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三角函数平面向量知识与公式总结

三角函数和平面向量是数学中非常重要的概念，它们在解决几何问题、物理问题和工程问题中起着重要的作用。本文将对三角函数和平面向量的

知识进行总结，并介绍常用的公式和性质。

一、三角函数

2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数被定义为邻边与斜边的比值。其定义域为实数集R。常用的余弦函数记作cos(x)。余弦函数也具有

周期性，即cos(x+2π)=cos(x)。

3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数被定义为对边与邻边的比值。其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。常用的正切函数记作

tan(x)。正切函数也具有周期性，即tan(x+π)=tan(x)。

4. 余切函数：在直角三角形中，余切函数被定义为邻边与对边的比值。其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。常用的余切函数记作cot(x)。余

切函数也具有周期性，即cot(x+π)=cot(x)。

5. 正割函数：在直角三角形中，正割函数被定义为斜边与邻边的比值。其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。常用的正割函数记作

sec(x)。正割函数也具有周期性，即sec(x+2π)=sec(x)。

6. 余割函数：在直角三角形中，余割函数被定义为斜边与对边的比值。其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。常用的余割函数记作csc(x)。余

割函数也具有周期性，即csc(x+2π)=csc(x)。

三角函数之间有一些重要的关系：

1.三角函数的互逆关系：

sin(x) = 1/csc(x)

cos(x) = 1/sec(x)

tan(x) = 1/cot(x)

cot(x) = 1/tan(x)

sec(x) = 1/cos(x)

csc(x) = 1/sin(x)

2.三角函数的和差化积公式：

sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)

cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)

tan(x+y) = (tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y))

3.三角函数的倍角公式：

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

tan(2x) = 2tan(x)/(1-tan^2(x))

4.三角函数的半角公式：

sin(x/2) = ±√((1-cos(x))/2)

co s(x/2) = ±√((1+cos(x))/2)

tan(x/2) = ±√((1-cos(x))/(1+cos(x)))

二、平面向量

1.平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量。用加粗字母表

示平面向量，如A。平面向量可以用有序数对表示，如A=(a,b)。

2.平面向量的模长：平面向量的模长表示平面向量的长度，记作，A，或，A，即平面向量的大小。平面向量A=(a,b)的模长可以表示为，A，

=√(a^2+b^2)。

3.平面向量的单位向量：平面向量的单位向量是指模长为1的向量。

一个非零向量A可以除以它的模长得到单位向量，即A/，A。

4. 平面向量的方向角：平面向量的方向可以用与正x轴的夹角来表示。一个平面向量A=(a,b)的方向角可以表示为θ=tan^(-1)(b/a)。其中tan^(-1)是反正切函数。

5.平面向量的加法：平面向量的加法是指将两个向量进行对应分量的

相加。设有平面向量A=(a1,a2)和B=(b1,b2)，则它们的和

C=A+B=(a1+b1,a2+b2)。

6.平面向量的数量积：平面向量的数量积（内积）表示两个向量的点乘。设有平面向量A=(a1,a2)和B=(b1,b2)，则它们的数量积可以表示为A•B=a1b1+a2b2

7.平面向量的叉积：平面向量的叉积（外积）表示两个向量的交叉乘积。设有平面向量A=(a1,a2)和B=(b1,b2)，则它们的叉积可以表示为

A×B=a1b2-a2b1

8.平行向量和垂直向量：如果两个向量的数量积为零，则它们是垂直

的（正交）。如果两个向量的叉积为零，则它们是平行的。

以上是对三角函数和平面向量的知识进行的总结，并介绍了常用的公式和性质。掌握了这些知识，可以更好地解决几何问题，理解物理和工程问题。

三角函数及平面向量知识点总结

三角函数及平面向量知识点总结一、三角函数三角函数是研究角度与角度关系的数学函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。 1. 正弦函数sin 正弦函数是以角度为自变量的周期函数，值域在[-1,1]之间。正弦函数的特性包括： - 周期性：sin(x+2π)=sinx，其中π是一个圆的周长。 - 对称性：sin(-x)=-sin(x)，即正弦函数关于原点对称。 -正弦函数图像呈现周期性波动，振幅为1 2. 余弦函数cos 余弦函数是以角度为自变量的周期函数，值域在[-1,1]之间。余弦函数的特性包括： - 周期性：cos(x+2π)=cosx，其中π是一个圆的周长。 - 对称性：cos(-x)=cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。 -余弦函数图像呈现周期性波动，振幅为1 3. 正切函数tan 正切函数是以角度为自变量的周期函数，定义域是所有不同于90°的奇数倍角度。正切函数的特性包括： - 周期性：tan(x+π)=tanx，其中π是一个圆的周长。

-正切函数图像在一些角度处增长非常快，会趋近于正无穷或负无穷。 4. 余切函数cot 余切函数是以角度为自变量的周期函数，定义域是所有不同于180° 的奇数倍角度。余切函数的特性包括： - 周期性：cot(x+π)=cotx，其中π是一个圆的周长。 -余切函数图像在一些角度处变为零，其余位置会趋近于正无穷或负无穷。二、平面向量平面向量是研究平面上位移、速度、加速度等概念的矢量量。它由起点和终点确定，并具有大小和方向。 1.平面向量的表示方法平面向量的表示方法包括： -线段表示法：用平面上的一个线段AB来表示向量，A为起点，B为终点。向量的大小与线段长度相等。 -坐标表示法：向量在平面直角坐标系中的坐标表示，如向量 →a=(a1,a2)。 -单位向量表示法：具有单位长度的向量，可通过将向量除以其长度得到单位向量。 -位置向量表示法：起点为原点的向量，其终点为点P，则该向量可表示为OP。 2.平面向量的运算

三角函数与平面向量知识总结

三角函数与平面向量知识总结三角函数是数学中非常重要的概念，与其密切相关的还有平面向量。在解决几何问题、物理问题等方面，三角函数与平面向量的知识都是不可或缺的。下面将对三角函数和平面向量的相关知识进行总结。一、三角函数三角函数是角度的函数，可以通过直角三角形来定义。在直角三角形中，一个角的正弦为对边与斜边的比值，余弦为邻边与斜边的比值，正切为对边与邻边的比值。这三个比值分别对应着三角函数中的sin、cos和tan。除了sin、cos和tan，还有三角函数的倒数cosec、sec和cot。其中，cosec为正弦的倒数，sec为余弦的倒数，cot为正切的倒数。三角函数具有很多基本性质，如周期性、对称性、奇偶性等。它们可以通过基本关系推导出其他的三角函数关系式，如勾股定理等。三角函数不仅仅是直角三角形的属性，还可以用于解决各种几何问题，如确定两点的位置关系、计算两条直线的夹角等。在物理学中，三角函数也经常出现，如简谐运动、波动等问题。二、平面向量平面向量是有大小和方向的量，可以用有序的数对来表示。平面向量有很多基本运算，如加法、减法、数量乘法等。平面向量的加法满足交换律和结合律，减法可以转化为加法和数量乘法。平面向量可以具有很多性质，如平行、垂直等。两个向量平行的充要条件是它们的方向相同或相反，而两个向量垂直的充要条件是它们的内积

为零。内积的概念是平面向量中重要的一个概念，它可以用来计算向量的模长、向量的夹角等。平面向量还可以用于解决几何问题，如判断两个向量的位置关系、计算两条直线的夹角等。在物理学中，平面向量也经常出现，如力的合成、速度的分解等问题。三、三角函数与平面向量的关系三角函数和平面向量之间有着密切的关系。首先，可以利用三角函数来表示平面向量，如一个向量的模长可以表示为cos或sin的形式。其次，可以利用平面向量来解决三角函数相关的问题，如计算两个向量的夹角、计算向量在其中一方向上的投影等。特别地，正弦定理和余弦定理是三角函数与平面向量的一种重要关系。正弦定理是指在任意三角形ABC中，有a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为三角形的对应角。余弦定理是指在任意三角形ABC中，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，其中c为三角形的边长，a、b分别为与c对应的两个角。总结起来，三角函数和平面向量是数学中非常重要的概念和工具，它们可以互相转化和应用。了解和掌握三角函数和平面向量的相关知识，对于解决各种几何问题、物理问题等都非常有帮助。

三角函数平面向量知识与公式总结

三角函数平面向量知识与公式总结三角函数和平面向量是数学中非常重要的概念，它们在解决几何问题、物理问题和工程问题中起着重要的作用。本文将对三角函数和平面向量的知识进行总结，并介绍常用的公式和性质。一、三角函数 2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数被定义为邻边与斜边的比值。其定义域为实数集R。常用的余弦函数记作cos(x)。余弦函数也具有周期性，即cos(x+2π)=cos(x)。 3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数被定义为对边与邻边的比值。其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。常用的正切函数记作 tan(x)。正切函数也具有周期性，即tan(x+π)=tan(x)。 4. 余切函数：在直角三角形中，余切函数被定义为邻边与对边的比值。其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。常用的余切函数记作cot(x)。余切函数也具有周期性，即cot(x+π)=cot(x)。 5. 正割函数：在直角三角形中，正割函数被定义为斜边与邻边的比值。其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。常用的正割函数记作 sec(x)。正割函数也具有周期性，即sec(x+2π)=sec(x)。 6. 余割函数：在直角三角形中，余割函数被定义为斜边与对边的比值。其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。常用的余割函数记作csc(x)。余割函数也具有周期性，即csc(x+2π)=csc(x)。三角函数之间有一些重要的关系： 1.三角函数的互逆关系：

sin(x) = 1/csc(x) cos(x) = 1/sec(x) tan(x) = 1/cot(x) cot(x) = 1/tan(x) sec(x) = 1/cos(x) csc(x) = 1/sin(x) 2.三角函数的和差化积公式： sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) tan(x+y) = (tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y)) 3.三角函数的倍角公式： sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) tan(2x) = 2tan(x)/(1-tan^2(x)) 4.三角函数的半角公式： sin(x/2) = ±√((1-cos(x))/2) co s(x/2) = ±√((1+cos(x))/2) tan(x/2) = ±√((1-cos(x))/(1+cos(x))) 二、平面向量

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，并且它们之间存在着一定的关系。本文将介绍平面向量与三角函数的相关性质和应用。一、向量在直角坐标系中的表示在直角坐标系中，一个向量可以由其在横轴上的分量和在纵轴上的分量来表示。假设有一个平面向量a，其水平分量为a₁，垂直分量为 a₂，则可以用有序数对(a₁, a₂)表示向量a。其中，a₁沿着横轴的正方向表示，a₂沿着纵轴的正方向表示。二、向量的模和角度表示向量的模表示向量的长度，也叫作向量的大小。设向量a的模为|a|，则有|a| = √(a₁² + a₂²)。其中，a₁和a₂分别为向量a在横轴和纵轴上的分量。另外，向量还可以用角度来表示。假设有一个向量a，与横轴之间的夹角为θ，则有tanθ = a₂/a₁，即θ = arctan(a₂/a₁)。其中，arctan表示反正切函数。三、平面向量的加法和减法平面向量的加法和减法可以类比数的加法和减法。设有两个向量a 和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。

向量的加法可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。也就是将两个向量的分量对应相加。向量的减法可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。也就是将两个向量的分量对应相减。四、向量与三角函数的关系 1. 向量的模和三角函数在直角坐标系中，一个向量的模可以表示为|a| = √(a₁² + a₂²)。根据直角三角形的性质，我们可以知道，a₁/|a| = cosθ，a₂/|a| = sinθ。其中，θ表示向量a与横轴之间的夹角。 2. 向量的加法与三角函数设有两个向量a和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。根据向量的加法性质，a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。根据向量的模和三角函数的关系，可以得到|a + b| = √((a₁ + b₁)² + (a₂ + b₂)²) = √(a₁² + a₂² + b₁² + b₂² + 2(a₁b₁ + a₂b₂))。进一步化简，可以得到|a + b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ。根据三角恒等式2cosθsinφ = sin(θ + φ) + sin(θ - φ)，可以得到 2|a||b|cosθ = |a||b|(sin(θ + φ) + sin(θ - φ))。其中，φ表示向量a和b之间的夹角。综上所述，向量的加法可以表示为|a + b| = √(|a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ)。也就是说，向量的模可以通过向量的加法和夹角的三角函数来计算。

三角函数与平面向量

第二部分三角函数与平面向量一、知识框图：

二、基础知识要点剖析： 1、与角α终边相同的角的集合{}Z k k ∈+=,2|απββ; 十六条终边所对应的角能记住吗？集合⎭ ⎬⎫ ⎩ ⎨⎧∈± =Z k k ,3|π πγγ表示怎样的终边的角？区分锐角、小于090的角、090~0的角、钝角、对顶角、区域角、区间角、象限角等。 2、弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||2 2 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈ 3、三角函数的定义（r y x ,,三个量的比值）：r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x x y α。㈠任意角的三角函数值在各个象限的符号知道吗？特别是特殊角的三角函数值记准了吗？㈡正弦线、余弦线、正切线会画吗？利用它们求三角不等式很简便哦！有印象吗？㈢常见三角不等式：（1）若(0, )2x π ∈，则sin tan x x x <<，(2) 若(0,)2 x π ∈，则 1sin cos 2x x <+≤(3) 2cos sin 1,≤+≤∈x x R x 则若. 4、同角三角函数的基本关系式：①2 2 sin cos 1θθ+=，②ta n θ= θ θ cos sin ，注意公式变形： 2)cos (sin cos sin 21)1(θθθθ±=±.)4 2sin(22cos 2 sin sin 1π θθ θ θ±=±=± 2s i n 2c o s 1θθ=-， 2 co s 2co s 1θ θ=+ （2）如t =±ααcos sin ,d =ααcos sin ,αtan 之间互相转换懂吗？知一求二： (3)若t =+ααcos sin ，则2 1c o s s i n 2-=t αα；12sin 2 -=t α；2 2cos sin t -±=-αα（4）若t =ααcos sin ，则t 21cos sin +±=+αα；t 21cos sin -±=-αα. 5、诱导公式分两大类：为偶数与奇数）k k (2 απ±。口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．．．．．．．．．．．．．怎么理解这口诀？（注意：诱导公式中始终视α为锐角和原函数所在象限的符号）。领会互为余角或互补的三角函数的相互转化：如 απαπαπππαπ απ++++-6 32,-4463与与，与。 )6 sin()32cos(),4cos()4sin()1(απαπππ+=+-=+x x ，（2）若2 π βα= +，则βαβαsin cos ,cos sin ==。

高考必备公式、结论、方法、细节二：三角函数与平面向量

□高考必备公式、结论、方法、细节二：三角函数与平面向量一、必备公式 1．三角函数 (1)同角三角函数 ①平方关系： sin 2 α＋cos 2 α＝1 (又叫 1字替换式)； ②商数关系： sin α cos α ＝tan α (又叫切弦互化式)； (2)和差倍角关系 ①cos(α±β)＝_____ cos αcos βsin αsin β___； ②sin(α±β)＝_____ sin αcos β±cos αsin β____； ③tan(α±β)＝ tan α±tan β 1tan αtan β ； ④sin 2α＝____2sin αcos α__； ⑤cos 2α＝ cos 2α－sin 2α ＝ 1－2sin 2α ＝ 2cos 2α－1 ； ⑥tan 2α＝________2tan α 1－tan 2 α __________； (3)辅助角公式： a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) ，其中， tan φ＝b a ， |φ|＜π 2 ， a ＞0 ． 2．正余弦定理 (1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 为外接圆半径；注意：正弦定理变式与性质： ①边化正弦：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②正弦化边：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； ③a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ； ④a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝ 2R ； (2)余弦定理：①a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ； ②b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ； ③c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C 注意：变式：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ； ②cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ； ③cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab (3)三角形面积：①S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ②S △ABC ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是切圆的半径) 3．平面向量： (1)两点间向量表示：若A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则AB → ＝ (x 2－x 1，y 2－y 1) ； (2)向量运算公式：若a ＝(x 1，y 1)、b ＝(x 2，y 2) ，则： ①a ±b ＝ (x 1±x 2，y 1±y 2) ； ②λa ＝ (λx 1，λy 1) ； ③a·b ＝ |a ||b |cos θ ＝ x 1x 2＋y 1y 2 ； ④|a |＝ a 2 ＝ x 21＋y 2 1 ； ⑤cos 〈a ，b 〉＝ a ·b |a ||b | ＝ x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22 ； ⑥a 在b 方向上的投影为： |a |cos θ ＝ a·b |b| ； (3)平行与垂直定理： ①共线定理：a ∥b ⇔___ a ＝λb ___⇔___ x 1y 2＝x 2y 1 _； ②垂直定理：a ⊥b ⇔___a ·b ＝0___⇔__ x 1x 2＋y 1y 2＝0_. 二、必备结论 1．三角函数符号判断口诀：一正二正弦，三切四余弦 2．诱导公式：①口诀：奇变偶不变，符号看象限； ②原则：负化正、大化小、小化锐； 3．函数y ＝tan x 的定义域是：{x |x ∈R 且x ≠π 2 ＋k π，k ∈Z } 4．形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及性质 (1)图像变换： ①相位变换：y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)的规则是：左加(φ＞0)或右减(φ＜0)| φ|个单位； ②周期变换：y ＝sin (x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)的规则是：纵坐标不变，将横坐标缩小(伸长)为原来的|1 ω |倍； ③振幅变换： y ＝sin (ωx ＋φ) →y ＝A sin(ωx ＋φ) 的规则是：横坐标不变，将纵坐标缩小(伸长)为原来的|A |倍；注意：y ＝sin ωx→y ＝sin(ωx ＋φ)变换规则是：先提取后者x 的系数ω，然后在左(右)平移|φ ω |个单位； (2)基本性质：①定义域：解三角函数不等式用“数形结合” ②值域：由内向外 ③单调性：同增异减