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线性代数第五习题答案详解

第五章

n 维向量空间

习题一

1．解：a-b = a+(-b)

= (1,1,0)T +(0,-1,-1)T = (1,0,-1)T

3a+2b-c = 3a+2b+(-c)

= (3,3,0)T +(0,2,2)T +(-3,-4,0)T = (0,1,2)T

2．解： 3(a 1-a)+2(a 2+a) = 5(a 3+a) 3a 1+2a 2+(-3+2)a = 5a 3+5a 3a 1+2a 2+(-a) = 5a 3+5a

3a 1+2a 2+(-a)+a+(-5)a 3 = 5a 3+5a+a+(-5)a 3 3a 1+2a 2+(-5)a 3 = 6a

61[3a 1+2a 2+(-5)a 3] = 61?6a 21a 1+31a 2+(-6

)a 3 = a

将a 1=(2,5,1,3)T ,a 2=(10,1,5,10)T ,a 3=(4,1,-1,1)T 代入a =

21a 1+31a 2+(-6

)a 3 中可得： a=(1,2,3,4)T .

3． (1) V 1是向量空间.由(0,0,…,0)∈V 1知V 1非空.设a=(x 1,x 2,…,x n )∈V 1,b=(y 1,y 2,…,y n )∈V 1,

则有x 1+x 2+…+x n =0，y 1+y 2+…+y n =0.因为

(x 1+y 1)+(x 2+y 2)+…+(x n +y n )= (x 1+x 2+…+x n )+( y 1+y 2+…+y n )=0

所以a+b=( x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n )∈V 1.对于k ∈R ，有 kx 1+kx 2+…+kx n =k(x 1+x 2+…+x n )=0

所以ka=( kx 1,kx 2,…,kx n ) ∈V 1.因此V 1是向量空间.

(2) V 2不是向量空间.因为取a=(1, x 2,…,x n )∈V 2 ,b=(1, y 2,…,y n )∈V 2,但a+b=(2, x 2+y 2,…,

x n +y n )?V 2.因此V 2不是向量空间.

习题二

1．求向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式：

(1) 解：设向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3+k 4a 4

其中, k 1,k 2,k 3,k 4为待定常数.则将b=(0,2,0,-1)T ,a 1=(1,1,1,1)T ,a 2=(1,1,1,0)T ,

a 3=(1,1,0,0)T ,a 4=(1,0,0,0)T 向量

b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式中可得： (0,2,0,-1)T =k 1(1,1,1,1)T +k 2(1,1,1,0)T +k 3(1,1,0,0)T +k 4(1,0,0,0)T

根据对分量相等可得下列线性方程组：

??????

?-====++++++1

201

213

214321k k k k k k k k k k

解此方程组可得：k 1=－1,k 2=1,k 3=2,k 4=－2.

因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－a 1+a 2+2a 3－2a 4 .

(2) 与(1)类似可有下列线性方程组：

???????===-=+++++++++1

1332223

143214321k k k k k k k k k k k k k

由方程组中的第一和第二个方程易解得：k 2=4,于是依次可解得：k 1=-2,k 3=-9, k 4=2.

因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－2a 1+4a 2－9a 3+2a 4 .

2．(1) 解：因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数，由推论2知a 1,a 2 ,a 3,a 4线性相

关.

(2) 解：()????? ??--→????? ??-→????? ??=40051011122051011133162111132

a a a

因为()332

=a a a R

所以a 1,a 2,a 3线性无关.

(3) 解：()????? ??-→????? ??--→????? ??-=0002101114201260111713144211

132

a a a

因为()3232

<=a a a R

所以a 1,a 2,a 3线性相关. (4) 解：()????? ??--→????? ??---→????? ??---=50041011132041011121130111132

a a a

因为()332

=a a a R

所以a 1,a 2,a 3线性无关.

3. 证明：假设有常数k 1,k 2,k 3,使 k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3=0

又由于b 1=a 1,b 2=a 1+a 2,b 3=a 1+a 2+a 3,于是可得 k 1a 1+k 2(a 1+a 2)+k 3(a 1+a 2+a 3)=0 即

(k 1+k 2+k 3)a 1+ (k 2+k 3)a 2+k 3a 3=0 因为a 1,a 2,a 3线性无关，所以有

?????==+=++000332321k k k k k k 解得???

??===0003

21k k k

因此向量组b 1,b 2,b 3线性无关.

4. 设存在常数k 1,k 2,k 3,k 4使

k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0

因为b 1=a 1+a 2,b 2= a 2+a 3,b 3=a 3+a 4,b 4= a 4+a 1 于是可得：

k 1 (a 1+a 2)+k 2(a 2+a 3)+k 3(a 3+a 4)+k 4(a 4+a 1)=0 整理得：

(k 1+k 4)a 1+ (k 2+k 1)a 2+(k 2+k 3)a 3+(k 3+k 4)a 4=0，（下用两种方法解）

法一：因为a 1,a 2,a 3,a 4为同维向量，则 (1) 当向量组a 1,a 2,a 3,a 4线性无关时，

k 1+k 4=0， k 2+k 1=0，k 2+k 3=0，k 3+k 4=0

可解得：k 2=- k 1，k 4=- k 1，k 3=k 1

取k 1≠0可得不为0的常数k 1,k 2,k 3,k 4使

k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0 因此b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。

(2) 当向量组a 1,a 2,a 3,a 4线性相关时，k 1+k 4，k 2+k 1，k 2+k 3，k 3+k 4中至少存在一

个不为0，因此易知k 1,k 2,k 3,k 4不全为0，于是可得b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。法二：因为a 1,a 2,a 3,a 4为任意向量，

所以当??????

?=+=+=+=+0

3322

141k k k k k k k k ，而该方程组的系数矩阵对应的行列式

100011000111001=，所以有非零解

所以b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。

5. 证明：假使向量组b 1,b 2,…,b m 线性相关.即存在不全为0的常数k 1,k 2,…,k m ,使： k 1b 1+k 2b 2+…+k m b m =0 由题意不妨设 a 1=(a 11,a 12,…,a 1r ), a 2=(a 21,a 22,…,a 2r ), …………………, a m =(a m1,a m2,…,a mr )

则相应地， b 1=(a 11,a 12,…,a 1r ,a 1r+1,… a 1n ), b 2=(a 21,a 22,…,a 2r ,a 2r+1,… a 2n ), …………………,

b m =(a m1,a m2,…,a mr ,a mr+1,… a mn )

由k 1b 1+k 2b 2+…+k m b m =0可得：

k 1a 11+k 2a 21+…+k m a m1=0 k 1a 12+k 2a 22+…+k m a m2=0 …………………, k 1a 1r +k 2a 2r +…+k m a mr =0

k 1a 1r+1+k 2a 2r+1+…+k m a mr+1 =0 …………………, k 1a 1n +k 2a 2n +…+k m a mn =0 去前面r 个分量可得：

k 1(a 11,a 12,…,a 1r )+k 2(a 21,a 22,…,a 2r )+…+k m (a m1,a m2,…,a mr )=0 即

k 1a 1+k 2a 2+…+k m a m =0

由假设知k 1,k 2,…,k m 不全为0，因此a 1,a 2,…,a m 线性相关，此与a 1,a 2,…,a m 线性无关相矛盾，结论得证.

习题三

1．

(1) 解：对矩阵进行初等行变换为

????????????48203225

1345394751325394754317

3125→????????????53105310321043173125→?

????

??????00002100321043173125 该矩阵的秩为3，矩阵的第1,2,3列是它的列向量组的一个极大无关组.

(2) 解：对矩阵进行初等行变换为

????????????--01111000111020

01→?

?????

?????---21

10001110200

→????

????

???---12001000111020

01 该矩阵的秩为4，因此矩阵的第1,2,3,4列是它的列向量组的一个极大无关组.

2．(1) 解：以a 1,a 2,a 3为列作矩阵A ：

A=????????????------74316514

121→?

???

?????------10551

18994

001

→?

???

???????--00510094

0001 该矩阵的秩为2,它的一个极大无关组为a 1,a 2

(3) 解：以a 1,a 2,a 3为列作矩阵A=????

?????300021001 该矩阵为下三角矩阵，其0≠A ，因此该矩阵的秩为3,它的一个极大无关组为向量组本身.

(4) 解：以a 1,a 2,a 3,a 4,a 5为列作矩阵A,

??????

?---→??

??---→??????? ??------→???????

??---=00

000222001512012

1222000000015120

122200151201512012211140113130215

2012211A

矩阵A 的秩为3, 矩阵A 的第1,2,3列构成它的一个极大无关组，

3. 证明：（法一）

设s a a a A ,,,:21Λ；t b b b B ,,,:21Λ ，且r B R A R ==)()( t s b b b a a a C ,,,,,,,:2121ΛΛ

向量组C 能被A 表示，而A 也能被C 表示所以)()()(B R r A R C R ===

取向量组

B 的极大无关组为：r i i i b b b ,,,21Λ，它也是向量组

C 的极大无关组

所以向量组C 能由向量组r i i i b b b ,,,21Λ线性表示，所以向量组C 能由向量组B 线性表示，所以向量组A 能由向量组B 线性表示，加上题设条件，所以向量组A 与向量组B 等价。（法二）

设向量组B 和A 的秩均为r,且设它们的一个极大无关组分别为 (b 1,b 2,…,b r ), (a 1,a 2,…,a r ).则由极大无关组的性质可知：一个向量组的所有向量都可由它的一个极大无关组的向量线性表示.因此要证明向量组A 与B 等价，只证明a 1,a 2,…,a r 可由b 1,b 2,…,b r 线性表示即可.

因为B 可由A 线性表示，不妨设 b 1=c 11a 1+c 12a 2+…+c 1r a r b 2=c 21a 1+c 22a 2+…+c 2r a r … … … … … … b r = c r1a 1+c r2a 2+…+c rr a r 不妨设存在常数k 1,k 2,…,k r 使 k 1b 1+k 2b 2+…+k r b r =0 于是可得：

(k 1c 11+k 2c 21+…+k r c r1)a 1+(k 1c 12+k 2c 22+…+k r b r2)a 2+…+(k 1c 1r +k 2c 2r +…+k r b rr )a r =0 由a 1,a 2,…,a r 线性无关可得：

k 1c 11+k 2c 21+…+k r c r1=0 k 1c 12+k 2c 22+…+k r b r2=0

… … … … … … k 1c 1r +k 2c 2r +…+k r b rr =0

把k 1,k 2,…,k r 当作未知数，当k 1,k 2,…,k r 只有0解时，b 1,b 2,…,b r 线性无关.要k 1,k 2,…,k r

只有0解，当且仅当ij c ≠0 (i=1,…,r,j=1,2,…,r),即

C=?????

????

???rr r r r r c c c c c c c c c Λ

ΛΛΛΛΛΛ21

22221

11211

即矩阵C 的秩为r,存在逆矩阵C -1.设C -1=?????????

???'''''''''rr

r r c c c c c c c c c ΛΛΛΛΛΛΛ212

2221

又因为????????????r b b b M 2

1=C ????

???????r a a a M 21,则

C -1????????????r b b b M 21= C -1C ?????

???????r a a a M 2

即

??????r a a a M 2

1= C -1????????????r b b b M 21

因此有：

a 1=11

c 'b 1+12c 'b 2+…+r c 1'b r a 2=21

c 'b 1+22c 'b 2+…+r c 2'b r … … … … … …

a r =1r

c 'b 1+2r c 'b 2+…+rr c 'b r 也即说明，a 1,a 2,…,a r 可由b 1,b 2,…,b r 线性表示，因此结论成立.

4. 证明：(1) 必要性. 若a 是任一n 维向量，由于n+1个n 维向量a 1,a 2,…,a n ,a 必线性相

关，而a 1,a 2,…,a n 线性无关，故a 必可由a 1,a 2,…,a n 线性表示. (2) 充分性.

因为任一n 维向量都能由a 1,a 2,…,a n 线性表示，则特别地n 维单位坐标向量e 1,e 2,

…,e n 都能由a 1,a 2,…,a n 线性表示,因此，a 1,a 2,…,a n 与e 1,e 2,…,e n 是等价的向量组，故 a 1,a 2,…,a n 的秩为n,即它们线性无关.

5. 证明：因为R 3=L(e 1,e 2,e 3), e 1,e 2,e 3表示单位坐标向量，所以只须证明L(e 1,e 2,e 3)=

L(a 1,a 2,a 3).即证e 1,e 2,e 3与a 1,a 2,a 3等价.显然，a 1,a 2,a 3可由e 1,e 2,e 3线性表示，因而只须证明e 1,e 2,e 3可由a 1,a 2,a 3线性表示即可.

因为()321,,a a a ＝()321,,e e e ??????????011101110且0

11101110＝２因此矩阵??????????011101110为可逆矩阵，其逆矩阵为???????

?????????---212

12121212121

即()321,,e e e ＝()321,,a a a ???????

?????

????---212

1212121

2121

21 这说明e 1,e 2,e 3可由a 1,a 2,a 3线性表示，因此L(a 1,a 2,a 3) = R 3.

6. 证明：（法一）

???? ??--→???? ??-→???? ??-→??

?? ?

?=???? ??1110110111101101111000111101001121T T a a ???

??--→???? ??--→????

??---=???? ??11101101111022021110331221T T b b 因为???? ??T

T a a 2

与???

??T T b b 21有相同的行最简形矩阵，并且矩阵经过有限次初等行变换得到的新矩阵的行向量组与原来矩阵的行向量组等价，所以向量组T

a a 21,与向量T

b b 21,等价，即向量组a 1,a 2与向量组b 1,b 2等价。

（法二）

(1) (`b 1,b 2)能由(a 1,a 2)线性表示.

设(`b 1,b 2)= (a 1,a 2)???

??42

k k k k 即 ?????????

???---11103

2=?????

???????11010011

???42

31k k k k 可解得：????

??4231k k k k =??

???--1311 这说明(`b 1,b 2)能由(a 1,a 2)线性表示.

(2) (a 1,a 2)能(`b 1,b 2)由线性表示.

由(1)可知：(b 1,b 2)= (a 1,a 2)??

???--1311

11--=-2≠0

也即是矩阵???

???--1311有可逆矩阵，可求得其逆矩阵为????

????212

32121 因此有(a 1,a 2)= (`b 1,b 2) ???

??????21232121

也即(a 1,a 2)能(`b 1,b 2)由线性表示. 由(1),(2)可知:L(a 1,a 2)=L(`b 1,b 2)

7. 解：设存在常数k 1,k 2, k 3使 k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3=0 即

??=+=++-=++0

230032323

21321k

k k k k k k k 可解得：k 1=k 2=k 3=0

因此a 1,a 2,a 3线性无关,即a 1,a 2,a 3为R 3的一个基.

设向量b 1=l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3, b 2=l 4a 1+l 5a 2+l 6a 3.即(l 1,l 2,l 3)，(l 4,l 5,l 6)分别为b 1,b 2在基a 1,a 2,a 3下的坐标.也即是：

???

??=+=++-=++72305

32323

21321l

l l l l l l l 和 ??

??-=+-=

++--=++13

2389

32656

54654l l l l l l l l

可分别解得：???

??-===

132

1l l l 和 ???

??-=-==

336

4l l l 因而b 1,b 2在基a 1,a 2,a 3下的坐标分别为(2,3,-1)和 (3,-3,-2).

8. 解：V 的维数为n-1维，取V 中n-1个向量e 2=(0,1,0,…,0), e 3=(0, 0,1 ,…,0),…,

e n = (0,0,0,…,1).易证e 2,e 3,…,e n 线性无关.对任意x=(0,x 2,x 3,…,x n )有 x=x 2e 2+x 3e 3+…+x n e n ,因此，e 2,e 3,…,e n 为V 的一个基.

习题四

1．(1)解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下

??????????--211112211221→??????????----411332011001→??????????--431302011001→????

?????--434302010001

于是可得：

????

???-===44432

334x x x x x x 取x 4＝1，可得线性方程组的一个基础解系为：

ξ=???????

??-134334

因此可得线性方程组的通解为：η=k ξ, k ∈R. (2) 解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下

??????????----5311111062531→??????????---001441002001→??

?????-001010002001

于是可得： ??

-=0232

41x x x x 取???

??????

??=???? ??10,0142x x ，可得线性方程组的一个基础解系为： ξ1=,0012??????? ??- ξ2=??????

? ??1001

因此可得线性方程组的通解为：η=k 1ξ1+k 2ξ2, k 1,k 2∈R. (3) 解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下

????????????-----7421631472135132→?

???????????-----19970341990141070742

1→???

???

????????----510016743001410707421

→??????

????????---73270005100141070742

1 因此该齐次线性方程组只有0解.

2. (1) 解：非齐次线性方程组的增广矩阵的行变换如下

????????????-----69141328354214132→????????????-----147702814140147705421→?

???

?????--0000

0000211012

于是可得： ??

?+=

--=21

23331x x x x

其导出组的一个基础解系为：ξ=????? ??-112，非齐次线性方程组的一个特解为0η=???

??-133

因此非齐次线性方程组的通解为：η=0η+k ξ,k ∈R. (2) 非齐次线性方程组的增广矩阵的行变换如下

??????????------112211121112→??????????------211112121211→??

????????---001332331

001→

????

??????--001011010001 因此有：??

?+==3

11x x x x

可得非齐次线性方程组的一个特解为：0η=???

?? ??112.其导出组的一个基础解系为：

ξ=???

? ??111.于是可得非齐次线性方程组的通解为：η=0η+k ξ,k ∈R.

3. 解：因齐次线性方程组的一个基础解系有两个解向量，所以它的系数矩阵的秩为4-2=2,

说明系数矩阵通过行变换，有两行可化为0向量.因此只求其前两行，后两行由前两行通过行变换得到. 设系数矩阵前两行的元素为a 11,a 12,a 13,a 14和a 21,a 22,a 23,a 24.由ξ1, ξ2是齐次线性方

程组的解向量可得：

?==++++0

0233213

121114

1312a a a a a a (1)

可解得：??

?+-+-==)

2()2(331312131214

11a a a a a a

取 a 12=3,a 13=0可有 a 11=-2,a 14=-1, 取 a 12=0,a 13=3可有 a 11=-1,a 14=-2.

由于a 21,a 22,a 23,a 24为未知数所建立的方程组与(1)一致，因此我们将上面的解向量一组

作为a 11,a 12,a 13,a 14的解，另一组作为a 21,a 22,a 23,a 24的解.于是可得一个齐次线性方程组的

系数矩阵为：??

???

???-------036

31331230

110

2. 因此，该齐次线性方程组为：

??????

?====+--+--+--+-0

003633323323

2143214

31421x x x x x x x x x x x x x .

4. 解：因非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，则它的导出组的自由未知量个数为1，其

基础解系只有一个解向量，不妨设为ξ.又设非齐次线性方程组的一个特解为0γ，则它的通解为：γ=0γ+k ξ,k ∈R. 因1η,2η是它的两个解向量,为方便之,不妨取k=1和k=－1则可得： ??

?-=+=ξ

γξγηη002

因此可解得0γ=21?????

???????9753，ξ=

????????????1111.于是可得通解为：γ=21????

????????9753+2k

????

??????1111,k ∈R.

5. 解：非齐次线性方程组的增广矩阵的行变换如下

??????????----22211121112λλ→??????????-+----λλλλ222331332001→???

??????-++---2220310320012λλλλ 要方程组有解，其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.因此有2

λ+λ-2=0,可解得λ=-2或

λ=1.

(1) 当λ=-2时，其增广矩阵为??

?????--022*********，因此???++==2

2332

1x x x x ，相应地其导

出组的解为??

?==3

x x x x ，它的一个基础解系为ξ=(1,1,1)T . 非齐次线性方程组的一

个特解为0γ=(3,3,1)T .则非齐次线性方程组的通解为γ=0γ+k ξ,k ∈R. (2) 当λ=1时，同(1)类似可解得非齐次线性方程组的通解为γ=0γ+k ξ,k ∈R.

其中0γ=(2,1,1)T , ξ=(1,1,1)T .

6. 证明：设B=(b 1,b 2,…,b n ),由AB=0知Ab j =0(j=1,2,…,n),即向量组b 1,b 2,…,b n 是方程组

AX=0的解向量，从而它们可由Ax=0的基础解系线性表示.故b 1,b 2,…,b n 的秩不大于n-R(A) (基础解系所含解向量个数),也就是R(B)≤ n-R(A)，或R(B) +R(A)≤ n.

线性代数第五章(答案)

第五章相似矩阵及二次型一、是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )

14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化为规范型。 ( × )

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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 诚信应考 ,考试作弊将带来严重后果！线性代数期末考试试卷及答案号位座注意事项： 1. 考前请将密封线内填写清楚；线 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上 )； 3．考试形式：开（闭）卷； 4. 本试卷共五大题，满分100 分，考试时间 120 分钟。题号一二三四五总分业得分专评卷人 ) 一、单项选择题（每小题 2 分，共 40 分）。题封答1．设矩阵A为2 2矩阵, B 为2 3矩阵 , C为3 2矩阵，则下列矩阵运算无意义的是院不内【】学线封密 A. BAC B. ABC C. BCA D. CAB ( 2.设 n 阶方阵 A 满足 A2＋ E =0，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有【】 A. 矩阵 A 不是实矩阵 B. A=-E C. A=E D. det(A)=1 3.设 A 为 n 阶方阵，且行列式det(A)= 1 ,则 det(-2A)= 【】 n C. －2n A. －2 D. 1 B. －2 号密 4.设 A 为 3 阶方阵，且行列式det(A)=0 ，则在 A 的行向量组中【】学 A.必存在一个行向量为零向量 B.必存在两个行向量，其对应分量成比例 C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合 5．设向量组a1,a2, a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】名A．a1 a2 , a2 a3 , a3 a1 B. a1, a2 ,2a1 3a2 姓

C. a 2 ,2a 3 ,2a 2 a 3 D. a 1－ a 3 , a 2 ,a 1 6.向量组 (I): a 1 , ,a m (m 3) 线性无关的充分必要条件是【】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量 ,它不能由其余 m-1 个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数 k 1 , , k m , 使 k 1 a 1 k m a m 0 7．设 a 为 m n 矩阵，则 n 元齐次线性方程组 Ax 0存在非零解的充分必要条件是【】 A ． A 的行向量组线性相关 B. A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 0 8.设 a i 、 b i 均为非零常数（ i =1， 2， 3），且齐次线性方程组 b 2 x 2 b 3 x 3 b 1 x 1 的基础解系含 2 个解向量，则必有【】 a 1 a 2 B. a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a 1 a 3 0 A. b 1 b 2 0C. b 2 b 3 D. b 2 b 3 b 1 b 1 b 2 9.方程组 2x 1 x 2 x 3 1 x 1 2x 2 x 3 1 有解的充分必要的条件是【】 3 x 1 3x 2 2 x 3 a 1 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η 1，η2，η3 是齐次线性方程组Ax = 0 的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是【】 A. 可由 η 1， η2， η3 线性表示的向量组 B. 与 η1， η2 ， η3 等秩的向量组 C.η 1－η2， η2－ η3， η3－ η1 D. η 1， η1-η3， η1-η 2-η 3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为 0 ，则【】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有 n 个【】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间 R n 的子空间的是【】 n A. {( a 1 , a 2 , ,a n ) | a 1a 2 0} B. {( a 1 , a 2 , , a n ) | a i 0} C. {( a 1, a 2 , , a n ) | a i z,i 1,2, , n} D. {( a 1 , a 2 , i n 1 1} , a n ) | a i 1 0 i 1 14.若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B - 3 ,E 为 2 阶单位矩阵 ,则方阵 E –A 必相似于矩阵 2

线性代数第3章习题解答(rr)

1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解: ∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4 T T =-----=- ∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]T T T αα+=-+-= 2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα== 3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且求 α 解: ∵ 1236325αααα=+- [6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24], T T T T =+--= ∴ [1,2,3,4].T α= 3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ====L 时， 11220m m k k k ααα+++=L 成立，则向量组12,,m αααK 线性相关解：不正确.如：[][]121,2,3,4T T αα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。 (2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k L 使 11220,m m k k k ααα+++≠L 则向量组12,,,m αααL 线性无关。解：不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,T T k αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关 (3) 如果向量组12,,,m αααL 线性无关,则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. 解：正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m αααL 线性相关，与题没矛盾。 (4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。解：不正确。例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,T T T ααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。 (5) 如果向量β可由向量123,,ααα线性表示，即： 112233,k k k βααα=++则表示系数 123,,k k k 不全为零。解：不正确。例如：[][][]120,0,0,1,0,0,0,1,0,T T T βαα=== []31230,0,1,000T αβααα==++，表示系数全为0。 (6) 若向量12,αα线性相关，12,ββ线性无关，则1212,,,ααββ线性相关.

线性代数第五章课后习题及解答

第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +

因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T

(完整word版)同济大学线性代数期末试卷全套试卷(1至4套)

《线性代数》期终试卷1 （ 2学时）本试卷共七大题一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)： 1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是 , 则的属于的两个线性无关的特征向量是 ()； 2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随矩阵, 则的行列式()； 3.(4分)设, , 则 ()； 4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim()； 5.(3分)二次型经过正交变换可化为标准型,则()；

6.(3分)行列式中的系数是()； 7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个解向量, 其中, , 则该方程组的通解是 ()。二、计算行列式： (满分10分) 三、设, , 求。 (满分10分) 四、取何值时, 线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。

(满分15分) 五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组 , , 也线性无关。 (满分10分) 六、已知二次型， (1)写出二次型的矩阵表达式； (2)求一个正交变换，把化为标准形, 并写该标准型； (3)是什么类型的二次曲面? (满分15分) 七、证明题（本大题共2个小题，满分15分）： 1．(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。 2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组必有非零解。

《线性代数》期终试卷2 （ 2学时）本试卷共八大题一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）： 1. 若阶方阵的秩，则其伴随阵。（） 2.若矩阵和矩阵满足，则。（） 3.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交阵。（） 4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本身。（） 5.若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有。（）

线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程

第五章相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个）二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ）（A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例（B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例（C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例（D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于（ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;

三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :

线性代数第四版答案

第一章行列式 1利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1) 解 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644 (2) 解 acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3b3c3 (3) 解 bc2ca2ab2ac2ba2cb2

(a b)(b c)(c a) (4) 解 x(x y)y yx(x y)(x y)yx y3(x y)3x3 3xy(x y)y33x2y x3y3x3 2(x3y3) 2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为441 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个)

7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式

线性代数第五章答案

第五章相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .

2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,

同济大学线性代数第五版课后习题答案

第一章行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a

解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6

线性代数第四版同济大学课后习题答案04

第四章向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.

线性代数期末考试试卷+答案合集

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数练习册第三章答案(本)

第三章行列式及其应用 §3-1 行列式的定义一、填空题。 1、行列式a b c d =__ad bc -___;112 2 13141 ---=____-24____. 2、行列式 1 111 1 21 21 2 00 000 a a a a b b c c d d =______0_____. 3、已知行列式1111111 1 11111111 D -= -----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶行列式中含1331a a 且符号为负的项是____ 13223144a a a a -____. 二、选择题。 1、方程01 1 0001x x x =的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 2、若n 阶行列式中零元素的个数大于2n n -，则此行列式的值为__A__. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 3、排列396721584的逆序数为__C__. （A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21 4、n 阶行列式001 020 00 D n = 的值为__D ___. （A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!n n -; （D ）(1)2 (1) !n n n --.

5、行列式312111321111x x x x x --中4 x 的系数为__A____. (A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3. 三、计算下列行列式 1、12 1 10001- 解：33 312 121 10(1)(1)1 11 001 r +--=-按展开 2、 1010120012301234 解：444321010 101 1200 4(1)120 1230 123 1234101 412024 003 r r +--=按c 展开 3、 11321011 23011 002 -- 解：

线性代数第五章作业参考答案(唐明)

第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求：（1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-

同济大学线性代数第五版课后习题答案

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a

bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1

(4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)

大一线性代数期末考试试卷

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

昆明理工大学线性代数第4章习题册答案

1 习题4.1（线性方程组解的结构）一、下列齐次线性方程组是否有非零解？分析：n 阶方阵A ，AX=0有非零解0()A R A n ?=?<；仅有零解0()A R A n ?≠?= （1）1234123412341 23442020372031260 x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=?? --+=??++-=??--+=? ；解：1142111231 7 21 312 6 A ----= ---21 3241 31142005404540 2 16 8 r r r r r r ---=-------21 054054544544004016 8 2 16 8 2 16 8 r r -= ---=-=-≠-------- 仅有零解。（2）12451234123453020426340 x x x x x x x x x x x x x +--=?? -+-=?? -++-=? . 分析：n 元齐次线性方程组有非零解()R A n ?≤；仅有零解()R A n ?= 解：()35R A n ≤<=，有非零解（即有无穷多解）。二、求齐次线性方程组12341234123420 363051050 x x x x x x x x x x x x ++-=?? +--=?? ++-=?的一个基础解系。解：32 21 12 31 412351 21101 2110120103 61300 04000 0100 510 1 5000 4 000 00r r r r r r r r r A --------=--→-→--?? ???? ?? ???? ????????????? ?? ??? 所以原方程组等价于1243 20 0x x x x +-=??=?（24,x x 可取任意实数）原方程组的通解为1 122 1342 20x k k x k x x k =-+??=??=??=?（12,k k R ∈）

线性代数习题及答案4

一、选择题（每小题5分，共25分。） 1．已知四阶行列式4D 第一行的元素依次为1，2，－1，－1，它们的余子式为2， -2，1，0，则4 D 的值为【】A ．3-； B.；5- C.3； D.5. 2．已知n 阶矩阵????? ?? ? ? ?=1. .00... 1. 1. . 101..11A ,则A 的所有元素的代数余子式之和等于【】A ．0； B ．1；C ．-1； D ．2. 3．设A 是n m ?矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AC B =的秩 1r ，则【】A ．1r r >； B ．1r r <； C ．1r r =； D ．r 与1r 的关系依C 而定. 4．设A 为n m ?矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充分必要条件是【】A ．A 的列向量组线性无关； B ．A 的列向量组线性相关； C ．A 的行向量组线性无关； D 。A 的行向量组线性相关. 5．设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，ξ是A 的对应于λ的特征向量，P 是n 阶可逆矩阵，则P A P * 1 -的对应于特征值 λ A 的特征向量是【】A ．ξ1-P ； B ．ξP ； C ．ξT P ； D ．ξ1)(-T P . 二、填空题（将答案写在该题横线上。每小题5分，共25分。） 1．设B A ,都是n 阶正交矩阵，若0=+B A ，则___________=+B A .2．已知A B AB =-，其中??? ?? ??-=20001 2021B ，则___________=A .3．已知向量组.,,,4321a a a a 线性无关，若向量组14433221,,,a a a a a a ka a ++++线性相关，则____________ =k . 4．若线性方程组??? ??=---=+++=+-+b x x x x x ax x x x x x x 2617230324321 43214321无解，则常数b a ,应满足的条件是_____________. 5．若4阶矩阵A 与B 相似，且A 的特征值为1，2，3，4，则矩阵E B -* 的全部特征值为 ___________________. 三、计算证明题（ 50 分） 1 (12 分 ) 求向量组 )1,6,3,1(),3,2,1,1(),4,1,2,1(),5,0,3,1(4321--====a a a a 的一个极大线性无关组和秩. 2．(15分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件022 =+A A ，已知A 的秩2)(=A r (1)求A 的全部特征值； (2)当k 为何值时，矩阵kE A +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 3．(15分)已知二次型)0(233232232 22 1>+++=a x ax x x x f 通过正交变换可化为标准形 2 3222152y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换. 4．(8分)设A 是n 阶矩阵，且满足E A =2 ，证明:n E A r E A r =++-)()(.

工程数学线性代数第五版答案

线性代数重点第一章行列式 8. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式): (1)a a D n 1 1???=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解 a a a a a D n 0 1 0 000 00 00 0 00 10 00? ????????????????????????????????=(按第n 行展开) ) 1()1(1 0 000 0 0 00 0 001 0 000)1(-?-+??????????????????????????????-=n n n a a a )1()1(2 )1(-?-????-+n n n a a a n n n n n a a a +? ??-?-=--+) 2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1). (2)x a a a x a a a x D n ????????????? ????????= ; 解将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得

a x x a a x x a a x x a a a a x D n --??????????????????--???--???=000 0 00 0 , 再将各列都加到第一列上, 得 a x a x a x a a a a n x D n -??????????????????-???-???-+=0000 0 000 0 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1. (3)1 1 1 1 )( )1()( )1(1 1 11???-? ????????-? ?????-???--???-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ; 解根据第6题结果, 有 n n n n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-???--?????????-? ?????-???-???-=---++ 此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=1 12 )1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D ∏≥>≥++---=112 )1()]([)1(j i n n n j i ∏≥>≥++???+-++-? -?-=1 12 1 )1(2 )1()()1()1(j i n n n n n j i ∏≥>≥+-= 1 1)(j i n j i .

线性代数第四章习题答案

习题四答案 (A) 1．求下列矩阵的特征值与特征向量: (1) ???? ??--3113 (2) ???? ? ??---122212221 (3) ????? ??----020212022 (4) ???? ? ??--201034011 (5) ????? ??--011102124 (6)???? ? ??----533242 111 解（1）矩阵A 的特征多项式为 =-A E λ)4)(2(3113 --=--λλλλ，所以A 的特征值为4,221==λλ．对于21=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)1,1(1=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为)1,1(111k k =αT (01≠k 为任意常数)．对于42=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )4(O ，可得它的一个基础解系为)1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值4的全部特征向量为)1,1(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)．（2）矩阵A 的特征多项式为

=-A E λ)3)(1)(1(1 22212 2 21--+=------λλλλλλ，所以A 的特征值为11-=λ，12=λ，33=λ．对于11-=λ，解对应齐次线性方程组=--X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(1-=αT ，所以A 的属于特征值-1的全部特征向量为)0,1,1(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．对于12=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)1,1,1(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)．对于33=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )3(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,0(3-=αT ，所以A 的属于特征值3的全部特征向量为)1,1,0(333-=k k αT (03≠k 为任意常数)． (3) 矩阵A 的特征多项式为 =-A E λ)4)(1)(2(20212 22--+=--λλλλ λλ，所以A 的特征值为11=λ，42=λ，23-=λ．对于11=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)2,1,2(1-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)2,1,2(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．

线性代数第五习题答案详解

线性代数第五章(答案)

大一线性代数期末试卷试题卷及标准答案解析.doc

线性代数第3章习题解答(rr)

线性代数第五章 课后习题及解答

(完整word版)同济大学线性代数期末试卷全套试卷(1至4套)

线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程

线性代数第四版答案

线性代数第五章答案

同济大学线性代数第五版课后习题答案

线性代数第四版同济大学课后习题答案04

线性代数期末考试试卷+答案合集

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昆明理工大学 线性代数 第4章 习题册答案

线性代数习题及答案4

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