三角函数与平面向量专题

三角函数与平面向量专题

考情分析

1.对三角函数图像的考查主要是平移、伸缩变换，或由图像确定函数的解析式，如2013年福建T9，四川T6等．

2.三角函数的性质是考查的重点，可以单独命题，也可与三角变换交汇，综合考查三角函数的单调性、周期性、最值等．另外由性质确定函数的解析式也是高考考查的重点，如2013年天津T6，浙江T6等.

3.对三角变换公式注重基础考查，并在综合试题中作为一种工具考查，主要考查利用各种三角公式进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想．如2013年新课标全国卷ⅡT6，江西T13等．

4.正弦定理和余弦定理及解三角形问题是高考考查的重点，单独命题的频率较高，主要涉及以下几个问题：(1)边和角的计算；(2)三角形形状的判断；(3)面积的计算；(4)有关范围的问题．如2013年北京T5，山东T7等.

5.对平面向量的概念及线性运算主要考查线性运算法则及其几何意义以及两个向量共线的条件，或以向量为载体求参数的值，如2013年辽宁T3等．

6.对平面向量的基本定理及坐标运算的考查主要侧重以下两点：(1)以平面向量的基本定理为基石，利用一组基底表示相关向量；(2)利用坐标运算解决平行、垂直问题，如2013年山东T15等．

7.数量积的运算是每年必考的内容，主要涉及：(1)向量数量积的运算；(2)求向量的模；

(3)求向量的夹角，如2013年浙江T17等.

要点归纳

1．三角函数的概念、基本关系式和诱导公式

这一类题型主要是选择题与填空题，解决问题的方法是熟知各个公式，且能熟练运用，要注意角与角的统一，角与角的线性关系。

2. y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像与解析式

解决这类问题在于熟知各图像，在利用图像求三角函数y＝A sin(ωx＋φ)的有关参数时，注意直接从图中观察振幅、周期，即可求出A、ω，然后根据图像过某一特殊点求φ，若是利用零点值来求，则要注意是ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，根据点在单调区间上的关系来确定一个k的值，此时要利用数形结合，否则就易步入命题人所设置的陷阱．

3. 三角函数的奇偶性、周期性、单调性与最值

掌握三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断公式就能进行此类型的解决。

4. 三角函数图像变换

本类题目主要考查三角函数图像的平移、三角函数的性质、三角运算等知识，意在考查考生的运算求解能力及转化与化归思想的应用．解决问题的一般步骤是：（1）审条件（2）审结论（3）建联系.

5. 三角变换与求值

（1）三角函数式的化简求值可以采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类，做到三角函数名称的统一，通过三角恒等变换，化繁为简，便于化简求值，其基本思路为：找差异，化同名(同角)，化简求值．（2）解决条件求值应关注的三点：a 分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．b 正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．c 求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．

6. 利用正弦、余弦定理解三角形

(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理；

(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．

7．平面向量的概念及线性运算

(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线

8. 平面向量的数量积

解决数量积问题要注意选择合适的计算公式，要注意向量共线与垂直的结论。

热点一 三角函数的概念、基本关系式和诱导公式

[例1] (1)已知角α的终边上一点的坐标为????sin 5π6

，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π3 D.11π6

(2)若3cos ????π2－θ＋cos(π＋θ)＝0，则cos 2θ＋12

sin 2θ的值是________． [自主解答] (1)∵sin 5π6>0，cos 5π6

<0， ∴α为第四象限角．

又tan α＝cos 5π6sin 5π6＝－3212

＝－3， ∴α的最小正值为5π3

. (2)∵3cos ????π2－θ＋cos(π＋θ)＝0，∴3sin θ－cos θ＝0，从而tan θ＝13

. ∴cos 2θ＋12sin 2θ＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋????132＝ 43 109＝65

. [答案] (1)C (2)65

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应用三角函数的概念和诱导公式应注意两点

(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．

(2)使用三角函数诱导公式常见的错误有两个：一个是函数名称，一个是函数值的符号．

相关练习

1．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45

，则m 的值为________． 解析：由点P (－8m ，－6sin 30°)在角α的终边上且cos α＝－45

，知角α的终边在第三象限，则m >0，又cos α＝ －8m

(－8m )2＋9

＝－45，所以m ＝12. 答案：12

热点二 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像与解析式

[例2] (1)(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(M ，ω，φ是常数，M >0，ω>0,0≤φ≤π)的部分图像如图所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f (－1)＝( )

A ．－2

B ．－1

C ．2

D ．－1或2

(2)(2013·海口模拟)将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图像向左平移π6

个单位，平移后的图像如图所示，则平移后的图像所对应的函数解析式为( )

A ．y ＝sin ????x ＋π6

B ．y ＝sin ???

?x －π6 C ．y ＝sin ????2x ＋π3 D ．y ＝sin ?

???2x －π3 [自主解答] (1)由图可知M ＝2.因为A ，B 两点分别是函数图像上

相邻的最高点和最低点，设A (x 1,2)，B (x 2，－2)，因为|AB |＝5，所以

(x 2－x 1)2＋(－2－2)2＝5，解得|x 2－x 1|＝3.因为A ，B 两点的横坐标

之差的绝对值为最小正周期的一半，即T 2＝3，T ＝6，所以2πω

＝6，解得ω＝π3.因为f (0)＝1，所以2sin φ＝1，解得sin φ＝12

.因为0≤φ≤π，所以φ＝π6或φ＝5π6.结合图像，经检验，φ＝π6不合题意，舍去，故φ＝5π6

.所以f (x )＝2sin ????π3x ＋5π6.故f (－1)＝2sin ????－π3＋5π6＝2sin π2

＝2. (2)函数y ＝sin ωx (ω>0)的图像向左平移π6

个单位后对应的函数解析式为y ＝sin ω????x ＋π6＝sin ????ωx ＋ωπ6，又因为f ????7π12＝－1，由图可得7πω12＋ωπ6＝3π2

，解得ω＝2，所以平移后的图像对应的函数解析式为y ＝sin ?

???2x ＋π3. [答案] (1)C (2)C

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根据三角函数图像确定解析式应注意的问题

在利用图像求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关参数时，注意直接从图中观察振幅、周期，即可求出A 、ω，然后根据图像过某一特殊点求φ，若是利用零点值来求，则要注意是ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，根据点在单调区间上的关系来确定一个k 的值，此时要利用数形结合，否则就易步入命题人所设置的陷阱．

相关练习

2.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图像如图所示，f ????π2＝－23

，则f ???

?－π6＝( ) A ．－23 B ．－12 C.23 D.12

解析：选A 由图知，T ＝2????11π12－7π12＝2π3，所以f ????－π6＝f ????－π6＋2π3＝f ????π2＝－23

.

热点三 三角函数的奇偶性、周期性、单调性与最值

[例3] (2013·皖南八校联考)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0)的图像关于直线x ＝π12

对称，且f ????π3＝0，则ω的最小值为( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

[自主解答] 由题意知ω·π12＋φ＝k 1π，ω·π3＋φ＝k 2π＋π2

，其中k 1，k 2∈Z ，两式相减可得ω＝4(k 2－k 1)＋2，又ω>0，易知ω的最小值为2.

[答案] A

[例4] (1)(2013·沈阳模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋ωπ)(A >0，ω>0)的图像在????－3π2

，－3π4上单调递增，则ω的最大值是( )

A.12

B.34 C ．1 D ．2

(2)设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2????π2－x 满足f ???

?－π3＝f (0)，则函数f (x )在???

?π4，11π24上的最大值和最小值分别为________，________. [自主解答] (1)因为A >0，ω>0，所以f (x )＝A sin(ωx ＋ωπ)的递增区间满足2k π－π2

≤ωx ＋ωπ≤2k π＋π2(k ∈Z)，即2k π－π2ω－π≤x ≤2k π＋π2ω

－π(k ∈Z)，所以????－3π2，－3π4???????2k π－π2ω－π，2k π＋π2ω－π(k ∈Z)，解得?????

ω≤2＋8k ，ω≤1－4k ，即ω≤1，所以ω的最大值为1.

(2)f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a 2

sin 2x －cos 2x . 由f ????－π3＝f (0)，得????－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3. 因此f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ????2x －π6，由x ∈????π4，11π24，可得2x －π6∈????π3，3π4. 当x ∈????π4，π3时，2x －π6∈????π3，π2，f (x )为增函数； 当x ∈????π3，11π24时，2x －π6∈????π2，3π4，f (x )为减函数， 所以f (x )在????π4，11π24上的最大值为f ???

?π3＝2. 又f ????π4＝3，f ????11π24＝2，故f (x )在????π4，11π24上的最小值为f ???

?11π24＝ 2. [答案] (1)C (2)2

2

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1．奇偶性的三个规律

(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数?φ＝k π(k ∈Z)，是偶函数?φ＝k π＋π2

(k ∈Z)； (2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数?φ＝k π＋π2

(k ∈Z)，是偶函数?φ＝k π(k ∈Z)； (3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)是奇函数?φ＝k π(k ∈Z)．

2．对称性的三个规律

(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2

(k ∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)解得；

(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图像的对称轴由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)解得，对称中心的横坐标由

ωx ＋φ＝k π＋π2

(k ∈Z)解得； (3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图像的对称中心由ωx ＋φ＝k π2

(k ∈Z)解得． 3．三角函数单调性的求法：

求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间的一般思路是令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．

4．三角函数周期性的求法：

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|

.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的周期为T ＝π|ω|

. 5．三角函数值域的求法：

在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合正弦函数性质可得函数f (x )的最值．

相关练习

3．若函数y ＝cos ????ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是???

?π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8

解析：选B ∵cos ????πω6＋π6＝0，∴πω6＋π6＝π2

＋k π(k ∈Z)，∴ω＝2＋6k ，又ω∈N *，∴ω的最小值为2.

热点四 三角函数图像变换

[例5] (2013·新课标全国卷Ⅱ)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移π2

个单位后，与函数y ＝sin ?

???2x ＋π3的图像重合，则φ＝________. [自主解答] y ＝sin ????2x ＋π3＝cos ?? ????2x ＋π3－

??π2＝cos ?

???2x －π6.·① y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2

个单位后得到y ＝cos ????2????x －π2＋φ＝cos(2x －π＋φ)．② 由题意可知－π＋φ＝－π6＋2k π(k ∈Z)，即φ＝5π6

＋2k π(k ∈Z)．③ 又因为φ∈[－π，π)，所以φ＝5π6

.④ [答案] 5π6 —————————————————规律·总结——————————————

解决函数图像变换问题的模型示意图如下：

相关练习

4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图像如图所示，为了得到g (x )＝－A cos ωx 1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图像如图所示，为了得到g (x )＝－A cos ωx 的图像，可以将f (x )的图像( )

A ．向右平移π12个单位长度

B ．向右平移5π12个单位长度

C ．向左平移π12个单位长度

D ．向左平移5π12

个单位长度 解析：选B 由图像可知A ＝1，∵14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2ππ

＝2，由f ????7π12＝sin ????7π6＋φ＝－1，|φ|<π，知φ＝π3

，∴函数f (x )＝sin ????2x ＋π3＝sin 2????x ＋π6的图像要平移得到函数g (x )＝－cos 2x ＝sin ????2x －π2＝sin 2???x －π4的图像，需要将f (x )的图像向右平移π6－????－π4＝5π12

个单位长度．

热点五 三角变换与求值

[例6] (1)(2013·重庆高考)4cos 50°－tan 40°＝( ) A.2 B.2＋32

C.3 D ．22－1

(2)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2

，则α＋β的值为________． [自主解答] (1)4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－sin 40°cos 40° ＝4sin 40°·cos 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40° ＝2cos 10°－sin 40°cos 40°＝2cos 10°－sin (30°＋10°)cos 40°

＝32cos 10°－32sin 10°cos 40°

＝3(cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°)cos 40°＝3cos 40°cos 40°

＝ 3. (2)∵cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，∴sin(2α－β)＝5314

. ∵sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，∴cos(α－2β)＝17

. ∴cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)

＝－1114×17＋5314×437＝12.∵π4<α＋β <3π4，∴α＋β＝π3

. [答案] (1)C (2) π3

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1．化简求值的方法与思路

三角函数式的化简求值可以采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类，做到三角函数名称的统一，通过三角恒等变换，化繁为简，便于化简求值，其基本思路为：找差异，化同名(同角)，化简求值．

2．解决条件求值应关注的三点

(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．

(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．

(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后

结合角的取值范围，求出角的大小．

相关练习

5．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是( )

A ．－22 B.22 C.12 D ．－12

解析：选B 由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B 1－tan A tan B

＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22

. 热点六 利用正弦、余弦定理解三角形

[例7] (1)(2013·湖南高考)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于 ( ) A.π3 B.π4 C.π6 D.π12

(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2

A ＋

B 2－cos 2

C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．

[自主解答] (1)由已知及正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ，因为sin B >0，所以sin A ＝

32.又A ∈????0，π2，所以A ＝π3

. (2)因为4sin 2

A ＋

B 2－cos 2

C ＝72，所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝72，2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，cos 2C －cos C ＋14＝0，解得cos C ＝12.根据余弦定理，有cos C ＝12＝a 2＋b 2－72ab

，则ab ＝a 2＋b 2－7，故3ab ＝a 2＋b 2＋2ab －7＝(a ＋b )2－7＝25－7＝18，所以ab ＝6，所以△

ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332

. [答案] (1)A (2)332

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解三角形问题的方法

(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理；

(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．

利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：

定已知—梳理已知条件，确定三角形中已知边和角以及待求问题，然后确定转化的

方向，如步骤①

根据已知条件和所求问题合理选择转化的定理，进行边角间的转化．边角互

化时，应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；

二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变换，如步骤②定结果—将已知条件中的数据代入所选用的定理并求出相应的结论，如步骤③

相关练习

6．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若a cos C＋3a sin C＝b＋c，则角A的值为()

A．30°B．45°C．60°D．120°

解析：选C由a cos C＋3a sin C＝b＋c及正弦定理，得sin A cos C＋3×sin A sin C＝sin B＋sin C，由三角形内角和定理知，sin A cos C＋3sin A sin C＝sin(A＋C)＋sin C，化简得

3sin A－cos A＝1，即sin(A－30°)＝1

2.由于0°

－30°＝30°，故A＝60°.

热点七平面向量的概念及线性运算

[例8](1)(2013·广东高考)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：

①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；

②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；

③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；

④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.

上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是() A．1B．2C．3D．4

(2)(2013·合肥模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若AB＝λAM＋μAN，则λ＋μ＝________.

[自主解答](1)显然①②正确；对于③，当μ＜|a a，b时，不存在符合题意的单位向量c和实数λ，③错；对于④，当λ＝μ＝1，|a|＞2时，易知④错．

(2)依题意得AM ＝AB ＋BC ＋CM ＝AB ＋BC －14AB ＝34AB ＋BC ，AN ＝AB ＋BN ＝AB ＋12BC ；又AB ＝λAM ＋μAN ，于是有AB ＝λ????34 AB ＋BC ＋μ????AB ＋12 BC ＝????34λ＋μAB ＋????λ＋μ2BC ；又AB 与BC 不共线，因此有??? 34λ＋μ＝1，λ＋μ2＝0，由此解得λ＝－45

，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝45

. [答案] (1)B (2)45

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总结—————————————————— 平面向量的线性运算应注意三点

(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

(3) OA ＝λOB ＋μOC (λ，μ为实数)，若A 、B 、C 三点共线，则λ＋μ＝1.

相关练习

7．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝

32.若AP ＝λAB ＋μAD (λ，μ∈R)，则λ＋3μ的最大值为( ) A.32 B.62 C.3＋34 D.6＋324 解析：选B 据已知|AP |2＝(λAB ＋μAD )2????

?322＝λ2＋3μ2，整理变形可得(λ＋3μ)2－23λμ＝34，由均值不等式，可得(λ＋3μ)2－2? ????λ＋3μ22≤34

，解得λ＋3μ≤62.

热点八 平面向量的数量积

[例9] (1)(2013·济南模拟)△ABC 的外接圆半径为1，圆心为O ，且3OA ＋4OB ＋5OC ＝0，则OC ·AB 的值为( )

A ．－15 B.15 C ．－65 D.65

(2) (2013·浙江高考)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14

AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ·PC ≥0P B ·0P C ，则( )

A ．∠ABC ＝90°

B ．∠BA

C ＝90° C ．AB ＝AC

D ．AC ＝BC

[自主解答] (1)由已知得4OB ＝－3OA －5OC ?|4OB |2＝(－3OA －5OC )2，即16＝

34＋30OA ·OC ，解得OA ·OC ＝－35

；同理3OA ＝－4OB －5OC ，两边平方得OB ·OC ＝－45，因此OC ·AB ＝OC ·(OB －OA )＝OC ·OB －OC ·OA ＝－15

. (2)设AB ＝4，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，

则A (－2,0)，B (2,0)．又P 0是边AB 上一定点，P 0B ＝14

AB ，所以P 0(1,0)．设C (a ，b )，P (x,0)，∴PB ＝(2－x,0)，PC ＝(a －x ，b )．∴0P B ＝(1,0)，0P C ＝(a －1，b )．PB ·PC ≥0P B ·0P C 恒

成立?(2－x )·(a －x )≥a －1恒成立，即x 2－(2＋a )x ＋a ＋1≥0恒成立．∴Δ＝(2＋a )2－4(a ＋

1)＝a 2≤0恒成立．∴a ＝0.即点C 在线段AB 的中垂线上，∴AC ＝BC .

[答案] (1)A (2) D

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总结———————————————— 解决数量积运算应注意三点

(1)a ·b ＝0未必有a ＝0或b ＝0.

(2)|a ·b |≤|a |·|b |.

(3)a ·(b ·c )与(a ·b )·c 不一定相等．

相关练习

8.如图所示，P 为△AOB 所在平面内一点，向量OA ＝a ，OB ＝b ，且P

在线段AB 的垂直平分线上，向量OP ＝c .若|a |＝3，|b |＝2，则c ·(a －b )的值为

( )

A ．5

B ．3 C.52 D.32

解析：选C 设AB 中点为D ，c ＝OP ＝OD ＋DP ，所以c ·(a －b )＝(OD ＋DP )·BA ＝OD ·BA ＋DP ·BA ＝OD ·BA ＝12(a ＋b )·(a －b )＝12(|a |2－|b |2)＝52

.

高考真题

1，（2013年湖北高考）将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长

度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A. 12π

B. 6π

C. 3π

D.

56π 【解析与答案】2cos 6y x π?

?=- ???

的图像向左平移()0m m >个长度单位后变成2cos 6y x m π??=-+ ???

，所以m 的最小值是6π。故选B 。 【相关知识点】三角函数图象及其变换

2，（2013年湖北高考）已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）

A. C. D.

【解析与答案】()2,1AB =，()5,5CD =，5AB CD

CD ∴==A 。 【相关知识点】向量的坐标运算，向量的投影

3，（2013年湖北高考）在ABC ?中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c 。已知()cos23cos 1A B C -+=。

（I ）求角A 的大小；

（II ）若ABC ?的面积S =5b =，求sin sin B C 的值。

【解析与答案】（I ）由已知条件得：cos23cos 1A A +=

22cos 3cos 20A A ∴+-=，解得1cos 2

A =，角60A =?

（II ）1sin 2S bc A ==4c ?=，由余弦定理得：221a =，()222228sin a R A

== 25sin sin 47

bc B C R ∴== 【相关知识点】二倍角公式，解三角函数方程，三角形面积，正余弦定理

4，（2012年湖北高考）

已知向量(c o s s i n ,s x x x ωωω=-a ，(cos sin ,)x x x ωωω=--b ，设函数

()f x λ=?+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1(,1)2

ω∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π(,0)4

，求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.

解析：（Ⅰ）因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+

cos22x x ωωλ=-+π2sin(2)6

x ωλ=-+. 由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得πsin(2π)16

ω-=±， 所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23

k k ω=+∈Z ． 又1(,1)2

ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=. 所以()f x 的最小正周期是6π5

. （Ⅱ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04

f =，

即5πππ2sin()2sin 6264

λ=-?-=-=，即λ=

故5π()2sin()36

f x x =- 由3π05x ≤≤，有π5π5π6366

x -≤-≤，

所以15πsin()1236x -≤-≤，得5π12sin()236

x --≤

故函数()f x 在3π[0,]5上的取值范围为[12-. 【相关知识点】三角恒等变化，三角函数的图像与性质。

高中数学_三角函数公式大全全部覆盖

三角公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y = αtan 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：α α αcos sin tan = ， 平方关系：1cos sin 22=+αα， 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵ απ +2、απ-2 、απ+23、απ -23的三角函数值，等于α的异名函数值， 前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+

βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- βαβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?+-= - 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α α α2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α α α2 tan 1tan 22tan -=。 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．． 来表示。 七、辅助角公式 )sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a （） 其中：角?的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同， 2 2sin b a b += ?，2 2cos b a a += ?，a b = ?tan 。 八、正弦定理

高中数学三角函数平面向量解三角形练习题必修4

三角函数、平面向量、解三角形 一、选择题(每小题5分，共50分) 1.化简cos15cos45cos75sin45??-??的值为（ ） A. 12- B. C.12 D. -2.设向量,a b 满足:1||=a , 2||=b , ()0a a b ?+=, 则a 与b 的夹角是（ ） A ．ο30 B ．ο60 C ．ο90 D ．ο120 3.已知角α的终边经过点)60cos 6,8(0--m P ，且5 4cos -=α，则m 的值为（ ） A 21 B 2 1- C 23- D 23 4.设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ =+-+∈，则函数()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 5.已知平面向量(1,2)a =r ，(2,)b m =-r ，且a r //b r ，则23a b +r r ＝（ ） A ．(5,10)-- B ．(4,8)-- C ．(3,6)-- D ．(2,4)-- 6.已知4cos 5α=-,且(,)2παπ∈,则tan()4 πα-等于（ ） A.17 - B.7- C.71 D.7 7.函数2tan 2tan 12x y x =-的最小正周期为（ ） A ．π B ．2π C ．4π D ． 2 π 8.在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r ，则 ()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 等于 （A ）49- （B ）43- （C ）43 (D) 49 （ ）

高中数学三角函数公式大全全解

三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：

函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：

平面向量与三角函数教案

平面向量与三角函数教案

1 第十讲 平面向量及其应用 例1:△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB.若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝ （ ） 例题 2.如图，在直角梯形ABCD 中， ,1,3 AB AD AD DC AB ⊥===，动点P 在BCD ?内 运动，（含边界）， 设 () ,AP AB AD R αβαβ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则αβ+的取值范围 是 . 例3.设P 是ABC ?内一点，满足()()() 21,AP x y AB y AC x y R =-+-∈u u u r u u u r u u u r . 则x 的取值范围是 . .已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1 S ，△ABC 的面积为2 S ， AP pPB =u u u r u u u r ， AQ qQC =u u u r u u u r ， 则（ⅰ）pq p q =+ ， （ⅱ）12 S S 的取值范围是 .

例1. 在 ABC V 中， 60,3, B A C ∠=o 则 2AB BC +的最大值为 _________． 例2. 在锐角△ABC 中，tan A = t + 1，tan B = t - 1，则t 的取值范围是_________． 例3. 在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD = BC ， b ， c 分别表示角B ，C 所对的边长，则b c c b +的取值范围是____________． 例4. 在等边ABC V 中，点P 在线段AB 上，满足,AP AB λ=uu u r uu u r 若, CP AB PA PB ?=?uu r uu u r uu r uu r 则实数λ的值是_________． 例5. 在ABC V 中有如下结论：“若点M 为ABC V 的重心， 则0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r ”，设a ，b ，c 分别为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为ABC V 的重心.如果30aMA bMB ++=uuu r uuu r uuu r r ， 则内角A 的大小为_________；若a ＝3，则ABC V 的面积为_________． 例6. 点O 为△ABC 的外心，已知AB =3，AC = 2，若 AO xAB y AC =+uuu r uu u r uuu r ，x + 2y = 1，则cos B = _________． 例7. 如图，平面内有三个向量,,，其中OA u u u r 与OB u u u r 的 夹角为120°，OA u u u r 与OC u u u r 的夹角为150°，且 1 OA OB ==u u u r u u u r ， 23 OC =u u u r 若()OC OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r ，，则 λμ +的值为_________． A O B x y 1 23 5.0- 3 -

高中常用三角函数公式大全

高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa

cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

三角函数、平面向量综合题六类型

三角函数与平面向量综合题的六种类型 题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2007年高考安徽卷）已知04 πα<<，β为()cos(2)8 f x x π =+的最小正 周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=?= ，求22cos sin 2()cos sin ααβαα ++-的值． 【解答】因为β为()cos(2)8 f x x π =+ 的最小正周期，故βπ=．因为a b m ?= ， 又cos tan()24a b βαα?=?+- ，故cos tan()24 m βαα?+=+． 由于04 π α<< ，所以 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++= -2 2cos sin(22) cos sin ααπαα ++- 2 2cos sin 2cos sin αααα += -2cos (cos sin ) cos sin ααααα +=-1tan 2cos 1tan ααα +=?- cos tan()24 m β αα=?+ =+． 【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入 求值或化简。 题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R π?=+∈（其中02 π ?≤≤） 的图像与y 轴交于点（0，1）。 （Ⅰ）求?的值； （Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与P N 的夹角。 【解答】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,?=即1sin .2?= 因为02 π ?≤≤ ，所以6 π ?= . （II ）由函数2sin()6 y x π π=+ 及其图像，得1 15 (,0),(,2),(,0),636 M P N - - 所以11 (,2),(,2),22 P M P N =-=- 从而 cos ,|||| PM PN PM PN PM PN ?<>=? 1517=，故,P M P N <>= 15arccos 17 .

平面向量与三角函数的综合应用

微点深化 平面向量与三角函数的综合应 用 平面向量与三角函数是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇命题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解. 【例1】 (2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值； (2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0， 即sin ? ?? ??x ＋π6＝0.∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6. (2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ? ????x －π3. ∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈??????－π3，2π3，∴－32≤sin ? ?? ??x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3， 当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3； 当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3. 【例2】 (2018·南京模拟)已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈? ?? ??0，π2，t 为实数. (1)若a －b ＝? ?? ??25，0，求t 的值； (2)若t ＝1，且a ·b ＝1，求tan ? ?? ??2α＋π4的值. 解 (1)因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝? ?? ??25，0，

三角函数与平面向量(好)

三角函数与平面向量 一：考点分析 小题主要考查三角函数图象与性质，利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定 理求值化简，有时与向量相结合。大题一般三角函数的图象与性质与向量及解三角形相结合。 1任意角的三角函数： (1)弧长公式：I |aR R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，I 为弧长。 cosa 2.已知 tan -- =2,,则 3sin 2一一 -cos sin -- +1=( ) A.3 B.-3 C.4 D.-4 3 .已知sin 、,2 cos .. 3 , 则tan ( ) A.二 B .2 C D . 2 2 2 4.若 sin(— 3 1 5 ) ，贝U cos(—— )的值为 ( ) A 1 f 1 2 2 2^2 A. — B. c. D. 3 3 3 3 类型二：三角恒等变换 1.若 sin( ) 4 5 (o,—), 则sin 2 cos 的值等于 5 2 2 2.若 cos2 2 则cos +sin 的值为 sin( 4) 2 3.已知角 e 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 n 类型一： 诱导公式的应用 3 sin(2 ) cos(3 ) cos( ) 1 .化简： 2 sin( )sin(3 ) cos( ) (4)诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限) (2) 扇形的面积公式： S llR R 2 (3) 同角三角函数关系式：商数关系： 为圆弧的半径，I 为弧长。 , sin a tana 平方关系： sin 2a cos 2 a 1 k 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性; 2 y = 2x 上，则

高中三角函数公式大全

高中三角函数公式大全 2009年07月12日星期日19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3+a)·tan(3-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A cos(2 A )=2cos 1A tan(2 A )=A A cos 1cos 1cot(2A )= A A cos 1cos 1tan(2A )=A A sin cos 1=A A cos 1sin 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a cos 2 b a

sina-sinb=2cos 2b a sin 2 b a cosa+cosb = 2cos 2b a cos 2 b a cosa-cosb = -2sin 2b a sin 2 b a tana+tanb=b a b a cos cos )sin(积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2-a) = cosa cos( 2-a) = sina sin( 2+a) = cosa cos(2 +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2)2 (tan 12tan 2a a cosa=22)2 (tan 1)2(tan 1a a

三角函数及平面向量知识点总结

三角函数 1. 正角：逆时针旋转；负角：顺时针旋转。 2. 时针在1小时内所转的角度为-30； 分针在1小时内所转的角度为-360。 3. 一般地，与角α终边相同的角的集合为：{} 360,k k ββα=?+∈Z 。 4. 终边落在直线上的角用180k α?+表示。 5. 1,,2 L S LR R α===弧长弧度数即面积半径 （经常联系起来考察）。 6. 180()rad π=。 7. 对任意角α ：(() sin cos tan 0y r r x r y x x ααα= == =≠正弦：余弦：正切： 8. ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － s i n α cos α tan /cot αα 9. 22sin sin cos 1,tan cos ααααα +== “知其一就可以求其二”。 10. ()()()sin sin cos cos tan tan αααααα-=--=-=-奇函数 偶函数奇函数 诱导公式关键步骤：（1）把α看成锐角；（2）确定符号；（3）确定函数名称。（π±同名函数，322 ππ±±或需换函数名称）

11. 周期函数：()()f x T f x +=。 不是任何函数都有最小正周期。 12. 一般地，()sin y A x ω?=+及()cos y A x ω?=+() ,,A ω?其中为常数的周期2T πω=；()tan y A x ω?=+的周期T πω =。 13. 函数图象： y ＝tanx y ＝cotx

14. 函数性质： （注：表中k 均为整数） 15. 图象平移：以sin y x =变换到4sin(3)3 y x π=+为例 sin y x =向左平移 3 π 个单位 （左加右减） s i n 3y x π? ?=+ ??? 横坐标变为原来的 13倍（纵坐标不变） sin 33y x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 4sin 33y x π??=+ ?? ? sin y x =横坐标变为原来的1 3 倍（纵坐标不变）()sin 3y x = 向左平移 9π个单位 （左加右减） sin 39y x π??=+ ???sin 33x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin 33y x π??=+ ? ? ? 注意：在变换中改变的始终是X 。 注意：阅读章节后链接的内容，特别是反三角的表示。

(完整版)高中三角函数公式大全整理版

高中三角函数公式大全 sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4 cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 (这个值在高中竞赛和自招中会比较有用，即黄金分割的一半) 正弦定理：在△ABC 中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (其中，R 为△ABC 的外接圆的半径。) 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2Sin A?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA Tan3A=)3tan()3tan(tan )(tan 1)(tan 3tan 32 3A A A A A A +-=--ππ 半角公式

三角函数与平面向量综合题的六种类型

第1讲 三角函数与平面向量综合题3.17 题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π 2 ，2π)，且→a ⊥→b ． （Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π 3)的值． 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝2 5 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ) 若－π2＜β＜0＜α＜π 2，且sinβ＝－513，求sinα的值. 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 【例4】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ） 求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值. 题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例5】（山东卷）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan C = （1）求cos C ；（2）若5 2 CB CA ?= ，且9a b +=，求c ． 题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算 【例6】()f x a b =? ，其中向量(,cos 2)a m x = ，(1sin 2,1)b x =+ ，x R ∈，且函数 ()y f x =的图象经过点(,2)4 π ． （Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。 题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题 【例7】设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈ ，函数()()f x a a b =?+ . （Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3 ()2 f x ≥成立的x 的取值集. 【跟踪训练】 三角函数与平面向量训练反馈 1、已知向量=（x x x 3,52-），=（2，x ），且⊥，则由x 的值构成的集合是（ ） A 、｛0，2，3｝ B 、｛0，2｝ C 、｛2｝ D 、｛0，-1，6｝ 2、设02x π≤≤, sin cos x x =-,则 （ ） A ．0x π≤≤ B ． 74 4x π π≤≤ C ．544 x ππ ≤≤ D ． 32 2 x π π ≤≤ 3、函数1cos 4tan 2sin )(++?=x x x x f 的值域是 。 4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B b C a c =-+. （1）求角B 的大小； （2）若 b a ＋ c ＝4，求a 的值. 5、已知向量 )1),3 (cos(π + =x ，)21),3(cos(-+ =π x ，)0),3 (sin(π+=x 函数 x f ?=)(， x g ?=)(， x h ?-?=)( （1）要得到)(x f y =的图象，只需把)(x g y =的图象经过怎样的平移或伸缩变换？ （2）求)()()(x g x f x h -=的最大值及相应的x ．

高中数学三角函数公式大全 (1)

三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：21 1||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y = αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域

必修4《三角函数和平面向量》

必修4三角函数和平面向量综合检测 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．下列命题中的真命题是（ ）． A ．三角形的内角必是第一象限或第二象限的角 B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点 C ．终边在第一象限的角是锐角 D ．终边在第二象限的角是钝角 2．cos(2640)sin1665-+=o o （ ）． A ．122+ B ．122+- C ．132+ D ．13 2 +- 3．已知角α的终边过点(43)P m m -，，(0)m ≠，则ααcos sin 2+的值是（ ） ． A ．1或－1 B ．52或52- C ．1或5 2- D ．－1或52 4．已知向量(cos 75,sin 75),(cos15,sin15)a b ==o o o o r r ，则a b -r r 的值为（ ）． A ． 1 2 B ．1 C ．2 D ．3 5．函数3sin( 3)3cos(3)44 y x x ππ =-+-的最小正周期为（ ） ． A ．23π B ．3 π C ．8 D ．4 6．函数sin()(0,0)y A x A ???=+>>的部分图象如图所示， 则(1)(2)(3)(11)f f f f ++++=…（ ）． A ．2 B ．22+ C ．222+ D ．222-- 7．设集合{}x y y x A 2sin 2|)(==，，集合{}x y y x B ==|)(，，则（ ）． A ．B A I 中有3个元素 B ．B A I 中有1个元素 C ．B A I 中有2个元素 D ．B A Y R = 8．判断函数2()lg(sin 1sin )f x x x =+的奇偶性为（ ）． A ．非奇非偶函数 B ．奇函数 C ．偶函数 D ．既奇又偶函数 9．同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3 x π =对称；③在[,]63 ππ - 上是增 函数”的一个函数是（ ）． A ．sin()26x y π=+ B ．cos(2)3y x π=+ C ．sin(2)6y x π=- D ．cos(2)6 y x π =- 10．如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的

高三三角函数公式大全

第一部分三角函数公式 2两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cosα2cosβ-sinα2sinβ cos(α-β)=cosα2cosβ+sinα2sinβ sin(α±β)=sinα2cosβ±cosα2sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα2tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα2tanβ) 2和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 2积化和差公式： sinα2cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα2sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα2cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα2sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 2倍角公式： sin(2α)=2sinα2cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2 tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα) sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α) csc(2α)=1/2*secα2cscα 2三倍角公式： sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα2sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα2cos(60°+α)cos(60°-α) tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+ α)tan(π/3-α)

三角函数与平面向量专题复习

三角函数与平面向量专题复习 【课前测试】 1．在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则? 的取值范围为 _． 2．在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝BC ＝1，点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，点P 是△ABC （包括边界）内任一点．则AN MP ?的取值范围为___ ___． 3．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左顶点A 作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐 近线的交点分别为B ，C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是___ ___． 4．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=，若a ＝7，则b +c 的最大值为___ ___． 【例题讲评】 例1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0． （1）求角C 的大小； （2）若b ＝2a ，△ABC 的面积为2 2 sin A sin B ，求sin A 及c 的值．

例2．在ABC ?中，角A B C 、、的对边分别为a ，b ，c ，已知5 sin 13 B = ，且12BA BC ?=． （1）求ABC ?的面积； （2）若a ，b ，c 成等差数列，求b 的值． 例3．已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为 4 π ，()()1c a c b -?-=-，则c a -的最大值为______． 例4．在△ABC 中，角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2．． (1)若3 A π = ，求b ＋c 的取值范围； (2)若1AB AC ?=，求△ABC 面积的最大值．

高中数学三角函数公式大全(1)

高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3-a) 半角公式 sin(A/2) = √{(1--cosA)/2} cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)} cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

专题一 三角函数与平面向量

[核心知识提炼] 提炼1 三角函数的图象问题 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)解析式的确定：利用函数图象的最高点和最低点确定A ，利用周期确定ω，利用图象的某一已知点坐标确定φ. (2)三角函数图象的两种常见变换 提炼2 三角函数奇偶性与对称性 (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π 2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π 2(k ∈Z )求得，对称中心的横坐标可由ωx ＋φ＝k π，(k ∈Z )解得． (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π 2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得，对称中心 的横坐标可由ωx ＋φ＝k π＋π 2(k ∈Z )解得． y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；对称中心的横坐标可 由ωx ＋φ＝k π 2(k ∈Z )解得，无对称轴． 提炼3 三角函数最值问题 (1)y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 型函数的最值：可将y 转化为y ＝a 2＋b 2 sin(x ＋φ)＋c ? ? ? ??其中tan φ＝b a 的形式，这样通过引入辅助角φ可将此类函数的最值问题转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c 的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解． (2)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型函数的最值：可利用降幂公式sin 2x ＝1－cos 2x 2，sin x cos x ＝sin 2x 2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2 ，将y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 转化整理为y ＝A sin 2x ＋B cos 2x ＋C ，这样就可将其转化为(1)的类型来求最值． [高考真题回访 1．(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图1-1所示，则( )

高中三角函数公式大全及经典习题解答

高中三角函数公式大全及经典习题解答 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

用心辅导中心 高二数学 三角函数 知识点梳理: ⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=2 1R 2 α=3602R n ?π ⒉正弦定理： A a sin =B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） ⒊余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2 =a 2 +b 2 -2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⒋S ⊿=2 1a a h ?=2 1ab C sin =2 1bc A sin =2 1ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr =))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系： ⑴商的关系：①θtg =x y =θ θ cos sin =θθsec sin ? ② θθθ θθcsc cos sin cos ?=== y x ctg ③θθθtg r y ?== cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ?== =tg x r ⑤θθθctg r x ?== sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ?== =ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =?=?=?θθθθθθctg tg ⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22?θθθ++= +b a b a （其中辅助角?与点（a,b ） 在同一象限，且a b tg =?） ⒍函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω）