二项分布及其应用-中等难度-讲义
二项分布及其应用
引入
姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0．8，假设他每次命中率相同,请问他4投3中的概率是多少?
问题1：在4次投篮中姚明恰好命中1次的概率是多少? 问题2：在4次投篮中姚明恰好命中2次的概率是多少? 问题３：在4次投篮中姚明恰好命中3次的概率是多少? 问题4：在4次投篮中姚明恰好命中4次的概率是多少？ 问题5：在n 次投篮中姚明恰好命中k 次的概率是多少?
解读
1、条件概率
（1）条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示． （2）条件概率公式：()()()
P A B P B A P A =
I 其中()0P A A B >I ，称为事件A 与B 的积或交（或
积）．
把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =I （或D AB =）． （3）条件概率的求法：
①利用定义，分别求出()P A 和()P B A ，得()()()
P A B P B A P A =
I ．
②借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数，即()n A 再求事件()n A B I ，得()()()
n A B P B A n A =
I ．
2、相互独立事件同时发生的概率
（1）事件的独立性 ：如果事件A (或B )是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
如果事件A 与B 相互独立，那么事件A B g 发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即()()()P A B P A P B =g g ．
如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的 积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯I I L I L ，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．
（2）“相互独立”与“事件互斥”
两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型)．两事件相互独立不一定互斥．
3、二项分布
（1）独立重复试验
如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复
试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k
k n k n n
P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L ．
（2）二项分布
若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验
中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k
n P X k p q
-==，其中0,1,2,,k n =L ．于是得到X
由于表中的第二行恰好是二项展开式
001110()C C C C n n n k k n k n
n n n n n q p p q p q
p q p q --+=++++L L 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．
典例精讲
一．选择题（共14小题）
1．（2018春•东城区期末）若随机变量X ～B （n ，p ），且E(X)=52，D(X)=5
4，
则P （X=1）=（ ） A ．132
B ．18
C ．
5
32
D ．
5
16
2．（2018春•抚顺期末）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D （X ）=2.1，P （X=4）＜P （X=6），则P=（ ） A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3
3．（2018春•莆田期末）已知随机变量X 服从二项分布B(4，12)，随机变量Y 服从正态分布N(1
2，σ2)．若P （X=3）+P （Y ＜a ）=1，则P （Y ＞1﹣a ）=（ ）
A ．3
4
B ．1
2
C ．1
3
D ．1
4
4．（2017春•青山区校级期末）如果x ～B(20，14)，y ～B(20，3
4)，当x ，y 变化
时，下面关于P （x=m ）=P （y=n ）成立的（m ，n ）的个数为（ ） A ．10 B ．20 C ．21 D ．0
5．（2016秋•武汉期末）已知随机变量X ～B （n ，13），若D （x ）=43
，则P （X=2）
=（ ） A ．1315
B ．
2
81
C ．
13
243
D ．
80
243
6．（2017春•眉山期末）已知X ～B(8，1
2)，当P （X=k ）（k ∈N ，0≤k ≤8）取得
最大值时，k 的值是（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4
7．（2016春•曲靖校级期末）随机变量ξ服从二项分布ξ～B （n ，p ），且Eξ=30，Dξ=20，则p 等于（ ） A ．2
3
B ．1
3
C ．1
2
D ．3
4
8．（2015秋•江岸区校级期末）如果ξ～B (20，1
3)，则使P （ξ=k ）取最大值时
的k 值为（ ） A ．5或6 B ．6或7 C ．7或8 D ．以上均错
9．（2015春•通辽校级期末）若 ξ～B （10，1
4
），则D （ξ）等于（ ）
A ．158
B ．154
C ．52
D ．5
10．（2015春•南阳期末）设随机变量X ～B （2，P ），随机变量Y ～B （3，P ），若
P （X ≥1）=5
9
，则D （3Y +1）=（ ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．7
11．（2014春•蚌埠期末）设X ～B(5，13)，则P （X ≤4）等于 （ ）
A ．
10
243
B ．
242243
C ．
241243
D ．1
12．（2014春•东莞期末）若随机变量X 服从两点分布，其中P （X=0）=1
3
，则E
（3X +2）和D （3X +2）的值分别是（ ） A ．4和2 B ．4和4 C ．2和4 D ．2和2
13．（2014春•南充期末）如果X ～B （20，1
2
），当p （X=k ）取得最大值时，k 的
值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7
14．（2014•岳麓区校级模拟）若η～B （2，p ），且Dη=4
9，则P （0≤η≤1）=（ ）
A ．59
B ．49
C ．59或49
D ．59或89
二．填空题（共5小题）
15．（2018春•珠海期末）已知ξ～B （n ，p ），Eξ=3，D （2ξ+1）=9，则P 的值是 ．
16．（2017春•福州期末）若ξ～B （n ，p ）且E （ξ）=43，D （ξ）=89
，则P （ξ=1）
的值为 ．
17．（2017春•枣庄期末）已知随机变量X ～B （4，0.5），若Y=2X +1，则D （Y ）= ．
18．（2017春•海淀区校级期末）设随机变量ξ～B （2，p ），η～B （4，p ），若P
（ξ≥1）=5
9
，则P （η≥2）= ．
19．（2016春•珠海期末）设随机变量X ～B （n ，p ），其中n=8，若EX=1.6，则DX= ．
三．解答题（共4小题）
20．（2015秋•海南校级月考）（理）“十一黄金周”期间三亚景区迎来了游客高峰期．游客小李从“大小洞天”到景区“天涯海角”景区有L 1，L 2两条路线（如图），
路线L 1上有A 1，A 2，A 3三个风景点，各风景点遇到堵塞的概率均为2
3
；L 2路
线上有B 1，B 2两个风景点，各风景点遇到堵塞的概率依次为34，3
5
．
（1）若走L 1路线，求最多遇到1次堵塞的概率；
（2）按照“平均遇到堵塞次数最少”的要求，请你帮助小李从上述两条路线中选择一条最好的旅游路线，并说明理由．
21．（2015•桐城市一模）一个盒子里有2个黑球和m 个白球（m ≥2，且m ∈N *）．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中． （Ⅰ）求每次中奖的概率p （用m 表示）； （Ⅱ）若m=3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f （p ），当m 为何值时，f （p ）取得最
大值？
22．（2014•濮阳一模）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时，给出的区间内的一个数，该数越接近10表示越满意，为了解某大城市市民的幸福感，随机对该城市的男、女各500人市民进行了调查，调查数据如下表所示：
幸福感指数[0，2）[2，4）[4，6）[6，8）[8，10）
男市民人数1020220125125
女市民人数1010180175125
根据表格，解答下面的问题：
（Ⅰ）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估算该城市市民幸福感指数的平均值；（参考数据：2×1+3×3+40×5+30×7+25×9=646）
（Ⅱ）如果市民幸福感指数达到6，则认为他幸福．据此，在该市随机调查5对夫妇，求他们之中恰好有3对夫妇二人都幸福的概率．（以样本的频率作为总体的概率）
23．（2014•上海模拟）质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4，将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上．
（1）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率；
（2）设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分布列及期望Eξ．
二项分布及其应用
教学过程 一、复习预习 1、预习条件概率 2、预习事件相互独立的概念 3、预习独立重复试验和二项分布
二、知识讲解 考点1 条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件 概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P(AB) P(A) (P(A)>0)． 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n(AB) n(A) . (2)条件概率具有的性质： ①0≤P(B|A)≤1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．考点2
相互独立事件 (1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件． (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)， P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)． (3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立． 考点3 二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这 种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概 率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率． 三、例题精析 【例题1】 【题干】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任
二项分布及其应用-中等难度-讲义
二项分布及其应用 引入 姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0．8，假设他每次命中率相同,请问他4投3中的概率是多少? 问题1：在4次投篮中姚明恰好命中1次的概率是多少? 问题2：在4次投篮中姚明恰好命中2次的概率是多少? 问题３：在4次投篮中姚明恰好命中3次的概率是多少? 问题4：在4次投篮中姚明恰好命中4次的概率是多少？ 问题5：在n 次投篮中姚明恰好命中k 次的概率是多少? 解读 1、条件概率 （1）条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示． （2）条件概率公式：()()() P A B P B A P A = I 其中()0P A A B >I ，称为事件A 与B 的积或交（或 积）． 把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =I （或D AB =）． （3）条件概率的求法： ①利用定义，分别求出()P A 和()P B A ，得()()() P A B P B A P A = I ． ②借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数，即()n A 再求事件()n A B I ，得()()() n A B P B A n A = I ． 2、相互独立事件同时发生的概率 （1）事件的独立性 ：如果事件A (或B )是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
如果事件A 与B 相互独立，那么事件A B g 发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即()()()P A B P A P B =g g ． 如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的 积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯I I L I L ，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立． （2）“相互独立”与“事件互斥” 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型)．两事件相互独立不一定互斥． 3、二项分布 （1）独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复 试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L ． （2）二项分布 若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验 中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =L ．于是得到X 由于表中的第二行恰好是二项展开式 001110()C C C C n n n k k n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++L L 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．
二项分布及其应用(答案)
二项分布及其应用 【知识要点】 一、条件概率及其性质 1、条件概率 一般地，设A ，B 为两个事件，且0)(>A P ，称) ()()(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。 2、性质 （1）任何事件的条件概率都在0和1之间，即1)(0≤≤A B P . （2）如果B 和C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P ==Y 。 【例题1—1】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则=)(A B P （ B ） A 、81 B 、41 C 、52 D 、21 【例题1—2】在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 2 1 。 【例题1—3】某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ A ） A 、0.8 B 、0.75 C 、0.6 D 、0.45 【例题1—4】从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为（ A ） A 、172 B 、152 C 、51 D 、10 3 【例题1—5】把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则=)(A B P （ A ）
A 、21 B 、4 1 C 、61 D 、81 【例题1—6】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则在从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是 9 4 。 二、相互独立事件及n 次独立重复事件 1、相互独立事件同时发生的概率 (1)相互独立事件的定义：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （A ）发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。 一般地，事件A 与B 相互独立，那么事件A 与B ,A 与B ，A 与B 也都是相互独立的。 (2) 相互独立事件同时发生的概率： 对于事件A 和事件B ，用A ·B 表示事件A 与B 同时发生的事件。 如果事件A 与B 相互独立，那么事件A ·B 发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P(A ·B) =P(A) ·P(B)。 一般地，如果事件n A A A ,,,21???相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即：)()()()(2121n n A P A P A P A A A P ???=???. 2、独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验的意义：做n 次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验。 (2)一般地，在n 次独立重复实验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概 率为n k p p C k X P k n k k n ,,2,1, 0,)1()(???=-==-。此时称随机变量X 服从二项分布，记作：X ～B(n ，p)，并称p 为成功概率。 【例题2—1】甲，乙两人射击的命中率分别是0.8和0.7，两人同时射击互不影响，结果都命中的概率为( A ) A 、0.56 B 、0.06 C 、0.14 D 、0.24
随机变量及其分布-二项分布及其应用
二项分布及其应用 知识点 一、条件概率 1.一般的，设A,B 为两个事件，且0)(>A P ，则称) () ()|(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。)|(A B P 读作：A 发生的条件下B 发生的概率。 2.条件概率的性质： （1）1)|(0≤≤A B P ； （2）必然事件的条件概率为1；不可能事件的条件概率为0. （3）若事件B 与C 互斥，)|()|()|(A C P A B P A C B P +=Y 二、相互独立事件 1.设A ，B 为两个事件，若)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与事件B 相互独立。 2.条件概率的性质： （1）若事件A 与B 相互独立，则)()|(B P A B P =，)()|(A P B A P =，)()()(B P A P AB P =。 （2）如果事件A 与B 相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 三、独立重复试验与二项分布 1.独立重复试验： 一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。 2.二项分布： 一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则 n k p p C k X P k n k k n ,,2,1,0,)1()(Λ=-==-。此时称随机变量X 服从二项分布，记作),(~p n B X
题型一 条件概率 【例1】已知P (B |A )＝13，P (A )＝2 5，则P (AB )等于( ) A.56 B.910 C.2 15 D.1 15 【例2】抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P (A |B )等于 ( ) A.25 B.12 C.35 D.4 5 【例3】任意向x 轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问： (1)该点落在区间????0，1 3内的概率是多少？ (2)在(1)的条件下，求该点落在???? 15，1内的概率． 【过关练习】 1.电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了1 5 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( ) A ．0.75 B ．0.60 C ．0.48 D ．0.20 2.设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为3 10，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率 为1 2 ，则事件A 发生的概率为________． 3.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.
北师大版数学高二-高中数学《二项分布及其应用 》教案3 选修2-3
高中数学《二项分布及其应用 》教案3 选修2-3 教学目标： 知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。 过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ． 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件 6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+ 一般地：如果事件12,, ,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=?=-
二项分布及其应用
二项分布及其应用 1． 相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (3)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立． 2． 二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验， 在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生， 且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设试验中事件A 发生的概率为p ， 则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布， 记为X ～B (n ，p )，并称 题型一 相互独立事件的概率 例1 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12 与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116 . (1)求乙投球的命中率p ； (2)求甲投球2次，至少命中1次的概率； (3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率． 练：甲、乙两运动员，对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9， (1)两人都射中的概率； (2)两人中恰有一人射中的概率； (3)两人中至少一人射中的概率； (4)两人中至多一人射中的概率． 甲、乙、丙做一道题，甲做对的概率12，三人都做对的概率124，三人全做错的概率是14 . (1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率．
二项分布的应用
二项分布的应用 一、二项分布的基本概念 在概率论和统计学中，二项分布是一种离散概率分布，用于描述在重复进行n次独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。这里的伯努利试验指的是只有两种可能结果的试验，例如投硬币的正面和反面。 二项分布的概率函数可以表示为： P(X=k)=C n k⋅p k⋅(1−p)n−k 其中，X表示成功的次数，k表示成功的次数的取值，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率，C n k表示组合数，即从n个元素中选择k个元素的组合数。 二、二项分布的应用场景 二项分布在实际生活和科学研究中有广泛的应用。下面我们将介绍几个常见的二项分布应用场景。 2.1 针头质量检验 假设一家医疗器械公司生产了10,000支注射器，每支注射器的针头都通过了质量检验的成功率为0.95。我们可以使用二项分布来估计在10,000支注射器中，合格的注射器数量的概率分布。 2.2 投资决策 假设我们正在考虑投资一家初创公司，该公司有50%的概率在第一年实现盈利，如果盈利，则投资会有2倍的回报。我们可以使用二项分布来计算投资成功的概率以及预期回报。 2.3 产品质量控制 假设一家电子产品制造商在生产过程中有5%的概率出现某一组件错误。为了保证产品质量，制造商进行了100次独立的质量检验。我们可以使用二项分布来估计在100次质量检验中出现不合格产品的概率。
三、二项分布的计算方法 对于二项分布的计算，可以使用Excel或统计软件进行求解。下面我们将介绍使用Excel进行二项分布计算的方法。 3.1 Excel函数BINOM.DIST Excel中的BINOM.DIST函数可以用来计算二项分布的概率。该函数的语法如下：BINOM.DIST(x, n, p, cumulative) 其中，x表示成功的次数，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率，cumulative表示是否计算累积概率。通过调整这些参数，我们可以得到相应的二项分布概率值。 3.2 Excel示例 假设我们有一个包含10个硬币的袋子，每个硬币正面的概率为0.6。我们想要计算在抽取3次硬币的过程中，出现2次正面的概率。 在Excel中，我们可以使用以下函数来计算： =BINOM.DIST(2, 3, 0.6, FALSE) 计算结果约为0.432。 四、二项分布的性质和推广 二项分布具有以下几个重要的性质： 1.期望和方差：二项分布的期望为np，方差为np(1−p)。 2.正态近似：当试验次数n足够大时，二项分布可以近似为正态分布。这个性 质在实际应用中非常有用，可以简化计算。 3.推广：二项分布可以推广到多项分布，多项分布描述了在一次试验中有多个 可能的结果的情况。 五、结论 二项分布作为一种重要的概率分布，在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。通过对二项分布的理解和应用，我们可以更好地分析和解决实际问题。在计算二项分
二项分布及其应用
二项分布及其应用 一、学习目标： 1、了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念； 2、理解n 次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题。 二、重点、难点：独立重复试验及二项分布 三、导读、导思： 1、条件概率及其性质 （1）对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做 ，用符号 来表示，其公式为() A B P 在古典概型中，若用)(A n 表示事件A 中基本事件的个数,则(P . （2）条件概率具有的性质： ① ； ②如果B 与C 是两互斥事件，则=⋃)(A C B P . 2、相互独立事件 （1）对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称 （2）若A 与B 相互独立，则() =A B P ，=)(AB P = （3）若A 与B 相互独立，则 ， ， 也都相互独立。 （4）若()()()B P A P AB P =,则 。 3、二项分布 （1）独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有 种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的。 （2）在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为 （p 为事件A 发生的概率），事件A 发生的次数是一个随机变量X ，其分布列为 ，记为 。 四、导练展示： 1、在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分布从不同方位对同一目标发动攻击（各放射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为 ,8.0,9.0,9.0若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为 （ ） A 、0.998 B 、0.046 C 、0.002 D 、0.954 2、在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球，如果不放回地依次取两个球，在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率。 3、甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： （1）2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率。 4、某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m 处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m 处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时 目标已在200m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则 记0分。已知射手甲在100m 处击中目标的概率为,21 他的命中率与目标的距离的 平方成反比，且各次射击都是独立的。 （1）求这位射手在三次射击中命中目标的概率； （2）求这位射手在这次射击比赛中得分的分布列。 五、达标训练： 1、某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败，第二次成功的概率是（ ） A 、 101 B 、102 C 、108 D 、10 9 2、两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分布为b a ,，则产生故障的电脑台数的均值为（ ） A 、ab B 、b a + C 、a -1 D 、b a --1 3、某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率： （1）都抽到某一指定号码； （2）恰有一次抽到某一指定号码； （3）至少有一次抽到某一指定号码。 4、小明上学途中必须经过A 、B 、C 、D 四个交通岗，其中在A 、B 岗遇到红灯 的概率均为21，在C 、D 岗遇到红灯的概率均为31 。假设他在4个交通岗遇到红 灯的事件是相互独立的，X 表示他遇到红灯的次数。 （1）若3≥X ，就会迟到，求小明不迟到的概率；（2）求X 的分布列。 六、反思小结：
【高中数学】二项分布及其应用
【高中数学】二项分布及其应用 一、条件概率 1.定义：对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A),读作A发生的条件下B的概率。 2.事件的交(积):由事件A和事件B同时发生所构成的事件D,称为事件A与事件B的交(或积)。 记作D=ANB或D=AB 3. 条件概率计算公式： P(B | A)相当于把A B发生的概率： 若P(A)>0,则P(AB)=P(B | A) · P(A)(乘法公式);O≤P(B | A)≤1 . 4. 公式推导过程： 5. 解题步骤： 例1. 10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率. 解：设A={第一个取到次品},B={第二个取到次品} 所以，P(B | A)=P(AB)/P(A)=2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9. 二、相互独立事件 1. 定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 说明： (1)判断两事件A、B是否为相互独立事件，关键是看A(或B)发生与否对B(或A)发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立. (2)互斥事件是指不可能同时发生的两个事件. 相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响. (3)如果A、B是相互独立事件，则A的补集与B的补集、A与B的补集、A的补集与B也都相互独立. 2. 相互独立事件同时发生的概率公式 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。则有：P(A●B)=P(A)●P(B) 说明： (1)使用时，注意使用的前提条件；
高中数学二项分布及其应用
二项分布及其应用 二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有着重要的地位：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生K 次的概率为 P(X=k)=C n k p k (1-p)n-k ,k=0,1,2,…,n ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B(n,p)，并称p 为成功概率。 二项分布是一种常见的重要离散型随机变量分布列，其识别特点主要有两点：其一是概率的不变性；其二是试验的可重复性，下面加以例谈。 例题1 某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的。现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦电力，这10台机床能够不因电力不足而无法工作的概率为多大？在一个工作班的8小时内，不能正常工作的时间大约是多少？ 解析：设10台机床中实际开动的机床数为随机变量ξ，由题意知满足二项分布，即ξ～B （10，p ），其中p 是每台机床开动的概率，p=5 16012= ,从而)10,2,1,0()5 4()51()(1010 ===-k C k P k k k ξ ， 50千瓦电力可同时供5台机床同时开动，因而10台中同时开动数不超过5台都可以正常工作，这一事件的概率 5 5510644107331082210911010010)5 4()51()54()51()54()51()54()51()54)(51()54()5(C C C C C C P +++++=≤ξ994.0≈。 由以上知，在电力供应为50千瓦的条件下，机床不能正常工作的概率仅为0.006，从而一个工作班的8小时内不能正常工作的时间大约为8×60×0.006=2.88（分钟），这说明，10台机床的工作基本不受电力供应紧张的影响。 例题2 有两袋相同的球，每袋中各有n 个，一个人随意从任一袋中一个一个地取球，经过一段时间以后，他发现有一袋球空了，求这时另一袋中还剩r (r=0,1,2, … ,n)个球的概率。 解析：将每次取出一个球看作一次独立试验，每次试验有两个可能的结果：取的是第一袋的球或者是第二袋的球，它们出现的概率均是2 1。由于两袋球共有2n 个，当第一袋的球被取空、第二袋里还剩r 个时，共取了2n-r 个 ，概率应为 n r n r n n r n n r n n r n C C n P 222222)2 11()21()(------=-= 点评：公式k n k k n n p p C k P --=)1()(，是n 次独立试验中某事件A 恰好发生k 次的概率，其中n 是重复试验的次数，p 是在一次试验中该事件A 发生的概率，k 是n 次独立重复试验中事件A 恰好发生的次数。弄清公式中这些量的意义，才能正确使用这一公式求解。 同步测试： 1、 下面关于X ～B(n,p)的叙述： ① p 表示一次试验事件发生的概率；
艺术生高考数学专题讲义：考点55 二项分布及其应用(理)
考点五十五二项分布及其应用（理） 知识梳理 1．相互独立事件 (1)一般地，对于两个事件A，B，如果有P(AB)＝P(A)P(B)，则称A、B相互独立． (2)如果A、B相互独立，则A与B、A与B、A与B也相互独立． (3)如果A1，A2，…，A n相互独立，则有：P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)． 2．二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P(X＝k)＝C k n P k q n－k，其中k＝0，1，2，3，…，n，q＝1－P.于是得到随机变量X 的概率分布如下： 由于n n n n n0中的第k＋1项(k＝0，1，2，…，n)中的值，故称随机变量X为二项分布，记作X～B(n，P)．3．二项分布特点 (1)每次试验只有两个相互对立的结果：“成功”和“失败”； (2)每次试验“成功”的概率均为P，“失败”的概率均为1－P； (3)各次试验是相互独立的． 4．独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，用A i(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n) ＝P(A1)P(A2)…P(A n)． 典例剖析 题型一相互独立事件 例1，，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的． (1) 求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2) 求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (3) 记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列． 解析记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品；记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品；记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种；记D表示事件：进入商场的1位顾客没有购买甲、乙两种商品中的任何一种． (1) C＝A·B＋A·B，
7.4二项分布与超几何分布(学生版) 讲义-2021-2022学年人教A版(2019)高中数学选择性
二项分布与超几何分布 一n重伯努利试验 1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做n次． (2)各次试验的结果相互独立． 注意点：在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验． 二二项分布的推导 二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0 三二项分布的简单应用 利用二项分布求解“至多”“至少”问题的概率，其实质是求在某一范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率． 四二项分布的均值与方差 1．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． 2．若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求 五二项分布的实际应用 二项分布的实际应用类问题的求解步骤 (1)根据题意设出随机变量； (2)分析随机变量服从二项分布； (3)求出参数n和p的值； (4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解． 六二项分布的性质 二项分布概率最大问题的求解思路 七超几何分布 超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝C k M C n－k N－M C n N，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 注意点： (1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”． 第7讲 二项分布及其应用 1．条件概率 (1)定义 设A 、B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P （AB ） P （A ） 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率． (2)性质 ①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P (B |A )≤1； ②如果B ，C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2．事件的相互独立性 (1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质： ①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )P (B )． ②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B － 也相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 导师提醒 1．注意区别“二项分布”与“超几何分布” 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理． 2．关注两个概率公式 (1)在事件B 发生的条件下A 发生的概率为P (A |B )＝ P （AB ） P （B ） .注意其与P (B |A )的不同． (2)若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( ) (2)相互独立事件就是互斥事件．( ) (3)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( ) (4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n 二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( ) (5)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( ) A.35 B.34 C.1225 D.1425 解析：选 D.由题意知甲中靶的概率为45，乙中靶的概率为7 10，两人打靶相互独立，同时中 靶的概率P ＝45×710＝14 25 . 盒中装有8个乒乓球，其中5个新球，3个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( ) A.58 B.47 C.37 D.25 解析：选B.根据题意，分析可得：在第一次取出新球的条件下，盒子中还有7个球，这7个球中有4个新球和3个旧球，则在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率P ＝4 7. 故选B. 设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，1 2，则P (X ＝3)＝________． 解析：因为X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，所以P (X ＝3)＝C 36⎝⎛⎭⎫123 ×⎝⎛⎭⎫1－123 ＝516 .2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第61讲 二项分布及其应用