静电场的高斯定理

302-静电场的高斯定理

1 选择题

1. 一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化：〔 〕

()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。 答案：()B

2. 如图所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且OP=OT ，那么〔 〕

()A 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小不变； ()B 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小改变； ()C 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小改变；

()D 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小不变。 答案：()C

3. 如图所示，闭合面S 内有一点电荷

Q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至

B 点，则；〔 〕

()A S 面的总通量改变，P 点场强不变； ()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变； ()D S 面的总通量和P 点场强都改变。

答案：()B

4. 已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和

0i

q

=∑，则可肯定：

〔 〕 ()A

()B

()C ()

D

答案：()C

5. 如图所示，一球对称性静电场的~E r 关系曲线，请指出该电场是由下列哪种带电体产生的（E 表示电场强度的大小，r 表示离对称中心的距离）〔 〕

()A 点电荷； ()B 半径为R 的均匀带电球体；

()C 半径为R 的均匀带电球面；

()D 内外半径分别为r 和R 的同心均匀带球壳。

答案：()C

6. 半径为R 的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距球心的距离r 的关系曲线为：〔

〕

答案：()B

r

()A ()B ()C ()D

7. A 和B 为两个均匀带电球体，A 带电荷q +，B 带电荷q -，作一与A 同心的球面S 为高斯面，如图所示。则〔 〕 ()A 通过S 面的电场强度通量为零，S 面上各点的场强为零；

()B 通过S 面的电场强度通量为0/q ε

，

S 面上场强的大小为

2

0π4r

q

E ε=； ()C 通过S 面的电场强度通量为 0()/q ε- ，S 面上场强的大小为2

0π4r q E ε=

；

()D 通过S 面的电场强度通量为0/q ε，但S 面上各点的场强不能直接由高斯定理求出。 答案：()D

8. 若穿过球形高斯面的电场强度通量为零，则〔 〕 ()A 高斯面内一定无电荷； ()B 高斯面内无电荷或正负电荷的代数和为零； ()C 高斯面上场强一定处处为零； ()D 以上说法均不正确。 答案：()B

9. 同一束电场线穿过大小不等的两个平面,如图所示。则两个平面的E 通量和场强关系是: 〔 〕

()A 12ΦΦ> 21E E =； ()B 12ΦΦ< 21E E =；

()C 12ΦΦ= 21E E >； ()D 12ΦΦ= 21E E <。 答案：()D

10. 下述带电体系的场强分布可以用高斯定理来计算的是：〔 〕

()A 均匀带电圆板； ()B 均匀带电的导体球； ()C 电偶极子； ()D 有限长均匀带电棒 答案：()B

11. 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：〔 〕 ()A 如果高斯面上E

处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E

处处为零；

()C 如果高斯面上E

处处不为零，则高斯面内必有电荷；

()D 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 答案：()D

12. 如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为〔 〕

()A 0/q ε ； ()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。 答案：()D

13. 如图所示，两个“无限长”的共轴圆柱面，半径分别为1R 和2R ，其上均匀带电，沿轴线方向单位长度上的带电量分别为1λ和2λ，则在两圆柱面之间、距离轴线为r 的P 点处的场强大小E 为：〔 〕

()A

102r λπε； ()B 12

02r

λλπε+； ()C 2022()R r λπε-； ()D 1

012()

r R λπε-。

答案：()A

14. 半径为R 的均匀带电球面，若其电荷面密度为σ，则在距离球面R 处的电场强度大小为：〔 〕 ()A

0εσ； ()B 02εσ； ()C 04εσ； ()D 0

8εσ

。 答案：()C

15. 在静电场中，一闭合曲面外的电荷的代数和为q ，则下列等式不成立的是：〔 〕

()A

0d =⋅⎰

S

S E

()B

0d =⋅⎰

L

l E

()C 0

d εq S E S

=⋅⎰ ()D

d εq l E L

=⋅⎰

答案：()C

16. 在电场强度为E Ej =的匀强电场中，有一如图所示的三棱

柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B

'B O C ，面A

B B 'A '的电通量为1φ，2φ，3φ，则〔 〕

()A 1230

E b c E b c φφφ===；

()B 1230Eac Eac φφφ=-==；

()C

123Eac Ebc φφφ=-=-=-；

()D

123Eac Ebc φφφ===。

答案：()B

17. 有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。 在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。设通过1S 和2S 的电场强度通量

分别为1φ和2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则〔 〕

()A 120,/q φφφε>=； ()B 120,2/q φφφε<=；

()C 120,/q φφφε==； ()D 120,/q φφφε<=。

答案：()D

18. 如果把一点电荷Q 放在某一立方体的一个顶点，则〔 〕

()A ()B 穿过每一表面的电通量都等于

()C ()D 穿过每一表面的电通量都等于

24Q

ε 答案：()D

19. 高斯定理

nt

i d ε∑⎰

=

⋅q

S E S

〔 〕

()A 适用于任何静电场。 ()B 只适用于真空中的静电场。

()C 只适用于具有球对称性、轴对称性和平面对称性的静电场。

()D 只适用于虽然不具有()C 中所述的对称性，但可以找到合适的高斯面的静电场。 答案：()A

20. 一电偶极子的偶极矩为p ，两个点电荷之间的距离是l 。以偶极子的中心为球心，半径为l 作一高斯球面，当球面中心沿p 方向移动时，则穿过高斯球面的电通量的变化顺序是：〔 〕 ()A 00,

,0

p

l ε； ()B 0

0,,0p l ε-； ()C 0,0,0；

()D 条件不充分。 答案：()A

2 填空题

1. 如图所示，在场强为E 的均匀电场中取一半球面，其半径为R ，电场

强度的方向与半球面的对称轴垂直。则通过这个半球面的电通量为 。 答案：0

2. 把一个均匀带有电荷Q +的球形肥皂泡由半径1r 吹胀到2r ，则半径为R (12r R r <<）的高斯球面上任一点的场强大小E 是否变化：______________。

答案：变化

3. 反映静电场性质的高斯定理表明静电场是___ ___场。 答案：有源场

4. 如图所示，在场强为E 的均匀电场中取一半球面，其半径为R ，电场强度的方向与半球面的对称轴平行。则通过这个半球面的电通量为 。

答案：2

E R π

5. 如图所示, 真空中有两个点电荷, 带电量分别为

Q 和Q -, 相距2R 。

若以负电荷所在处O 点为中心, 以R 为半径作高斯球面S , 则通过该球面的电场强度通量e Φ= 。 答案：0/Q ε-

6. 一面积为S 的平面，放在场强为E 的均匀电场中，已知E

与平面法

线的夹角为)2

(π

θ<

，则通过该平面的电场强度通量的数值e Φ=_______________。

答案：||cos E S θ

7. 一闭合面包围着一个电偶极子，则通过此闭合面的电场强度通量e Φ=_______________。 答案： 0

8. 一点电荷q 处在球形高斯面的中心，当将另一个点电荷置于高斯球面外附近时，穿过此高斯面的E 通量是否会发生变化？ _________________。 答案：不变化

9. 一点电荷q 处在球形高斯面的中心，当将另一个点电荷置于高斯球面外附近时，此高斯面上任意点的电场强度是否会发生变化？________________。 答案：变化

10. 如选高斯面为过P 点的任意闭合曲面，能否用高斯定理求P 点的电场强度：____________。 答案：不可以

11. 一均匀静电场，电场强度(400600)V/m E i j =+，则电场通过阴影表面的电场强度通量是___ ___（正方体边长为

1cm ）

。 答案：0.04V/m

12. 电荷1q 、2q 、3q 和4q 在真空中的分布如图所示, 其中2q 是半径为R 的

均匀带电球体, S 为闭合曲面，则通过闭合曲面S 的电通量

=⋅⎰⎰

S

S E

d 。 答案：

120()

q q ε+

13. 把一个均匀带电量Q +的球形肥皂泡由半径1r 吹胀到2r ，则半径为R (12r R r <<）的高斯球面上任一点的场强大小E 由

2

04q R

πε变为______________。

答案：0

14. 一均匀带电球面，半径是R ，电荷面密度为σ。球面上面元d S 带有d S σ的电荷，该电荷在球心处产生的电场强度为

2

0d 4S

R

σπε，则球面内任意一点的电场强度为____________。 答案：0

15. 一均匀带电球面，半径是R ，电荷面密度为σ。球面上面元d S 带有d S σ的电荷，该电荷在球心处产生的电场强度为____________。 答案：

2

0d 4S

R σπε

16. 有一个球形的橡皮膜气球，电荷q 均匀地分布在球面上，在此气球被吹大的过程中，被气球表面掠过的点(该点与球中心距离为r )，其电场强度的大小将由 变为0。 答案：

2

04q R

πε

17. 在匀强电场E 中，取一半径为R 的圆，圆面的法线

n 与E 成060角，如图所示，则通过以该圆周为边线的如图所示的任意曲面S 的电通

量=⋅=⎰⎰S

e S E Φ

d 。

答案：21

2

E R π-

18. 均匀电场E 垂直于以R 为半径的的圆面，以该圆周为边线作两个曲面1S 和2S ，1S 和2S 构成闭合曲面，如图所示。则通过1S 、2

S 的电通量1Φ和2Φ分别

为

和 。 答案：2

2E R

E R ππ-

E

∙ q 1

∙ q 3

∙ q 4 S

q 2

19. 如图所示，一均匀带电直导线长为d ，电荷线密度为λ+。过导线中点O 作一半径为R （2d R >）

的球面S ，P 为带电直导线的延长线与球面S 的交点。则通过该球面的电场强度通量=E Φ 。

答案：int

E q d λΦεε==

3 计算题

1. （1）（本小题5分）用高斯定理求均匀带正电的无限大平面簿板的场强（设电荷的面密度为σ）；

（2）（本小题5分）两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ

，试求空间各处场强。

答案: （1）如图，选择圆柱面作为高斯面

由高斯定理：

0d εσεS

q S E S

∆=

=⋅⎰⎰

2分 而

⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰

⋅+⋅+⋅=⋅左底

侧面

右底

S E S E S E S E S

d d d d

S E ∆=2 2分

∴ 0

2E σ

ε=

1分 （2）如题图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ，

两面间， 120

1

()2E n σσε=

- 2分 1σ面外， 120

1

()2E n σσε=-+ 2分 2σ面外， 120

1

()2E n σσε=

+ 1分

2. 一边长为a 的立方体置于直角坐标系中，如图所示。现空间中有一非均匀电场

12()E E kx i E j =++，1E 、2E 为常量，求：电场对立方体各表面的电场强度通量。

答案：参见图。由题意E 与O xy 面平行，所以对任何与O xy 面平行的立方体表面。电场强度的通量为零。即

OABC DEFG 0ΦΦ== 2分 而

E

2

221ABGF

]

d [])[(d a

E j S j E i kx E S E Φ=⋅++=⋅=⎰⎰⎰⎰ 2分

考虑到面CDEO 与面ABGF 的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有

2CDEO ABGF 2ΦΦE a =-=- 2分

同理 2121AOEF ]d [][d a E i S j E i E S E Φ-=-⋅+=⋅=⎰⎰⎰⎰

2分

2121BCDG )(]d [])[(d a ka E i S j E i ka E S E Φ+=⋅++=⋅=⎰⎰⎰⎰

2分

3. （1）地球表面的场强近似为200V/m ，方向指向地球中心，地球的半径为66.3710m ⨯。试计算地球带的总电荷量。92-201910N m C 4πε⎡⎤

=⨯⋅⋅⎢

⎥⎣⎦

（2）在离地面1400m 处，场强降为20V/m ，方向仍指向地球中心，试计算这1400m 厚的大气层

里的平均电荷密度。 答案：（1）设地球带的总电量为Q ，大气层带电量为q 。根据高斯定理，在地球表面处有

20

4Q

E R πε=

1分

地球带的总电量为

2625

09

14200(6.3710)910(C)910

Q E R πε==-⨯

⨯≈-⨯⨯ 2分 （2）对与地球同心，半径是R h +（R 是地球半径，1400m h =）得高斯面，由高斯定理

2

4()Q q E R h πε+⋅+= 2分

故1400m 厚的大气层带电量为

262509

51

4()20(6.37101400)910910

8.110(C)

q E R h Q πε=⋅+-=-⨯⨯++⨯⨯=⨯ 2分 大气层的平均电荷密度为 334

[()]3q

r h R ρπ=

+-

由于R h >>，故 332

()3R h R hR +-≈ 1分 ∴ 5123

262

8.110 1.1310(C/m )44(6.3710)1400

q R h ρππ-⨯≈==⨯⨯⨯⨯ 2分 4. （1）（本小题4分）用高斯定理求均匀带正电的无限大平面簿板的场强（设电荷的面密度为σ）； （2）（本小题6分）若A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小为0E ，两平面外侧电场强度大小都为0/3E ，方向如图．那么A 、B 两平面上的电荷面密度A σ, B σ各是多少？

答案: 1 如图，选择圆柱面作为高斯面

由高斯定理：

0d εσεS

q S E S

∆=

=⋅⎰⎰

2分

而

⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰

⋅+⋅+⋅=⋅左底

侧面

右底

S E S E S E S E S

d d d d

E

E

S E ∆=2 1分

∴ 0

2E σ

ε=

1分 2 由场强迭加原理，平面内、外侧电场强度由A σ, B σ共同贡献：

外侧：0A B 00223E σσ

εε+= 2分

内侧：A B 000

22E σσ

εε-=- 2分

联立解得：A 002/3E σε=- 1分 B 004/3E σε= 1分

5. 一个“无限长”半径为R 的空心圆柱面，均匀带电，沿轴线方向单位长度上的所带电荷为λ，分别求圆柱面内、外的电场强度E 的大小。

答案:作一半径为r R >，高为h 的同轴圆柱面为高斯面，由高斯定理可得：

00

int d ελεh

q S E S

⋅=

=⋅⎰⎰

3分 即： 0

2h E h r λ

πε⋅= 2分

∴r

E 02πελ

= （r R >） 1分

作一半径r R <，高为h 的同轴圆柱面为高斯面， 同理：

0int 0

d εε=

=⋅⎰⎰

q S E S

2分 ∴0=E （r R <） 2分

6. 两个均匀带电的同心球面，半径分别为1R 和2R ，带电量分别为1q 和2q 。求（1）场强的分布；（2）当12q q q =-=时，场强的分布。

答案: （1）选择高斯面：选与带电球面同心的球面作为高斯面。 由高斯定理：

int

d ε∑⎰⎰

=

⋅q

S E S

，得：int

20

4πq

E r ε=

∑ 2分

当2r R >时， int

12q

q q =+∑ 1分

解得 12

2

04q q E r πε+=

1分

当12R r R <<时， i n t

1q

q =∑ 1分

解出 2

014r q E πε=

1分

侧

h

当1r R <时，

int

0q

=∑ 1分

解得 0E =

1分

（2）当12q q q =-=时，由上面计算的结果，得场强的分布为

2122

010,,40,

r R q E R r R r r R πε⎧>⎪⎪=<<⎨⎪⎪<⎩ 2分

7. 一对无限长的均匀带电共轴直圆筒，内外半径分别为1R 和

2R ，沿轴线方向上单位长度的电量分别为1λ和2λ。求（1）各区域内的场强分布；（2）若12λλλ=-=，情况如何？画出此情形下的~E r 的关系曲线。

答案：（1）取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2= 通量：

l r E S E S

π2d =⋅⎰⎰

1分

由高斯定理

int

d εq S E S

=

⋅⎰⎰

1分 对1R r < 的区域：

0,

0q E ==∑ 1分 对21R r R <<的区域：

1

q l λ=∑ 1分

∴ 1

02πE r

λε=

1分

对2R r >的区域：

1

2

()

q l λλ=+∑ 1分

∴ 12

02πE r

λλε+=

1分

（2）当12λλλ=-=时，由上问结果：

1

1102

2π0

r R E R r R r

r R λε<=

<<> 1分

~E r 的关系曲线:

r

012πR λ

ε022πR λ

ε侧

h

2分

8. （1）（本题4分）如图，虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为：x E bx =，0y E =, 0z E =。高斯面边长0.1m a =，常量1000N /(C m)b =⋅。试求（1）该闭合面中包含的净电荷 (真空介电常数122-1-208.8510C N m ε-=⨯ ) ； （2）（本题6分）一均匀带电无限大平板，厚度为d ，电荷体密度为(0)ρ>，试用高斯定理求带电平板内外的电场强度。 答案：（1）设闭合面内包含净电荷为Q 。因场强只有x 分量不为零，故只是二个垂直于x 轴的平面上电场强度通量不为零。由高斯定理得：

11220

Q

E S E S ε-+=

2分

其中，212S S S a ===

则 2021021

()()(2)Q S E E S b x x a b a

a εεε=-=-=- 312

08.8510C a b ε-==⨯ 2分

（2）因为电荷相对平板的平分面MN 对称，故场强分布相对于MN 面具有对称性，且方相垂直于平板。即平面MN 两侧对称位置场点E

的大小相等，方向相反。作图示圆柱形高斯面，使底面过对称的场点，且平行于平板，由高斯定理：

int

2d ε∑⎰⎰

=

∆=⋅q

S E S E S

1分

当2

d

x <

， int

2q

x S ρ=∆∑ 2分

x

E ρε= 1分 当2

d

x >

， int

q

d S ρ=∆∑ 1分

2d

E ρε=

1分

9. 有两个同心的均匀带电球面，半径分别为1R 、2R )(21R R <，若大球面的面电荷密度为σ，且大球面外的电场强度为零，求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。

答案: （1）设小球面上的电荷密度为σ'，在大球面外作同心的球面为高斯面，

N

E

△S

由高斯定理：

'

12

20int 4'4d επσπσεR R q S E S

⋅+⋅=

=⋅⎰⎰

2分 ∵大球面外0=E

∴

2221440R R σπσπ'⋅+⋅= 2分

解得： 2

21

(

)R R σσ'=- 2分 （2） 大球面内各点的场强两个均匀带电球面场强的迭加:内部场强为零,外部相当点电荷 在1r R <区域： 00021=+=+=E E E 2分

在12R r R <<区域： 2112204'04R E E E r πσπε=+=+=2

20

⎪⎭

⎫

⎝⎛-

r R εσ

2分

10. 如图所示，一个均匀分布带电球层，电荷体密度为ρ，球层内表面半径为R ，外表面为2R ，求：电场分布。

答案: 本题的电荷分布具有球对称性，因而电场分布也具有对称性，作同心球面为高斯面，由高斯定理 0

int

d ε∑⎰⎰

=

⋅q

S E S

由对称性可以得到

E r S E S

24d π=⋅⎰⎰

1分

对于不同的高斯面，电荷是不同的，结果如下

0 q r R =< 1分

334

() 23q r R R r R πρ=-<< 2分

328

23

q R r R πρ=> 2分

因而场强分布为

0 E r R =< 1分

3320() 23r R E R r R r ρε-=<< 2分

32

07 23R E r R r

ρε=> 1分

11. 均匀带电球壳内半径16cm R =，外半径210cm R =，电荷体密度为5-3

210C m ρ-=⨯⋅。求：距球心15cm r =、28cm r =、312cm r =各点的场强及方向（真空介电常数122-1-208.8510C N m ε-=⨯）。 答案: 由高斯定理：0

int

d ε∑⎰⎰

=

⋅q

S E S

，得：int

20

4πq

E r ε=

∑ 2分

当5cm r =时，

int

0q

=∑ 1分

故： 0=E

1分 8cm r =时， int q ∑4π3

ρ

=3

(r 31)R - 1分

∴ ()3

31204π34πr R E r

ρ

ε-=

41048.3⨯≈1C N -⋅， 方向沿半径向外 2分 12cm r =时,int 4π3

q ρ

=∑3

2(R -31R ）

1分 ∴ ()3

3214204π3 4.10104πR R E r

ρ

ε-=

≈⨯ 1C N -⋅ 沿半径向外. 2分

12. 如图所示，有一带电球壳，内、外半径分别为a 、b ，电荷体密度为r A =ρ，在球心处有一点电荷Q 。求：（1）在a r b ≤≤区域的电场强度；（2）当A 取何

值时，球壳区域内电场强度E

的大小与半径r 无关。

答案: 在a r b ≤≤区域，用高斯定理求球壳内场强：

⎰⎰⎰⎰⎰

⋅+=⋅=⋅V

S

V Q r E S E )d (1

4d 0

2ρεπ 1分

而 r r A r r r A V r V r

a d 4d 4d 0

2

⎰⎰⎰⎰⎰=⋅=⋅ππρ()

222a r A -π= 2分 故： ()

2

22

0202414a r A r

r Q E -π⋅π+π=εε 即： 2

02

020224r

Aa

A r Q E εεε-+π=

3分 要使E

的大小与r 无关，则应有 ：

0242

02

20=-πr

Aa r Q εε 2分 即2

2a

Q

A π= 2分

13. 一半径为R 的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度为：()Ar r R ρ=≤、0()r R ρ=>，式中A 为大于零的常量。求：（1）半径为()r

r R ≤ ，高为h 圆柱体内包含的电荷量；（2）半径为()r r R > ，

高为h 圆柱体内包含的电荷量；（3）场强大小分布；

答案: (1) 半径为()r r R ≤ ，高为h 圆柱体内包含的电荷量：

210

2'd ''2'd 'r r

q r h r Ar r h r ρππ==⎰⎰32/3Ahr =π 2分

（2）半径为()r

r R > ，高为h 圆柱体内包含的电荷量：

220

2'd ''2'd 'R

R

q r h r Ar r h r ρππ==⎰⎰32/3AhR =π 2分

（3）场强大小分布：

取半径为r 、高为h 的高斯圆柱面。面上各点场强大小为E

并垂直于柱面。则穿过该柱面的电场强度

通量为：

⎰⎰=⋅S

E rh S E π2d

1分

由高斯定理得：

i n t

d ε∑⎰⎰

=

⋅q S E S

1分

在r R ≤区域： ()033/22εAhr rhE π=π 1分 解出：

()023/εAr E = 1分

在r R >时： ()033/22εAhR rhE π=π 1分 解出： ()r AR E 033/ε= 1分

静电场的高斯定理

302-静电场的高斯定理 1 选择题 1. 一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化：〔 〕 ()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。 答案：()B 2. 如图所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且OP=OT ，那么〔 〕 ()A 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小不变； ()B 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小改变； ()C 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小改变； ()D 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小不变。 答案：()C 3. 如图所示，闭合面S 内有一点电荷 Q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至 B 点，则；〔 〕 ()A S 面的总通量改变，P 点场强不变； ()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变； ()D S 面的总通量和P 点场强都改变。 答案：()B 4. 已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和 0i q =∑，则可肯定： 〔 〕 ()A ()B ()C () D 答案：()C 5. 如图所示，一球对称性静电场的~E r 关系曲线，请指出该电场是由下列哪种带电体产生的（E 表示电场强度的大小，r 表示离对称中心的距离）〔 〕 ()A 点电荷； ()B 半径为R 的均匀带电球体； ()C 半径为R 的均匀带电球面； ()D 内外半径分别为r 和R 的同心均匀带球壳。 答案：()C 6. 半径为R 的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距球心的距离r 的关系曲线为：〔 〕 答案：()B r ()A ()B ()C ()D

§11-3 静电场的高斯定理

§11-3 静电场的高斯定理 一、 电场线 电场线是为了描述电场所引进的辅助概念，它并不真实存在。 1、E 用电场线描述 规定：E 方向：电力线切线方向 大小：E 的大小=该电力线密度=垂直通过单位面积的电力线条数= ds dN 即 ds dN E （即：某点场强大小=过该点并垂直于E 的面元上的电力线密度。） 2、静电场中电场线性质 ⑴不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。 ⑵任意两条电场线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要求。 二、 电通量 定义：通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电场强度通量，用e 表示。 下面分几种情况讨论。 1、匀强电场 ⑴平面S 与E 垂直。如图所示，由E 的 大小描述可知： ⑵平面S 与E 夹角为 ，如图所示，由E 的大小描述知： S E ES ES e cos )(n S S

式中n 为S 的单位法线向量。 2、在任意电场中通过任意曲面S 的电通量 如图所示，在S 上取面元dS ，dS 可看成平面，dS 上 E 可视为均匀，设n 为S d 单位法向向量，S d 与该处E 夹角E 为 ，则通过dS 电场强度通量为： S d E d e 通过曲面S 的电场强度通量为： s e e S d E d 在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量 e s E dS v v ? 注意：通常取面元外法向为正。 三、高斯定理 高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲面电通量 的定理，现在从一简单例子讲起。 1、如图所示，q 为正点电荷，S 为以q 为中心以任 意r 为半径的球面，S 上任一点p 处E 为： r e r q E 2 04 2、通过闭合曲面S 的电场强度通量为： s s r s e dS r q e S d r q S d E 2 02 044 （r 、ds v 同向）

静电场的高斯定理并简述其物理意义

静电场的高斯定理并简述其物理意义 静电场是一种空间内动态分布的电场，它是一种广泛存在的自然标志，并在物理和化学研究中起着重要的作用。为了更有效地研究静电场，18世纪德国数学家 Karl Gauss出了静电场的高斯定理。它定义了根据电场中的电荷及其分布情况，计算其在任意空间点的电场强度和电位的关系。高斯定理表明，电场强度和电位的计算仅取决于电荷和受作用空间点之间的距离，与其他点没有任何关系。 高斯定理的计算过程如下：首先，考虑电荷 Q分布，它分布在 某个体积 V。那么，在体积 V，电荷 Q 产生的电场强度 E电位 U 之间的关系可以表示为： E = -U 其中，U 为位积，它是指空间内电位U的变化量，即电位的导数。根据高斯定理，在体积 V的电位的导数的平均值可以表示为： U = 1/4πε_0 Q/r^2 dV 由此可以得出，体积 V的电场强度 E电位 U 之间的关系为： E = 1/4πε_0 Q/r^2 dV 其中，ε_0 为介电常数，r 为电荷 Q受作用空间点的距离。此外，dV 为体积 V每个元素体积。 根据高斯定理，对总电荷 Q应的总电场强度 E电位 U说，只要知道电荷 Q分布情况、受作用空间点的位置以及它们之间的距离， 就可以得出相关的电场强度 E电位 U 之间的关系。 高斯定理的最重要的物理意义是，它定义了一种有效的计算方法，

可以计算出电荷 Q其分布情况对应的电场强度 E电位 U 之间的关系，从而更有效地研究静电场。 此外，高斯定理还可以用于计算电荷间的相互作用，从而更好地了解电荷 Q其分布情况所产生的电场强度 E电位 U 之间的关系。根据高斯定理，只要知道电荷之间的距离，就可以计算出它们之间的电场强度 E电位 U 之间的关系。 综上所述，高斯定理在研究静电场方面具有重要意义。它为研究者提供了一种有效的计算方法，让他们更好地了解电荷及其分布情况对应的电场强度 E电位 U 之间的关系，从而更好地理解静电场的物理性质。

电场中的高斯定理

电场中的高斯定理 高斯定律（gauss' law），属物理定律。在静电场中，穿过任一封闭曲面的电场强度 通量只与封闭曲面内的电荷的代数和有关，且等于封闭曲面的电荷的代数和除以真空中的 电容率。 该定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。静电场中通过任意闭 合曲面（称高斯面）s 的电通量等于该闭合面内全部电荷的代数和除以真空中的电容率， 与面外的电荷无关。 物理定律 由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内 部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线 的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲 面的总磁通量为0。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。 与静电场中的高斯定理相比较，两者有著本质上的区别。在静电场中，由于自然界中 存有着单一制的电荷，所以电场线存有起点和终点，只要闭合面内有净余的也已（或负） 电荷，沿着闭合面的电通量就不等于零，即为静电场就是有源场；而在磁场中，由于自然 界中没单独的磁极存有，n极和s极就是无法拆分的，磁感线都就是无头无尾的滑动线， 所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。 特别要强调两点： 1.关于电场线的方向的规定：电场线上每一点的切线方向就是该 点电场的方向。2.关于电场线的疏密的规定：电场线在某处的疏密要反映电场强度的大小，即在电场中通过某一点的电场线的数密度与该点电场强度的大小呈正相关，即： e= dn/ds，其中ds是在电场中的某一点取一个通过该点的且与电场线垂直的微分面，dn就是穿过该面ds的电场线的根数。 高斯定理来源于库仑定律,依赖场强共振原理,只有当电场线密度等同于场强悍小时场 线通量就可以与场强通量等同于,并统一遵守高斯定理。高斯面上的实际场强就是其内外 所有电荷产生的场强共振而变成的合场强。但利用高斯面所求出的场强则仅仅就是分析高 斯面上场强原产时所牵涉的电荷在高斯面上产生的合场强,而不涵盖未牵涉的电荷所产生 的场强。 定理应用 解电场强度e需用库仑定律,也需用高斯定理。利用库仑定律联同场强共振原理对点 电荷、点电荷系则的场强通常都可以解;对已连续原产磁铁体系的场强原则上也可以解， 但对具体内容问题必须晓得电荷的已连续原产函数就可以解。利用高斯定理解场强存有一 定局限性,通常就可以对具备某种对称性原产的场强可以解。

静电场的高斯定理

静电场的高斯定理 引言 静电场是指电荷在没有运动的情况下所形成的电场分布。静电场的高斯定理是描述电场分布的一个重要定理，它由物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初提出。高斯定理可以被用来计算任意闭合曲面内的电场强度，并且被广泛应用于电场的分析和解题中。 高斯定理的表述 高斯定理的表述为：通过任意闭合曲面的电场通量等于该闭合曲面内部所包围电荷的总电量的1/ε0 倍，其中ε0为真空中的介电常数。 数学表达式为： ∮E·dA = Q/ε0 其中∮表示闭合曲面上的面积分，E为闭合曲面上的电场强度，dA为闭合曲面上的面积元素，Q为被闭合曲面包围的总电量。

高斯定理的表述说明了电场强度的分布与所包围电荷分布的关系，即闭合曲面上的电场通量与所包围电荷的性质直接相关。 高斯定理的证明 高斯定理的证明可以通过以下几个步骤完成： 1.假设存在一个闭合曲面，我们可以通过取一个小区 域在曲面上，该小区域面积为dA。假设该小区域上的电场强度为E，那么在该小区域上的电场通量为E·dA。 2.通过不断增大小区域的数量，将整个闭合曲面分成 许多小区域，那么闭合曲面上的电场通量可以表示为所有小区域上电场通量的和。 3.由于电场可以穿过某些小区域而不通过闭合曲面， 因此我们需要将穿过闭合曲面的电场通量作为负数计算。 这可以通过将某些小区域上的电场通量乘以-1来实现。 4.根据电场强度的定义，可以知道通过闭合曲面的电 场通量与闭合曲面内部所包围的电荷有关。因此，我们可以将电场通量表示为闭合曲面内电荷分布的函数。

5.结合步骤2和步骤3，我们可以将闭合曲面上的电 场通量表示为闭合曲面内电荷分布的累加。通过进一步的 数学推导，最终可以得到高斯定理的数学表达式。 高斯定理的应用 高斯定理在电场分析和解题中有着广泛的应用。通过高斯 定理，我们可以方便地计算出一个闭合曲面内部的电场强度。 一些常见的应用场景包括： 1. 计算均匀带电球壳内外的电 场强度。 2. 计算均匀带电平板之间的电场强度。 3. 计算均匀 带电球体内外的电场强度。 高斯定理在这些应用场景中可以极大地简化计算过程，并 且提供了解决问题的理论基础。 总结 高斯定理是描述静电场分布的重要定理，能够方便地计算 闭合曲面内的电场强度。通过高斯定理，我们可以将电场强度与所包围电荷分布建立联系，从而简化电场分析和解题过程。高斯定理的应用能够帮助我们更好地理解和应用静电场的知识。 以上是对静电场的高斯定理的详细介绍，希望对你的学习 有所帮助。

静电场中高斯定理

静电场中的高斯定理： 高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。表达式为 01()1/n i i S E ds q φε==?=∑?? （1） 高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。典型情况有三种: 1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等; 2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面 3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。 根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。选取的原则是: ○ 1 待求场强的场点必须在高斯面上;○ 2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○ 3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○ 4 高斯面的形状应是最简单的几何面。 最后由高斯定理求出场强。高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合 曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。 下面举一些例子来说静电场中高定理的应用： 例1：一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为()Ar r R ρ=≤，0()r R ρ=>，A 为大于零的常量。试求球体内外的场强分布及其方向。 解：在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 23d d 4d 4d q V Ar r r Ar r ρ==?π=π 在径为r 的球面内包含的总电荷为 430d 4d Ar r r A V q V r ππρ==?=???? ()r R ≤

静电场的高斯定理的数学表达式为

静电场的高斯定理的数学表达式为 静电场的高斯定理是物理学中一个重要的定理，它可以帮助我们了解和描述电场的变化以及电荷（电荷量或电荷密度）与它们之间的关系。该定理以19世纪德国数学家卡尔高斯（Karl Gauss）命名，他在1813年发表了第一个有关静电场的论文。高斯定理有几种不同的数学表达式，它们可以描述不同类型的物理系统。 首先，让我们来看看静电场的概念。电场是一种场，它由一组随时间变化的电荷产生的电力线组成。这些线描述电力在某个空间区域内的分布。在这里，我们只考虑静电场，它是由平衡状态的电荷产生的（即不会随时间变化）。此外，静电场在电磁学中也被称为电场，是由平衡状态的电荷产生的。 接下来，我们来看看静电场的高斯定理的数学表达式。该定理建立在一个有限空间上，它表明，在该空间内，电场的总变化量可以用电荷的总量来表示，也就是说，电场的总变化量可以用电荷的总量来描述。以下是静电场的高斯定理的数学表达式： begin{equation}vec abla cdot vec E = rho/epsilon_0end{equation} 其中，$vec E$代表了一维空间上电场的分量；$vec abla$表示空间离散梯度；$rho$是电荷密度，$epsilon_0$是真空介电常数。 通过这个定理，可以表示电荷密度与电力线的关系，并且可以使用它来求解静电场。通常情况下，可以利用它来计算某个特定点处的

电力线的密度和方向。 总的来说，静电场的高斯定理的数学表达式是一种强有力的工具，它可以帮助我们理解和描述电场的变化以及电荷和它们之间的关系。该定理的数学表达式也可以用来求解静电场的电力线的方向和密度，这有时对物理系统的研究是非常有价值的。

写出静电场的高斯定理并简述其物理意义

写出静电场的高斯定理并简述其 物理意义

1. 静电场的高斯定理 静电场的高斯定理：设$\Omega$为任意闭合表面，其上的曲线为 $\partial\Omega$，$\vec{E}$为$\Omega$内的静电场，则有： $$\oint_{\partial\Omega}\vec{E}\cdot d\vec{s}=\frac{1}{\varepsilon_0}\iint_{\Omega} \rho d\Omega$$ 其中$\varepsilon_0$为真空介电常数，$\rho$为电荷密度。 物理意义：静电场的高斯定理表明，在任意闭合表面上，电场的积分 等于电荷的积分，即电场的离散性与电荷的离散性是相对应的。 2. 高斯定理的物理意义 高斯定理是物理学中最重要的定理之一，它指出了静电场的分布特征。它表明，在静电场中，电荷的数量是由电荷的空间分布决定的。它还 表明，电荷的空间分布可以通过求解梯度方程来确定。 高斯定理的物理意义是：在静电场中，电荷的空间分布可以通过梯度 方程来确定，并且电荷的数量取决于电荷的空间分布。因此，高斯定 理可以用来解释静电场中电荷的分布特征，从而更好地理解物理现象。 3. 高斯定理的应用

高斯定理可以用来计算静电场中电荷的电势，它表明：在一个由静电场包围的任意闭合表面上，电荷的积分是零，即电荷的总流入量等于总流出量。这表明，在任何一个点上，电荷的流出量等于流入量。这个定理也可以用来计算电荷的电场强度，即电荷的电场强度在任何一个点上都是由电荷的电荷密度决定的。此外，高斯定理还可以用来计算电荷的电势能量，即电荷的电势能量在任何一个点上都是由电荷的电荷密度决定的。 4. 高斯定理的推导