二项分布应用举例

二项分布及其应用

知识归纳

1．条件概率及其性质

(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做 ，用符号 来表

示，其公式为P (B |A )＝ .

在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个

数，则P (B |A )＝ . (2)条件概率具有性质：

① ；

②如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ＋C |A )＝ ． 2．相互独立事件

(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝ ， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝ ．

(3)若A 与B 相互独立，则 ， ， 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则 ． 3．二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为 (p 为事件A 发生的概率)，若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为 ．

自我检测

1．(2011·辽宁高考，5)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.2

5

D.1

2

解析：条件概率P (B |A )＝P AB P A P (A )＝C 23

＋1C 25＝410＝25，P (AB )＝1C 25＝1

10，∴P (B |A )＝11025＝14

.

2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( )

A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭

⎪⎫582

B ．

C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238 C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭

⎪⎫382

D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭

⎪⎫582

解：事件{ξ＝12}表示第12次取到红球，前11次取到9个红球，故P (ξ＝12)＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389

·⎝ ⎛⎭⎪⎫582·38

.

3．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )

A.12

B.35

C.2

3 D.3

4

解析：∵甲、乙两队决赛时每队赢的概率相等，∴每场比赛甲、乙赢的概率均为1

2.

记甲获冠军为事件A ，则P (A )＝12＋12×12＝

3

4

4．(2010·福建高考，13)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．

解析：由题设分两种情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4. (2)第1、2个错误，第3、4个正确，由互斥事件的概率公式得P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6. ∴P ＝P 1＋P 2＝0.128. 5．(2011·上海高考，12)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率是________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．

解析：设事件A 为“至少有2位同学在同一月份出生”，则A 的对立事件A 为“所有人出生月份均不相同”，则P (A )＝1－P (A )＝1－A 9

12129＝1－12×11×10×9×8×7×6×5×4

129

≈1－0.015 5＝0.984 5≈0.985.

题型讲解

例1.(2011·湖南高考，15)如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地

扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________； (2)P (B |A )＝________.

[解析] ∵P (A )＝S 正方形

S 圆

＝

2

2

π

＝2π

. P (B |A )＝P AB P A ＝S △EOH S 正方形＝1

4

.

[规律方法]……………►►条件概率的求法：(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝

P AB

P A

.

这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝

n AB

n A

.

练习1．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点

数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．

解析：(1)①P (A )＝26＝1

3. ②∵两个骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共

有10个．∴P (B )＝1036＝5

18. ③当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，

故P (AB )＝536. (2)由(1)知P (B |A )＝P AB

P A ＝53613

＝512

.

例2.(2012·重庆高考，18)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为1

2，

且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率． 解析] 设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝1

2

(k ＝1,2,3)．

(1)记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知

P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1 B 1 A 2B 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3)

＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3) ＝23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝13

27

. (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (D )＝P (A 1 B 1 A 2B 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2A 3) ＝P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427

. [规律方法]……………►►(1)相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互对立事

件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生；(2)求用“至少”表述的事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较简单．

练习2．(2011·山东高考，18改编)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘．已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；

(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列．

解析：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F .则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.

红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果

相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DE F )＝0.6×0.5×0.5

＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55

(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.

又由(1)知D E F、D E F、D E F是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，

因此P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，

P(ξ＝1)＝P(D E F)＋P(D E F)＋P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5

＝0.35，P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：

例3.(2010·四川高考，17改编)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为1

6.甲、乙、丙三位同学每人购买

了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率，

(2)求中奖人数Ｘ的分布列．

[解析] (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么P (A )＝P (B )＝P (C )＝1

6

.

P (A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＝16

×⎝ ⎛⎭

⎪⎫56

2＝

25216.甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是25216

. (2)X 的可能取值为0,1,2,3. P (Ｘ＝k )＝C k 3 ⎛⎪⎫16k ⎛⎪⎫563－k

，k ＝0,1,2,3.所以中奖人数X 的分布列为

[规律方法]………………►►(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行

的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的．②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．

练习3．(2012·四川高考，17)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统

A 和系统

B 在任意时刻发生故障的概率分别为1

10

和p .

(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49

50

，求p 的值；

(2)求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．

解析：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C －

)＝1－110·p ＝4950.解得p ＝1

5.

(2)设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D ， 那么P (D )＝C 2

3

110·(1－110)2＋(1－110)3＝9721000＝243250

. 故系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243

250

.

例4.(2013·苏州模拟)一个袋中装有黑球、白球和红球共n (n ∈N *

)个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是2

5

.现从袋中任意摸出2个球．

(1)若n ＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是4

7，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求

随机变量ξ的概率分布列；

(2)当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？

[解析] (1)设袋中黑球的个数为x 个，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A ，则P (A )＝

x

15＝2

5

.∴x ＝6. 设袋中白球的个数为y 个，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B ，则P (B )＝1－C 2

15－y

C 2

15＝47，∴y 2

－29y ＋120＝0，∴y ＝5或y ＝24(舍)．∴红球的个数为15－6－5＝4(个) ∴随机变量ξ的取值为0,1,2ξ 0 1 2

P

1122 44105 235

(2)设袋中有黑球z 个，则z ＝2

5

n (n ＝5,10,15，…)．

设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C ，则P (C )＝1－C 235n

C 2n ＝1625＋625×1

n －1

，

当n ＝5时，P (C )最大，最大值为7

10

.

强化训练

1．抛掷甲、乙两枚骰子，若事件A ：“甲骰子的点数小于3”，事件B ：“甲、乙两枚骰子的点数之和等于6”，则P (B |A )的值等于( )

A.13

B.118

C.16

D.19 解析：由题意知P (A )＝1236＝13，P (AB )＝236＝118，∴P (B |A )＝P AB

P A ＝1

1813

＝16

.

2．(2010·辽宁高考)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3

4，两个零件是否加

工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512 C.14 D.16

解析：设事件A ：“一个实习生加工一等品”，事件B ：“另一个实习生加工一等品”，由于A 、B 相互独立，则恰有一个一等品的概率P ＝P (A ∩B )＋P (A ∩B ) ＝P (A )＝P (B )＋P (A )P (B )＝23×14＋13×34＝512

.

3．(2011·湖北高考)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )

A ．0.960

B ．0.864

C ．0.720

D ．0.576

解析：A 1、A 2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A 1、A 2至少有一个正常工作的概率为1－0.04

＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.

4．位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是

1

2

.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125 B ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125 C ．C 25⎝ ⎛⎭

⎪⎫123 D ．C 25C 35(12)5

解析：质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为C 2

5

⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－123，故选B.

5．如果ξ～B (15，1

4)，则使P (ξ＝k )取最大值的k 值为( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．3或4

解析：(特殊值法)∵P (ξ＝3)＝C 315⎝ ⎛⎭⎪⎫143⎝ ⎛⎭⎪⎫3412， P (ξ＝4)＝C 415⎝ ⎛⎭⎪⎫144⎝ ⎛⎭⎪⎫3411

，

P (ξ＝5)＝C 515⎝ ⎛⎭⎪⎫145⎝ ⎛⎭

⎪⎫

3410

从而易知P (ξ＝3)＝P (ξ＝4)>P (ξ＝5)．

6．(2012·重庆高考，15)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节间接法，分两，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答

解析：使用间接法，分两类：①某两节文化课之间间隔2节艺术课方法数为C 23·A 22·C 12·C 13·A 3

3＝216种．②某2节文化课之间间隔3节艺术课方法数为：C 12·A 33·A 3

3＝72种，故所求事件概率为P ＝1－216＋72A 6

6＝1－25＝35

. 7．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是1

2，则小球落入A 袋中的概率为________．

＝1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫18＋18解：小球落入A 袋左侧的概率为12×12×12＝18，同理落入右侧的概率为1

8，∴P

＝3

4

. 8．(2010·安徽高考，15)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)

①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝5

11；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；

⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． 解析：对①，P (B )＝C 1

5C 110×C 1

5C 111＋C 1

5C 110×C 1

4C 111＝922；②，P (B |A 1)＝C 1

5C 111＝5

11

；

③，由P (A 1)＝12，P (B )＝922，P (A 1·B )＝5

22知P (A 1·B )≠P (A 1)·P (B )．故事件B 与事件A 1不是相互独立

事件；

④，从甲罐中只取一球，若取出红球就不可能是其他，故两两互斥； ⑤，由①可算得． 答案：②④

9．(2011·大纲卷，18)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(2)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X 的期望．

解析：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

(1)P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，C ＝A ＋B ，P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.8. (2)D ＝C ，P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2，

X ～B (100,0.2)，即X 服从二项分布，所以期望EX ＝100×0.2＝20.

10．(2011·天津高考，16)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)． (1)求在1次游戏中；(ⅰ)摸出3个白球的概率；(ⅱ)获奖的概率； (2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望EX .

解析：(1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则P (A 3)＝C 2

3C 25·C 1

2C 23＝1

5.

(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝C 2

3C 25·C 2

2C 23＋C 13C 1

2C 25·C 1

2C 23＝1

2，

且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝7

10

.

(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2.

P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－7102＝9100，P (X ＝1)＝C 12710⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＝2150，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＝49100. 所以X 的分布列是

X 的数学期望EX ＝0×

9100＋1×2150＋2×49100＝75

. 11．(2012·山东高考，19)现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为3

4，命中得1分，

没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为2

3，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手

每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．

(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX . 解析：(1)记该射手命中“甲”、“乙”靶分别为事件A ，B . 由已知P (A )＝34，P (B )＝2

3.

记“该射手恰好命中一次”为事件C ，因为每次射击结果相互独立，

∴P (C )＝P (A B B )＋P (A B B )＋P (A B B )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＋2×14×23×13＝7

36.

(2)由已知，X 的可能取值有：0,1,2,3,4,5，

P (X ＝0)＝P (A B B )＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝136；P (X ＝1)＝P (A B B )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1

12

；

P (X ＝2)＝P (A B B )＋P (A B B )＝2×14×23×13＝19；P (X ＝3)＝P (AB B )＋P (A B B )＝2×34×13×23＝13

； P (X ＝4)＝P (A BB )＝1

4

×

⎝ ⎛⎭

⎪⎫232＝19； P (X ＝5)＝P (ABB )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝13， ∴X 的分布列如下：

∴EX ＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝41

12.

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）

二项分布概念及图表和查表方法

二项分布概念及图表 二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。 目录 1 定义 ?统计学定义 ?医学定义 2 概念 3 性质 4 图形特点 5 应用条件 6 应用实例 定义 统计学定义 在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当 时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。

医学定义 在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。 考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X) 二项分布公式 二项分布公式 P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。

9二项分布及其应用-简单难度-讲义

二项分布及其应用 引入 姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0．8，假设他每次命中率相同,请问他4投3中的概率是多少? 问题1：在4次投篮中姚明恰好命中1次的概率是多少? 问题2：在4次投篮中姚明恰好命中2次的概率是多少? 问题３：在4次投篮中姚明恰好命中3次的概率是多少? 问题4：在4次投篮中姚明恰好命中4次的概率是多少？ 问题5：在n 次投篮中姚明恰好命中k 次的概率是多少? 解读 1、条件概率 （1）条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示． （2）条件概率公式：()()() P A B P B A P A = I 其中()0P A A B >I ，称为事件A 与B 的积或交（或 积）． 把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =I （或D AB =）． （3）条件概率的求法： ①利用定义，分别求出()P A 和()P B A ，得()()() P A B P B A P A = I ． ②借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数，即()n A 再求事件()n A B I ，得()()() n A B P B A n A = I ． 2、相互独立事件同时发生的概率 （1）事件的独立性 ：如果事件A (或B )是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．

如果事件A 与B 相互独立，那么事件A B g 发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即()()()P A B P A P B =g g ． 如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的 积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯I I L I L ，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立． （2）“相互独立”与“事件互斥” 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型)．两事件相互独立不一定互斥． 3、二项分布 （1）独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复 试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L ． （2）二项分布 若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验 中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =L ．于是得到X 由于表中的第二行恰好是二项展开式 001110()C C C C n n n k k n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++L L 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．

二项分布及其应用(答案)

二项分布及其应用 【知识要点】 一、条件概率及其性质 1、条件概率 一般地，设A ，B 为两个事件，且0)(>A P ，称) ()()(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。 2、性质 （1）任何事件的条件概率都在0和1之间，即1)(0≤≤A B P . （2）如果B 和C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P ==Y 。 【例题1—1】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则=)(A B P （ B ） A 、81 B 、41 C 、52 D 、21 【例题1—2】在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 2 1 。 【例题1—3】某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ A ） A 、0.8 B 、0.75 C 、0.6 D 、0.45 【例题1—4】从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为（ A ） A 、172 B 、152 C 、51 D 、10 3 【例题1—5】把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则=)(A B P （ A ）

A 、21 B 、4 1 C 、61 D 、81 【例题1—6】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则在从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是 9 4 。 二、相互独立事件及n 次独立重复事件 1、相互独立事件同时发生的概率 (1)相互独立事件的定义：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （A ）发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。 一般地，事件A 与B 相互独立，那么事件A 与B ,A 与B ，A 与B 也都是相互独立的。 (2) 相互独立事件同时发生的概率： 对于事件A 和事件B ，用A ·B 表示事件A 与B 同时发生的事件。 如果事件A 与B 相互独立，那么事件A ·B 发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P(A ·B) =P(A) ·P(B)。 一般地，如果事件n A A A ,,,21???相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即：)()()()(2121n n A P A P A P A A A P ???=???. 2、独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验的意义：做n 次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验。 (2)一般地，在n 次独立重复实验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概 率为n k p p C k X P k n k k n ,,2,1, 0,)1()(???=-==-。此时称随机变量X 服从二项分布，记作：X ～B(n ，p)，并称p 为成功概率。 【例题2—1】甲，乙两人射击的命中率分别是0.8和0.7，两人同时射击互不影响，结果都命中的概率为( A ) A 、0.56 B 、0.06 C 、0.14 D 、0.24

二项分布应用举例

二项分布及其应用 知识归纳 1?条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和B ，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做 来表 示，其公式为 P(B|A) = _______ . 在古典概型中，若用 n(A)表示事件A 中基本事件的个 C 2 + 1 4 2 1 1 10 1 P (A )=CCr=140=2, P(AB) = CT W ，" P(B A ) = 7書 5 2.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现 次时停止，设停止时共取了 E 次球，则P(E = 12)等于( ) . “0 3 10 5 2 C ^9 3 9 5 2^ ^9 5 9 3 2 A. C 12 8 8 B . C 11 8 8 8 C. C 11 8 8 解：事件｛E= 12｝表示第12次取到红球，前11次取到9个红球，故P(E= 12) = C 1i 弓9.弓2 ￡ 8 8 8 3. (2011广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢 两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 ( ) ，用符号 数，则 P(B|A)= ______ . (2) 条件概率具有性质： ① ________________________ ； ②如果B 和C 是两互斥事件，则 P(B+ C|A) = ______________________________________ 2. 相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称 A 、B 是相互独立事件. ⑵若A 与B 相互独立，则 P(B|A) = ____________________ , P(AB)= P(B|A) ? (A)= _____ (3) 若A 与B 相互独立，则. (4) 若 P(AB)= P(A)P(B)，则 3. 二项分布 (1) 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次 试验只有两种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样 的. (2) 在n 次独立重复试验中，事件 A 发生k 次的概率为 (P 为事件A 发生的概率)，若一个随机变量 记为 . 自我检测 1. (2011辽宁高考，5)从123,4,5中任取 取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)=( C 1 C 2 B.7 C 也都相互独立. X 的分布列如上所述，称 X 服从参数为n, P 的二项分布, 2个不同的数，事件 A=取到的2个数之和为偶数”，事件 ) 代8 D.2 解析：条件概率 P( B|A) = P A 10 Q 3 Q 5 O D. C 11 8 9 8 2

二项分布的应用实例

二项分布的应用实例 二项分布是概率论中的一种离散概率分布，常用于描述在n次独 立重复试验中成功次数的概率分布。它在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍二项分布的几个应用实例。 1. 投资决策 假设某公司有一个新产品，他们需要决定是否投资生产该产品。为了 评估投资的风险和回报，他们可以使用二项分布来估计不同销售量下 的利润。假设每个潜在客户购买该产品的概率为p，而每个客户购买与否是独立的。通过使用二项分布，公司可以计算出在不同销售量下的 利润的概率分布，从而做出更明智的投资决策。 2. 品质控制 在制造业中，品质控制是非常重要的。假设某工厂生产的产品有一定 的缺陷率，工厂需要确定每批产品中有多少个缺陷品。通过使用二项 分布，工厂可以计算出在不同批次中缺陷品的数量的概率分布，从而 制定出合理的品质控制策略。 3. 贷款违约率 银行在发放贷款时需要评估借款人的违约风险。假设某银行发放的贷 款有一定的违约率，银行可以使用二项分布来估计在不同贷款金额下 的违约次数的概率分布。通过对违约风险的准确评估，银行可以制定 出合理的贷款利率和风险管理策略。

4. 选举结果预测 在选举中，候选人的得票数是一个随机变量。假设某选区有两个候选人，每个选民投票给每个候选人的概率相同且独立。通过使用二项分布，可以估计不同选民数量下每个候选人获得的选票数的概率分布， 从而预测选举结果。 5. 生物学实验 在生物学实验中，研究人员经常需要进行一系列的试验来验证某种假设。例如，研究人员想要确定某种药物对细胞的治疗效果。通过使用 二项分布，可以计算出在不同试验次数下成功治疗的细胞数量的概率 分布，从而评估药物的疗效。 总结起来，二项分布在投资决策、品质控制、贷款违约率、选举 结果预测和生物学实验等领域都有着广泛的应用。通过使用二项分布，可以对不同事件发生次数的概率分布进行准确估计，从而帮助人们做 出更明智的决策。

《二项分布》之实例引入

《二项分布》之实例引入 在统计学中，二项分布是一种离散型概率分布，它描述了在n次独立重复的伯努利试 验中成功次数的概率分布。在实际生活中，我们常常面临这样的问题：如果进行了n次独 立的成功与失败的试验，成功的次数会是多少？这时候，我们就可以用到二项分布来解决 这个问题。 为了更好地理解二项分布，我们可以通过一些实例来引入这个概念。在现实生活中， 有很多问题都可以用二项分布来描述，比如抛硬币的问题、掷骰子的问题、抽样问题等等。下面我们就通过一些具体的实例来介绍二项分布这个概念。 例1：抛硬币的问题 假设我们有一枚硬币，抛十次看正面朝上的次数，这就是一个典型的二项分布的例子。每次抛硬币都有两种可能的结果：正面或反面。如果我们定义正面朝上为成功，反面朝上 为失败，那么在十次抛硬币的实验中，成功的次数就可以用二项分布来描述。 为了更形象化地理解，我们可以用程序模拟来完成这个实验。我们写一个简单的Python程序来模拟抛硬币的过程，然后统计十次抛硬币中正面朝上的次数。代码如下： ```python import numpy as np # 模拟抛硬币的实验 def flip_coin(n): result = np.random.randint(2, size=n) return np.sum(result) # 模拟十次抛硬币的实验 experiments = 1000 # 模拟1000次实验 n = 10 # 抛硬币的次数 count = np.zeros(n+1) # 保存每种结果的次数 通过运行这个程序，我们可以得到十次抛硬币中正面朝上0-10次的概率分布情况。这个实例可以帮助我们更好地了解二项分布的概念，也可以通过这种方式来直观地感受二项 分布的特性。

二项分布概率例题及解析

二项分布概率例题及解析 二项式概型答题高分策略、模板例析如下： 二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率. 解题的一般思路是: 根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→将k值代入求解概率→写出二项分布的分布列. 若离散型随机变量X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p),即其均值和方差的求解既可以利用定义,也可以直接代入上述公式. 例1：某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后第2位): (1)5次预报中恰有2次准确的概率; (2)5次预报中至少有2次准确的概率; (3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率. 思路分析:直接代入公式求解,其中第(2)问可以利用对立事件求概率. 令X表示5次预报中预报准确的次数,则X~B(5,4/5),故其分布列为

反思：弄清“5次中有2次准确且第3次准确”表示的意义是求解第(3)问的关键,它表示第3次准确,其他4次有1次是准确的. 总结：(1)独立重复实验的条件:①每次试验在相同条件下可重复进行;②各次试验是相互独立的;③每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例,只要有“恰好”“恰有”字样,用独立重复试验的概率公式计算更简单. (2)二项分布:一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率. 例2：一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为1/2,且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?

二项分布模型在质量控制中的应用

二项分布模型在质量控制中的应用 近年来，质量控制在各个行业中扮演着越来越重要的角色。而二项分布模型作 为一种被广泛应用于统计学和概率论中的数学模型，其在质量控制中的应用也逐渐受到了重视。 首先，我们先来了解一下什么是二项分布模型。二项分布模型是指当进行n次 独立的伯努利试验时，每次试验的结果只有两种情况（比如成功或失败），且每次试验成功的概率为p时，所得到的成功次数满足二项分布。在质量控制中，可以将产品的合格与不合格作为一个二项分布模型来进行统计。 其次，二项分布模型在质量控制中的应用可以通过对样本的抽取和检验来实现。例如，在电子产品制造业中，为了保证产品的质量，往往需要对大批量的产品进行检验。通过抽取一部分产品进行检验，并根据二项分布模型来判断整批产品是否合格，可以快速而准确地评估产品的质量。 此外，二项分布模型还可以用于确定质量控制过程中的理想参数。在制造业中，为了保证产品符合某一特定标准，需要确定一些关键参数的取值范围。通过对生产过程的数据进行统计分析，利用二项分布模型来确定这些参数的理想取值，可以帮助企业降低产品不合格的风险，提高产品的质量。 在实际应用中，二项分布模型还可以与其他统计学方法相结合，进一步提升质 量控制的精度。例如，可以将二项分布模型与回归分析结合，通过构建适当的回归方程来预测和控制质量指标的变化趋势。这样可以更好地发现质量控制过程中的异常情况，并及时采取相应的措施，从而保证产品质量的稳定性。 尽管二项分布模型在质量控制中有诸多应用，但也存在一些挑战和限制。首先，样本的抽取和检验过程需要非常小心和准确，才能保证得到可靠的结果。其次，二项分布模型基于独立性假设，而实际生产过程中，各个环节之间往往存在着一定的

二项分布应用举例

二项分布应用举例 二项分布是离散型概率分布，适用于在一定次数的独立重复试验中，成功和失败只两 种可能性且各自概率不变的情况下，成功的次数的概率分布。下面将介绍二项分布应用的 一些典型例子。 1. 计算生产产品的合格率 某工厂的产品一共要生产1000个，其中每一个产品是否合格都是相互独立的。该工厂已经进行了1000次相同的生产过程，成功生产出合格产品的概率为0.95。利用二项分布，可以计算出生产出的合格产品数量的概率分布。例如，如果需要计算出合格产品数量在 950-980之间的概率，可以使用二项分布的累计分布函数来求解。 2. 测试新药的功效 医药公司研制一种新药，需要进行临床试验。该公司在一定的样本人群中，随机选择 了1000个人试验新药，其中预计有5%的患者能够痊愈。利用二项分布，可以计算出治愈 的患者数量的概率分布。例如，如果需要计算出治愈患者数量在40-60之间的概率，可以 使用二项分布的累计分布函数来求解。 3. 定义飞机故障概率 飞机的故障概率是影响飞机航班安全的一个关键因素。如果假设飞机在一个航班中出 现故障的概率是0.01，那么在1000个航班中，出现至少一次故障的概率是多少？利用二 项分布，可以计算出在1000个航班中，出现故障次数的概率分布，然后通过对概率分布函数求和，可以得到至少出现一次故障的概率。 4. 预测通过考试的学生比例 某个班级参加英语考试，全班100人，其中40人备考充分，60人未备考。设备考充分的学生通过考试的概率为0.9，未备考的学生通过考试的概率为0.3。利用二项分布，可以计算出通过考试的学生数量的概率分布。例如，如果需要预测考试通过的学生比例，可以 使用二项分布的期望值计算出预测值。 综上所述，二项分布可以应用于许多实际问题，如生产产品合格率、药物试验效果、 飞机故障预测、考试学生比例等，为实际问题的分析和决策提供了重要的概率工具。

理解二项分布及其应用范围

理解二项分布及其应用范围 统计学中的二项分布是一种重要的概率分布，它描述了在一系列独立的、有固定概率的伯努利试验中成功次数的分布情况。在这个分布中，每次试验的结果只有两种可能，成功或失败。二项分布在实际生活和科学研究中有着广泛的应用范围。 首先，二项分布可以用于描述二分类问题的概率分布。例如，在市场调研中，我们可能对一组人进行调查，询问他们是否愿意购买某种产品。假设每个人的购买意愿是独立的，且有固定的概率。我们可以使用二项分布来计算在给定的样本中，成功（购买）的人数的概率分布。这对于市场营销决策和产品定价等方面具有重要意义。 其次，二项分布还可以应用于质量控制和可靠性分析。在制造业中，我们经常需要检查产品是否符合质量标准。假设每个产品都有一定的概率不符合标准，我们可以使用二项分布来计算在给定的样本中，不合格产品的数量的概率分布。这有助于我们评估生产过程中的质量控制效果，并采取相应的改进措施。 此外，二项分布还可以用于描述金融市场中的交易结果。在股票市场中，每次交易的结果只有两种可能，盈利或亏损。假设每次交易的盈利概率是独立的，且有固定的概率。我们可以使用二项分布来计算在给定的交易次数中，盈利次数的概率分布。这对于投资者评估交易策略的有效性和风险管理具有重要意义。 此外，二项分布还可以应用于医学研究中的临床试验。在进行新药研发或治疗方法评估时，我们需要进行大量的试验和观察，以确定其疗效和副作用。二项分布可以用来描述试验中患者的治愈率或不良反应的发生率。这有助于我们评估新药或治疗方法的有效性和安全性，并做出科学的决策。 总之，二项分布是统计学中一种重要的概率分布，广泛应用于各个领域。它可以用来描述二分类问题的概率分布，应用于市场调研、质量控制、金融交易和医学研究等方面。理解和应用二项分布可以帮助我们更好地分析和解决实际问题，并做

二项分布知识在日常生活中的应用分析

二项分布知识在日常生活中的应用分析 二项分布是在n 次独立重复试验中引入的一个概念，它是一种常见的、重要的离散型随机变量的概率分布，引入他们实际上是对独立重复试验从概率分布角度的进一步研究。然而我们在利用二项分布原理解决实际问题时只注意到两点，即解释为什么可以看成二项分布模型，其次是考虑到它的计算，却往往忽视对计算结果进行解释，造成初学者无法摆脱知识上的种种困惑。鉴于此，我们选取几个典型案例进行剖析，供参考. 例1。 将一枚均匀硬币随机掷100次,相当于重复做了100次试验，每次有两个可能的结果（出现正面，不出现正面），出现正面的概率为1/2。 分析：如果令X 为硬币正面出现的次数，则X 服从2 1,100==p n 的二项分布,那么100100100100)2 1(C )211()21(C )(k k k k k X =-==-P . 由此可以得到：“随机掷100次硬币正好出现50次正面”的概率为 080)2 1(C )50(10050100⋅≈==X P 。 在学习概率时我们会有一种误解，认为既然出现正面的概率为1/2,那么掷100次硬币出现50次正面是必然的，或者这个事件发生的概率应该很大。但计算表明这概率只有8％左右。 它说的是,许多人都投100次均匀硬币，其中大约有8%的人恰投出50次正面。另外有些人投出的正面次数可能是47次、48次、51次、52次等。总起来看，正面出现的次数约占二分之一，这和均匀硬币出现正面的概率是二分之一是一致的。 例2。 设某保险公司有10000人参加人身意外保险。该公司规定：每人每年付公司120元,若逢意外死亡，公司将赔偿10000元。若每人每年死亡率为0。006,试讨论该公司是否会赔本,其利润状况如何. 分析：在这个问题中,公司的收入是完全确定的，10000个投保人每人付给公司120元，公司的年收入为120万元。公司的支出取决于投保人中意外死亡的人数（这里略去有关公司日常性开支的讨论，如公司职工工资，行政开支等等），而这是完全随机的，公司无法在事前知道其确切人数。但公司可以知道死亡人数的分布.设X 表示这10000人中意外死亡的人数，由于每个人的死亡率为0。006，则X 服从n=10000，p=0.006的二项分布: k k k C k X P --==1000010000)006.01(006.0)( 死亡X 人时，公司要赔偿X 万元，此时公司的利润为（120—X ）万元.尽管我们无法

二项分布的现实例子

二项分布的现实例子 二项分布是概率论中的一种离散概率分布，它描述了在n次独立 重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。在现实生活中，我们可以 找到许多与二项分布相关的实际例子。本文将介绍几个常见的二项分 布现实例子，并解释其应用。 一、硬币投掷 硬币投掷是最常见的二项分布实例之一。当我们投掷一枚硬币时，每 次投掷都是一个伯努利试验，成功可以定义为正面朝上，失败可以定 义为反面朝上。假设我们投掷硬币10次，成功次数可以是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9或10。通过计算每个成功次数的概率，我们可以得 到一个二项分布。 二、产品质量检验 在制造业中，产品质量检验是一个重要的环节。假设某公司生产了 1000个产品，每个产品都有一定的概率存在缺陷。我们可以将每个产 品是否存在缺陷定义为一个伯努利试验，成功表示存在缺陷，失败表 示没有缺陷。通过对这1000个产品进行质量检验，我们可以计算出存 在不同数量缺陷的产品的概率分布，从而得到一个二项分布。 三、选举结果预测 在政治选举中，我们经常使用民意调查来预测候选人的胜选概率。假 设某次选举中有两个候选人，每个选民都有一定的概率投票给其中一 个候选人。我们可以将每个选民的投票结果定义为一个伯努利试验， 成功表示投票给候选人A，失败表示投票给候选人B。通过对一定数量

的选民进行调查，我们可以计算出候选人A获胜的概率，从而得到一 个二项分布。 四、赌博游戏 赌博游戏中的赢钱概率也可以用二项分布来描述。例如，在掷骰子游 戏中，每次掷骰子都是一个伯努利试验，成功可以定义为掷出某个特 定的数字，失败可以定义为掷出其他数字。通过多次掷骰子，我们可 以计算出掷出不同数量特定数字的概率分布，从而得到一个二项分布。 五、疾病传播 在流行病学中，研究疾病传播的过程也可以使用二项分布。假设某种 传染病在一定时间内传播给了一定数量的人群，每个人是否感染可以 定义为一个伯努利试验，成功表示感染，失败表示不感染。通过对感 染人群进行调查，我们可以计算出感染不同数量人群的概率分布，从 而得到一个二项分布。 总结： 二项分布在现实生活中有许多实际应用。通过对硬币投掷、产品质量 检验、选举结果预测、赌博游戏和疾病传播等情境的分析，我们可以 看到二项分布的普遍存在。了解和应用二项分布可以帮助我们更好地 理解和解决实际问题，提高决策的准确性和效率。

二项分布的例子

二项分布的例子 【篇一：二项分布的例子】 在介绍贝塔分布（beta distribution）之前，需要先明确一下先验概率、后验概率、然函数以及共轭分布的概念。 通俗的讲，先验概率就是事情尚未发生前，我们对该事发生概率的估计。利用过去历史资料计算得到的先验概率，称为客观先验概率；当历史资料无从取得或资料不完全时，凭人们的主观经验来判断而得到的先验概率，称为主观先验概率。例如抛一枚硬币头向上的概率为0.5 ，这就是主观先验概率。后验概率是指通过调查或其它方式获取新的附加信息，利用贝叶斯公式对先验概率进行修正，而后得到的概率。 先验概率和后验概率的区别：先验概率不是根据有关自然状态的全部资料测定的，而只是利用现有的材料（主要是历史资料）计算的；后验概率使用了有关自然状态更加全面的资料，既有先验概率资料，也有补充资料。另外一种表述：先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述一个变量；而后验概率（probability of outcomes of an experiment after it has been performed and a certain event has occured. ）是在考虑了一个事实之后的条件概率。 然函数共轭分布（conjugacy）：后验概率分布函数与先验概率分布函数具有相同形式好了，有了以上先验知识后，终于可以引入贝塔分布啦！！首先，考虑一点，在试验数据比较少的情况下，直接用最大然法估计二项分布的参数可能会出现过拟合的现象（比如，扔硬币三次都是正面，那么最大然法预测以后的所有抛硬币结果都是正面）。为了避免这种情况的发生，可以考虑引入先验概率分布来控制参数，防止出现过拟合现象。那么，问题现在转为如何选择！先验概率和后验概率的关系为： 二项分布的然函数为（就是二项分布除归一化参数之外的后面那部分，然函数之所以不是pdf ，是因为它不需要归一化）：如果选择的先验概率也与和次方德乘积的关系，那么后验概率分布的函数形式就会跟它的先验函数形式一样了。具体来说，选择prior 的形式是，那么posterior 就会变成这个样子了（为pdf 的归一化参 数），所以posterior 和prior 具有相同的函数形式（都是也与和次方的乘积），这样先验概率与后验概率就是共轭分布了。所以，我们选择了贝塔分布作为先验概率，其概率分布函数为：

二项分布的应用

二项分布的应用 二项分布是重要的离散型随机变量概率模型，在解决许多数学问题和现实生活问题中有着广泛的应用．应用二项分布解题，不仅能加深对知识的理解和掌握，而且有利于创新思维能力的培养和提高．下面举例说明． 例1 证明0122()n n n n n n C C C C n *++++=∈N ． 分析：本题是二项式系数的重要性质，在二项式定理一节中是运用“赋值法”证明的．这里通过构建二项分布模型，给出颇具新意的巧证． 证明：记事件Ａ：“掷一均匀硬币出现正面向上”，则掷n 次硬币，即进行n 次独立重复试验中事件Ａ发生的次数Ｘ服从二项分布，即~(0.5)X B n ，． 故11()01222k n k k n P X k C k n -⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，． 由分布列和的性质得 (0)(1)(2)()1P X P X P X P X n =+=+=++==， 011220 12 11111111122222222n n n n n n n n n C C C C --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴． 即0122n n n n n n C C C C ++++=． 点评：许多与正整数n 有关的组合数求和问题，都可以通过构建二项分布模型得以创新解决．

例2 抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点Ｐ的横坐标，另一枚的点数为点Ｐ的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点Ｐ在圆2216x y +=内的次数Ｘ的分布列． 分析：先求出一次试验中，点Ｐ在圆2216x y +=内的概率Ｐ，然后由题意可知~(3)X B p ，，从而求出其分布列． 解：由题意可知，Ｐ点的坐标可能有6636⨯=种情况，而符合题意的点只有下列8个：(11)(12)(21)(22)(31)(13)(23)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，那么在抛掷骰子时，点P 在圆2216x y +=内的概率为 82369 =．由题意可知2~39X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以030327343(0)99729P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 121 3 27294(1)99729P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21 2 32784(2)99729P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ； 30 3 3278(3)99729P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故得X 的分布列为 0 1 2 3 点评：本题将分布列的计算与事件的概率结合起来，有利于我们提高分析、综合能力．