小学数学教材中的《九章算术》(全文)

小学数学教材中的《九章算术》

(全文)

一、《九章算术》简介

《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，也是世界数学史上极为珍贵的古典文献。它总结了秦汉以前我国在数学领域的辉煌成就，开创了独具一格的理论体系，它的成书标志着中国传统数学理论体系的形成。该书的和成书年代据考证至迟在公元前1世纪。[12-14]

现传本《九章算术》包括246道数学问题，按性质分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、句股九章，故称为《九章算术》。全书采用问题集的形式，书中每道题都有问、有答、有术（解题的思想方法、公式、法则），有的一题一术，有的一题多术，有的多题一术。其内容与当时或更早的社会生产、经济、政治等都有密切联系，许多社会问题在书中都有反映。[14]

《九章算术》的成书标志着中国传统数学理论体系的形成，公元656年，李淳风受诏负责编撰“算经十书”作为国学的标准数学教科书，[12]其中就包括《九章算术》。

正是由于《九章算术》在我国数学史上的重要地位及其影响，三种版本的教材均用了较多的篇幅介绍与教学内容有关的《九章算术》史料。

二、小学数学教材中的《九章算术》史料

以下分别是人教版、苏教版以及北师大版小学数学教材中关于《九章算术》的内容及呈现形式[2-11]（表1）：

由以上统计可以看出，《九章算术》史料在三种版本教材中均是占篇幅最多且介绍最详细的，只是根据各自教学内容的差异，教材选择具体介绍的史料也有所不同，但三种版本均选择了“负数”进行介绍，以下便以此为例加以说明。

三、负数

人教版（如图1）是在六年级下册学习第一章“负数”的过程中以“你知道吗”的形式介绍这一史料的，除介绍《九章算术》的“负数”外，教材还同时介绍了负数在国外的发展；苏教版（如图2）则是在五年级上册第一章“认识负数”的学习任务结束时以“你知道吗”的形式介绍这一史料的，且除介绍了《九章算术》中的“负数”外，教材还介绍了刘徽《注》对“负数”作的注解；而北师大版（如图3）是在四年级上册第七章“生活中的负数”的学习任务结束时以“你知道吗”的形式介绍这一史料的，其关于《九章算术》“负数”的文字介绍与苏教版相似，但没有数学家刘徽关于“负数”概念的解释，同时也没有图片。

关于负数，《九章算术》在第八卷“方程”是这样介绍的：正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。刘徽对此作了这样的注释：今两算得失相反，要令正负以名之；正算赤，负算黑，否则以邪正为异。[15]即两数相减，同号则绝对值相减，异号则绝对值相加，零减正数为负数，零减负数为正数；两数相加，异号则绝对值相减，同号则绝对值相加，正数加零是正数，负数加零是负数。刘徽注释为：正负是两种“得失相反”情况的反映，用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，或者用正、斜排列的方式分别表示正、负数。

由以上介绍可以看出三种版本都介绍了《九章算术》用红色算筹表示正数，用黑色算筹表示负数的方法。只是对于其运算律

即原文说的“正负术”均未作介绍。俗话说：授人一瓢水，身有一桶水。因此，尽管小学数学教材只介绍了《九章算术》中用算筹表示正负数的方法，但是作为教师的我们，应该对《九章算术》关于正负数的知识都有一个粗略的了解，那么作为高师学校的教师，就更应该在数学史课程介绍关于《九章算术》史料时对负数部分做重点介绍，以便开阔未来小学数学教师们的视野，使得他们在今后的教学中有足够的知识储备，能够尽快成为一名合格的小学数学教师。

参考文献：

[1]全日制义务教育数学课程标准（修改稿）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.1：24.

[2]义务教育课程标准实验教科书数学（五年级上册）[M].北京：人民教育出版社，2005.6：54，85.

[3]义务教育课程标准实验教科书数学（五年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2005.11：47，87，112.

[4]义务教育课程标准实验教科书数学（六年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2006.10：4.

[5]义务教育课程标准实验教科书数学（五年级上册）[M].苏州：江苏教育出版社，2004：9，16.

[6]义务教育课程标准实验教科书数学（五年级下册）[M].苏州：江苏教育出版社，2004：30.

[7]义务教育课程标准实验教科书数学（六年级下册）[M].苏州：江苏教育出版社，2004：36.

[8]义务教育课程标准实验教科书数学（三年级下册）[M].北京：北京师范大学出版社，2004：54.

[9]义务教育课程标准实验教科书数学（四年级上册）[M].北京：北京师范大学出版社，2004：90.

[10]义务教育课程标准实验教科书数学（四年级下册）[M].北京：北京师范大学出版社，2004：99.

[11]义务教育课程标准实验教科书数学（五年级上册）[M].北京：北京师范大学出版社，2004：48.

[12]李文林.数学史概论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2011，2：72，89.

[13]朱家生.数学史（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011.5：54，57.

[14]吴文俊主编.《九章算术》与刘徽[M].北京：北京师范大学出版社，1982.9：51，4.

[15]刘徽注，李淳风注释.《九章算术》注[M].上海：古籍出版社，1990.9：74-75.

《九章算术》全文

《九章算术》全文 《九章算术》全文 一：《方田》 1、方田:今有田广十五步，从十六步。问为田几何? 答曰：一亩。 2、方田:又有田广十二步，从十四步。问为田几何? 答曰：一百六十八步。 方田术曰：广从步数相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。 3、方田:今有田广一里，从一里。问为田几何? 答曰：三顷七十五亩。 4、方田:又有田广二里，从三里。问为田几何? 答曰：二十二顷五十亩。 里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。 5、方田:今有十八分之十二。问约之得几何? 答曰：三分之二。 6、方田:又有九十一分之四十九。问约之得几何? 答曰：十三分之七。 约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。 7、方田:今有三分之一，五分之二。问合之得几何?

答曰：十五分之十一。 8、方田:又有三分之二，七分之四，九分之五。问合之得几何? 答曰：得一、六十三分之五十。 9、方田:又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问合之得几何? 答曰：得二、六十分之四十三。 合分术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。 10、方田:今有九分之八，减其五分之一。问馀几何? 答曰：四十五分之三十一。 11、方田:又有四分之三，减其三分之一。问馀几何? 答曰：十二分之五。 减分术曰：母互乘子，以少减多，馀为实，母相乘为法，实如法而一。 12、方田:今有八分之五，二十五分之十六。问孰多?多几何? 答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。 13、方田:又有九分之八，七分之六。问孰多?多几何? 答曰：九分之八多，多六十三分之二。 14、方田:又有二十一分之八，五十分之十七。问孰多?几何? 答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。 课分术曰：母互乘子，以少减多，馀为实，母相乘为法，实如法而一，即相多也。 15、方田:今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，

《九章算术》中一些求平面图形面积的题目

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 《九章算术》中一些求平面图形面积的题目 《九章算术》中一些求平面图形面积的题目《九章算术》共收集了 246 道应用问题和各种问题的解法，是当时由国家组织力量编纂的官方数学教科书，对我国数学的发展产生了很大影响。 下面从书中选取一些求平面图形面积的题目，仍然采取译述的方式，供五六年级老师和有兴趣的网友参考。 如果有可能的话，以适当的方式有选择地把这些材料介绍给学生，对于扩大学生的视野，培养学生学习数学的兴趣，加强对祖国优秀文化遗产的认识，都是有好处的。 原题 1： 又有田广十二步，纵十四步。 问： 为田几何？答曰： 一百六十八步。 方田术曰： 广纵步数相乘得积步。 译述： 方田是古代对正方形和长方形的统称。 步是当时的长度单位。 相应的面积单位平方步也简称为步。 又有田广十二步，纵十四步。 1 / 10

问： 为田几何？有一块长方形地，宽 12 步，长 14 步。 问： 它的面积是多少？答曰： 一百六十八步。 答案是： 168 平方步。 方田术曰： 广纵步数相乘得积步。 计算长方形面积的方法是： 宽与长相乘得面积。 1214＝168(平方步) 原题 2： 今有田广七分步之四，纵五分步之三。 问： 为田几何？答曰： 三十五分步之十二。 乘分术曰： 母相乘为法，子相乘为实。 译述： 今有田广七分步之四，纵五分步之三。 问： 为田几何？有一4步，长5块长方形地，宽73步。

九章算术

九章算术 《九章算术》成书于西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下表所示。原作有插图，今传本已只剩下正文了。 《九章算术》的作者不详。很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶。由于二千年来经过辗转手抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释，其中重要的有： 《九章算术》的主要内容，可分成算术、代数和几何三部分。 一、算术部分 1．分数 《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为

假分数(我国古代称为通分内子，“内”读为纳)等等。其步骤与方法大体与现代的雷同。 分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。加法的步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子。“法”是分母，“实如法而一”也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。就是分子小于分母时便以分数形式保留。其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可。 关于分数乘法，《九章算术》中提出的步骤是“母相乘为法，子相乘为实，实如法而一”。 《九章算术》对分数除法虽然没有提出一般法则，但算法也很清楚。 2．最大公约数与最小公倍数 《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。求最大公约数的方法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”这里所说的“等数”就是我们现在的最大公约数。可半者是指分子分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，即可先约去2。不都是偶数了，则另外摆(即副置)分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，减到余数和减数相等，即得等数。 如方田章第六题：“又有九十一分之四十九，问约之得几何”。将更相减损这一运算写成现代的图式就是 法实质上 是辗转相减法。辗转相减法与欧几里得的辗转相除法在步骤上虽然略有不同，但在理论上却是一致的。 《九章算术》在分数的加减运算中，已知用最小公倍数作公分母，例如少广章第六题相当于分数

九章算术

《九章算术》与《孙子算经》 《九章算术》是我国著名的《算经十书》之一，是十部算经中最重要的一部，是周秦至汉代中国数学发展的一部总结性的有代表性的著作。这部伟大的著作对以后中国古代数学发展所产生的影响，正象古希腊欧几里德《几何原本》对西方数学所产生的影响一样，是非常深刻的。 《九章算术》最初是由谁、在什么时候开始编纂的，现在已经难以确考了。据数学史家们研究，这部著作是我国秦汉时期的数学家们历时一，二百年之久的智慧结晶，汇集了当时数学研究的主要成就，至迟在公元一世纪时形成了流传至今的定本。在此后一千多年间，《九章算术》一直是我国的数学教科书。它还影响到国外，朝鲜和日本也都曾把它当作教科书。书中不少题目，后来还出现于印度的数学著作中，并且传到了中世纪的欧洲。我国古代数学家刘徽（魏晋时人，生卒年不详）曾为该书作注。 《九章算术》是以数学问题集的形式编写的，共收集二百四十六个问题及各个问题的解答，按性质分类，每类为一章，计有方田、粟米、衰分，少广，商功、均输、盈不足、方程和勾股九章故称《九章算术》。 《九章算术》中的各类数学问题，都是从我国古代人民丰富的社会实践中提炼出来的，与当时的社会生产、经济，政治有着密切的联系。 第一章方田，主要讲各种形状的田亩面积的计算，同时系统地叙述了分数的各种计算方法。 第二章粟米，讲各种比例问题，特别是关于各种谷物间的比例交换问题。 第三章衰分，讲的是一些比例分配问题。 第四章少广，专讲开平方、开立方、开立圆问题。 第五章商功，专讲土木工程中提出的各种数学问题，主要是各种立体体积的计算。 第六章均输，讲如何按人口宴少、路途远近。谷物贵贱，合理摊派捐税徭役的计算问题。 第七章盈不足，介绍了一种叫做“盈不足术”的重要数学方法，问题涉及的内容则多与商业有关。 第八章方程，系统地介绍了线性方程组的解法，其中又提出了正负数的概念及其加减运算的法则。 第九章勾股，主要讲勾股定理的各种应用问题，还提出了一般二次方程的解法。 在同一时期的世界其他国家和地区，很难找到一部数学著作象‘九章算术》这样，包罗

小学数学教材中的《九章算术》(全文)

小学数学教材中的《九章算术》 (全文) 一、《九章算术》简介 《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，也是世界数学史上极为珍贵的古典文献。它总结了秦汉以前我国在数学领域的辉煌成就，开创了独具一格的理论体系，它的成书标志着中国传统数学理论体系的形成。该书的和成书年代据考证至迟在公元前1世纪。[12-14] 现传本《九章算术》包括246道数学问题，按性质分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、句股九章，故称为《九章算术》。全书采用问题集的形式，书中每道题都有问、有答、有术（解题的思想方法、公式、法则），有的一题一术，有的一题多术，有的多题一术。其内容与当时或更早的社会生产、经济、政治等都有密切联系，许多社会问题在书中都有反映。[14] 《九章算术》的成书标志着中国传统数学理论体系的形成，公元656年，李淳风受诏负责编撰“算经十书”作为国学的标准数学教科书，[12]其中就包括《九章算术》。 正是由于《九章算术》在我国数学史上的重要地位及其影响，三种版本的教材均用了较多的篇幅介绍与教学内容有关的《九章算术》史料。 二、小学数学教材中的《九章算术》史料 以下分别是人教版、苏教版以及北师大版小学数学教材中关于《九章算术》的内容及呈现形式[2-11]（表1）：

由以上统计可以看出，《九章算术》史料在三种版本教材中均是占篇幅最多且介绍最详细的，只是根据各自教学内容的差异，教材选择具体介绍的史料也有所不同，但三种版本均选择了“负数”进行介绍，以下便以此为例加以说明。 三、负数 人教版（如图1）是在六年级下册学习第一章“负数”的过程中以“你知道吗”的形式介绍这一史料的，除介绍《九章算术》的“负数”外，教材还同时介绍了负数在国外的发展；苏教版（如图2）则是在五年级上册第一章“认识负数”的学习任务结束时以“你知道吗”的形式介绍这一史料的，且除介绍了《九章算术》中的“负数”外，教材还介绍了刘徽《注》对“负数”作的注解；而北师大版（如图3）是在四年级上册第七章“生活中的负数”的学习任务结束时以“你知道吗”的形式介绍这一史料的，其关于《九章算术》“负数”的文字介绍与苏教版相似，但没有数学家刘徽关于“负数”概念的解释，同时也没有图片。 关于负数，《九章算术》在第八卷“方程”是这样介绍的：正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。刘徽对此作了这样的注释：今两算得失相反，要令正负以名之；正算赤，负算黑，否则以邪正为异。[15]即两数相减，同号则绝对值相减，异号则绝对值相加，零减正数为负数，零减负数为正数；两数相加，异号则绝对值相减，同号则绝对值相加，正数加零是正数，负数加零是负数。刘徽注释为：正负是两种“得失相反”情况的反映，用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，或者用正、斜排列的方式分别表示正、负数。 由以上介绍可以看出三种版本都介绍了《九章算术》用红色算筹表示正数，用黑色算筹表示负数的方法。只是对于其运算律

小学数学校本教材

目录 第一部分读一读 第一讲中国古代数学家刘徽 (2) 第二讲法国数学家勒内．笛卡尔 (5) 第二部分算一算 第三讲速算与巧算 (8) 第三部分想一想 第四讲平面图形的面积（1） (14) 第五讲平面图形的面积（2） (16) 第六讲平面图形的面积（3） (18) 第七讲逻辑推理（1） (20) 第八讲逻辑问题（2） (29) 第九讲列方程解应用题 (35) 第十讲行程问题 (41)

刘徽九章算术刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。 《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。 在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他

利用割圆术科学地求出了圆周率π≈3.14的结果。他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”他计算了3072边形面积并验证了这个值．刘徽提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位。 刘徽在数学上的贡献极多，在开方不尽的问题中提出“求徽数”的思想，这方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必要条件，而且促进了十进小数的产生；在线性方程组解法中，他创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致；并在中国数学史上第一次提出了“不定方程问题”；他还建立了等差级数前n项和公式；提出并定义了许多数学概念：如幂（面积）；方程（线性方程组）；正负数等等．刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提。他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把《九章算术》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上．虽然刘徽没有写出自成体系的著作，但他注《九章算术》所运用的数学知识实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、并以数学证明为其联系纽带的理论体系． 刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作．《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目

数学巨著《九章算术》

数学巨著《九章算术》 谈到中国数学史。谁都会盛赞《九章算术》这部数学巨著。 公元前221年，秦始皇终止了长达5个多世纪的兼并、征战局面，建立起我国第一个统一的中央集权的封建主义国家。自秦至西汉前期，新兴的地主阶级奖励耕织，兴修水利，重视冶炼，建筑长城。在生产的推动下，科学技术获得了庞大的进展。西汉前期，从汉高祖到汉武帝，都注意劝民农桑，进一步进展为地主阶级服务的生产和科学技术。《九章算术》确实是在这种历史条件下编成的。 这部巨著是我国古代数学知识的全面总结。全书收集了实际的数学问题共246个，分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等9章，因此定名为《九章算术》。 “方田章”讲述四亩面积的运算，结合这种需要，系统地介绍了分数的加、减、乘、除四则运算，化带分数为假分数，以及求几个分母的最小公倍数的方法。依照现有的史料，《九章算术》是世界上最早记载分数运算法则的文献。欧洲人到15世纪才把握这些法则。 “粟米章”研究各类粮食的交换。“衰分章”、“均用章”讨论按比例分配赋税与徭役。“盈不足章”依照两次假设所得出的盈余或不足，来推算问题的答案，它是我国古代数学的又一项制造，后来欧洲人就把它叫做“中国算法”。 “少广章”介绍筹算开平方与开立方，其中也包含了分数的内容。“商功章”专门解决筑城、开渠等土木工程中所提出的各种体积运算问题。“勾股章”论述勾股定理和相似的直角三角形。同时提出了二次方程的筹算解法，这是世界上运用一定的算法求解二次方程的最早记录。 “方程章”详细地研究了一次方程组的解法，引进了正负数的概念及其加减运算法则，这是我国古代数学中两项专门杰出的成就。在这一章里，共收集了18道实际的多元一次方程组的问题。例如，其中第一题为：“今有上禾三秉（古代容量单位），中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉、中禾二秉，下禾三秉，

《九章算术》中的“正负数”

《九章算术》中的“正负数” 由于《九章算术》在用直除法解一次方程组过程中，不可避免地要出现正负数的问题，于是在方程章第三题中明确提出了正负术．刘徽在该术的注文里实质上给出了正、负数的定义：“两算得失相反，要令‘正’、‘负’以名之”．并在计算工具即算筹上加以区别“正算赤，负算黑，否则以邪正为异”．这就是规定正数用红色算筹，负数用黑色算筹．如果只有同色算筹的话，则遇到正数将筹正放，负数时邪(同斜)放．宋代以后出现笔算也相应地用 红、黑色数码字以区别正、负数，或在个位数上记斜划以表示负数，如(即—1824)，后来这种包括负数写法在内的中国数码字还传到日本． 关于正、负数的加减运算法则，“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之．其异名相除，同名相益，正无入正之，负无人负之”．这里所说的“同名”、“异名”分别相当于现在所说的同号、异号．“相益”、“相除”是指二数相加、相减．术文前四句是减法运算法则： (1)如果被减数绝对值大于减数绝对值，即a＞b≥0， 则同名相除：(±a)-(±b)=±(a-b)， 异名相益：(±a)-(b)=±(a＋b)． (2)如果被减数绝对值小于减数绝对值，即b＞a≥0． ①如果两数皆正 则a-b=a-[a＋(b-a)]=-(b-a)． 中间一式的a和a对消，而(b-a)无可对消，则改“正”为“负”，即“正无入负之”．“无入”就是无对，也就是无可对消(或不够减或对方为零)． ②如果两数皆负 则(-a)-(-b)=－a-[(-a)-(b-a)］=+(b-a)．在中间的式子里(-a)和(-a)对消，而-(b-a)无可对消，则改“负”为“正”所以说“负无入正之”． ③如果两数一正一负．则仍同(1)的异名相益． 术文的后四句是指正负数加法运算法则． (1)同号两数相加，即同名相益，其和的绝对值等于两数绝对值和． 如果a＞0，b＞0， 则a+b=a＋b，(-a)＋(-b)=-(a+b)

数学文化之《九章算术》—方程

数学文化之《九章算术》—方程 《九章算术》是中国古代最早的数学著作之一，约成书于公元前2世纪。这部古代数学经典以其周密精确的推理和发现方法而闻名于世，对数 学文化的发展起到了重要作用。其中，方程是《九章算术》中的重要内容 之一 方程是指包含未知数和已知数之间关系的数学语句。《九章算术》中 的方程主要分为一元方程和二元方程两种类型。一元方程是指只含有一个 未知数的方程，例如，"a+2=5"，其中a为未知数。而二元方程则包含两 个未知数，例如，"x+y=10"，其中x和y均为未知数。 在《九章算术》中，方程的解法主要基于推导、变形和运算等数学操作。例如，对于一元方程"a+2=5"，可以通过推导和变形得到a的解是3、具体步骤是：先将方程变形为"a=5-2"，再进行计算"a=3"，得到结果a等 于3、类似地，对于二元方程"x+y=10"，可以通过变形和运算得到x和y 的解。例如，假设x=3，则根据方程可得出y=7 方程的解法包括了各种运算和推理方法，如加减乘除、变量代入、整 理方程等。这些方法不仅展示了古代中国人民对数学的深刻思考和智慧， 也为后世数学家提供了基本的解题思路和方法。《九章算术》的方程解法 不仅适用于具体数值，还可以用于代数表达式和未知数的推导。这种解题 思维的推广和应用，对于后世数学的发展起到了积极的促进作用。 方程在数学中有着广泛的应用。在代数学中，方程是研究未知数和已 知数关系的重要工具。它不仅用于数学领域的证明和推导，还广泛应用于 物理学、化学、经济学等各个学科的问题中。方程的解法和推理方法也成 为数学学习的重要部分，培养了学生的逻辑思维和问题解决能力。

九章算术中的十大经典问题

九章算术中的十大经典问题 九章算术是中国古代数学的重要著作之一，其内容涵盖了算术、代数、几何等多个领域，对中国古代数学的发展产生了深远的影响。其中，九章算术中的十大经典问题是中国古代数学中的经典之作，这些问题不仅在古代有着广泛的应用，而且在现代数学中也有着重要的地位。本文将对九章算术中的十大经典问题进行详细的介绍和分析。 一、两舍弃一 “两舍弃一”是九章算术中的第一大问题，其内容为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何？”这个问题的解法是：设雉有x只，兔有y只，则有两个方程式：x+y=35，2x+4y=94。通过解这两个方程式，可以得出雉有15只，兔有20只。 二、百钱买百鸡 “百钱买百鸡”是九章算术中的第二大问题，其内容为：“鸡犬同笼，上有百头，下有百足。问鸡几何？”这个问题的解法是：设鸡有x只，狗有y只，则有两个方程式：x+y=100，2x+4y=200。通过解这两个方程式，可以得出鸡有50只，狗有50只。 三、五家渠 “五家渠”是九章算术中的第三大问题，其内容为：“五家渠，田方百亩，一夫二亩，各自耕戍，相望而不相害，问可耕几何？”这个问题的解法是：设有x个人耕种，则有一个方程式：2x=100，解得x=50。因此，五家渠可耕50亩。 四、举铁砣

以十为斤，问几何？”这个问题的解法是：设铁砣重x斤，则有一个方程式：x/10=1，解得x=10。因此，铁砣重10斤。 五、买麻布 “买麻布”是九章算术中的第五大问题，其内容为：“买麻布，五丈余，割去一丈五尺，问剩几何？”这个问题的解法很简单，直接用五丈减去一丈五尺即可，即五丈减一丈五尺等于三丈五尺。 六、三斗鸡 “三斗鸡”是九章算术中的第六大问题，其内容为：“三斗鸡，五方雉，七十二子，问鸡、雉、子各几何？”这个问题的解法是：设鸡有x只，雉有y只，子有z个，则有三个方程式：3x+5y+0.5z=72，x+y=8，z=72。通过解这三个方程式，可以得出鸡有21只，雉有3只，子有72个。 七、分田地 “分田地”是九章算术中的第七大问题，其内容为：“分田地，三人分之二，留三亩，问田地几何？”这个问题的解法是：设田地有x亩，则有一个方程式：2x/3+3= x，解得x=9。因此，田地共有9亩。 八、买香 “买香”是九章算术中的第八大问题，其内容为：“买香，三斤余二两，问几何？”这个问题的解法很简单，直接用三斤减去两即可，即三斤余二两等于两斤八两。 九、买鸡蛋

三角形的面积与《九章算术》优秀教案(1)

《三角形的面积与<九章算术>》教学设计教学内容： 西师版小学数学五年级上册p82例1，p83课堂活动第1题和练习二十第1、2、3题，p98“你知道吗”及《九章算术》第一章“方田”中所讲的三角形面积计算方法。 教学内容分析： 例1推导三角形面积计算公式，引导学生掌握教科书提供了两种图形转化方法，鼓励学生从不同的角度思考转化方法，适时介绍《九章算术》第一章“方田”中所讲的三角形的面积计算方法，接着概述《九章算术》的主要内容、数学成就、历史影响。让学生发现自己所学的平面图形面积的计算方法，在《九章算术》这本我国古代数学专著中早有详细记载。从而达到强化学生的民族自豪感和自信心的目的，同时起到鼓励学生积极向上，努力拼搏，刻苦专研的作用。 通过课堂活动第1题和练习二十第1、2、3题，巩固所学知识。具体来讲，课堂活动第1题，是要让学生清楚：只有完全一样的直角三角形，才能拼成长方形或正方形；由于正方形4条边相等，所以等腰直角三角形才能拼成正方形。练习二十第1、2、3题，主要是为了巩固三角形面积公式的由来和运用，其中要特别注意第3题有一个逆向思维问题。由于学生还没有学习方程，教学中要注意引导学生运用“因数”和“积”的关系，“被除数”、“除数”和“商”的关系，去理解三角形面积计算公式中“底”、“高”和“面积”三个量“知二求一”的逆向思维问题。 设计理念： 《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》（汉代之前出现的十部古算书）最重要的一种。其中第一章“方田”，主要讲述平面几何图形面积的计算方法。教科书也结合多边形面积的计算，安排了这个数学文化的内容。所以，借助给学生讲解“三角形面积”这部分内容的机会，将《九章算术》中关于三角形面积计算的内容给学生讲解呈现，让学生亲身感受到中国古代数学成就非凡，激发和强化学生的民族自豪感和自信心，鼓励学生积极向上，努力拼搏，刻苦专研。这样的设计，即增加了数学课堂的趣味性，也符合将数学文化渗透于日常教学过程中的教学理念。

九章算术,几何原本

九章算术 《九章算术》应是流传到现在的，中国最早的一部数学专门著作，因为汉代的《周髀算经》虽是最早的数学著作，但同时也是天文学的作品，所以称不上是“专门”。自周代和秦代以来，中国古代的数学开始形成，经汉代的进一步发展，已成为了一个体系，而《九章算术》便是标志着这一个体系的形成。它除了是总结了几个世纪的先哲圣贤的心血结晶外，还影响了后来中国的数学发展。 《九章算术》的内容丰富，而且大多和实际生活密切联系。这些密切联系实际生活的题材，反映出中国古代先贤的智能，同时也显出古代中国数学的研究多以实用性为主。 事实上，《九章算术》是用问题集的形式编写，全书分“九章”，共246个问题。通常在举出了一个或几个问题之后，总是列出求解这个问题或这些问题的一般方法，这是《九章算术》所采用的叙述方式。从这一种叙述方式可以看出它主要使用了归纳的方法。而这些问题，一方面可以作为读者理解后面的一般解法的例题，另一方面也可以作为把一般解法用来解决各种实际问题的例题。这种问题集的形式，对后来中国古代数学著作的影响很大，大多数的中国古代数学著作也是用这种形式写成的。 但因为《九章算术》中只是列出了例子及一般的算法，却很少有任何解释和说明，所以有很多人曾为《九章算术》作注，以补充这一点。而有些注解给《九章算术》的算法提出了简括的证明，证明了些算法的正确性。同时，这些为《九章算术》作注的人，也透过这个途径来展开自己的研究工作，当中较有名的便是刘徽、李淳风和祖冲之等。 这部《九章算术》如此多采多姿，究竟是谁的著作呢？这个问题的答案是不可肯定的。 从刘徽为《九章算术》作注时的序中可见，在那时候经已说不清楚《九章算术》是由哪个时代，以及谁人编纂了，但同时由序言所知《九章算术》是在周秦以来中国古代数学的基础上逐渐发展、积累，又经过张苍和耿寿昌等人的增删修补而最后成书的。

六年级下册数学试题-算经十书《九章算术》难题汇编卷二(粟米)全国通用(无答案)

九章算术难题汇编卷二粟米 粟米之法： 粟率五十粝米三十 粺米二十七凿米二十四 御米二十一小●（麦啇）十三半 大●（麦啇）五十四粝饭七十五 粺饭五十四凿饭四十八 御饭四十二菽、荅、麻、麦各四十五 稻六十豉六十三 飧九十熟菽一百三半 櫱一百七十五 今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。〔一〕今有粟一斗，欲为粝米。问得几何？ 荅曰：为粝米六升。 术曰：以粟求粝米，三之，五而一。 〔二〕今有粟二斗一升，欲为粺米。问得几何？

荅曰：为粺米一斗一升、五十分升之十七。 术曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。 〔三〕今有粟四斗五升，欲为凿米。问得几何？ 荅曰：为凿米二斗一升、五分升之三。 术曰：以粟求凿米，十二之，二十五而一。 〔四〕今有粟七斗九升，欲为御米。问得几何？ 荅曰：为御米三斗三升、五十分升之九。 术曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。 〔五〕今有粟一斗，欲为小●（凿殳下米）。问得几何？ 荅曰：为小●（凿殳下米）二升、一十分升之七。 术曰：以粟求小●（凿殳下米），二十七之，百而一。〔六〕今有粟九斗八升，欲为大●（麦啇）。问得几何？ 荅曰：为大●（麦啇）一十斗五升、二十五分升之二十一。 术曰：以粟求大●（麦啇），二十七之，二十五而一。 〔七〕今有粟二斗三升，欲为粝饭。问得几何？ 荅曰：为粝饭三斗四升半。 术曰：以粟求粝饭，三之，二而一。

〔八〕今有粟三斗六升，欲为粺饭。问得几何？ 荅曰：为粺饭三斗八升、二十五分升之二十二。 术曰：以粟求粺饭，二十七之，二十五而一。 〔九〕今有粟八斗六升，欲为凿饭。问得几何？ 荅曰：为凿饭八斗二升、二十五分升之一十四。 术曰：以粟求凿饭，二十四之，二十五而一。 〔一0〕今有粟九斗八升，欲为御饭。问得几何？ 荅曰：为御饭八斗二升、二十五分升之八。 术曰：以粟求御饭，二十一之，二十五而一。 〔一一〕今有粟三斗少半升，欲为菽。问得几何？ 荅曰：为菽二斗七升、一十分升之三。 〔一二〕今有粟四斗一升、太半升，欲为荅。问得几何？ 荅曰：为荅三斗七升半。 〔一三〕今有粟五斗、太半升，欲为麻。问得几何？ 荅曰：为麻四斗五升、五分升之三。 〔一四〕今有粟一十斗八升、五分升之二，欲为麦。问得几何？ 荅曰：为麦九斗七升、二十五分升之一十四。

中国数学史上的巨著《九章算术》

中国数学史上的巨著《九章算术》 谈到中国数学史。谁都会盛赞«九章算术»这部数学巨著。 公元前221年，秦始皇完毕了长达5个多世纪的兼并、征战局面，树立起我国第一个一致的中央集权的封建主义国度。自秦至西汉前期，新兴的地主阶级奖励耕织，兴修水利，注重冶炼，修建长城。在消费的推进下，迷信技术取得了庞大的开展。西汉前期，从汉高祖到汉武帝，都留意劝民农桑，进一步开展为地主阶级效劳的消费和迷信技术。«九章算术»就是在这种历史条件下编成的。 这部巨著是我国现代数学知识的片面总结。全书搜集了实践的数学效果共246个，分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈缺乏、方程、勾股等9章，所以定名为«九章算术»。 〝方田章〞讲述四亩面积的计算，结合这种需求，系统地引见了分数的加、减、乘、除四那么运算，化带分数为假分数，以及求几个分母的最小公倍数的方法。依据现有的史料，«九章算术»是世界上最早记载分数运算法那么的文献。欧洲人到15世纪才掌握这些法那么。 〝粟米章〞研讨各类粮食的交流。〝衰分章〞、〝均用章〞讨论按比例分配赋税与徭役。〝盈缺乏章〞依据两次假定所得出的盈余或缺乏，来推算效果的答案，它是我国现代数学

的又一项发明，后来欧洲人就把它叫做〝中国算法〞。 〝少广章〞引见筹算开平方与开立方，其中也包括了分数的内容。〝商功章〞专门处置筑城、开渠等土木工程中所提出的各种体积计算效果。〝勾股章〞论述勾股定理和相似的直角三角形。并且提出了二次方程的筹算解法，这是世界上运用一定的算法求解二次方程的最早记载。 〝方程章〞详细地研讨了一次方程组的解法，引进了正正数的概念及其加减运算法那么，这是我国现代数学中两项十分出色的成就。在这一章里，共搜集了18道实践的多元一次方程组的效果。例如，其中第一题为：〝今有上禾三秉〔现代容量单位〕，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉、中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾一秉各几何？〞假设用如今的方法，设上、中、下禾一秉区分为x斗、y斗、z斗，那么可以失掉方程组 我国现代解这类效果的方法(叫做〝方程术〞)是把方程各 未知数的系数与常数项用算筹依次按〝直行〞排成一个 〝方程组。〞这道题的〝方程组〞如下： 然后经过行的数乘与行、行之间的加减，逐一消去未知数，失掉〝方程组〞的解。这些思想及方式，可以无愧地称之为近代初等代数中〝矩阵〞概念和〝线性方程组矩阵解法〞 的先声。

九章算术简介

九章算术 概述： 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。该书经多次增补，成书时间已不可考，但据估算最迟在公元一世纪已有了现传本。许多人曾为它作过注释，其中不乏历史上的数学名人，最著名的有刘徽（公元263年）、李淳风（公元656年)........要注意的是《九章算术》没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。 《九章算术》的主要内容: 《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音c ui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下所示。原作有插图，今传本已只剩下正文了。 《九章算术》的九章的主要内容分别是： 第一章“方田”：田亩面积计算； 第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换； 第三章“衰分”：比例分配问题； 第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边长和径长等； 第五章“商功”：土石工程、体积计算； 第六章“均输”：合理摊派赋税； 第七章“盈不足”：即双设法问题； 第八章“方程”：一次方程组问题； 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题． 《九章算术》的数学成就 《九章算术》中的数学成就是多方面的： (1)、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，在第二、三、六章中有许多比例问题，在世界上也是比较早的。“盈不足”算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的． (2)、在几何方面，主要是面积、体积计算。

趣味数学157：《九章算术》中的应用题

《九章算术》中一些常见的应用题 下面是从《九章算术》中选录的一些常见的应用题。从这些题目的解法中，可以体会到古人是怎样思考问题的，对于活跃我们的解题思路，力卩深对传统文化的认识，都有一定好处。 原题1：今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问：本持米几何？答曰：十斗九升八分升之三。术曰：置米五以所税者三之五之七之为实，以余不税者二、四、六互相乘为法。实如法得一斗。 译述： “实如法得一斗”是古算书的一种习惯性说法，实如法得一“什么” 的意思是“这样就得到什么数”。“实如法得一斗”的意思是“这样就得到斗数”。 “今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问：本持米几何？” 一一有人带了一批米出三道关口，外关按货物的三分之一收税，中关按货物的五分之一收税，内关按货物的七分之一收税，最后还剩 下五斗米。问：这个人本来带了多少米？ 3 “答曰：十斗九升八分升之三。”一一答案是：10斗9-升。 8 “术曰：置米五斗以所税者三之五之七之为实，以余不税者二、四、六互相乘为法。实如法得一斗。”一一解法是：用各关口计税时的总份数3、5、7乘5斗作为被除数，以各关口收税后余下的份数2、4、6相乘的积作为除数。这样就得到斗数。 5X 3X 5X 7-[(3 —1) X (5 —1) X (7—1)] = 10.9375(斗)，10.9 斗= 10斗9 升, 0.0375升二3升，所以，这个人本来带了10斗9-升米。 8 8 1 1 1 6 4 2 现在的解法是：5- (1 —-) - (1—-) - (1 —-) = 5- - - - - - = 5 7 5 3 7 53 X 7X 5X 3= 5X 7X 5X 3* 6* 4* 2= ，与上式基本相同。-42 原题2:今有凫(f 0起南海七日至北海，雁起北海九日至南海。今凫

《九章算术》与小学数学教学

九章算术》与小学数学教学 秦末战火后，先秦的大批文献失散，于是在汉代便兴起了发掘、删补、诠释各类文献之风。以张苍、耿寿昌、杜忠、许商、尹咸、刘歆等为代表的一批" 善用算律历"者，不仅对原有的数学、历数等文献进行删补，而且开始注意在进一步传习数学知识的过程中，将疏散于天文、历学、制造、农学等各类文献中的数学知识集约化。首先是张苍，"著书八十篇，言阴阳律历事"，其后有《杜忠算术》十六卷和《许商算术》二十六卷。作为这类工作的突出成果，在汉代诞生了具有较高集约性并能完全反映当时数学成就的重要著作一一《九章算术》。 （一）中国最古老的数学经典著作《九章算术》 《九章算术》成书于东汉初年（大约在公元50年到100 年之间），作者不详，但有人认为"马续就是《九章算术》的编撰者，证据虽不充分，但这是可能的"。它总结了秦以前中国的主要数学成就，书中收集了246 个应用问题和各个问题的解法，并将其分为九章，分门别类地予以撰述介绍。据数学史学家考证，"算术"在西汉时期是数学的代用名词，"算字的原意是计算用的竹筹。'算术' 这个词汇的本意应当是运用算筹计算的方法。因为一切繁复的数目计算都要用算筹，所以'算术'包含当时的全部数学知识和计算技能"。因此《九章算术》的九章数学问题就涉及当时社会生产、生活实践中的各种算术、代数、几何等方面的问题。 九章的主要内容是： 第一章"方田"：田亩面积的计算。 第二章"粟米"：谷物粮食之间按比例的折算。 第三章"衰分"：比例分配的问题。 第四章"少广"：已知面积、体积，反求其一边的宽广等，专讲开平方、开立 方。 第五章"商功"：一些工程（筑城、修堤、开渠、堆粮）的计算，包括求体 第六章"均输"：合理摊派赋税。 第七章"盈不足"：盈亏、比例问题的解答。

小学数学教材中的《九章算术》

小学数学教材中的《九章算术》 转化思想方法是一种重要的数学思想方法，它通过将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题，帮助学生更好地理解和解决数学问题。在小学教材中，转化思想方法也得到了很好的体现和应用。本文将以小学数学教材为例，探讨转化思想方法在小学教材中的重要性、基本概念、应用情况、优缺点和建议。 转化思想方法是指将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题的一种思想方法。在小学数学教材中，转化思想方法的应用非常重要，它不仅有助于学生更好地理解和解决数学问题，还可以帮助学生培养灵活的思维方式和独立解决问题的能力。 转化思想方法在小学数学教材中得到了很好的体现。以下是一些例子：在学习长方形面积计算公式时，学生可以通过将长方形分割成若干个小正方形，然后计算小正方形的面积之和，得出长方形的面积。这样，学生就可以将一个复杂的问题（计算长方形面积）转化为简单的问题（计算小正方形面积），从而更容易地理解和解决这个问题。 在学习分数加减法时，学生可以通过将分数转化为小数，然后将小数相加，得出分数的和。这样，学生就可以将一个复杂的问题（分数加

减法）转化为简单的问题（小数加减法），从而更容易地理解和解决这个问题。 帮助学生将复杂问题转化为简单问题，提高学生解决问题的能力和自信心。 促进学生思考方式的灵活性，让学生学会从不同角度看待问题。 培养学生的创新意识和创新能力，让学生学会独立思考和解决问题。不是所有问题都可以转化为简单问题，有些问题的转化可能非常困难甚至不可能。 转化过程中可能会出现新的困难和问题，需要学生具备更高的思维能力和数学知识。 转化思想方法的运用需要学生具备一定的思维能力和经验，不当的转化可能会引起更多的困难和混乱。 建议教师在小学数学教学中，应该注重以下几点： 结合具体情境和实例，引导学生学会运用转化思想方法解决问题。 鼓励学生尝试不同的转化方式，培养学生的思维灵活性和创新精神。