数模案例集

案例一: 买房问题— Buying a House

背景资料：

张丽和王跃夫妻俩工作时间不太长，在这座繁华的大都市里，他们还没拥有属于自己的房子。近年城市中心的房地产价格上涨迅猛，所以他们改变了最初买新房子的计划，而准备买一所合适的二手房。经过一段时间多方寻找，终于在城南了解到一处房产。今天是星期六，他俩早早地如约去看了房子和环境。房产中介人小李告诉他们，房屋标价是￥400,000，而有超过10个买主都有购买的意向。如果他俩看好此房，应该在近一两天拍板，因为据他了解的情况，另外有一个买主可能今天下午会提出其买价。所以小李给他俩建议，如有意买此房，则他们所提出的买价应该要很接近￥400,000。中介人小李还告诉他们，根据他的中介交易经验，如果有另外的买主的报价也接近这个标价时，在有这种竞争报价时，一般情况下房主会通知中介人，要求买主在第二天提出他们的最终报价。

小张和小王为了作出这次重大的决策，他俩又再次详细考察了该房的所有情况。小王决定采用决策树的方法来分析他的这次重大决策。夫妻俩都认为￥400000的价格是比较公平合理的，同时，如果他们能最终买得此房的话，他们还为此房添加了￥10000的“情感价值”，也就是说，在他们夫妻俩的心中，该房值￥410000。这样，假如最终他们能以￥390000成功地买到此房就相当于他们额外赚了￥20000。当然，假如最终他们没能买到此房，那么这额外的附加值就为￥0。最后，小王经过分析认为，他们是此房的唯一报价人的可能性很小，其概率估计只有0.3。

反复考虑之后，小王决定今天下午就给中介人小李回话。接下来他准备分析三种报价：￥390000，￥400000或￥405000。他估计，如果他是唯一的报价买主的话，那么￥390000能成交的概率是0.4，￥400000能成交的概率是0.6，而￥405000能成交的概率是0.9。然而，不管怎么说，有很大的可能性是买主不只他一人。这样，中介人小李就会告诉他：“房主要求第二天提出其最终报价”。这时，小王就不得不重新考虑他应该怎么办：他可以取消报价而放弃买该房，他也可以再次报出与第一次同样的价格，还可以在第一次报价的基础上增加￥5000。小王认为，在有多人竟价的情况下，最终他们能以￥390000成功地买到此房的概率是0.2，以￥395000成功地买到此房的概率是0.3，以￥400000成功地买到此房的概率是0.5，以￥405000成功地买到此房的概率是0.7，而以￥410000成功地买到此房的概率是0.8。

案例二：土地开发权购买战略（简化版）

背景资料：

李正华，海景发展公司的总裁，正在考虑投标购买一块土地，这块土地将会在城市税务抵押拍卖会上以封标的形式出售。李正华最初的判断是投500万元的标。根据以往的经验，李正华判断500万元的标为最高标的概率为0.2，而如果竞标成功，海景将获得这块土地的开发权。此时的日期是7月1日，而这块土地的的封标必须在8月15日之前投出，且在9月1日宣布获胜的标。

如果海景投出最高的标进而获得这块土地的开发权，公司计划建设并出售一期高档公寓楼。然而，使此问题变得复杂的一个因素是这块土地新近被划分为仅作为单身家庭居住建设用地。李正华相信在11月选举的时候，居民会对此规划进行复决投票，而复决投票的结果将可能改变土地原来的规划，并允许在这块土地上盖高档公寓楼。

封标程序要求投标者随标附上金额为标额10%的有效支票。如果没有中标，这笔资金会被退回；如果中标了，这笔资金就作为购买这块土地的现金支付款。然而，如果中标了，但竞标者没有在6个月内完成购买手续且满足其他的财务上的要求，那么这笔资金就被没收充公。如果是这种情况，市政府就会把这块土地的开发权转给下一个最高竞标者。

为了确定海景是否应该投这500万元的标，李正华作了一些预期的分析。依据这些准备工作，李正华判断复决投票改变原有规划计划的概率为0.3。估计高档公寓楼建好后随之带来的支出和收益如下表所示：

如果海景获得了这块土地的开发权，但在11月的复决投票中改变规划被否决，李正华认为公司最佳的选择是不要完成土地的开发权的购买手续。这样的话，海景随标附上的10%的资金就会被没收充公。

由于规划复决投票被通过的可能性在这一决策过程中起着至关重要的作用，李正华建议公司聘请一家市场调查咨询服务公司对投票者进行调查，这一调查将对复决投票通过重新规划的可能性做出更为准确的判断。曾经与海景公司合作过的一家市场调查咨询公司同意以150 000元的价格接受这一调查任务。调查结果可在8月1日出来，这样的话，海景就可以在8月15日的投标截止日之前获得这方面的信息。调查的结果要么是预计重新规划被通过，要么是预计重新规划被否决。在参考了该市场调查公司在以往为海景所做的几次调查中的表现，李正华得出

了以下所示的就市场调查信息的准确度方面的概率估计：

P（A︱S1）= 0.9 P（N︱S1）= 0.1 ；P（A︱S2）= 0.2 P（N︱S2）= 0.8 其中 A = 咨询公司给出预计投票者会改变原来规划咨询报告，

N = 咨询公司给出预计投票者不会改变原来规划咨询报告；

S1 = 投票者改变原来规划，

S2 = 投票者不改变原来规划。

案例三:渤海罐头食品厂

背景资料：

渤海罐头食品厂在东北地区算得上是一家比较完善的中型企业。该厂可以加工多种类型的罐头食品，全部以批发方式销售。由于该厂经营得力，信誉较高，因此其产品不仅畅销国内，还有相当数量已跻身海外，在过去的内外销售中盈利可观。

1986年8月10日（星期一）上午，主管生产经营的副厂长高东光通知财会科长、销售科长和质量管理科长到他的办公室商谈有关在本季节收获的西红柿果实的加工问题。按照预定合同，一批新鲜西红柿即将运到工厂，而西红柿罐头的成批生产必须在下个星期一开工。

按照通知的时间，财会科长魏连昆，销售科长叶荣祖首先来到高副厂长的办公室。几分钟后，质管科长田保善携带一份关于这批西红柿质量的调查报告也随后赶到。报告中指出：“这批西红柿共有1500吨，其中大约20%可评为纯 A 等，其余为混 C 等”。

高副厂长向叶科长仔细询问了下一年度中对西红柿罐头的需求情况，叶科长向大家汇报了有关这方面的需求预测（见表1）。他还告诉大家：“这些罐头产品的价格是根据本厂的长远战略规划而确定的，它们预示了本厂产品的潜在的销路。”

表1 渤海罐头食品厂西红柿罐头需求预测

听完叶科长的汇报后，魏科长首先发言。他认为本厂将有希望在西红柿罐头的生产中获利。根据他已建立的会计系统，可以有效地算出各种产品是利润。早在当年5月本厂与市郊农场签订了一份以每千克0.12元的平均价格购买一批西红柿的合同，魏科长便算出了该年加工西红柿果实可以获得的利润（见表2）。根据他分析，在加工整蕃茄罐头上可获得的且逐渐提高的利润远比其他产品的利润可观，而整蕃茄罐头的销路最佳，因此他认为本厂应当把这批西红柿果实全部用于加工整蕃茄罐头。

表２渤海罐头食品厂西红柿罐头利润（元／罐）

听到这里，田科长提醒魏科长注意：虽然工厂有足够的生产能力，但是将这批西红柿果实全部用于加工整蕃茄罐头是不可能的，因为这批西红柿原料中质量纯 A等的所占比例太小。根据本厂《质量管理规范》，西红柿原料及其制品的质量均按百分制评定，较高的分数代表较高的质量。依据《规范》，质管科对这批西红柿的质量评分为：纯 A等的每千克90分，混 C等的平均每千克40分。而用来制做整蕃茄罐头的西红柿原料的质量不得低于平均每千克80分，蕃茄汁不得低于平均每千克45分，而蕃茄酱不得低于平均每千克40分，这意味着可用于加工整蕃茄罐头的西红柿原料最多不超过300吨。

高副厂长认为这并不一定要作为对整蕃茄罐头产品的限制。他最近曾责令供应科派人跟农场商谈过以每千克0.18元的价格购买400吨纯 A等西红柿，但未谈成。不过，高副厂长仍然感到问题不是太大。

接着，叶科长根据他所做的一些计算结果发表了自己的见解。尽管他也同意魏科长关于本厂将有希望在西红柿罐头的生产中获利这一基本观点，但他认为这笔利润的获得并非取决于整蕃茄罐头的生产。叶科长说：“西红柿罐头的原料费用应是根据西红柿的质量与数量这两者来确定的，而不是单纯取决于数量。”基于这一观点，他重新计算了西红柿原料的费用：

设: x = 纯 A等西红柿的费用（元/千克）, y = 混 C等西红柿的费用（元/千克）

则有: 300000x + 1200000y = 1500000×0.12 , x/90 =y/40

解得: x = 0.216（元/千克）, y = 0.096（元/千克）

据此，再根据西红柿罐头的原料质量标准，他算出了每种西红柿罐头的原料费用与利润（见表3）。

表3 （单位：元/罐）

根据以上计算结果，叶科长认为：应取1000吨混 C等西红柿用于生产蕃茄酱，余下的200吨混 C等西红柿和所有的纯 A等西红柿用于生产蕃茄汁。若预测的需求量得以实现的话，则工厂将可以在本年度西红柿果实的加工中期望获得利润三万八千元。

案例四：特塞格公司（Texago Corporation）的选址问题

问题描述

特塞格公司（Texago Corporation）是一家设在美国本土的大型一体化石油公司。这家公司大部分的石油在公司自己的油田中生产，所需的其他部分从中东地区进口。公司拥有大型配送网络，把石油运送到公司的炼油厂，然后再把石油产品从炼油厂运送到公司的配送中心。这些设施的所在地如表1所示。

表1 特塞格公司目前设施的所在地

特塞格公司正在持续增加其几种主要产品的市场占有率。因此管理层决定建立一个新的炼油厂来增加公司的产量，同时增加从中东地区进口石油的数量。接下来所要作出的决策就是确定在什么地方建设新的炼油厂。新的炼油厂的加入对整个配送系统都将产生巨大的影响，其中包括要确定从每一个出发地运输到新的炼油厂的原油数量，以及从每一个炼油厂运送石油制品到每一个配送中心的数量。因此，影响管理者选择新炼油厂建设地点的三个关键因素是：

1、从出发地运送原油到所有炼油厂（包括新炼油厂）的成本；

2、从所有炼油厂（包括新炼油厂）运送石油制品到每一个配送中心的成本；

3、新的炼油厂的运作成本，包括劳动力成本、税赋、原料（不包括原油）成本、能源成本、

保险成本，等等。（资金成本并不是一个所要关心的因素，因为任何地点的资金成本几乎都是相同的。）

管理层决定成立一个特别工作小组来专门研究在什么地点建造这个新炼油厂的问题。经过大量的研究，特别工作组确定了三个非常有潜力和吸引力的备选地点。这些地点以及每一个地点的主要优势如表2。

表2 特塞格公司新炼油厂的备选建造地点他们的主要优势

收集必要的数据

特别工作小组需要收集大量的数据，其中一些数据甚至需要进行大量的挖掘工作，以此来对管理层提出的问题——新炼油厂的选址问题进行分析。

管理者希望所有的炼油厂（包括新炼油厂）都能够满负荷运转。因此，特别工作组需管理者希望所有的炼油厂（包括新炼油厂）都能够满负荷运转。因此，特别工作组需要确定这种种条件下每一个炼油厂每年所需要的原油数量是多少。使用100万桶为计量单位，这些需求量的数据如表3-1所示。表3-2各个油田每年的石油产量。这些数据在未来几年中预计将保持稳定。由于炼油厂所需要的原油总量为3.6亿桶，而公司的油田只能自己生产出2.4亿桶，所以不得不从中东进口1.2亿桶原油。

表3-1 特塞格公司的生产数据

表3-2

由于不管炼油厂建在什么地方，原油需总求量是不会改变的，特别工作小组以此得出结论：相关的生产和购买成本（不包括运输成本）与新炼油厂的选址无关；另一方面，原油从出发地运输到炼油厂的运输成本和新炼油厂的建立地点紧密相关。表4给出了从原油产地到现有三个炼油厂以及三个备选新炼油厂地点的运输成本。

另一个紧密联系的因素是把石油制品从炼油厂运送到公司配送中心的运输成本。如果加工一个单位原油就可以得到一个单位石油制品（中间没有什么消耗）的话，就可以列出这些运输成本，如表5所示，单位是百万桶。这个表的最后一行显示了每一个配送中心所需要的石油制品数量。

最后一个关键数据是每一个备选地点新炼油厂的运营成本。要对这些数据进行估计就要派出几名特别工作组的成员来收集相关的劳动力成本、税赋等详细数据。参照一个现在正在运营的炼油厂运营成本，可以帮助我们对这些数据进行提炼。而且特别工作组还要收集在这个地点建设新炼油厂所需要的土地成本、建设成本以及其他成本。然后以年金的形式摊销这些成本，就可以得到如表6所示的计算结果。

表4 特塞格向炼油厂运输原油的运输成本数据

表5 特塞格公司把石油制品运送到配送中心的运输成本数据

表6 特塞格公司在每一个备选地点建新炼油厂的估计运营成本数据

案例分析报告写作基本要求：

1、对问题背景材料的理解、认识。

2、对决策者应考虑的问题的分析、归纳。

3、针对问题应采用的优化模型的适应性描述。

4、对决策方案的应用环境分析。

5、报告完成过程的总结,体会。

案例五：邮件分检系统— Letter Mail System

背景资料：

美国辛辛拉提市邮局每日需处理大量邮件的分检，经调查，每日邮件量在400,000至4,000,000件之间。此外，对整日工作的邮政单位的统计表明 40%~60% 搜集和接受的邮件（一类）是在午后（16：00~18：00）来的。这种多变的情况表明，要充分利用自动系统（分信机）是困难的，且每台分信机的价格十分昂贵，市邮局现有一台分信机。

另一方面，采用人工分信却很灵活，因为在一天的高峰时间和一年的高峰期间可以将处理非重要信件的劳动力调去加强处理重要信件。同时，分信员是计时付酬的，因此可分配其在高峰时间工作。该邮局有三种不同信件用手工或机器处理。邮局信件处理系统如图1。

作为输入数据，对2,000,000封信件的典型总量进行分析。表一，表二分别给出了费用比较和分信能力的实际数据。图2描述了信件到达模式。

表一手工分信与机器分信费用的比较

表二分信机每班（8小时）单独处理信件的能力和每日信件数量

案例分析报告要求：

1．简述对案例的分析和理解；

2．决策变量的分析确定；

3．系统的目标分析；

4．分信系统的约束分析；

a．系统的能力约束

b．邮件到达量变化约束

5．建立线性规划模型来反映分信系统决策问题，求解并对其进行简单分析阐述。

图1 信件处理系统

图2 辛辛拉提市邮局信件到达情况

图2的详细资料：

1． 第一类邮件每天在第三班（16：00-24：00）时收到的最多。大约5%的第一类邮件是在第一班到

达，第一班和第二班总到达量占35%，全部信件必须在三班内分完。

2． 大约30%的第二类邮件在第二班结束前收到，65%的第二类邮件在第三班结束前收到，所有第二类

邮件在第二天第一班结束前分完。

3． 第三类邮件的50%是在第三班到达，70%是在第二天的第一班结束前 到达的，第二天的第二班结束时收到全部第三类邮件。

1类邮件（搜集与接受）达到情况 2类邮件（外来）达到情况 3类邮件（转送）达到情况

截止时间

截止时间

截

止时间

0.5

1.0

0 0.5

1.0

0 0.5

1.0

0：00 4：00 8：00 12：00 16：00 20：00 24：00

案例六: 曲酒勾兑生产

背景资料：

四川省素有白酒生产第一大省之称。邛来某曲酒生产厂生产三种不同等级的曲酒，该曲酒的商标分别为红、黄、蓝三种商标，它们分别由三种不同的原料酒勾兑配制而成，该厂的三种原料酒每天的产量以及单位成本如表1。

表1

各种商标的曲酒对原料酒的混合比以及销售价格由表2给出。

表2

该厂决策者希望：首先必须尽可能按照质量规定比例勾兑配制各种商标的曲酒；其次是尽可能获得最大利润；再次是红商标曲酒的产量每天最好多于2000千克。

案例七：

CASE: THE GENTLE LENTIL RESTAURANT

An Excellent Job Offer

Sanjay Thomas, a second-year MBA student at the M.I.T. Sloan School of Management, is in a very enviable position: He has just received an excellent job offer with a top-flight management consulting firm. Furthermore, the firm was so impressed with Sanjay’s performance during the previous summer that they would like Sanjay to start up the firm’s prac tices in its new Bombay office .The synergy of Sanjay’s previous consulting experiences (both prior to Sloan and during the previous summer), his Sloan MBA education, and his fluency in Hindi offer an extremely high likelihood that Sanjay would be very successful, if he were to accept the firm’s offer and develop the Bombay office’s practice in India and southern Asia.

Sanjay is a rather contemplative individual who tries to see the bigger picture of events and decisions in life. He is very excited about the job offer for a number of good reasons. He likes the intellectual and business stimulation of management consulting, and the great variety of assignments and business situations that consultants have the opportunity to deal with. Also, the salary offer is excellent ($80,000 for the first year). However, he is also apprehensive. The lifestyle of management consultants is taxing. There is constant travel, and much of the travel is rather routine. Furthermore, in Sanjay’s summer consulting experience he ofte n had to cancel his personal plans at the last minute in order to accommodate spurts of unexpected work in the evenings and on weekends. While Sanjay is very energetic and motivated, and he enjoys hard work, he is also committed to maintaining a healthy personal life as well. Career development is but one piece of his many aspirations.

A Different Career Path?

The job offer has catalyzed Sanjay to think more seriously about one particular career alternative he has pondered over the last two years, namely to open his own upscale restaurant serving gourmet Indian cuisine. Sanjay is attracted to this plan for a number of reasons. For one, he has always wanted to start his own business. Second, he has always had a passion and talent for gourmet Indian cuisine. Third, he enjoys being a good host, and in fact hospitality has always been an integral part of his lifestyle.

In terms of lifestyle issues, Sanjay knows several restaurant owners who also work extremely long hours; his Aunt Sona owns a restaurant in Bethesda, Maryland, and she is always working. But as hard as his aunt works, Sanjay feels that these hours constitute a very different lifestyle from that of a management consultant. There would be very little if any travel involved and so he would be able to participate more in his community. And although the restaurant business might demand extreme effort from time to time, Sanjay figures that such situations would not arise as often as in a consulting career. The most important difference for Sanjay is that he would be working for himself, and that the business would be more fun than consulting (although he also has enjoyed consulting quite a bit as well). Sanjay believes that his high energy, management skills, and interest in gourmet Indian cuisine would form the essential ingredients needed to open and successfully operate his own restaurant, which he has

temporarily named the Gentle Lentil Restaurant.

The non-financial advantages of consulting (variety of work, intellectual challenge) seem to be evenly matched against the non-financial advantages of opening the Gentle Lentil Restaurant (less travel, business ownership). The financial implications of the two alternatives might be very different, however. In addition to his desire to earn a good salary, Sanjay also would like to pay off his educational debt obligations, which are rather substantial. (Lie many other students attending top business schools, Sanjay financed a big portion of his education through student loans.) In order to maintain a reasonable lifestyle while paying off his loans after graduation, Sanjay has figured that he would need to earn approximately $5,000 per month before taxes.

Making an Informed Decision

As part of one of his course projects last semester on entepreneurship, Sanjay actually conducted a profitability analysis of a sample of gourmet Indian restaurants in major East Coast cities, starting with his aunt’s restaurant. After adjusting the data to reflect the cost-of-living standard in Boston, Sanjay used the information to define benchmark costs and revenues for the Gentle Lentil Restaurant concept. These data are based on siting the restaurant, with a seating capacity of 50 patrons, in the Harvard Square area, borrowing money to construct the interior structure, and leasing all capital equipment for the restaurant.

Sanjay estimated the monthly non-labor fixed costs of operating the Gentle Lentil Restaurant to be $3,995 per month, see the cost analysis in Appendix 1 at the end of the case. He also estimated the variable costs of food to be $11/meal served. Among the many uncertainties in the restaurant business, there were three uncertain variables that tended to dominate the profitability equation: the number of meals sold (per month), the revenue per meal, and the (fixed) labor costs of the restaurant. From his conversations with many restaurant owners, Sanjay was able to estimate actual distributions for these three crucial uncertain variables, as follows.

●Number of meals sold. Sanjay estimated that for a restaurant like the Gentle Lentil

suitably sited in the environs of Harvard Square with a seating capacity of 50 persons, the number of meals sold per month would obey a Normal distribution with a mean of μ=3,000 meals and a standard deviation of σ=1,000 meals.

●Revenue per Meal. Since The Gentle Lentil Restaurant would provide a gourmet dining

experience, Sanjay would plan to offer prix fixe (fixed price)meals and would set the price of the meals according to his own estimate of what the local economy and what the market for gourmet dining would support. His own personal estimate, based on discussion with friends and gourmet food aficionados, is shown in Table 5.12. In this range of meal prices, we will assume, for modeling purposes, that the monthly demand will not be affected by the meal price.

●Labor Costs.Sanjay estimated that the labor costs for the Gentle Lentil Restaurant

would be somewhere between $5,040 per month and $6,860 per month. (For the details of how he arrived at these two numbers, see Appendix 2at the end of the case.) Without any other information, Sanjay assumed that actual labor costs would obey a continuous uniform distribution in this range.

An Unusual Partnership Opportunity

It was obvious to Sanjay that there would be substantially more risk involved in the Gentle Lentil Restaurant than in accepting the consulting position. When he mentioned this to his aunt in a phone conversation, she offered him the following financial “partnership” opportunity to increase his incentive to undertake the Gentle Lentil venture. Under the financial partnership, his aunt would guarantee Sanjay a monthly salary of at least $3,500. That is, if earnings in a given month fell below $3,500, she would cover the difference, In exchange for this, his aunt would receive 90% of all monthly earnings in excess of $9,000. If earnings were between $3,500 and $9,000, all such moneys would go to Sanjay. It seemed to Sanjay that the effect of this partnership was to reduce the likelihood that his monthly salary would be very high.

Assignment:

(a) Without considering the partnership opportunity, what would be Sanjay’s expected

monthly salary at Gentle Lentil? How does this compare to his monthly salary at the consulting firm? (b) Without considering the partnership opportunity, try to compute the standard deviation of Sanjay’s monthly salary at Gentle Lentil. What problems do you encounter?

(c)

If you were Sanjay, what quantitative questions about the potential salary at Gentle Lentil (with and without the partnership opportunity) would you want to answer before deciding whether to launch the Gentle Lentil Restaurant or to accept the consulting position?

TABLE 1

Likelihood of prix fixe meal price

Appendix 1

Monthly Non-Labor Fixed Costs for the Gentle Lentil Restaurant

Table 2 shows Sanjay Thomas’ estimate of the monthly non -labor fixed costs for the Gentle Lentil Restaurant.

TABLE 2

Monthly non-labor Fixed costs for the Gentle Lentil Restaurant

Notes:

1. Sanjay assumed that Gentle Lentil would lease all restaurant equipment, and that all

other capital expenditures would be financed through loans. 2. Description of fixed cost categories is as follows:

Rent: cost of restaurant space

●Leased Equipment: kitchen equipment, furniture, cash register, computer

●Utilities: gas, electricity, water

●Insurance: general liability, fire

●Loan repayment: repayment on 5-year bank loan at market rate

●Advertising / Promotion: general marketing activities (advertisements, matchbook,

etc.)

●Miscellaneous: menus, furniture repair, etc.

Appendix 2

Labor Costs for the Gentle Lentil Restaurant

Sanjay estimated the minimum and maximum monthly labor costs as shown in Table 3. TABLE 3

Monthly labor costs

For the Gentle Lentil

Restaurant

层次分析数学建模案例

层次分析数学建模案例

基于层次分析法的护岸框架最优方案选择【摘要】长期以来，四面六边透水框架在河道整治等工程中，因其取材方便、自身稳定性、透水性、阻水性好、适合地形变化等特性优点而被广泛的应用。但是，在抛投和使用过程中，存在被水流冲击而翻滚移位、结构强度的不足、难以合理互相钩连的问题，使框架群不能达到理想的堆砌效果。本文主要探讨如何合理设计改进现有护岸框架，以最大程度减少框架群被水流冲击翻滚移位的情况，增加框架群在使用过程中互相钩连程度和结构强度，达到减速促淤效果。 针对问题，我们结合四面六边透水框架本身的优势特性，在原有框架的基础上进行改进设计，根据三角形稳定性的特性，通过应用机理分析，进行物理图形构

造，设计出三种供选方案。 模型一：构建四面六边带触脚框架模型（图 5.2），该模型在四面六边透水框架的基础上，运用触脚设计，较好的融合增强四面六边透水框架本身的优点特性，使框架达到不易翻滚，并与其他的框架自然地相互钩连。 模型二：构建六面九边带触脚框架模型（图5.6），该模型是对模型一的改进，综合模型一和原型模型的结构，不仅具备良好的亲水性、阻水性和稳定性，而且触脚比模型一更多，使框架更加稳定，不易翻滚、框架群之间也更容易钩连；同时，模型二施工简单，更容易构造，也更加节约经济造价成本。 模型三：构建双四面六边护岸框架模型（图5.12），该模型设计内外双层四面

六边透水框架体，旨在增加护岸框架结构强度和稳定性及阻水性。运用内外双层结构设计，形成内外双层保障。由三角形的稳定性可以得知该模型结构强度高、稳定性强。 模型四：应用层次分析法对如何科学、合理地进行选择护岸框架，进行系统的分析。选取施工时架空率易接近4到6、结构强度、不易翻滚程度、框架群间易钩连程度、生产成本及易生产、施工简易度六个因素指标为准则层，选取原有护岸框架和本文设计的三个框架模型作为方案层，运用Matlab软件计算比较，最后得出结论为：模型二（六面九边带触脚框架模型）为最优护岸框架模型。 【关键词】护岸框架层次分析法立

数学建模模型案例

数学建模模型案例 一、旅行商问题(TSP) 旅行商问题是一个典型的数学优化问题，在旅行商问题中，旅行商需要在给定的一系列城市之间找到一条最短路径，使得他能够只经过每个城市一次并最终回到起点城市。这个问题可以用图论和线性规划等方法来进行建模和求解，可以应用于物流配送、路径规划等领域。 二、股票价格预测模型 股票价格预测是金融领域中的一个重要问题。可以使用时间序列分析、机器学习等方法来建立股票价格预测模型。模型需要考虑多个因素，如历史股价、经济指标、市场情绪等，以预测未来股票价格的趋势和波动。 三、疫情传播模型 疫情传播模型是在流行病学领域中使用的一种数学模型，用于研究疾病在人群中的传播规律。常见的疫情传播模型有SIR模型、SEIR 模型等，这些模型可以用来预测疫情的传播速度、感染人数以及制定相应的防控策略。 四、能源优化调度模型 能源优化调度模型用于优化电力系统、能源系统等中的能源调度问

题。这种模型需要考虑电力需求、能源供应、能源转换效率等因素，以最小化成本或最大化效益，并且满足各种约束条件。 五、机器学习分类模型 机器学习分类模型用于将数据集中的样本分为不同的类别。这种模型可以使用各种机器学习算法，如逻辑回归、决策树、支持向量机等，以根据样本的特征来预测其所属的类别。 六、交通拥堵预测模型 交通拥堵预测模型用于预测城市交通网络中的拥堵情况。这种模型可以使用历史交通数据、天气数据、道路网络数据等进行建模，以预测未来某个时刻某个路段的交通状况，并提供相应的交通管理建议。 七、供应链优化模型 供应链优化模型用于优化供应链中的物流和库存管理等问题。这种模型需要考虑供应商、生产商、分销商之间的关系，以最小化库存成本、运输成本等，并满足客户需求。 八、排课调度模型 排课调度模型用于学校或大学的课程安排问题。这种模型需要考虑教室、教师、学生、课程等因素，以最大化教学效果、减少冲突，

数学建模——蒙特卡洛简介

——蒙特卡洛方法（案例） 蒙特卡罗方法是一种计算方法。原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。 它非常强大和灵活，又相当简单易懂，很容易实现。对于许多问题来说，它往往是最简单的计算方法，有时甚至是唯一可行的方法。 它诞生于上个世纪40年代美国的"曼哈顿计划"，名字来源于赌城蒙特卡罗，象征概率。

第一个例子是，如何用蒙特卡罗方法计算圆周率π。 正方形内部有一个相切的圆，它们的面积之比是π/4。 现在，在这个正方形内部，随机产生10000个点（即10000个坐标对 (x, y)），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部。 如果这些点均匀分布，那么圆内的点应该占到所有点的π/4，因此将这个比值乘以4，就是π的值。通过R语言脚本随机模拟30000个点，π的估算值与真实值相差%。 上面的方法加以推广，就可以计算任意一个积分的值。 比如，计算函数 y = x2 在 [0, 1] 区间的积分，就是求出下图红色部分的面积。 这个函数在 (1,1) 点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。在该正方形内部，产生大量随机点，可以计算出有多少点落在红色区域（判断条件 y < x2）。这个比重就是所要求的积分值。

用Matlab模拟100万个随机点，结果为。 四、交通堵塞 蒙特卡罗方法不仅可以用于计算，还可以用于模拟系统内部的随机运动。下面的例子模拟单车道的交通堵塞。 根据 Nagel-Schreckenberg 模型，车辆的运动满足以下规则。 当前速度是 v 。 如果前面没车，它在下一秒的速度会提高到 v + 1 ，直到达到规定的最高限速。 如果前面有车，距离为d，且 d < v，那么它在下一秒的速度会降低到 d - 1 。 此外，司机还会以概率 p 随机减速，将下一秒的速度降低到 v - 1 。 在一条直线上，随机产生100个点，代表道路上的100辆车，另取概率 p 为。 左图中，横轴代表距离（从左到右），纵轴代表时间（从上到下），因此每一行就表示下一秒的道路情况。 可以看到，该模型会随机产生交通拥堵（图形上黑色聚集的部分）。这就证明了，单车道即使没有任何原因，也会产生交通堵塞。

数学建模案例分析--最优化方法建模7习题六

习题六 1、某工厂生产四种不同型号的产品，而每件产品的生产要经过三个车间进行加工，根据该厂现有的设备和劳动力等生产条件，可以确定各车间每日的生产能力（折合成有效工时来表示）。现将各车间每日可利用的有效工时数，每个产品在各车间加工所花费的工时数及每件产品可获得利润列成下表： 试确定四种型号的产品每日生产件数,,,,4321x x x x 使工厂获利润最大。 2、在车辆拥挤的交叉路口，需要合理地调节各车道安置的红绿灯时间，使车辆能顺利、有效地通过。在下图所示的十字路口共有6条车道，其中d c b a ,,,是4条直行道，f e ,是两条左转弯道，每条车道都设有红绿灯。按要求制定这6组红绿灯的调节方案。首先应使各车道的车辆互不冲突地顺利驶过路口，其次希望方案的效能尽量地高。即各车道总的绿灯时间最长，使尽可能多的车辆通过。 d a b c 提示：将一分钟时间间隔划分为4321,,, d d d d 共4个时段，()()()f J b J a J ,,, 为相应车道的绿灯时间。 ()d J

3、某两个煤厂A 和B 每月进煤量分别为60吨和100吨，联合供应三个居民区C 、D 、E 。这三个居民区每月对煤的需求量依次分别是50吨、70吨、40吨。煤厂A 与三个居民区C 、D 、E 的距离分别为10公里、5公里和6公里。煤厂B 与三个居民区C 、D 、E 的距离分别为4公里、8公里和12公里。问如何分配供煤量可使运输总量达到最小？ 4、某工厂制造甲、乙两种产品，每种产品消耗煤、电、工作日及获利润如下表所示。现有煤360吨，电力200KW.h ，工作日300个。请制定一个使总利润最大的生产计划。 5、棉纺厂的主要原料是棉花，一般要占总成本的70%左右。所谓配棉问题，就是要根据棉纱的质量指标，采用各种价格不同的棉花，按一定的比例配制成纱，使其既达到质量指标，又使总成本最低。棉纱的质量指标一般由棉结和品质指标来决定。这两项指标都可用数量形式来表示。棉结粒数越少越好，品质指标越大越好。一个年纺纱能力为15000锭的小厂在采用最优化方法配棉前，某一种产品32D 纯棉纱的棉花配比、质量指标及单价见下表： 有关部门对32D 吨棉纱规定的质量指标为棉结不多于70粒，品质指标不小于2900。请给出配棉方案。 6、某公司经营两种物品，第一种物品每吨售价30元，第二种物品每吨售价450元。根据统计，售出第一种物品每吨所需要的营业时间平均是0.5小时，每二种物品是2+0.252x 小时，其中2x 是第二种物品的数量。已知该公司在这段时间内的总营业时间为800小时，试决定使其营业额最大的营业计划。 7、设有400万元资金，要求4年内用完，若在一年内使用资金x 元，可得到利润x 万元（利润不能再使用），当年不用的资金可存入银行，年利率为10%。试制定出资金的使用计划，以使4年利润为最大。 8、某工厂向用户提供一种产品，按合同规定，其交货数量和日期是：第一季度末交40吨，第二季度末交60吨，第三季度末交80吨。工厂的最大生产能力为每季度100吨，每季度的生产费用是2 2.050)(x x x f +=（元），其中x 为该季度生产该产品的吨数。若工厂生产的多，多余的产品可移到下季度向用户交货，这样，工厂就要支付存储费，每吨该产品每季度的存储费为4元。问该厂每季度应生产多少吨该产品，才能既满足交货合同，又使工厂所花的费用最少（假设第一季度开始时该产品无存货）。 9、现有一节铁路货车，车箱长10米，最大载重量为40吨，可以运载7类货物包装箱。包装箱的长度和重量不同，但宽和高相同且适合装车，每件包装箱不能拆开装卸，只能装或不装。每件货物的重量、长度与价值如下表所示：

数学建模案例精选知到章节答案智慧树2023年济南大学

数学建模案例精选知到章节测试答案智慧树2023年最新济南大学 第一章测试 1.在商人过河问题中，如果设彼岸的人数情况为案例中的变量，则状态转移函 数变为（） 参考答案: s k+1=s k +（-1）k+1 d k 2.下面哪一个不是商人过河允许的状态（） 参考答案: (2,1) 3.关于商人过河问题，下面说法错误的是（） 参考答案: 商人过河要保证每一岸的商人数和随从数一样多 4.关于路障间距设计问题，说法不正确的（） 参考答案: 不可以假设汽车做匀速运动 5.关于机理分析说法不正确的是（） 参考答案: 将研究对象看做一个黑箱

第二章测试 1.Lingo软件不可以直接求解哪一类优化模型（）. 参考答案: 多目标规划 2.在露天矿生产的车辆安排问题中，已知铲位1到岩石漏距离为5.26km,车辆 平均速度为28km/h,请问这条线路上运行一个周期平均所需时间Tij为（）(请保留两位小数). 参考答案: 8.38;30.54;19.27 3.在露天矿生产的车辆安排问题中，基本假设不变，若某天线路上的T ij=19 分钟，车辆开始工作的时间可以不同，工作后车辆不会发生等待，则该线路上最多可以安排（）辆卡车？ 参考答案: 4 4.在露天矿生产的车辆安排问题中，基本假设不变，若某天线路上的Tij=17 分钟，安排3辆车在该线路上工作，开始工作的时间可以不同，开始工作 后车辆不会发生等待，则三辆车在一个班次内的最大运算趟数是（）？ 参考答案: 28,27,27

5.在露天矿生产的车辆安排问题中，基本假设不变，车辆开始工作的时间可以 不同，开始工作后车辆不会发生等待，若可以安排3辆车在同一条线路上 工作，则三辆车在一个班次（8小时）内的工作时间（分钟）不可能是 （）. 参考答案: 479,471,474 第三章测试 1.假设快速喝下1瓶啤酒，酒精从肠胃向体液的转移速度与胃肠中的酒精含 量x成正比，比例系数为k，则得到的微分方程为？（）。 参考答案: 2.模型中有未知参数，给定了测试数据，确定参数的最佳方法为（）。 参考答案: 数据拟合 3.基于本模型，不同体重的人在短时间内快速饮酒的条件下，体液内酒精浓度 达到最大值的时间相同吗？（）。 参考答案: 没有关系 4.基于本模型，酒后恢复驾车的时间与人的体重有没有关系？（）。 参考答案: 体重越大，酒后恢复驾车的时间越短

数模案例集

案例一: 买房问题— Buying a House 背景资料： 张丽和王跃夫妻俩工作时间不太长，在这座繁华的大都市里，他们还没拥有属于自己的房子。近年城市中心的房地产价格上涨迅猛，所以他们改变了最初买新房子的计划，而准备买一所合适的二手房。经过一段时间多方寻找，终于在城南了解到一处房产。今天是星期六，他俩早早地如约去看了房子和环境。房产中介人小李告诉他们，房屋标价是￥400,000，而有超过10个买主都有购买的意向。如果他俩看好此房，应该在近一两天拍板，因为据他了解的情况，另外有一个买主可能今天下午会提出其买价。所以小李给他俩建议，如有意买此房，则他们所提出的买价应该要很接近￥400,000。中介人小李还告诉他们，根据他的中介交易经验，如果有另外的买主的报价也接近这个标价时，在有这种竞争报价时，一般情况下房主会通知中介人，要求买主在第二天提出他们的最终报价。 小张和小王为了作出这次重大的决策，他俩又再次详细考察了该房的所有情况。小王决定采用决策树的方法来分析他的这次重大决策。夫妻俩都认为￥400000的价格是比较公平合理的，同时，如果他们能最终买得此房的话，他们还为此房添加了￥10000的“情感价值”，也就是说，在他们夫妻俩的心中，该房值￥410000。这样，假如最终他们能以￥390000成功地买到此房就相当于他们额外赚了￥20000。当然，假如最终他们没能买到此房，那么这额外的附加值就为￥0。最后，小王经过分析认为，他们是此房的唯一报价人的可能性很小，其概率估计只有0.3。 反复考虑之后，小王决定今天下午就给中介人小李回话。接下来他准备分析三种报价：￥390000，￥400000或￥405000。他估计，如果他是唯一的报价买主的话，那么￥390000能成交的概率是0.4，￥400000能成交的概率是0.6，而￥405000能成交的概率是0.9。然而，不管怎么说，有很大的可能性是买主不只他一人。这样，中介人小李就会告诉他：“房主要求第二天提出其最终报价”。这时，小王就不得不重新考虑他应该怎么办：他可以取消报价而放弃买该房，他也可以再次报出与第一次同样的价格，还可以在第一次报价的基础上增加￥5000。小王认为，在有多人竟价的情况下，最终他们能以￥390000成功地买到此房的概率是0.2，以￥395000成功地买到此房的概率是0.3，以￥400000成功地买到此房的概率是0.5，以￥405000成功地买到此房的概率是0.7，而以￥410000成功地买到此房的概率是0.8。

全国数学建模大赛python编程经典案例

全国数学建模大赛python编程经典案例 摘要： 一、全国数学建模大赛介绍 二、Python 编程在数学建模中的优势 三、Python 编程在数学建模大赛中的经典案例 四、结论 正文： 一、全国数学建模大赛介绍 全国数学建模大赛是我国高校数学教育领域中的一项重要赛事，旨在通过对现实问题进行抽象、建模和求解，培养学生的创新意识、团队协作精神和实际问题解决能力。该赛事每年举办一次，吸引了众多高校和学生的积极参与。 二、Python 编程在数学建模中的优势 Python 作为一门广泛应用于数据分析、科学计算和人工智能等领域的编程语言，具有易学易用、语法简洁、库函数丰富等优点，使得它在数学建模中具有很大的优势。 1.语法简洁：Python 语言的语法简洁明了，使得编程者能够更加专注于问题本身，而不是耗费大量时间在语法的纠缠上。 2.库函数丰富：Python 有许多成熟的数学库，如NumPy、SciPy、Pandas 等，它们包含了大量实用的函数和方法，可以有效提高数学建模的效率。 3.可视化能力强：Python 提供了丰富的可视化库，如Matplotlib、

Seaborn 等，可以帮助建模者直观地展示和分析数据，更好地理解问题。 三、Python 编程在数学建模大赛中的经典案例 在全国数学建模大赛中，Python 编程已经得到了广泛的应用，并产生了许多经典案例。以下以某年获奖作品“基于Python 编程的空气质量预测模型”为例，介绍Python 编程在数学建模中的应用。 该作品通过收集和整理大量的空气质量数据，构建了一个基于Python 编程的空气质量预测模型。具体步骤如下： 1.数据预处理：利用Python 的Pandas 库对原始数据进行清洗和整理，得到符合建模需求的数据集。 2.特征工程：使用Python 的NumPy、SciPy 库对数据集进行特征提取和筛选，构建特征矩阵。 3.模型构建：采用Python 的Scikit-learn 库，结合不同机器学习算法（如线性回归、支持向量机等），构建多个空气质量预测模型。 4.模型评估与优化：通过交叉验证等方法对模型进行评估和优化，选择最优模型进行预测。 5.结果展示与分析：利用Python 的Matplotlib、Seaborn 库对预测结果进行可视化展示和分析，得出结论。 四、结论 综上所述，Python 编程在数学建模大赛中具有很大的优势，能够帮助建模者提高效率、直观地展示分析数据。

数学建模食品集团生产分配

数学建模食品集团生产分配 摘要： I.引言 - 介绍数学建模在食品集团生产分配中的应用 II.食品集团生产分配的挑战 - 生产与销售的不平衡 - 物流配送的复杂性 - 成本与效率的平衡 III.数学建模在食品集团生产分配中的应用 - 预测需求 - 优化生产计划 - 物流配送路径优化 - 库存管理 IV.案例分析 - 某食品集团应用数学建模提高生产分配效率 V.结论 - 数学建模对食品集团生产分配的重要性 正文： 随着人们生活水平的提高，对食品质量和种类的需求也越来越高，食品集团面临着生产与销售不平衡、物流配送复杂、成本与效率平衡等挑战。在这样的背景下，数学建模在食品集团生产分配中的应用变得越来越重要。

首先，数学建模可以用于预测需求。通过收集历史销售数据，建立回归模型等方法，可以预测未来某个时间段的食品需求量，为生产计划提供依据。 其次，优化生产计划。根据预测的需求量，结合生产能力、成本等因素，可以制定出最优的生产计划，以满足市场需求的同时，降低成本、提高效率。 再者，数学建模可以用于物流配送路径优化。通过分析物流配送的路径、运输时间、运输成本等因素，可以找到最短或最优的配送路径，提高物流效率。 最后，数学建模在库存管理方面也发挥着重要作用。通过建立库存模型，可以预测库存水平，制定合理的进货和补货策略，避免库存积压和缺货风险。 某食品集团通过应用数学建模，成功提高了生产分配效率。该集团首先收集了历史销售数据，并建立了回归模型预测未来需求。然后，结合生产能力和成本等因素，制定了最优生产计划。在物流配送方面，通过分析配送路径、运输时间和成本等因素，找出了最短的配送路径。此外，该集团还通过建立库存模型，对库存进行了有效管理。结果，该集团的生产分配效率得到了显著提高。 总之，数学建模在食品集团生产分配中发挥着重要作用。

2020年高中数模美赛B题中文及解法思路

2020年高中数模美赛B题中文及解法思路 2020年高中数模美赛B题中文及解法思路 解法思路： 1）计算48种濒危物种需要保护的费用，计算筹资额度，求出最佳筹资计划。 2) 根据48种濒危物种生存情况，用回归模型确定保护费用与时间的关系，从而确定筹资计划（时间线要求的资金）。 问题B 问题：资助生物多样性保护 参考为问题B提供的数据：在这些数据的情况下，电子表格显示了每个特定项目每年所需的预计资金。数据单元格中的破折号（-）表示该特定项目不需要任何资金。 背景：数千种植物和动物面临着可能导致它们灭绝的威胁，而可以拯救它们的生物多样性保护行动往往是可用的。当生物多样性保护资金有限时，保护管理者面临着艰难的决定。管理者需要决定他们应该资助哪些项目来最好地实现他们的目标，其中最重要的是拯救最多的物种。如果某些保护行动的效益因项目而异，这些行动对特定项目的成本不同，并且这些行动的可用资金远远少于支持所有拟议项目所需的资金，这一点尤为重要。 使这一问题变得更加困难的一个问题是，每个项目的时间线和生命周期各不相同。保护项目可能需要数年或数十年的时间，项目期间产生成本的时间表可能会因项目的范围、位置、目标物种和负责机构的不同而有很大差异。这意味着保护项目的预算必须为项目的整个生命周期提供足够的资金。此外，管理人员需要密切监控其预算，以有效分配资金，因为资源需求因项目和时间而异。例如，当一些项目需要更多资金时，他们需要确保有足够的资源可用，而当一些项目要求较少时，他们则需要充分利用。 目标：确定如何有效地投资于长期开展的濒危和受威胁物种的生物多样性保护活动，以及这些活动的预期成本随时间而变化。

初中数学建模案例集精之2第二章 角平分线四大模型

N M O A B P 2图4321A C P B D A B C 图1A B D C A B D C P P O N M B A 第二章 角平分线四大模型 模型1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作 PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。 结论：PB=PA 。 模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 模型实例 （1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D 到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。 求证：AP 平分∠BAC 。 热搜精练 1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。 2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。 模型2 截取构造对称全等 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。 结论：△OPB ≌△OPA 。

图2D P A B C D C 1图P B A A B C D A B C D E D C B A P O N M B A 模型分析 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 模型实例 （1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点 A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由； （2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。 热搜精练 1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。 求线段BC 的长。 2．已知，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。 求证：BC=AB+CD 。 3．如图所示，在△ABC 中，∠A=100°，∠A=40°，BD 是∠ABC 的平分线，延 长BD 至E ，DE=AD 。求证：BC=AB+CE 。 模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形 如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP ⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。 结论：△AOB 是等腰三角形。

银行数学建模竞赛案例

银行数学建模竞赛案例 以下是一个可能的银行数学建模竞赛案例： 题目：银行客户流失预测模型 背景：某银行希望通过数学建模来预测客户的流失情况，以便采取措施提高客户的留存率。该银行提供各种金融服务，包括储蓄账户、贷款、信用卡等。 要求：针对该银行的客户数据库，建立一个客户流失预测模型，并使用该模型预测未来一年内的客户流失率。 数据集： - 客户特征数据：包括客户的年龄、性别、职业、收入、信用 评级等。 - 服务使用情况数据：包括客户是否使用过各种金融产品，如 储蓄账户、贷款、信用卡等。 - 客户流失数据：包括客户是否在过去一年内流失。 任务： 1. 数据探索：对提供的数据进行统计分析和可视化，了解数据的分布、关联性等。 2. 特征工程：根据数据探索的结果，选择合适的特征用于模型建立，并进行数据预处理（如缺失值处理、标准化等）。 3. 模型建立：选择合适的机器学习模型或统计模型来建立客户流失预测模型。可选择的模型包括逻辑回归、决策树、随机森林、支持向量机等。

4. 模型评估：使用交叉验证等方法评估模型的性能，并选择合适的评估指标（如准确率、召回率、F1分数等）。 5. 模型优化：根据评估结果，对模型进行优化，可以尝试不同的特征选择、模型调参等方法。 6. 未来预测：使用优化后的模型预测未来一年内客户的流失率，并给出相关报告和建议。 参考解决思路： 1. 数据探索：使用统计方法和可视化工具对数据进行探索，分析客户特征和服务使用情况之间的关系，并观察流失客户与非流失客户的差异。 2. 特征工程：根据数据探索的结果选择重要的特征，并对数据进行预处理，如处理缺失值、进行标准化或归一化等。 3. 模型建立：根据任务的要求选择合适的模型进行建立，可以尝试多种模型并进行比较。 4. 模型评估：使用交叉验证等方法评估模型的性能，并选择合适的评估指标进行评估。 5. 模型优化：根据评估结果对模型进行优化，可以尝试不同的特征选择、模型调参等方法来提高模型的性能。 6. 未来预测：使用优化后的模型对未来一年内客户的流失率进行预测，并给出相关报告和建议，如哪些客户群体容易流失，可以采取什么措施来提高他们的留存率等。 以上是一个银行数学建模竞赛的案例，具体比赛的要求和数据可能会有所变化，参赛者需要根据具体的题目要求进行思考和解答。

数学建模案例网络安全

数学建模案例网络安全 随着信息技术的不断发展和普及，网络安全问题日益突出。网络攻击手段繁多，对个人、组织和国家造成的损失不可估量。因此，如何保障网络安全成为当前亟待解决的问题之一。 数学建模是解决实际问题的一种有效方法，可以对问题进行抽象和简化，通过建立数学模型来分析和解决问题。在网络安全领域，数学建模可以用于网络攻击检测、入侵检测和风险评估等方面。下面以网络入侵检测为例，介绍数学建模在网络安全中的应用。 网络入侵检测是指通过监控和分析网络流量等信息，识别出可能的攻击行为和异常活动。为了提高入侵检测的准确率和效果，可以利用数学建模方法来分析和优化检测算法。 首先，可以建立一个统计模型来描述正常网络流量的分布特征。通过收集和分析大量的正常网络数据，可以得到网络流量的统计特征，如流量大小、频率、时延等。利用这些特征，可以建立一个正常流量的概率分布模型，例如正态分布模型。这样，在实时监测网络流量时，可以通过比较实际观测值和模型预测值的偏差来判断是否存在异常。 其次，可以利用机器学习方法来构建入侵检测算法。机器学习是一种通过训练和学习数据来构建预测模型的方法。对于网络入侵检测问题，可以将已知的攻击数据和正常数据作为训练数据集，利用机器学习算法来学习这些数据的特征和规律。然后，利用学习到的模型来对新观测到的数据进行分类，判断是否为

正常流量或是攻击行为。 最后，可以利用优化算法来优化入侵检测系统的参数和配置。优化算法是一种通过寻找最优解来优化系统性能的方法。对于入侵检测系统，可以通过优化算法来确定合适的阈值和权重，以提高检测的准确率和召回率。例如，可以使用遗传算法来寻找合适的参数组合，使得系统达到最佳的性能指标。 总之，数学建模可以在网络安全领域发挥重要作用。通过建立数学模型和利用数学方法，可以帮助解决网络入侵检测、风险评估等问题。然而，在实际应用过程中，还需要充分考虑问题的复杂性和实用性，不断改进和完善数学模型和算法，以提高网络安全的防护能力。

高等数学建模案例集.d

《高等数学》案例集 第一章 函数与极限 （一）建立函数关系的的案例 1、 零件自动设计要求，需确定零件轮廓线与扫过的面积的函数关系。已知零件轮廓下部分为长 a 2，宽 a 2 2 的矩形ABCD ，上部分为CD 圆弧，其圆心在AB 中点O 。如下图所示。M 点在BC 、CD 、DA 上移动，设BM ＝x ，OM 所扫过的面积OBM （或OBCM 或OBCDM ）为y ，试求y=f(x)函数表达式，并画出它的图象。 解：⎪ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ ⎪ ⎨⎧+≤≤++-+≤≤+ ≤ ≤==a x a ax a a x a ax a a x ax x f y 2 2 22242 8 2222 222412 2 042 )(22ππππ （二）极限 1、一男孩和一女孩分别在离家2公理和1公理且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4公理/小时和2公理/小时的速度步行回家,一小狗以6公理/小时的速度由男孩处奔向女孩,又从女孩奔向男孩,如此往返直至回家中,问小狗奔波了多少路程? 若男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间,问当他们到达学校时小狗在何处? 解：(1) 男孩和女孩到校所需时间是半小时，也即小狗奔波了半小时，故小狗共跑了3公里。 (2)设x(t)，y(t)，z(t)分别表示t 时刻男孩、女孩、小狗距家的距离， （二）连续函数性质 B C A D M M M

1、某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山,下午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下山,下午5时回到山下旅店。某乙说,甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么? 第三章 中值定理与导数应用 1、陈酒出售的最佳时机问题 某个酒厂有一批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入 R0＝50万元。如果窖藏起来待 来年（第n 年）按陈酒价格出售，第n 年末可得总收入为R ＝R 08 3 2 n e 万元，而银行利率为r ＝0.05， 试在各种条件下讨论这批好酒的出售方案。 若银行利率开始为r ＝0.05，第5年后降为0.04，请给出最佳出售方案。 2、航空公司因业务需要，需要增加一架波音客机，如果购买需要一次支付6000万美元现金，客机的使用寿命为15年，如果租用一架客机，每年要支付600万美元的租金，租金每年年末支付，若银行年利率为8％，请问购买客机与租用客机那种方案较佳？如果银行的年利率为5％呢？ 2. 梯子长度问题 一楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台. 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的. 现清洁工只有一架7m 长的梯子, 你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少? 解：function f=fun(x) f=x+2*x/sqrt(x*x-3*3) %设温室以上的梯子长度为a ，温室的长为x ，高为y ，则梯子的长为a+y*a/sqrt(a*a-x*x). %min b=a+y*a/sqrt(a*a-x*x) [x,fval]=fminbnd('hui2',3,12); xmin=x fmin=fval 运行结果：f =Inf f =14.0656 xmin =3.9835 fmin =7.0235 3、普勒与酒桶问题 德国的开普勒是一位出色的天文学家，同时也是一位卓越的数学家。他于1965年出版了《葡萄酒桶的立体几何》一书。为什么取这样一个书名？据说开普勒把自己求许多图形的面积方法，与成一本书，可苦于找不到一个好的书名。有一天，他到酒店去喝酒，发现奥地利的葡萄酒桶，和他家乡莱茵的葡萄酒桶不一样，他想奥地利的葡萄酒桶为什么要做成这样呢？高一点好不好？扁一点行不行？ 第五章、定积分 1、天然气产量的预测

数学建模与竞赛案例选讲

数学建模与竞赛案例选讲 数学建模和竞赛是现代数学教育中不可或缺的一部分。数学建模是指利用数学方法，对实际问题进行分析、建模、求解和评价的过程。竞赛则是通过比赛形式，来提高学生的数学能力和创造力。本文将选取一些有代表性的数学建模和竞赛案例进行讲解。 一、数学建模案例 1. 旅游路径规划 旅游路径规划是一个非常有趣的建模问题。假设一个人要参加某个国家的旅游，他想尽可能地游览这个国家的所有城市。但是由于时间和费用有限，他不可能去到所有城市。问题是，如何规划他的路线，使他在游览尽可能多的城市的同时，不会浪费太多时间和费用？ 这个问题可以建立一个旅游路径规划模型。我们可以按照以下步骤进行： 第一步，将这个国家的所有城市标注在地图上，并确定城市之间的距离。 第二步，制定一个有效的算法来求解最优路径。一种常用的算法是旅行商问题（TSP）算法。 第三步，考虑一些现实因素的影响，如交通拥堵、天气等因素，

将这些因素纳入到模型中。 通过这个建模过程，我们可以得到一个规划出的旅游路径，从而帮助人们更加有效地规划旅游行程。 2. 环境污染模拟 现代化城市发展中，环境污染问题越来越受到关注。环境污染模拟可以有效地评估城市中各种环境因素的影响。我们可以按照以下步骤来建立环境污染模拟模型： 第一步，建立一个三维城市地图。这个城市地图可以包括建筑物、道路、污染源等信息。 第二步，将城市地图中的各种环境因素纳入到模型中，如空气污染、噪音污染等。 第三步，利用数学方法对各种环境因素进行模拟，发现环境污染的趋势和程度。 第四步，根据模拟结果，提出环境污染防治的措施。 通过这个建模过程，我们可以帮助城市规划师有效地评估和控制城市环境污染。 二、竞赛案例 1. 国际数学奥林匹克竞赛（IMO）

数学建模案例分析

案例分析1: 自行车外胎的使用寿命 问题: 目前,自行车在我国就是一种可缺少的交通工具。它小巧、灵活、方便、易学,而且价格适中,给广大居民带来了不小的益处。但就是,自行车也有令人头痛的地方,最常见的问题莫过于扎胎了。扎胎的原因有很多,但相当一部分就是由于外胎磨损,致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破内胎。为了减少不必要的麻烦,如何估计自行车外胎的寿命,及时更换? 分析: 分析角度:由于题目里未明确指出我们就是应从厂家角度,还就是应从用户角度来考虑这个问题,因 此需要我们自己做出合理判断。若从厂家角度,我们面对的应当就是一大批自行车外胎的平均寿命的估计。这样的估计要求一定精确度与相对明确的使用环境;而从用户角度来说,面对的仅就是个人的一辆车,不需要很高的精确度,这样的寿命估计更简单,易于随时了解,下面仅从用户角度进行分析。 产品的使用者需要了解产品的寿命,就是基于安全性及更换的费用来考虑的。我们将这两个标准作为主要标准来分析,首先值得注意的两个关键性问题就是如何定义寿命、何时为寿命的终止。寿命的定义要做到科学,直观,有可比性,在航空工业中航天飞机的使用寿命就是用重复使用的次数来衡量,而工厂机器设备的寿命则以连续工作的时间来定义。本题外胎的寿命亦可用时间来表征,但由于外胎的寿命直接与其磨损速度相关;而磨损速度又与使用频率及行驶速度相互联系,致使外胎的寿命不一定与使用时间成正比(这种非正比关系使我们不能拿一辆—天跑200公里的自行车与一天只跑1公里的自行车进行寿命比较),降低了可比性。如换成自行车的路程寿命来比较,就好得多。产品寿命就是在安全性与更换费用相互制约下达到的一个点,在这个点上,外胎的安全系数降到用户不可接受的最低值,更换费用(寿命越长,在一定意义上更换费用越低)也达到了最大限度的节省。 弄清了上面两个问题后,我们继续明确建立模型需要解决哪些问题及建立模型的重点难点。 自行车使用过程中,一来影响因素多,二来这些因素之间彼此相关,十分复杂,要做到比较准确地估计使用寿命,不但要对外胎的性能有相当的了解,而且对使用环境更不能忽视。当然我们由于就是站在用户角度上来考虑的,相对地就可忽略一些次要的影响因素。 这样的数学模型面对着两个主要问题。一、自行车使用寿命与外胎厚度的关系,二、外胎能够抵御小石子破坏作用的最小厚度。后者可处理得相对简略些(如只考虑一块具有一般特征的小石子对外胎的破坏作用),而重点(也就是难点)就是第一个问题。车重、人重、轮胎性质(力学的、热学的、甚至化学的)与自行车使用频率等都左右着它们的关系。这么多相关因素,不必一一都加以考虑(用户就是不会在意这么多的),有些因素,可以先不考虑,在模型的改进部分再作修改,采取逐步深入的方法,如:摩擦损耗有滑动摩擦与滚动摩擦损耗两种,由于滚动摩擦占用的时间(或路程)显然占绝对优势,因此可重点考虑。但滑动摩擦造成的一次损坏又比滚动摩擦大,在刹车使用过频的情况下,就不能不考虑了。 最后,需对得出的结果用简单清晰的文字进行说明,以供用户参考。 案例分析2:城市商业中心最优位置分析 问题: 城市商业中心就是城市的基本构成要素之一。它的形成就是一个复杂的定位过程。商业中心的选址涉及到各种因素制约,但其中交通条件就是很重要的因素之一。即商业中心应位于城市“中心”,如果太偏离这一位置,极有可能在城市“中心”地带又形成一个商业区,造成重复建设。 某市对老商业中心进行改建规划,使居民到商业中心最方便。如果您就是规划的策划者,如何建立一个数学模型来解决这个问题。 分析:

数学建模案例分析5.建模案例：最佳灾情巡视路线

建模案例：最佳灾情巡视路线 这里介绍1998年全国大学生数学模型竞赛B题中的两个问题. 一、问题 今年夏天某县遭受水灾.为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视.巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线. 1．若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的路线. 2．假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2h，在各村停留时间t=1h，汽车行驶速度V=35km/h.要在24h内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下最佳的巡视路线. 乡镇、村的公路网示意图见图1. 图1 二、假设 1．汽车在路上的速度总是一定，不会出现抛锚等现象； 2．巡视当中，在每个乡镇、村的停留时间一定，不会出现特殊情况而延误时间；3．每个小组的汽车行驶速度完全一样； 4．分组后，各小组只能走自己区内的路，不能走其他小组的路（除公共路外）. 三、模型的建立与求解 将公路网图中，每个乡（镇）或村看作图中的一个节点，各乡（镇）、村之间的公路看作图中对应节点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边

上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化为在给定的加权网络图中寻找从给定点O 出发，行遍所有顶点至少一次再回到O 点，使得总权（路程或时间）最小，此即最佳推销员回路问题. 在加权图G 中求最佳推销员回路问题是NP —完全问题，我们采用一种近似算法求出该问题的一个近似最优解，来代替最优解，算法如下： 算法一 求加权图G （V ，E ）的最佳推销员回路的近似算法： 1． 用图论软件包求出G 中任意两个顶点间的最短路，构造出完备图 ),(E V G ''，()E y x '∈∀,， ()(),,G x y mind x y ω=； 2． 输入图G '的一个初始H 圈； 3． 用对角线完全算法产生一个初始H 圈； 4． 随机搜索出G '中若干个H 圈，例如2000个； 5． 对第2、3、4步所得的每个H 圈，用二边逐次修正法进行优化，得到近 似最佳H 圈； 6． 在第5步求出的所有H 圈中，找出权最小的一个，此即要找的最佳H 圈的近似解. 由于二边逐次修正法的结果与初始圈有关，故本算法第2、3、4步分别用三种方法产生初始圈，以保证能得到较优的计算结果. 问题一 若分为3组巡视，设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线. 此问题是多个推销员的最佳推销员回路问题.即在加权图G 中求顶点集V 的划分12,,,n V V V ，将G 分成n 个生成子图[][][]12,,...,n G V G V G V ，使得 （1）顶点i V O ∈, i =1，2，3,…,n ； （2）()G V V n i i == 1 ； （3）()()(),m ax m ax i j i j i i C C C ωωαω-≤，其中i C 为i V 的导出子图[]i V G 中的最佳推销 员回路，()i C ω为i C 的权，i ，j =1，2，3,…,n ； （4）()1n i i C ω=∑取最小. 定义 称()()(),0m ax m ax i j i j i i C C C ωωαω-=为该分组的实际均衡度.α为最大容 许均衡度. 显然100≤≤α，0α越小，说明分组的均衡性越好.取定一个α后，0α与α满足条件（3）的分组是一个均衡分组.条件（4）表示总巡视路线最短. 此问题包含两方面：第一，对顶点分组；第二，在每组中求最佳推销员回路，即为单个推销员的最佳推销员问题. 由于单个推销员的最佳推销员回路问题不存在多项式时间内的精确算法，故多个推销员的问题也不存在多项式时间内的精确算法.而图中节点数较多，为53个，我们只能去寻求一种较合理的划分准则，对图１进行粗步划分后，求出各部

最短路径数学建模案例及详解

最短路径数学建模案例及详解 最短路径问题是数学建模中一个经典的问题，它在实际生活中有很多应用，例如网络传输、交通规划、物流配送等等。下面我们以交通规划为例，来详细解析最短路径问题的数学建模过程。 问题描述： 假设有一座城市，城市中有多个地点（称为节点），这些节点之间有道路相连。我们希望找到两个节点之间的最短路径，即耗费时间最短的路径。 数学建模： 1. 数据准备： a. 用图的方式表示这座城市和道路连接关系。我们可以用一 个有向图来表示，其中各个节点代表不同的地点，边表示道路，边的权重表示通过该道路所需的时间。 b. 节点间道路的时间数据。这是一个关键的数据，可以通过 实地调研或者其他数据收集手段获取，或者通过模拟生成。 2. 建立数学模型： a. 定义问题中的主要变量和约束条件。 - 变量：选择经过的边，即路径（也可以看作是边的集合）。 - 约束条件：路径必须是从起始节点到目标节点的有向路径，不允许重复经过节点。 b. 建立目标函数。我们的目标是最小化路径上的时间，所以

目标函数可以定义为路径上各边的权重之和。 c. 建立约束条件。 - 定义起始节点和目标节点。 - 定义路径必须从起始节点出发，到目标节点结束。 - 定义路径不能重复经过同一节点。 3. 解决模型： a. 利用最短路径算法求解，比如在有向图中，可以用Dijkstra 算法或者 Bellman-Ford 算法等。 4. 结果分析和验证： 找到了最短路径后，我们可以对结果进行分析，比如查看路径上的具体节点和道路，以及路径的耗时。我们还可以按照实际情况进行验证，比如通过实地考察或者其他数据对比来验证求解得到的路径是否合理。 总结： 最短路径问题是一个常见的数学建模问题，在实际应用中有着广泛的应用。通过数学建模，我们可以准确刻画问题，用数学方法求解，得到最优的结果。在实际解决问题过程中，还需要对结果进行分析和验证，以保证结果的合理性和可行性。

高中数学建模的教学案例

高中数学建模的教学案例 高中数学建模是一门富有挑战性和创造性的学科，旨在培养学生的逻辑思维能力、问题解决能力以及数学建模的应用能力。为了帮助学生更好地理解和应用数学建模，以下是一个教学案例，通过实际问题引导学生进行数学建模的步骤和方法。 案例背景： 某小区的居民数逐年增加，导致小区配套的市政建设不足。为了解决该问题，物业公司统计了小区每户居民的用水量，并希望通过数学建模来预测未来几年的整体用水量，以供决策参考。 1. 问题分析 首先，学生需要分析问题的背景和目标。他们可以思考以下几个问题： - 该问题的关键因素是什么？ - 什么样的数据对解决问题有帮助？ - 可以借助哪些数学方法和模型来解决问题？ 2. 数据收集 学生需要搜集相关的数据，可以通过访谈物业公司负责人、查阅相关资料等方式获取所需数据。在这个案例中，学生需要收集每年小区的居民数量和每户居民的用水量数据。

3. 数据处理和分析 接下来，学生可以使用合适的数学方法和模型来处理和分析数据。 在这个案例中，学生可以使用线性回归模型来分析用水量和居民数量 之间的关系。他们可以通过计算回归方程，预测未来几年的整体用水量。 4. 模型建立和验证 学生需要建立数学模型，并验证模型的有效性。在这个案例中，学 生可以以小区的居民数量作为自变量，以每户居民的用水量作为因变量，建立线性回归模型。然后，他们可以将该模型应用于其他小区的 数据，观察预测结果和实际结果的差异，以验证模型的准确性。 5. 结果与讨论 最后，学生需要对结果进行总结和讨论。他们可以回答以下问题：- 预测结果与实际情况是否一致？ - 模型的优缺点是什么？ - 如何改进模型的准确性和实用性？ 通过以上的教学案例，学生可以在实际问题中学习和应用数学建模 的方法和步骤。这种教学方法可以培养学生的实际应用能力和创造力，并提高他们对数学建模的兴趣和理解。 总结：