三角函数与平面向量

三角函数与平面向量

现在考虑一个平面上的点\(P(x, y)\)，假设\(r\)是\(O\)到\(P\)的距离，我们可以用向量\(\vec{v} = (x, y)\)表示\(P\)点，它的模长即为\(\，\vec{v}\， = r\)。那么，\(P\)点的极坐标表示为\((r,

\theta)\)，其中\(\theta\)是\(OP\)与正半轴\(OX\)之间的夹角。根据三角函数的性质，我们有以下关系：

\[\begin{align*}

\cos \theta & = \frac{x}{r} = \frac{a}{\，\vec{v}\，}, \\

\sin \theta & = \frac{y}{r} = \frac{b}{\，\vec{v}\，}, \\

\tan \theta & = \frac{y}{x} = \frac{b}{a}.

\end{align*}\]

接下来，讨论三角函数与平面向量之间的一些重要性质。首先是三角函数的周期性。正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期为

\(2\pi\)。也就是说，对于任意\(x\)，我们都有\(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\)和\(\cos(x + 2\pi) = \cos(x)\)。这说明三角函数的值在

\(2\pi\)的整数倍处重复。类似地，正切函数是周期为\(\pi\)的周期函数。

另外一个重要的性质是三角函数的正交关系。设\(\vec{u}\)和

\(\vec{v}\)是两个非零向量，它们的夹角为\(\theta\)。那么，我们有以下等式成立：

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = \，\vec{u}\， \，\vec{v}\， \cos \theta.\]

其中，\(\vec{u} \cdot \vec{v}\)表示两个向量的点积。如果夹角为\(\frac{\pi}{2}\)，即两个向量垂直，那么点积为0。根据上式，我们可以知道两个正交的向量的点积为0。这给了我们处理一些几何问题的简化。

最后，我们来看一下三角函数与平面向量的应用。三角函数的应用非常广泛，它们可以用于解决几何问题、物理问题、信号处理等。在几何学中，三角函数可以用于计算角的度量、距离和面积等。在物理学中，三角函数可以用于描述运动的速度、加速度以及力的大小和方向等。在信号处理中，三角函数可以用于分析和合成信号，如傅里叶级数和傅里叶变换。

三角函数与平面向量-精选教学文档

三角函数与平面向量 简介： 三角函数与平面向量 三角函数的图象与性质 1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质; 会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象;掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质. 2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现.因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等). 3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易.这几年的高考中加强了对三角函数定义、图象和性质的考查.在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练. 1. 函数y=2sin2-1是最小正周期为________的 ________(填“奇”或“偶”)函数. 2.函数f(x)=-cosx在[0，+∞)内的零点个数为 ________. 3.函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是________. 4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若

f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)=sinx，则f的值为________. 【例1】设函数f(θ)=sinθ+cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π. (1) 若点P的坐标是，求f(θ)的值; (2) 若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角 θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值. 【例2】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示. (1) 求f(0)的值; (2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间上的取值范围. 【例3】已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<& phi;<π，ω>0)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为. (1) 求f的值; (2) 将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间. 【例4】已知函数f(x)=2sin2-cos2x-1，x∈R.

平面向量与三角函数相结合问题分析

平面向量与三角恒等变换 相结合问题分析 平面向量与三角恒等变换都是人教版高中数学必修四中的内容，这些内容在整个高中数学知识体系中占有重要地位，也是一个高考考察的热点问题。其中平面向量是重要的数学概念和工具,它的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题。三角函数是重要的基本初等函数，它的定义和性质有着十分鲜明的特征和规律性。它们都与与代数、几何有着密切的联系。在此我仅对平面向量与三角函数结合性问题做简要分析。 准备知识：向量加、减、数乘运算及两向量间共线、垂直，数量积、夹角关系等知识点。 三角函数中同角三角函数关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式。 平面向量与三角恒等变换相结合问题如下： 一：结合平面向量运算律考察三角函数的化简求值。 利用向量的运算律得到一个与三角函数有关的式子然后利用三角函数公式进行三角恒等变换进行化简求值。 例1：已知向量 a ),cos x x = ，()=b ，若//a b ，求sin cos x x 值。 解：由//a b ， x x = （利用向量平行公式） ∴tan 2x = （利用同角三角函数关系sin tan cos x x x =） sin cos x x sin cos 1x x =22sin cos sin cos x x x x =+2tan 1tan x x == （此处用到两个技巧：①利用同角三角函数关系将1转化为22sin cos x x + ②分子分母同时除以2cos x 将正弦、余弦转化为正切问题） 将tan 2x =带入得到：sin cos x x 25 =。

二：结合平面向量数量积与三角函数性质求特殊角 利用平面向量夹角公式等问题求解三角函数中某角的值或范围。 例2：已知向量()sin ,1x =a ，()2sin x x =b ，若2⊥a b ，且角x 的终边不在坐标轴上，求夹角x 。 解：由2⊥a b ，∴2∙a b 0=， （两向量垂直，则它们的数量积为0） ∴()()2sin ,12sin 0x x x ∙= ∴()() 2sin ,22sin 0x x x ∙= （利用数乘向量） ∴24sin 0x x += 即 (s i n 2s i n 30 x x + = （注：此处以sin x 为自变量，当成一个整体，提取公因式） ∴sin 0x =或sin 2x =- 由角x 终边不在坐标轴上∴sin 2 x =- ∴423x k ππ=+或523 x k π=+()k z ∈ （考察知识点：向量的数乘运算，向量数量积，向量垂直公式，三角函数特殊值，三角函数周期性等问题） 三：利用平面向量，结合三角函数性质求新函数周期，最值，单调性 例3：设函数()f x =∙a b ，其中向量()2c o s ,c o s x x =a ，()sin ,2cos x x =b ，x R ∈。①求函数()f x 周期。②求函数()f x 最大值及此时x 值的集合。③求函数 ()f x 的单调增区间。 解：()f x =∙a b 22sin cos 2cos x x x =+ sin2cos21x x =++ （利用二倍角正弦、余弦公式） sin 2cos2122x x ⎫=++⎪⎭

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，它们之间存在着紧密的关联。平面向量主要用来表示空间中的方向和大小，而三角函数则描述了角度和长度之间的关系。本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，并介绍其在数学和物理中的应用。 一、平面向量的表示与性质 平面向量可以用有序的数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。例如，向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1为x轴分量，a2为y轴分量。平面向量有以下性质： 1. 向量的模：向量的模表示向量的大小，可以通过勾股定理计算得到。对于向量a(a1, a2)，它的模可以表示为|a| = √(a1² + a2²)。 2. 向量的方向角：向量的方向角表示向量与x轴正方向的夹角。根据三角函数的定义，可以得到向量的方向角θ = arctan(a2 / a1)。 3. 向量的单位向量：单位向量是模为1的向量，可以表示为a/|a|。单位向量的方向与原向量相同，但大小为1。 二、三角函数的定义与性质 三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)等。它们的定义如下： 1. 正弦函数：在直角三角形中，正弦函数表示对边与斜边的比值。正弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。

2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数表示邻边与斜边的比值。余弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。 3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值。正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。 三、平面向量与三角函数之间存在着一种重要的关系，即向量的模可以与其方向角的三角函数相关联。具体而言，对于向量a(a1, a2)，有以下关系： 1. a的模与sinθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2) 2. a的模与cosθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2) 3. a的模与tanθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)由上述关系可知，向量的模与其方向角的三角函数之间存在着简洁的关系，通过利用这些关系，我们可以在计算中更加方便地处理向量的模和角度。 四、平面向量与三角函数的应用 平面向量与三角函数的关系在数学和物理中都有广泛的应用。其中一些应用包括：

三角函数与平面向量教师版

三角函数图像与性质及解三角形 三角化简与求值：重点公式要牢记（二倍角、辅助角、22sin cos 1,αα+= sin tan cos α αα = 、常用诱导公式、两角和差公式）；注意方法（整体考虑、变角、1的活用，sin cos αα+型、齐次式） 典型例题： 1. 设α为锐角，若4cos 65απ? ?+= ???，则sin 212πα??+ ?? ?的值为 ． ∵α为锐角，即02 << π α，∴ 2= 6 6 2 6 3<< π π π π πα+ + 。 ∵4cos 65απ??+= ???，∴3sin 65απ? ?+= ?? ?。 ∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ????? ?+=++ ? ? ??????? 。 ∴7cos 2325απ??+= ???sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ??? ?++-+-+ ? ????? 247= 2525- 2. 已知1sin cos 2α= +α，且0,2π??α∈ ??? ，则cos 2sin 4πα ?? α- ? ? ?的值为 __________ 2 - 3. 已知tan 2θ=，则22 sin sin cos 2cos θθθθ+-= （A ）4 3 - （B ） 5 4 （C ）3 4 - （D ） 45 D 三角函数图像与性质：图像的对称性（轴、对称中心坐标）、图像变换（尤其是伸缩）、单调区间、周期性、奇偶性、三角函数形式最后归为()()sin f x A x k ω?=++、三角函数的值域或最值 1.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+ 在(,)2 π π上单调递减。则ω的取值范围是（ ） ()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1 (0,]2 ()D (0,2] 【解析】选A ()22πωππω-≤?≤，3()[,][, ]424422 x ππππππ ωωπω+∈++?

三角函数及平面向量知识点总结

三角函数及平面向量知识点总结 一、三角函数 三角函数是研究角度与角度关系的数学函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。 1. 正弦函数sin 正弦函数是以角度为自变量的周期函数，值域在[-1,1]之间。正弦函数的特性包括： - 周期性：sin(x+2π)=sinx，其中π是一个圆的周长。 - 对称性：sin(-x)=-sin(x)，即正弦函数关于原点对称。 -正弦函数图像呈现周期性波动，振幅为1 2. 余弦函数cos 余弦函数是以角度为自变量的周期函数，值域在[-1,1]之间。余弦函数的特性包括： - 周期性：cos(x+2π)=cosx，其中π是一个圆的周长。 - 对称性：cos(-x)=cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。 -余弦函数图像呈现周期性波动，振幅为1 3. 正切函数tan 正切函数是以角度为自变量的周期函数，定义域是所有不同于90°的奇数倍角度。正切函数的特性包括： - 周期性：tan(x+π)=tanx，其中π是一个圆的周长。

-正切函数图像在一些角度处增长非常快，会趋近于正无穷或负无穷。 4. 余切函数cot 余切函数是以角度为自变量的周期函数，定义域是所有不同于180° 的奇数倍角度。余切函数的特性包括： - 周期性：cot(x+π)=cotx，其中π是一个圆的周长。 -余切函数图像在一些角度处变为零，其余位置会趋近于正无穷或负 无穷。 二、平面向量 平面向量是研究平面上位移、速度、加速度等概念的矢量量。它由起 点和终点确定，并具有大小和方向。 1.平面向量的表示方法 平面向量的表示方法包括： -线段表示法：用平面上的一个线段AB来表示向量，A为起点，B为 终点。向量的大小与线段长度相等。 -坐标表示法：向量在平面直角坐标系中的坐标表示，如向量 →a=(a1,a2)。 -单位向量表示法：具有单位长度的向量，可通过将向量除以其长度 得到单位向量。 -位置向量表示法：起点为原点的向量，其终点为点P，则该向量可 表示为OP。 2.平面向量的运算

10.三角函数平面向量基础知识

第一章三角函数 一、任意角和弧度制 1.任意角 （1）角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角，射线的起始位置叫做角的始边，终止位置叫做角的终边.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果射线没有作任何旋转，则形成零角.在坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的终边与x 轴的正半轴重合，则角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. （2）终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合 0{360}==?+∈S k ,k Z ββα （3）坐标轴上的角： 2.弧度制 （1）定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. （2）计算：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α弧度数的绝对值是 = l r α 其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定. 注意：弧长公式:= l r α. 扇形面积公式:211 22 = =S lr r α.

（3）换算:360°＝2π 180°＝π 1001745180π ≈=. 180 1=( )5730≈. π 说明：①1800 ＝π是所有换算的关键，如ππ====, 18018030456644 ；②πm n 形 式的角当n ＝2，3，4，6时都是特殊角. 二、任意角的三角函数 1.任意角三角函数的定义 （1）定义：设P (x ,y )是角α终边上任意一点,=>OP r 0,则有 sin α= y r cos α=x r tan α=y x （2）三角函数值的符号： 口诀：一全二正弦，三切四余弦. 注：一二三四指象限，提到的函数为正值，未提到的为负值. 2.同角三角函数的基本关系 sin 2α+cos 2α=1

三角函数及向量

平面向量 1.既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），具有方向的线段叫做有向线段，以A 为起点，B 为终点的有向线段记作AB 。（AB 是印刷体，书写体是上面加个→）有向线段AB 的长度叫做向量的模，记作|AB |。有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，在向量中共线向量就是平行向量，向量a 、b 平行，记作a //b ，零向量与任意向量平行，即0//a ，零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都平行且垂直。模等于1个单位长度的向量叫做单位向量。 2.在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。任作一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得a =x i +y j 我们把（x ，y ）叫做向量a 的（直角）坐标，记作a =（x ，y ），其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。 3.如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ、μ，使a = λe 1+ μe 2。 4.向量的平行（重要） 5.向量的模的计算 6.向量的运算：加法、减法、数量积（内积）（重要） 高考真题 1.已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－） ， 则向量+a b A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 2.若向量a =（1,1），b =（2,5），c =(3,x )满足条件 (8a －b )·c =30，则x = A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 3.已知向量(1,2),(1,0),(3,4)a b c ===，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ） A ． 14 B ．1 2 C ．1 D ．2 4.已知平面向量a =(1,2)，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝（ ）

三角函数与平面向量

三角函数与平面向量 三角函数和平面向量是数学中最常用的基础概念，两者之间具有紧密的联系。三角函数是一类特殊的数学函数，它是以弧度为单位、以正弦函数、余弦函数和正切函数为基础的函数，它们可以表示圆上任意一点的位置。而平面向量是一种特殊的几何形式，它以一个箭头来表示，由一个起点和一个终点组成，可以表示二维平面上的任意方向。 三角函数和平面向量之间的关系可以从三个方面来理解：第一，三角函数可以用来表示平面向量的大小；第二，三角函数可以用来表示平面向量的方向；第三，三角函数可以用来表示平面向量的旋转。 （1）三角函数可以用来表示平面向量的大小。如果将一个平面向量等分成两部分，一部分为x轴方向的分量，另一部分为y轴方向的分量，那么这两个分量的比例就可以用三角函数来表示。具体来说，如果将平面向量的起点固定在原点，那么平面向量的长度可以用极坐标系中的模m=|a|=√(x2+y2)来表示，而平面向量的方向可以用极角 θ=arctan(y/x)来表示，其中x和y分别为平面向量的x 轴和y轴分量。 （2）三角函数可以用来表示平面向量的方向。平面向量的方向可以用极角θ=arctan(y/x)来表示，其中x和y

分别为平面向量的x轴和y轴分量。这里的极角θ可以被看作是平面向量的方向，即平面向量与x轴之间的夹角。通过求解极角θ，就可以得到平面向量的方向。 （3）三角函数可以用来表示平面向量的旋转。在三维空间中，平面向量可以沿着一个指定的轴旋转，而这个旋转的角度可以用三角函数来表示。比如，在二维空间中，平面向量沿着x轴旋转θ角度后，可以使用余弦函数 cosθ来表示新的x轴分量，使用正弦函数sinθ来表示新的y轴分量，从而可以得到新的平面向量。 总之，三角函数和平面向量之间具有千丝万缕的联系，它们在数学中都具有重要的意义，在几何学中也发挥着重要的作用。只有充分理解了它们之间的联系，才能在数学和几何学中取得更好的成绩。

三角函数与平面向量知识总结

三角函数与平面向量知识总结 三角函数是数学中非常重要的概念，与其密切相关的还有平面向量。 在解决几何问题、物理问题等方面，三角函数与平面向量的知识都是不可 或缺的。下面将对三角函数和平面向量的相关知识进行总结。 一、三角函数 三角函数是角度的函数，可以通过直角三角形来定义。在直角三角形中，一个角的正弦为对边与斜边的比值，余弦为邻边与斜边的比值，正切 为对边与邻边的比值。这三个比值分别对应着三角函数中的sin、cos和tan。 除了sin、cos和tan，还有三角函数的倒数cosec、sec和cot。其中，cosec为正弦的倒数，sec为余弦的倒数，cot为正切的倒数。 三角函数具有很多基本性质，如周期性、对称性、奇偶性等。它们可 以通过基本关系推导出其他的三角函数关系式，如勾股定理等。 三角函数不仅仅是直角三角形的属性，还可以用于解决各种几何问题，如确定两点的位置关系、计算两条直线的夹角等。在物理学中，三角函数 也经常出现，如简谐运动、波动等问题。 二、平面向量 平面向量是有大小和方向的量，可以用有序的数对来表示。平面向量 有很多基本运算，如加法、减法、数量乘法等。平面向量的加法满足交换 律和结合律，减法可以转化为加法和数量乘法。 平面向量可以具有很多性质，如平行、垂直等。两个向量平行的充要 条件是它们的方向相同或相反，而两个向量垂直的充要条件是它们的内积

为零。内积的概念是平面向量中重要的一个概念，它可以用来计算向量的 模长、向量的夹角等。 平面向量还可以用于解决几何问题，如判断两个向量的位置关系、计 算两条直线的夹角等。在物理学中，平面向量也经常出现，如力的合成、 速度的分解等问题。 三、三角函数与平面向量的关系 三角函数和平面向量之间有着密切的关系。首先，可以利用三角函数 来表示平面向量，如一个向量的模长可以表示为cos或sin的形式。其次，可以利用平面向量来解决三角函数相关的问题，如计算两个向量的夹角、 计算向量在其中一方向上的投影等。 特别地，正弦定理和余弦定理是三角函数与平面向量的一种重要关系。正弦定理是指在任意三角形ABC中，有a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为三角形的对应角。余弦定理是 指在任意三角形ABC中，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，其中c为三角形的边长，a、b分别为与c对应的两个角。 总结起来，三角函数和平面向量是数学中非常重要的概念和工具，它 们可以互相转化和应用。了解和掌握三角函数和平面向量的相关知识，对 于解决各种几何问题、物理问题等都非常有帮助。

三角函数平面向量知识与公式总结

三角函数平面向量知识与公式总结 三角函数和平面向量是数学中非常重要的概念，它们在解决几何问题、物理问题和工程问题中起着重要的作用。本文将对三角函数和平面向量的 知识进行总结，并介绍常用的公式和性质。 一、三角函数 2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数被定义为邻边与斜边的比值。其定义域为实数集R。常用的余弦函数记作cos(x)。余弦函数也具有 周期性，即cos(x+2π)=cos(x)。 3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数被定义为对边与邻边的比值。其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。常用的正切函数记作 tan(x)。正切函数也具有周期性，即tan(x+π)=tan(x)。 4. 余切函数：在直角三角形中，余切函数被定义为邻边与对边的比值。其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。常用的余切函数记作cot(x)。余 切函数也具有周期性，即cot(x+π)=cot(x)。 5. 正割函数：在直角三角形中，正割函数被定义为斜边与邻边的比值。其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。常用的正割函数记作 sec(x)。正割函数也具有周期性，即sec(x+2π)=sec(x)。 6. 余割函数：在直角三角形中，余割函数被定义为斜边与对边的比值。其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。常用的余割函数记作csc(x)。余 割函数也具有周期性，即csc(x+2π)=csc(x)。 三角函数之间有一些重要的关系： 1.三角函数的互逆关系：

sin(x) = 1/csc(x) cos(x) = 1/sec(x) tan(x) = 1/cot(x) cot(x) = 1/tan(x) sec(x) = 1/cos(x) csc(x) = 1/sin(x) 2.三角函数的和差化积公式： sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) tan(x+y) = (tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y)) 3.三角函数的倍角公式： sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) tan(2x) = 2tan(x)/(1-tan^2(x)) 4.三角函数的半角公式： sin(x/2) = ±√((1-cos(x))/2) co s(x/2) = ±√((1+cos(x))/2) tan(x/2) = ±√((1-cos(x))/(1+cos(x))) 二、平面向量

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系 在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，并且它们之间 存在着一定的关系。本文将介绍平面向量与三角函数的相关性质和应用。 一、向量在直角坐标系中的表示 在直角坐标系中，一个向量可以由其在横轴上的分量和在纵轴上的 分量来表示。假设有一个平面向量a，其水平分量为a₁，垂直分量为 a₂，则可以用有序数对(a₁, a₂)表示向量a。其中，a₁沿着横轴的正方向表示，a₂沿着纵轴的正方向表示。 二、向量的模和角度表示 向量的模表示向量的长度，也叫作向量的大小。设向量a的模为|a|，则有|a| = √(a₁² + a₂²)。其中，a₁和a₂分别为向量a在横轴和纵轴上的分量。 另外，向量还可以用角度来表示。假设有一个向量a，与横轴之间 的夹角为θ，则有tanθ = a₂/a₁，即θ = arctan(a₂/a₁)。其中，arctan表 示反正切函数。 三、平面向量的加法和减法 平面向量的加法和减法可以类比数的加法和减法。设有两个向量a 和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。

向量的加法可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。也就是将两个 向量的分量对应相加。 向量的减法可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。也就是将两个向 量的分量对应相减。 四、向量与三角函数的关系 1. 向量的模和三角函数 在直角坐标系中，一个向量的模可以表示为|a| = √(a₁² + a₂²)。根据直角三角形的性质，我们可以知道，a₁/|a| = cosθ，a₂/|a| = sinθ。其中，θ表示向量a与横轴之间的夹角。 2. 向量的加法与三角函数 设有两个向量a和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。根据向量的 加法性质，a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。 根据向量的模和三角函数的关系，可以得到|a + b| = √((a₁ + b₁)² + (a₂ + b₂)²) = √(a₁² + a₂² + b₁² + b₂² + 2(a₁b₁ + a₂b₂))。 进一步化简，可以得到|a + b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ。 根据三角恒等式2cosθsinφ = sin(θ + φ) + sin(θ - φ)，可以得到 2|a||b|cosθ = |a||b|(sin(θ + φ) + sin(θ - φ))。其中，φ表示向量a和b之间 的夹角。 综上所述，向量的加法可以表示为|a + b| = √(|a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ)。也就是说，向量的模可以通过向量的加法和夹角的三角函数来计算。

三角函数与平面向量

第二部分三角函数与平面向量一、知识框图：

二、基础知识要点剖析： 1、与角α终边相同的角的集合{}Z k k ∈+=,2|απββ; 十六条终边所对应的角能记住吗？集合⎭ ⎬⎫ ⎩ ⎨⎧∈± =Z k k ,3|π πγγ表示怎样的终边的角？区分锐角、小于090的角、090~0的角、钝角、对顶角、区域角、区间角、象限角等。 2、弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||2 2 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈ 3、三角函数的定义（r y x ,,三个量的比值）：r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x x y α。 ㈠任意角的三角函数值在各个象限的符号知道吗？特别是特殊角的三角函数值记准了吗？ ㈡正弦线、余弦线、正切线会画吗？利用它们求三角不等式很简便哦！有印象吗？ ㈢常见三角不等式：（1）若(0, )2x π ∈，则sin tan x x x <<，(2) 若(0,)2 x π ∈，则 1sin cos 2x x <+≤(3) 2cos sin 1,≤+≤∈x x R x 则若. 4、同角三角函数的基本关系式 ：①2 2 sin cos 1θθ+=，②ta n θ= θ θ cos sin ，注意公式变形： 2)cos (sin cos sin 21)1(θθθθ±=±.)4 2sin(22cos 2 sin sin 1π θθ θ θ±=±=± 2s i n 2c o s 1θθ=-， 2 co s 2co s 1θ θ=+ （2）如t =±ααcos sin ,d =ααcos sin ,αtan 之间互相转换懂吗？知一求二： (3)若t =+ααcos sin ，则2 1c o s s i n 2-=t αα；12sin 2 -=t α；2 2cos sin t -±=-αα（4）若t =ααcos sin ，则t 21cos sin +±=+αα；t 21cos sin -±=-αα. 5、诱导公式分两大类：为偶数与奇数）k k (2 απ±。口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．．．．．．．．．．．．． 怎么理解这口诀？（注意：诱导公式中始终视α为锐角和原函数所在象限的符号）。领会互 为 余 角 或 互 补 的 三 角 函 数 的 相 互 转 化 ： 如 απαπαπππαπ απ++++-6 32,-4463与与，与 。 )6 sin()32cos(),4cos()4sin()1(απαπππ+=+-=+x x ， （2）若2 π βα= +，则βαβαsin cos ,cos sin ==。

三角函数与平面向量

三角函数与平面向量 现在考虑一个平面上的点\(P(x, y)\)，假设\(r\)是\(O\)到\(P\)的距离，我们可以用向量\(\vec{v} = (x, y)\)表示\(P\)点，它的模长即为\(\，\vec{v}\， = r\)。那么，\(P\)点的极坐标表示为\((r, \theta)\)，其中\(\theta\)是\(OP\)与正半轴\(OX\)之间的夹角。根据三角函数的性质，我们有以下关系： \[\begin{align*} \cos \theta & = \frac{x}{r} = \frac{a}{\，\vec{v}\，}, \\ \sin \theta & = \frac{y}{r} = \frac{b}{\，\vec{v}\，}, \\ \tan \theta & = \frac{y}{x} = \frac{b}{a}. \end{align*}\] 接下来，讨论三角函数与平面向量之间的一些重要性质。首先是三角函数的周期性。正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期为 \(2\pi\)。也就是说，对于任意\(x\)，我们都有\(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\)和\(\cos(x + 2\pi) = \cos(x)\)。这说明三角函数的值在 \(2\pi\)的整数倍处重复。类似地，正切函数是周期为\(\pi\)的周期函数。 另外一个重要的性质是三角函数的正交关系。设\(\vec{u}\)和 \(\vec{v}\)是两个非零向量，它们的夹角为\(\theta\)。那么，我们有以下等式成立： \[\vec{u} \cdot \vec{v} = \，\vec{u}\， \，\vec{v}\， \cos \theta.\]

高中数学三角函数与向量

高中数学三角函数与向量 在高中数学中，三角函数与向量是解析几何和三角学的重要内容。三角函数研究角的大小和周边长度的关系，而向量则研究物体在平面或空间中的位移和运动。 一、三角函数 三角函数是描述角度大小和长度关系的数学函数。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。我们以角A为例来介绍这些函数。 1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是指在单位圆上，以角A 的终边与x轴正半轴之间的弦与x轴正半轴之间的线段比值。可以表示为sin(A)。 2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数是指在单位圆上，以角A 的终边与x轴正半轴之间的弦与单位圆的半径之间的比值。可以表示为cos(A)。 3. 正切函数（tangent function）：正切函数是指在单位圆上，以角A的终边与x轴正半轴之间的弦与角A的终边在x轴正半轴法线上的投影之间的比值。可以表示为tan(A)。 二、向量 向量是具有大小和方向的物理量。在高中数学中，我们主要研究平面向量和空间向量。

1. 平面向量：平面向量由大小和方向确定。我们可以用有向线段或坐标表示平面向量。常见的运算有向量的加法、数乘和点乘。 2. 空间向量：空间向量也由大小和方向确定，但相比于平面向量，空间向量多了一个维度。我们可以用有向线段或坐标表示空间向量。空间向量的运算与平面向量类似，只是多了一个维度的考虑。 三、三角函数与向量的应用 三角函数与向量在实际问题中有广泛的应用。 1. 几何问题：三角函数与向量可以用来解决几何问题，如平面上的三角形面积、角平分线等；空间中的直线及平面的交角，立体图形的体积等。 2. 物理问题：三角函数与向量在物理学中具有重要的应用，如力学中的合力分解、运动学中的速度和加速度等。 3. 工程问题：三角函数与向量也广泛应用于工程领域，如电路中的电流和电压，机械工程中的力和力矩等。 总结： 高中数学中的三角函数与向量是解析几何和三角学的重要内容。三角函数研究角的大小和周边长度的关系，而向量研究物体在平面或空间中的位移和运动。它们在几何、物理和工程等领域有广泛的应用。通过学习和应用三角函数与向量，我们可以更好地理解和解决实际问题。

高考必备公式、结论、方法、细节二：三角函数与平面向量

□高考必备公式、结论、方法、细节二：三角函数与平面向量 一、必备公式 1．三角函数 (1)同角三角函数 ①平方关系： sin 2 α＋cos 2 α＝1 (又叫 1字替换式)； ②商数关系： sin α cos α ＝tan α (又叫切弦互化式)； (2)和差倍角关系 ①cos(α±β)＝_____ cos αcos βsin αsin β___； ②sin(α±β)＝_____ sin αcos β±cos αsin β____； ③tan(α±β)＝ tan α±tan β 1tan αtan β ； ④sin 2α＝____2sin αcos α__； ⑤cos 2α＝ cos 2α－sin 2α ＝ 1－2sin 2α ＝ 2cos 2α－1 ； ⑥tan 2α＝________2tan α 1－tan 2 α __________； (3)辅助角公式： a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) ，其中， tan φ＝b a ， |φ|＜π 2 ， a ＞0 ． 2．正余弦定理 (1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 为 外接圆半径 ； 注意：正弦定理变式与性质： ①边化正弦：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②正弦化边：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； ③a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ； ④a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝ 2R ； (2)余弦定理：①a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ； ②b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ； ③c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C 注意：变式：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ； ②cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ； ③cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab (3)三角形面积 ：①S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ②S △ABC ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是切圆的半径) 3．平面向量： (1)两点间向量表示：若A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则AB → ＝ (x 2－x 1，y 2－y 1) ； (2)向量运算公式：若a ＝(x 1，y 1)、b ＝(x 2，y 2) ，则： ①a ±b ＝ (x 1±x 2，y 1±y 2) ； ②λa ＝ (λx 1，λy 1) ； ③a·b ＝ |a ||b |cos θ ＝ x 1x 2＋y 1y 2 ； ④|a |＝ a 2 ＝ x 21＋y 2 1 ； ⑤cos 〈a ，b 〉＝ a ·b |a ||b | ＝ x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22 ； ⑥a 在b 方向上的投影为： |a |cos θ ＝ a·b |b| ； (3)平行与垂直定理： ①共线定理：a ∥b ⇔___ a ＝λb ___⇔___ x 1y 2＝x 2y 1 _； ②垂直定理：a ⊥b ⇔___a ·b ＝0___⇔__ x 1x 2＋y 1y 2＝0_. 二、必备结论 1．三角函数符号判断口诀：一正二正弦，三切四余弦 2．诱导公式：①口诀：奇变偶不变，符号看象限； ②原则：负化正、大化小、小化锐； 3．函数y ＝tan x 的定义域是：{x |x ∈R 且x ≠π 2 ＋k π，k ∈Z } 4．形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及性质 (1)图像变换： ①相位变换：y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)的规则是：左加(φ＞0)或右减(φ＜0)| φ|个单位； ②周期变换：y ＝sin (x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)的规则是：纵坐标不变，将横坐标缩小(伸长)为原来的|1 ω |倍； ③振幅变换： y ＝sin (ωx ＋φ) →y ＝A sin(ωx ＋φ) 的规则是：横坐标不变，将纵坐标缩小(伸长)为原来的|A |倍； 注意：y ＝sin ωx→y ＝sin(ωx ＋φ)变换规则是：先提取后者x 的系数ω，然后在左(右)平移|φ ω |个单位； (2)基本性质：①定义域：解三角函数不等式用“数形结合” ②值域：由内向外 ③单调性：同增异减

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系平面向量是数学中一个重要的概念，而三角函数则是数学中不可或缺的工具。本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，揭示它们在数学和物理问题中的应用。 一、平面向量的定义与表示方法 平面向量是指具有大小和方向的量，通常用箭头表示。一个平面向量可以由两个有序实数构成，分别表示向量在水平方向和垂直方向的分量。常用的表示方法有坐标表示法和向量代数表示法。 二、平面向量的加减运算 平面向量的加法和减法运算可以理解为将向量按照箭头首尾相接的方式进行连接或相减。具体计算时，将向量的坐标分量相加或相减即可。 三、平面向量的数量积 平面向量的数量积又称为点积或内积，用符号"·"表示。数量积的结果是一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值与向量的模的乘积。数量积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ，其中A和B分别为平面向量，θ为它们的夹角。 四、平面向量的叉积 平面向量的叉积又称为向量积或外积，用符号"×"表示。叉积的结果是一个向量，垂直于原来两个向量所在的平面，并满足右手定则。

叉积的计算公式为：A×B = |A||B|sinθn，其中A和B分别为平面向量，θ为它们的夹角，n为垂直于二维平面的单位向量。 五、三角函数的定义与性质 三角函数是以三角形的边长比值来定义的。常见的三角函数有正弦 函数、余弦函数和正切函数等。它们的定义与性质如下： 1. 正弦函数：sinθ = 对边/斜边； 2. 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边； 3. 正切函数：tanθ = 对边/邻边； 4. 三角函数的周期性和奇偶性等性质。 六、平面向量与三角函数的关系 平面向量与三角函数之间存在着密切的关系。具体来说，平面向量 A的模可以表示为：|A| = √(x² + y²)，其中(x, y)为向量的坐标分量。而 三角函数中的正弦函数和余弦函数也是以二维平面上的点的坐标为基 础来定义的。因此，平面向量与三角函数之间存在如下关系： 1. 平面向量的模可以与三角函数中的正弦函数和余弦函数建立联系； 2. 平面向量的数量积与三角函数中的余弦函数有关； 3. 平面向量的叉积与三角函数中的正弦函数有关。 七、平面向量与三角函数的应用

三角函数平面向量知识与公式总结

三角函数知识与公式总结 ：2,k k Z βπα=+∈ 第一象限：{}22,2 k k k Z π απαπ<<+ ∈ 第二象限：{}22,2 k k k Z παπαππ+<<+∈ 第三象限：{}322,2 k k k Z π αππαπ+<<+∈ 第四象限： {}3222,2 k k k Z π απαππ+ <<+∈ 终边在x 轴正半轴：{}2,k k Z ααπ=∈ 终边在x 轴负半轴：{}2,k k Z ααππ=+∈ 终边在y 轴正半轴： {}2,2k k Z π ααπ=+ ∈ 终边在y 轴负半轴：{}32,2 k k Z π ααπ=+∈ 终边在x 轴上： {},k k Z ααπ=∈ 终边在y 轴上：{ },2k k Z π ααπ=+∈ 终边在坐标轴上： {},2 k k Z π αα= ∈ 终边在一三象限角分线上：{ },4k k Z π ααπ=+ ∈ 终边在二四象限角分线上：{}3,4 k k Z π ααπ=+∈ 终边在象限角分线上：{},24 k k Z ππ αα= +∈ 1180rad π = ' 18015718rad π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭ 5.扇形弧长及面积公式： 6.θπR R n l == 180 θπ222121360R lR R n S ===扇形 7三角函数的定义：p （x,y ）为终边上一点坐标，r ＝ sin y r α= cos x r α=tan y x α=cot x y α=

（1）重要结论：当(0, )2 π α∈时，( sin cos αα+∈sin α＜α＜tan α ⑵ 符号规律：正弦上正 ，余弦右正，正切一三正 22sin cos 1αα+=tan cot 1αα= sin tan cos ααα= cos cot sin α αα = 9.诱导公式（奇变偶不变 符号看象限） ()sin 2sin k παα+=()cos 2cos k παα+=()tan 2tan k παα+= ()sin sin παα -=()cos cos παα-=-()tan tan παα-=-()sin sin αα -=-()cos cos αα-=()tan tan αα-=- ()sin sin παα+=-()cos cos παα+=-()tan tan παα+= sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan cot 2παα⎛⎫ -= ⎪⎝⎭ sin cos 2παα⎛⎫ += ⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭tan cot 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 3sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3cos sin 2παα⎛⎫ -=- ⎪⎝⎭3tan cot 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 3sin cos 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭3tan cot 2παα⎛⎫ +=- ⎪⎝⎭ 10.两角和与差的余弦： ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ (注：两式相加可求sin αsin β两式相减可求cos αcos βf 进而可求tan α tan β) 11.两角和与差的正弦： ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- (注：两式相加可求sin αcos β两式相减可求cos αsin βf 进而可求tan α/tan β) 12.两角和与差的正切：