原来二次方程根的计算方法，提出了“愚人捷径”——用最大的平方数来分拆，使得分解后的两个 数差最小，而且只用变号加减。第七章为“杂项”，囊括了诸如 勾股定理和证明两平方等于和差平方等几何问题。第八章为“五经解数术”，介绍了《孙子算经》、《周髀算经》等古代算 学文献中的数学方法。 最后一章为“分数”，着重介绍了分数的计算方法，以及混合数字的运算，加减乘除等。此外，本书介绍了计算平方、根号等

数学运算方法，还提出了许多实际问题的解决方法，如商业计算、土地面积计算等。 总之，《九章算术》集中体现了中国古代数学家的智慧与才能，对后世学者影响深远，它是古代数学研究与教学的经典著作之一。其思想和方法论，对现代数学的发展和研究有着深远的影响，是我们在学习和研究数学的历程中不可缺少的珍贵文献。九章算术是在中国古代的汉朝时期编写完成的，该时期是中国历史上文化与科技发展的黄金时期，也是我国在各个领域进行了大量发展的时期。汉朝是我国发展最为快速的一个朝代，社会经济、文化思想也积极开展，这些因素促进了古代中国的数学知识的发展。 在整个汉代历史中，文化和科技的发展逐渐成为重要的方向，为数千年后的中国文化和科技做出了巨大的贡献。汉代的医学、法律、农业等方面得到了很大的发展。此外，它也是中国古代最为富庶的时期之一，商业与手工业主要是以家庭为基础的手工业制成，城市也逐渐发展，商品交流日益繁荣。 九章算术的著作时间是在汉朝最为灿烂的时期，这一时期的社会环境下出现了许多优秀的著作。汉朝的数学研究及其成果都是在其它领域繁荣的大背景下诞生的。依赖于秦朝制订的统一法律和度量衡制度，汉朝始制定了一套全国范围内的法律规范和度量衡制度，这直接推动了数学知识的发展和应用。 九章算术的经典著作在中国古代数学史上具有至关重要的地位。本书的编纂出版，促进了数学知识体系的形成，与中国古代数

(2021年整理)九章算术--新九章数学教育

（完整）九章算术--新九章数学教育 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）九章算术--新九章数学教育）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）九章算术--新九章数学教育的全部内容。

九章算术刻本《九章算术》是中国汉族学者在古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。要注意的是《九章算术》没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系. 目录 简介 主要内容 主要特点 数学成就 历史考证 后世影响 历史影响 简介 《九章算术》是中国古代数学专著，是《算经十书》(汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种。魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异,而所论多近语也". 《九章算术》 根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补。最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在东汉后期已经基本定型。《汉书艺文志》（班固根据刘歆《七略》写成者）中着录的数学书仅有《许商算术》、《杜忠算术》两种，并无《九章算术》,可见《九章算术》的出现要晚于《七略》。《后汉书马援传》载其侄孙马续“博览群书，善《九章算术》”，马续是公元1世纪最后二、三