三角函数与平面向量-精选教学文档

三角函数与平面向量

简介：

三角函数与平面向量

三角函数的图象与性质

1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;

会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象;掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质.

2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现.因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等).

3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易.这几年的高考中加强了对三角函数定义、图象和性质的考查.在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练.

1. 函数y=2sin2-1是最小正周期为________的

________(填“奇”或“偶”)函数.

2.函数f(x)=-cosx在[0，+∞)内的零点个数为

________.

3.函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是________.

4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若

f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)=sinx，则f的值为________.

【例1】设函数f(θ)=sinθ+cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.

(1) 若点P的坐标是，求f(θ)的值;

(2) 若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角

θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值.

【例2】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示.

(1) 求f(0)的值;

(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间上的取值范围.

【例3】已知函数

f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<& phi;<π，ω>0)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.

(1) 求f的值;

(2) 将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间.

【例4】已知函数f(x)=2sin2-cos2x-1，x∈R.

(1) 求f(x)的最小正周期;

(2) 若h(x)=f(x+t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值;

(3) 当x∈时，不等式|f(x)-m|<3恒成立，求实数m的取值范围.

1. (2019·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ=-，则y=________.

2.(2019·全国)函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期是________.

3.(2009·全国)函数y=sincos的最大值为

________.

4.(2019·广东)已知函数

f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________.

(2019·四川)已知函数

f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).

(1) 求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;

(2) 若f(x0)=，x0∈，求cos2x0的值.

5.(2009·福建)已知函数

f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，

|φ|<.

(1) 若coscosφ-sinπsinφ=0，求φ的值;

(2) 在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.

(2009·重庆)(本小题满分13分)设函数

f(x)=sin-2cos2+1.

(1) 求f(x)的最小正周期;

(2) 若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，求当x∈时，y=g(x)的最大值.

解：(1) f(x)=sinxcos-cosxsin-cosx

=sinx-cosx(3分)

=sin，(5分)

故f(x)的最小正周期为T ==8.(7分)

(2) (解法1)在y=g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x=1的对称点为(2-x，g(x)).

由题设条件，点(2-x，g(x))在y=f(x)的图象上，从而

g(x)=f(2-x)=sin=sin=cos.(10分)

当0≤x≤时，≤x+≤，因此y=g(x)在区间上的最大值为g(x)max=cos=.(13分)

(解法2)因区间关于x=1的对称区间为，且y=g(x)与y=f(x)的图象关于x=1对称，故y=g(x)在上的最大值为y=f(x)在上的最大值，

由(1)知f(x)=sin，

当≤x≤2时，-≤x-≤，

因此y=g(x)在上的最大值为g(x)max=sin=.(13分)

第7讲三角函数的图象与性质

1. 若

【答案】-8 解析：令tanx=t∈(1，+∞)，y=，y′(t)=

得t=时y取最大值-8.

2. 已知函数f(x)=2cos2x+sin2x.

(1) 求f的值;

(2) 求f(x)的最大值和最小值.

解：(1) f=2cos+sin2=-1+=-.

(2) f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)=3cos2x-1，x∈R.

因为cosx∈[-1,1]，所以当cosx=±1时，f(x)取最大值2;当cosx=0时，f(x)取最小值-1.

基础训练

1. π 奇解析：y=-cos=-sin2x.

2. 1 解析：在[0，+∞)内作出函数y=，y=cosx的图象，可得到答案.

3. -+1 解析：f(x)=2cos2x+sin2x=sin+1.

4. - 解析：f=f=f=sin=-.

例题选讲

例1 解：(1) 根据三角函数定义得sinθ=，

cosθ=，∴ f(θ)=2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ=，从而求出 f(θ)=2).

(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤，f(θ)=sinθ+cosθ=2sin，∴

θ=0，f(θ)min=1;θ=，f(θ)max=2.

(注：注意条件，使用三角函数的定义; 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y=Asin(ωx+φ)的形式) 例2 解：(1)由题图可知：A=，=π-=，ω=2，2×+φ=2kπ+，φ=2kπ+，k∈Z，f(0)=sin=.

(2) φ=，f(x)=sin.

因为0≤x≤，所以≤2x+≤π，所以

0≤sin≤1.

即f(x)的取值范围为[0，].

(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及

y=Asin(ωx+φ)的图像与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)

变式训练已知A为△ABC的内角，求y=cos2A+cos2的取值范围.

解： y=cos2A+cos2=+

=1++

=1+=1+cos.

∵ A为三角形内角，∴ 0

∴ y=cos2A+cos2的取值范围是.

例3 解：(1)

f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) =2

=2sin.

因为f(x)为偶函数，

所以对x∈R，f(-x)=f(x)恒成立，

因此sin=sin.

即-sinωxcos+cosωxsin

=sinωxcos+cosωxsin，

整理得sinωxcos=0.

因为ω>0，且x∈R，所以cos=0.

又因为0<φ<π，故φ-=.

所以f(x)=2sin=2cosωx.

由题意得=2×，所以ω=2.

故f(x)=2cos2x.

因此f=2cos=.

(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，

所以g(x)=f=2cos=2cos.

当2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z)，

即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).

例4 解：(1)函数可化为f(x)=-cos-cos2x=2sin，故f(x)的最小正周期为π.

(2) h(x)=2sin.令2×+2t-=kπ，k∈Z.

又t∈(0，π)，故t=或.

(3) 当x∈时，2x-∈， ∴

f(x)∈[1,2].

|f(x)-m|<3，即f(x)-3

变式训练设函数f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t).

(1) 求g(t)的表达式;

(2) 讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.

解：(1) f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4

=sin2x-2tsinx+4t3+t2-3t+3

=(sinx-t)2+4t3-3t+3.

由于(sinx-t)2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f(x)达到其最小值g(t)，即

g(t)=4t3-3t+3.

(2) g′(t)=12t2-3=3(2t+1)(2t-1)，-1

列表如下：

t

g′(t)

g(t)

极大值

极小值

由此可见，g(t)在区间和上单调增，在区间上单调减，极小值为g=2，极大值为g=4.

高考回顾

1. —8 解析：sinθ==-，解得y=-8或8(舍).

2. π 解析：f(x)=sin-2sin2x=sin-.

3. 解析： y=cosx=sin+.

4. ，k∈Z 解析：

f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)=2sin.

∵ 周期为π，∴ ω=2，∴

f(x)=2sin.

2kπ-≤2x+≤2kπ+，即

kπ-≤x≤kπ+，k∈Z.

5. 解： (1) 由f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1，得

f(x)=(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=sin2x+cos2x=2sin.

所以函数的最小正周期为T==π.

因为x∈，所以2x+∈.

所以2x+∈，即x∈时，函数f(x)为增函数，而在x∈时，函数f(x)为减函数，所以f=2sin=2为最大值，f=2sin=-1为最小值.

(2) 由(1)知，f(x0)=2sin.

又由已知f(x0)=，则sin=.

因为x0∈，则2x0+∈.因此cos<0，

所以cos=-，于是cos2x0=cos，

=coscos+sinsin

=-×+×=.

6. 解：(1) 由coscosφ-sinπsinφ=0得coscosφ-sinsinφ=0

即cos=0，又|φ|<，∴ φ=.

(2) 由(1)得f(x)=sin，依题意，=，又T=，故ω=3，

∴ f(x)=sin，函数的图像向左平移m个单位后对应的函数为g(x)=sin，g(x)是偶函数，当且仅当

3m+=kπ+(k∈Z)，即m=+(k∈Z)，从而最小正实数m=.

三角函数与平面向量专题(王婷)开会用定稿

三角函数与平面向量专题 团风中学高三数学组 一、考试大纲解读 三角函数与平面向量是人教A 版必修4的主要内容，根据2012年的考试大纲，这一专题的具体要求如下： 了解任意角的概念与弧度制，了解周期函数的定义与三角函数的周期性，了解平面向量线性运算的性质及几何意义，了解平面向量的基本定理，数量积与向量投影的关系，理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，理解正弦、余弦、正切函数的图像与性质，理解函数 sin()y A x ω?=+的图像与性质，理解诱导公式及同角三角函数的基本关系 式，理解二倍角的正弦、余弦、正切公式及简单的三角恒等变换，理解用坐标表示平面向量的加法、减法、数乘运算及向量共线的条件，理解数量积的概念及用数量积表示夹角、垂直关系，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦定理及简单的应用，掌握平面向量的线性运算及坐标表示，掌握数量积的坐标表示。 与2011年的考试大纲相比，这部分内容大体相同，只做了稍微调整，三角函数部分删掉了余切、正割、余割的定义及反三角的相关知识，平面向量部分删掉了线段的定比分点及平移公式。 二、考试题型分析 近几年高考数学试卷中三角函数与平面向量试题在题型、题量、分值、难度，均保持相对稳定，一般有三道题（两道选择题或填空题和一道大题），难度适中，分值在20—25之间，约占总分值的15%左右，主要考查三角函数的定义、图象与性质、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式、正弦定理与余弦定理运用、向量的共线、垂直、夹角、模长、及坐标运算的综合运用等。

分析近几年高考对三角函数与平面向量部分的命题特点，以下仍是今年高考的主要内容：三角函数部分：（1）降低对三角变换的考查要求，考查重心逐步向基础知识、基本技能及三角函数的图象与性质转移；(2)对数形结合思想的考查将进一步强化；（3）三角函数作为解决问题的工具作用将进一步得到体现，对与三角有关的综合题应引起足够的重视；（4）结合近几年湖北卷都有三角大题，2011年其他各省高考数学试卷几乎都有三角解答题，预测我省今年高考三角函数部分考大题的可能性会很大。 平面向量部分：（1）对平面向量相关的概念、性质及几何意义的考查；（2）对向量共线、垂直的充要条件的运用，特别是平面向量与几何的综合及运用、

三角函数与平面向量-精选教学文档

三角函数与平面向量 简介： 三角函数与平面向量 三角函数的图象与性质 1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质; 会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象;掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质. 2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现.因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等). 3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易.这几年的高考中加强了对三角函数定义、图象和性质的考查.在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练. 1. 函数y=2sin2-1是最小正周期为________的 ________(填“奇”或“偶”)函数. 2.函数f(x)=-cosx在[0，+∞)内的零点个数为 ________. 3.函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是________. 4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若

f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)=sinx，则f的值为________. 【例1】设函数f(θ)=sinθ+cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π. (1) 若点P的坐标是，求f(θ)的值; (2) 若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角 θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值. 【例2】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示. (1) 求f(0)的值; (2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间上的取值范围. 【例3】已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<& phi;<π，ω>0)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为. (1) 求f的值; (2) 将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间. 【例4】已知函数f(x)=2sin2-cos2x-1，x∈R.

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，它们之间存在着紧密的关联。平面向量主要用来表示空间中的方向和大小，而三角函数则描述了角度和长度之间的关系。本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，并介绍其在数学和物理中的应用。 一、平面向量的表示与性质 平面向量可以用有序的数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。例如，向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1为x轴分量，a2为y轴分量。平面向量有以下性质： 1. 向量的模：向量的模表示向量的大小，可以通过勾股定理计算得到。对于向量a(a1, a2)，它的模可以表示为|a| = √(a1² + a2²)。 2. 向量的方向角：向量的方向角表示向量与x轴正方向的夹角。根据三角函数的定义，可以得到向量的方向角θ = arctan(a2 / a1)。 3. 向量的单位向量：单位向量是模为1的向量，可以表示为a/|a|。单位向量的方向与原向量相同，但大小为1。 二、三角函数的定义与性质 三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)等。它们的定义如下： 1. 正弦函数：在直角三角形中，正弦函数表示对边与斜边的比值。正弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。

2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数表示邻边与斜边的比值。余弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。 3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值。正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。 三、平面向量与三角函数之间存在着一种重要的关系，即向量的模可以与其方向角的三角函数相关联。具体而言，对于向量a(a1, a2)，有以下关系： 1. a的模与sinθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2) 2. a的模与cosθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2) 3. a的模与tanθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)由上述关系可知，向量的模与其方向角的三角函数之间存在着简洁的关系，通过利用这些关系，我们可以在计算中更加方便地处理向量的模和角度。 四、平面向量与三角函数的应用 平面向量与三角函数的关系在数学和物理中都有广泛的应用。其中一些应用包括：

三角函数与平面向量教师版

三角函数图像与性质及解三角形 三角化简与求值：重点公式要牢记（二倍角、辅助角、22sin cos 1,αα+= sin tan cos α αα = 、常用诱导公式、两角和差公式）；注意方法（整体考虑、变角、1的活用，sin cos αα+型、齐次式） 典型例题： 1. 设α为锐角，若4cos 65απ? ?+= ???，则sin 212πα??+ ?? ?的值为 ． ∵α为锐角，即02 << π α，∴ 2= 6 6 2 6 3<< π π π π πα+ + 。 ∵4cos 65απ??+= ???，∴3sin 65απ? ?+= ?? ?。 ∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ????? ?+=++ ? ? ??????? 。 ∴7cos 2325απ??+= ???sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ??? ?++-+-+ ? ????? 247= 2525- 2. 已知1sin cos 2α= +α，且0,2π??α∈ ??? ，则cos 2sin 4πα ?? α- ? ? ?的值为 __________ 2 - 3. 已知tan 2θ=，则22 sin sin cos 2cos θθθθ+-= （A ）4 3 - （B ） 5 4 （C ）3 4 - （D ） 45 D 三角函数图像与性质：图像的对称性（轴、对称中心坐标）、图像变换（尤其是伸缩）、单调区间、周期性、奇偶性、三角函数形式最后归为()()sin f x A x k ω?=++、三角函数的值域或最值 1.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+ 在(,)2 π π上单调递减。则ω的取值范围是（ ） ()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1 (0,]2 ()D (0,2] 【解析】选A ()22πωππω-≤?≤，3()[,][, ]424422 x ππππππ ωωπω+∈++?

1.三角函数与平面向量3教师版

三角函数与平面向量3 一、选择、填空题 1、已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z)，且a ⊥ b.若x,y 满足不等式1x y +≤，则z 的取值范围为（ ） A..[-2，2] B.[-2，3] C.[-3，2] D.[-3，3] 2、已知,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=?++b a x a x 有实根, 则a 与b 的夹角的取值范围是( B ) A ．]6,0[π B ．],3[ππ C ．]32,3[ππ D ．],6[ππ 3、设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+- a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b 4 、函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ?? ???? 上的最大值是( ) A.1 C. 3 2 【答案】C 【解析】由1cos 21()2sin(2)2226 x f x x x π -= +=+-, 52,42366 x x ππππ π ≤≤ ? ≤- ≤ max 13()1.22f x ∴=+=故选C. 5、 (hn10)在Rt ABC ?中，90C ∠= ，4AC =，则AB AC 等于（ ） A ．16- B ．8- C ．8 D ．16 6、(hn10)在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．若120C ∠= ，c =，则（ ） A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a =b D ．a 与b 的大小关系不能确定 7、设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD = 2,CE EA = 2,AF FB = 则AD BE CF ++ 与BC ( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 【答案】A 【解析】由定比分点的向量式得:212,1233 AC AB AD AC AB += =++

三角函数及平面向量知识点总结

三角函数及平面向量知识点总结 一、三角函数 三角函数是研究角度与角度关系的数学函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。 1. 正弦函数sin 正弦函数是以角度为自变量的周期函数，值域在[-1,1]之间。正弦函数的特性包括： - 周期性：sin(x+2π)=sinx，其中π是一个圆的周长。 - 对称性：sin(-x)=-sin(x)，即正弦函数关于原点对称。 -正弦函数图像呈现周期性波动，振幅为1 2. 余弦函数cos 余弦函数是以角度为自变量的周期函数，值域在[-1,1]之间。余弦函数的特性包括： - 周期性：cos(x+2π)=cosx，其中π是一个圆的周长。 - 对称性：cos(-x)=cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。 -余弦函数图像呈现周期性波动，振幅为1 3. 正切函数tan 正切函数是以角度为自变量的周期函数，定义域是所有不同于90°的奇数倍角度。正切函数的特性包括： - 周期性：tan(x+π)=tanx，其中π是一个圆的周长。

-正切函数图像在一些角度处增长非常快，会趋近于正无穷或负无穷。 4. 余切函数cot 余切函数是以角度为自变量的周期函数，定义域是所有不同于180° 的奇数倍角度。余切函数的特性包括： - 周期性：cot(x+π)=cotx，其中π是一个圆的周长。 -余切函数图像在一些角度处变为零，其余位置会趋近于正无穷或负 无穷。 二、平面向量 平面向量是研究平面上位移、速度、加速度等概念的矢量量。它由起 点和终点确定，并具有大小和方向。 1.平面向量的表示方法 平面向量的表示方法包括： -线段表示法：用平面上的一个线段AB来表示向量，A为起点，B为 终点。向量的大小与线段长度相等。 -坐标表示法：向量在平面直角坐标系中的坐标表示，如向量 →a=(a1,a2)。 -单位向量表示法：具有单位长度的向量，可通过将向量除以其长度 得到单位向量。 -位置向量表示法：起点为原点的向量，其终点为点P，则该向量可 表示为OP。 2.平面向量的运算

10.三角函数平面向量基础知识

第一章三角函数 一、任意角和弧度制 1.任意角 （1）角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角，射线的起始位置叫做角的始边，终止位置叫做角的终边.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果射线没有作任何旋转，则形成零角.在坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的终边与x 轴的正半轴重合，则角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. （2）终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合 0{360}==?+∈S k ,k Z ββα （3）坐标轴上的角： 2.弧度制 （1）定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. （2）计算：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α弧度数的绝对值是 = l r α 其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定. 注意：弧长公式:= l r α. 扇形面积公式:211 22 = =S lr r α.

（3）换算:360°＝2π 180°＝π 1001745180π ≈=. 180 1=( )5730≈. π 说明：①1800 ＝π是所有换算的关键，如ππ====, 18018030456644 ；②πm n 形 式的角当n ＝2，3，4，6时都是特殊角. 二、任意角的三角函数 1.任意角三角函数的定义 （1）定义：设P (x ,y )是角α终边上任意一点,=>OP r 0,则有 sin α= y r cos α=x r tan α=y x （2）三角函数值的符号： 口诀：一全二正弦，三切四余弦. 注：一二三四指象限，提到的函数为正值，未提到的为负值. 2.同角三角函数的基本关系 sin 2α+cos 2α=1

专题三 三角函数与平面向量教案

专题三 三角函数与平面向量 高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。 一、知识整合 1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题． 2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin()y A x ω?=+的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化． 二、高考考点分析 各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分 第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

2019高考数学二轮复习 专题二 三角函数、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质教案 理

第一讲 三角函数的图象与性质 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象与变换 授课提示：对应学生用书第19页 [悟通——方法结论] 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π 2，2π，求出x 的值与相应 的y 的值，描点、连线可得． (2)图象变换： y ＝sin x ――→向左(φ>0)或向右(φ<0) 平移|φ|个单位 y ＝sin (x ＋φ) ――→纵坐标变为原来的A (A>0)倍 横坐标不变 y ＝A sin (ωx ＋φ)． [全练——快速解答]

1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π 6个单位长度，得到曲线C 2 B ．把 C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6个 单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12个 单位长度，得到曲线C 2 解析：易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D. 答案：D 2．(2018·南昌模拟)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象可以由函数y ＝cos x 2的图象( ) A ．向右平移π 3个单位长度得到 B ．向右平移2π 3个单位长度得到 C ．向左平移π 3个单位长度得到 D ．向左平移2π 3 个单位长度得到 解析：由y ＝cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π2，y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6，知函数y ＝ sin ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x 2＋π 6的图象可以由y ＝cos x 2的图象向右平移 2π 3 个单位长度得到． 答案：B

三角函数与平面向量

三角函数与平面向量 三角函数和平面向量是数学中最常用的基础概念，两者之间具有紧密的联系。三角函数是一类特殊的数学函数，它是以弧度为单位、以正弦函数、余弦函数和正切函数为基础的函数，它们可以表示圆上任意一点的位置。而平面向量是一种特殊的几何形式，它以一个箭头来表示，由一个起点和一个终点组成，可以表示二维平面上的任意方向。 三角函数和平面向量之间的关系可以从三个方面来理解：第一，三角函数可以用来表示平面向量的大小；第二，三角函数可以用来表示平面向量的方向；第三，三角函数可以用来表示平面向量的旋转。 （1）三角函数可以用来表示平面向量的大小。如果将一个平面向量等分成两部分，一部分为x轴方向的分量，另一部分为y轴方向的分量，那么这两个分量的比例就可以用三角函数来表示。具体来说，如果将平面向量的起点固定在原点，那么平面向量的长度可以用极坐标系中的模m=|a|=√(x2+y2)来表示，而平面向量的方向可以用极角 θ=arctan(y/x)来表示，其中x和y分别为平面向量的x 轴和y轴分量。 （2）三角函数可以用来表示平面向量的方向。平面向量的方向可以用极角θ=arctan(y/x)来表示，其中x和y

分别为平面向量的x轴和y轴分量。这里的极角θ可以被看作是平面向量的方向，即平面向量与x轴之间的夹角。通过求解极角θ，就可以得到平面向量的方向。 （3）三角函数可以用来表示平面向量的旋转。在三维空间中，平面向量可以沿着一个指定的轴旋转，而这个旋转的角度可以用三角函数来表示。比如，在二维空间中，平面向量沿着x轴旋转θ角度后，可以使用余弦函数 cosθ来表示新的x轴分量，使用正弦函数sinθ来表示新的y轴分量，从而可以得到新的平面向量。 总之，三角函数和平面向量之间具有千丝万缕的联系，它们在数学中都具有重要的意义，在几何学中也发挥着重要的作用。只有充分理解了它们之间的联系，才能在数学和几何学中取得更好的成绩。

三角函数与平面向量知识总结

三角函数与平面向量知识总结 三角函数是数学中非常重要的概念，与其密切相关的还有平面向量。 在解决几何问题、物理问题等方面，三角函数与平面向量的知识都是不可 或缺的。下面将对三角函数和平面向量的相关知识进行总结。 一、三角函数 三角函数是角度的函数，可以通过直角三角形来定义。在直角三角形中，一个角的正弦为对边与斜边的比值，余弦为邻边与斜边的比值，正切 为对边与邻边的比值。这三个比值分别对应着三角函数中的sin、cos和tan。 除了sin、cos和tan，还有三角函数的倒数cosec、sec和cot。其中，cosec为正弦的倒数，sec为余弦的倒数，cot为正切的倒数。 三角函数具有很多基本性质，如周期性、对称性、奇偶性等。它们可 以通过基本关系推导出其他的三角函数关系式，如勾股定理等。 三角函数不仅仅是直角三角形的属性，还可以用于解决各种几何问题，如确定两点的位置关系、计算两条直线的夹角等。在物理学中，三角函数 也经常出现，如简谐运动、波动等问题。 二、平面向量 平面向量是有大小和方向的量，可以用有序的数对来表示。平面向量 有很多基本运算，如加法、减法、数量乘法等。平面向量的加法满足交换 律和结合律，减法可以转化为加法和数量乘法。 平面向量可以具有很多性质，如平行、垂直等。两个向量平行的充要 条件是它们的方向相同或相反，而两个向量垂直的充要条件是它们的内积

为零。内积的概念是平面向量中重要的一个概念，它可以用来计算向量的 模长、向量的夹角等。 平面向量还可以用于解决几何问题，如判断两个向量的位置关系、计 算两条直线的夹角等。在物理学中，平面向量也经常出现，如力的合成、 速度的分解等问题。 三、三角函数与平面向量的关系 三角函数和平面向量之间有着密切的关系。首先，可以利用三角函数 来表示平面向量，如一个向量的模长可以表示为cos或sin的形式。其次，可以利用平面向量来解决三角函数相关的问题，如计算两个向量的夹角、 计算向量在其中一方向上的投影等。 特别地，正弦定理和余弦定理是三角函数与平面向量的一种重要关系。正弦定理是指在任意三角形ABC中，有a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为三角形的对应角。余弦定理是 指在任意三角形ABC中，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，其中c为三角形的边长，a、b分别为与c对应的两个角。 总结起来，三角函数和平面向量是数学中非常重要的概念和工具，它 们可以互相转化和应用。了解和掌握三角函数和平面向量的相关知识，对 于解决各种几何问题、物理问题等都非常有帮助。

三角函数平面向量知识与公式总结

三角函数平面向量知识与公式总结 三角函数和平面向量是数学中非常重要的概念，它们在解决几何问题、物理问题和工程问题中起着重要的作用。本文将对三角函数和平面向量的 知识进行总结，并介绍常用的公式和性质。 一、三角函数 2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数被定义为邻边与斜边的比值。其定义域为实数集R。常用的余弦函数记作cos(x)。余弦函数也具有 周期性，即cos(x+2π)=cos(x)。 3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数被定义为对边与邻边的比值。其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。常用的正切函数记作 tan(x)。正切函数也具有周期性，即tan(x+π)=tan(x)。 4. 余切函数：在直角三角形中，余切函数被定义为邻边与对边的比值。其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。常用的余切函数记作cot(x)。余 切函数也具有周期性，即cot(x+π)=cot(x)。 5. 正割函数：在直角三角形中，正割函数被定义为斜边与邻边的比值。其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。常用的正割函数记作 sec(x)。正割函数也具有周期性，即sec(x+2π)=sec(x)。 6. 余割函数：在直角三角形中，余割函数被定义为斜边与对边的比值。其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。常用的余割函数记作csc(x)。余 割函数也具有周期性，即csc(x+2π)=csc(x)。 三角函数之间有一些重要的关系： 1.三角函数的互逆关系：

sin(x) = 1/csc(x) cos(x) = 1/sec(x) tan(x) = 1/cot(x) cot(x) = 1/tan(x) sec(x) = 1/cos(x) csc(x) = 1/sin(x) 2.三角函数的和差化积公式： sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) tan(x+y) = (tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y)) 3.三角函数的倍角公式： sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) tan(2x) = 2tan(x)/(1-tan^2(x)) 4.三角函数的半角公式： sin(x/2) = ±√((1-cos(x))/2) co s(x/2) = ±√((1+cos(x))/2) tan(x/2) = ±√((1-cos(x))/(1+cos(x))) 二、平面向量

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系 在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，并且它们之间 存在着一定的关系。本文将介绍平面向量与三角函数的相关性质和应用。 一、向量在直角坐标系中的表示 在直角坐标系中，一个向量可以由其在横轴上的分量和在纵轴上的 分量来表示。假设有一个平面向量a，其水平分量为a₁，垂直分量为 a₂，则可以用有序数对(a₁, a₂)表示向量a。其中，a₁沿着横轴的正方向表示，a₂沿着纵轴的正方向表示。 二、向量的模和角度表示 向量的模表示向量的长度，也叫作向量的大小。设向量a的模为|a|，则有|a| = √(a₁² + a₂²)。其中，a₁和a₂分别为向量a在横轴和纵轴上的分量。 另外，向量还可以用角度来表示。假设有一个向量a，与横轴之间 的夹角为θ，则有tanθ = a₂/a₁，即θ = arctan(a₂/a₁)。其中，arctan表 示反正切函数。 三、平面向量的加法和减法 平面向量的加法和减法可以类比数的加法和减法。设有两个向量a 和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。

向量的加法可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。也就是将两个 向量的分量对应相加。 向量的减法可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。也就是将两个向 量的分量对应相减。 四、向量与三角函数的关系 1. 向量的模和三角函数 在直角坐标系中，一个向量的模可以表示为|a| = √(a₁² + a₂²)。根据直角三角形的性质，我们可以知道，a₁/|a| = cosθ，a₂/|a| = sinθ。其中，θ表示向量a与横轴之间的夹角。 2. 向量的加法与三角函数 设有两个向量a和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。根据向量的 加法性质，a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。 根据向量的模和三角函数的关系，可以得到|a + b| = √((a₁ + b₁)² + (a₂ + b₂)²) = √(a₁² + a₂² + b₁² + b₂² + 2(a₁b₁ + a₂b₂))。 进一步化简，可以得到|a + b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ。 根据三角恒等式2cosθsinφ = sin(θ + φ) + sin(θ - φ)，可以得到 2|a||b|cosθ = |a||b|(sin(θ + φ) + sin(θ - φ))。其中，φ表示向量a和b之间 的夹角。 综上所述，向量的加法可以表示为|a + b| = √(|a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ)。也就是说，向量的模可以通过向量的加法和夹角的三角函数来计算。

三角函数与平面向量

第二部分三角函数与平面向量一、知识框图：

二、基础知识要点剖析： 1、与角α终边相同的角的集合{}Z k k ∈+=,2|απββ; 十六条终边所对应的角能记住吗？集合⎭ ⎬⎫ ⎩ ⎨⎧∈± =Z k k ,3|π πγγ表示怎样的终边的角？区分锐角、小于090的角、090~0的角、钝角、对顶角、区域角、区间角、象限角等。 2、弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||2 2 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈ 3、三角函数的定义（r y x ,,三个量的比值）：r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x x y α。 ㈠任意角的三角函数值在各个象限的符号知道吗？特别是特殊角的三角函数值记准了吗？ ㈡正弦线、余弦线、正切线会画吗？利用它们求三角不等式很简便哦！有印象吗？ ㈢常见三角不等式：（1）若(0, )2x π ∈，则sin tan x x x <<，(2) 若(0,)2 x π ∈，则 1sin cos 2x x <+≤(3) 2cos sin 1,≤+≤∈x x R x 则若. 4、同角三角函数的基本关系式 ：①2 2 sin cos 1θθ+=，②ta n θ= θ θ cos sin ，注意公式变形： 2)cos (sin cos sin 21)1(θθθθ±=±.)4 2sin(22cos 2 sin sin 1π θθ θ θ±=±=± 2s i n 2c o s 1θθ=-， 2 co s 2co s 1θ θ=+ （2）如t =±ααcos sin ,d =ααcos sin ,αtan 之间互相转换懂吗？知一求二： (3)若t =+ααcos sin ，则2 1c o s s i n 2-=t αα；12sin 2 -=t α；2 2cos sin t -±=-αα（4）若t =ααcos sin ，则t 21cos sin +±=+αα；t 21cos sin -±=-αα. 5、诱导公式分两大类：为偶数与奇数）k k (2 απ±。口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．．．．．．．．．．．．． 怎么理解这口诀？（注意：诱导公式中始终视α为锐角和原函数所在象限的符号）。领会互 为 余 角 或 互 补 的 三 角 函 数 的 相 互 转 化 ： 如 απαπαπππαπ απ++++-6 32,-4463与与，与 。 )6 sin()32cos(),4cos()4sin()1(απαπππ+=+-=+x x ， （2）若2 π βα= +，则βαβαsin cos ,cos sin ==。

1.三角函数与平面向量2教师版

三角函数与平面向量2 一、选择、填空题 1、在ΔABC 中,“A>30o”是“sinA>2 1”的 （ B ） (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 2、命题“若α= 4π ，则tan α=1”的逆否命题是（ C ） A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4 π ，则tan α≠1 C. 若tan α≠1，则α≠4π D. 若tan α≠1，则α=4 π 3、设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口 某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系： 经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(?ω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ A ） A ．]24,0[,6 sin 312∈+=t t y π B ．]24,0[),6 sin(312∈++=t t y ππ C ．]24,0[,12 sin 312∈+=t t y π D ．]24,0[),2 12 sin( 312t t y π π + += 4、若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是?180，且53||=，则= （ A ） A ． )6,3(- B ． )6,3(- C ． )3,6(- D ． )3,6(- 5、若向量 a 与b 的夹角为60 ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,则向量a 的模为 （ C ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 6、已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（B ） A ． 6π B ．3π C ．32π D ．6 5π 7、已知,,为非零的平面向量. 甲：, :,a b a c b c ?=?= 乙则 （ B ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8、将函数sin ()y x x x R =+∈的图像向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图像关于 y 轴对称，则m 的最小值是（B ）

高考必备公式、结论、方法、细节二：三角函数与平面向量

□高考必备公式、结论、方法、细节二：三角函数与平面向量 一、必备公式 1．三角函数 (1)同角三角函数 ①平方关系： sin 2 α＋cos 2 α＝1 (又叫 1字替换式)； ②商数关系： sin α cos α ＝tan α (又叫切弦互化式)； (2)和差倍角关系 ①cos(α±β)＝_____ cos αcos βsin αsin β___； ②sin(α±β)＝_____ sin αcos β±cos αsin β____； ③tan(α±β)＝ tan α±tan β 1tan αtan β ； ④sin 2α＝____2sin αcos α__； ⑤cos 2α＝ cos 2α－sin 2α ＝ 1－2sin 2α ＝ 2cos 2α－1 ； ⑥tan 2α＝________2tan α 1－tan 2 α __________； (3)辅助角公式： a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) ，其中， tan φ＝b a ， |φ|＜π 2 ， a ＞0 ． 2．正余弦定理 (1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 为 外接圆半径 ； 注意：正弦定理变式与性质： ①边化正弦：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②正弦化边：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； ③a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ； ④a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝ 2R ； (2)余弦定理：①a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ； ②b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ； ③c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C 注意：变式：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ； ②cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ； ③cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab (3)三角形面积 ：①S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ②S △ABC ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是切圆的半径) 3．平面向量： (1)两点间向量表示：若A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则AB → ＝ (x 2－x 1，y 2－y 1) ； (2)向量运算公式：若a ＝(x 1，y 1)、b ＝(x 2，y 2) ，则： ①a ±b ＝ (x 1±x 2，y 1±y 2) ； ②λa ＝ (λx 1，λy 1) ； ③a·b ＝ |a ||b |cos θ ＝ x 1x 2＋y 1y 2 ； ④|a |＝ a 2 ＝ x 21＋y 2 1 ； ⑤cos 〈a ，b 〉＝ a ·b |a ||b | ＝ x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22 ； ⑥a 在b 方向上的投影为： |a |cos θ ＝ a·b |b| ； (3)平行与垂直定理： ①共线定理：a ∥b ⇔___ a ＝λb ___⇔___ x 1y 2＝x 2y 1 _； ②垂直定理：a ⊥b ⇔___a ·b ＝0___⇔__ x 1x 2＋y 1y 2＝0_. 二、必备结论 1．三角函数符号判断口诀：一正二正弦，三切四余弦 2．诱导公式：①口诀：奇变偶不变，符号看象限； ②原则：负化正、大化小、小化锐； 3．函数y ＝tan x 的定义域是：{x |x ∈R 且x ≠π 2 ＋k π，k ∈Z } 4．形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及性质 (1)图像变换： ①相位变换：y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)的规则是：左加(φ＞0)或右减(φ＜0)| φ|个单位； ②周期变换：y ＝sin (x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)的规则是：纵坐标不变，将横坐标缩小(伸长)为原来的|1 ω |倍； ③振幅变换： y ＝sin (ωx ＋φ) →y ＝A sin(ωx ＋φ) 的规则是：横坐标不变，将纵坐标缩小(伸长)为原来的|A |倍； 注意：y ＝sin ωx→y ＝sin(ωx ＋φ)变换规则是：先提取后者x 的系数ω，然后在左(右)平移|φ ω |个单位； (2)基本性质：①定义域：解三角函数不等式用“数形结合” ②值域：由内向外 ③单调性：同增异减

回归课本专题四三角函数与平面向量

回归课本专题四 三角函数与平面向量 第1 页 回归课本专题四： 三角函数、平面向量 一．三角函数： 1.终边相同(2,k k Z βπα=+∈)；弧长公式：||l R α=， 扇形面积公式：211||22 S lR R α==， 1弧度(1rad)57.3≈ . 例1：（1）θ是第一象限角，试探究：（1）2θ一定不是第几象限角？（2）3 θ 是第几象限角？ (2)当角,αβ满足什么条件时，有sin sin αβ=？cos cos ?αβ= (3)若α为锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线比较：,sin ,tan ααα之间的大小. (4)设O 为坐标原点，111(,)P x y 和222(,)P x y 为单位圆上两点，且12POP θ∠=，求证：1212cos x x y y θ+=. (5).已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积. 2、函数sin(),(0,0)y A x A ω?ω=+>>①五点法作图；②振幅?相位?初相?周期T=ω π 2,频率?③,k k Z ?π=∈时奇函数；,2 k k Z π ?π=+∈时偶函数. 例2（1）函数522y sin x π?? =- ??? 的奇偶性是______； （2）已知函数3 1f (x )ax bsin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______； （3）函数)c o s (s i n c o s 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________； （4） 已知f (x )sin(x )x )θθ=++为偶函数，求θ的值. ④变换: 1 || sin sin()sin()y x y x y x ?ω ?ω?=?????→=+???????→=+横坐标伸缩到原来的倍 左或右平移 1 || sin sin sin()y x y x y x ?ω ω ωω?=???????→=?????→=+横坐标伸缩到原来的倍 左或右平移 ||sin()sin()A b y A x y A x b ω?ω????????→=+?????→=++纵坐标伸缩到原来的倍上或下平移. 例3.把函数sin(2)3 y x π =+ 的图像向右平移 6 π 个单位,所得到的图像的函数的解析表达式为 ,在将图像上的所有点的横坐标变为原来的一半(纵坐标不变),则所得到的图像的函数表达式为 . 3、正弦定理:2sin a R A ==B b sin =C c sin ；内切圆半径2ABC S r a b c ?=++； 余弦定理：222 2cos a b c bc A =+-,bc a c b A 2cos 2 22-+=；111sin sin sin 222S ab C bc A ca B === 例4. 在ABC ?中,已知cos cos ,a b c B c A -=?-?则ABC ?的形状是 . 4、同角基本关系： 例5：已知 11tan tan -=-αα，则α αααcos sin cos 3sin +-＝____；2cos sin sin 2 ++ααα＝_________； 5、诱导公式简记:奇变偶不变．．．．．,．符号看象限．．．．．．(注意：公式中始终视．．．α．为锐角．．．)． 6、重要公式： 两角和与差的三角函数：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=?±?； cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=?? ； tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ±±= ? ； 二倍角公式：sin 22sin cos ααα=?； 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；2 2tan tan 21tan α αα = -； 升、降幂公式：2 1cos 22cos αα+=；2 1cos 22sin αα-=； 例6.(1) 函数25f (x )sin xcos x x = -x R )∈的单调递增区间为___________ ⑵已知ABC ?中，三内角为,,A B C ，满足112,cos cos A C B A C +=+=，求cos 2 A C -的值. 巧变角：如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-， 2()()αβαβα=+--，22 αβαβ++=?，()( ) 222αββ ααβ+=---等， 例6（3）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4 π α+的值是_____； （4）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3 cos()5 αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______ （5）求证：① 1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθ θθθ +-=++； ②sin50(1)1??+?=； （6）已知sin sin(2)m βαβ=+，且(),(),122 k k k Z k Z m ππ αβπα+≠+∈≠ ∈≠. 求证：1tan()tan 1m m αβα++= -. 7 、辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=+(其中tan b a θ=)如： （1）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______； （2）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?= ； 二、平面向量： 8、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量.