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第九章第8讲二项分布及其应用

第8讲二项分布及其应用

,[学生用书P198])

1．条件概率及其性质

(1)条件概率的定义：设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P （AB ）

P （A ）

为在事件A

发生的条件下，事件B 发生的条件概率．

(2)条件概率的性质：①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．

2．事件的相互独立性

(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )·P (B )．

②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －

也都相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验

在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，A i (i ＝1，2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．

(2)二项分布

在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率，在n 次独

立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )

n －k

(k ＝0，1，2，…，n )．

1．辨明两个易误点

(1)两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．

(2)P (B |A )是在A 发生的条件下B 发生的概率，而P (A |B )是在B 发生的条件下A 发生的概率．

2．理解事件中常见词语的含义

(1)A ，B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； (2)A ，B 都发生的事件为AB ；

(3)A ，B 都不发生的事件为A － B －

；

(4)A ，B 恰有一个发生的事件为A B －∪A －

B ；

(5)A ，B 至多一个发生的事件为A B －∪A －B ∪A － B －

1．若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝1

4，则P (EF )的值等于( )

A ．0

B ．1

C.14 D ．12 答案：B

2．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝3

，则P (A )等于( )

A.316 B ．1316 C.34 D ．14

解析：选C.由P (AB )＝P (A )P (B |A )，可得P (A )＝3

3．(2015·高考全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )

A ．0.648

B ．0.432

C ．0.36

D ．0.312

解析：选A.3次投篮投中2次的概率为P (X ＝2)＝C 23×0.62

×(1－0.6)，投中3次的概率

为P (X ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 2

3×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.

4．设袋中有大小相同的4个红球与2个白球，若从中有放回地依次取出一个球，则6次取球中取出2个红球的概率为________．

解析：由题意得红球个数X 服从二项分布，即X ～B ⎝⎛⎭⎫6，23，所以P (X ＝2)＝C 26⎝⎛⎭⎫232

·⎝⎛⎭

⎫134

＝20243

. 答案：20

243

5．(选修2-3P55练习T3改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为1

，乙去北京旅游的

概率为1

，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概

率为________．

解析：记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A ，“乙去北京旅游”为事件B ，又P (A －

B －)＝P (A －)·P (B －

)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝12

，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概

率为1－P (A － B －

)＝1－12＝12

答案：12

考点一条件概率[学生用书P199]

从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶

数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )

A.18 B ．14 C.25 D ．12

[解析] P (A )＝C 23＋C 2

2C 2

5＝410＝25，P (AB )＝C 22

C 25＝110，由条件概率公式，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1

10410

＝14. [答案]

若将本例中的事件B ：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数

均为奇数”，则结果如何？

解：P (A )＝C 23＋C 2

2C 2

5＝25，P (AB )＝C 23

C 25＝310，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝34

条件概率的两种求解方法

(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P （AB ）

P （A ）

求P (B |A )．

(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事

件AB 包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）

n （A ）

如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________．

解析：依题意得，P (A )＝2×2π＝2π，P (AB )＝1

2×1×1π＝1

2π

，则由条件概率公式可知，

P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1

答案：14

考点二相互独立事件的概率[学生用书P199]

(2016·唐山统考)某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时

间段，时常发生交通拥堵现象，交警部门统计11月份30天内的拥堵天数．东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18，15，9，15.假设每个入口发生拥堵现象互相独立，视频率为概率．

(1)求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；

(2)设X 表示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求X 的分布列． [解] (1)设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A ，B ，C ，D .

则P (A )＝1830＝35，P (B )＝1530＝12，P (C )＝930＝3

10，

P (D )＝1530＝12

设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M ，则 M ＝ABCD ＋ABCD ＋ABCD ＋ABCD .

则P (M )＝25×12×310×12＋35×12×310×12＋35×12×710×12＋35×12×310×12＝45200＝9

(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4.

P (X ＝0)＝14200＝7100，P (X ＝1)＝55200＝11

40，

P (X ＝2)＝77200，P (X ＝3)＝45200＝9

40，

P (X ＝4)＝9

200

X 的分布列为：

相互独立事件的概率的求法

(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．

(2)正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．

2.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为1

与p ，

且乙投球2次均未命中的概率为1

(1)求乙投球的命中率p ；

(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．解：(1)设“甲投一次球命中”为事件A ，“乙投一次球命中”为事件B .

由题意得：P (B －)P (B －

)＝116，

于是P (B －)＝14或P (B －

)＝－14(舍去)．

故p ＝1－P (B －)＝3

(2)法一：由题设知，P (A )＝12，P (A －)＝1

故甲投球2次，至少命中1次的概率为1－P (A －·A －)＝3

法二：由题设知，P (A )＝12，P (A －)＝1

故甲投球2次，至少命中1次的概率为

C 1

2P (A )P (A －)＋P (A )P (A )＝34

考点三独立重复试验与二项分布(高频考点)[学生用书P200]

独立重复试验与二项分布是高中数学的重要内容，也是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，试题难度较大，多为中高档题目．

高考对独立重复试验与二项分布的考查主要有以下两个命题角度： (1)已知二项分布，求二项分布列；

(2)已知随机变量服从二项分布，求某种情况下的概率．

(2014·高考四川卷节选)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，

每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即

获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为1

，且各次击鼓出现音乐相互独立．

(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列．

(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ [解] (1)X 可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有

P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38

，

P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38

，

P (X ＝100)＝C 33

×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120

＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18

所以X 的分布列为

(2)设“第i i P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝1

所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为

1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512

因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511

512

(1)独立重复试验满足的条件

独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)二项分布满足的条件

①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．

③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．

3.(2016·唐山第一次模拟)小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、

丙随机发放红包，每次发放1个．

(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；

(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列．

解：(1)设“甲恰得1个红包”为事件A ，

则P (A )＝C 1

2×13×23＝49

(2)X 的所有可能取值为0，5，10，15，20.

P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫233

＝8

27，

P (X ＝5)＝C 1

2×13×⎝⎛⎭⎫232＝827，

P (X ＝10)＝⎝⎛⎭⎫132×23＋⎝⎛⎭⎫232

×13＝6

27，

P (X ＝15)＝C 12×⎝⎛⎭⎫132×23＝427

，

P (X ＝20)＝⎝⎛⎭⎫133＝1

27. X

,[学生用书P200])

规范解答——离散型随机变量的综合问题

(本题满分12分)(2015·高考湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金

额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．

(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；

(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．

(1)条件―→列出事件――→事件独立求出事件A 1、A 2、B 1、B 2

的概率――→B 1、B 2

互斥

结果 (2)条件―→次数X 服从二项分布 ―→P （X ）的值―→分布列―→期望

(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}， B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．

由题意知A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2

＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.

因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝1

，(2分)

所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝1

，

(3分)

P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)

＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2)

＝2

5×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12＝12

.(5分) 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝7

.(6分)

(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为1

，

所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15. (7分)

于是P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453

＝64125

， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452

＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450

＝1125

.(10分) 故X 的分布列为

(11分)

X 的数学期望为E (X )＝3×15＝3

.(12分)

(1)解答此类问题，应注意答题要求，严格按照题目及相关知识的要求答

题．

(2)注意分布列要用表格的形式列出来，不要认为求出各个相应的概率就结束了．

1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率是( )

A.512 B ．12 C.712 D ．34

解析：选C.依题意，得P (A )＝12，P (B )＝1

，且事件A ，B 相互独立，则事件A ，B 中至

少有一个发生的概率为1－P (A －·B －)＝1－P (A －)·P (B －

)＝1－12×56＝712，故选C.

2．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝5

，则P (Y ≥2)的值为( )

A.3281 B ．1127

C.6581 D ．1681

解析：选B.因为随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，又P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－(1

－p )2＝59，解得p ＝13，所以Y ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，则P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1127

. 3．将三颗骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不同”，B 为“至少出现一个3点”，则P (A |B )＝( )

A.6091 B ．12 C.712 D ．81125

解析：选A.P (A |B )表示在B 发生的情况下，A 发生的概率，即在“至少出现一个3点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个3点”的情况数目为6×6×6－5×5×5＝91，“三个点数都不相同”则只有一个3点，共C 13×5×4＝60种情况，故P (A |B )＝6091

. 4．如果X ～B ⎝

⎛⎭⎫15，1

4，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．3或4 解析：选D.观察选项，采用特殊值法．

因为P (X ＝3)＝C 315⎝⎛⎭⎫143⎝⎛⎭⎫3412

， P (X ＝4)＝C 415⎝⎛⎭⎫144⎝⎛⎭⎫3411

，

P (X ＝5)＝C 515⎝⎛⎭⎫145⎝⎛⎭⎫3410

，

经比较，P (X ＝3)＝P (X ＝4)＞P (X ＝5)，故使P (X ＝k )取最大值时k ＝3或4.

5．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗的成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．

解析：设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B (发芽又成活为幼苗)．依题意P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9. 根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.

答案：0.72

6．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5

个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率都为1

，用X 表示5位乘客在第20层

下电梯的人数，则P (X ＝4)＝________．

解析：考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X ～

B ⎝⎛⎭⎫5，13，即有P (X ＝k )＝

C k 5⎝⎛⎭⎫13k ×⎝⎛⎭

⎫235－k

，k ＝0，1，2，3，4，5. 故P (X ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫134

×⎝⎛⎭⎫231＝10243

答案：10

243

7．(2015·高考福建卷节选)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．

(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列．

解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A ，

则P (A )＝56×45×34＝1

(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3.

又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝2

所以X 的分布列为

8．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．

(1)求P (A )，P (B )，P (AB )；

(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．

解：(1)P (A )＝26＝1

因为两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．

所以P (B )＝1036＝5

当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P (AB )＝536

. (2)由(1)知P (B |A )＝P （AB ）P （A ）

＝5

3613

＝5

12.

9．(2016·沈阳质量监测)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一

类票的概率都为1

，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决

定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．

(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；

(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望．解：(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A ，则事件A 包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票．

因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为1

，且三人投票相互没有影响，所以P (A )＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫231＋C 33⎝⎛⎭⎫133

＝727

. (2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的可能取值为0，1，2，3.

P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133＝127；P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫231⎝⎛⎭⎫132

＝627＝29；

P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫131

＝1227＝49；P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827

因此X

所以X 的数学期望为E (X )＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×8

＝2.

1．(2016·陕西省质量监测)某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有A ，B 两个定点投篮位置，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分．规则是：每

人投篮三次按先A 后B 再A 的顺序各投篮一次，教师甲在A 和B 点投中的概率分别是12和1

，

且在A ，B 两点投中与否相互独立．

(1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分X 的分布列和数学期望； (2)若教师乙与教师甲在A ，B 投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率．解：(1)根据题意知X 的可能取值为0，2，3，4，5，7，

P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－122×⎝⎛⎭⎫1－13＝16

，

P (X ＝2)＝C 12×12×⎝

⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－12＝1

3， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－12＝112

， P (X ＝4)＝1

2×⎝⎛⎭⎫1－13×12＝16， P (X ＝5)＝C 12

×12×⎝⎛⎭⎫1－12×13＝1

6， P (X ＝7)＝12×13×12＝1

，

所以教师甲投篮得分X 的分布列为：

E (X )＝0×16＋2×13＋3×112＋4×16＋5×16＋7×1

＝3.

(2)教师甲胜教师乙包括：甲得2分，3分，4分，5分，7分五种情形．这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率为

P ＝13×16＋112×⎝⎛⎭⎫16＋13＋16×⎝⎛⎭⎫16＋13＋112＋16×⎝⎛⎭⎫16＋13＋112＋16＋112×⎝⎛⎭⎫1－112＝1948

. 2．(2016·武汉调研)某次飞镖比赛中，规定每人至多发射三镖．在M 处每射中一镖得3分，在N 处每射中一镖得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止发射，否则发射第三镖．某选手在M 处的命中率q 1＝0.25，在N 处的命中率为q 2.该选手选择先在M 处发射一镖，以后都在N 处发射，用X 表示该选手比赛结束后所得的总分，其分布列为

(1)求随机变量X (2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率的大小．

解：(1)设该选手在M 处射中为事件A ，在N 处射中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，

且P (A )＝0.25，P (A －)＝0.75，P (B )＝q 2，P (B －

)＝1－q 2.

根据分布列知：当X ＝0时， P (A － B － B －)＝P (A －)P (B －)P (B －

)＝0.75(1－q 2)2＝0.03，所以1－q 2＝0.2，q 2＝0.8.

当X ＝2时，P 1＝P (A － B B －＋A － B － B )＝P (A －)P (B )P (B －)＋P (A －)P (B －

)P (B )＝0.75q 2(1－

q 2)×2＝0.24，

当X ＝3时，

P 2＝P (A B －B －)＝P (A )P (B －)P (B －)

＝0.25(1－q 2)2＝0.01，

当X ＝4时，

P 3＝P (A －BB )＝P (A －)P (B )P (B )＝0.75q 22＝0.48，

当X ＝5时，P 4＝P (A B －B ＋AB )＝P (A B －B )＋P (AB )

＝P (A )P (B －)P (B )＋P (A )P (B )

＝0.25q 2(1－q 2)＋0.25q 2＝0.24.

所以随机变量X 的分布列为：

(2)＝0.72. 该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率为

P (B －BB ＋B B －B ＋BB )＝P (B －BB )＋P (B B －B )＋P (BB )

＝2(1－q 2)q 22＋q 22＝0.896.

所以该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率大．

9二项分布及其应用-简单难度-讲义

二项分布及其应用引入姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0．8，假设他每次命中率相同,请问他4投3中的概率是多少? 问题1：在4次投篮中姚明恰好命中1次的概率是多少? 问题2：在4次投篮中姚明恰好命中2次的概率是多少? 问题３：在4次投篮中姚明恰好命中3次的概率是多少? 问题4：在4次投篮中姚明恰好命中4次的概率是多少？问题5：在n 次投篮中姚明恰好命中k 次的概率是多少? 解读 1、条件概率（1）条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．（2）条件概率公式：()()() P A B P B A P A = I 其中()0P A A B >I ，称为事件A 与B 的积或交（或积）．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =I （或D AB =）．（3）条件概率的求法： ①利用定义，分别求出()P A 和()P B A ，得()()() P A B P B A P A = I ． ②借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数，即()n A 再求事件()n A B I ，得()()() n A B P B A n A = I ． 2、相互独立事件同时发生的概率（1）事件的独立性：如果事件A (或B )是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．

如果事件A 与B 相互独立，那么事件A B g 发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即()()()P A B P A P B =g g ．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯I I L I L ，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．（2）“相互独立”与“事件互斥” 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型)．两事件相互独立不一定互斥． 3、二项分布（1）独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L ．（2）二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =L ．于是得到X 由于表中的第二行恰好是二项展开式 001110()C C C C n n n k k n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++L L 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．

二项分布及其应用(答案)

二项分布及其应用【知识要点】一、条件概率及其性质 1、条件概率一般地，设A ，B 为两个事件，且0)(>A P ，称) ()()(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。 2、性质（1）任何事件的条件概率都在0和1之间，即1)(0≤≤A B P . （2）如果B 和C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P ==Y 。【例题1—1】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则=)(A B P （ B ） A 、81 B 、41 C 、52 D 、21 【例题1—2】在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 2 1 。【例题1—3】某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ A ） A 、0.8 B 、0.75 C 、0.6 D 、0.45 【例题1—4】从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为（ A ） A 、172 B 、152 C 、51 D 、10 3 【例题1—5】把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则=)(A B P （ A ）

A 、21 B 、4 1 C 、61 D 、81 【例题1—6】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则在从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是 9 4 。二、相互独立事件及n 次独立重复事件 1、相互独立事件同时发生的概率 (1)相互独立事件的定义：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （A ）发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。一般地，事件A 与B 相互独立，那么事件A 与B ,A 与B ，A 与B 也都是相互独立的。 (2) 相互独立事件同时发生的概率：对于事件A 和事件B ，用A ·B 表示事件A 与B 同时发生的事件。如果事件A 与B 相互独立，那么事件A ·B 发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P(A ·B) =P(A) ·P(B)。一般地，如果事件n A A A ,,,21???相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即：)()()()(2121n n A P A P A P A A A P ???=???. 2、独立重复试验与二项分布（1）独立重复试验的意义：做n 次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验。 (2)一般地，在n 次独立重复实验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为n k p p C k X P k n k k n ,,2,1, 0,)1()(???=-==-。此时称随机变量X 服从二项分布，记作：X ～B(n ，p)，并称p 为成功概率。【例题2—1】甲，乙两人射击的命中率分别是0.8和0.7，两人同时射击互不影响，结果都命中的概率为( A ) A 、0.56 B 、0.06 C 、0.14 D 、0.24

二项分布及其应用

二项分布及其应用 1．相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (3)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立． 2．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称题型一相互独立事件的概率例1 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12 与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116 . (1)求乙投球的命中率p ； (2)求甲投球2次，至少命中1次的概率； (3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．练：甲、乙两运动员，对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9， (1)两人都射中的概率； (2)两人中恰有一人射中的概率； (3)两人中至少一人射中的概率； (4)两人中至多一人射中的概率．甲、乙、丙做一道题，甲做对的概率12，三人都做对的概率124，三人全做错的概率是14 . (1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率．

随机变量及其分布--二项分布及其应用

二项分布及其应用知识点一、条件概率 1.一般的，设A,B 为两个事件，且0)(>A P ，则称) () ()|(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。)|(A B P 读作：A 发生的条件下B 发生的概率。 2.条件概率的性质：（1）1)|(0≤≤A B P ；（2）必然事件的条件概率为1；不可能事件的条件概率为0. （3）若事件B 与C 互斥，)|()|()|(A C P A B P A C B P +=Y 二、相互独立事件 1.设A ，B 为两个事件，若)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与事件B 相互独立。 2.条件概率的性质：（1）若事件A 与B 相互独立，则)()|(B P A B P =，)()|(A P B A P =，)()()(B P A P AB P =。（2）如果事件A 与B 相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 三、独立重复试验与二项分布 1.独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。 2.二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则 n k p p C k X P k n k k n ,,2,1,0,)1()(Λ=-==-。此时称随机变量X 服从二项分布，记作),(~p n B X

题型一条件概率【例1】已知P (B |A )＝13，P (A )＝2 5，则P (AB )等于( ) A.56 B.910 C.2 15 D.1 15 【例2】抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P (A |B )等于 ( ) A.25 B.12 C.35 D.4 5 【例3】任意向x 轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问： (1)该点落在区间????0，1 3内的概率是多少？ (2)在(1)的条件下，求该点落在???? 15，1内的概率．【过关练习】 1.电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了1 5 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( ) A ．0.75 B ．0.60 C ．0.48 D ．0.20 2.设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为3 10，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为1 2 ，则事件A 发生的概率为________． 3.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.

《二项分布及其应用》教案 (1)

一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1 条件概率（1）定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号(/)P B A 来表示，其公式为() (/)() P A B P B A P A = （2）条件概率具有的性质：（1）非负性：0(/)1P B A ＃；（2）可加性：如果B 和C 是两个互斥事件，则(/)(/)(/)P B C A P B A P C A =+U 考点/易错点2 相互独立事件（1）定义：对于事件A 和B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A,B 为相互独立事件（3）相互独立事件的概率性质：①若A 与B 相互独立，则(/)(),()(/)()()()P B A P B P A B P B A P A P A P B ===g g ②如果事件12,,,n A A A g g g 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =鬃 g g g g g g ③若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立考点/易错点3 独立重复试验与二项分布 ①独立重复试验：一般的，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验 ②二项分布：一般的，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1)(0,1,2)k k n k n p x k C p p k n -==-=鬃，此时称随机变量X 服从二项

【高中数学】二项分布及其应用

【高中数学】二项分布及其应用一、条件概率 1.定义：对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。记作P(B |A),读作A发生的条件下B的概率。 2.事件的交(积):由事件A和事件B同时发生所构成的事件D,称为事件A与事件B的交(或积)。记作D=ANB或D=AB 3. 条件概率计算公式： P(B | A)相当于把A B发生的概率：若P(A)>0,则P(AB)=P(B | A) · P(A)(乘法公式);O≤P(B | A)≤1 . 4. 公式推导过程： 5. 解题步骤：例1. 10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率. 解：设A={第一个取到次品},B={第二个取到次品} 所以，P(B | A)=P(AB)/P(A)=2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9. 二、相互独立事件 1. 定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。说明： (1)判断两事件A、B是否为相互独立事件，关键是看A(或B)发生与否对B(或A)发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立. (2)互斥事件是指不可能同时发生的两个事件. 相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响. (3)如果A、B是相互独立事件，则A的补集与B的补集、A与B的补集、A的补集与B也都相互独立. 2. 相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。则有：P(A●B)=P(A)●P(B) 说明： (1)使用时，注意使用的前提条件；

二项分布及其应用

二项分布及其应用一、学习目标： 1、了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念； 2、理解n 次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题。二、重点、难点：独立重复试验及二项分布三、导读、导思： 1、条件概率及其性质（1）对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做，用符号来表示，其公式为() A B P 在古典概型中，若用)(A n 表示事件A 中基本事件的个数,则(P . （2）条件概率具有的性质： ① ； ②如果B 与C 是两互斥事件，则=⋃)(A C B P . 2、相互独立事件（1）对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称（2）若A 与B 相互独立，则() =A B P ，=)(AB P = （3）若A 与B 相互独立，则，，也都相互独立。（4）若()()()B P A P AB P =,则。 3、二项分布（1）独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的。（2）在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为（p 为事件A 发生的概率），事件A 发生的次数是一个随机变量X ，其分布列为，记为。四、导练展示： 1、在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分布从不同方位对同一目标发动攻击（各放射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为 ,8.0,9.0,9.0若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（） A 、0.998 B 、0.046 C 、0.002 D 、0.954 2、在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球，如果不放回地依次取两个球，在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率。 3、甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率。 4、某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m 处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m 处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分。已知射手甲在100m 处击中目标的概率为,21 他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的。（1）求这位射手在三次射击中命中目标的概率；（2）求这位射手在这次射击比赛中得分的分布列。五、达标训练： 1、某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败，第二次成功的概率是（） A 、 101 B 、102 C 、108 D 、10 9 2、两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分布为b a ,，则产生故障的电脑台数的均值为（） A 、ab B 、b a + C 、a -1 D 、b a --1 3、某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：（1）都抽到某一指定号码；（2）恰有一次抽到某一指定号码；（3）至少有一次抽到某一指定号码。 4、小明上学途中必须经过A 、B 、C 、D 四个交通岗，其中在A 、B 岗遇到红灯的概率均为21，在C 、D 岗遇到红灯的概率均为31 。假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，X 表示他遇到红灯的次数。（1）若3≥X ，就会迟到，求小明不迟到的概率；（2）求X 的分布列。六、反思小结：

二项分布的应用

二项分布的应用一、二项分布的基本概念在概率论和统计学中，二项分布是一种离散概率分布，用于描述在重复进行n次独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。这里的伯努利试验指的是只有两种可能结果的试验，例如投硬币的正面和反面。二项分布的概率函数可以表示为： P(X=k)=C n k⋅p k⋅(1−p)n−k 其中，X表示成功的次数，k表示成功的次数的取值，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率，C n k表示组合数，即从n个元素中选择k个元素的组合数。二、二项分布的应用场景二项分布在实际生活和科学研究中有广泛的应用。下面我们将介绍几个常见的二项分布应用场景。 2.1 针头质量检验假设一家医疗器械公司生产了10,000支注射器，每支注射器的针头都通过了质量检验的成功率为0.95。我们可以使用二项分布来估计在10,000支注射器中，合格的注射器数量的概率分布。 2.2 投资决策假设我们正在考虑投资一家初创公司，该公司有50%的概率在第一年实现盈利，如果盈利，则投资会有2倍的回报。我们可以使用二项分布来计算投资成功的概率以及预期回报。 2.3 产品质量控制假设一家电子产品制造商在生产过程中有5%的概率出现某一组件错误。为了保证产品质量，制造商进行了100次独立的质量检验。我们可以使用二项分布来估计在100次质量检验中出现不合格产品的概率。

三、二项分布的计算方法对于二项分布的计算，可以使用Excel或统计软件进行求解。下面我们将介绍使用Excel进行二项分布计算的方法。 3.1 Excel函数BINOM.DIST Excel中的BINOM.DIST函数可以用来计算二项分布的概率。该函数的语法如下：BINOM.DIST(x, n, p, cumulative) 其中，x表示成功的次数，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率，cumulative表示是否计算累积概率。通过调整这些参数，我们可以得到相应的二项分布概率值。 3.2 Excel示例假设我们有一个包含10个硬币的袋子，每个硬币正面的概率为0.6。我们想要计算在抽取3次硬币的过程中，出现2次正面的概率。在Excel中，我们可以使用以下函数来计算： =BINOM.DIST(2, 3, 0.6, FALSE) 计算结果约为0.432。四、二项分布的性质和推广二项分布具有以下几个重要的性质： 1.期望和方差：二项分布的期望为np，方差为np(1−p)。 2.正态近似：当试验次数n足够大时，二项分布可以近似为正态分布。这个性质在实际应用中非常有用，可以简化计算。 3.推广：二项分布可以推广到多项分布，多项分布描述了在一次试验中有多个可能的结果的情况。五、结论二项分布作为一种重要的概率分布，在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。通过对二项分布的理解和应用，我们可以更好地分析和解决实际问题。在计算二项分

专题2.2 二项分布及其应用-20届高中数学同步讲义(理)人教版(选修2-3)

2.2 二项分布及其应用 1．条件概率的概念一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称|()P B A =________________为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．|()P B A 读作A 发生的条件下B 发生的概率．注意：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行． 2．条件概率的性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即________________．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．（3）如果B 和C 是两个互斥事件，则()|||()()P B C A P B A P C A =+． 3．条件概率的计算方法（1）利用定义计算：先分别计算概率()P AB 和()P A ，然后代入公式() ()() |P AB P B A P A = 即可．（2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件A 包含的基本事件数()n A ，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数()n AB ，则|()P B A =________________．学-科网 4．相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果(|) ()P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设 ()0P A >，根据条件概率的计算公式，() ()()() |P AB P B P B A P A == ，从而()()()P AB P A P B =．由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若________________，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．（3）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2,)n n n >∈*N 个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相

考点12 二项分布及其应用(学生版)

考点12 二项分布及其应用概率与统计，是历年高考的必考点，尤其是新高考改革后，各卷都有考查，其主要考查内容有：数字特征与概率的计算问题、随机变量的均值与方差、回归分析与独立性检验、二项分布及其应用等。例如：2020年北京高考[18]，2022年全国新高考卷Ⅱ[19]，2022年全国新高考卷Ⅰ[20]，等都对数字特征与概率的计算问题进行了考查。〔1〕求独立重复试验的概率求独立重复试验概率的3个步骤 (1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验. (2)分析：分析所求事件的构成. (3)计算：对每个事件依据n次独立重复试验的概率公式进行求解，最后利用互斥事件的概率加法公式计算。〔2〕二项分布及其实际应用 1.二项分布的判断：判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否满足以下两个条件： (1)在一次试验中事件A只有两种试验结果(发生和不发生)，而且事件A发生的概率为p，事件A发生的概率为1-p； (2)试验可以独立重复地进行，即每重复做一次试验，事件A发生的概率都是同一常数p，事件A发生的概率都是1—p. 2.运用二项分布求概率的一般方法 (1)根据题意设出随机变量； (2)分析出随机变量服从二项分布； (3)明确参数n，p，写出二项分布的分布列； (4)将k值代入表达式(公式)求出概率。〔3〕二项分布与超几何分布辨析有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样时，取出一个总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型.因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样。例1．（2022·全国·新高考卷Ⅱ·19）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

二项分布的应用实例

二项分布的应用实例二项分布是概率论中的一种离散概率分布，常用于描述在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。它在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍二项分布的几个应用实例。 1. 投资决策假设某公司有一个新产品，他们需要决定是否投资生产该产品。为了评估投资的风险和回报，他们可以使用二项分布来估计不同销售量下的利润。假设每个潜在客户购买该产品的概率为p，而每个客户购买与否是独立的。通过使用二项分布，公司可以计算出在不同销售量下的利润的概率分布，从而做出更明智的投资决策。 2. 品质控制在制造业中，品质控制是非常重要的。假设某工厂生产的产品有一定的缺陷率，工厂需要确定每批产品中有多少个缺陷品。通过使用二项分布，工厂可以计算出在不同批次中缺陷品的数量的概率分布，从而制定出合理的品质控制策略。 3. 贷款违约率银行在发放贷款时需要评估借款人的违约风险。假设某银行发放的贷款有一定的违约率，银行可以使用二项分布来估计在不同贷款金额下的违约次数的概率分布。通过对违约风险的准确评估，银行可以制定出合理的贷款利率和风险管理策略。

4. 选举结果预测在选举中，候选人的得票数是一个随机变量。假设某选区有两个候选人，每个选民投票给每个候选人的概率相同且独立。通过使用二项分布，可以估计不同选民数量下每个候选人获得的选票数的概率分布，从而预测选举结果。 5. 生物学实验在生物学实验中，研究人员经常需要进行一系列的试验来验证某种假设。例如，研究人员想要确定某种药物对细胞的治疗效果。通过使用二项分布，可以计算出在不同试验次数下成功治疗的细胞数量的概率分布，从而评估药物的疗效。总结起来，二项分布在投资决策、品质控制、贷款违约率、选举结果预测和生物学实验等领域都有着广泛的应用。通过使用二项分布，可以对不同事件发生次数的概率分布进行准确估计，从而帮助人们做出更明智的决策。

二项分布及其应用题型总结

二项分布专题训练一．选择题 1．甲、乙两人独立地解同一问题，甲能解决这个问题的概率是1p ，乙能解决这个问题的概率是2p ，那么其中至少有1人能解决这个问题的概率是（ D ） A ．21p p +； B ．21p p ⋅； C ．211p p ⋅-； D ．121(1)(1)p p ---. 2．在一个盒子中有大小相同的10个球，其中6个红球，4个白球，两人无放回地各取一个球，则在第一个人摸出红球的条件下，第二个人也摸出红球的概率是（ A ） A ． 13； B ．23； C ．4 9 ； D ．59. 【解析】设“第一个人摸出红球”为事件A ，“第二个人摸出红球”为事件B ，则()11 692 1054 90C C P A A ⋅==，()11 652 1030 90 C C P AB A ⋅==，则()()()5|9P AB P B A P A ==。 3．两个独立事件1A 和2A 发生的概率分别为1p 和2p ，则有且只有一个发生的概率为 .()()122111p p p p -+- 4． (04年重庆) 甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5，计算： ⑴三人各向目标射击一次，求恰有两人命中目标及至少有一人命中目标的概率； ⑵若甲连续射击三次，求他恰好一次命中的概率. 解：⑴设i A (3,2,1=i )表示事件“第i 人命中目标”，显然1A 、2A 、3A 相互独立，且7.0)(1=A P ， 6.0)(2=A P ，5.0)(3=A P . 三人中恰有两人命中目标的概率为 44.0)(321321321=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅A A A A A A A A A P . 三人中恰有至少有一人命中目标的概率为 94.0)(1321=⋅⋅-A A A P . ⑵设k A 表示“甲在第k 次命中目标”，3,2,1=k .显然1A 、2A 、3A 相互独立，且 7.0)()()(321===A P A P A P . 甲连续射击三次，恰好一次命中的概率为

二项分布及其应用、正态分布

二项分布及其应用、正态分布作者：余树宝来源：《数学金刊·高考版》2015年第02期二项分布与正态分布是常见的随机变量概率分布模型，也是高考理科数学的必考内容之一. 纵观历年的高考试题，有关二项分布与正态分布的问题，尤其是二项分布的问题经常在解答题中出现，因此重视此类问题的解决非常重要. 重点难点重点：理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题；了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 难点：正确判断随机变量的概率分布模型；正确应用二项分布、正态分布等有关知识解决生产、生活中的实际问题. 方法突破 1. 判断随机变量的概率分布是否为二项分布模型，首先要判断随机试验是否为独立重复试验，此时就要看每次试验的条件是否相同，如果不同，那么某事件发生的次数X不会服从二项分布. 因此，二项分布只有事件满足以下条件时才能适用：（1）每次试验的结果只有一种并且是相互对立的，如正面或反面，活着或死亡等. （2）如果某一事件发生的概率为p，那么其对立事件发生的概率为1-p. 在实际计算中，p 是从大量观察中获得的比较稳定的数值. （3）在相同的条件下进行n次试验，并且每次试验的结果是相互独立的，即每次试验的结果是不会受到其他试验结果影响的，就像要求疾病无家族性、无传染性等. 2. 二项分布B（n，p）中有两个参数，一个是独立重复试验的总次数n，另一个是每次试验中某事件A发生的概率p. 正确解决二项分布问题首先要准确地确定好这两个量. 3. 若随机变量X∽B（n，p），则P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n），它恰好是（q+p）n的二项展开式中的第k+1项（其中q=1-p），故名二项分布. 其分布列为：其数学期望与方差可直接由E（X）=np，D（X）=np（1-p）来进行计算，这样可以大大减少运算量，提高解题速度.

高中数学二项分布及其应用

二项分布及其应用二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有着重要的地位：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生K 次的概率为 P(X=k)=C n k p k (1-p)n-k ,k=0,1,2,…,n ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B(n,p)，并称p 为成功概率。二项分布是一种常见的重要离散型随机变量分布列，其识别特点主要有两点：其一是概率的不变性；其二是试验的可重复性，下面加以例谈。例题1 某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的。现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦电力，这10台机床能够不因电力不足而无法工作的概率为多大？在一个工作班的8小时内，不能正常工作的时间大约是多少？解析：设10台机床中实际开动的机床数为随机变量ξ，由题意知满足二项分布，即ξ～B （10，p ），其中p 是每台机床开动的概率，p=5 16012= ,从而)10,2,1,0()5 4()51()(1010 ===-k C k P k k k ξ ， 50千瓦电力可同时供5台机床同时开动，因而10台中同时开动数不超过5台都可以正常工作，这一事件的概率 5 5510644107331082210911010010)5 4()51()54()51()54()51()54()51()54)(51()54()5(C C C C C C P +++++=≤ξ994.0≈。由以上知，在电力供应为50千瓦的条件下，机床不能正常工作的概率仅为0.006，从而一个工作班的8小时内不能正常工作的时间大约为8×60×0.006=2.88（分钟），这说明，10台机床的工作基本不受电力供应紧张的影响。例题2 有两袋相同的球，每袋中各有n 个，一个人随意从任一袋中一个一个地取球，经过一段时间以后，他发现有一袋球空了，求这时另一袋中还剩r (r=0,1,2, … ,n)个球的概率。解析：将每次取出一个球看作一次独立试验，每次试验有两个可能的结果：取的是第一袋的球或者是第二袋的球，它们出现的概率均是2 1。由于两袋球共有2n 个，当第一袋的球被取空、第二袋里还剩r 个时，共取了2n-r 个，概率应为 n r n r n n r n n r n n r n C C n P 222222)2 11()21()(------=-= 点评：公式k n k k n n p p C k P --=)1()(，是n 次独立试验中某事件A 恰好发生k 次的概率，其中n 是重复试验的次数，p 是在一次试验中该事件A 发生的概率，k 是n 次独立重复试验中事件A 恰好发生的次数。弄清公式中这些量的意义，才能正确使用这一公式求解。同步测试： 1、下面关于X ～B(n,p)的叙述： ① p 表示一次试验事件发生的概率；

二项分布应用举例

二项分布及其应用知识归纳 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做，用符号来表示，其公式为P (B |A )＝ . 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝ . (2)条件概率具有性质： ① ； ②如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ＋C |A )＝． 2．相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝． (3)若A 与B 相互独立，则，，也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则． 3．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为 (p 为事件A 发生的概率)，若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为．自我检测 1．(2011·辽宁高考，5)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.2 5 D.1 2 解析：条件概率P (B |A )＝P AB P A P (A )＝C 23 ＋1C 25＝410＝25，P (AB )＝1C 25＝1 10，∴P (B |A )＝11025＝14 . 2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( ) A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582 B ． C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238 C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382 D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭ ⎪⎫582 解：事件{ξ＝12}表示第12次取到红球，前11次取到9个红球，故P (ξ＝12)＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫582·38 . 3．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )

第九章第8讲二项分布及其应用

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