电场的高斯定理公式

电场的高斯定理公式

公式：S(E·da) = 4π*S(ρdv)

高斯定理：也称为高斯通量理论，或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通

常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。

在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭

合曲面上的电通量积分之间的关系。高斯定律表明在闭合曲面内的

电荷分布与产生的电场之间的关系。高斯定律在静电场情况下类比

于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决

定的物理量，例如引力或者辐照度。

高斯定理数学公式是：∮F·dS=∫(▽·F)dV。

大学物理常用公式(电场磁场 热力学)

第四章 电 场 一、常见带电体的场强、电势分布 2 3）无限长均匀带电直线（电荷线密度为 ）: E = ，方向：垂直于带电直线。 2 r ( r R ) 4）无限长均匀带电圆柱面（电荷线密度为）: E = 2 r (r R ) 5）无限大均匀带电平面（电荷面密度为）的电场: E =/2 0 ，方向：垂直于平面。 二、静电场定理 1、高斯定理： e = ? E v dS v = q 静电场是有源场。 S q 指高斯面内所包含电量的代数和；E 指高斯面上各处的电场强度，由高斯面内外的全 部 电荷产生； ? E v dS v 指通过高斯面的电通量，由高斯面内的电荷决定。 2、环路定理： ? E v dl v =0 静电场是保守场、电场力是保守力，可引入电势能 三、 求场强两种方法 1、利用场强势叠加原理求场强 分离电荷系统： E v = E v i ；连续电荷系统： E v = dE v i =1 2、利用高斯定理求场强 四、求电势的两种方法 n 1、利用电势叠加原理求电势 分离电荷系统：U = U i ；连续电荷系统： U = dU i =1 电势零点 v v 2、利用电势的定义求电势 U = 电势零点 E dl 五、应用 vv b 点电荷受力： F = qE 电势差： U ab =U a -U b = b E dr a E = 1 q U = q 4 r 2 4 r 1）点电荷： E = 0 (r R ) q 2 (r R ) 4 r 2 U = q (r R ) 4r q (r R ) 4 R

a 点电势能：W a = qU a 由 a 到 b 电场力做功等于电势能增量的负值 A ab = -W = -（W b -W a ） 六、导体周围的电场 1、静电平衡的充要条件： 1）、导体内的合场强为 0，导体是一个等势体。 2）、导体表面的场强处处垂直于导体表面。 E v ⊥表面。导体表面是等势面。 2、静电平衡时导体上电荷分布： 1）实心导体： 净电荷都分布在导体外表面上。 2）导体腔内无电荷： 电荷都分布在导体外表面，空腔内表面无电荷。 3）导体腔内有电荷+q ，导体电量为 Q ：静电平衡时，腔内表面有感应电荷-q ，外表面有电 荷 Q ＋ q 。 v v 3、导体表面附近场强： E = n v 七、电介质与电场 1、在外电场作用下，在外电场作用下，非极性分子电介质分子正、负电荷中心发生相对位 移，产生位移极化； 极性分子电介质分子沿外电场偏转，产生取向极化。 2、电位移矢量 D =E = 0r E —电介质介电常数， —电介质相对介电常数。 3、无介质时的公式将0换成 （或0上乘 r ），即为有电介质时的公式 1、无限长载流直导线的磁场分布： B = 0 I 2 、载流圆环圆心处磁场： B = 0 I 2r 2R 3、长直螺线管、密绕螺绕环内的磁场0 （单位长度上匝数 d ：导线直径） 二、磁场定理 v v 1、磁通量：通过某一面元dS 磁通： d =B dS = B cos dS =B dS 2、磁场的高斯定理 ：通过任意闭合曲面的磁通量为零： B dS = 0 稳恒磁场是无源场 S 3、安培环路定理： ? B dl = I 内 稳恒磁场是一非保守场 l 八、电容 1、电容器的电容： C =Q /U 2、平行板电容器：C = 0d r S U =Ed 3、电容串联： 1 = 1 + 1 +L 1 C = C 1+C 2+L C n 电容并联：C = C 1 +C 2 +L C n 4、电容器的储能 ：W =1Q =1CU 2 2C 2 第五章 稳恒磁场 一、常见电流磁场分布 5、电场的能量密度： e = 2 E 2 = 2D E

电通量,高斯定理

电通量、高斯定理 1、均匀电场的场强E 与半径为R 的半球面的轴线平行，则 通过半球面的电场强度通量φ = πR 2E ，若在半球面的球心处再放置点电荷q ，q 不改变E 分布，则通过半球面的电场强 度通量 φ =πR 2E ±q/2ε0。 2、真空中的高斯定理的数学表达式为∑?= ?0/εq s d E i s ， 其物理意义是静电场是有源场。 3、一点电荷q 位于一位立方体中心，立方体边长为a ，则通 过立方体每个表面的E 的通量是q/6ε0；若把这电荷移到立方 体的一个顶角上，这时通过电荷所在顶角的三个面E 的通量 是 0 ，通过立方体另外三个面的E 的通量是 q/8ε0。 4、两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为σ1和σ2，且σ1＞σ2，则两平面间电场强度的大小是( C ) (A) (B) (C) (D) 5、应用高斯定理求场强E 时，要求E 的分布具有对称性， 对于没有对称性的电场分布，例如电偶极子产生的电场，高斯定理就不再成立，你认为这种说法：( B ) (A)正确 (B)错误 (C)无法判断 6、下述带电体系的场强分布可能用高斯定理来计算的是( D ) (A)均匀带电圆板 (B)有限长均匀带电棒 (C)电偶极子 (D)带电介质球(电荷体密度是离球心距离r 的函数) 7、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则( C ) (A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零； ()0212/εσσ+()021/εσσ+()0212/εσσ-()021/εσσ-

(B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零； (C)封闭面上的电通量一定为零；场强不一定为零； (D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。 8、无限长均匀带电圆柱体，电荷体密度为ρ，半径为R，求柱体内外的场强分布 解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面为高斯面 根据对称性分析，圆柱面侧面上任一点的场 强大小相等，方向沿矢径方向 ? ? ? ?? + ? + ? = ? 侧面 下底 上底 s d E s d E s d E s d E s =?? 侧面 s d E =E? 侧面 ds=2rhE π （1）r < R时, ∑=ρ πh r q i 2, 2/ 2ε ρ π πh r rhE=, 2ε ρr E=（2）r > R时, ∑=ρ πh R q i 2, 2/ 2ε ρ π πh R rhE=, r R E 2 2ε ρ =∴= E ) ( , 2 ) ( , 2 2 R r r R R r r > < ε ρ ε ρ

静电场的高斯定理

静电场的高斯定理 引言 静电场是指电荷在没有运动的情况下所形成的电场分布。静电场的高斯定理是描述电场分布的一个重要定理，它由物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初提出。高斯定理可以被用来计算任意闭合曲面内的电场强度，并且被广泛应用于电场的分析和解题中。 高斯定理的表述 高斯定理的表述为：通过任意闭合曲面的电场通量等于该闭合曲面内部所包围电荷的总电量的1/ε0 倍，其中ε0为真空中的介电常数。 数学表达式为： ∮E·dA = Q/ε0 其中∮表示闭合曲面上的面积分，E为闭合曲面上的电场强度，dA为闭合曲面上的面积元素，Q为被闭合曲面包围的总电量。

高斯定理的表述说明了电场强度的分布与所包围电荷分布的关系，即闭合曲面上的电场通量与所包围电荷的性质直接相关。 高斯定理的证明 高斯定理的证明可以通过以下几个步骤完成： 1.假设存在一个闭合曲面，我们可以通过取一个小区 域在曲面上，该小区域面积为dA。假设该小区域上的电场强度为E，那么在该小区域上的电场通量为E·dA。 2.通过不断增大小区域的数量，将整个闭合曲面分成 许多小区域，那么闭合曲面上的电场通量可以表示为所有小区域上电场通量的和。 3.由于电场可以穿过某些小区域而不通过闭合曲面， 因此我们需要将穿过闭合曲面的电场通量作为负数计算。 这可以通过将某些小区域上的电场通量乘以-1来实现。 4.根据电场强度的定义，可以知道通过闭合曲面的电 场通量与闭合曲面内部所包围的电荷有关。因此，我们可以将电场通量表示为闭合曲面内电荷分布的函数。

5.结合步骤2和步骤3，我们可以将闭合曲面上的电 场通量表示为闭合曲面内电荷分布的累加。通过进一步的 数学推导，最终可以得到高斯定理的数学表达式。 高斯定理的应用 高斯定理在电场分析和解题中有着广泛的应用。通过高斯 定理，我们可以方便地计算出一个闭合曲面内部的电场强度。 一些常见的应用场景包括： 1. 计算均匀带电球壳内外的电 场强度。 2. 计算均匀带电平板之间的电场强度。 3. 计算均匀 带电球体内外的电场强度。 高斯定理在这些应用场景中可以极大地简化计算过程，并 且提供了解决问题的理论基础。 总结 高斯定理是描述静电场分布的重要定理，能够方便地计算 闭合曲面内的电场强度。通过高斯定理，我们可以将电场强度与所包围电荷分布建立联系，从而简化电场分析和解题过程。高斯定理的应用能够帮助我们更好地理解和应用静电场的知识。 以上是对静电场的高斯定理的详细介绍，希望对你的学习 有所帮助。

高斯定理的内容及公式

高斯定理的内容及公式 高斯定理 高斯定理（也称为散度定理）是微积分中重要的定理之一，它描述了向外流过封闭曲面的矢量场的总流量与该矢量场在曲面内部的散 度之间的关系。高斯定理在物理学、工程学和数学中具有广泛的应用。定理表述 高斯定理可以用数学公式来表示如下： ∮F S ⋅n dA=∭∇ V ⋅F dV 其中， - ∮ S 表示对封闭曲面S进行的积分； - F表示矢量场；- n表示曲面元素dA的外向单位法向量； - dA表示曲面S上的 面积元素； - ∭ V 表示对体积V进行的积分； - ∇⋅F表示矢量场 F的散度； - dV表示空间中的体积元素。 该定理表述了一个关键的观察结果：向外流过曲面S的总流量等于该矢量场在曲面内部的散度的体积积分。 例子解释 下面通过一个例子来解释高斯定理的应用。

假设有一个电场E，我们想计算通过一个封闭曲面S的电场流量。根据高斯定理，电场流量可以通过计算电场的散度来得到。假设电场在空间中的散度为∇⋅E=ρ，其中ρ是电荷密度。 根据高斯定理，我们可以得到以下等式： ∮E S ⋅n dA=∭∇ V ⋅E dV 左边表示通过封闭曲面S的电场流量，右边表示电场散度的体积积分。 假设曲面S是一个球面，且电场在球内是均匀的。此时，由于电场的散度是常数，我们可以简化上述公式为： E⋅4πr2=ρ⋅4 3 πr3 其中E表示电场强度，r表示球面的半径。 通过这个例子，我们可以看到高斯定理的应用。它提供了一种计算封闭曲面内部矢量场的性质（如流量、散度等）的方法，从而使我们能够更好地理解和分析物理现象和数学问题。 总结 高斯定理是微积分中的重要定理，它描述了向外流过封闭曲面的矢量场的总流量与该矢量场在曲面内部的散度之间的关系。通过高斯定理，我们能够更好地理解和计算各种物理场的性质。其应用范围广泛，包括物理学、工程学和数学等领域。

高斯定理与电场能量揭示高斯定理对电场能量的计算

高斯定理与电场能量揭示高斯定理对电场能 量的计算 高斯定理是电磁学中的重要定理之一，它在描述电场分布和计算电 场能量时起到了关键作用。本文将详细介绍高斯定理以及其在电场能 量计算中的应用。 高斯定理，也被称为高斯-奥伊斯定理，是法国数学家高斯与德国物理学家奥伊斯共同研究并发现的。该定理表明，通过任何一个闭合曲 面的电场通量等于该闭合曲面内的电荷总量除以真空介电常数。可以 用以下公式来表示： ∮ E · dA = Q/ ε₀ 其中，∮ E · dA表示电场E在闭合曲面上的通量，Q表示闭合曲面 内的电荷总量，ε₀表示真空介电常数。 高斯定理对电场能量的计算也提供了便利。电场能量是指电场的能 量密度与体积的乘积，可以通过以下公式计算： W = ∫ ½ε₀E² dV 其中，W表示电场的能量，ε₀表示真空介电常数，E表示电场强度，dV表示体积元。 根据高斯定理，我们可以将电场能量的计算转化为电场通量的计算，从而简化计算过程。首先，选择一个适当的高斯曲面，使得曲面内的 电场强度分布较为简单。然后，根据高斯定理，计算所选高斯曲面上

的电场通量。最后，根据通量和电荷总量的关系，计算得到电场的能量。 举个例子来说明。假设有一个均匀带电球体，半径为R，电荷密度 为ρ。我们选择一个以球心为中心、半径为r的球面作为高斯曲面。由 于球体对称性，球面上的电场强度的大小都相等且与球心距离r成反比。因此，球面上的电场通量可以简化为E乘以球面的面积，即4πr²E。根 据高斯定理，这个通量等于球内的电荷总量除以真空介电常数。因为 球体带电量为Q=4/3πR³ρ，所以通量可以表示为4πr²E，那么：4πr²E = Q/ε₀ = (4/3πR³ρ)/ε₀ 整理得到： E = ρR³/3ε₀r² 接下来，根据电场能量的计算公式，我们可以得到电场的能量： W = ∫ ½ε₀E² dV 对于球体而言，积分变为三次，分别是对r、φ和θ的积分。由于球对称性，对φ和θ的积分为2π，对r的积分区间为0到R。整理计算 之后，我们可以得到球体的电场能量。这个能量可以表示为：W = (4/15)πε₀ρ²R⁴ 通过上述推导，我们可以看出，高斯定理可以简化电场能量的计算 过程，使得我们不需要对整个空间进行遍历，而只需要计算所选择高 斯曲面上的电场通量即可。

三个无限大均匀带电平面高斯公式

三个无限大均匀带电平面高斯公式 高斯公式是电磁学中的一项重要公式，描述了一个封闭曲面内电场的性质。在这个问题中，我们考虑三个无限大均匀带电平面的情况。 首先，我们需要定义一些符号： -P为待求点，P到三个无限大均匀带电平面的距离分别为d1、d2和d3； -θ1、θ2和θ3分别为P到三个无限大均匀带电平面的夹角； -E1、E2和E3分别为P处的电场强度。 现在，我们来推导三个无限大均匀带电平面的高斯公式。 首先，考虑无限大带电平面1、根据对称性，我们可以推断出电场在平面1上的方向必定垂直于平面，并且大小在平面上是恒定的。由于平面1是无限大的，电场也是无限大的。根据高斯定理，平面1内通过的电场通量为Φ1=E1*S（其中，S为平面1的面积）。由于对称性，电场在平面1上垂直于平面，因此电场强度E1与面积S无关，而与平面1的电荷密度ρ1有关。根据高斯定理，Φ1=E1*S=ρ1*S/ε0，其中ε0是真空介电常数。因此，我们可以得到第一个高斯公式： E1=ρ1/ε0 接下来，考虑无限大带电平面2、与平面1类似，根据对称性，电场在平面2上的方向必定垂直于平面，并且大小在平面上是恒定的。由于平面2是无限大的，电场也是无限大的。根据高斯定理，平面2内通过的电场通量为Φ2=E2*S，其中S为平面2的面积。由于对称性，电场在平面2上垂直于平面，因此电场强度E2与面积S无关，而与平面2的电荷密度

ρ2有关。根据高斯定理，Φ2=E2*S=ρ2*S/ε0。因此，我们可以得到第二个高斯公式： E2=ρ2/ε0 最后，考虑无限大带电平面3、与前两个平面类似，在平面3上的电场也是垂直于该平面，并且大小在平面上是恒定的。根据高斯定理，平面3内通过的电场通量为Φ3=E3*S，其中S为平面3的面积。根据对称性，电场在平面3上垂直于平面，因此电场强度E3与面积S无关，而与平面3的电荷密度ρ3有关。根据高斯定理，Φ3=E3*S=ρ3*S/ε0。因此，我们可以得到第三个高斯公式： E3=ρ3/ε0 总结一下，三个无限大均匀带电平面的高斯公式为： -E1=ρ1/ε0 -E2=ρ2/ε0 -E3=ρ3/ε0 这些公式描述了每个平面上的电场强度与电荷密度之间的关系。

电场中的高斯面上各点的电场强度

电场中的高斯面上各点的电场强度 一、高斯面的概念及其特点 高斯面是一个虚拟的平面，它可以是任意形状，但必须满足以下两个特点： 1. 高斯面内的电场强度是均匀的； 2. 高斯面上的电场线垂直于高斯面。 二、高斯定理 高斯定理是描述电场与电荷分布之间关系的一个重要定理。它表明：在任何闭合曲面内，通过这个曲面的总电通量等于该闭合曲面内所包含的总电荷量除以真空介质中的介电常数。用公式表示为： Φ = ∮E·dS = Q/ε0 其中，Φ表示通过闭合曲面所包围区域的总电通量，E表示该区域内任意一点处的电场强度，dS表示该点处微小面积元素上法向量方向上的微元，Q表示该区域内所包含的总电荷量，ε0为真空介质中的介电常数。 三、高斯面上各点的电场强度 根据高斯定理可知，在一个闭合曲面内部分布有一些带电粒子时，通过这个闭合曲面所包围区域内部分布有一些由这些带电粒子所产生的

电场。若这个闭合曲面是一个高斯面，则根据高斯定理可知，通过这 个高斯面上的任意一点处的总电通量都是相等的，即Φ = ∮E·dS = Q/ε0。因此，在高斯面上各点的电场强度也是相等的。 四、高斯面上各点的电场强度计算方法 在实际问题中，需要根据具体情况来计算高斯面上各点的电场强度。 下面以一个简单的例子来说明如何计算： 假设有一均匀带电球体，其半径为R，带电量为Q，要求在球心处和 球体表面上各点处的电场强度。 1. 球心处： 由于球体带电量均匀分布，因此可以将球体看成由无数个小带电元素 组成。在球心处取一个半径很小的球形高斯面，则该高斯面内部没有 任何带电元素，因此通过该高斯面上任意一点处的总电通量为零。根 据高斯定理可知：Φ = ∮E·dS = 0，则E=0。因此，在球心处的电场强度为零。 2. 球体表面上各点处： 在球体表面上取一个球形高斯面，则该高斯面内部恰好包含整个球体。根据高斯定理可知：Φ = ∮E·dS = Q/ε0。由于该高斯面是球形的，因此其面积为4πR²，其中R为球体半径。因此，上式可以写成：E·4πR² = Q/ε0，则E = Q/(4πε0R²)。因此，在球体表面上任意一点处的电场强度为E = Q/(4πε0R²)。