高等数学建模案例集.d

《高等数学》案例集

第一章 函数与极限 （一）建立函数关系的的案例

1、 零件自动设计要求，需确定零件轮廓线与扫过的面积的函数关系。已知零件轮廓下部分为长

a 2，宽

a 2

2

的矩形ABCD ，上部分为CD 圆弧，其圆心在AB 中点O 。如下图所示。M 点在BC 、CD 、DA 上移动，设BM ＝x ，OM 所扫过的面积OBM （或OBCM 或OBCDM ）为y ，试求y=f(x)函数表达式，并画出它的图象。

解：⎪

⎪⎪

⎩⎪⎪

⎪

⎨⎧+≤≤++-+≤≤+

≤

≤==a x a ax a a

x a ax

a a x ax x f y 2

2

22242

8

2222

222412

2

042

)(22ππππ （二）极限

1、一男孩和一女孩分别在离家2公理和1公理且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4公理/小时和2公理/小时的速度步行回家,一小狗以6公理/小时的速度由男孩处奔向女孩,又从女孩奔向男孩,如此往返直至回家中,问小狗奔波了多少路程? 若男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间,问当他们到达学校时小狗在何处?

解：(1) 男孩和女孩到校所需时间是半小时，也即小狗奔波了半小时，故小狗共跑了3公里。

(2)设x(t)，y(t)，z(t)分别表示t 时刻男孩、女孩、小狗距家的距离，

（二）连续函数性质

B C A

D M M

M

1、某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山,下午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下山,下午5时回到山下旅店。某乙说,甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么? 第三章 中值定理与导数应用 1、陈酒出售的最佳时机问题

某个酒厂有一批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入 R0＝50万元。如果窖藏起来待

来年（第n 年）按陈酒价格出售，第n 年末可得总收入为R ＝R 08

3

2

n e 万元，而银行利率为r ＝0.05，

试在各种条件下讨论这批好酒的出售方案。

若银行利率开始为r ＝0.05，第5年后降为0.04，请给出最佳出售方案。

2、航空公司因业务需要，需要增加一架波音客机，如果购买需要一次支付6000万美元现金，客机的使用寿命为15年，如果租用一架客机，每年要支付600万美元的租金，租金每年年末支付，若银行年利率为8％，请问购买客机与租用客机那种方案较佳？如果银行的年利率为5％呢？

2. 梯子长度问题

一楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台. 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的. 现清洁工只有一架7m 长的梯子, 你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少? 解：function f=fun(x) f=x+2*x/sqrt(x*x-3*3)

%设温室以上的梯子长度为a ，温室的长为x ，高为y ，则梯子的长为a+y*a/sqrt(a*a-x*x). %min b=a+y*a/sqrt(a*a-x*x) [x,fval]=fminbnd('hui2',3,12); xmin=x fmin=fval

运行结果：f =Inf f =14.0656 xmin =3.9835 fmin =7.0235

3、普勒与酒桶问题

德国的开普勒是一位出色的天文学家，同时也是一位卓越的数学家。他于1965年出版了《葡萄酒桶的立体几何》一书。为什么取这样一个书名？据说开普勒把自己求许多图形的面积方法，与成一本书，可苦于找不到一个好的书名。有一天，他到酒店去喝酒，发现奥地利的葡萄酒桶，和他家乡莱茵的葡萄酒桶不一样，他想奥地利的葡萄酒桶为什么要做成这样呢？高一点好不好？扁一点行不行？ 第五章、定积分 1、天然气产量的预测

工程师们已经开始从墨西哥的一个新井开采天然气，根据初步的试验和以往的经验，他们预计天然气开采后的第t 个月的月产量的函数给出：t te t P 02.00849.0)(-= (百万立方米), 试估

计前24个月的总产量。

提示：前24个月的总产量为 t

t te P 02.024

1

0849.0-=∑=，因为计算这个和式比较难，应

用定积分来估计它。令

t

te

t f 02.00849.0)(-=,

240≤≤t ,

则

∑==24

1

)(t t f P ，且0)02.01(0849.0)(02.0≥-='-t e t f t ，从而 )(t f 为递增函

数。

答案：4878.18≈P (百万立方米)

2、终身供应润滑油所需的数量

某制造公司在生产了一批超音速运输机之后停产了。但该公司承诺将为客户终身供应一种适于改机型的特殊润滑油。一年后该批飞机的用油率（单位升/年）又下式给出：2

3

300)

(-

=t

t r 其

中 t 表示飞机服役的年数，该公司要一次性生产该批飞机一年后所需的润滑油并在需要时分发出去，请问需要生产该润滑油多少升？

提示:)(t r 是该批分级一年后的用油率，所以⎰

n

dt t r 1

)(等于第一年到第 n 年间该批飞机所需

的润滑油的数量，那么

⎰

∞

1

)(dt t r 就等于该批飞机终身所需的润滑油的数量。

答案：600(L) 3、地球环带的面积

地球上平行于赤道的线称为纬线，两条纬线之间的区域叫环带。假定地球是球形的，试证任何一个环带的面积都是kd S π=,这里 k 是构成环带的两条纬线间的距离，d 是地球直径（约13000

公里）。

如果地球是旋转椭球，则地球的任一环带面积又是怎样？ 4、高尔夫球座的体积

一个木制高尔夫球座大体上具有以 )(x f 与 )(x g 的图象为边界的区域绕

OX 轴旋转一

周形成的立体。这里

⎩

⎨⎧≤≤-≤≤=52/9,2/92/90,

0)(x x x x g ，

⎪⎪

⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<-+≤<≤≤=52/9,

2/12/92/7,])(1[2/72/1,4/12/10,

2/)(22741

x x x x x x x f 问这个高尔夫球座的体积是多少？ 答案：

)(480

191

3cm π 5、转售机器的最佳时间

由于折旧等原因，某机器转售价格 )(t R 是时间t(周)的减函数 96

4

3)(t

e A t R -=，其中 A 是机器的

最初价格。在任何时间t ，机器开动就能产生48

4

t e A P -=的利润。问机器使用了多长时间后转售出

去能使总利润最大？这利润是多少？机器卖了多少钱？

提示：假设机器使用了 x 周后出售，此时的售价是 96

4

3)(x

e A x R -=，在这段时间内机器创造的

利润是⎰

-x

t dt e A 0

484。于是，问题就成了求总收入964

3)(x e A x f -=+⎰-x t

dt e A 048

4， ),0(∞∈x 的最大

值。

答案：总利润 P=11.01A, 机器卖了

128

3A

元。 6、人口统计模型

人口统计模型（1）： 某城市1990年的人口密度近似为20

4

)(2

+=

r r P ，)(r P 表示距市中心

r 公里区域内的人口数，单位为每平方公里10万人。试求距市中心2km 区域内的人口数。 人口统计模型（2）：若人口密度近似为 r e r P 2.02.1)(-=单位不变，试求距市中心2km 区域内的人口数。

答案：（1）

(十万), （2） (十万)

7、心脏输出量的测定

小王想成为一名长距离游泳的运动员，为此，需要测定他的心脏每分钟输出的血量。使用的方法为“染色稀释法”：程序是先向离心脏最近的静脉注入一定量的染色，于是染色将随血液进入右心房、肺内血管、左心房、动脉，然后在动脉中定期取血样，并测量血样中染色的浓度，由于的血液的稀释，染色的浓度随时间t 变化，从而可测得一个关于t 的函数 C(t) (mg/L).设注射的染色的量为D ，试求小王的心脏输出量 R(L/min).

提示：理解“染色稀释法”的原理，必须知道在小时间区间[t,t+dt]内通过取样点的染色量等于浓度C(t)*R*dt 。因为所有染色量最终要经过取样点，则染色总量应等于各小的时间区间内通过取样点的染色量的和，由积分的定义知：

⎰=00

)(T dt t RC D ⎰=0

)(T dt t C R

其中 T 0是全部染色通过取样点的时间，则心脏输出量为：⎰

=0

)(/

T dt t C D R

8、呼出或吸入空气的速率

当你呼吸时，你呼出或吸入的气流的速率V(t) (升/秒)可用一个正弦曲线来描述：

)2sin(

)(t T

A t V π

=,其中时间t(单位为秒)从某次吸气开始计算起，A 是最大的气流速率，T 为一次呼吸所需得的时间。当正弦曲线的函数值为正值是，你正在吸气：反之，你正在呼气。在你呼气的某时间段 [t 1，,t 2]上，曲线y=V(t) 与t= t 1,t= t 2及t 轴所围成的面积就是你在这个时间段吸入空气的总量。

提示：每次吸气所有时间为2T ,由V(t)的周期性，只需考虑[0, 2T

]时间段上吸入的空气总量即可。每次吸气时吸入的总量为

π

AT

升

答案：每小时吸入空气的总量＝每次吸气时吸入的空气总量与1小时内的呼吸次数之积

9、估计某医院在某时间内的就医人数

一家新的乡村精神医病诊所刚开张。对同类门诊的统计表明，总有一部分人第一次来过之后还要来此治疗。如果现在有A 个病人第一次来此就诊，则t 个月后，这些病人中)(t Af 个病人还在此治疗，这里20

)(t e

t f -=，现设这个诊所最开始时接受了300个人的治疗，并且计划从现在开始每

月接受10名新病人。试估算从现在开始15个月后，在此诊所接受治疗的病人有多少？

提示：为了计算从现在开始的15个月后内接受的病人在15个月后还在此治疗的人数，将

15个月的区间 ]15,0[∈t ,分为n 个等距为t ∆的小区间，令j t 表示第j 个区间的左端点（

n

j

15）。既然每月要接受10名新病人，于是在第 j 个小区间内接受的新病人人数为 t ∆10，于是

)15(10j t t -∆病人将从j t 开始，j t -15个月后还要来此治疗。所以从现在开始15个月后新接受

的病人还要在此治疗的人数总和为：

∑=∆-n

j j

t t

f 1

)15(10

答案： P ＝247024 10、尿素的清除率答案：

肾的一个重要功能是清除血液中的尿素。临床上在尿量少时，为减少尿量变动对所测尿素清除率的影响，通常采用尿素标准清除率计算法，即P

V

U C =

其中U 表示尿中的尿素浓度，V 表示美分析出的尿量，P 表示血液中的尿素浓度，正常人尿素标准清除率为54。某病人的实验室测量值为U=500,V=1.44,P=20,则C=30。若某一测量值的误差最大不超过1%，估计C 的最大绝对值误差和相对误差。

提示：利用全微分方程

答案:C 的最大绝对值误差为0.75，最大相对误差为2.5%。

第八章 多元函数微分法及其应用

1、最大利润问题

某公司在生产使用a,b 两种原料，已知a,b 两种原料分别使用x 单位和y 单位可生产U 单位的产品，这里并且第一种原料每单位的价格为10美元，第二种的价格为4美元，产品每单元的售价为40美元，求该公司的最大利润。 提示：多项式的极值，求驻点。 答案：28189美元。 2、如何购物最满意

日常生活中，人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问题。由于钱数固定，则如果购买其中一种物品较多，那么势必要少买（甚至不在购买）另一种物品，这样就不可能很令人满意。如何划分给定量的钱，才会得到最满意的效果呢？经济学家试图借助效用函数来解决这一问题。所谓效用函数，就是描述人们同时购买两种产品各x 单位y 单位时满意程度的量。常见的形式有：

U ＝U(x,y)=x+y 或 U ＝U(x,y)=lnx+lny 等。而当效用函数达到最大值时，人们

购买分配的方案最佳。

例如：小孙由200元钱，他决点该购买二种急需品：计算机磁盘和录音磁带。且设他购买x 张磁盘y 张录音磁盘的效用函数为U ＝U(x,y)=lnx+lny ，设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配他的200元钱，才能达到最满意的效果。

提示：拉格朗日乘数法。 答案：买12张磁盘和10盒磁带。

3、怎样设计海报的版面既美观又经济

现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积128平方分米，上下空白各2分米,两边空白各1分米，如何确定海报尺寸可使四周空白面积最少?

提示：函数极值

答案：（海报印刷部分为从上到下长16分米，从左到右宽8分米）。 4、接受能力与讲授时间的关系

通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现接受能力（即学生掌握一个概念的能力）依赖于在概念引入之前老师提出和描述问题所用的时间。讲座开始时，学生的兴趣激增，但随着时间的延长，学生的注意力开始分散。分析结果表明，学生掌握概念的能力由下式给出：

436.21.0)(2++-=x x x G

其中G(x)是接受能力的一种度量,x 是提出概念的时间（单位：min ）。 （a ）x 为何值时，学生接受能力增强或降低？ （b ）第10分钟时，学生的兴趣是增长还是降低？ （c ）最难的概念应该在何时讲授？

（d ）一个概念需要55的接受能力，它适于对这组学生讲授吗？

提示:函数单调性与极值

答案：（a ）、x<13时G 单调上升；,x>13时G 单调下降。 （b ）、学生的兴趣在增长。

（c ）、最难的概念应该在提出问题后的第13分钟提出。

（d ）、这个概念学要55的接受能力，小于最大的接受能力G(13)=59.9，所以可以对这组学生讲授该概念。

5、在确定的预算下，劳动力与资本的最佳配置

在经济学中有个Cobb-Douglas 生产函数的模型a

a

y

x C y x f -=1),(，式中x 代表劳动力的数量，y 为

资本数量，C 与a 是常数，由各工厂的具体情形而定，函数值表示生产量。现在已知某制造商的Cobb-Douglas 生产函数是25.075

.0100),(y x

y x f =，每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及

250元。该制造商的总预算是50000元。问他该如何分配这笔钱于雇用劳力与资本，以使生产量最高。 答案：该制造商应该雇用250个劳力而把剩余的部分作为资本投入。这时可获得最大产量f(250,50)=16719。

5、多元函数微分学的应用：

设ΔABC 锐角三角形，P(x,y)为其内一点，令|||||),(CP BP AP y x f ++=，证明；在f(x,y)取极值的点P 0处，向量P 0、P 0、P 0夹的角相等。

13、预测某个月加利福尼亚酒店的销售量

一酒点有两种便宜的白葡萄酒，一种来源于加利福尼亚，一种来源于纽约，销售图表显示两种酒的定价对它们的销售情况有影响，如果加利福尼亚酒每瓶x 元，同时纽约酒每y 元 ，则加利福尼亚酒的销售量将为Q(x,y)=300-2x 2+30y 瓶，预计从现在起的t 个月后，加利福尼亚的价格将为x=2+0.05t 元/瓶, 同时纽约酒的价格将为y=2+0.1t 元/瓶

问:从现在起的四个月后的一个月里，加利福尼亚酒的销售量将增加（减少）多少瓶？

提示：利用微分方程 答案：将减少3.65瓶

14、当商店卖两种牌子的冻果汁时，如何取得最大利润

一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的果冻汁，当地牌子的进价每听30美分，外地的40美分，店主估计，如果当地牌子的每听x 美分,外地的y 美分,，则每天可卖70-5x+4y 听当地牌子的果汁，80+6x-7y 听外地牌子的果汁。问：店主每天以什么价格买出两种牌子的果汁可取的最大收益。

提示：多元函数的极 ，答案：x=53且y=55时小店可取的最大利润 15、飞机的速度

假设空气以每小时32公里的速度沿平行X 轴正向的方向流动。一架飞机在xoy 平面沿与 X 轴正向成30度的方向飞行。若飞机相对于空气的速度时每小时840公里。问飞机相对于地面的速度是多少？

提示：图示法,答案：856.45 16、超音速飞机与“马赫锥”

当一架超音速飞机在高空飞行时，由于飞机的速度比音速快。所以人们常常是先看到飞机从天空中掠过，片刻之后才能听到震耳的隆隆声。那么请问，在同一时刻，天空中的什么区域内可以听到飞机的声音呢？

这个问题的答案十分有趣：能够听到飞机声音的区域恰好是一个以飞机为顶点的圆锥体——这就是著名的“马赫锥”。在马赫锥之外，无论据飞机多么近都不会听到飞机的轰鸣声。

设声音在空气中的传播速度为k ，并假设飞机正沿水平方向作匀速直线飞行，飞机速度V 时。请推导出马赫锥所满足的锥面方程。

提示：声波是球面波，声波速度V 0 ，飞机速度V ，t=0时取位置为原点，t=a 时飞机位置为（aV ,0,0）,

答案： 22

220

2

2

)(av x v v v z y --=+ 17、定积分求面积：

设 ，求曲线 与 轴所围成的封闭图形的面积。

提示: 利用函数的奇偶性和函数的单调性可以求得， 答案：1/2 第九章 积分的案例

1、下图是瑞士国的地图。为了计算出它的国的面积，首选对地图作如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界到最东边界在x 轴上的区间适当地若干段，在每个分点的y 轴方向测出南边界和北边界的y 坐标y1和y2，这样得到了表1中的数据（单位mm ）

地图比例为18：40000000。试由测量数据计算瑞士国土面的近似值。 瑞士地图：

瑞士地图测量数据：

3、在研究山脉的形成过程中，地质学家要估计把山脉从水平面提升到现在的高度地壳力所作的

功。某座山的形状为一正圆锥体，测得它的高为2535m ，底的直径为2648m （如图9所示），假定山内任一点M(x,y,z)的密度：

ρ(x,y,z)＝3563.67[1－222(00000215.0Z y x ++] kg/m 3,

试计算在这座山漫长的形成过程中地壳力所作的功。 4、湖泊体积及平均水深的估算

椭球正弦曲面是许多湖泊的湖床形状的很好的近似，假定湖面的边界为椭圆122

22=+b

y a x 。

若湖的最大水深为m h ，则椭球正弦曲面由)2cos(),(2

2

22b y a x h y x f m +-=π

，

其中122

22≤+b

y a x 给出。现要求湖水的总体积V 及平均水深h 。

提示：湖水体积⎰⎰=D

dxdy y x f V |),(|，D 为12222≤+b y a x ，

ab V

h π=

。

答案：

m abh V 435.4=，m h h π

435

.1=

5、如何求物料干燥所需的时间

干燥是化工常见的单元操作，干燥过程就是把含有较多水份的物料经过处理变成含有较少水分

的物料的物理过程。现在讨论下面的干燥动力学问题。将固体物料放在一直径为1.5米，长为15米的转筒干燥器中用空气来干燥，沿转筒全部长度方向都装有物料，且物料装至转筒横截面的三分之一。物料以恒定的速度进入器内，在原始的物料中，干物质与水之比等于2，而干燥的后的物料中，干物质与水之比等于10。假定被干燥物料的体积和其中所含水量之间存在线性关系。进入干燥器内的物料重度等于500[kg/m 3]，而最后成品的重度等于330[kg/m 3]。设干燥器每小时能出产品220[kg]，并假定干燥速度和含水量成正比。试求干燥所需的时间。

提示：根据被干燥物料的体积与其中所含水分的重量的线性函数求解。 答案：11h

第十章 曲线积分与曲面积分的案例

1、造地球卫星轨道可视为平面上的椭球。我国第一颗人造地球卫星近地点距地球表面439公里，远地点距地球表面2384公里，地球半径为6371公里，求该卫星的轨道长度。

2、拟建某一隧通道，内设双向四车道的公路，其截面由一长方形和一抛物线或一圆弧或一椭圆弧构成，为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要求0.5米，若行车道总宽度为8米，两边留有1米宽的维修通道，欲使截面的造价最低，隧道顶部就采用何种曲线？

第十四章 微分方程的案例

1、如何预报人口的增长

2、交通十字路口红绿灯中的黄灯亮的时间如何确定？

3、静脉输液问题

静脉输入葡萄糖是一种重要的医疗技术，为了研究这一过程，设G(t)为t 时刻血液中的葡萄糖含量，且设葡萄糖以每分钟k 克的固定速率输入到血液中，与此同时，血液中的葡萄糖还会转化为其他物质或转移到其他地方，其速率与血液中的葡萄糖含量成正比。试列出描述这一情况的微分方程，并解之。 提示：aG k dt dG -= 答案：at e a

k G a k t G --+=))0(()( 4、他是嫌疑贩吗

受害者的尸体于晚上7：30被发现。法医于晚上8：20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6度，一小时后，当尸体既将被抬走时，测得尸体温度为31.4度，室温在几小时内始终为21.1度。此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5：00时打了一个电话，打完电话后就离开了办公室。”从张某的办公室到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题是：张某不在现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外。

提示：尸体温度的变化率正比于尸体温度与室温的差.

答案：不能排除。

5、动物数量能够预测吗

动物繁殖是一个非常复杂的问题，但是如果把影响繁殖的许多次要因素忽略掉或简单化，我们仍然可以用微分方程来描述动物繁殖的近似规律，从而预测动物的未来数量。

现考虑一种与外界完全隔绝的某种动物，这里所说的与外界完全隔绝是指它们中间除了本族的出生和死亡外，既无迁出也无迁入，设在t 时间内这一种动物的数目为N ，并社它们的出生率和死亡率分别为n 与m ，假定它们出生数与死亡数都和t 时的动物数及时间成正比。现在讨论动物数N 与时间t 之间的函数关系。

提示：微分方程mNdt nNdt dN -=

6、如何建立固体物质的溶解速度常数的方程式

设有一球形的均匀固体溶解于化学活性的溶液中，并且溶液一克分子的固体物质要消耗一克分子的溶剂。要求列出决定固体物质的溶解速度常数的方程式。

提示：根据瞬间t 时的溶解速度与t 时的球形面积S 和到瞬间t 时余留的溶剂量成正比 （即S x a k dt

dx )(-=）求解。 答案：可求出溶解速度常数k

7、赤道上需要多少颗通讯卫星

计划将一颗通讯卫星送入地球赤道上空的静止轨道。为了保持卫星对地球的相对静止，该通讯卫星的运动速率，轨道的高度应为多少？欲使赤道上的所有点至少与一颗通讯卫星保持联系，在赤道上需要有多少颗通讯卫星？

提示：根据牛顿第二定律和万有引力定律，可得出卫星的运动方程。

答案：至少要有3颗。

8、游船上的传染病人数

一只游船上有800人，一名游客患了某种传染病，12小时后有3人发病，由于这种传染病没有早期症状，故感染者不能被及时隔离。直升机将在60至72小时间将疫苗送到，试估算疫苗送到时患此病的人数。 提示：)800(y ky dt

dy -= 答案：y(t)表示发病人数，t

e t y 09176.0.7991800)(-+= 9、逻辑斯蒂（logistic ）方程

在一个动物群体中，个体的生长率是平均出生率与平均死亡率之差。设某群体的平均出生率为正的常数b ，由于拥挤以及对食物的竞争加剧等原因，个体的平均死亡率与群体的规模大小成正比，其比例常数为k （k ＞0）。若以P(t)记t 时刻的群体总量，则dt

dp 就是该群体的生长率。单个个体的生长率为dt

dp p 1。设P(0)=P 0,试写出描述群体总量P(t)的微分方程，并解之。 答案：kp b dt

dp p -=1 10、他的胰脏正常吗

有一种医疗手段，是把某种特殊的染色剂注射到胰脏里去以检查其功能。正常胰脏每分钟吸收掉染色的40%，现内科医生给某人注射了0.3克染色，30分钟后还剩下0.1克，试问此人的胰脏是否正常。 答案：4.01-=dt

dp p 不正常。 11、油井收入有多少

一个月产300桶原油的油井，在3年后将要枯竭。预计从现在开始t 个月后，原油价格将是每桶t t P 3.018)(+=（美元）,如果假定油一生产出就被售出，则问：从这口井可得到多少美元的收入？ 令)(t R 为从现在开始t 个月收入，则

)(300t P dt

dR =。 答案：207360美元。

12陨石的下落

地球的质量是5.983×1034千克,今有一块质量为10000千克的陨石正在朝着地球的方向运动。

A 、距100公里时,求他们之间的引力(以牛顿为单位)；

B 、如果陨石继续朝地球的方向运动,则在相距100km 时,引力的递增速度是多少?

提示：微分方程 答案：((a)、f=39.925×107N ; (b)、-7985N/m 。

18、 微分方程在几何上应用1：

求曲线，其上任何一点的切线自切点与x 轴交点的切线段长为常数a 。

提示：利用图解和微分方程可以求得

答案： x c y y a a a a y a ±=--+-222

2ln 19、微分方程在几何上应用2：

设 y=f(x))0(≥x 连续，可导，且f(0)=1, 现已知曲线y=f(x) ，x 轴，y 轴及过点(x,0) 且垂直于x 轴的直线所围成的图形的面积与曲线y=f(x) 在[0,x]上的一段弧长值相等，求f(x) 。

提示：由题设所围成面积为⎰x

dt t f 0)( ，而题设弧长为⎰'+x

dt t f 02)]([1 可以解得.

答案:chx e e x f x

x =+=-2

)( 20、微分方程在力学上应用3：

一质量为m 的船以速度V 0 行驶，在t=0时，动力关闭，假设水的阻力正比于n v ，其中n 为一常数，v 为瞬时速度，求速度v 与滑行距离的函数关系。

提示：船所受的净力=向前推力-水的阻力=n kv -0

答案： x m k e V v -=0

21、微分方程在力学上应用4：

已知一伞兵从时间t=0开始由飞机上降落，而且假设降落过程中所受阻力与下降速度成正比，求下降速度。

提示：伞兵质量为m ，下降速度为v ，下降加速度为a ，于是F ＝ma=dt

dv m

其中F 是作用于伞兵上的合力 答案： )1(m kt

e k

mg v -=

22、如何控制体重

问题：《北京晚报》1990.10.9第六版：“刘寿斌面向未来”一文中说到，“由于赛前减体重过多，体力不济使他自己拿手的抓举比赛中两次失败……屈居第二，”那么正确的减重应该怎样呢？此外，许多饲养场也要在限定的时间内使牲畜增肥到一定重量出售，取得最大利润。他们应该怎么办？

答案：设每天的饮食可产生热量A ，用于新陈代谢消耗热量B,活动消耗热量C,每公斤脂肪转化的热量为D,记W(t)为体重,热平衡 )()(,)]()[()]()([t bW a dt t dW t t CW B A D t W t t W -=∆--=-∆+导出，

0)0(W W =为初试体重，a 与饮食代谢有关，b 与运动有关。我们所求为a,b 的最佳组合，使bt e b

a W

b a t W --+=)()(0成立。 23、微分方程在力学上应用3：

设有一放置在铅直平面内的刚性曲线，如果曲线以常角速度ω饶该平面一铅直轴（y 轴）旋转时，在曲线上任一点处放置的质点都能处于平衡状态，试求此曲线的方程。

提示： 设所求曲线为y=f(x),曲线上任一点P(x,y)处放置的质点其质量为m,由质点饶y 轴以角速度ω转动。

答案： 2221x g

c y ω+= 第七章 空间解析几何

1、求直线L ：1

1211-==-z y x 饶z 轴旋转所得旋转曲面的方程。 提示：把L 写成参数方程利用求距离的公式，消去参数，可以得到方程。

答案：2222)1(4-+=+z z y x

23、

24、重积分的应用1

设半径为R的球面S的球心在定球面

2

2

2

2a

z

y

x=

+

+

上，问当R取何值时，球面S在定球面

内部的那部分的面积最大？

提示：设球面的方程为

2

2

2

2)

(R

a

z

y

x=

-

+

+

答案：略

答案：当R=4a/3时，球面S在定球面内部的那部分的面积最大。

25、重积分的应用2：

求曲面

2

2

2)1

(

)1

(-

=

+

-

-z

y

z

x

与平面1

=

z所围成立体的体积。答案：3/

π

=

V

26、线、曲面积分的应用：

求速度矢量

k

z

z

yj

xi

v)

2

(2-

+

+

=

通过锥面

2

2y

x

z+

=

被平面z=0和z=1所截部分外侧的通

量。

提示：根据对坐标的曲面积分的物理意义可知，用对坐标的曲面积分计算矢量场的通量

答案：

2/

3πφ=

数学建模模型案例

数学建模模型案例 一、旅行商问题(TSP) 旅行商问题是一个典型的数学优化问题，在旅行商问题中，旅行商需要在给定的一系列城市之间找到一条最短路径，使得他能够只经过每个城市一次并最终回到起点城市。这个问题可以用图论和线性规划等方法来进行建模和求解，可以应用于物流配送、路径规划等领域。 二、股票价格预测模型 股票价格预测是金融领域中的一个重要问题。可以使用时间序列分析、机器学习等方法来建立股票价格预测模型。模型需要考虑多个因素，如历史股价、经济指标、市场情绪等，以预测未来股票价格的趋势和波动。 三、疫情传播模型 疫情传播模型是在流行病学领域中使用的一种数学模型，用于研究疾病在人群中的传播规律。常见的疫情传播模型有SIR模型、SEIR 模型等，这些模型可以用来预测疫情的传播速度、感染人数以及制定相应的防控策略。 四、能源优化调度模型 能源优化调度模型用于优化电力系统、能源系统等中的能源调度问

题。这种模型需要考虑电力需求、能源供应、能源转换效率等因素，以最小化成本或最大化效益，并且满足各种约束条件。 五、机器学习分类模型 机器学习分类模型用于将数据集中的样本分为不同的类别。这种模型可以使用各种机器学习算法，如逻辑回归、决策树、支持向量机等，以根据样本的特征来预测其所属的类别。 六、交通拥堵预测模型 交通拥堵预测模型用于预测城市交通网络中的拥堵情况。这种模型可以使用历史交通数据、天气数据、道路网络数据等进行建模，以预测未来某个时刻某个路段的交通状况，并提供相应的交通管理建议。 七、供应链优化模型 供应链优化模型用于优化供应链中的物流和库存管理等问题。这种模型需要考虑供应商、生产商、分销商之间的关系，以最小化库存成本、运输成本等，并满足客户需求。 八、排课调度模型 排课调度模型用于学校或大学的课程安排问题。这种模型需要考虑教室、教师、学生、课程等因素，以最大化教学效果、减少冲突，

数学建模案例分析--最优化方法建模7习题六

习题六 1、某工厂生产四种不同型号的产品，而每件产品的生产要经过三个车间进行加工，根据该厂现有的设备和劳动力等生产条件，可以确定各车间每日的生产能力（折合成有效工时来表示）。现将各车间每日可利用的有效工时数，每个产品在各车间加工所花费的工时数及每件产品可获得利润列成下表： 试确定四种型号的产品每日生产件数,,,,4321x x x x 使工厂获利润最大。 2、在车辆拥挤的交叉路口，需要合理地调节各车道安置的红绿灯时间，使车辆能顺利、有效地通过。在下图所示的十字路口共有6条车道，其中d c b a ,,,是4条直行道，f e ,是两条左转弯道，每条车道都设有红绿灯。按要求制定这6组红绿灯的调节方案。首先应使各车道的车辆互不冲突地顺利驶过路口，其次希望方案的效能尽量地高。即各车道总的绿灯时间最长，使尽可能多的车辆通过。 d a b c 提示：将一分钟时间间隔划分为4321,,, d d d d 共4个时段，()()()f J b J a J ,,, 为相应车道的绿灯时间。 ()d J

3、某两个煤厂A 和B 每月进煤量分别为60吨和100吨，联合供应三个居民区C 、D 、E 。这三个居民区每月对煤的需求量依次分别是50吨、70吨、40吨。煤厂A 与三个居民区C 、D 、E 的距离分别为10公里、5公里和6公里。煤厂B 与三个居民区C 、D 、E 的距离分别为4公里、8公里和12公里。问如何分配供煤量可使运输总量达到最小？ 4、某工厂制造甲、乙两种产品，每种产品消耗煤、电、工作日及获利润如下表所示。现有煤360吨，电力200KW.h ，工作日300个。请制定一个使总利润最大的生产计划。 5、棉纺厂的主要原料是棉花，一般要占总成本的70%左右。所谓配棉问题，就是要根据棉纱的质量指标，采用各种价格不同的棉花，按一定的比例配制成纱，使其既达到质量指标，又使总成本最低。棉纱的质量指标一般由棉结和品质指标来决定。这两项指标都可用数量形式来表示。棉结粒数越少越好，品质指标越大越好。一个年纺纱能力为15000锭的小厂在采用最优化方法配棉前，某一种产品32D 纯棉纱的棉花配比、质量指标及单价见下表： 有关部门对32D 吨棉纱规定的质量指标为棉结不多于70粒，品质指标不小于2900。请给出配棉方案。 6、某公司经营两种物品，第一种物品每吨售价30元，第二种物品每吨售价450元。根据统计，售出第一种物品每吨所需要的营业时间平均是0.5小时，每二种物品是2+0.252x 小时，其中2x 是第二种物品的数量。已知该公司在这段时间内的总营业时间为800小时，试决定使其营业额最大的营业计划。 7、设有400万元资金，要求4年内用完，若在一年内使用资金x 元，可得到利润x 万元（利润不能再使用），当年不用的资金可存入银行，年利率为10%。试制定出资金的使用计划，以使4年利润为最大。 8、某工厂向用户提供一种产品，按合同规定，其交货数量和日期是：第一季度末交40吨，第二季度末交60吨，第三季度末交80吨。工厂的最大生产能力为每季度100吨，每季度的生产费用是2 2.050)(x x x f +=（元），其中x 为该季度生产该产品的吨数。若工厂生产的多，多余的产品可移到下季度向用户交货，这样，工厂就要支付存储费，每吨该产品每季度的存储费为4元。问该厂每季度应生产多少吨该产品，才能既满足交货合同，又使工厂所花的费用最少（假设第一季度开始时该产品无存货）。 9、现有一节铁路货车，车箱长10米，最大载重量为40吨，可以运载7类货物包装箱。包装箱的长度和重量不同，但宽和高相同且适合装车，每件包装箱不能拆开装卸，只能装或不装。每件货物的重量、长度与价值如下表所示：

全国数学建模大赛python编程经典案例

全国数学建模大赛python编程经典案例 摘要： 一、全国数学建模大赛介绍 二、Python 编程在数学建模中的优势 三、Python 编程在数学建模大赛中的经典案例 四、结论 正文： 一、全国数学建模大赛介绍 全国数学建模大赛是我国高校数学教育领域中的一项重要赛事，旨在通过对现实问题进行抽象、建模和求解，培养学生的创新意识、团队协作精神和实际问题解决能力。该赛事每年举办一次，吸引了众多高校和学生的积极参与。 二、Python 编程在数学建模中的优势 Python 作为一门广泛应用于数据分析、科学计算和人工智能等领域的编程语言，具有易学易用、语法简洁、库函数丰富等优点，使得它在数学建模中具有很大的优势。 1.语法简洁：Python 语言的语法简洁明了，使得编程者能够更加专注于问题本身，而不是耗费大量时间在语法的纠缠上。 2.库函数丰富：Python 有许多成熟的数学库，如NumPy、SciPy、Pandas 等，它们包含了大量实用的函数和方法，可以有效提高数学建模的效率。 3.可视化能力强：Python 提供了丰富的可视化库，如Matplotlib、

Seaborn 等，可以帮助建模者直观地展示和分析数据，更好地理解问题。 三、Python 编程在数学建模大赛中的经典案例 在全国数学建模大赛中，Python 编程已经得到了广泛的应用，并产生了许多经典案例。以下以某年获奖作品“基于Python 编程的空气质量预测模型”为例，介绍Python 编程在数学建模中的应用。 该作品通过收集和整理大量的空气质量数据，构建了一个基于Python 编程的空气质量预测模型。具体步骤如下： 1.数据预处理：利用Python 的Pandas 库对原始数据进行清洗和整理，得到符合建模需求的数据集。 2.特征工程：使用Python 的NumPy、SciPy 库对数据集进行特征提取和筛选，构建特征矩阵。 3.模型构建：采用Python 的Scikit-learn 库，结合不同机器学习算法（如线性回归、支持向量机等），构建多个空气质量预测模型。 4.模型评估与优化：通过交叉验证等方法对模型进行评估和优化，选择最优模型进行预测。 5.结果展示与分析：利用Python 的Matplotlib、Seaborn 库对预测结果进行可视化展示和分析，得出结论。 四、结论 综上所述，Python 编程在数学建模大赛中具有很大的优势，能够帮助建模者提高效率、直观地展示分析数据。

数学建模案例分析--线性代数建模案例(20例)

线性代数建模案例汇编 目录 案例一. 交通网络流量分析问题 0 案例二. 配方问题 (3) 案例三. 投入产出问题 (4) 案例四. 平板的稳态温度分布问题 (6) 案例五. CT图像的代数重建问题 (9) 案例六. 平衡结构的梁受力计算 (11) 案例七. 化学方程式配平问题 (13) 案例八. 互付工资问题 (14) 案例十. 电路设计问题 (17) 案例十一. 平面图形的几何变换 (19) 案例十二. 太空探测器轨道数据问题 (21) 案例十三. 应用矩阵编制Hill密码 (22) (屏幕制造商需要调整矩阵元素一适应其RGB屏幕.) 求将电视台发送的数据转换成电视机屏幕所要求数据的方程. (25) 案例十五. 人员流动问题 (25) 案例十六. 金融公司支付基金的流动 (27) 案例十七. 选举问题 (29)

案例一. 交通网络流量分析问题 城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。 【模型准备】 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆). 图3 某城市单行线车流量 (1) 建立确定每条道路流量的线性方程组. (2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? (3) 当x 4 = 350时, 确定x 1, x 2, x 3的值. (4) 若x 4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理? 【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等. 【模型建立】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足 500 = x 1 + x 2 ① 400 + x 1 = x 4 + 300 ② x 2 + x 3 = 100 + 200 ③ x 4 = x 3 + 300 ④ 【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组 12142334500100300300x x x x x x x x +=??-=-??+=??-+=? 其增广矩阵 (A , b ) =1100500100110001103000011300?? ?-- ? ? ?-??????→初等行变换10011000101600001130000000--?? ? ?-- ? ?? ?

数学建模实例—-汽车购买决策

购买汽车的选择 摘要 “我没有车我没有房”攒了几年钱终于有钱买车了，但我又担心买不到最称心的车子，于是我们团队就试图用数学建模的方法解决这个问题。 对于这种关键因素难以量化的问题，我们决定用最适合的层次分析法。首先，考虑到课题目标除了“做出购买决定”之外还要评出配置最高、最舒适、最漂亮的车子，所以我们将这个决策问题分成四层：首层是目标层，即本课题最重要的目标—购买汽车的决策，第二层是准则层，分成“舒适”“配置”“美观”“价格”四个准则，这样做的好处是便于达到课题的二级目标。第三层是次准则层，将准则层的四大准则细分为八个准则，需要指出的是“价格”因为无法细分我们将它设定为同时属于二三层。第四层，即最后一层是方案层，有三套方案供选择。 当思维过程转化为层次结构之后，从层次结构的第二层开始，对于从属于或影响上一层每个因素的同一层诸因素，用层次比较法和1-9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。 对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验，若检验通过，特征向量即为权向量；若不通过则需重新构造【1】。 最后组合权向量并做一致性检验。都通过之后就便得到了一个决策。此刻我们做的是重新审视模型讨论模型的局限以及不完整之处，力求改进，直到做出满意的模型。 Ⅰ问题重述 工作五年后，你决定要购买一辆汽车，预算十万左右。在汽车网上浏览了很久，初步确定将从三种价格相当的车型中选购一种。一般在购买汽车时考虑的标准可能包括：品牌、配置、动力、耗油量大小、舒适程度和外观美观情况等等。（以上提到的标准仅供参考，因人而异 （1 ）不同的标准在你心目中的比重也许是不同的，请用定量的方法将其按比重的高低进行排序。 （2 ）请用定量的方法说明哪种车配置最好、哪种车最舒适、哪种车最漂亮？ （3 ）建立数学模型，用确定的量化方法作出购买决定。 Ⅱ问题分析 本题要求用定量的方法研究购买汽车的决策。而购买汽车，人们多半是凭经验或者主观判断的提出决策方案。如何用定量的方法解决定性的问题，是首先要解决的问题。我们马上想到了层次分析法（AHP），这是一种定性和定量相结合的系统化的、层次化的分析方法。用这种方法，首先我们需要查阅大量资料，了解汽车主要构造，相关配置，外观设置等。之后就是尝试着将这些资料整合分类为能为决策提供帮助的一个个准则，然后去确定这些准则在心中的比重。于是得到了层次结构模型。结合三款车子资料，通过成对比较阵、最大特征根、组合权向量等方法求出一个决策结果，接下来并不着急给模型定型，而是审视模型改进模型直到获得满意的模型。

高等数学建模案例集.d

《高等数学》案例集 第一章 函数与极限 （一）建立函数关系的的案例 1、 零件自动设计要求，需确定零件轮廓线与扫过的面积的函数关系。已知零件轮廓下部分为长 a 2，宽 a 2 2 的矩形ABCD ，上部分为CD 圆弧，其圆心在AB 中点O 。如下图所示。M 点在BC 、CD 、DA 上移动，设BM ＝x ，OM 所扫过的面积OBM （或OBCM 或OBCDM ）为y ，试求y=f(x)函数表达式，并画出它的图象。 解：⎪ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ ⎪ ⎨⎧+≤≤++-+≤≤+ ≤ ≤==a x a ax a a x a ax a a x ax x f y 2 2 22242 8 2222 222412 2 042 )(22ππππ （二）极限 1、一男孩和一女孩分别在离家2公理和1公理且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4公理/小时和2公理/小时的速度步行回家,一小狗以6公理/小时的速度由男孩处奔向女孩,又从女孩奔向男孩,如此往返直至回家中,问小狗奔波了多少路程? 若男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间,问当他们到达学校时小狗在何处? 解：(1) 男孩和女孩到校所需时间是半小时，也即小狗奔波了半小时，故小狗共跑了3公里。 (2)设x(t)，y(t)，z(t)分别表示t 时刻男孩、女孩、小狗距家的距离， （二）连续函数性质 B C A D M M M

1、某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山,下午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下山,下午5时回到山下旅店。某乙说,甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么? 第三章 中值定理与导数应用 1、陈酒出售的最佳时机问题 某个酒厂有一批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入 R0＝50万元。如果窖藏起来待 来年（第n 年）按陈酒价格出售，第n 年末可得总收入为R ＝R 08 3 2 n e 万元，而银行利率为r ＝0.05， 试在各种条件下讨论这批好酒的出售方案。 若银行利率开始为r ＝0.05，第5年后降为0.04，请给出最佳出售方案。 2、航空公司因业务需要，需要增加一架波音客机，如果购买需要一次支付6000万美元现金，客机的使用寿命为15年，如果租用一架客机，每年要支付600万美元的租金，租金每年年末支付，若银行年利率为8％，请问购买客机与租用客机那种方案较佳？如果银行的年利率为5％呢？ 2. 梯子长度问题 一楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台. 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的. 现清洁工只有一架7m 长的梯子, 你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少? 解：function f=fun(x) f=x+2*x/sqrt(x*x-3*3) %设温室以上的梯子长度为a ，温室的长为x ，高为y ，则梯子的长为a+y*a/sqrt(a*a-x*x). %min b=a+y*a/sqrt(a*a-x*x) [x,fval]=fminbnd('hui2',3,12); xmin=x fmin=fval 运行结果：f =Inf f =14.0656 xmin =3.9835 fmin =7.0235 3、普勒与酒桶问题 德国的开普勒是一位出色的天文学家，同时也是一位卓越的数学家。他于1965年出版了《葡萄酒桶的立体几何》一书。为什么取这样一个书名？据说开普勒把自己求许多图形的面积方法，与成一本书，可苦于找不到一个好的书名。有一天，他到酒店去喝酒，发现奥地利的葡萄酒桶，和他家乡莱茵的葡萄酒桶不一样，他想奥地利的葡萄酒桶为什么要做成这样呢？高一点好不好？扁一点行不行？ 第五章、定积分 1、天然气产量的预测

高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题

学生宿舍设计 方案的评价 摘 要 本题是一个典型的对于多指标（或多因素）的对象进行综合测评问题，就是要通过建立合适的综合测评数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标作为一个恶综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。 针对本题，，我们进行研究并做了以下工作： 1.由于在评价过程中，涉及到一些定性和定量的指标，使决策具有明显的模糊性和不确定性，因此我们应用模糊决策法和层次分析法进行综合评价。 2.经过对平面设计图的分析和整理，我们选择建设成本1P 、运行成本2P 、收费标准3P 、人均面积4P 、使用方便5P 、互不干扰6P 、采光和通风7P 、人员疏散8P 和防盗9P 作为评价要素。 3.对于定性的指标我们采用线性隶属度来确定指标评语集合特征值；对于定量的指标我们采用最大最优min max min ij i ij i i x x y x x -= -和最小最优max max min i ij ij i i x x y x x -= -的 原则确定指标的特征值。 4.利用层次分析求出评价因素指标的权重向量，在层次分析方法求权重的过程中，我们建立目标层、准则层和指标层三个层次，通过同一层目标之间的重要性的两两比较，得到判断矩阵，求出判断矩阵的特征向量，用方根法求出它们的最大特征根()max 1n i i i Pw nw λ==∑ 和特征向量() ij n n P p ?=，作为各指标相对上层指标的 权重() 121 ......T j n Q q q q ?=。 5.确定评价指标的特征值矩阵和评价指标的相对优属度矩阵，最后计算系统的综合评价判值。 6.结合模糊决策方法，我们将与宿舍有关的主要因素及其相对重要性进行量化，得到模糊关系矩阵Y ，从而得到宿舍设计方案的综合评价模型： 121(,,)()()T m ij m n j n Z z z z Y Q y q ??==?=?L 根据四种设计方案给出的数据，利用Matlab 对上述模型和算法进行实践求 解得到 ()0.21500.10750.10750.16770.16770.06450.03010.09380.0462Q = Z ()0.37430.40110.49400.5799T =。

数学建模与竞赛案例选讲

数学建模与竞赛案例选讲 数学建模和竞赛是现代数学教育中不可或缺的一部分。数学建模是指利用数学方法，对实际问题进行分析、建模、求解和评价的过程。竞赛则是通过比赛形式，来提高学生的数学能力和创造力。本文将选取一些有代表性的数学建模和竞赛案例进行讲解。 一、数学建模案例 1. 旅游路径规划 旅游路径规划是一个非常有趣的建模问题。假设一个人要参加某个国家的旅游，他想尽可能地游览这个国家的所有城市。但是由于时间和费用有限，他不可能去到所有城市。问题是，如何规划他的路线，使他在游览尽可能多的城市的同时，不会浪费太多时间和费用？ 这个问题可以建立一个旅游路径规划模型。我们可以按照以下步骤进行： 第一步，将这个国家的所有城市标注在地图上，并确定城市之间的距离。 第二步，制定一个有效的算法来求解最优路径。一种常用的算法是旅行商问题（TSP）算法。 第三步，考虑一些现实因素的影响，如交通拥堵、天气等因素，

将这些因素纳入到模型中。 通过这个建模过程，我们可以得到一个规划出的旅游路径，从而帮助人们更加有效地规划旅游行程。 2. 环境污染模拟 现代化城市发展中，环境污染问题越来越受到关注。环境污染模拟可以有效地评估城市中各种环境因素的影响。我们可以按照以下步骤来建立环境污染模拟模型： 第一步，建立一个三维城市地图。这个城市地图可以包括建筑物、道路、污染源等信息。 第二步，将城市地图中的各种环境因素纳入到模型中，如空气污染、噪音污染等。 第三步，利用数学方法对各种环境因素进行模拟，发现环境污染的趋势和程度。 第四步，根据模拟结果，提出环境污染防治的措施。 通过这个建模过程，我们可以帮助城市规划师有效地评估和控制城市环境污染。 二、竞赛案例 1. 国际数学奥林匹克竞赛（IMO）

高中数学建模的教学案例

高中数学建模的教学案例 高中数学建模是一门富有挑战性和创造性的学科，旨在培养学生的逻辑思维能力、问题解决能力以及数学建模的应用能力。为了帮助学生更好地理解和应用数学建模，以下是一个教学案例，通过实际问题引导学生进行数学建模的步骤和方法。 案例背景： 某小区的居民数逐年增加，导致小区配套的市政建设不足。为了解决该问题，物业公司统计了小区每户居民的用水量，并希望通过数学建模来预测未来几年的整体用水量，以供决策参考。 1. 问题分析 首先，学生需要分析问题的背景和目标。他们可以思考以下几个问题： - 该问题的关键因素是什么？ - 什么样的数据对解决问题有帮助？ - 可以借助哪些数学方法和模型来解决问题？ 2. 数据收集 学生需要搜集相关的数据，可以通过访谈物业公司负责人、查阅相关资料等方式获取所需数据。在这个案例中，学生需要收集每年小区的居民数量和每户居民的用水量数据。

3. 数据处理和分析 接下来，学生可以使用合适的数学方法和模型来处理和分析数据。 在这个案例中，学生可以使用线性回归模型来分析用水量和居民数量 之间的关系。他们可以通过计算回归方程，预测未来几年的整体用水量。 4. 模型建立和验证 学生需要建立数学模型，并验证模型的有效性。在这个案例中，学 生可以以小区的居民数量作为自变量，以每户居民的用水量作为因变量，建立线性回归模型。然后，他们可以将该模型应用于其他小区的 数据，观察预测结果和实际结果的差异，以验证模型的准确性。 5. 结果与讨论 最后，学生需要对结果进行总结和讨论。他们可以回答以下问题：- 预测结果与实际情况是否一致？ - 模型的优缺点是什么？ - 如何改进模型的准确性和实用性？ 通过以上的教学案例，学生可以在实际问题中学习和应用数学建模 的方法和步骤。这种教学方法可以培养学生的实际应用能力和创造力，并提高他们对数学建模的兴趣和理解。 总结：

高中数学数学建模案例

高中数学数学建模案例 在高中数学课程中，数学建模是一个重要的部分。它通过数学模型 来解决实际生活中的问题，培养学生的数学思维和解决问题的能力。 下面我将给大家介绍一个高中数学数学建模的案例。 目标：优化校园电费的管理 问题陈述：某高中校园有多个教学楼和宿舍楼，每个建筑都有独立 的电费计量表。校方希望通过合理的电费管理来节约能源和降低费用 支出，同时保证校园的正常运行。 解决方案： 1. 数据收集和分析： 首先，校方需要收集校园各个建筑的用电量数据和相应的费用数据。这些数据可以通过系统监测或者人员抄表的方式收集。然后，校 方需要对数据进行分析，找出电费支出的主要因素和影响因素。 2. 建立数学模型： 然后，校方可以根据数据分析的结果和实际情况，建立数学模型 来描述校园的电费管理问题。这个模型可以包括以下几个方面的因素： - 建筑的用电规模：每个建筑的用电规模不同，可以通过建筑的面积、人员数量等来估计。 - 用电设备和使用模式：不同的教室、实验室和宿舍楼都有不同的用电设备和使用模式，需要对其进行分类和分析。

- 电费计价规则：校方可以根据实际情况来确定电费的计价规则，例如按照用电量或者按照峰谷分时段计费等。 3. 模型求解和优化： 校方可以使用数学软件或者编程工具来求解和优化建立的数学模型。通过模型的求解，可以得到一些关键的结论和优化建议，例如： - 不同建筑的用电量和费用占比； - 用电量较大的建筑和使用模式； - 节约用电的策略和措施； - 改进计费规则的建议等。 4. 实施和监测： 最后，校方需要根据模型的结果和建议，进行实施和监测。可以通过相关培训和教育来提高师生对节约用电的意识，同时可以安装电表监测系统来实时监测用电情况，及时调整和改进管理策略。 结论： 通过数学建模，校园电费管理可以得到优化，节约能源和降低费用支出。同时，这个案例也展示了数学建模在实际问题中的应用和重要性。 总结：

高等数学应用之空气质量的校准——2019高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题分析

高等数学应用之空气质量的校准——2019高教社杯全国 大学生数学建模竞赛D题分析 高等数学应用之空气质量的校准——2019高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题分析 第一部分：问题概述 空气质量是影响人类健康和环境质量的重要指标之一。而如何准确、高效地测量和校准空气质量监测仪器成为当前研究的热点问题。而在2019年全国大学生数学建模竞赛的D题中，我们需要考虑在给定的城市网格点上进行空气质量监测仪器的校准问题，通过高等数学的方法给出合理的校准方案。 第二部分：问题分析 该题目给定了城市网格点上的空气质量监测仪器数据，需要我们根据已知数据拟合出一个准确的校准方程。首先，我们可以将问题简化为一个最小二乘拟合问题，通过统计学方法找到最佳的拟合曲线。其次，我们可以采用数值方法求解该问题，例如使用梯度下降法来最小化残差平方和，以获得最佳拟合曲线的参数。 第三部分：拟合方法选择 在进行最小二乘拟合时，我们可以采用各种不同的拟合方法，例如线性拟合、多项式拟合或指数拟合等。我们需要根据空气质量监测数据的特点来选择合适的拟合方法。在实际情况中，我们常常会遇到非线性的关系，所以多项式拟合可能是更好的选择。此外，我们还可以考虑使用最小二乘支持向量回归（Least Squares Support Vector Regression, LSSVR）等机器学习方法来完成拟合。 第四部分：优化方法选择

在求解最佳拟合曲线的参数时，我们可以采用各种优化方法。梯度下降法是一种常用的优化方法，通过不断迭代寻找取得最小残差平方和的参数。梯度下降法可以根据误差函数对参数进行偏导数计算，并根据某个学习率来进行参数更新，直到达到收敛的条件为止。除了梯度下降法，还可以考虑其他优化方法，如牛顿法、拟牛顿法等。 第五部分：实际计算与结果分析 在实际计算中，我们需要使用MATLAB或Python等数学建模软件，根据给定数据进行拟合和优化计算。我们可以通过绘制拟合曲线和残差分析来对拟合结果进行分析和评价。在分析结果时，我们可以计算拟合曲线与真实数据之间的误差，评估所选择的拟合方法和优化方法的效果，并给出改进的建议。 第六部分：拓展与应用 空气质量的校准不仅仅是一种数学建模问题，更是与环境、健康等领域息息相关的实际问题。通过本次建模竞赛题目的研究，我们不仅可以锻炼数学建模的能力，还可以深入理解空气质量的相关知识和方法。在实际应用中，我们可以根据拟合曲线的函数形式进行空气质量监测仪器的校准，并通过该校准方程来预测和评估空气质量的变化趋势。 总结： 通过本次竞赛题目的分析与研究，我们对于空气质量监测仪器的校准问题有了更深入的了解。本文主要介绍了问题的背景和分析思路，并给出了合适的拟合和优化方法。通过实际计算和结果分析，我们可以为空气质量监测仪器的校准提供更准确、高效的方法和建议。同时，该研究还为我们拓展了对于空气质量等实际问题的认识和应用能力

数学建模选题

《数学建模》选题(一) 1、选址问题研究 在社会经济发展过程中, 经常需要在系统中设置一个或多个集散物质、传输信息或执行某种服务的“中心”。在设计和规划商业中心、自来水厂、消防站、医院、飞机场、停车场、通讯系统中的交换台站等的时候,经常需要考虑将场址选在什么位置才能使得系统的运行效能最佳。选址问题, 是指在指定的范围内, 根据所要求的某些指标,选择最满意的场址。在实际问题中,也就是关于为需要设置的“设施”选择最优位置的问题。选址问题是一个特殊类型的最优化问题,它属于非线性规划和组合最优化的研究范围。由于它本身所具有的特点,存在着单独研究的必要性和重要性。 1.1“中心”为点的情形 如图1，有一条河，两个工厂P 和Q位于河岸L（直线）的同一侧，工厂 P 和 Q 距离河岸L分别为8千米和10千米，两个工厂的距离为14千米，现要在河的工厂一侧选一点R，在R处建一个水泵站，向两工厂P、Q 输水，请你给出一个经济合理的设计方案。 图1 图2 （即找一点 R ，使 R 到P、Q及直线l的距离之和为最小。） 要求和给分标准： 提出合理方案，建立坐标系，分情况定出点R的位置，0分——70分。 将问题引申：

（１）、若将直线 L 缩成一个点（如向水库取水），则问题就是在三角形内求一点R ，使R 到三角形三顶点的距离之和为最小（此点即为费尔马点）。 （２）、若取水的河道不是直线，是一段圆弧（如图2），该如何选点？ 对引申问题给出给出模型和讨论30分——50分。 抄袭者零分；无模型者不及格；无程序和运行结果扣20-30分；无模型优缺点讨论扣10分。 1.2“中心”为线的情形 在油田管网和公路干线的设计中提出干线网络的选址问题： 问题A ：在平面上给定n 个点n P P P ,,,21 ，求一条直线L ，使得 ∑=n i i i L P d w 1 ),( （1） 为最小，其中i w 表示点i P 的权，),(L P d i 表示点i P 到第直线L 的距离。 问题B ：平面上给定n 条直线n L L L ,,,21 , 求一点X , 使 ∑=n i i i L X d w 1 ),( （2） 为最小，其中i w 表示直线i L 的权，),(i L X d 表示点X 到第直线i L 的距离。 问题C ：在平面上给定n 个点n P P P ,,,21 ，求一条直线L ，使得 ),(max 1L P d w i i n i ≤≤ （1） 为最小，其中i w 表示点i P 的权，),(L P d i 表示点i P 到第直线L 的距离。 问题D ：平面上给定n 条直线n L L L ,,,21 , 求一点X , 使 ),(max 1i i n i L X d w ≤≤ （2） 为最小，其中i w 表示直线i L 的权，),(i L X d 表示点X 到第直线i L 的距离。 参考文献 【1】林诒勋, 尚松蒲. 平面上的点—线选址问题[J]. 运筹学学报,2002,6(3):61—68.

高等数学应用案例

高等数学应用案例 高等数学是一门综合性强的学科，其在工程、物理、计算机、经 济等领域中都有着广泛的应用。在现代化的社会中，数学应用越来越 普遍，从生活中的计算账单，到行业中的数据分析，再到科学中的物 理建模，数学无处不在。下面将着重介绍高等数学在实际应用中的一 些代表性案例。 一、电子商务 电子商务是当今信息技术发展的最重要特征之一，其中涵盖的数 学知识和技术也是非常复杂和广泛的，如数据挖掘、信息检索、分类、预测等等。举例来说，如果一家公司想要预测第二天的销售情况，可 利用高等数学中的时间序列分析方法对其历史销售数值进行分析，并 可以据此进行合理的预测，从而为企业的运营做出正确的决策。 二、金融业 金融业中的数据分析往往需要使用高等数学的方法来解决问题， 包括投资组合管理、风险评估、财务建模等。其中，黑-斯科尔斯模型 可以用来解决期权的定价问题，马科维茨投资组合理论可以用来帮助 投资者优化他们的投资策略。 三、生物工程 在生物工程领域，高等数学特别是微积分和微分方程是必不可少 的工具，因为它们能够描述和建模复杂的生物现象。例如，利用微积 分中的极限和积分概念可以分析心血管系统的运动，同时也可以分析 分子生物学中的反应速率和化学反应稳定性。 四、物理学 物理学中的应用也涉及到高等数学领域，物理学中的微分方程与 偏微分方程是非常重要的工具。使用物理定律和数学建模，可以预测 天体运动、地震规律等等。最典型的例子是爱因斯坦著名的广义相对论，其由偏微分方程构成，描述了引力和时空的关系。 总而言之，高等数学作为一门重要的工具学科，在理论和应用方

面都有广泛的应用。而高等数学所展现出的伟大魅力，相信将开拓更广阔的未来。

常微分方程数学建模案例分析

常微分方程数学建模案例分析 假设我们要研究一个简单的生物系统：一种细菌的生长过程。我们知道，细菌的生长通常可以描述为以指数速度增长的过程。为了建立一个数 学模型，我们首先需要确定一些基本假设和已知信息。 基本假设： 1.我们假设细菌的生长速度与细菌的数量成正比。 2.我们假设细菌的死亡速率与细菌的数量成正比。 已知信息： 1.我们已经知道在初始时刻，细菌的数量为N0个。 2.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的增长速率为r个/单位时间。 3.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的死亡速率为d个/单位时间。 接下来，我们将建立一个常微分方程模型来描述细菌数量的变化。假 设t表示时间，N(t)表示时间t时刻的细菌数量，则我们可以得到以下微 分方程： dN/dt = rN - dN 这个方程的含义是，细菌数量的变化率等于细菌的增长速率减去细菌 的死亡速率。如果我们将细菌的增长速率和死亡速率设为常数r和d，则 上述方程可以进一步简化为： dN/dt = (r-d)N

解这个微分方程，我们可以得到细菌数量随时间变化的函数N(t)。 根据初值条件N(0)=N0，我们可以求解该方程并得到解析解： N(t) = N0 * exp((r-d)t) 上述解析解告诉我们，细菌数量随时间以指数速度增长。这与我们的 基本假设相符。 然而，对于复杂的系统，往往很难获得精确的解析解。在这种情况下，我们可以使用数值方法来求解微分方程。常见的数值方法包括欧拉法、改 进的欧拉法和四阶龙格-库塔法等。这些方法基于近似计算的原理，通过 迭代逼近解。 在我们的细菌生长模型中，我们可以使用数值方法来计算细菌数量随 时间的变化。我们可以选择欧拉法，它是一种简单而直观的数值方法。欧 拉法的迭代公式为： N(t+h)=N(t)+h*(r-d)N(t) 其中，N(t)是在时间t时刻的细菌数量，N(t+h)是在时间(t+h)时刻 的细菌数量，h是时间间隔。 我们可以选择一个足够小的时间间隔h，并迭代使用欧拉法来计算细 菌数量的近似解。通过对比解析解和数值解，我们可以评估欧拉法的准确 性和可靠性。 综上所述，常微分方程是数学建模中重要的工具之一、通过建立微分 方程模型，并应用解析解和数值方法，可以帮助我们理解和预测许多实际 问题的动态行为。在实际建模过程中，我们需要根据具体问题确定基本假 设和已知信息，然后选择适当的数学方法进行分析。

2023高教社杯数学建模d题

2023高教社杯数学建模d题 一、问题描述 本题目要求解决一个数学建模问题。 二、问题分析 在解决问题之前，我们首先需要对问题进行分析。根据题目描述，我们需要解决的是一个数学建模问题，具体来说是D题。在解决问题之前，我们需要明确问题的背景和目标，以及所需要的数据和假设条件。 三、问题背景 在这一部分，我们需要对问题的背景进行描述。根据题目描述，我们可以得知这是一个关于数学建模的比赛，名为2023高教社杯数学建模。这个比赛的目的是通过解决一系列数学问题，来提高参赛者的数学建模能力。 四、问题目标 在这一部分，我们需要明确问题的目标。根据题目描述，我们需要解决的是D题。具体来说，我们需要通过数学建模的方法，解决D题所提出的问题。 五、数据和假设条件 在这一部分，我们需要明确问题所需要的数据和假设条件。根据题目描述，我们可以得知问题所需要的数据和假设条件如下：

1. 数据： - 数据1：xxx - 数据2：xxx - 数据3：xxx 2. 假设条件： - 假设条件1：xxx - 假设条件2：xxx - 假设条件3：xxx 六、问题求解 在这一部分，我们需要对问题进行求解。根据题目描述，我们可以采用以下步骤来解决问题： 1. 步骤1：xxx 2. 步骤2：xxx 3. 步骤3：xxx 七、结果分析 在这一部分，我们需要对问题的结果进行分析。根据题目描述，我们可以得出以下结论： 1. 结论1：xxx

2. 结论2：xxx 3. 结论3：xxx 八、模型评价 在这一部分，我们需要对所建立的模型进行评价。根据题目描述，我们可以对模型进行以下评价： 1. 优点：xxx 2. 缺点：xxx 3. 改进方法：xxx 九、总结 在这一部分，我们需要对整个问题进行总结。根据题目描述，我们可以得出以下结论： 通过解决2023高教社杯数学建模D题，我们可以提高自己的数学建模能力，并且对数学建模有更深入的理解。这个比赛为我们提供了一个锻炼自己的机会，希望大家能够充分利用这个机会，不断提高自己的数学建模能力。 十、参考文献 在这一部分，我们需要列出所参考的文献。根据题目描述，我们可以列出以下参考文献： 1. 参考文献1：xxx

2021数学建模d题

2021数学建模D题 1. 引言 数学建模是一种将现实问题转化为数学模型，并通过数学 方法来研究和解决问题的方法。在2021年的数学建模D题中，我们需要解决一个与数据挖掘相关的问题。本文将详细介绍我们的数学建模过程，并研究和探讨解决方案。 2. 问题描述 在本次数学建模D题中，我们被要求分析和预测一家电商 公司的销售额，并提出合理的策略来优化销售业绩。具体问题描述如下： •掌握过去几年的销售额数据以及其他相关数据。 •利用数学建模的方法预测未来的销售额。 •分析销售额变化的影响因素，并提出相应的策略来 优化销售业绩。

3. 数据集分析 首先，我们需要对所提供的数据集进行分析和处理。数据 集中包含了过去几年的销售额数据，以及与销售业绩相关的其他数据，如广告投入、网站流量、市场竞争情况等。我们需要对这些数据进行清洗和整理，以便后续的建模分析。 对于销售额数据，我们可以使用折线图来观察其变化趋势。同时，我们还可以计算销售额的平均值、方差以及其他统计学指标，以便更好地理解数据集的特征。 对于其他相关数据，我们可以使用散点图或热力图来观察 其与销售额之间的关系。这将帮助我们识别出可能的影响因素，并为后续的建模提供指导。 4. 建立数学模型 在本问题中，我们需要预测未来的销售额，并分析销售额 变化的影响因素。为此，我们可以建立一个多元线性回归模型来描述销售额与其他相关数据之间的关系。假设销售额Y与广告投入Y1、网站流量Y2、市场竞争情况Y3之间存在关联，我 们可以将模型表示为： $$Y = \\beta_0 + \\beta_1X_1 + \\beta_2X_2 + \\beta_3X_3 + \\varepsilon$$

高校数学建模竞赛复习资料及参考案例

高校数学建模竞赛复习资料及参考案例 在高校数学建模竞赛中取得好成绩的关键之一是充分的复习准备。 本文将提供一些高校数学建模竞赛的复习资料和参考案例，希望对参 赛选手有所帮助。 一、复习资料 1. 教材和参考书籍 在复习数学建模竞赛时，选取适合的教材和参考书籍是非常重要的。建议参赛选手首先学习高等数学、线性代数和概率论等重点内容，并 结合实际情况或参考往年竞赛题目，选择相应的教材进行系统学习。 经典的参考书籍有《数学建模引论》和《数学建模与模拟》等，可以 帮助选手掌握数学建模的基本方法和技巧。 2. 往年竞赛题目 研究往年竞赛题目是复习的重要环节。选手可以在竞赛官网或相关 网站上找到过去几年的竞赛题目，并将其分类整理。通过仔细分析题目，可以了解不同类型题目的出题思路和解题方法，为应对类似的题 目做好准备。 3. 数学建模教学视频 现如今，网络资源丰富，有许多数学建模教学视频可供学习。通过 观看教学视频，参赛选手可以系统地了解数学建模的基本概念、方法

和技巧。这些视频通常由专业教师进行讲解，在趣味性和实用性上都 有很高的水平，能够帮助选手加深对数学建模的理解。 二、参考案例 1. 题目背景 假设你在一个科研团队中负责一个关于交通拥堵问题的研究项目。 你需要分析城市交通拥堵的影响因素并提出合理的优化建议。 2. 数据收集 首先，你需要搜集相关的交通拥堵数据，包括每天的平均通行时间、交通流量、道路状况等。可以通过实地考察、交通监控摄像头和交通 部门提供的数据等方式获取。 3. 数据处理与分析 将收集到的数据进行清洗和整理后，可以采用数学建模中的图表、 统计等方法进行数据分析，寻找影响交通拥堵的主要因素。例如，可 以使用统计学中的相关系数和回归模型来分析各个因素之间的关系， 并通过建立数学模型来预测交通拥堵的程度。 4. 优化建议 根据数据分析的结果，结合专业知识和实际情况，提出合理的优化 建议。比如，可以考虑在交通拥堵主要区域增加交通信号灯、修建新 的道路或者引入公共交通工具等。建议应该综合考虑交通效率、成本 效益以及可行性等方面。

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛_D题(抢渡长江)_论文之欧阳家百创编

抢渡长江 欧阳家百（2021.03.07） 摘要 问题一，是渡河问题最简单的一种模型。由题意可知，渡河的合运动是一条直线，结合简单的几何关系运算，我们建立了一个简单的几何模型。对该几何模型适当变形即可得出问题一的模型，求解出参赛者的游泳速度，并且通过游泳速度确定出最佳的游泳路线。 问题二，与问题一的方法一样，对原几何模型适当变形得到问题二的模型，代值即可解出游泳者始终以固定方向游时，游泳者可到达终点的速度要求。 问题三，水流的速度分为了三段，每一段为一个固定的函数值，根据问题一的分析，该游泳路线应该是三条不同的直线组成的。所以此问采用分段计算求和的优化模型来解决，运用lingo软件编程求解出最佳的渡河角度。 问题四，实质是对问题三模型的推广，在该问中，水流速度是分段函数，我们用微积分的方法分别解出每一个阶段上的水平位移，再采用分段计算求和的优化模型来解决，运用lingo软件编程求解出最佳的渡河角度。 关键词：渡河问题运动的合成与分解微积分优化模型lingo软件

一、 问题重述 “渡江”是武汉城市的一张名片。1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。 2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温 16.8℃, 江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。 假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图。 请你们通过数学建模来分析 上述情况, 并回答以下问题: 1. 假定在竞渡过程中游泳 者的速度大小和方向不变，且 竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。试说明2002年第一名是 沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方 1160 m 长江水流方向 终点: 汉阳南岸咀 起点: 武昌汉阳门