(完整版)理科数学高考真题分类汇编第三十六讲二项分布及其应用、正态分布

专题十一 概率与统计

第三十六讲二项分布及其应用、正态分布

一、选择题

1．（2015湖北）设211(,)X N μσ:，2

22(,)Y N μσ:，这两个正态分布密度曲线如图所

示．下列结论中正确的是

A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥

B ．21()()P X P X σσ≤≤≤

C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤

D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥

2．（2015山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2

(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为

（附：若随机变量ξ服从正态分布2

(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，

(22)95.44%P μσξμσ-<<+=）

A ．4.56%

B ．13.59%

C ．27.18%

D ．31.74%

3．（2014新课标2）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，

连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是

A ．0．8

B ．0．75

C ．0．6

D ．0．45 4.（2011湖北）已知随机变量服从正态分布，且，则

A ．

B ．

C ．

D ．

ξ(

)2

,2σ

N ()8.04=<ξP ()=<<20ξP 6.04.03.02.0

二、填空题

5．（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回

地抽取100次，Χ表示抽到的二等品件数，则DX = ．

6．（2016四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试

验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 ．

7．（2015广东）已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()20D X =，

则p = ．

8．（2012新课标）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工

作，且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布)50,1000(2

N ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

．

三、解答题

9．（2017新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线

上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2

(,)N μσ．

(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 经计算得16119.9716i i x x ===∑，s ==

0.212≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，i =1，2， (16)

用样本平均数x 作为μ的估计值?μ

，用样本标准差s 作为σ的估计值?σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ?-3σ?,μ?+3σ?)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ (精确到0．01)．

附：若随机变量Z 服从正态分布2

(,)N μσ，则(33)P Z μσμσ-<<+=0．997 4，

160.99740.9592≈0.09≈．

10．（2016新课标Ⅱ）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为

续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

11．（2015湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽

奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；

（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X

的分布列和数学期望．

12．（2015湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛

奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：

吨）是一个随机变量，其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量． （Ⅰ）求Z 的分布列和均值；

（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000

元的概率．

13．（2015新课标Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查

了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满

意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．

14．（2014山东）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即

结束．除第五局甲队获胜的概率是

外，其余每局比赛甲队获胜的概率是．假设各122

3

局比赛结果互相独立．

（1）分别求甲队以3:0，3:1，3:2胜利的概率

（2）若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜

利方得2分、对方得1分，求乙队得分的分布列及数学期望．

15．（2014陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价

格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

（Ⅰ）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；

（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000

元的概率．

16．（2014广东）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：

（1）确定样本频率分布表中和的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在

区间（30,35］的概率．

17．（2011大纲）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但

不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立.

X 121,,n n f 2f

(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率