高中数学专题——二项分布

二项分布

【知识网络】

1、条件概率的概念、公式、性质，并能运用它们计算事件的概率；

2、两个事件相互独立的概念，判断两个事件是否是相互独立事件；

3、理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 【典型例题】 例1：（1）将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率

)

(B A P 等于 （ ）

A 、9160

B 、21

C 、185

D 、21691

答案：A 。

解析：1515519115460()60(),()3,(|)666666216666216()91

P AB P B P AB P A B P B =

+⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯=∴==。

（2）某人射击命中目标的概率为0.6,每次射击互不影响,连续射击3次,至少有2次命中目标的概率为 ( )

A.12584

B. 12581

C. 12536

D. 12527

答案：B 。解析：

12581)53(52)53(333225=

+⋅C C 。 （3）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是71

，现在甲、乙两人从

袋中轮流摸出1球，甲先取，乙后取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球每一次被取到的机会是等可能的，那么甲取到白球的概率是 （ ）

A 、73

B 、356

C 、351

D 、3522

答案：D 。解析：设白球有n 个，227

1

,3,7

n

C n C

=

=∴P 甲=

34334321227765765435+⨯⨯+⨯⨯⨯=。 （4）某气象站天气预报准确率是80%，5次预报中至少有4次准确的概率是______(精确

到0.01) 。 答案：0.74。解析：

74

.08.02.08.0)(555445≈⋅+⨯⨯=C C A P 。

（5）在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是 。

答案：95

。解析：设“第一次摸到红球”为事件A ，“第二次摸到红球”为事件B ，则

665(),()10109P A P AB ⨯=

=⨯，∴(|)()/()5/9P A B P AB P A ==。

例2：甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为

()

1212,P P P P >，已知该题被甲或

乙解出的概率为0.8，甲乙两人同时解出该题的概率为0.3，求: （1）

12

, P P ;

（2）解出该题的人数X 的分布列及EX .

答案：解：（1）设甲乙两人解出该数学题分别为事件A 和B ，则

12

(),()P A P P B P ==，

所以()()

()()0.80.3P A B P A B P A B P A B ⎧⋅+⋅+⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()12211212110.80.3P P P P P P P P ⎧-⋅+-⋅+⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩

解之得120.6,0.5

P P ==

（

2

）

(0)0.40.50.2P X ==⨯=，

(1)0.60.50.40.50.5

P X ==⨯+⨯=，

(2)0.60.50.3P X ==⨯=

所以00.20.510.32 1.1EX =⨯+⨯+⨯=。

例3：高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下

发芽成功的概率为31

，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.

（Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实 验至少有3次发芽成功的概率；

（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发 芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数最多 不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列和数学期望． 答案：解（Ⅰ）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发牙成功 设5次试验中发芽成功的次数为随机变量X ，则

P （X=3）=33

251240()()33243C ⋅= 4451210(4)()33243P X C ==⋅=

555121(5)()33243P X C ==⋅=

所以至少有3次发芽成功的概率)5()4()3(=+=+==X P X P X P P

4010151243243243243=

++=

（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，5

1(1)3P ξ==

212(2)339P ξ==⋅= 2214

(3)()3327P ξ==⋅=

3218(4)()3381P ξ==⋅= 4216

(5)()1381P ξ==⋅=

所以ξ的分布列为

ξ的数字期望81211

8116581842743922311=

⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE

例4：设飞机A 有两个发动机，飞机B 有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，

飞机就能安全飞行。现设各发动机发生故障的概率p 是 t 的函数1t p e λ-=-，其中t 为发

动机启动后所经历的时间，λ为正常数，试论证飞机A 与飞机B 哪一个更安全(这里不考虑其他故障)。

答案：解：设飞机A 能安全飞行的概率为1P ，飞机B 能安全飞行的概率为2P ，则

222

21211)1()1(p p C p p C P -=-+-=

43434443342341)1(41)1(1p p p p p p C p p C P +-=---=---=

)

1)(31

(3)1)(13()143(43223223412--=--=+-=+-=-p p p p p p p p p p p p P P

又 t

e

p λ--=1 所以

)

32

()1(3212-⋅⋅-=----t t t e e e P P λλλ 当

23ln

1

λ

>

t 时，32

0<<-t e λ，012<-P P ，12P P <； 当

23ln

1

λ

=

t 时，32

=-t e λ，012=-P P ，12P P =； 当

23ln

1

λ

<

t 时，32

>-t e λ，012>-P P ，12P P >；

故当

23ln

1

λ

>

t 时，飞机A 安全；当23ln 1λ=t 时，飞机A 与飞机B 一样安全；当

23

ln

1λ

【课内练习】

1．在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是8165

，则事

件A 在一次试验中出现的概率是 （ ）

A 、31

B 、52

C 、65

D 、32

答案：A 。解析：设A 发生概率为P ，

46511(1),813P P --=

=。

2．把一枚硬币抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现反面”，则)

(A B P 等于 （ ）

A .21

B .41

C .31

D . 1

答案：A 。解析：

()11

1(),(),(|)24()2P AB P A P AB P B A P A =

===。

3．甲、乙两人独立解同一个问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有一人解决这个问题的概率是 （ ） A 、21p p B 、)1()1(1221p p p p -+- C 、211p p - D 、)1)(1(121p p ---

答案：B 。解析：恰好有一人解决这个问题是指甲解决且乙未解决，与乙解决且甲未解决这两

个互斥事件有一个发生。

4．一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，用X 表示取球的次数，则==)12(X P 。

答案：

10

2

2118385⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C 。解析：==)12(X P 10

2

2118385⎪

⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C 。 5．抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下, 则第二次掷得向上一面

点数也是偶数的概率为 。

答案：21。解析：设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为A,第二次掷得向上一面点数是偶数的事件为B,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,第二次掷得向上一面点数也是

偶数的概率为

21

3618369)()()(=

==

A P A

B P A B P 。

6．已知每个人的血清中含有乙型肝炎病毒的概率为3‰，混合100人的血清，则混合血清中有乙型肝炎病毒的概率约为 。

(参考数据：0.996100≈0.6698，0.997100≈0.7405，0.998100≈0.8186)

答案：0.2595。解析：P=1－()100

003.01-≈0.2595。

7．一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0到9中任选一个，某人在银行自动提款

机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，则（1）任意按一位数字，不超过2次就按对的概率为 ；（2）如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过两次就按对的概率为 。

答案：12;55。解析：（1）1911101095P ⨯=+=⨯，（2）

14125545P ⨯=+=⨯。 8．设随机变量X —B(2,P)，Y —B(3,P ），若

7

(1)16P X ≥=

,则P （Y=2）= .

答案:964.解析：27(1)1(0)1(1)16P X P X P =≥=-==--，解得14P =

， 故

223139

(2)()4464P Y C ==⋅⋅=

。 9．一高考考生咨询中心有A 、B 、C 三条咨询热线。已知某一时刻热线A 、B 占线的概率均为0.5，热线C 占线的概率为0.4，各热线是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ条热线占线，试求随机变量ξ的分布列和它的期望。 答案：解：随机变量ξ可能取的值为0，1，2

依题意，得P(ξ=0)=0.15， P(ξ=1)=0.4，P(ξ=2)=0.35，P(ξ=3)=0.1 ∴ξ的分布列如下表：

∴它的期望为E ξ=0⨯0.15+11.0335.024.0⨯+⨯+⨯=1.4。

10．某校要组建明星篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A 级的可作为入围选

手，选拔过程中每人投篮5次，若投中3次则确定为B 级，若投中4次及以上则可确定为A 级，已知某班同学阿明每次投篮投中的概率是0.5. （1）求阿明投篮4次才被确定为B 级的概率；

（2）设阿明投篮投中次数为X ，求X 的分布列及期望；

（3）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率.

答案：解：（1）阿明投篮4次才被确定为B 级的概率

163

2121)21(223=

⨯⨯=C P .

（21(5,)

2

5()2E X =

（3）若连续两次投篮不中则停止投篮，阿明不能入围这一事件有如下几种情况：

①5次投中3次，有2

4

C 种投球方式，其概率为

163)21()3(5

24=

=C P ； ②投中2次，分别是中中否否、中否中否否、否中中否否、否中否中否，概率是

325

)21(3)21()2(54=

⨯+=P ；

③投中1次分别有中否否、否中否否，概率为

163

)21()21()1(43=

+=P ； ④投中0次只有否否一种，概率为

41

)21()0(2=

=P ； 所以阿明不能入围这一事件的概率是

3225

)0()1()2()3(=

+++=P P P P P 。

【作业本】 A 组

1．在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，从中任取2支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽得是正品的概率是 （ ）

A 、51

B 、458

C 、98

D 、54

答案：C 。解析：第一次抽次品后余下9件，其中有8件正品，∴

89P =

。

2．设每门高射炮命中飞机的概率是0.6，今有一架飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少99%的概率命中它 （ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6

答案：D 。解析：1(0.4)99%n

-≥，n>5,n=6。

3．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地摸球，用A 表示第一次摸得白球，B 表示第二次摸到白球，则A 与B 是 （ ）

A 、互斥事件

B 、相互独立事件

C 、对立事件

D 、不相互独立事件 答案：D 。解析：A 与B 相互有影响且可以同时发生。

4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮风的概率是152

，既刮风又下雨的概率是101

，设A=“刮风”，B=“下雨”，)(A B P = ；)(B A P = 。

答案：

33

,48。解析：()()()241

,,151510P A P B P AB ===

∴

)

(A B P =

()

()

3

4

P AB P A =

；

)

(B A P =

()

()

3

8

P AB P B =。

5．设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等品的 概率是 。

答案：0.72。解析：设A=“任取一件产品为一等品”，B=“任取一件产品为合格品”，所求概率为()()(|)(10.04)0.750.72P A P B P A B =⋅=-⨯=。

6．已知甲、乙、丙三名射击运动员集中目标的概率分别是0.7，0.8，0.85，若他们分别向目标各发一枪，命中弹数记为X,求X 的分布列及期望.

7．现有甲、乙两个盒子，甲盒中装有4个白球和4个红球，乙盒中装有3个白球和若干个红

球，若从乙盒中任取两个球，取到同色球的概率是2813

.

（1）求乙盒中红球的个数；

（2）若从甲盒中任取两个球，放入乙盒中均匀后，再从乙盒中任意取出2个球放回到甲盒中，求甲盒中白球没有增加的概率；

（3）从甲、乙两个盒子中各任取两个球进行交换，若交换后乙盒子中的白球数和红球数相等，就说这次交换是成功的，试求当进行150次交换（都从初始状态交换）时，大约有多少次是成功的.

答案：解：（1）设乙盒中有n 个红球，由已知可得22

32

3

13

28n n C C C ++=，解的n=5，即乙盒中含有5

个红球.

（2）若甲盒中白球增加了，则有以下两种情况：

从甲盒中取出了两个红球，放入乙盒中均匀后从乙盒中取出两个白球或一个白球一个红球放

入甲盒中，此时的概率是

354

2

10171323282

41=+⨯=C C C C C C P ；

从甲盒中取出一个红球和一个白球，放入乙盒中均匀后从乙盒中取出2个白球放入甲盒中，

此时概率是

10582

10242814142=⨯=C C C C C P ； 所以甲盒中白球增加了的概率是2141058354=

+，所以甲盒中白球没有增加的概率是2117.

（3）从甲乙两个盒中各取2个球交换后乙盒中白球数和红球数相等的情况有以下两种： 一是从甲盒中取２个白球与乙盒中取１个白球、一个红球进行交换；二是从甲盒中取出１个白球、１个红球与乙盒中取出２个红球进行交换；

所以概率是

11221135

5444

22

2

28

8

8

8

125347

C C C C C C P C

C

C

C

=

⨯

+

⨯

=

.∴

125

15054347⨯

≈(次)，即大约有54次是成功的。

8．在2006年多哈亚运会中，中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以

往战况，中国女排每一局赢的概率为53

。已知比赛中，第一局日本女排先胜一局，在这个条

件下，

（Ⅰ）求中国女排取胜的概率；

（Ⅱ）设决赛中比赛总局数ξ，求ξ的分布列及ξE 。（（Ⅰ）（Ⅱ）均用分数作答） 答案：（Ⅰ）解：中国女排取胜的情况有两种： ①中国女排连胜三局；

②中国女排在第2局到第4局中赢两局，且第5局赢。 故中国女排取胜的概率为

535253532

233

⨯⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=C p 62529762516212527=

+= ，∴所求概率为625297 （Ⅱ）比赛局数ξ

则

25452)3(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ξP 1255153525352)4(2

12=

⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅==C P ξ

12554625270535253525352)5(2

2321

3

==⋅⋅⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=

=C C P ξ ξ的分布列为:

1255341255451255142543=⨯+⨯+⨯

=ξE 。

B 组

1．在某一试验中事件A 出现的概率为p ，则在n 次试验中A 出现k 次的概率为（ ）

A 、1－k

p B 、()k n k p p --1 C 、1－()k p -1 D 、()k n k

k n p p C --1

答案：D 。解析：设在n 次试验中A 出现X 次，则X ～B （n ，1－p ），P （X=k ）=()k

n k

k n p p C --1。

2．已知

)(,21

)(,43)(AB P A B P A P 则==

等于 （ ）

A 、32

B 、83

C 、31

D 、85

答案：B 。解析：

()()()832143/=

⋅=

=A B P A P AB P 。

3．接处某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80。现有5人接种该疫苗，至少有3个出现发热反应的概率为（精确到0.001） （ ） A 、0.942 B 、0.205 C 、0.737 D 、0.993 答案：A 。解析：

332445

55550.80.20.80.20.80.942

P C C C =⨯⨯+⨯⨯+⨯=。

4．从1，2，……，15中，甲、乙依次任取一数（不放回），已知甲取到的数是5的倍数的条

件下，则甲数大于乙数的概率是 _________.

答案：9

14。解析：A=“甲数是5的倍数”，B=“甲数大于乙数”，

4914

()9

1514(|)314()141514P AB P B A P A ++⨯===

⨯⨯。

5．甲、乙、丙三台机床是否需要维修相互之间没有影响。在一小时内甲、乙、丙三台机床需

要维修的概率分别是0.1,0.2,0.3，则一小时内至少有一台机床需要维修的概率是 。

答案：0.496。解析：1(10.1)(10.2)(10.3)0.496P =----=。

6．袋中有分别写着“团团”和“圆圆”的两种玩具共7个且形状完全相同，从中任取2

个玩具都是“圆圆”的概率为71

，A 、B 两人不放回从袋中轮流摸取一个玩具，A 先取，B 后取，

然后A 再取，……直到两人中有一人取到“圆圆”时即停止游戏.每个玩具在每一次被取出的机会是均等的，用X 表示游戏终止时取玩具的次数. （1）求X=4时的概率； （2）求X 的数学期望.

答案：解：（1）设袋中原有玩具“圆圆”n 个由题意知：71

2

7

2=C C n 所以n(n －1)=6，解得n=3(n=－2舍去).

353

45673234)4(=

⨯⨯⨯⨯⨯⨯=

=X P

（2）由题意可知X 的可能取值为1，2，3，4，5,

.

2351

535343563722731)(;

351

3456731234)5(;35345673234)4(;356567334)3(;726734)2(;73)1(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯===⨯⨯===

=X E X P X P X P X P X P 7．粒子A 位于数轴0=x 处，粒子B 位于2=x 处，这两个粒子每隔一秒向左或向右移动一个

单位，已知向右移动的概率是32，向左移动的概率是31

.

（1）求3秒后，粒子A 在点1=x 处的概率； （2）求2秒后，粒子A 、B 同时在2=x 处的概率.

答案：（1）由题意知，粒子A 在三次移动中有一次向左移动，故123124()339P C =⋅⋅=；（2）由题

意知，粒子A 在两次移动中均向右，粒子B 向左、向右移动各一次，故

2212221216()33381P C C =⋅⋅⋅=. 8．高校招生是根据考生所填报的志愿，从考试成绩所达到的最高第一志愿开始，按顺序分批

录取，若前一志愿不能录取，则依次给下一个志愿（同批或下一批）录取.某考生填报了三批共6个不同志愿（每批2个），并对各志愿的单独录取以及能考上各批分数线的概率进行预测，结果如表所示（表中的数据为相应的概率，a 、b 分别为

第一、第二志愿）.

（Ⅰ）求该考生能被第2批b 志愿录取的概率；

（Ⅱ）求该考生能被录取的概率；

（Ⅲ）如果已知该考生高考成绩已达到第2批分数线却

未能达到第1批分数线，请计算其最有可能在哪个志愿被录取？（以上结果均保留二个有效数字）

答案：解：分别记该考生考上第1、2、3批分数线为事件A 、B 、C ，被相应志愿录取为事件Ai 、Bi 、Ci ，（i=a 、b ）, 则以上各事件相互独立.

（Ⅰ）“该考生被第2批b 志愿录取”包括上第1批分数线和仅上第2批分数线两种情况，故所求概率为)()(1b a b a b a B B B A P B B A A A P P +=

5.0)9.01(8.0)

6.01(5.0)9.01)(4.01)(8.01(6.0⨯-⨯⨯-+⨯---⨯=45.0=. （Ⅱ）设该考生所报志愿均未录取的概率为2P ，则

)()()(2b a b a b a b a b a b a C C C B A P C C B B B A P C C B B A A A P P ++=)(C B A P +

)

8.01)(95.01)(5.01)(9.01)(4.01)(8.01(6.0------⨯= )8.01)(95.01)(5.01)(9.01(8.0)6.01(----⨯⨯-+

)8.01)(95.01(9.0)8.01)(6.01(--⨯⨯--+)9.01)(8.01)(6.01(---+ 00892.0≈.

∴该考生能被录取的概率为99.000892.0112≈-=-=P P .

（Ⅲ）由已知,该考生只可能被第2或第3批录取，仿上计算可得各志愿录取的概率如表所示：

从表中可以看出，该考生被第2批a 志愿录取的概率最大，故最有可能在第2批a 志愿被录取.

高中数学知识点：二项分布

高中数学知识点：二项分布 导读：升上高中，你仿佛是一片小方舟进入了知识的大海洋，要学校的东西成倍的增长，让你一刻也不得松懈。然而，并不是你学习就很吸收了这些知识，因为它们内容之相似、系统之庞大、结构之复杂，让查字典数学网小编都为之汗颜。那么，小编末宝就给大家讲讲高中数学曾经的那些相似之处。 提到二项分布很多同学马上会联想到二项定理，这两者在公式上虽然有一定的相似性，但二者却是不同的两个概念。 二项分布描述的是若干次的放回抽样中求概率，其抽样中每一次抽样结果都有两个即发生或不发生，而且事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变即每次是等概率的，前一次不影响后一次的概率。 如10个小球里面有3个黑的，7个白的。从中抽取3次，有X个黑球。如果每次抽出都放回去，第二次再抽，显然每次抽到黑球概率都是3/10，这一次与其他次都互相独立，这种抽样对应的模型就是二项分布。 超几何分布 超几何分布是一种不放回抽样中求概率情形，其抽样中每一次抽样结果任然有两个即发生或不发生，但每次不是是等概率的，前一次会影响后一次的概率，一般在数目不是很大的情况下，利用二项分布和超几何分布公式计算概率会不

同，但抽取对象数目较大时，两者计算的概率会近似相等。 ★把一个分布看成二项分布或超几何分布时，期望始终是相同的，这种巧合使超几何分布的期望计算大大简化。 ★若放回或不放回较难区分时，一般可通过数量来区分，从总体中抽取或数量较多时抽取一般为二项分布。 老鼠老虎傻傻分不清楚，满卷零分失败的被俘虏，心豪赌想做就别怕苦，学不清楚迟早高考落榜。想知道更多数学资讯，尽在查字典数学网。 末宝带你游数学： 高中数学题：X1+X2+...+Xn=M的简单应用 每日一练：双曲线方程问题 高考数学题：三角函数的几个注意事项 数学高频考点：全国I卷试卷结构

高中数学专题——二项分布

二项分布 【知识网络】 1、条件概率的概念、公式、性质，并能运用它们计算事件的概率； 2、两个事件相互独立的概念，判断两个事件是否是相互独立事件； 3、理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 【典型例题】 例1：（1）将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率 ) (B A P 等于 （ ） A 、9160 B 、21 C 、185 D 、21691 答案：A 。 解析：1515519115460()60(),()3,(|)666666216666216()91 P AB P B P AB P A B P B = +?+??==???=∴==。 （2）某人射击命中目标的概率为0.6,每次射击互不影响,连续射击3次,至少有2次命中目标的概率为 ( ) A.12584 B. 12581 C. 12536 D. 12527 答案：B 。解析： 12581)53(52)53(333225= +?C C 。 （3）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是71 ，现在甲、乙两人从 袋中轮流摸出1球，甲先取，乙后取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球每一次被取到的机会是等可能的，那么甲取到白球的概率是 （ ） A 、73 B 、356 C 、351 D 、3522 答案：D 。解析：设白球有n 个，227 1 ,3,7 n C n C = =∴P 甲= 34334321227765765435+??+???=。 （4）某气象站天气预报准确率是80%，5次预报中至少有4次准确的概率是______(精确 到0.01) 。 答案：0.74。解析： 74.08.02.08.0)(5 55445≈?+??=C C A P 。 （5）在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第 一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是 。 答案：95 。解析：设“第一次摸到红球”为事件A ，“第二次摸到红球”为事件B ，则

二项分布数学期望与方差专题复习有详解重点中学用

第十讲二项分布及应用随机变量的均值与方差 知识要点 1.事件的相互独立性(概率的乘法公式) 设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． 2. 互斥事件概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． 3.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 4.条件概率的加法公式：若B、C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) 5.独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用A i(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)． 注：判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点 (1)在同样的条件下重复，相互独立进行；(2)试验结果要么发生，要么不发生． 6.二项分布：在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k·(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率． 注：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点 (1)是否为n次独立重复试验．(2)随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数． 7.离散型随机变量的均值与方差及其性质 定义：若离散型随机变量X的分布列为P(ξ＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n. (1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望． n (2)方差：D(X)＝∑ (x i－E(X))2p i为随机变量X的方差，其算术平方根D X为随机变量X的标准差．i＝1 (3)均值与方差的性质：(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数) 8.两点分布与二项分布的均值、方差 变量X服从两点分布：E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；X～B(n，p)： E(X)＝np ，D(X)＝np(1－p)典例精析 例1.【2015高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队 （1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率. （2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.

高考数学一轮复习专题01 二项分布(解析版)

概率与统计 专题一：二项分布 一、知识储备 一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (01p <<)， 用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为()(1)k k n k n P X k C p p -==-（0,1,2, k n =） 如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布（binomial distribution ），记作(,)X B n p 。 二、例题讲解 1．（2022·全国高三其他模拟）羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为3 4 ，乙选手在每回合中得分的概率为14． （1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率； （2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ． 【答案】（1）81 256 ；（2）分布列见解析；期望为3． 【分析】

（1）可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，进而根据独立重复试验的概率公式即可求出结果； （2）求出X 的取值，进而求出对应的概率，列出分布列，利用二项分布的期望即可求出结果． 【详解】 （1）记在经过4回合比赛，甲获胜为事件A ， 可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，所以2 2333181 ()C 444256 P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）易知X 的取值为0，1，2，3，4，且3~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 404 11(0)C 4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，3 14133(1)C 4464P X ⎛⎫==⨯ = ⎪⎝⎭ ， 222 4 1327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫ ==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，3 341327(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4 44 381(4)C 4256P X ⎛⎫ === ⎪⎝⎭ ， 所以X 的分布列为： 数学期望3 ()434 E X np ==⨯ =． 2．（2022·青铜峡市高级中学高三开学考试（理））设甲､乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为2 3 .假定甲､乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （1）用X 表示甲同学上学期间的每周五天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多3天”为事件M ，求事件M 发生的概率. 【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：103 ；（2）802187. 【分析】 （1）由题意可得2 (5,)3 X B ，然后利用二项分布的概率公式求对应的概率，从而可列出分布列， （2）设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为Y ，由题意可知2 (5,)3 Y B ，且

高中数学二项分布及其应用

二项分布及其应用 二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有着重要的地位：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生K 次的概率为 P(X=k)=C n k p k (1-p)n-k ,k=0,1,2,…,n ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B(n,p)，并称p 为成功概率。 二项分布是一种常见的重要离散型随机变量分布列，其识别特点主要有两点：其一是概率的不变性；其二是试验的可重复性，下面加以例谈。 例题1 某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的。现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦电力，这10台机床能够不因电力不足而无法工作的概率为多大？在一个工作班的8小时内，不能正常工作的时间大约是多少？ 解析：设10台机床中实际开动的机床数为随机变量ξ，由题意知满足二项分布，即ξ～B （10，p ），其中p 是每台机床开动的概率，p=5 16012= ,从而)10,2,1,0()5 4()51()(1010 ===-k C k P k k k ξ ， 50千瓦电力可同时供5台机床同时开动，因而10台中同时开动数不超过5台都可以正常工作，这一事件的概率 5 5510644107331082210911010010)5 4()51()54()51()54()51()54()51()54)(51()54()5(C C C C C C P +++++=≤ξ994.0≈。 由以上知，在电力供应为50千瓦的条件下，机床不能正常工作的概率仅为0.006，从而一个工作班的8小时内不能正常工作的时间大约为8×60×0.006=2.88（分钟），这说明，10台机床的工作基本不受电力供应紧张的影响。 例题2 有两袋相同的球，每袋中各有n 个，一个人随意从任一袋中一个一个地取球，经过一段时间以后，他发现有一袋球空了，求这时另一袋中还剩r (r=0,1,2, … ,n)个球的概率。 解析：将每次取出一个球看作一次独立试验，每次试验有两个可能的结果：取的是第一袋的球或者是第二袋的球，它们出现的概率均是2 1。由于两袋球共有2n 个，当第一袋的球被取空、第二袋里还剩r 个时，共取了2n-r 个 ，概率应为 n r n r n n r n n r n n r n C C n P 222222)2 11()21()(------=-= 点评：公式k n k k n n p p C k P --=)1()(，是n 次独立试验中某事件A 恰好发生k 次的概率，其中n 是重复试验的次数，p 是在一次试验中该事件A 发生的概率，k 是n 次独立重复试验中事件A 恰好发生的次数。弄清公式中这些量的意义，才能正确使用这一公式求解。 同步测试： 1、 下面关于X ～B(n,p)的叙述： ① p 表示一次试验事件发生的概率；

高中 数学 选修 二项分布及其应用

二项分布及其应用 【知识要点】 1、条件概率的定义和性质 （1）定义：一般地，设A,B 为两个事件，且 ，称) ()()(A P AB P A B P = 为在 的条 件下， 的条件，)(A B P 读作A 发生的条件下B 发生的概率。 （2）性质： ①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即 ②如果B 和C 是两个互斥事件，则 2、事件的相互独立性 设A ，B 为两个事件，如果 ，则称事件A 与事件B 相互独立。 如果事件A 与B ，那么A 与- B ,- A 与 B ，- A 与- B 也都 3、n 次独立重复试验 一般地，在相同条件下重复做的n 次试验成为 。 4、二项分布 若设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为()__________,P X k ==其中k 的取值为_________.此时随机就是X 服从二项分布，记为 ，并称P 为成功概率。 【典型例题】 1、甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12% 求：甲市为雨天，乙市也为雨天的概率 乙市为雨天，甲市也为雨天的概率

2、加工某种零件需经过三道工序。设第一、二、三道工序的合格率分别为10 9、 9 8、 8 7，且各 道工序互不影响。 (1) 求该种零件的合格率； (2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。 3、某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）： （1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率 4、从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加计算机理论测试，每位同学通过测试的概率为0.7，试求： （Ⅰ）选出的三位同学中至少有一名女同学的概率； （Ⅱ）选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率； （Ⅲ）设选出的三位同学中男同学的人数为ξ，求ξ的概率分布.

7.4二项分布与超几何分布(学生版) 讲义-2021-2022学年人教A版(2019)高中数学选择性

二项分布与超几何分布 一n重伯努利试验 1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做n次． (2)各次试验的结果相互独立． 注意点：在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验． 二二项分布的推导 二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0

三二项分布的简单应用 利用二项分布求解“至多”“至少”问题的概率，其实质是求在某一范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率． 四二项分布的均值与方差 1．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． 2．若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求 五二项分布的实际应用 二项分布的实际应用类问题的求解步骤 (1)根据题意设出随机变量； (2)分析随机变量服从二项分布； (3)求出参数n和p的值； (4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解． 六二项分布的性质 二项分布概率最大问题的求解思路 七超几何分布 超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝C k M C n－k N－M C n N，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 注意点： (1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”．

2020高考数学三轮冲刺 专题 二项分布及其应用练习(含解析)

二项分布及其应用 一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 A. B. C. D. （正确答案）B 【分析】 本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题． 求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论． 【解答】 解：由题意，甲获得冠军的概率为， 其中比赛进行了3局的概率为， 所求概率为， 故选B． 2. 小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4 个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则 A. B. C. D. （正确答案）A 【分析】 本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论，属于中档题． 【解答】 解：小赵独自去一个景点，有4个景点可选，则其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为种

所以小赵独自去一个景点的可能性为种 因为4 个人去的景点不相同的可能性为种， 所以． 故选A． 3. 2016年鞍山地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为 ，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是 A. B. C. D. （正确答案）C 解：一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为， 设随后一天空气质量为优良的概率为p， 若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有， ， 故选：C． 设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果． 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用． 4. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A. B. C. D. （正确答案）A 解：由题意可知：同学3次测试满足X∽， 该同学通过测试的概率为． 故选：A． 判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可． 本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．

高中数学选择性必修三 专题05二项分布、超几何分布与正态分布(含答案)高二数学下学期期中专项复习

专题05二项分布、超几何分布与正态分布 一、单选题 1．（2020·全国高二课时练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次，设X 表示向上一面出现6点的次数，则X 的数学期望()E X 的值为（ ） A ． 1 3 B ． 49 C ． 59 D ． 23 【答案】D 【详解】 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，向上一面出现6点的概率为 16 ()112(4,)4663 X B E X ∴=⨯= 故选：D 2．（2020·全国高二课时练习）甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都是 2 3 ，则面试结束后通过的人数X 的数学期望是（ ） A ． 43 B ． 119 C ．1 D ． 89 【答案】A 【详解】 由题意可知：2 ~(2,)3 X B ， 因此面试结束后通过的人数X 的数学期望是242=33 ⨯. 故选：A 3．（2021·河南驻马店市·高三期末（理））已知~(20,)X B p ，且()6E X =，则()D X =（ ） A ．1.8 B ．6 C ．2.1 D ．4.2 【答案】D 【详解】 因为X 服从二项分布~(20,)X B p ，所以()206==E X p ，得0.3p =，故 ()(1)200.30.7 4.2=-=⨯⨯=D X np p ． 故选：D.

4．（2021·山东德州市·高二期末）已知随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，若()54 E X = ， ()15 16=D X ，则p =（ ） A ． 1 4 B ． 13 C ． 34 D ． 45 【答案】A 【详解】 由题意54 15(1)16np np p ⎧ =⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，解得145p n ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 故选：A ． 5．（2020·全国高二课时练习）已知圆22 28130+--+=x y x y 的圆心到直线()10kx y k +-=∈Z 的距离 为14,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则使()P X k =的值为（ ） A ． 23 B ． 35 C ． 13 D ． 2764 【答案】D 【详解】 由题意，知圆心坐标为()1,4， 圆心到直线()10kx y k +-=∈Z 的距离为 =1 7k =-或1k =． 因为k Z ∈，所以1k =． 因为14,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 所以()1 41 141127114464 P X C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ． 故选：D ． 6．（2021·辽宁大连市·高三期末）2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建

高中数学选择性必修三 专题33 二项分布与超几何分布(含答案)

专题33 二项分布与超几何分布 一、单选题 1．（2020·山西应县一中高二期中（理））盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个, 那么概率是 3 10 的事件为() A．恰有1个是坏的B．4个全是好的C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的【答案】C 【解析】 对于选项A，概率为 13 37 4 10 1 2 C C C =.对于选项B，概率为 4 7 4 10 1 6 C C =.对于选项C，概率为 22 37 4 10 3 10 C C C =.对于选项D， 包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是13 210 >，故D选 项不正确.综上所述，本小题选C. 2．（2020·天山新疆实验高二期末）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于（） A． 7 15 B． 8 15 C．14 15 D．1 【答案】C 【解析】 由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式， 即P(X＝0)＝ 2 7 2 10 7 15 C C =，P(X＝1)＝ 11 73 2 10 7 15 C C C = ⋅ ，P(X＝2)＝ 2 3 2 10 1 15 C C =， 于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝ 7714 151515 += 故选C

3．（2020·江苏鼓楼 南京师大附中高二期末）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于 6 7 的是（ ） A ．至少有1个深度贫困村 B ．有1个或2个深度贫困村 C ．有2个或3个深度贫困村 D ．恰有2个深度贫困村 【答案】B 【解析】 用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布， 故()334 3 7k k C C P X k C -==， 所以()30433 74 035C C P X C ===， ()21 433718 135C C P X C ===， ()12433712 235C C P X C ===， ()03433 71 335 C C P X C ===， ()()6 127 P X P X =+== . 故选：B 4．（2020·辉县市第二高级中学高二月考（理））在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（ ） A ． 5 42 B ． 435 C ． 1942 D ． 821 【答案】A 【解析】 分析：根据超几何分布，可知共有4 10C 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可。 详解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解与训练67 二项分布及其应用

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解与训练 专题67二项分布及其应用 考点知识要点 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念． 2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布． 3.能解决一些简单的实际问题. 基础知识融会贯通 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A) 来表示，其公式为P(B|A)＝P AB P A(P(A)>0)． 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n AB n A. (2)条件概率具有的性质 ①0≤P(B|A)≤1； ②如果B和C是两个互斥事件， 则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 2．相互独立事件 (1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件． (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)， P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)． (3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．

3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率． 重点难点突破 【题型一】条件概率 【典型例题】 某班组织由甲，乙，丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（） A．B．C．D． 【再练一题】 在由直线x＝1，y＝x和x轴围成的三角形内任取一点（x，y），记事件A为y＞x3，B为y＞x2，则P（B|A）＝（） A．B．C．D． 思维升华(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝P AB P A，这是通用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的 基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝n AB n A. 【题型二】相互独立事件的概率

高中数学 2.4二项分布(一)同步练习(含解析)苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学试题

§2.4 二项分布(一) 课时目标 理解n 次独立重复试验的模型(伯努利试验)及其意义；理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题． 1．n 次独立重复试验：一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互____________，每次试验的结果__________________，即A 与A ，每次试验中P (A )＝p >0.这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为__________． 2．二项分布 若随机变量X 的分布列为P (X ＝ k )＝____________，其中0

高中数学二项分布

4.二项分布 教学背景 教学课时：第1课时 教学准备：教师：硬币、多媒体课件，表格学生：纸、笔 教学目标 （1）在了解条件概率和相互独立事件概念的前提下，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。同时，渗透由特殊到一般，由具体到抽象,观察、分析、类比、归纳的数学思想方法。 （2）培养学生的自主学习能力、数学建模能力和应用数学知识解决实际问题的能力。 （3）通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神。 教材分析 通过前面的学习，学生已经了解了有关概率和统计中的等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率、相互独立事件概率的求法以及分布列有关内容，掌握二项式定理与两点分布、事件的独立性的基础上学习中学数学离散概型中的一种常见概率模型_二项分布概型，它是独立等可能事件的重复次数从一次向有限多次的延伸。二项分布是应用广泛的概率模型，在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似的的服从二项分布，实际应用广泛，理论上也非常重要。教材的这一安排对学生全面系统地掌握离散型随机变量的分布以及对概率统计思想的感悟具有明显的促进作用。可以说本节内容是对前面所学知识的综合应用，是一种模型的构建，也是后继课程的一个出发点（转折点），对今后数学及相关学科的学习产生深远的影响。因此本课在教学内容上起着承前启后的作用。通过本节课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受数学来源于生活，最终也将服务于生活，充分展示数学的应用价值。 教学重难点 重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题难点：二项分布模型的构建及理解二项分布的特征 教学方法 为了使学生更主动地参加到课堂教学中，培养他们的能力，本课采用自主探究法。即“创设问题——启发讨论——探索结果”及“直接观察——归纳抽象——总结规律”的一种研究性教学方法。通过引导学生观察和对比分析、启发学生思考和概括问题等教学互动活动，突出体现以学生为主体的探索性学习和因材施教的原则。 教学过程 一、创设情景激发求知 师：同学们，我手上有一枚均匀的硬币，如果投掷了4次，同学们猜想下会出现几种结果?

【高中数学选修第三册】第七章二项分布1

7.4 二项分布与超几何分布 7.4.1 二项分布 新版课程标准学业水平要求 1.结合生活中的实例,了解二项分布; 2.了解二项分布的均值和方差及其意义. 1.结合教材实例,了解二项分布的概念.(数学抽象) 2.会利用公式求服从二项分布的随机变量的概率、均值以及方差.(数学运算) 3.能利用二项分布概率模型解决实际问题.(数学建模) 必备知识·素养奠基 1.n重伯努利试验 (1)伯努利试验:我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)定义:我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验. (3)特征:①同一个伯努利试验重复做n次; ②各次试验的结果相互独立. 定义中“重复”的含义是什么? 提示:“重复”意味着各次试验成功的概率相同. 2.二项分布

(1)定义:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为 p(0

2020高中数学 第2章 概率 2.4 二项分布讲义

2.4 二项分布 学习目标核心素养 1。理解n次独立重复试验的模型及二项分布．(重点） 2．能利用二项分布解决一些简单的实际问题．（难点）1.通过对n次独立重复试验及二项分布的学习，培养数学抽象素养．2．借助两个模型解决实际问题，提升数学建模素养. 1．n次独立重复试验 (1)定义:一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成,每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A,每次试验中P（A)＝p>0。我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验． (2)概率计算:在n次独立重复试验中,如果每次试验事件A发生的概率均为p（0

2．二项分布 若随机变量X的分布列为P（X＝k)＝C k n p k q n－k， 其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2,…，n，则称X服从参数为n,p的二项分布,记作X～B（n,p）． 思考1：有放回地抽样试验是独立重复试验吗？ [提示］是．有放回地抽样试验是相同条件下重复做的n次试验，是独立重复试验． 思考2：二项分布中随机变量X的取值是小于等于n的所有正整数吗？ [提示] 不是．二项分布中随机变量X的取值是小于等于n的所有自然数． 1．若X～B（10，0.8)，则P（X＝8）等于( ） A．C错误!×0。88×0。22B．C错误!×0.82×0.28 C．0。88×0。22D．0。82×0.28 A[因为X～B(10，0.8)，所以P（X＝k）＝C错误!0.8k（1－0。8)10－k，所以P(X＝8）＝C错误!×0。88×0.22。］ 2．独立重复试验满足的条件是________．（填序号)

高中数学概率统计题型归纳14 二项分布

专题14 二项分布 例1．已知随机变量1 ~(4,)3X B ，那么随机变量X 的均值()(E X = ) A ．89 B ． 43 C ．2 D ．83 【解析】解：随机变量1 ~(4,)3X B ， 14 ()433 E X ∴=⨯=． 故选：B ． 例2．设随机变量Y 满足1 ~(4,)2 Y B ，则函数2()44f x x x Y =-+无零点的概率是( ) A ． 1116 B ． 516 C ． 3132 D ． 12 【解析】解：因为函数2()44f x x x Y =-+无零点， 所以△2(4)4140Y =--⨯⨯<， 所以1Y >， 所以22233440 44411111111(1)(2)(3)(4)()()()()()()22222216 P Y P Y P Y P Y C C C >==+=+==++=． 故选：A ． 例3．我们知道，在n 次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(,)B n p ，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显然1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，⋯，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1 ()E Y p = ．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A 和A 都发生后停止，此时所进行的试验次数记为Z ，则11()(1)(1)k k P Z k p p p p --==-+-，2k ==，3，⋯，那么()(E Z = ) A ． 1 1(1) p p -- B ． 2 1p C ． 1 1(1) p p +- D ． 2 1 (1)p - 【解析】解：11()(1)(1)k k P Z k p p p p --==-+-，2k ==，3，⋯，1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，⋯，可得1()E Y p = ． 1()(1)k P Y k p p -∴==-，2k =，3，⋯，1 ()E Y p p = -．

专题2.2 二项分布及其应用-20届高中数学同步讲义(理)人教版(选修2-3)

2.2 二项分布及其应用 1．条件概率的概念 一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称|()P B A =________________为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．|()P B A 读作A 发生的条件下B 发生的概率． 注意：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行． 2．条件概率的性质 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即________________． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0． （3）如果B 和C 是两个互斥事件，则()|||()()P B C A P B A P C A =+． 3．条件概率的计算方法 （1）利用定义计算：先分别计算概率()P AB 和()P A ，然后代入公式() ()() |P AB P B A P A = 即可． （2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件A 包含的基本事件数()n A ，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数()n AB ，则|()P B A =________________．学-科网 4．相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件A ，B ，如果(|) ()P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设 ()0P A >，根据条件概率的计算公式，() ()()() |P AB P B P B A P A == ，从而()()()P AB P A P B =． 由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若________________，则称事件A 与事件B 相互独立． （2）相互独立事件的性质 如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． （3）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到(2,)n n n >∈*N 个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相