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2013年高考数学全国卷I(含答案)

2013年高考数学（全国卷I ）满分150分，时间：120分钟

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为（）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

2．＝（）

A ．－8

B ．8

C ．－8i

D ．8i 3．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝（）

A ．－4

B ．－3

C ．－2

D ．－1 4．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为（）

A ．(－1,1)

B ．

C ．(－1,0)

D ．

5．函数f (x )＝(x ＞0)的反函数f －1

(x )＝

（） A ．(x ＞0) B ．(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x －1(x ＞0)

6．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝，则{a n }的前10项和等于（） A ．－6(1－3－10) B ．(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)

7．(1＋x )8

(1＋y )4

的展开式中x 2y 2

的系数是（）

A ．56

B ．84

C ．112

D ．168

8．椭圆C ：的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )．

A ．

B ．

C ．

D ．

9．若函数f (x )＝x 2

＋ax ＋

在是增函数，则a 的取值范围是（） A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3] D ．[3，＋∞)

10．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于（）

11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭1,12⎛⎫

⎪

⎝⎭21log 1x ⎛

⎫+

⎪⎝⎭

121x -121x

-4

2=143

x y

13,24⎡⎤⎢⎥⎣

⎦33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 1,2⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

A ．

B ．

C ．

D ．

11．已知抛物线C ：y 2

＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若，

则k ＝（）

A ．

B ． C

D ．2

12．已知函数f (x )＝

cos x sin 2x ，下列结论中错误的是（）

A ．y ＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称

B ．y ＝f(x)的图像关于直线

对称

C ．f(x)的最大值为

D ．f(x)既是奇函数，又是周期函数

二、填空题：本大题共4小题，每小题

5分． 13．已知α是第三象限角，sin α＝，则cot α＝__________. 14．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)

15．记不等式组所表示的平面区域为D .若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是

__________．

16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17． (本小题满分10分)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．

18． (本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac .

(1)求B ；(2)若sin A sin C ，求C

23331

30MA MB ⋅=1

2π

2x 1

0,34,34x x y x y ≥⎧⎪

+≥⎨⎪+≤⎩

19． (本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形．

(1)证明：PB ⊥CD ； (2)求二面角A －PD －C 的大小．

20．（本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．

(1)求第4局甲当裁判的概率；

(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望．

21．(本小题满分12分)已知双曲线C ：(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，

直线y ＝2与C

. (1)求a ，b ；

(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|

AB |，|BF 2|成等比数列．

22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝.

(1)若x ≥0时，f (x )≤0，求λ的最小值； (2)设数列{a n }的通项，证明：a 2n －a n ＋＞ln 2.

22=1x y a b

-1ln(1+)1x x x x

λ(+)

-+111=1+

n a n

+++

14n

2013年高考数学（全国卷I ）答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B

解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B. 2．答案：A

解析：.故选A.

3．答案：B

解析：由(m ＋n )⊥(m －n )?|m |2

－|n |2

＝0?(λ＋1)2

＋1－[(λ＋2)2

＋4]＝0?λ＝－3.故选B. 4．答案：B

解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜.故选B. 5．答案：A

解析：由题意知＝2y

?x ＝(y ＞0)，因此f －1

(x )＝(x ＞0)．故选A. 6．答案：C

解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝.∴数列{a n }是以为公比的等比数列．∵a 2＝，∴a 1＝4. ∴S 10＝＝3(1－3－10

)．故选C.

7．答案：D

解析：因为(1＋x )8

的展开式中x 2

的系数为，(1＋y )4

的展开式中y 2

的系数为，所以x 2y 2

的系数为

.故选D.

323

=13=8-1

-11+

x 121

y -1

x -13n a -13-

-101413113

⎡⎤

⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+28C 2

4C 2284C C 168=

8．

答案：B

解析：设P点坐标为(x0，y0)，则，

，，于是.

故.

∵∈[－2，－1]，

∴.故选B.

9．

答案：D

解析：由条件知f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即在上恒成立．∵函数在上为减函数，∴.∴a≥3.故选D.

10．

答案：A

解析：如下图，连结AC交BD于点O，连结C1O，过C作CH⊥C1O于点H.

∵

CH⊥平面C1BD，

∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角．

设AA1＝2AB＝2，则，

00=1

x y

-1

+12

222

244

PA PA

k k

x x

⋅===-

＝－

⎡⎤

∈⎢⎥

⎣⎦

⎛⎫

+∞

⎪

⎝⎭2

a x

≥-

⎛⎫

+∞

⎪

⎝⎭2

y x

⎛⎫

+∞

⎪

⎝⎭max2

<23

y-⨯=

⎛⎫

⎪

⎝⎭

BD AC

BD AA

AC AA A

⊥⎫

⎪

⊥⎬

⎪

=⎭

BD ACC A

CH ACC A

⊥⎫

⎬

⊂⎭

平面

CH BD

CH C O

BD C O O

⊥⎫

⎪

⊥⎬

⎪

⎭

C O=

由等面积法，得C 1O ·CH ＝OC ·CC 1，即， ∴. ∴sin ∠HDC ＝.故选A.

11．答案：D

解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2

＝8x ，得k 2x 2

－4(k 2

＋2)x ＋4k 2

＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝4.①

由

∵，

∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D. 12．答案：C

解析：由题意知f (x )＝2cos 2

x ·sin x ＝2(1－sin 2

x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则g (t )＝2(1－t 2

)t ＝2t －2t 3. 令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得. 当t ＝±1时，函数值为0；当时，函数值为；

当时，函数值为. ∴g (t )max

， 222

CH ⋅⋅2

CH 22

3==13

HC DC 22

42k k (+)

1122

22y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩0MA MB ⋅==t ±

t =-

9-3t =

即f (x )的最大值为.故选C.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：

解析：由题意知cos α＝. 故cot α＝

14．答案：480

解析：先排除甲、乙外的4人，方法有种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有种排法，

因此甲、乙不相邻的不同排法有(种)．

15．答案：

解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示． ∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知，k AC

＝4，

∴要使直线y ＝a (x ＋

1)与平面区域D 有公共点，

则

≤a ≤4. 16．答案：16π

解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，

则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°. 又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OE ＝

. 又OK ⊥EK ，∴＝OE ·sin 60°＝∴R ＝2.

∴S ＝4πR 2

＝16π.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：设{a n }的公差为d .

由S 3＝得3a 2＝，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得＝S 1S 4.

==-cos sin α

4A 2

5A 42

45A A 480⋅=1

,42

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

BC k =

R 3

22R ⋅2

2a 2

又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2

＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．

若a 2＝0，则d 2

＝－2d 2

，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2

＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1. 18．

解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2

＋c 2

－b 2

＝－ac .

由余弦定理得cos B ＝

，因此B ＝120°.

(2)由(1)知A ＋C ＝60°，

所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin

C ＝，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°. 19．

(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O . 连结OA ，OB ，OD ，OE .

由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .

因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .

(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ，故CD ⊥平面PBD .

又PD 平面PBD ，所以CD ⊥PD . 取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ，则FG ∥CD ，FG ⊥PD .

连结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD . 所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角．连结AG ，EG ，则EG ∥PB . 又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .

2221

a c

b a

c +-=

-1

+22=

⊂

设AB ＝2，则AE ＝，EG ＝＝1，故AG

＝3.

在△AFG 中，FG ＝

，，AG

＝3，所以cos ∠AFG ＝

因此二面角A －PD －C 的大小为

解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．

以O

为坐标原点，的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz . 设||＝2，则

A (，0,0)，D (0，

，0)，C (，

，0)，P (0,0．

＝(，，

)，＝(0，

，)．

＝，0)，＝，，0)．

设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·＝(x ，y

，z )·(，

，)＝0

，

n 1·＝(x ，

y ，z )·(0，，

)＝0，

可得2x

－y －z ＝0

，y ＋z ＝0.

取y

＝－1，得x ＝0，z ＝1，故n 1＝(0，－1,1)．

设平面PAD 的法向量为

n 2＝(m ，p ，q )

，则n 2·＝(m ，p ，q ，0)＝0，n 2·＝(m ，p ，

q ，，0)＝0，可得m ＋q ＝0，m －p ＝0.

取m ＝1，得p ＝1，q ＝－1，故n 2＝(1,1，－1)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝

由于〈n 1，n 2〉等于二面角A －PD －C 的平面角，所以二面角A －PD －C 的大小为. 20．

解：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，

A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”．

则A ＝A 1·A 2.

P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝

. 1

PB 1

CD =AF =22223

FG AF AG FG AF +-=-⨯⨯π-OE AB -PC 2-PD AP AD 2PC 22-PD AP AD 1212||||3

=-·n n n n πarccos 3

-14

(2)X 的可能取值为0,1,2.

记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)·P (A 3)＝，P (X ＝2)＝P (·B 3)＝P ()P (B 3)＝，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝，EX ＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝.

21．

(1)解：由题设知＝3，即＝9，故b 2＝8a 2

. 所以C 的方程为8x 2

－y 2

＝8a 2

. 将y ＝2代入上式，求得. 由题设知，

a 2＝1. 所以a ＝1，

b ＝.

(2)证明：由(1)知，F 1(－

3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2

－y 2

＝8.①

由题意可设l 的方程为y ＝k (x －

3)，(k 2

－8)x 2

－6k 2

＋9k 2

＋8＝0.

设A (x 1，y 1)，B

(x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，

x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝.

于是|AF 1|＝－(3x 1＋1)， |BF 1| 3x 2＋1.

由

|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝

3x 2＋1，即x 1＋x 2＝. 故，解得k 2＝，从而x 1·x 2＝. 由于|AF 2| ＝1－3x 1，

181B 1B 1

1151848

--=9

8c a 222

a b a

+x ==k 2268k k -2298

k k +-23

k k =--45199-

11 |BF 2|

3x 2－1，

故|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4，|AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16. 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB |2

，所以|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列． 22．

(1)解：由已知f (0)＝0，f ′(x )＝，f ′(0)＝0. 若，则当0＜x ＜2(1－2λ)时，f ′(x )＞0，所以f (x )＞0. 若，则当x ＞0时，f ′(x )＜0，所以当x ＞0时，f (x )＜0. 综上，λ的最小值是.

(2)证明：令.由(1)知，当x ＞0时，f (x )＜0，

即．

取，则.

于是

＝

＝ln 2n －ln n ＝ln 2.

所以.

2121x x x λλ(-)-(+)1

2λ<1

2λ≥1

2λ=2ln(1)22x x x x (+)

>++1x k =211

>ln 21k k

k k k ++(+)21

2111 422(1)n n n k n a a n k k -=⎡⎤

-+=+⎢⎥+⎣⎦∑21

21211

ln 21n n k n k n k k k k k

--==++>(+)∑∑21

ln 24n n a a n -+>

2013年高考数学新课标全国卷Ⅰ试题及答案

绝密★启封 2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1} （2）错误！未找到引用源。 = ( ) （A）-1 - 错误！未找到引用源。 i （B）-1 + 错误！未找到引用源。 i （C）1 + 错误！未找到引用源。 i （D）1 - 错误！未找到引用源。 i （3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）错误！未找到引用源。（B）错误！未找到引用源。（C）错误！未找到引用源。（D）错误！未找到引用源。（4）已知双曲线C：错误！未找到引用源。 = 1（a>0,b>0）的离心率为错误！未找到引用源。，则C的渐近线方程为（）（A）y=±错误！未找到引用源。x （B）y=±错误！未找到引用源。x （C）y=±错误！未找到引用源。x （D）y=±x （5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q （6）设首项为1，公比为错误！未找到引用源。的等比数列｛a n ｝的前n项和为S n ，则（）（A）S n =2a n -1 （B）S n =3a n -2 （C）S n =4-3a n （D）S n =3-2a n

2013年高考理科数学全国新课标卷1(附答案)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国卷I新课标) 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x| x ，则()． A．A∩B ＝B．A∪B＝R C．B?A D．A?B 2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()． A．－4 B． 4 5 -C．4 D． 4 5 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()． A．简单随机抽样B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样D．系统抽样 4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C： 22 22 =1 x y a b -(a＞0，b＞0) C的渐近线方程为()． A．y＝ 1 4 x ±B．y＝ 1 3 x ± C．y＝ 1 2 x ±D．y＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于()． A．[－3,4] B．[－5,2] C．[－4,3] D．[－2,5] 6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()． A． 500π 3 cm3B． 866π 3 cm3 7．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m＝()．A．3 B．4 C．5 D．6 8．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()． A．16＋8πB．8＋8π C．16＋16πD．8＋16π 9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝()． A．5 B．6 C．7 D．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E： 22 22 =1 x y a b +(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()． A． 22 =1 4536 x y +B． 22 =1 3627 x y + C． 22 =1 2718 x y +D． 22 =1 189 x y + 11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)＝ 220 ln(1)0. x x x x x ?-+≤ ? +> ? ，，，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()．A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] 12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n＝1,2,3，….若b1＞ c1，b1＋c1＝2a1，a n＋1＝a n，b n＋1＝ 2 n n c a + ，c n＋1＝ 2 n n b a + ，则()． A．{S n}为递减数列

2013年高考数学全国卷1答案与解析

2013年理科数学全国卷Ⅰ答案与解析一、选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合{} {2|20,|A x x x B x x =->=<，则 ( ) A.A∩B=? B.A ∪B=R C.B ?A D.A ?B 考点：集合的运算解析：A=(-,0)∪(2,+ ), ∴A ∪B=R. 答案：B 2.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D . 45 考点：复数的运算解析：由题知== = ，故z 的虚部为 . 答案：D 3.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样考点：抽样的方法解析：因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样. 答案：C 4.已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为 A. B. C.1 2 y x =± D. 考点：双曲线的性质

解析：由题知，，即==，∴=，∴=，∴的渐近线方程为. 答案：C 5.运行如下程序框图，如果输入的，则输出s 属于 A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]- 考点：程序框图解析：有题意知，当时，，当时，， ∴输出s 属于[-3,4]. 答案：A 6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A . 3 5003 cm π B . 38663cm π C. 313723cm π D. 3 20483 cm π 考点：球的体积的求法解析：设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则，解得R=5，∴球的体积为 35003 cm π = . 答案：A 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( ) A .3 B .4 C.5 D.6 考点：等差数列

2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置．参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 n x x x x x x s n 2 2221)()()(-++-+-= 其中x 为样本平均数球的面积公式 24R S π= 第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数 i i ++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ． 23 B ．2 1 C ．3 D ．1 2.已知R 是实数集，{} 11,12+-==? ?? ???<=x y y N x x M ，则=M C N R A ．)2,1( B ．[]2,0 C .? D ．[]2,1 3.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0 852=-a a ，则 =2 4 S S A ．5 B ．8 C ．8- D ．15 5.已知函数)6 2sin()(π -=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，则a 的值是

2013年高考全国数学卷一理科试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试【全国卷一】数学【理工类】参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R p = 如果事件相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ? 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343 V R p = 在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 第一部分【选择题共60分】注意事项： 1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上. 2、本部分共12小题，每小题5分，共60分. 一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、 7(1)x +的展开式中2x 的系数是【】 A 、 42 B 、35 C 、28 D 、21 2、复数 2 (1)2i i -=【】 A 、 1 B 、1- C 、i D 、i -

3、函数 29 ,3()3 ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪ =-⎨⎪-≥⎩ 在3x =处的极限是【】 A 、不存在 B 、等于6 C 、等于3 D 、等于0 4、如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=【】 A B C D 5、函数 1 (0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是【】 6、下列命题正确的是【】 A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

2013年高考数学全国卷I(含答案)

2013年高考数学（全国卷I ）满分150分，时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．＝（） A ．－8 B ．8 C ．－8i D ．8i 3．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝（） A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 4．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为（） A ．(－1,1) B ． C ．(－1,0) D ． 5．函数f (x )＝(x ＞0)的反函数f －1 (x )＝（） A ．(x ＞0) B ．(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x －1(x ＞0) 6．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝，则{a n }的前10项和等于（） A ．－6(1－3－10) B ．(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10) 7．(1＋x )8 (1＋y )4 的展开式中x 2y 2 的系数是（） A ．56 B ．84 C ．112 D ．168 8．椭圆C ：的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )． A ． B ． C ． D ． 9．若函数f (x )＝x 2 ＋ax ＋在是增函数，则a 的取值范围是（） A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3] D ．[3，＋∞) 10．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于（） 3 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪ ⎝⎭21log 1x ⎛ ⎫+ ⎪⎝⎭ 121x -121x -4 3 - 1 92 2=143 x y + 13,24⎡⎤⎢⎥⎣ ⎦33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 1,2⎛⎫ +∞ ⎪⎝⎭

2013年全国1卷高考理科数学试卷及答案(精校word详细解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试全国课标Ⅰ理科数学一、选择题：共12小题.每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项. 1.已知集合{ } {2 |20,|A x x x B x x =->=<<，则 ( ) A.A∩B=? B.A ∪B=R C.B ?A D.A ?B 2.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为 ( ) A .4- B .4 5 - C .4 D . 45 3.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 4.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>C 的渐近线方程为 A.14y x =± B.1 3 y x =± C.12y x =± D.y x =± 5.运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于 A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]- 6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A . 35003cm π B . 38663cm π C. 313723cm π D. 320483 cm π 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则 m = ( ) A .3 B .4 C.5 D.6 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 9.设m 为正整数，2() m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，

2013年高考理科数学全国新课标卷1(附答案)

2013年全国卷Ⅰ高考数学试题及答案 (理科)

2013年全国卷Ⅰ高考数学试题及答案 (理科) 一、选择题 1．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝x }－5＜x ＜5，则( ) A ．A ∩B ＝? B ．A ∪B ＝ C ．B ?A D ．A ?B 1．B [解析] A ＝{x |x <0或x >2}，故A ∪B ＝ 2．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D.4 5 2．D [解析] z ＝|4＋3i|3－4i ＝53－4i ＝5（3＋4i ）25＝35＋45i ，故z 的虚部是4 5. 3．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样 D ．系统抽样 3．C [解析] 因为总体中所要调查的因素受学段影响较大，而受性别影响不大，故按学段分层抽样． 4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5 2，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±1 3x C ．y ＝±1 2 x D ．y ＝±x 4．C [解析] 离心率c a ＝52，所以b a ＝ c 2－a 2 a 2 ＝????c a 2 －1＝12 .由双曲线方程知焦点在x 轴上，故渐近线方程为y ＝±1 2 x . 图1－1 5．执行如图1－1所示的程序框图，如果输入的t ∈[－1，3]，则输出的s 属于( ) A ．[－3，4] B ．[－5，2]

2013年全国卷Ⅰ高考数学试题及答案 (文科)

2013年全国卷Ⅰ高考数学试题及答案 (文科) 一、选择题 1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x|x ＝n 2，n ∈A}，则A ∩B ＝( ) A ．{1，4} B ．{2，3} C ．{9，16} D ．{1，2} 1．A [解析] 集合B ＝{1，4，9，16}，所以A ∩B ＝{1，4}． 2． 1＋2i （1－i ）2 ＝( ) A ．－1－12i B ．－1＋1 2i C ．1＋12i D ．1－1 2 i 2．B [解析] 1＋2i （1－i ）2＝1＋2i －2i ＝－1＋1 2i. 3．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.16 3．B [解析] 基本事件是(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个，其中两数之差的绝对值为2的基本事件是(1，3)，(2，4)，共2个，根据古典概型公式得所求的概率是26＝1 3 . 4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5 2 ，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±1 3x C ．y ＝±1 2 x D ．y ＝±x 4．C [解析] 52＝c a ＝1＋????b a 2，所以b a ＝12，故所求的双曲线渐近线方程是y ＝±12 x. 5．已知命题p ：x ∈，2x ＜3x ；命题q ：x ∈，x 3＝1－x 2 ，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．?p ∧q C ．p ∧?q D ．?p ∧?q 5．B [解析] 命题p 假、命题q 真，所以?p ∧q 为真命题． 6．设首项为1，公比为2 3 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( ) A ．S n ＝2a n －1 B ．S n ＝3a n －2 C ．S n ＝4－3a n D ．S n ＝3－2a n 6．D [解析] a n ＝????23n －1 ，S n ＝1－（23）n 1－ 23 ＝3(1－23a n )＝3－2a n .

2013年高考全国数学卷一理科试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷一】数学（理工类】参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R p = 如果事件相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ? 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343 V R p = 在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 第一部分（选择题共60分】注意事项： 1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。 2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、7(1)x +的展开式中2x 的系数是（】 A 、 42 B 、35 C 、28 D 、21 2、复数2 (1)2i i -=（】 A 、1 B 、1- C 、i D 、i -

3、函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ?-≠的图象可能是（】 6、下列命题正确的是（】 A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

2013年高考全国数学卷一理科试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷一】数学（理工类】参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R p = 如果事件相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ? 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343 V R p = 在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 第一部分（选择题共60分】注意事项： 1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。 2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、 7(1)x +的展开式中2x 的系数是（】 A 、 42 B 、35 C 、28 D 、21 2、复数 2 (1)2i i -=（】 A 、 1 B 、1- C 、i D 、i -

3、函数 29 ,3()3 ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪ =-⎨⎪-≥⎩ 在3x =处的极限是（】 A 、不存在 B 、等于6 C 、等于3 D 、等于0 4、如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（】 A B C D 5、函数 1 (0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是（】 6、下列命题正确的是（】 A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

2013年高考理科数学全国卷1(含详细答案)

数学试卷第1页（共48页）数学试卷第2页（共48页）数学试卷第3页（共48页）绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1) 理科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合20{}|2A x x x =->,{|55}B x x <<=-,则 ( ) A .A B =R B .A B =∅ C .B A ⊆ D .A B ⊆ 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D .45 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C .按学段分层抽样 D .系统抽样 4.已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为5,则C 的渐近线方程为 ( ) A .1 4y x =± B .1 3y x =± C .1 2 y x =± D .y x =± 5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( ) A .[3,4]- B .[5,2]- C .[4,3]- D .[2,5]- 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( ) A .3866π cm 3 B . 3500π cm 3 C .31372πcm 3 D .32048πcm 3 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m = ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若 137a b =,则m = ( ) A .5 B .6 C .7 D .8 10.已知椭圆E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点. 若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( ) A .22 14536 x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22 1189 x y += 11.已知函数22,0, ()ln(1),0.x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩ ≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( ) A .(,1]-∞ B .(,0]-∞ C .[2,1]- D .[2,0]- 12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3, n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++= ,12 n n n b a c ++=,则 ( ) A .{}n S 为递增数列 B .{}n S 为递减数列 C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列 D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________. 14.若数列{}n a 的前n 项和21 33 n n S a = +,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）如图,在ABC △中,90ABC ∠=,3AB =,1BC =,P 为ABC △内一点,90BPC ∠=. （Ⅰ）若1 2 PB = ,求PA ；（Ⅱ）若150APB ∠=,求tan PBA ∠. --------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效-------- -------- 姓名________________ 准考证号_____________

2013年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B 2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D． 3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（） A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样D．系统抽样 4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（） A．y=B．y=C．y=±x D．y= 5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）

A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（） A．B．C．D． 7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（） A．3B．4C．5D．6 8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π 9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（） A．5B．6C．7D．8 10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的