三角函数与平面向量
第二部分三角函数与平面向量一、知识框图：
二、基础知识要点剖析：
1、与角α终边相同的角的集合{}Z k k ∈+=,2|απββ; 十六条终边所对应的角能记住吗？集合⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈±
=Z k k ,3|π
πγγ表示怎样的终边的角？区分锐角、小于090的角、090~0的角、钝角、对顶角、区域角、区间角、象限角等。
2、弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||2
2
S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈
3、三角函数的定义（r y x ,,三个量的比值）：r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x x
y
α。
㈠任意角的三角函数值在各个象限的符号知道吗？特别是特殊角的三角函数值记准了吗？ ㈡正弦线、余弦线、正切线会画吗？利用它们求三角不等式很简便哦！有印象吗？ ㈢常见三角不等式：（1）若(0,
)2x π
∈，则sin tan x x x <<，(2) 若(0,)2
x π
∈，则
1sin cos 2x x <+≤(3) 2cos sin 1,≤+≤∈x x R x 则若.
4、同角三角函数的基本关系式 ：①2
2
sin cos 1θθ+=，②ta n θ=
θ
θ
cos sin ，注意公式变形：
2)cos (sin cos sin 21)1(θθθθ±=±.)4
2sin(22cos
2
sin
sin 1π
θθ
θ
θ±=±=±
2s i n 2c o s 1θθ=-， 2
co s 2co s 1θ
θ=+
（2）如t =±ααcos sin ,d =ααcos sin ,αtan 之间互相转换懂吗？知一求二：
(3)若t =+ααcos sin ，则2
1c o s s i n 2-=t αα；12sin 2
-=t α；2
2cos sin t -±=-αα（4）若t =ααcos sin ，则t 21cos sin +±=+αα；t 21cos sin -±=-αα.
5、诱导公式分两大类：为偶数与奇数）k k
(2
απ±。口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．．．．．．．．．．．．．
怎么理解这口诀？（注意：诱导公式中始终视α为锐角和原函数所在象限的符号）。领会互
为
余
角
或
互
补
的
三
角
函
数
的
相
互
转
化
：
如
απαπαπππαπ
απ++++-6
32,-4463与与，与
。
)6
sin()32cos(),4cos()4sin()1(απαπππ+=+-=+x x ， （2）若2
π
βα=
+，则βαβαsin cos ,cos sin ==。
6、三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图用五点法能迅速画出吗？它们的图象与性质熟悉吗？（比如定义域、值域、奇偶性，单调性、周期性、最值、对称轴、对称中心）。能写出它们的单调区间及其取最值时的x 的值的集合吗？同时别忘了k ∈Z 哦；会解简单的三角不等式及三角方程吗？函数值能比较大小呢？重点是如何求限定区间的单调区间，最值，要会区分哦？0<ω时的单调区间又怎样求？
7、会用五点法画正弦型曲线函数B x A x f ++=)sin()(φω（0,0>>A ω）的草图吗？①五点法作图，哪五点？②振幅、相位、初相、周期T=ωπ2、频率f 呢? 当φ=k π时，函数为
奇函数;当φ=k π+
2
π
时为偶函数理解吗？③在对称轴处y 取最值,在对称中心处y 值为0；④余弦型曲线、正切型曲线可类比。
⑤根据函数B x A x f ++=)sin()(φω的部分图象求参数的值会吗？即确定φω,、A 、B 的值。
ω：可由ω
π
2=
T 得到，在图象中，相邻的最大值和最小值间的距离为周期的
2
1
；相邻的最大值或最小值与零点间的距离为周期的
41。φ：可运用ω
φ
-=o x 得到，其中o x 为最大值左侧和原点最近的第一个零点的横坐标。A 、B 、T ：当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()m a x m i n 1
2
y y A =
-，()max min 1
2
y y B =
+，
()21122
x x x x T
=-<．特别是φ的值很容易求错，要小心哦！ 8、函数y=B x A ++)sin(φω（0,0>>A ω）的图象有三种变换(平移、伸缩和振幅)？具体变换步骤还记得吗？（先平移后变换、先变换后平移）φ正左移负右移；B 正上移负下移;
1、)sin()sin(sin 1
|
|Φ+=−−−−−−−→−Φ+=−−
−−→−=Φx y x y x y ωω倍
横坐标伸缩到原来的左或右平移 2、
)sin(sin sin |
|1
Φ+=−−−−→−=−−−−−−−→−=Φ
x y x y x y ωωωω左或右平移倍横坐标伸缩到原来的
B x A y x A y B A +Φ+=−−−−→−Φ+=−−−−−−→−)sin()sin(|
|ωω上或下平移倍纵坐标伸缩到原来的
9、三角公式中的和、差、倍、升降次公式及其逆用、变用都掌握了吗？注意角范围的限定，充分挖掘三角式的隐含条件和条件范围限制，求值时可排除值的多样性。
1、两角和与差：βαβαβαsin sin cos cos )cos(
=±；
βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±
βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+ βαβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
-
二倍角：αααcos sin 22sin = α
α
α2tan 1tan 22tan -=
ααα22sin cos 2cos -=αα2
2sin 211cos 2-=-=
万能公式ααα2tan 1tan 22sin +=；αα
α22tan 1tan 12cos +-=；
α
αα2tan 1tan 22tan -=.会推导吗？
设αtan =x 后表达式又怎样？
2、公式变换技巧：
（1)、降幂公式：α
αααα
α
αα
cos 12
sin 22cos 12sin cos 12
cos 22cos 12cos 2222
-=⇔-=+=⇔+=
，
升幂公式：αα
2cos 22cos 1=+，αα2sin 22cos 1=-
（2）、变形公式：[]βαβαβαtan tan 1)tan(tan tan +=±
若2)tan 1)(tan 1(4
=++⇔=
+B A B A π
,
(3)、“1”的妙用： 2
)c o s (s in c o s s in
21θθθθ±=± ，21cos 22cos θθ+=， 2
1c o s 22s i n θ
θ-= ，θθ2
2sin cos 1+= ,4
tan 1π
=，
2s i n 2c o s 1θθ=-，)4
tan(tan 1tan 1π
ααα+=-+，
10、你对三角变换中的几大变换弄清吗？如角的变换（和角、差角、倍角公式）；函数名的变换（切化弦、弦化切）；次的变换(升、降次公式)；形的变换(统一函数形式)；幂的变换；
常数代换；公式变形等等。在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换： （1）角的变换：
①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4
α的二倍；α3是23α的
二倍；
3α是6α的二倍；απ
22
±是απ±4的二倍。
②2304560304515o o
o
o
o
o
=-=-=；问：=12sin π ；=12
cos π
；
③()()ααββαββ=+-=-+；
)4
(
2
4
απ
π
απ
--=
+；22
αβ
αβ++=⋅
)4
(
)4
(
)()(2απ
απ
βαβαα--+=-++=；
(
)()
2
2
2αβ
β
ααβ+=-
--
等等
（2）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手：
基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。 （3）条件求值：给角求值，给值求值，给值求角三大类。
11、已知三角函数的值求角，会吗？注意：所得的解不一定唯一的，而是有无数多个． 步骤： ①确定角α所在的象限；②如函数值为正，先求出对应的锐角1α；如函数值为负，先求出与其绝对值对应的锐角1α；③根据角α所在的象限，得出π2~0间的角——如果适合已知条件的角在第二限；则它是1απ-；如果在第三或第四象限，则它是1απ+或
12απ-；④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所
有角的集合。如已知=∈-
=θπθθ则),2,0(,3
3
tan _______. 12、辅助角公式：()φ++=
+x b a x b x a sin cos sin 22(其中φ角的值由a
b
=
φtan 确定：a 可看着是横坐标，b 可看着是纵坐标,即看点),(b a 属于第几象限角，加上利用已知三角函
数的值求角的知识点就可求出)。本质上就是熟练逆用两角和、差公式，所以在求有关单调区间、周期、最值、化简类型题目起着关键的作用（若φ角求错，那就全功尽去了；也反复
强调一下a 、b 顺序）。如
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧±=±=±=±=±=±=)6sin(2cos sin 3)3sin(2cos 3sin )4sin(2cos sin πππx x x y x x x y x x x y ；
常用12种式子变形：)4
sin(2cos sin π
+=
+x x x ，
还有：=-θθcos sin ________, =+-θθcos sin ______, =--θθcos sin ________.
)3sin(2cos 3sin π
θθθ+=+,=-θθcos 3sin ______,=+-θθcos 3sin ______,
=--θθcos 3sin ________,=+θθcos sin 3________.=-θθcos sin 3_________。
13、 正弦定理、余弦定理的各种表达形式你记得吗？会解斜三角形吗？如何实现边角转化？
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===
C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===⇒，其它变形呢？ ⇒-+=A bc c b a cos 2222___________________________________，其它呢？ ⇒-+=bc
a c
b A 2cos 2
22___________________________________，其它呢 ？
111
222a b c S ah bh ch =
==（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）。 r c b a R abc A bc B ac C ab S )(2
14sin 21sin 21sin 21++=====∆，其中R ，r 分别ABC
∆的外接圆和内切圆的半径。
在三角形中的有关问题：π=++C B A ；C B A -=+π；2
22C
B A -=+π 结论：
C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+,,2cos 2sin C B A =+2
sin 2cos C
B A =+； 射影定理：cos cos a b
C c B =+.
14、向量的基本有关概念：有向线段、单位向量、相反向量、相等向量、平行向量（共线向量）、零向量，向量的模等概念理解吗？
15、熟悉向量的运算（代数：加、减、数乘与几何运算：平行四边形、三角形法则）及运算律；注意向量没有除法运算哦；向量的几何运算利用图形和设基底并向基底转化以便方向
明确，不然没头绪的，同时三角形的中点公式和重心公式的应用。
16、共线向量定理：㈠向量式),0(//R a a b a ∈≠⇔λλ；CD AB CD AB λ=⇔//；P 在线段AB 上或P B A ,,三点共线PB AP λ=⇔；
㈡坐标式0//),,(),,(12212211=-⇔==y x y x b a y x b y x a 则。
㈢推论式：平面上三点A 、B 、C 共线的充要条件是存在实数对βα、， 使得βα+=，其中1=+βα，O 为平面内的任一点。（以上证明三点共线的依据）。 特别地，如果)(2
1
AC AB AD BC ABC AD +=
∆上的中线，则边是 17、两个非零向量垂直的充要条件：向量式0=⋅⇔⊥b a b a
坐标式0),,(),,(21212211=+⇔⊥==y y x x b a y x b y x a 则（类似两根之积哦）
18、平面向量基本定理：若向量→
1e 和→
2e 是平面一组基底,则该平面任一向量
→
→→
+=2211e e a λλ(21,λλ唯一)； 特别：OP ＝12OA OB λλ+则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线
的充要条件。
19、平面向量的数量积：（1）定义:若b a ,→
是两个非零向量，它们的夹角为θ，
θcos 叫做b a 与向量→的数量积（或内积），记作b a ⋅→
，即)1800(cos 00≤≤=⋅θθ。 数量积b a ⋅→
的几何意义：b a ⋅→
等于→
a 的长度与
b 在→
a 的方向上的投影的乘积；领会向量
b 在
方向上的投影为=
θcos 。（2）性质：设b a ,→是两个非零向量，→
e 是单位向量，于
是有①为（e θθcos =⋅=⋅→
，②当00=θ时，b a =⋅，当)90,0(00∈θ时0>⋅b a ，当090=θ时0=⋅b a ，当)180,90(00∈θ时0<⋅b a ，当0180=θ
时，b a =⋅③规定：00=⋅a （区分00=⋅a ）；，
④夹角=
θ
cos
≤。
⑥)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅对吗？⑶结论
：=四边形的形状是什么？
0)()(=-⋅+（思考：其几何含义）呢。
20、在直角坐标系内，分别取 的两个单位自量j i ,作基底，则对任一向量a 有且只有一对实数y x ,，使j y i x a +=，就把),(y x 叫做向量a 的(直角)坐标，记作 ；注意：①x 叫做a 在x 轴上的横坐标，y 叫做a 在y 轴上的纵坐标。 ②)0,1(=i ；)1,0(=j ；)0,0(0=；
⑴设),,(),,(2211y x y x ==2121y y x x +=⋅则。
向量的模2
121||y x +==
2212212121)()(),(y y x x y y x x -+-=--=
两点间的距离公式：设),(),,(),,(),,(22112211y x OB y x OA y x B y x A ==则
=--=-=y y x x ,(1212________.
⑵两向量的夹角公式：=
θ
cos ＝
22
22
21
21
2121y
x y x y y x x +⋅++，
21、三角形的重心坐标公式 ：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、
33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123
(
,)33
x x x y y y G ++++. 22、三角形的四“心”向量形式的充要条件
⑴设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 ①O 为ABC ∆的外心（中垂线）2
2
2
OA OB OC ⇔==. ②O 为ABC ∆的重心（中线）0OA OB OC ⇔++=. ③O 为ABC ∆的垂心（高）OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. ④O 为ABC ∆的内心（角平分线）0aOA bOB cOC ⇔++=. （2）、在ABC ∆中， 1()3
PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心，
特别地0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心；
（3）、P AP B P BP C P CP A P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；
(4)、向量()(0)||||
AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直
线)；||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心。 23.“按向量平移”的几个结论：
（1）点(,)P x y 按向量),(k h a =平移后得到点'
(,)P x h y k ++.
(2) 函数()y f x =的图象C 按向量),(k h a =平移后得到图象'
C ,则'
C 的函数解析式
为()y f x h k =-+.
(3) 图象'
C 按向量),(k h =平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'
C 的函数解析式为()y f x h k =+-.
(4)曲线C :(,)0f x y =按向量),(k h a =平移后得到图象'C ,则'
C 的方程为
(,)0f x h y k --=.
(5) 向量),(y x m =按向量),(k h a =平移后得到的向量仍然为),(y x m =.
24、向量是数学中的一种重要运算的工具，它应用广泛，特别与三角函数（b a x f ⋅=)(）、平面解析几何（b a b a ⊥,//)有着紧密的联系。 三、典型例题分析： 例1．已知2tan =
θ，求（1）
θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2
2cos 2cos sin sin +⋅-的值.
解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-
+
=++θθθ
θθθθθθθ；（齐次式）
(2) θ
+θθ
+θθ-θ=θ+θθ-θ22222
2
cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin (“1”的代换和齐次式）
3
24122221tan 2tan tan 1cos sin 2cos sin cos sin 222222-=++-=++-=++-=θθθθ
θθθ
θθ. 说明：利用θθcos ,sin 的齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），分
子、分母同时除于θθ2
cos cos 或来进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
例2：(1)、已知的值。求且απαααtan ,0,5
1
cos sin <<-=+ （2）、已知πθθθ<<-
=0,16960
cos sin 且，求θθcos sin -的值。 025
24
cos sin 2,251)cos (sin 51cos sin )1(2<-==+⇒-=+αααααα得、由解：
.0cos ,0sin ,),0(<∴>∈ααπα时又
5
7
25241cos sin 21)cos (sin cos sin 2=+
=-=-=-∴αααααα ,54
cos 53sin 57cos sin 51cos sin ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=--=+∴αααααα 43c o s s in t a n -==∴ααα
(2)、0cos ,0sin 2
0,16960cos sin <>⇒<<⇒<<-
=θθπθπ
πθθθ且 又1cos sin ,1312135169602
2=+⋅-=-θθ且⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-==⇒135
cos 1312sin 1312cos 135sin θθθθ或 13
17
cos sin =
-∴θθ。 说明：掌握t =±ααcos sin ,t =ααcos sin ,αtan ，α2sin 之间的关系以及互相转换。 例3.（1）、求函数2
()2cos 2sin 4cos .f x x x x =+-的最大值和最小值. (2)
、求函数2
π()2sin 24f x x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值．
(3)、求函数2
cos sin -=
x x
y 的值域。
（4)、求函数2
1sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。 （5）、求函数x x y 2
cos sin =的最大值。
(6)、求函数)0(sin 4
sin π<<+
=x x
x y 的最小值。 解：（1）2
2
()2(2cos 1)(1cos )4cos f x x x x =-+--
=2
3cos 4cos 1x x --=2
27
3(cos )3
3
x --，x ∈R 因为cos x ∈[1,1]-，
所以，当cos 1x =-时，()f x 取最大值6；当2
cos 3
x =时，()f x 取最小值73-。
（2）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤
⎛⎫=-+=+
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
∵ π12sin 23x ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭．
又ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π
2633x -∴
≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
≤≤，
max min ()3()2f x f x ==，∴．
(4)、设sin cos )[4
π
t x x x =+=
+∈，则原函数可化为
2213
1()24
y t t t =++=++，因为[t ∈，所以当t =时，max 3y =，
当12t =-时，min 34y =，所以，函数的值域为3
[34
y ∈+，
。 说明：三角函数最值问题主要有以下几种类型：1、可将函数式子化为B
x A y ++=)sin(φω的形式。2、可转化为求二次函数c bt at y ++=2
在闭区间[]1,1-上的最值问题，3、可转
化为均值不等式求解的最值问题。4、单调性法。 例4、把下列式子化为B x A x f ++=)sin()(φω的形式：
（1）x x y 2cos 2sin 3+= （2）)sin (cos cos 2x x x y += （3）x x x x y 2
2
cos 3cos sin 2sin ++= （4）18
cos 2)64sin(
)(2+--=x
x x f ππ
π
例5、已知函数2
()22sin f x x x =-.
（Ⅰ）若点(1,P 在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63
x ππ
∈-
，求()f x 的值域.
解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，
所以sin 2
α=，1cos 2α=， ………………2分
所以22
()22sin cos 2sin f αααααα=-=- ……4分
21(2(32=⨯-⨯=-. ………5分
（Ⅱ）2
()22sin f x x x =-cos 21x x =
+- ………6分
2sin(2)16
x π
=+-， ……………8分
因为[,]63x ππ∈-，所以65626π
ππ≤+≤-x ，（有学生易混）………10分
所以1sin(2)126
x π
-≤+≤， ……………11分
所以()f x 的值域是[2,1]-. ……………12分
例6、已知向量)0)(1,(sin ),2cos ,cos 2(>==ωωωω其中x b x x a 。 令b a x f ⋅=)(，且)(x f 的最小周期为π。
（1）求)4
(π
f 的值；（2）当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
∈2,2ππx ，求)(x f 的单调递增区间。 （3）该函数4
5
)(42+=x f y 的图像可由)(sin R x x y ∈=的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：（1）x x x b a x f ωωω2cos sin cos 2)(+=⋅=
)4
2s in (22c o s 2s in π
ωωω+=+=x x x
)4
2sin(2)(.1)(π
ωπ+=∴=∴x x f x f ，的最小正周期为
1)4
42s in (2)4(=+⨯=∴π
ππf
（2）)4
2sin(2)(π
+=
x x f
),(22
4
222
Z k k x k ∈+≤
+
≤+-∴ππ
π
ππ
当
单调递增，时，即)()(8
83x f k k x k πππ
ππ∈+≤≤+-
⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈8,832,2)(,2,2ππππππ，上的单调递增区间为在x f x 。
（3）4
5)42sin(2145)(42++=+=
πx x f y 将函数)(sin R x x y ∈=依次进行如下变换：
（i ）把函数x y sin =的图像向左平移
4π，得到函数)4
sin(π
+=x y 的图像； （ii ）把得到函数)4
sin(π
+=x y 的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得
到函数)4
2sin(π
+=x y 的图像；
（iii ）把得到函数)4
2sin(π
+=x y 的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），
得到函数)4
2sin(21π
+=x y 的图像；
（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数4
5
)42sin(21++=πx y 的图像。
综上得到4
5
)42sin(21++=πx y 的图像。
例7．已知函数.,2)cos (sin sin 4)(R x x x x x f ∈-+=
（1）求函数)(x f 的最小正周期。 （2）求函数)(x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,
0π上的最大值及此时x 的集合； （3）证明：函数)(x f 的图像关于直线8
π
x =-对称。 解：.2)cos (sin sin 4)(-+=x x x x f
)sin 21(22sin 222sin 2sin 42
2
x x x x --=-+=
)4
2sin(222cos 22sin 2π
-=-=x x x
(1),2
22ππ
ω
π
==
=
T 所以)(x f 的最小正周期π=T 。 （2）⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈2,
0πx ，[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈-⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-⇒∈∴1,22)42sin(43,442,02πππππx x x ， 所以，当2
42π
π
=
-
x ，即83π
=
x 时，)(x f 最大值为22； (3)、证明：欲证明函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称，只要证明对任意x R ∈，
有()()88ππ
f x f x --=-+成立，
因为())]2)28842ππππ
f x x x x --=---=--=-，
())]2)28842
ππππ
f x x x x -+=-+-=-+=-，
所以()()88
ππ
f x f x --=-+成立，从而函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称。
例8、函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A ωφωφπ
=+>><部分图象如图所示．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2
x π
∈上的最大值和最小值．
解：（Ⅰ）由图可得1A =，22362T πππ=-=， 所以T =π． 故2ω=． ……2分
当6x π=时，()1f x =，可得 sin(2)16ϕπ
⋅+=， 因为||2ϕπ<，所以6
ϕπ=． ……5分
所以()f x 的解析式为()sin(2)6
f x x π
=+． ………6分 （Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 26
g x f x x x x π
=-=+-
sin 2cos
cos 2sin cos 266
x x x ππ
=+-
1
2cos 222
x x =- sin(2)6x π=-． ……10分
因为02x π≤≤，所以52666
x πππ
-≤-≤．
当262
x ππ
-=，即3x π=时，()g x 有最大值，最大值为1；
当266
x ππ
-=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为12-．……12分
例9
、已知πsin()410
A +=，ππ(,)42A ∈．
（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5
()cos 2sin sin 2
f x x A x =+的值域．
解：（Ⅰ）因为ππ42A <<
，且πsin()410A +=，